Download matemáticas 3º eso - Mauricio Contreras

5.
Iteración y
Recursión
Matemáticas 3º ESO
1. Algoritmos
2. Operaciones con fracciones
3. Aumentar y disminuir
4. Iteración
5. Fractales
6. Recursión
144
Iteración y recursión
1. Álgoritmos
 CIRCUITOS POLIGONALES
En una factoría un robot tiene que realizar su trabajo siguiendo trayectorias poligonales. Las ordenes
que puedes darle para moverse son avanzar una distancia a tu elección y girar un ángulo, también a
tu elección. Escribe las instrucciones que permiten recorrer al robot cualquier tipo de circuito
poligonal.
 CIRCUNFERENCIA POR TRES PUNTOS
Dados los puntos A, B y C, escribe ordenadamente las instrucciones para dibujar la circunferencia
que pasa por ellos, usando regla y compás.
 SOLDADOS
a) Doce soldados deben colocarse en un desfile en 6 filas, de forma que en cada fila sólo hayan 4
soldados. ¿Cómo pueden hacerlo?. ¿Hay una única solución?.
b) Hay 24 soldados agrupados de 3 en 3 y en forma de cuadrado y había un sargento en el centro y
siempre contaba 9 soldados delante de él, 9 detrás, 9 a su izquierda y 9 a su derecha. Y como era
tan caprichoso manda a 4 a por agua y quería seguir contando 9 delante de él, 9 detrás, 9 a su
izquierda y 9 a su derecha. ¿Cómo tenían que colocarse los pobres soldados?. ¿La solución es
única?.
145
Matemáticas 3º ESO
 UNA CURVA EN UN CÍRCULO
Dibuja una circunferencia de 4 cm. de radio. Elige un punto interior, A, que no sea su centro. Traza
cuerdas que pasen por ese punto y une los puntos medios de todas ellas. ¿Qué resultará?. ¿Cómo
dibujas los puntos medios?.
 ESPIRALES
Escribe las instrucciones para dibujar espirales poligonales similares a las que siguen:
146
Iteración y recursión
 LA TORTUGA
Una tortuga avanza por una trama de puntos dibujando en ella los caminos que recorre.
Las instrucciones que habría que darle para que dibujara este camino podrían ser:









Avanza un paso
Gira a la izquierda 120º
Avanza dos pasos
Gira a la derecha 120º
Avanza un paso
Gira a la derecha 60º
Avanza dos pasos
Gira a la izquierda 120º
Avanza un paso.
Escribe las instrucciones para que dibuje esta estrella.
Otra manera de darle las instrucciones para que dibujara la primera figura podría ser la
siguiente:









Avanza un paso.
Gira –120º.
Avanza dos pasos.
Gira 120º.
Avanza un paso.
Gira 60º.
Avanza dos pasos.
Gira –120º.
Avanza un paso.
Interpretando los ángulos positivos como un giro a la derecha y los negativos como un giro a
la izquierda.
147
Matemáticas 3º ESO
Utiliza las siguientes tramas, inventa una figura y dale instrucciones a tu compañero para que la
realice. Haz tú la suya siguiendo sus instrucciones.
 ¿QUÉ ES UN ALGORITMO?
Un algoritmo es una colección de instrucciones que, cuando se ejecutan en una secuencia
determinada, produce el resultado deseado.Algunos de los rasgos que caracterizan a los
algoritmos son:

Están compuesto de pasos claramente definidos.

La secuencia o el orden de los pasos está claramente especificado: no debe haber
nunca dudas sobre cuál es el siguiente paso que hay ejecutar.

Debe haber un paso inicial y otro final. La ejecución de este último debe producir el
resultado buscado.

Se llega al paso final tras la ejecución de un número finito de pasos, esto es, que el
algoritmo no se prolonga indefinidamente.

Un algoritmo sirve para resolver muchos problemas del mismo tipo.
Examina los procedimientos que has utilizado para resolver los problemas anteriores. ¿Tienen las
características de los algoritmos?. ¿Todas o sólo algunas?. ¿Observas alguna otra característica que
no esté en la lista anterior?.
 JARRAS
A una lechería llegan dos clientes que necesitan cuatro litros de leche cada uno. Encima del
mostrador hay una jarra de 8 litros llena de leche y dos jarras vacías, una de 5 litros y otra de 3 litros.
¿Cómo se las arreglará el lechero para medir los 4 litros de cada cliente, si no tiene más que estas
jarras para medir?. NOTA.- Las jarras no están graduadas.
148
Iteración y recursión
2. Operaciones con fracciones
 PRODUCTOS Y COCIENTES
Ejemplo 1: Para multiplicar 2/3 por 3/4 procedemos asi:
Ejemplo 2: En el disco de la izquierda colorea la sexta parte de la porción sombreada. ¿Cuál
es la fracción del total del disco que queda marcada?
3
2
3 2 6 1
y que multiplicar
de
es  

4
3
4 3 12 2
1
3
1
de
es
fracciones es equivalente a hallar un área. Observa también que
. Fíjate
6
4
8
también que si multiplicas los numeradores y los denominadores y simplificas obtienes los
mismos resultados.
Observa en los ejercicios anteriores que
El producto de dos fracciones a / b y c / d es otra fracción que tiene por numerador el
producto de los numeradores y como denominador el producto de los denominadores:
a c ac
 
b d bd
Ejemplo 3: ¿Cuál es el resultado de la división
1
3?
3
Tenemos que dividir un tercio de las bolas en tres partes iguales:
El resultado es una bola de un total de nueve, es decir, 1/9. Por tanto:
1
1
3 
3
9
149
Matemáticas 3º ESO
3 3
 ?
4 5
Tomamos tantas bolas como indica el producto de los denominadores, es decir, 20. Hay que
dividir tres cuartos de las 20 bolas (es decir, 15 bolas) entre los 3/5 de 20=12 bolas.
Ejemplo 4: ¿Cuál es el resultado de la división
Por tanto, el resultado de la división es 15/12 = 5/4 de las bolas. Así:
Ejemplo 5: ¿Cuál es el resultado de la división 2 
3 3 15 5
 

4 5 12 4
3
?
5
Tenemos que dividir 2 entre los 3/5 de 1. Pero como 1 no es divisible entre 5, necesitamos
que la unidad esté formada por un número de bolas múltiplo de 5. Vamos a suponer que
dicha unidad está formada por 5 bolas. Entonces, los 3/5 de 1 serán los 3/5 de 5 bolas, es
decir, 3 bolas. Por tanto, hay que dividir 2 unidades (=10 bolas) entre los 3/5 de 1 unidad (=3
3 10
bolas). El resultado de la división es 2  
.
5 3
150
Iteración y recursión
Observa que para dividir una fracción entre un número entero hay que multiplicar el
denominador por el entero:
a
a
c 
.
b
bc
Para dividir dos fracciones, basta multiplicar la primera por la inversa de la segunda:
a c a d ad
:   
b d b c bc
Para dividir un número entero entre una fracción hay que multiplicar el entero por el
denominador de la fracción y el resultado dividirlo entre el numerador:
a
b ac

c
b
1) ¿Qué fracción del total representa en cada caso?
2) Haz las siguientes divisiones:
3) Calcula x en cada caso:
a)
a)
1 3
:
2 4
3
12
x =
4
20
b)
a)
1
1
de
3
2
b)
b)
1 5
:
2 2
c) 5 :
2
2
x =
5
15
c)
1
de
5
2
8
:x=
5
15
1
2
d)
3
4
c)
2
1
de
5
3
d)
1
:5
2
4
2
:x=
3
3
 INMIGRANTES
3
1
de ellas son inmigrantes, y
de los inmigrantes son
4
5
jóvenes. ¿Qué fracción de la población representa a los inmigrantes jóvenes? ¿Cuántos son?
En una ciudad viven 20000 personas,
 PIZZAS
El 80% de las pizzas que hay en una tienda tienen anchoas y el 60% de las pizzas que tienen
anchoas tienen bacon. ¿Qué porcentaje de las pizzas tienen anchoas y bacon?
 CARRERA DE VALLAS
Hay que colocar 9 vallas (igualmente separadas) para una carrera de 1/10 km. Da en fracción de km
la distancia entre dos vallas consecutivas. Represéntala en la recta numérica.
151
Matemáticas 3º ESO
 LA GASEOSA SOBRANTE
Se quiere repartir 3 litros de gaseosa en recipientes de 1/5 litros. ¿Cuántos recipientes completos se
llenarán?. Represéntalo en la recta numérica. ¿Y si los recipientes fueran de 2/5 litros?.
 SUMA Y RESTA
Ejemplo 1: ¿Cuánto suman las partes coloreadas? ¿
1 1
 ?
2 3
Para averiguarlo, dividimos cada círculo en 23=6 partes iguales.
Vemos que
1 1 3 2 5
   
2 3 6 6 6
Ejemplo 2: Resta las superficies coloreadas. ¿
2 1
 ?
3 9
Para averiguarlo dividimos los cuadrados en 9 partes iguales.
Vemos que
152
2 1 6 1 5
   
3 9 9 9 9
Iteración y recursión
Ejemplo 3: Calcula la suma
11 1

10 2
Usando la recta numérica o la regla graduada, vemos que
Ejemplo 4: Calcula la resta
11 1

10 2
Usando la recta numérica o la regla graduada, vemos que
Ejemplo 5: Calcula la suma
11 1 11 5 16
 


10 2 10 10 10
11 1 11 5
6
   
10 2 10 10 10
1 1

4 3
Para ello dividimos el siguiente listón en un número de partes múltiplo de 3 y de 4.
Vemos que el resultado es
1 1 3 4
7
  

4 3 12 12 12
Para sumar (o restar) dos fracciones de igual denominador, se suman (o restan) los
numeradores y se deja el mismo denominador.
Para sumar o restar fracciones con distintos denominadores buscamos otras fracciones
equivalentes a las mismas, pero con los mismos denominadores.
Podemos obtener fracciones equivalentes a las dadas multiplicando la primera por
denominador de la segunda y la segunda por el denominador de la primera.
153
Matemáticas 3º ESO
1) Representa y calcula las siguientes operaciones siguiendo el modelo anterior:
2 1
 ,
4 3
1 1
 ,
3 4
3 2 1
 
4 3 2
2) Si Antonio se come un tercio de la tarta y María un cuarto, ¿cuánto se comen entre los dos?.
¿Cuánto se come Antonio más que María?.
3) Un periódico dedica 2 / 5 de su contenido a información, 3 / 8 a artículos de opinión y el resto a
propaganda. ¿Qué fracción corresponde a propaganda?.
4) A la pregunta de si le gusta el fútbol, 3 / 7 contestaron que sí, 1 / 5 que no y el resto no quiso
contestar. ¿Qué fracción no contestó?.
 MÍNIMO COMÚN DENOMINADOR
Para sumar o restar fracciones de distinto denominador, es necesario reducirlas a común
denominador. Para ello, una forma es utilizar el mínimo común múltiplo de los
denominadores. Éste será el nuevo denominador y los numeradores se obtienen
multiplicando cada fracción por el mínimo común múltiplo.
Ejemplo: Queremos hallar la suma de fracciones
2
2
m.c.m.(4, 18, 12) = 2 3 =36.
Entonces:
3 11 5
. Procedemos de esta forma:


4 18 12
3 11 5 27 22 15 64






4 18 12 36 36 36 36
Efectúa las siguientes operaciones, utilizando el mínimo común múltiplo:
4 2

7 9
3 5

8 16
4 7

5 15
2 1 8
 
3 5 15
1 4 2
 
6 5 3
1 1 5
 
2 6 12
1 4 7
 
3 9 18
1 1 1
 
5 3 15
3 1 5 3
    
5 2 3 4
7 1  3

   :   2
5
11
5

 

11 13

2 5
3
3
8
3 1

4 4
2 1

3 3
154
Iteración y recursión
 FUGA DE SIGNOS
Sustituye los círculos por las operaciones adecuadas para que se obtengan los resultados que se
indican en la siguiente figura:
 ESTRELLAS MÁGICAS
Completa los círculos vacíos de forma que todos los lados de la estrella sumen lo mismo.
155
Matemáticas 3º ESO
 MUROS DE LEIBNITZ
a) Completa las casillas vacías, de forma que cada número sea igual a la suma de los dos que tiene
situados abajo, a su izquierda y derecha.
b) Completa las casillas vacías, de forma que cada número sea igual al producto de los dos que tiene
debajo, a su izquierda y derecha.
 LA PIRÁMIDE
En la siguiente pirámide, la fracción de cada casilla es la suma de las dos fracciones de las casillas
sobre las que se apoya. Completa la pirámide con esta condición.
156
Iteración y recursión
 CUADRADO MÁGICO
Completa las casillas vacías de forma que al multiplicar las fracciones de cada fila, cada columna y
las dos diagonales se obtenga el mismo resultado.
 EL TANGRAM
El tangram es un rompecabezas formado por siete piezas, con las que se puede formar un cuadrado.
a) Si el cuadrado es la unidad, ¿qué fracción del cuadrado representa cada una de las siguientes
figuras?
b) Construye y dibuja, con las piezas del tangram chino, figuras equivalentes a las siguientes
1
4
5
8 11 12 14
fracciones:
,
,
,
,
,
,
16 16 16 16 16 16 16
157
Matemáticas 3º ESO
 DECIMALES PERIÓDICOS
Efectúa las siguientes divisiones con la calculadora e indica en cada caso la secuencia de números
que se repite.
a)
1
7
b)
2
7
c)
3
7
d)
1
13
e)
2
13
f)
3
13
g)
1
17
h)
2
17
i)
3
17
 CON LA CALCULADORA
Investiga con la calculadora y saca conclusiones:
a) Halla los números decimales que corresponden a:
1 2 3 4 5 6 7 8
, , , , , , , .
9 9 9 9 9 9 9 9
b) Con los resultados obtenidos, calcula la fracción que representa a los números 1’555...=1’ 5 y
8’333... = 8’ 3 . Para realizar este cálculo ten presente que puedes poner:
1’ 5  1  0' 5 y 8' 3  8  0' 3
c) Halla los números decimales que corresponden a las fracciones siguientes:
14 21 35 67 84
,
,
,
,
99 99 99 99 99
d) Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el apartado anterior, halla mentalmente el
25 94
y
número decimal que corresponde a
.
99 99
e) Halla las fracciones correspondientes a los números decimales 3’141414... y 21’353535...
teniendo en cuenta los resultados obtenidos en los anteriores apartados.
158
Iteración y recursión
 EXPRESIÓN DECIMAL
Convierte en número decimal las siguientes fracciones:
a)
29
7
b)
17
36
c)
13
36
d)
452
50
e)
4
11
f)
851
20
La expresión decimal de una fracción puede ser exacta (si tiene una cantidad finita de
decimales) o periódica (si tiene una cantidad infinita de decimales que se repiten formando
período).
La expresión decimal de una fracción es exacta si la descomposición en factores primos del
denominador solo contiene potencias de 2 y 5. En otro caso, la expresión decimal es
periódica. Un decimal periódico puede ser:


periódico puro si no hay cifras decimales entre la coma y el período.
periódico mixto: entre la coma y el período hay cifras que no forman período.
2
Ejemplos:
a)
 0'4 es un decimal exacto;
5

1
b)
 0'33333... 0'3 es un decimal periódico puro.
3

5
c)
 0'8333333...  0'83 es un decimal periódico mixto.
6
 DE DECIMAL A FRACCIÓN
La fracción asociada a un número decimal se llama fracción generatriz. Veamos algunos
ejemplos de cálculo de la fracción generatriz.
Ejemplo 1.- Halla la fracción generatriz de 0’75. Respuesta: 0'75 =
75 3

100 4

Ejemplo 2.- Halla la fracción generatriz de 0'4  0'4444...
Hacemos
x=0’44444...
Multiplicamos por 10:
10x=4’44444...
Restamos:
10xx=4  9 x = 4  x=
4
9
 4
0'4 
9
Luego:
Ejemplo 3.- Halla la fracción generatriz de 0’36666...
Hacemos
Multiplicamos por 10 ( la coma estará junto al período):
Multiplicamos por 10:
Restamos:
De donde:
x = 0’36666...
10 x = 3’6666...
100 x = 36’6666...
100 x – 10 x = 36 – 3
33 11
90 x = 33  x =

90 30
 11
0'36 
30
Luego:
Calcula las fracciones que generan los siguientes decimales:
a) 0’1
b) 0’2
c) 0’ 3
d) 2’45
e) 0’038
159
Matemáticas 3º ESO
 FRACCIONES GENERATRICES
Halla las fracciones generatrices irreducibles correspondientes a los números decimales siguientes:
a) 3’125
b) 1’2
c) 0’ 9
d) 13’ 125
e) 3’ 125
f) 0’1 3
 DOMINÓ DE FRACCIONES
En las siguientes páginas tienes tres modelos de dominós de fracciones, dos para estudiar la
equivalencia entre fracciones, decimales, porcentajes y áreas, y otro para practicar las operaciones
con fracciones. Juega algunas partidas con cada uno de ellos.
160
Iteración y recursión
161
Matemáticas 3º ESO
162
Iteración y recursión
3. Aumentar y disminuir
 REBAJAS
En unos grandes almacenes hacen un 20% de descuento en época de rebajas, pero, además, ha de
pagarse el IVA, que supone un 16%. Al comprar un artículo, ¿prefieres que el vendedor te haga
primero el descuento y después aplique el IVA o, al contrario, que primero aplique el IVA y después el
descuento?
 CALCULAR PORCENTAJES
1)
Hoy han fallado al ensayo de la banda 6 personas, lo que supone el 20% del total. ¿Cuántos
miembros tiene la banda?
2)
En las últimas elecciones municipales, de un censo de 2500 personas, el alcalde actual recibió el
voto de 1500 ciudadanos. ¿Qué porcentaje de votantes apoyó al alcalde?
3)
En una clase de 30 estudiantes, hoy han faltado 6. ¿Cuál ha sido el tanto por ciento de
ausencias?
4)
Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que supone el 84% del total. ¿De cuántas camas
dispone el hospital?
 CÁLCULO MENTAL
Recuerda que el 25% significa “de cada 100, 25”. Así, el 25% de 1000 será 250, ya que en
1000 hay 10 grupos de 100 y por cada grupo de 100 tomamos 25, así: 25% de 1000 =
1000
25
25
 25  1000
 250 . Por tanto, se cumple que: 25% de 1 =
 0,25 .
100
100
100
El a % de un número N es igual a N
a
100
1) Calcula mentalmente el 30% de las siguientes cantidades: a) 200, b) 500, c) 1000, d) 1200, e) 50,
f) 10, g) 80.
2) Calcula mentalmente:
a) 20% de 400
b) 20% de 450
c) 15% de 300
d) 80% de 450
e) 60% de 10
f) 75% de 200
g) 40% de 25
h) 20% de 240
163
Matemáticas 3º ESO
3) Calcula mentalmente:
a) 35% de 2580
b) 12% de 63800
c) 80% de 3575
d) 63% de 4200
e) 5% de 640
f) 2% de 280
g) 150% de 500
h) 120% de 400
Para calcular un porcentaje se multiplica el total por el tanto por ciento expresado en forma
30
decimal. Así, 30% de 250 = 250
 250  0,3  75
100
Algunas calculadoras permiten hallar porcentajes mediante la tecla %. Así, para calcular el
8% de 300: 1) introduce el total, 2) pulsa la tecla x, 3) introduce el porcentaje, 4) pulsa la
tecla %. El resultado es 24.
4) Expresa en forma de fracción y en forma decimal los siguientes porcentajes:
a) 50%
b) 25%
c) 20%
d) 40%
e) 4%
f) 9%
g) 110%
h) 120%
5) Calcula los siguientes porcentajes multiplicando por un número decimal. Comprueba después el
resultado con tu calculadora:
a) 50% de 248
b) 25% de 460
c) 20% de 520
d) 40% de 520
e) 4% de 600
f) 9% de 800
g) 11% de 300
h) 12% de 420
i) 18% de 650
j) 45% de 936
k) 3% de 65
l) 112% de 60
 TRES EN RAYA
Se necesita un tablero, una calculadora y tres fichas de un color para cada jugador. Por turno cada
jugador elige un porcentaje y un número. Averigua su valor con la calculadora y coloca una ficha en la
casilla donde se encuentra el resultado si no está ocupada. Gana el que consiga colocar sus tres
fichas en raya.
10%
30%
5%
40%
5020
3600
804
235
1506 80.4 2008
94
23.5 1080 360 1440
321.6 180 241.2 502
251 40.2 11.75 70.5
164
Iteración y recursión
 EQUIVALENCIA
Se necesita una baraja para cada equipo de cuatro alumnos. Se trata de completar familias de 4
cartas que tengan el mismo valor. Una vez repartidas las cartas, los alumnos que tengan alguna
familia completa la muestran y depositan en el centro de la mesa. A continuación, por orden, cada
alumno pide a otro la carta que necesite, para completar alguna de sus familias. Si la consigue vuelve
a pedir. Si no pasa el turno. Cuando un alumno completa una familia se descarta. Gana el primero
que consiga quedarse sin cartas.
165
Matemáticas 3º ESO
166
Iteración y recursión
167
Matemáticas 3º ESO
168
Iteración y recursión
169
Matemáticas 3º ESO
170
Iteración y recursión
 AUMENTOS PORCENTUALES
Aumentar una cantidad en un a% equivale a calcular el (100+a)% de dicha cantidad. Así, si
las reservas de agua de una comarca hace un mes eran de 260 hectómetros cúbicos y con
las últimas lluvias han aumentado un 15%, las reservas actuales son: 260 + 15% de 260 =
260 + 0,15260 = (1+0,15)260 =1,15260 = 299 hectómetros cúbicos.
Observa que aumentar 260 en un 15% equivale a multiplicar 260 por 1,15. En general,
aumentar una cantidad A en un a% equivale a multiplicar A por 1+ a/100
1) Un artículo que costaba 67 euros ha subido un 12%. ¿Cuánto cuesta ahora?
2) Cierto artículo, tras sufrir una subida del 12%, cuesta 75,04 euros. ¿Cuánto costaba antes de
la subida?
3) La paga semanal de Andrea es de 340 euros y le han prometido un aumento del 20% para la
próxima semana. ¿Cuál será su nuevo salario la semana que viene?
4) He pagado 55 céntimos por una barra de pan, lo que supone un aumento del 10% sobre el
precio que tenía ayer. ¿Cuánto costaba la barra ayer?
 DISMINUCIONES PORCENTUALES
Disminuir una cantidad en un a% equivale a calcular el (100 a)% de dicha cantidad. Así, si
en unos grandes almacenes hacen una rebaja del 15% y unos guantes tienen un precio
inicial de 20 euros, como rebajan un 15% del precio, conservarán el 100 15=85% del precio
inicial. Por tanto, el precio rebajado es: 85% de 20 = 0,8520 = 17 euros.
Observa que disminuir 20 en un 15% equivale a multiplicar 20 por 0,85. En general,
disminuir una cantidad A en un a% equivale a multiplicar A por (100 a)/100.
1) Calcula los precios rebajados (un 15%) del abrigo, de la falda y de la chaqueta que aparecen
en el escaparate de una tienda, si los precios que se marcan en el escaparate son,
respectivamente, 389 euros, 69 euros y 89 euros.
2) La camisa del escaparate de la tienda anterior, una vez rebajada (un 15%), cuesta 55,25
euros. ¿Cuál era su precio original?
3) He ido a comprar un balón que costaba 45 euros, pero me han hecho una rebaja del 12%.
¿Cuánto me ha costado el balón?
4) He pagado 17 euros por unos guantes que estaban rebajados un 15%. ¿Cuál era el precio
antes de ser rebajados?
171
Matemáticas 3º ESO
 INTERÉS SIMPLE
Si un préstamo se efectúa con un interés del 8% anual, quiere decir que:
100 euros en 1 año producen 8 euros,
500 euros en 1 año producen 8  5 = 40 euros,
100 euros en 6 meses producen 8  (1/2) = 4 euros
200 euros en 6 meses producen 8  5  0,5 = 20 euros
Si un banco ofrece un beneficio del 8% durante un año, ¿qué beneficio obtendremos si
depositamos 20000 euros durante tres meses? Para averiguarlo, hacemos el siguiente
razonamiento:
100 euros en 1 año producen 8 euros; por tanto, 20000 euros en 1 año producen 8 200.
Entonces, 20000 euros en 3 meses (=1/4 de año) producen 8200(1/4) = 400 euros.
En general, llamaremos:
CAPITAL a la cantidad prestada. Se representa por C.
TIEMPO al tiempo que dura el préstamo. Se representa por t.
RÉDITO al beneficio por 100 euros en 1 año. Se representa por r.
INTERÉS al beneficio obtenido por el préstamo. Se representa por I.
Un capital C colocado al r% anual, produce en un tiempo t un beneficio I, de forma que
Cr  t
I
100
Si el tiempo está dado en meses, entonces I 
Si el tiempo está dado en días, entonces I 
Cr  t
.
1200
Cr  t
(el año financiero consta de 360 días)
36000
1) Calcula el interés que rinden 20000 euros, colocados al 9% anual, durante un período de 7 meses.
2) Si pido un préstamo de 5000 euros, me cobran un 10% anual y devuelvo el dinero al cabo de tres
meses, ¿a cuánto ascienden los intereses que debo pagar?
3) ¿Cuánto dinero tengo que meter en un banco, que da el 6% anual, para que en dos meses me
produzca un beneficio de 300 euros?
4) ¿Qué capital producen 8000 euros colocados al 9% durante 80 días?
5) Si meto en el banco 500 euros al 7% anual, ¿cuánto tendré en la cuenta dentro de 100 días?
172
Iteración y recursión
 ¿QUÉ ES MULTIPLICAR?
¿Multiplicar es aumentar? ¿Dividir es disminuir? ¿Cómo interpretas entonces los siguientes productos
y cocientes? ¿Qué explicación es más adecuada en cada caso?
 ¿QUÉ RELACIÓN HAY?
¿Qué resulta en la calculadora cuando se hacen las siguientes operaciones?
¿Hay alguna relación entre dividir por 0’5, por 0’1 ó por 0’25 y multiplicar por otros números? ¿Cuáles
son esos números?
 ¿QUÉ NUMERO FALTA?
En la calculadora se escribe 5 y se quiere que aparezca 2’5 pulsando las teclas [] [=] una sola vez; y,
alternativamente, pulsando las teclas [+] [=] una sola vez. ¿Qué número hay que introducir en la
casilla?
La misma pregunta empezando con
1
4
17
23
21
0’1
queriendo que aparezca
100
0’5
23
17
15
0’02
¿Cómo puedes aumentar un número sin sumarle ni restarle otro? ¿Cómo puedes disminuirlo?
173
Matemáticas 3º ESO
 LAS AMEBAS
Las amebas son organismos formados por una sola célula. Cada segundo, una ameba se divide en
otras dos. Si al principio tenemos una ameba, ¿cuántas habrá al cabo de 3 segundos? ¿Y en 10
segundos? ¿Y en 20 segundos? ¿Cuánto tiempo tardará en haber más de 2000000 de amebas?
Observa que 22= 2 2 , 222= 2 3 . Estos números son potencias de 2. Por ejemplo,
5555= 5 4 es una potencia de 5.
¿Cómo escribirías con esta notación el número de amebas que habrá al cabo de 30 segundos? ¿Y al
cabo de 40 segundos? ¿Y al cabo de 50 segundos? ¿Y al cabo de un minuto?
Observa que el número 1,099511628x 1012 indica que la coma decimal debe desplazarse
hacia la derecha 12 lugares; es decir, se trata de un número de... ¡13 cifras! Esta manera de
expresar el resultado se conoce como notación científica
 RÁPIDOS Y LENTOS
La rapidez con que ocurren los fenómenos de la naturaleza es muy variada. Observa la tabla
siguiente:
SONIDO
SATÉLITE
LA TIERRA
LUZ
ESPACIO RECORRIDO EN 1 SEGUNDO
331 m
8 Km
30 Km
300000 Km
Calcula, en cada caso, el tiempo necesario para recorrer un metro. ¿Y para recorrer 1 cm?
Los números que has obtenido son pequeños para expresarlos en segundos. Puedes
utilizar unidades más apropiadas, como estas:
1 milisegundo = 10 3 segundos
1 microsegundo = 10 6 segundos.
1 nanosegundo = 10 9 segundos.
1 picosegundo = 10 12 segundos
Utiliza estas unidades para expresar los resultados anteriores.
El número 3,021148036x 10 5 indica que debe desplazarse la coma decimal cinco lugares
hacia la izquierda; es decir, se trata del número 0,00003021148036. Esta forma de
expresión se llama notación científica.
174
Iteración y recursión
 POBLACIÓN
a) Una población de 900000 personas crece en un año el 14 por mil. ¿Cuál será la población una vez
transcurrido ese año? ¿Cuál será la población dentro de 2 años? ¿Y dentro de 3 años?
b) ¿En cuánto se transforma una población de 900000 personas que crece al 14 por mil anual, al
cabo de 6 años?
c) Una población crece regularmente al 14 por mil anual y ahora es de 900000 personas. ¿Qué
población había hace un año? ¿Y hace cincos años? ¿Y hace siete?
R 

Una población actual A se transforma al R por mil anual en T años en: A  1

1000


T
Una población actual A que crece al R por mil anual era, hace T años, igual a
R 

A  1 

 1000 
T
Para determinar valores de cualquier potencia con la calculadora debes utilizar la tecla
[ X Y ]. Por ejemplo, para hallar 2 8 , debes pulsar [2] [ X Y ] [8] [=]. Si el exponente es
negativo deberás usar la tecla de cambio de signo [( )]. Así, para hallar 2 -8 , debes pulsar
[2] [ X Y ] [()] [8] [=].
175
Matemáticas 3º ESO
4. Iteración
 REPETICIONES: ITERACIÓN Y RECURSIÓN
En muchos casos la resolución de un problema exige la repetición de uno o varios pasos. A
este proceso se le llama iteración. Por ejemplo, una solución al paseo hexagonal del
problema CIRCUITOS POLÍGONALES podría ser:
Repite 6 veces
avanza en línea recta una longitud igual al lado
gira 60º a la derecha.
Es probable que en muchos de los problemas resueltos hasta ahora hayas utilizado
algoritmos iterativos. Pero no es ésta la única forma de repetir instrucciones. Muchas veces,
al descomponer un problema en subproblemas, uno de ellos análogo al problema original.
Por ejemplo, en el caso de la ESPIRAL CUADRÁTICA podríamos construir el siguiente
algoritmo:
Para dibujar una espiral de lado L
avanza en línea recta una longitud igual a L
gira 90º hacia la derecha
dibuja una espiral de lado L+5
Otro ejemplo. Un procedimiento para escribir números pares es el siguiente:
a n es el n-ésimo número par
a n+1  a n  2
Este tipo de repeticiones se llaman recursivas. El procedimiento para diseñar el siguiente
dibujo es recursivo.
176
Iteración y recursión
1) Escribe un procedimiento recursivo con el que se pueda construir el siguiente dibujo:
2) Escribe un procedimiento recursivo que permita construir las siguientes figuras:
177
Matemáticas 3º ESO
 ITERACIÓN Y RETROALIMENTACIÓN
Tomamos un cuadrado y le quitamos las esquinas del modo indicado en la siguiente figura.
Después de quitadas las esquinas quedará otro cuadrado más pequeño.
er
1 paso.
Si al cuadrado pequeño se le quitan a su vez las cuatro esquinas quedará otro cuadrado
aún más pequeño.
2º paso.
er
Se puede dar un 3 paso, y luego un 4º paso, etc.
Este proceso de iteración se puede representar mediante una máquina de
retroalimentación:
178
Iteración y recursión
El esquema de esta máquina es:
Y aún más esquemáticamente:
Lo que esta máquina está haciendo es:
f
f
f
f
x1 
 x 2  f(x1) 
 x 3  f(x 2 ) 
 x 4  f(x 3 ) 
 ...
1) ¿Qué es lo que hará esta máquina de retroalimentación?.
179
Matemáticas 3º ESO
2) Se comienza con un triángulo equilátero, se le divide en cuatro triángulos equiláteros iguales y se
quita el del centro. Se itera el proceso. He aquí lo que va ocurriendo:
Completa los dos pasos que faltan.
 CERILLAS
Observa las siguientes figuras y completa:
1
3 cerillas
5
¿cuántas cerillas?
180
2
9 cerillas
10
¿cuántas cerillas?
3
18 cerillas
15
¿cuántas cerillas?
4
30 cerillas
n
¿cuántas cerillas?
Iteración y recursión
 LAS SEIS FICHAS
Coloca seis fichas, tres de cada color, sobre un tablero como el de la figura.
El objetivo del juego consiste en intercambiar las fichas de posición: las amarillas donde están las
verdes y al revés, teniendo en cuenta que las fichas se mueven por turno hacia una casilla adyacente
que esté vacía, y el movimiento se puede hacer en vertical, horizontal y en diagonal.
¿Cuál es el mínimo número de movimientos necesarios para intercambiar las fichas?.
¿Existe una fórmula que indique el mínimo número de movimientos que tenemos que hacer según
sea el número de fichas de cada color?.

SUCESIONES
Averigua cuál es el criterio con el que se han formado las siguientes colecciones de números. Escribe
tres términos más. ¿Qué número ocupa el lugar n en cada colección?.
a) 2, 4, 6, 8, 10, ...
b) 7, 5, 3, 1, ...
c) 7’7, 6’6, 5’5, 4’4, ... d) 2, 5, 10, 17, ...
e) 1’5, 1’9, 2’3, 2’7, ...
f) 3, 6, 12, 24, ...
g) 0’2, 0’02, 0’002, ... h) 1, 1, 1, 1, ...
Una sucesión aritmética es una colección de números, en la que la diferencia entre cada
dos términos consecutivos es constante.
Ejemplo: la sucesión 3, 6, 9, 12, ... es aritmética de diferencia d=3, ya que:
Términos
3
Diferencia
6
3
9
3
12
3
15
3
Una sucesión geométrica es una colección de números, en la que el cociente entre cada
dos términos consecutivos es constante. Este cociente se llama razón de la sucesión.
Ejemplo: la sucesión 1, 3, 9, 27, ... es geométrica de razón 3, ya que:
Términos
Cociente
1
3
3
9
3
27
3
81
3
El número que ocupa el lugar n en una sucesión se llama término general. Para hallar el
término general de una sucesión conviene expresar cada término en función del anterior.
181
Matemáticas 3º ESO
Ejemplo 1: término general de la sucesión 3, 6, 9, 12, 15, ...
Lugar 1  3
Lugar 2  6=3+3=3+31
Lugar 3  9=3+6=3+32
Lugar 4  12=3+9=3+33
Lugar 5  15=3+12=3+34
...............................................
lugar n  3+3(n1)=3+3 n3=3 n
Solución:
lugar n  3 n
Ejemplo 2: término general de la sucesión 1, 3, 9, 27, ...
Lugar 1  1
Lugar 2  3=13
2
Lugar 3  9=3 3=133=13
2
3
Lugar 4  27=93=13 3=13
3
4
Lugar 5  81=273=13 3=13
......................................................
n 1
lugar n  1 3 
Solución:
lugar n  1 3
n1
 RAÍCES CUADRADAS DE NÚMEROS NATURALES
Ejemplo 1.- Cálculo de
2.
Una de las iteraciones más clásicas de las matemáticas es la que lleva mediante una
cadena de rectángulos al cálculo de 2 . Todos los rectángulos de iteración tendrán área 2.
Se empieza con un rectángulo cualquiera de área 2 y el primer paso consiste en producir
otro rectángulo uno de cuyos lados, x1, sea la semisuma de los lados del rectángulo inicial.
182
Iteración y recursión
Los lados de este segundo rectángulo serán, pues, x1 y
2
1
2
, donde x1   x 0 
x1
2
x0




El segundo, el tercero y todos los demás pasos serían del mismo carácter. Es decir, los
2
1
2 
 . La máquina iterativa que
lados del tercer rectángulo serán x 2 y
donde x 2   x1 
x2
2
x1 
va dando estos rectángulos es, por consiguiente:
Vamos a ver como funciona. Empecemos con x 0 = 30. (Es más rápido empezar con 2; pero
el valor de x0 puede ser cualquiera). El proceso es fácil de realizar con una calculadora, en
la que la máquina iterativa es la siguiente:
xn
[Mn] [INV] [1/x] [] [2] [+] [MR] [=] [] [ 0’5] [ =]
x n+1
Estos son los resultados de los diez primeros pasos:
NÚM. DE PASOS
xn
0
30
NÚM. DE DÍGITOS
CORRECTOS
0
1
15’03333333
0
2
7’583185514
0
3
3’923463459
0
4
2’216608578
0
5
1’559443931
1
6
1’420976184
2
7
1’414229654
5
8
1’414213562
10
9
1’414213562
10
10
.....................
....
Mediante esta iteración, los sucesivos rectángulos tienen una forma cada vez más
“cuadrada”. Si tenemos éxito, después de infinitas iteraciones tendremos un rectángulo en el
que los dos lados son iguales. Y como su área es 2, cada lado será 2 .
Por lo tanto, la iteración que pasa de x a
De esta igualdad resulta que 2x = x +
1
2
1
2
 x +  es tal que x =  x +  .
2
x
2
x
2
2
, o sea x = , es decir x 2  2 , de donde x = 2 .
x
x
183
Matemáticas 3º ESO
Ejemplo 2.- Cálculo de
3.
Para calcular
3 basta considerar rectángulos de área 3 y aplicar una iteración
completamente análoga.
y llegaremos a
3 porque al repetir infinitas veces el proceso iterativo obtendremos un
3
1
3
1
3
rectángulo cuadrado de lados x y  x +  , de forma que x =  x +  . Osea 2x = x + .
x
2
x
2
x
3
Luego x = . De donde x 2  3  x = 3
x
1) Utiliza este procedimiento para calcular el valor exacto de
En general, el procedimiento que sirve para calcular
consiste en considerar rectángulos de área a.
Obtenemos
3.
a siendo a cualquier número natural,
a porque al repetir infinitas veces el proceso iterativo obtendremos un
a
1
a
1
a
rectángulo cuadrado de lados x y  x +  , de forma que x =  x +  . Osea 2x = x + .




x
2
x
2
x
a
Luego x = . De donde x 2  a  x = a
x
184
Iteración y recursión
2) Utiliza este procedimiento para calcular el valor exacto de las siguientes raíces cuadradas:
5, 7 , 11, 13, 17 .
2
3) Halla el lado de un cuadrado de 37 cm de área.
4) Aplica la siguiente iteración para hallar una aproximación de
43 mediante 8 pasos.
5. Fractales

LÍNEAS DE CANTOR
Partiendo de un segmento de longitud 1, lo dividimos en tres partes iguales y eliminamos el segmento
central. De esta forma obtenemos dos segmentos como el original, pero cada uno de longitud 1/3. A
continuación repetimos el proceso con cada uno de los dos segmentos, obteniendo así cuatro
segmentos, cada uno de longitud 1/9. Y así, sucesivamente. Si repetimos el proceso indefinidamente,
obtenemos un conjunto de infinitos puntos, denominado “PEINE DE CANTOR”.
a) Escribe la sucesión de longitudes que se obtiene en cada paso. ¿Cuál es su término general?
¿Qué tipo de sucesión es?
b) Estudia la sucesión que indica el número de segmentos que compone cada uno de los pasos del
proceso.
c) El número 0,752. ¿es del conjunto de Cantor? ¿Por qué?
185
Matemáticas 3º ESO

CURVA DE KOCH
Dado un segmento de longitud 1, lo dividimos en tres partes iguales, eliminamos la central y, en su
lugar, dibujamos dos lados que formarían un triángulo equilátero con la línea quitada. Este proceso lo
volvemos a repetir indefinidamente con cada uno de los segmentos que forman la línea que surge del
paso anterior. El resultado es un fractal denominado “curva de Koch”.
a) Escribe la sucesión de longitudes que se obtiene en cada paso. ¿Cuál es el término general?
¿Qué tipo de sucesión es?
b) Estudia la sucesión que indica el número de segmentos que compone cada uno de los pasos del
proceso.

COPO DE NIEVE
Si el mismo procedimiento de la curva de Koch lo realizamos en los tres lados de un triángulo
equilátero, lo que vamos obteniendo es la curva llamada “copo de nieve” porque recuerda la forma de
un copo de nieve visto al microscopio. Supongamos que el lado del triángulo inicial mide 10
centímetros.
a) Calcula la longitud de la curva en cada uno de los pasos: 1, 2, 3, 10, 20, ...
b) ¿Podemos hacer que la curva mida medio metro? ¿Y un metro? En caso afirmativo, ¿cuántos
pasos tendremos que hacer?
c) ¿Cuál es el área que encierra la curva en el segundo paso? ¿Y en el tercero? ¿Sabrías continuar
la sucesión de las áreas? ¿De qué tipo es?
186
Iteración y recursión

TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
Partiendo de un triángulo equilátero de lado 1, unimos los puntos medios de los tres lados, con lo que
el triángulo inicial queda dividido en cuatro triángulos equiláteros. Eliminamos el triángulo central. A
continuación, repetimos el mismo proceso con cada uno de los tres triángulos equiláteros de las
esquinas. Y así, sucesivamente. La figura obtenida es un fractal, denominado “Triángulo de
Sierpinski”.
a) Si el área del triángulo inicial es A, ¿cuáles son las áreas de los sucesivos triángulos que
aparecen? ¿Cuál es el área total de figura que obtenemos al final?
b) Si el perímetro del triángulo inicial es P, escribe la sucesión de los perímetros de los triángulos
que van apareciendo. ¿Cuál es el perímetro total de la figura que obtenemos al final?
6. Recursión

PROCEDIMIENTOS RECURSIVOS
Dado un problema P que trata una información de un cierto tipo y de un cierto tamaño, el
análisis recursivo busca reducir el problema P expresando el tratamiento de la información
en términos del mismo tratamiento aplicado a una información de igual tipo pero de menor
tamaño.
Ejemplo 1.- El juego de la rayuela
Cuando el jugador está situado en una casilla determinada puede hacer dos tipos de
movimientos:
187
Matemáticas 3º ESO
m1) adelantarse una casilla si ésta última está libre.
m2) saltar sobre una casilla ocupada, para colocarse en la siguiente.
Al preguntarnos por el número de maneras de llegar a cierta casilla, lo que un análisis
recurrente hará será quedarse detenido momentáneamente en una especie de flash:
L M N
A la casilla N se puede llegar viniendo de M o viniendo de L; por lo tanto el número de
maneras de llegar a N, n(N), será igual al número de maneras de llegar a M, n(M), más el
número de maneras de llegar a L, n(L). Con lo cual no se dice cuál es el número n(N).
Para poder decir cuál es ese número hay que volver a poner en movimiento lo que se
había detenido momentáneamente:
...
J
K
L M N
y decir cuáles son n(M) y n(L); que a su vez se calcularán en virtud de sus dos casillas
respectivamente precedentes. Con lo que para poder calcular el número de maneras de
llegar a N habrá de disponerse de una base inicial sobre la que ir construyendo en
sentido inverso los números; así: siendo 1 y 1 los números de las dos primeras casillas,
se pueden llenar las casillas siguientes, en virtud de la ley recursiva que caracteriza todo
el proceso:
1
1
2
3
5
8 13 21
...
Este proceso admite una representación en forma de árbol binario:
188
Iteración y recursión
Desde I se puede llegar a J de 1 manera
a K de 2 maneras
a L de 3 maneras
a M de 5 maneras
... ... ... ... ...
Ejemplo 2.- Ordenaciones de 3 y 4 elementos
Un procedimiento no recursivo para ordenar los elementos A, B, C, D no emplea las
anteriores ordenaciones (de menor tamaño) de A, B, C, como se indica en el siguiente
esquema:
Ordenar 3
A
A
B
B
C
C
B
C
A
C
A
B
C
B
C
A
B
A
Ordenar 4
A
A
A
A
A
A
B
B
B
...
B
B
C
C
D
D
A
A
C
...
C
D
B
D
B
C
C
D
A
...
D
C
D
B
C
B
D
C
D
...
Mientras que el procedimiento recursivo lo haría así:
Si tuviese los de 3
A
A
B
...
B
C
A
...
C
B
C
...
los de 4 serían
A
A
A
D
B
B
D
A
C
D
B
B
D
C
C
C
A C B D
A C D B
... ... ... ...
Ejemplo 3.- Palabras palíndromas
Una definición no recursiva de palabra palíndroma es: aquella palabra que se lee igual de
derecha a izquierda que de izquierda a derecha; por ejemplo, SANAS. Una definición
recursiva es: una palabra es palíndroma cuando la palabra que resulta de suprimir las dos
letras de los extremos es también palíndroma. (Aquí aparece con claridad por qué las
definiciones o los algoritmos recursivos necesitan una base inicial, que en este caso sería:
toda palabra de una letra es palíndroma; y una palabra de dos letras es palíndroma si las
dos letras son iguales.
Ejemplo 4.- La letra Y
189
Matemáticas 3º ESO

LA HORMIGA
Imagina que una hormiga está en el punto O y ha de llegar al punto P, con la condición de caminar
solamente hacia el este y hacia el sur. ¿Cuántos caminos posibles hay?.
En cuanto te pongas a contarlos verás que hay un montón. ¿No podrías elaborar un algoritmo que te
permitiera saber cuántos hay?. Ese algoritmo, ¿te permitiría saber también cuántos caminos hay de O
a A?.
De O a P hay 12870 caminos, así que necesitas realmente encontrar un algoritmo para resolver el
problema.

HOJAS DIN-A
Toma algunas de las hojas de que dispongas (cuarillas, folios, holandesas, ...). Mide, en cada caso, el
lado menor y el mayor y anota el cociente. ¿Qué hojas te gustan más?.
Cuando se quiere producir un libro o un cuaderno, hay que tener en cuenta varios factores relativos a
las dimensiones de sus hojas: que sean de tamaño cómodo o manejable, o estéticamente atractivo, o
económicamente ventajoso.
Como sabes, el papel se fabrica en grandes planchas y luego se corta con una guillotina para hacer
hojas del tamaño deseado. Si se toma una plancha de papel para hacer hojas que sean todas del
mismo tamaño, una de las cosas que hay que considerar es cuál es el tamaño con el que se
desperdicia menos papel. Naturalmente eso dependerá de dos cosas: de las dimensiones de la
plancha y de las hojas que se quieran producir. Hay un modo de no desperdiciar nada de papel y está
basado en una idea recursiva: consiste en fabricar la plancha de papel de manera que al ir
doblándola una y otra vez, después de cada doblez el resultado tenga la misma forma que el original.
El tamaño más pequeño que se utiliza (tipo cuartilla) se llama DIN-A5; el folio (doble que la cuartilla),
DIN-A4; el de tamaño doble que el folio, DIN-A3; y así sucesivamente.
190
Iteración y recursión
El algoritmo es, como puedes observar, muy sencillo. La pregunta no es acerca del algoritmo, sino del
papel. Tras cada paso cambia el tamaño del papel, pero se mantiene la forma de los rectángulos: la
relación entre el lado pequeño y el grande es siempre la misma. ¿Cuál es esa relación numérica?.
¿Cómo puedes construir un rectángulo de la forma DIN-A?.

RECTÁNGULOS CURIOSOS
Un rectángulo DIN-A es tal que al partirlo por la mitad, obtenemos dos rectángulos
semejantes al original.
Si el rectángulo (1, X) es DIN-A, entonces su mitad, esto es (1, X/2) es semejante al
original. Por lo tanto se cumple
1 x2
x2


 1  x 2  2  x = 2 . En consecuencia, las dimensiones del rectángulo
x
1
2

DIN-A son 1,

2 .
El rectángulo DIN-A hace pensar en otros. Si hay rectángulos que al doblarlos por su mitad
dan otro rectángulo de la misma forma, ¿habrá rectángulos que al doblarlos en tres partes
iguales, cada una de éstas tenga la misma forma que el original?. Sí que los hay:
191
Matemáticas 3º ESO

h
1

 h 2  3  h = 3 . Por lo tanto, los lados del rectángulo son 1,
1 h3

3 .
a) ¿Hay rectángulos que al doblarlos en cuatro, cada uno de éstos tenga la misma forma que el
original?. ¿Cuáles son sus dimensiones?.
b) Averigua si es posible encontrar rectángulos tales que al dividirlos en cinco partes iguales, cada
uno de los rectángulos resultantes sea semejante al original. ¿Cuáles son sus dimensiones?.
c) ¿Cuáles serán las dimensiones de un rectángulo tal que al doblarlo en n partes iguales, cada uno
de los rectángulos resultantes son semejantes al original?.

RECTÁNGULO ÁUREO
Un rectángulo es áureo cuando, una vez quitado de él el cuadrado construido sobre el lado
menor, el rectángulo resultante también es áureo. Esto es, el rectángulo ABCD es áureo si
el rectángulo MBCN también lo es.
Como los rectángulos ABCD y MBCN son semejantes, debe cumplirse
a2  a 1 = 0 .
192
1 a -1

. De donde:
a
1
Iteración y recursión
5 1
 1618
'
es solución de esta ecuación. Este número se llama
2
número de oro o número de la naturaleza.
1) Comprueba que el número  =
Un rectángulo es áureo si el cociente entre sus dimensiones (lado mayor / lado menor) es
igual al número de oro.
Observa que el número de oro cumple la condición
1
   1 , o bien,

  1
1
, que es

una expresión recursiva.
2) Averigua cuáles de los siguientes rectángulos son áureos.
193
Matemáticas 3º ESO

FRACCIONES CONTÍNUAS
La expresión recursiva del número de oro,   1 
1
, permite realizar una iteración como la

siguiente:
  1
1
 1

1
1
1

1
 1
1
1
1
1
 1
1
1

1
1
 1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1

Con lo que el número de oro  viene caracterizado por los números encerrados en los
círculos, esto es   1, 1, 1, 1, 1, ... .
Expresar un número y en la forma y = x 1 
1
x2 
es expresarlo en
1
x3 
fracción continua: y =  x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , ... .
1
x4 
1
x5 
1
x 6  ...
¿Qué diferencia hay entre expresar un número en forma decimal y expresarlo en fracción
continua?. ¿Pueden las fracciones continuas revelar alguna diferencia entre el carácter de
un número racional, p / q y las raíces cuadradas de los números naturales, a ?.
Ejemplo 1.- Halla la fracción continua asociada a
57
.
13
57
5
1
1
1
1
1
1
 4
 4
 4
 4
 4
 4
 4
13
3
1
1
1
1
13
13
2
2
2
2
2
5
2
1
1
5
5
1
1
1
3
1
3
3
1
2
2
Por lo tanto,
54
  4, 2, 1, 1, 2 .
13
54
que tiene una expresión decimal infinita y periódica se puede expresar
13
mediante un número finito de dígitos, mediante una fracción continua finita.
El número
Este resultado es cierto con cualquier número racional, porque el procedimiento iterativo
que consiste en ir separando partes enteras es, necesariamente, finito.
En efecto, al poner p q en la forma p q   parte entera de p q  m q , m es menor que q. Así
que por grande que sea q, la iteración se detiene en algún momento.
194
Iteración y recursión
Ejemplo 2.- Halla la fracción continua asociada a
2.
Si aplicamos la misma idea de ir separando partes enteras, tendremos
si aplicamos también la segunda idea, la que consistía en poner
1
1
2  1
2  1


2 1 y
5
1
, tendremos

13 13
5
. ¿Y ahora?.
2 1
Buscamos una relación recursiva en la iteración racionalizando el último denominador:
Para ello usaremos que  a + b   a  b  a 2  b 2 , expresión que estudiaremos en el tema
GENERALIZACIÓN.
1
2 1

1



2 1

2 1 
2 1

  2
2 1
2
2

1
2 1

2 1
2 1
 2 1.
1
Por lo tanto, se cumple:
2  1


1
1
2  1  1
 1
1
2 1
 separando parte entera = 1+
2 1
1+

1

2 1 1
 1
2

1

2 1
Ya hemos encontrado la recurrencia. Por lo tanto:
2  1
2

1

2 1
1
 1
1
2
1
2
2
1
2  ...
Por lo tanto,
2 , cuya expresión decimal es infinita no periódica, tiene una expresión en
fracción continua infinita pero periódica: 2  1, 2, 2, 2, 2, 2, ...
Las raíces cuadradas de números naturales tienen asociada una fracción continua
infinita periódica.
a) Halla las fracciones
73 23 123 234
,
,
,
.
11 8
29
63
continuas
asociadas
b) Halla las fracciones continuas asociadas a
a
los
siguientes
números
racionales:
3y 5.
195
Matemáticas 3º ESO

TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS
Estudia geométrica y numéricamente el proceso indicado en la siguiente figura:
196