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7 Sistemas de inecuaciones
A veces, nos podemos encontrar con situaciones en que necesitamos obtener
los valores que cumplan más de una inecuación a la vez.
Consideramos, por ejemplo, un número tal que:
• Si a su doble le añadimos el propio número, obtenemos un número mayor
que 6.
MUCHO OJO 9
Para indicar que un valor x cumple las condiciones:
•x>2
• Si a su doble le sustraemos el propio número, obtenemos un número menor
que 6.
Al representar por x cualquier número que cumpla estas dos condiciones,
obtenemos dos inecuaciones que deben cumplirse a la vez:
2 x + x > 6 ⎫⎪
⎬
2 x − x < 6 ⎭⎪
•x<6
podemos escribir:
2<x<6
Este conjunto está formado por dos inecuaciones, con una sola incógnita,
cuyo máximo exponente es 1. Es un sistema de inecuaciones de primer grado
con una incógnita.
Ë
Llamamos sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita a un conjunto de dos o más inecuaciones que deben verificarse
a la vez para los mismos valores de la incógnita. Estos valores son
las soluciones del sistema.
Las inecuaciones del ejemplo son, respectivamente, equivalentes a las siguientes:
3 x > 6 ⎫⎪
⎬
x < 6 ⎭⎪
⇔
x > 2 ⎫⎪
⎬
x < 6 ⎪⎭
Así, las soluciones del sistema son los números reales mayores que 2 y menores que 6. Por lo tanto, el conjunto solución del sistema es S = (2, 6).
§
Actividades
50 Indica cuáles de estos números, 3, 5, 9, 2 ó −10, son solución de cada uno de
los sistemas de inecuaciones siguientes.
Distribución gratuita - Prohibida la venta
a)
164
x + 3 > 6 ⎫⎪
⎬
3 x − 4 < x ⎭⎪
b) x > x + 6 ⎫⎪
⎬
2 x − 5 ≤ x ⎭⎪
c) x + 5 > −2 x ⎫⎪
⎬
−2 − x < 9 ⎭⎪
d)
4x − 5 ≥ 3x − 2 ⎫
⎪
⎬
5 + 5x
3x
>
− 1⎪
4
2
⎭
51 Transforma estas inecuaciones en un sistema de inecuaciones.
1
≤ 3x − 2 < 1
c)
a) − 4 ≤ 3x + 1 < 7
3
b) − 1 ≤ 2x + 1 ≤ 3
1
x−2
<
≤1
d)
4
5
Resolución
Resolver un sistema de dos o más inecuaciones consiste en encontrar los valores de la incógnita que verifiquen a la vez todas las inecuaciones.
En la siguiente tabla mostramos el procedimiento para resolver sistemas de
inecuaciones de primer grado con una incógnita.
Procedimiento
2 x − 3 ≤ 5 x + 9 ⎫⎪
⎬
3 x + 1 < 2 x + 7 ⎭⎪
Ejemplo:
Primera inecuación
Segunda inecuación
2x − 3 ≤ 5x + 9
3x + 1 < 2x + 7
2x − 5x ≤ 9 + 3
3x − 2x < 7 − 1
− 3x ≤ 12 ⇒ x ≥ − 4
S1 = [− 4, + ∞)
x<6
Resolvemos cada inecuación por separado.
S2 = (− ∞, 6)
Representamos en la misma recta el conjunto solución de cada inecuación.
Las soluciones comunes son los números reales mayores o iguales que − 4 y menores que 6: − 4 ≤ x < 6
Determinamos las soluciones comunes a las
inecuaciones.
S = [− 4, 6)
Cuando no hay ningún valor que verifique a la vez todas las inecuaciones del sistema, decimos que no tiene solución. Observa el siguiente ejemplo.
ejemplo 18
5 x − 1 ≥ 2 ( 4 + x ) ⎫⎪
⎬
2 x − 3 < 6 − 7 x ⎭⎪
— Resolvemos cada inecuación por separado.
Primera inecuación
Segunda inecuación
5x − 1 ≥ 8 + 2x
2x − 3 < 6 − 7x
5x − 2x ≥ 8 + 1
2x + 7x < 6 + 3
3x ≥ 9
9x < 9
x≥3
x<1
S1 = [3, + ∞)
S2 = (− ∞, 1)
— Representamos en la misma recta el conjunto solución
de cada inecuación.
1
3
— Determinamos las soluciones comunes a las dos inecuaciones.
Como no existen números que a la vez sean solución de las
dos inecuaciones, el sistema no tiene solución. Así, el conjunto solución es el conjunto vacío: S = ∅.
§
Actividades
52 Resuelve estos sistemas de ecuaciones de primer grado con una incógnita.
⎫⎪
a) x ≥ 5
⎬
3 ( x −1) < 2 x + 4 ⎪⎭
c) 3 ( x − 2) − ( x + 1) ≥ 3 ⎫⎪
⎬
2x −1≤ 5x − 7
⎪⎭
⎫⎪
b) x + 3 > −2
⎬
5 x − 3 ≤ 7 x + 9 ⎪⎭
d) 3 < 2 x + 1 ≤ 5
e) x + 3 > x − 5
2
3
4x
≤ 2x +1
5
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
Distribución gratuita - Prohibida la venta
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones:
165