Download TEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA - 2

1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
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TEMAS 1 y 3.- NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA - 2
1.- LOGARITMOS (Págs 34, 35, 36 y 44)
4) log 1 = 0
a
Logaritmo de un número
x
5) log a = 1
a
Considera la ecuación 2 = 6.
6) Logaritmo del producto: log (P.Q) = log P
a
a
La solución de esta ecuación se llama el
logaritmo, en base 2, de 6 y se escribe así: log 6
2
+
log Q
a
P
7) Logaritmo del cociente: log   = log P - log Q
a Q
a
a


En general, si a > 0 , a ≠ 1 , la solución de la
x
ecuación a = N se llama el logaritmo, en base a, de N y
8) Logaritmo de una potencia: log P
a
n
= n . log P
a
se escribe: log N
a
loga P
9) Logaritmo de una raíz: loga n P =
n
Si la base es 10, entonces log
N se escribe simplemente
10
como log N y se llama logaritmo decimal de N
Si la base es el número e = 2,7182….., entonces log N se
e
llama logaritmo neperiano de N y se escribe simplemente
como ln N
10) Fórmula de cambio de base:
En particular, para b = 10 →
Para b = e (número e)
Propiedades de los logaritmos
1) log N = x
a
2) log P = log Q
a
a
log N
log N =
a
log a
.
ln N
→ log N =
a
ln a
Cualquiera de estas dos últimas fórmulas nos permite hallar el
logaritmo en base a de un número usando la calculadora científica
x
⇔
log b N
log N =
a
log b a
a =N
Ejercicios
⇔ P=Q
Pág. 36 : El 1, 3 y 4
3) Si N ≤ 0 , entonces no se puede calcular el log N
a
Pág. 48: El 49, 50, 52, 54, 55 y 57
2.- ECUACIONES (Págs. 75, 76, 77, 78, 79, 87, 88 y 89)
2.1.- Ecuaciones reducibles a primer o 2º grado
mediante operaciones
Para resolverlas, se realizan las operaciones que aparecen y
luego se resuelve la ecuación de primer o segundo grado
que resulte.
Ejercicios
Pág. 92: El 7 c) y 8 d) e)
2.3.- Ecuaciones de grado superior a 2
Son ecuaciones del tipo P(x) = 0 , siendo P(x) un polinomio de
grado superior a 2.
Para resolverlas, se factoriza el polinomio.
De esta forma, nos queda una ecuación factorizada, que se
resuelve igualando a 0 cada factor
Pág. 93: El 9 a)
Ejercicio
2.2.- Ecuaciones bicuadradas
4
Pág. 92: El 3
2
Son ecuaciones del tipo ax + bx + c = 0
4
2
Después se hace el cambio x = y , y nos queda la
2.4.- Ecuaciones con radicales
2 2
Para resolver este tipo de ecuaciones ponemos x = (x ) ,
quedando entonces la ecuación de la forma
2 2
2
a(x ) + bx + c = 0.
Son ecuaciones que llevan alguna incógnita dentro de una raíz.
Para resolverlas, se aísla la raíz y después se elevan los dos
miembros de la ecuación al índice del radical.
2
ecuación de 2º grado ay + by + c = 0.
Resolvemos la ecuación y obtenemos el valor de y.
Por último, hallamos x calculando la raíz cuadrada
En este tipo de ecuaciones es necesario comprobar que los
valores obtenidos de la resolución cumplen la ecuación inicial.
Ejercicios
Ejercicios
Pág.76: El 3 a) c) d)
Pág.93: El 10 y 11
-1-
Pág. 93: El 12 a) b) c)
y 13 b)
1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2.5.- Ecuaciones racionales
Son ecuaciones que llevan x en el denominador.
Para resolverlas, se factorizan los denominadores y se
multiplica toda la ecuación por su MCM.
De esta forma se llega a una ecuación sin denominadores.
En este tipo de ecuaciones es necesario comprobar que los
valores obtenidos de la resolución cumplen la ecuación
inicial.
2.6.- Ecuaciones exponenciales
Son ecuaciones en las que la incógnita está en el exponente.
En este tipo de ecuaciones, podemos usar la equivalencia
X
Y
a =a
↔ X=Y
Esta propiedad nos permite resolver la ecuación.
También, en algunas ocasiones, es necesario hacer un cambio
similar al que se hace en las ecuaciones bicuadradas
Ejercicios
Pág. 79: El 7
Pág. 93: El 15
Pág. 94: El 17
Ejercicios
Pág.77: El 6
2.7.- Ecuaciones logarítmicas
Pág. 93: El 14
Son ecuaciones con alguna incógnita en el logaritmo.
En las ecuaciones logarítmicas podemos usar la equivalencia
log (X) = log (Y)
a
a
↔X=Y
En este tipo de ecuaciones es necesario comprobar que los
valores obtenidos de la resolución cumplen la ecuación inicial.
Ejercicios
Pág. 94: El 18 y 19
3.- SISTEMAS DE ECUACIONES (Págs. 80, 81, 82, 83, 84, 90 y 91)
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de 2 o más
ecuaciones.
- Ninguna solución (sistema incompatible)
En la resolución de sistemas, usaremos los siguientes métodos:
Resolver un sistema es averiguar el valor de las incógnitas
para que se cumplan todas las ecuaciones a la vez.
Método de sustitución: Consiste en despejar una incógnita en
una ecuación y sustituirla en la otra ecuación.
Los sistemas pueden ser lineales o no lineales.
Son lineales cuando todas sus ecuaciones son lineales.
Recuerda que una ecuación lineal es aquella que se puede
escribir de la forma ax + by = c .
Método de igualación: Consiste en despejar la misma incógnita
en las 2 ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.
Método de Gauss o de reducción: Consiste en buscar otro
sistema equivalente en el que cada ecuación tenga al menos una
incógnita menos que la ecuación anterior.
Por ejemplo, 3x – 2y = 5 es una ecuación lineal
De esta forma, se llega a un sistema escalonado que se resuelve
fácilmente empezando a despejar por la última ecuación.
Un sistema lineal puede tener:
- Solución única (sistema compatible determinado)
- Infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado)
Ejercicios
Pág. 82: El 1
Pág.94: El 20, 21, 22 y 23
Pág. 95: El 27
4.- INTERVALOS Y ENTORNOS (Págs 29, 30 y 43)
Los intervalos son segmentos o semirrectas de la recta real.
Segmentos
- Intervalo abierto (a,b) está formado por los números
reales x comprendidos entre a y b, excluidos a y b.
Se expresa por a < x < b.
- Intervalo cerrado [a,b] está formado por los números
reales x comprendidos entre a y b, incluidos a y b.
Se expresa por a ≤ x ≤ b.
Análogamente, el intervalo [a,b) se expresa a ≤ x < b. y
el intervalo (a,b] se expresa por a < x ≤ b
Semirrectas
- Semirrecta abierta (a, ∞) está formada por los números
reales x mayores que a, excluido a. Se expresa por a < x .
- Semirrecta cerrada [a, ∞) está formada por los números
reales x mayores o iguales que a, incluido a.
Se expresa por a ≤ x .
Análogamente, la semirrecta (- ∞,b) se expresa x < b
semirrecta (- ∞,b] se expresa por x ≤ b
-2-
y la
1º Bachillerato – Matemáticas I Dpto de Matemáticas- I.E.S. Montes Orientales (Iznalloz)-Curso 2011/2012
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Unión de intervalos: Es el conjunto formado por dos o
más intervalos. Para la unión usamos el símbolo U
Por ejemplo, [3,5) U (7, ∞)
4) | X | > a ↔ X < -a
ó
X > a. Por ejemplo:
| x | > 3 ↔ x < -3 ó x > 3, es decir, (-∞,-3) U (3, ∞)
Intersección de intervalos: Es el conjunto formado por
los puntos comunes a dos o más intervalos.
Para la intersección usamos el símbolo
Por ejemplo, [3,5)
∩
5) | X | ≥ a ↔ X ≤ -a
| x | ≥ 3 ↔ X ≤ -3
ó
ó
X ≥ a. Por ejemplo:
X ≥ 3, es decir, (-∞,-3 ] U [ 3, ∞)
∩ (4, ∞)
Entornos de la recta
Conjuntos expresados mediante valor absoluto
Se llama entorno abierto de centro a y radio r al intervalo
(a – r , a + r)
Sea a > 0
1) | X | = a ↔ X = ± a. Por ejemplo, | x | = 3 ↔ x = ± 3
Si entran los extremos del intervalo, el entorno se llama entorno
cerrado.
2) | X | < a ↔ -a < X < a . Por ejemplo:
Los entornos reducidos son aquellos en los que se excluye el
centro del entorno, es decir, (a - r , a + r) – {a}
| x | < 3 ↔ -3 < x < 3 , es decir, el intervalo (-3,3)
Por ejemplo, el entorno abierto de centro 5 y radio 2 es
(5 – 2 , 5 + 2) = (3,7)
3) | X | ≤ a ↔ -a ≤ X ≤ a . Por ejemplo:
Ejercicios
| X | ≤ 3 ↔ -3 ≤ X ≤ 3 , es decir, el intervalo (-3,3)
Pág. 29: El 3 y 4
Pág. 47: El 40, 41, 42, 45, 46 y 47
5.- INECUACIONES (Págs. 85 y 86)
Una inecuación es una desigualdad en la que hay alguna
incógnita.
Por ejemplo, x – 1 < 5 es una inecuación.
Resolver una inecuación es averiguar los valores de la
incógnita para que se cumpla la desigualdad.
Inecuaciones de primer grado con 1 incógnita
Se resuelven usando las mismas reglas que en las ecuaciones,
salvo que, al despejar x, si el número que multiplica a x es
negativo tenemos que cambiar el sentido a la desigualdad
Para resolver inecuaciones podemos usar las siguientes
propiedades:
1) En una inecuación podemos pasar términos de un
miembro a otro cambiándoles de signo
2) Si en una inecuación se multiplican o dividen los dos
miembros por un número positivo, la desigualdad mantiene
el sentido
2
x
Ejemplos: 3x < 2 → x <
,
≥ 3 → x ≥ 15
3
5
3) Si en una inecuación se multiplican o dividen los dos
miembros por un número negativo, la desigualdad cambia
de sentido
−2
Ejemplos: - 3x < 2 → x >
,
- x < 2 → x > -2
3
Sistemas de inecuaciones con 1 incógnita
Se resuelve cada inecuación por separado y después se buscan
las soluciones comunes a todas las inecuaciones del sistema
Resolución gráfica de inecuaciones de primer y 2º grado
con 1 incógnita
Se pueden resolver representando la recta o parábola, según el
caso.
De esta forma, se averiguan los valores del eje X que cumplen la
inecuación
Ejercicios
Pág.95: El 28, 29, 30 y 31
6.- PROBLEMAS CON ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS
Para resolver un problema es aconsejable:
- Leer el enunciado hasta comprenderlo
- Elegir las incógnitas y escribir los datos
- Encontrar la ecuación, inecuación o sistema que relaciona
los datos y las incógnitas
- Resolver la ecuación, inecuación o sistema
- Comprobar las soluciones
Ejercicios
Pág.95: El 33, 37, 38 y 40
-3-