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Curso:
Fortalecimiento del pensamiento
matemático en los alumnos de
primer grado de secundaria
GUÍA DEL PARTICIPANTE
El curso Fortalecimiento del pensamiento matemático en los alumnos de primer grado de secundaria fue
elaborado por la Universidad Nacional Autónoma de México, en colaboración con la Dirección General de Formación
Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE
MÉXICO
Mtro. Alonso Lujambio Irazábal
Secretario de Educación Pública
Dr. José Narro Robles
Rector
Mtro. José Fernando González Sánchez
Subsecretario de Educación Básica
Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro
Secretario General
Lic. Leticia Gutiérrez Corona
Directora General de Formación
Continua de Maestros en Servicio
Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez
Secretaria de Desarrollo Institucional
Dra. Jessica Baños Poo
Directora de Desarrollo Académico
Dr. Ramón Peralta y Fabi
Director de la Facultad de Ciencias
Coordinación General
Lic. Leticia Gutiérrez Corona
Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez
Coordinación Académica
Dra. Jessica Baños Poo
Dr. Jesús Polito Olvera
Ing. Alma Lucia Hernández Pérez
Dr. Alfredo Arnaud Bobadilla
M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza
Autores
Dr. Fernando Brambila Paz
Lic. Gabriel Gutiérrez García
Dr. Carlos Hernández Garciadiego
M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza
Lic. Rosario Santillán Baltazar
Revisión
Lic. Martha Leticia Hernández Arrieta
Dr. Fernando Brambila Paz
M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza
Diseño de Portada
LDG Ricardo Muciño Mendoza
Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos
provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos,
electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa
deberá ser sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente.
D.R.© Secretaría de Educación Pública, 2009
Argentina 28, Colonia Centro,
06020, México, D.F.
ISBN En trámite
PREFACIO
Un indicador del desarrollo de un país es el nivel de conocimiento matemático que
tiene. A mayor dominio de las matemáticas, mayor es su desarrollo. Por otro lado
tenemos que la manera en la que se han enseñado las matemáticas en México hace
que gran parte de la población deciden hacer en la vida, algo en lo que ellos piensan
que no tiene que hacer matemáticas.
El enfoque a nivel secundaria durante los últimos 40 años, ha sido alrededor del
concepto abstracto del álgebra, su mecanización, ecuaciones de primer grado,
segundo grado y ecuaciones simultáneas. Por el lado de la geometría, localización de
puntos, vectores, rectas y raíces de la ecuación de segundo grado.
Con esta manera de enseñar la matemática obtenemos estudiantes que desconocen
cómo usar estas herramientas a problemas reales y cotidianos. Que no ven la
conexión entre el álgebra y la geometría. Solo usan un concepto por problema y no
saben combinar razonamiento y conceptos para resolverlo. Esto es; el aprendizaje
matemático se queda inconcluso. Gran parte de la población decide hacer en la vida
En este libro pretendemos profundizar en el razonamiento matemático, ver con más
claridad la analogía entre el álgebra y la geometría, hacer generalizaciones,
aplicaciones a problemas de los conceptos que se van estudiando. Incluir el uso de la
probabilidad, estadística, azar. Ver la belleza y la fuerza de las matemáticas.
Los resultados de los exámenes de ENLACE y de PISA muestran que por regiones del
país se tiene mejor dominio del Álgebra o de la Geometría. Pero en general, los
alumnos en México tienen deficiencias en resolver problemas reales, usar dos o más
conceptos para resolverlo.
Un efecto esperado de este libro es el de quitar el miedo por las matemáticas, ver su
belleza, ver su importancia para resolver problemas de la vida cotidiana y finalmente
lograr un mayor desarrollo para México.
Unidad I. Razonamiento
Diversas estrategias para resolver problemas usando dibujos,
aritmética, álgebra, geometría o simplemente un razonamiento lógico.
Se incluyen sucesiones de números y de figuras y problemas
geométricos que involucren mediatrices y bisectrices.
1
Introducción
En esta unidad empezaremos a trabajar con problemas de sucesiones en los
cuales en el primero se plantea un problema de ahorro de dinero seguido de dos
problemas de sucesiones de figuras geométricas. Después planteamos problemas
que se relacionan con la vida cotidiana, donde se utiliza el concepto de
porcentajes relacionado con los descuentos en el precio de cierto artículo.
Veremos cómo construir geométricamente la raíz cuadrada de un número entero y
algunos otros problemas geométricos y sus aplicaciones.
Problemas de sucesiones
Pedro ha decidido juntar $1050.00 para comprar un juguete, su papá le da 50
pesos y su mamá tan sólo le da $25 de domingo. Si decide juntar sus domingos.
¿En cuántas semanas tendrá su juego?________________________________.
Solución:
1ra. Semana
es decir, tiene $75 pesos.
2da. Semana
es decir, tiene $150 pesos.
Observemos que nos queda la siguiente sucesión que representa el ahorro:
Sucesión de Ahorro
$75 , $150 , $225 , ….
Semana
Lo que queda preguntarnos es ¿cuándo 75
1050? viendo a
como semanas.
Es decir, qué número multiplicado por 75 nos da 1050, o bien el número
2
1050
75
14.
Como Pedro es un poco desesperado, ha encontrado otra forma de obtener el
dinero para su juguete. Piensa que si va con sus tíos a pedirles $15 de domingo,
lo puede hacer de la siguiente manera: a su tío Javier le pide en 1ª, 2ª, 3ª, …
semanas, a su tío Jorge le pide en 2ª, 3ª,4ª, … semanas, a su tío Felipe le pide en
3ª, 4ª, 5ª,... semana, y así sucesivamente, pensemos que tiene suficientes tíos
para que cada semana pueda pedirle a un tío más hasta completar para el
juguete..
¿Cuántas semanas tendrán que transcurrir para que Pedro tenga su juego?_____
Solución:
1ª Semana: tiene $90.
á
2ª Semana:
tiene $150
$45
$195.
á
3
3ª Semana: ¿tiene?
á
Como cada semana, cuando le dan dinero sus tíos, siempre le dan una moneda
de $10 y una de $5, puede contar el dinero que le dan sus tíos de la siguiente
manera:
Supongamos que las monedas de $10 que le dan sus tío(s) cada semana, las
representamos con bolas negras.
1ª semana tendrá $10
2ª semana tendrá $10
3ª semana tendrá $10
$10.
$30.
$60.
Lo mismo sucede con las monedas de $5 que le dan sus tíos, si representamos
ahora las monedas de $5 con las bolas grises en la tercera semana tendrá 6
monedas de $5 que son $30.
4
Pero como el número de monedas de $10 y de $5 son las mismas se pueden
juntar las cuentas como sigue:
$10
3 4
2
$5
$15
3 4
2
$90.
$90
$315.
Lo que tiene Pedro para la tercera semana es:
3 $75
$15
á
$225
í
Ejercicios
1. ¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 5ª semana si decide pedir a sus
tíos domingo?________________________.
2. ¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 7ª semana si decide pedir a sus
tíos domingo?________________________.
3. ¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 8ª semana si decide pedir a sus
tíos domingo?________________________.
4. ¿Cuánto reducirá Pedro el tiempo de ahorro si decide pedir a sus tíos
Aprendizaje:
Si se tiene una cantidad fija
y se forma la sucesión p , 2p , 3p , . . ., es muy fácil dar
el -ésimo término, pues este es
.
Representemos lo anterior con figuras:
Para
1:
para
2:
5
Veamos otro ejemplo:
Si la cantidad aumentada ya no es fija, pero tiene un cierto comportamiento como
el siguiente:
El número de figuras que aparecen en la siguiente sucesión es: 1, 3, 6, 10,
Sucesión de figuras
,
Término
1
,
,
2
3
1,
Número de triángulos
3,
4
6,
10
En el caso general si se tiene la sucesión 1, 3, 6, 10, …, cualquier término se puede
obtener con la fórmula:
1
2
donde
,
es el número del término. Por ejemplo si queremos saber cuántas figuras
aparecerán en el octavo término, basta con poner
8 y el número de triángulos
que tendremos es:
8 9
2
36.
Pero no todo termina aquí, pues se pueden hacer más modificaciones a las dos
sucesiones anteriores.
Ejemplo:
Si se tiene la sucesión:
8, 1, 6, 13, …, observemos que:
Veamos que para obtener el 2º término que es
obtener el 3º término a partir del primero
que es
1, calculamos
1
7
8
1, hacemos
8
7
1, para
2 7 o bien a partir del 2º término
6.
6
Si de ésta sucesión se quiere saber el término 30, hay que aumentar 29 sietes al
número
8 que es el primer término de la sucesión. Es decir,
8
29 7
195.
También es importante resaltar que en lugar de ir aumentando la cantidad fija se
puede ir disminuyendo.
Ejemplo:
Si Diego decide comprar una televisión de $5000 dando un enganche de $750 y
$250 quincenalmente, ¿Cuánto habrá pagado Diego dentro de 6 meses?
Solución:
La sucesión que tenemos es:
Como 6 meses tienen 12 quincenas, entonces 4250
12
250
1250.
Ejercicio
1. ¿Cuándo terminará de pagar Diego la televisión?
2. Hacer 2 ejercicios que tenga que ver con una sucesión, donde en una vaya
aumentando y la otra disminuyendo.
Lo mismo puede suceder con sucesiones de figuras. Veamos algunos ejemplos.
Sucesión
Término
Podemos hacer muchas preguntas con respecto a ésta sucesión, por ejemplo:
•
¿Cuál es la siguiente figura? lo cual es muy fácil resolver, pues podemos
dividir los sectores sombreados de la primera figura como sigue:
7
El sector 1 se moverá a partir del 2º término cada 3
términos, por lo que la siguiente figura es:
3
•
2
1
¿En qué término, la figura regresa a la posición inicial?
Ésta se puede separar en tres sucesiones: la sucesión del sector 1, la del
sector 2 y la del sector 3, es decir:
Sucesión
Sector 1
Término
1º
2º
3º
Observemos que a partir del 2º término el sector 1 se mueve una posición
cada 3 términos y como hay que mover 7 posiciones a partir del 2º término
el sector 1, para que regrese a la posición original, entonces esto sucede en
el 2
7 3
23º término.
8
Sucesión
Sector 2
Término
1º
2º
3º
Observemos que a partir del 3º término el sector 2 se mueve dos posiciones
cada 3 términos y como hay que moverlo 3 posiciones a partir del 3º
término, para que vuelva a quedar en la posición original, entonces esto
sucede en el 3
Sucesión
3 3
12º término.
3
,
,
3
3
Sector 3
Término
4
7
10
1º
2º
3º
El tercer sector se mueve de tres en tres, en el tiempo 4, está en la posición
4, el tiempo 7 está en la posición 7, pero como el círculo está dividido en 8
sectores, si a partir de la posición 7 se mueve 3 posiciones, llega a la
posición 2.
La siguiente tabla muestra las posiciones que tiene el sector en cada
tiempo.
Tiempo
4 7 10 13 16 19 22 25
Posición 4 7 2
5
8
3
6
1
Así que en el término 25º regresa a la posición original.
9
Tenemos que encontrar ahora el mínimo común múltiplo de 23, 12 y 25
para ver en qué momento regresan todos los sectores a su posición
original.
23
23, 12
2 3 y 25
5 .
Estos tres números no tienen factores primos comunes, así que su mínimo
común múltiplo es 23 12 25
6900.
Por lo tanto, en el término 6900º de la sucesión, la figura es igual a la
original.
En general si se tiene una sucesión donde los términos son:
,
,
2 , … el -ésimo término es
1 . Esta sucesión es llamada
é
sucesión aritmética donde la resta de dos términos consecutivos es
Por ejemplo:
2
2
,
,
2 , … el -ésimo término es
1 .
Ejercicio: Se tiene la siguiente sucesión de figuras
1
2
3
4
a) ¿Cuál es el término que sigue de la sucesión? _______________________
b) ¿Cuál es el 35º término de la sucesión?____________________________
10
Problemas diversos
A continuación veremos distintos tipos de problemas. Algunos se resuelven
utilizando aritmética, otros con geometría y los dos últimos con razonamiento
lógico.
1. Por fin de temporada una tienda decide ofrecer la mercancía existente con
20% descuentos. El precio original de una sudadera es $150 y tiene una
etiqueta que dice descuento adicional del 10%. ¿La sudadera tiene un
descuento del 30% del precio original?
Solución:
Calculamos primero el precio de la sudadera con un descuento del 20%.
Una manera de hacer esto es calcular el 80% del precio original, es decir,
150 0.8
120.
Ahora calculamos el descuento adicional del 10%, es decir, calculamos el
90% del precio de descuento
120 0.9
108.
Para saber si la sudadera tiene el 30% de descuento del precio original,
calculamos
150 0.70
105.
Por lo tanto, la sudadera no tiene un descuento del 30% del precio original y
sería más barata si lo tuviera.
Ejercicio: Resolver el siguiente problema.
2. Por fin de temporada una tienda decide ofrecer la mercancía existente con
10% descuentos. El precio original de un pantalón es $275 y tiene una
etiqueta que dice descuento adicional del 10%. ¿Cuál es el ahorro en la
compra del pantalón?
3. El patio de una escuela mide 50 m de largo por 35 m de ancho. ¿Cuánto
costará ponerle mosaico al patio si cuesta $12 el metro cuadrado?
Solución:
Como el costo del mosaico está dado por metro cuadrado, tenemos que
expresar las medidas del patio en metros cuadrado, para esto calculamos la
superficie del patio:
50
35
1750.
11
Así el patio mide 1750 m2.
Como el metro cuadrado de mosaico cuesta 12 pesos, y ya tenemos el
número de metros cuadrados que tiene el patio, entonces
1750 12 21000.
Por lo tanto, cuesta $21000 pesos tapizar el patio con mosaicos.
4. Construir geométricamente la raíz cuadrada de 8.
Solución:
En el plano cartesiano localizamos el 8 en el eje . Sumamos una unidad,
es decir, llegamos al 9. Localizamos el punto medio entre el origen y el 9.
Con centro en
y radio, la distancia de
al origen, trazamos un
semicírculo como se muestra en la figura.
Y
4
2
O
2
4M
6
8
9
X
Levantamos una perpendicular al eje
por el 8 y llamamos
al punto
donde se cortan el semicírculo y la perpendicular. La distancia del 8 a es
√8.
Y
4
C
2
O
2
4M
Demostración:
Llamamos al punto donde está el 8 y
con un segmento
y
.
6
8
9
X
al punto donde está el 9. Unimos
12
Y
4
C
2
O
4M
2
A
6
El triángulo ∆
es rectángulo ya que el ángulo
del círculo, entonces es recto. De donde
∡
B
X
subtiende un diámetro
90 .
∡
Los triángulos ∆
y ∆
también son rectángulos ya que por
construcción el segmento
es perpendicular al eje .
Por ser el triángulo ∆
rectángulo, tenemos que
∡
∡
90 .
Así
∡
∡
∡
∡
∡
∡
,
de donde
.
Por lo tanto, como los triángulos ∆
y ∆
son semejantes ser
rectángulos y tener un segundo ángulo igual. Entonces tenemos que
.
Pero,
1y
8, de donde
8
1
8
√8
⋅
.
13
Sigamos los pasos utilizados en la construcción anterior para ver
geométricamente que los números reales negativos no tienen raíz
cuadrada.
Hagamos la construcción para el
5.
En el plano cartesiano localizamos el 5 en el eje . Sumamos una unidad,
es decir, llegamos al 4. Localizamos el punto medio
entre el origen y el
4. Con centro en
y radio, la distancia de
al origen, trazamos un
semicírculo. Levantamos una perpendicular al eje por el 5.
4
Y
2
M
-6
-5
-4
X
-2
Observamos en la figura que la recta perpendicular nunca corta al círculo.
Ejercicio:
5. Construir geométricamente √11.
6. Si se invierten $500 a un interés del 3% anual, ¿cuánto dinero se tendrá
después de 7 años?
Solución:
El interés que producen los 500 pesos al 3% anual es
500 0.03
15.
La cantidad de dinero que se tiene al final del primer año es:
500
500 0.03
500 1
0.03
515.
Si se reinvierten el capital inicial más los intereses generados el primer año,
por un año más, al final del segundo año se tiene
500 1
0.03 1
0.03
500 1
0.03
530.45.
Si se reinvierte esta cantidad por un año, al final del tercer año se tiene
14
500 1
0.03
1
0.03
500 1
0.03
546.36.
Si se sigue reinvirtiendo de esta manera al final del -ésimo año, se tiene
500 1
0.03 .
Entonces al final del séptimo año se tendrá
500 1
0.03
614.94.
Por lo tanto, al invertir 500 pesos al 3% anual durante 7 años se tendrán
614.94 pesos.
7. En un multifamiliar hay 100 departamentos. 15 de ellos no tienen cuarto de
servicio ni lugar de estacionamiento. 60 tienen cuarto de servicio y 55
tienen lugar de estacionamiento. ¿Cuántos tienen cuarto de servicio y lugar
de estacionamiento?
Solución:
Como 15 departamentos no tienen ni cuarto de servicio ni lugar de
estacionamiento, entonces
100 15 85
tienen cuarto de servicio, lugar de estacionamiento o ambos.
Puesto que 60 tienen cuarto de servicio y 55 tienen lugar de
estacionamiento, y
60 55 115,
entonces como 115 es mayor que 100, esto significa que hay un traslape,
es decir, que hay departamentos que tienen cuarto de servicio y lugar de
estacionamiento. Para saber cuántos departamentos cuentan con ambos,
calculamos
115 85 30.
Por lo tanto, hay 30 departamentos que tienen cuarto de servicio y lugar de
estacionamiento.
En el siguiente diagrama
representa los que tienen lugar de
estacionamiento y los que tienen cuarto de servicio.
15
15
E
C
8. Tengo tres hijos: Daniel, Luis y Pedro. Cada uno de ellos tiene un hijo, los
nombres de ellos son José, Ricardo y Mario. Sigue las siguientes pistas y
dime cuál el padre de cada uno de mis nietos.
(1) Si Luis no es papá de Ricardo, Daniel es papá de Mario.
(2) Si Daniel es papá de José, Pedro es papá de Mario.
(3) Si Pedro es papá de Ricardo, Luis es papá de Mario.
(4) Si Pedro es papá de Mario, Luis es papá de José.
Solución:
Para solucionar este tipo de problemas, hay que plantear alguna hipótesis y
seguirla de acuerdo a las reglas del problema, hasta que o bien se llegue a
la solución correcta o se llegue a una contradicción. Por ejemplo:
•
•
Si Daniel es papá de Ricardo, entonces Luis no es papá de Ricardo y
por (1), Daniel es papá de Mario. Esto es una contradicción ya que
estamos suponiendo que Daniel es papá de Ricardo.
D
L
P
J
R
M
Si Daniel es papá de José, entonces por (2) Pedro es papá de Mario
y por (4) Luis es papá de José. Esto es una contradicción porque
estábamos suponiendo que Daniel es el papá de José.
D
L
P
J
R
M
16
•
Si Daniel es papá de Mario, entonces:
o Si Luis no es papá de Ricardo, solo le queda ser de José y por
(1) Daniel es papá de Mario, pero entonces Pedro tiene que
ser el papá de Ricardo. Por (3) esto implicaría que Luis es
papá de Mario lo cual es una contradicción.
D
L
P
J
R
M
o Si Luis es papá de Ricardo, entonces Pedro tiene que ser
papá de José. Esta solución no lleva a ninguna contradicción
con las hipótesis.
D
L
P
J
R
M
17
Problemas geométricos
La mediatriz de un segmento
es la recta perpendicular al segmento que pasa
por su punto medio.
Veamos cómo se puede construir con regla y compás.
Dado el segmento
A
B
Trazamos dos circunferencias, una con centro en
segmento
, y la otra con centro en
y radio la longitud del
y de radio la longitud del segmento
.
La recta que une los puntos de intersección de dichas circunferencias es la
mediatriz del segmento.
A
B
Los dos problemas siguientes son fundamentales en el estudio de las mediatrices
Problema:(Usando congruencia de triángulos)
Si
es un punto que está sobre la mediatriz del segmento
, entonces
.
18
P
A
PM
B
Solución:
Unimos el punto
y ∆
∆
con los puntos
y
formándose así los triángulos
.
Veamos que estos dos triángulos son congruentes.
Por un lado
,
ya que
es el punto medio del segmento
Por otro lado
.
es un lado común de ambos triángulos, y el ángulo entre
dichos lados es de 90°, así que por
y
lados homólogos
, ∢,
son congruentes y por lo tanto los
son iguales.
P
A
PM
B
Problema: (Usando el teorema de Pitágoras)
Si tenemos un punto , que está a la misma distancia de otros dos puntos
es decir,
con
,
entonces
y
,
está en la mediatriz del segmento que une
.
19
P
A
B
Solución:
Nota: Este problema es el reciproco del problema anterior.
Unimos los puntos
y
segmento que pase por
con un segmento y trazamos la perpendicular a este
, siendo
el pie de esta perpendicular en el segmento
. De esta manera, obtenemos dos triángulos ∆
y ∆
.
P
A
M
B
Veamos que estos dos triángulos son congruentes
Sabemos por hipótesis que
y
puntos
Además
ya que
está a la misma distancia de los
.
es un lado común de ambos triángulos y como los dos triángulos son
rectángulos, ya que el segmento
es perpendicular a los segmentos
y
,
podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, a los dos triángulos:
y
Así
(puesto que
.
, es decir, el otro cateto correspondiente a
cada triángulo también tiene que ser igual, por lo que los triángulos ∆
∆
y
resultan ser congruentes.
20
Como
consecuencia
tenemos
que
los
lados
correspondientes a cada triángulo resultan ser iguales, es decir,
Por lo tanto,
y
homólogos
.
.
está en la mediatriz del segmento
Nota: Este problema justifica la construcción con regla y compás de la mediatriz.
Problema: (Usando los problemas fundamentales mediatrices)
Si
,
los lados
y
son las tres mediatrices de un triángulo ∆
,
y
con respecto a
respectivamente, entonces dichas mediatrices son
concurrentes
mBC
O
C
mCA
B
A
mAB
Solución:
Consideremos sólo dos de las mediatrices. Sin pérdida de generalidad
y
supongamos que son las mediatrices
. Llamamos
al punto de
intersección de ambas (hay punto de intersección entre ambas mediatrices, ya que
en caso contrario las mediatrices
sucede si
y
y
serían paralelas, pero esto solo
también son paralelos), lo cual no es posible, pues no se
formaría el triángulo ∆
.
21
mBC
C
O
C
C
mBC
mCA
mCA
B
A
son paralelas
Como,
no son paralelas
es el punto de intersección de las mediatrices
está en la mediatriz
B
A
y
entonces tenemos que
, por un lado
(usando el primer
problema fundamental de mediatrices). Análogamente como también
mediatriz
tenemos que
está en la
.
Utilizando la transitividad de la igualdad tenemos que
y usando el hecho del segundo de los problemas fundamentales de mediatrices,
tenemos que , está en la mediatriz
, lo que quiere decir que la intersección de
las tres mediatrices está en .
El punto
es llamado el circuncentro del triángulo ∆
, y como la distancia de
a cada uno de los vértices del triángulo es la misma, podemos trazar una
circunferencia con centro en
los vértices del triángulo ∆
y radio la distancia que hay de
a cualquiera de
, está circunferencia es llamada el circuncírculo, la
cual contiene al triángulo.
22
mBC
O
C
mCA
A
B
mAB
Problema de aplicación.
En una granja hay tres construcciones: la casa, el establo y el corral.
establo
corral
casa
Se quiere construir una cisterna que surta de agua a las tres construcciones. La
cisterna debe estar a la misma distancia de cada una de ellas para que la
distribución del agua sea equitativa. ¿Dónde debe colocarse la cisterna?
Solución:
Construimos un triángulo uniendo la casa, el establo y el corral.
establo
corral
casa
23
Trazamos las mediatrices del triángulo, para esto localizamos los puntos medios
de los lados y trazamos la perpendicular de cada lado por el punto medio del
mismo
establo
.
.
C
casa
.
corral
Las tres mediatrices se cortan en un punto. Colocamos la punta del compás en
este punto y verificamos que hay la misma distancia a las tres construcciones. En
el punto donde se cortan las mediatrices es donde hay que construir la cisterna.
.Ejercicio
1. Usando que las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes, justificar
que las tres alturas de un triángulo también son concurrentes.
Recordamos que una altura de un triángulo es una recta perpendicular a la base
que va al vértice opuesto
hAB
altura respecto a la base AB
C
A
base
B
Es claro que el triángulo tiene tres alturas, considerando cada uno de sus lados
como una base, y el pie de cada altura puede quedar dentro del segmento de la
base o bien puede estar en la prolongación del segmento base.
24
C
hBC
hAB
A
B
hAC
H
Hay que justificar por qué las tres alturas
,
y
concurren en el punto H.
Problema: (Usando congruencias de triángulos)
En un paralelogramo, dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes y dos
ángulos consecutivos cualesquiera son suplementarios.
D
C
A
B
Solución:
Trazamos la diagonal que une el vértice
con .
D
C
A
Los triángulos Δ
y∆
B
son congruentes por
, ,
, por lo que ∢
Análogamente si trazamos la otra diagonal que une el vértice
tendremos que ∢
∡ .
con el vértice
∡ . Y como
25
∢
∡
∡
∡
360° ⇒ 2∢
∢
∡
180°
∢
∡
180°,
2∡
360°.
Por lo tanto,
Análogamente tendríamos que
∢
∡
180°,
∢
∡
180°.
Ejercicio:
1. Si tenemos un paralelogramo con un ángulo recto, entonces el
paralelogramo tiene que ser un rectángulo.
Dado un triángulo ∆
respecto al ángulo ∢
, tenemos que una bisectriz interna del triángulo con
es la recta que divide a este ángulo en dos ángulos
iguales:
C
α
α
A
B
Los dos problemas siguientes son fundamentales en el estudio de las bisectrices.
Problema 1: (Usando congruencias de triángulos)
Si
es un punto de la bisectriz interna del triángulo ∆
con respecto al ángulo
∢
, entonces este punto está a la misma distancia de los lados del ángulo
∢
, que en este caso serían los lados del triángulo AC y AB.
26
C
α
P
α
A
B
Solución:
Llamamos
al pie de la perpendicular al lado
desde
, y
al pie de la
desde .
perpendicular al lado
C
E
α
A
Los triángulos ∆
P
α
D
y∆
B
son congruentes ya que los tres ángulos homólogos
correspondientes son iguales y además tienen un lado en común, así que
,
es decir,
está a la misma distancia de los lados del triángulo AC y AB.
Problema 2: (Usando el Teorema de Pitágoras)
Si
es un punto en el interior del triángulo ∆
misma distancia de los lados del ángulo ∢
del triángulo
y
, entonces
con respecto al ángulo ∢
, de tal manera que está a la
, que en este caso son los lados
está en la bisectriz interna del triángulo ∆
.
27
C
E
P
A
D
B
Solución:
Nota: Este problema es el reciproco del problema anterior.
Sean
el pie de la perpendicular al lado
perpendicular al lado
desde el punto
y
el pie de la
desde el punto . Trazamos el segmento del vértice
punto , obtenemos dos triángulos ∆
y ∆
al
que resultan ser congruentes:
C
E
P
A
puesto que
D
B
está a la misma distancia de los lados
y
, además
es un lado común de ambos triángulos, y como ambos triángulos son
rectángulos, (los segmentos
y
son perpendiculares a lados
y
)
podemos aplicar el Teorema de Pitágoras a los dos triángulos
y
De donde
.
, es decir el otro cateto correspondiente a cada triángulo
también tiene que ser igual, por lo que los triángulos ∆
y∆
resultan ser
congruentes, es decir,
∆
≅ ∆
28
y por consiguiente los ángulos homólogos ∢
∢
Por lo tanto,
y∢
∢
cumplen
.
está en la bisectriz del ángulo ∢
.
Problema: (Usando los problemas fundamentales bisectrices)
Si
,
y
son las tres bisectrices internas con respecto a los ángulos ,
respectivamente
del
triángulo
∆
,
entonces
dichas
bisectrices
y
son
concurrentes.
C
bB
bA
A
B
bC
Solución:
Consideremos sólo dos de las bisectrices. Sin pérdida de generalidad
supongamos que sean las bisectrices
y
, siendo
el punto de intersección
de ambas (hay punto de intersección entre ambas bisectrices, ya que en caso
contrario las bisectrices
ángulos en
y
triángulo ∆
.
y
serían paralelas, pero esto sólo sucede si los
suman de 180°), lo cual no es posible, pues no se formaría el
29
C
α
α
bC
bB
α
β
α
E
B
I
α
D
A
bB
2α+β = 180°
B
bC
interiores son paralelas
Desde el punto
(la intersección de
hacia los lados
,
y
C
F
interiores no son paralelas
y
),
trazamos las perpendiculares
,
del triángulo, llamando
y
a los pies de estas
perpendiculares, respectivamente.
Como
es una bisectriz del ángulo en
bisectrices, tenemos que
y usando el hecho del Problema 1 de
. Análogamente tenemos que
, ya que
es bisectriz del ángulo en .
Por la transitividad de la igualdad tenemos que
y usando el hecho del
Problemas 2 de bisectrices, tenemos que , está en la bisectriz
, lo que quiere
decir que la intersección de las tres bisectrices es en .
El punto
es llamado el incentro del triángulo ∆
, y como la distancia de
a
cada uno de los lados del triángulo es la misma, podemos trazar una
circunferencia con centro en
y radio la distancia que hay de
a cualquiera de los
lados, está circunferencia es llamada el incírculo, la cual queda dentro del
triángulo, siendo tangente a cada uno de los lados del triángulo.
30
bB
C
F
bA
E
I
D
A
B
bC
Ejercicio: (uso de ángulos suplementarios)
2. Dado un triángulo ∆
, tenemos que una bisectriz interna del triángulo con
respecto al ángulo ∢
es perpendicular, a la bisectriz externa respecto
al ángulo externo ∢
del triángulo.
bA
exterior
C
β
β
B'
α
A
bA
interior
α
B
Problema: (Uso de los dos problemas fundamentales de bisectrices)
Si en un triángulo ∆
al ángulo ∢
externos ∢
, se considera la bisectriz interna del triángulo con respecto
, junto con las dos bisectrices externas con respecto a los ángulos
y ∢
del triángulo, tenemos que estas tres bisectrices son
concurrentes.
31
A'
bC
exterior
C
γ
bA
interior
γ
α
β β
α
E1
B
A
A'
bB
exterior
Solución:
Consideremos las dos bisectrices exteriores
y
, siendo
el punto de
intersección de ambas (hay punto de intersección entre ambas bisectrices, pues si
y
las bisectrices exteriores
y
∆
fueran paralelas, se tendría que los ángulos en
sumarían 180°, pero esto no es posible, pues no se formaría el triángulo
.
A'
bC
exterior
γ
γ
C
α α
C
B
β
E
bB
δ
δ
exterior
(la intersección de
,
y
β β
E1
D
A'
bB
exterior
exteriores paralelas
hacia los lados
interior
B
A
bB
interior
2α + 2δ = 180°
Del punto
γ
γ
β
bC
interior
F
bC
exterior
exteriores no paralelas
y
exteriores), trazamos las perpendiculares
del triángulo, llamando
,
y
a los pies de estas
perpendiculares respectivamente.
32
Como
es una bisectriz exterior del ángulo en
Problema 1 de bisectrices, tenemos que
, ya que
y usando el resultado del
. Análogamente tenemos que
es bisectriz exterior del ángulo en .
Por la transitividad de la igualdad tenemos que
y usando el resultado
, está en la bisectriz interior de
del Problema 2 de bisectrices tenemos que
lo que quiere decir que la intersección de las tres bisectrices es en
El punto
es llamado el excentro del triángulo ∆
,
.
, y como la distancia de
a cada uno de los lados del triángulo es la misma, podemos trazar una
circunferencia con centro en
y radio la distancia que hay de
a cualquiera de
los lados, está circunferencia es llamada el excírculo, la cual queda fuera del
triángulo, siendo tangente a cada uno de los lados del triángulo.
A'
bC
exterior
F
C
γ
E
β β
B
A
bA
γ
interior
E1
D
A'
bB
exterior
De hecho
el triángulo
∆
tiene tres excentros
y sus correspondientes
excírculos.
Problema de aplicación de bisectrices:
En los alrededores de una población, se encuentran tres carreteras no
concurrentes y se desea construir un módulo para la vigilancia de velocidad
33
vehicular, pero se desea que dicho módulo, se encuentre a la misma distancia de
cada una de las carreteras.
Carre te ra 2
Carre te ra 1
Población
Carre te ra 3
¿Dónde debe de construirse el módulo?
Solución:
Los puntos que están a la misma distancia de dos rectas, son los puntos que
están en las bisectrices de los ángulos que forman dichas rectas.
bisectriz
bisectriz
34
Si tenemos tres rectas, se tendría que los puntos que están a la misma distancia
de las tres rectas, es donde se cortan las tres bisectrices internas de un triángulo,
las cuales tienen un punto en común (el incentro), y por cada dos bisectrices
externas y una de las internas del triángulo tienen un punto en común llamado ex
centro, (hay tres).
Así que el problema tiene 4 posibles soluciones:
Carre te ra 2
Carre te ra 1
M1
M4
M2
Carre te ra 3
M3
En
,
,
y
serían las cuatro puntos donde se pondrían los módulos de
vigilancia.
Ejercicio: (usando bisectrices)
3. Si en un triángulo isósceles trazamos la bisectriz del ángulo que forman
los lados iguales, entonces esta bisectriz es la mediatriz del lado opuesto a
este vértice.
35
C
α
A
α
D
B
Ejercicio: (Usando bisectrices)
4. Si en un triángulo ∆
Isósceles, el ángulo que forman los lados iguales
mide 36°, donde los lados iguales son
ángulo
que corta al lado
, entonces la bisectriz en el
y
en el punto
mide igual a
, es decir
.
C
D
36°
A
α
α
B
Ejercicio: Para resolverlo usamos
(Bisectrices y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°)
5. Las bisectrices interiores de un triángulo no pueden ser perpendiculares
36
C
γ
γ
δ
α
α
β
β
B
A
37
Unidad II. Áreas y perímetros
Trazos geométricos de polígonos regulares. Justificación de fórmulas
conocidas. Encontrar nuevas fórmulas y diseñar estrategias para
aproximar áreas y perímetros de figuras diversas.
38
Introducción
Esta unidad empieza con el desarrollo de una construcción con regla y compás de
polígonos regulares, que si bien no es exacta nos permite de una manera simple
construir los polígonos. A continuación se estudian áreas y perímetros de algunos
polígonos. Se manipulan materiales sencillos y espejos para la creación de
polígonos regulares. Finalmente se desarrollan paso a paso las fórmulas de los
ángulos interiores de polígonos regulares y el número de diagonales que tienen.
Trazos geométricos de polígonos regulares
En esta sección veremos una familia de construcciones que nos permiten dibujar
con regla y compás polígonos regulares inscritos en una circunferencia. Estas
construcciones no son perfectas, sin embargo, si se hacen con cuidado, el error
cometido, para los polígonos hasta de 12 lados es menor que el ancho de la punta
del compás.
El primer polígono que trazaremos es el triángulo.
1. Dibujamos una circunferencia con cualquier radio. Trazamos el diámetro
de la circunferencia y la secante
que pase por uno de los extremos del
diámetro, en este caso por el extremo .
A
secante
diámetro
C
B
2. Con centro en y radio el que sea (pero fijo), tracemos con el compás el
punto , con centro en
y la misma apertura del compás, trazamos el
punto ′ y con centro en este último punto y la misma apertura del compás
y ′′ son los puntos de intersección
trazamos ′′. Es decir, los puntos ,
de la secante
y las circunferencias de radio fijo, y centros en , y ’.
Veamos la siguiente figura.
39
A
D D'
D'' C
B
3. Tracemos el segmento ′′ , y la recta paralela a este segmento que pase
por ′. Llamemos
al punto de intersección de esta paralela con el
diámetro.
A
D D'
D'' C
E
B
4. Tracemos las circunferencias de radio
con centro en
y en ,
llamemos a la intersección de estas circunferencias que está del lado de
la secante.
40
F
A
D D'
D'' C
E
B
5. Tracemos la recta que pasa por los puntos
y , y llamemos al punto de
intersección de ésta recta con la circunferencia de diámetro
.
F
A
D D'
D'' C
E
B
G
41
6. El segmento
es el lado del triángulo buscado.
F
A
D D'
D'' C
E
B
G
7. Tracemos los otros dos lados del triángulo como sigue: con centro en y
radio
marcamos sobre la circunferencia de diámetro
. El segmento
es el otro lado del triángulo y el segmento
es el tercer lado del
triángulo.
F
A
H
D D'
D''C
E
B
G
42
El segundo polígono que trazaremos es el cuadrado.
1. Dibujamos una circunferencia con cualquier radio. Trazamos el diámetro
de la circunferencia y la secante
que pase por uno de los extremos del
diámetro, en este caso que pase por el extremo .
A
secante
diámetro
C
B
2. Con centro en y radio el que sea (pero fijo), tracemos con el compás el
punto ; sin mover la apertura del compás con centro en
trazamos el
punto ′; con centro en ′ trazamos el punto ′′; y con centro en ′′
trazamos el punto ′′′. Los puntos , , ′′ y ′′′ que son los puntos de
intersección de la secante
y las circunferencias de radio fijo. Veamos la
siguiente figura.
A
D
D' C
D''
D'''
B
3. Tracemos el segmento ′′′ , además tracemos la recta paralela a este
segmento que pase por ′. Llamemos al punto de intersección de esta
paralela con el diámetro.
A
D
D' C
D''
D'''
E
B
43
4. Tracemos las circunferencias de radio
con centro en y , llamemos
a la intersección de estas circunferencias que se encuentra del lado de la
secante.
F
A
D
D' C
D''
D'''
E
B
5. Tracemos la recta que pasa por los puntos y , y llamemos al punto de
intersección de ésta recta con la circunferencia de diámetro
.
F
A
D
D' C
D''
D'''
E
G
B
44
6. El segmento
es el lado del cuadrado buscado.
F
A
D
D' C
D''
D'''
E
G
B
7. Tracemos los otros dos lados del cuadrado como sigue: con centro en y
radio
marcamos ′
sobre la circunferencia de diámetro
. El
segmento
es el 2º lado del cuadrado, con centro en y radio
marcamos sobre la circunferencia de diámetro
el segmento
es el
3º lado del cuadrado. Finalmente el segmento
es el 4º lado del
cuadrado.
45
F
H
A
D
D' C
D''
D'''
E
G
B
Ejercicio
1. Construir el hexágono de la misma forma como se construyeron el triángulo
y el cuadrado.
46
Área
Comenzaremos primero con la noción intuitiva de área de figuras planas, donde se
encierra el siguiente principio, si una figura se corta en un número de piezas
cualquiera y se reacomodan es su totalidad como si se estuviera formando un
rompecabezas para formar una nueva figura, el área de esta última es la misma
que el área de la primera figura. Y se aceptará el hecho de que el área de un
rectángulo es el producto de sus lados.
Intuitivamente pensemos en lo siguiente:
Unidad de superficie: 1
=
1u
=
1
1
.
+
1u
El área de la superficie de la siguiente figura es: 12u , es decir 1u cabe 12 veces
en esta superficie o bien simplemente:
4u
3u
12u .
h= 3
b=4
En general diremos que el área de un rectángulo es
.
h
b
47
Mientras que su perímetro es: 2
2 .
La palabra perímetro viene de: peri- alrededor, metrón-medida.
h
b
Justificación:
Una manera de justificar que la fórmula del perímetro del rectángulo es
perímetro
2
2 ,
es la siguiente. En una hoja de papel trazamos una recta y sobre esta recta, a la
izquierda de la hoja, trazamos un rectángulo. Nombramos a los vértices del
rectángulo con las letras , , , y
en contra del movimiento de las manecillas
del reloj. Ver la siguiente figura.
C
B
h
D
b
A
Abrimos el compás una apertura
llamamos
y con centro en
, trazamos un círculo y
′ al punto donde este círculo corta a la recta a la derecha del
rectángulo.
Con centro en ′ y radio
marcamos, hacia la derecha de la recta, el punto ′, con
centro en ′ y radio
marcamos, hacia la derecha de la recta, el punto
centro en ′ y radio
marcamos, hacia la derecha de la recta, el punto
, con
.
48
Unimos el punto
con el punto ′ con un color diferente al que se hizo la recta,
ver la siguiente figura. Esto simularía como si hubiéramos rotado el rectángulo
para ir marcando el perímetro.
C
B
h
h
D
b
A
+
B'
b
+
h
+
D'
C'
b
A'
a ′ mide:
El segmento de recta de
2
2 .
Aunque la fórmula ya es conocida por algunos de nuestros alumnos, no está de
más que reafirmen el concepto de perímetro, y que lo manipulen de diversas
formas.
Problema
y la altura es 2.
Encontrar el perímetro de un rectángulo cuya base es
Solución:
C
B
2
2
D
x
A
+
B'
x
+
2
+
D'
C'
x
A'
Si ya se hicieron trazos con regla y compás o rotando rectángulos hacia una
misma dirección, marcando cada lado, después de 4 giros para justificar el
concepto de perímetro, posiblemente ya no sea necesario hacer la representación
del problema, y directamente se dé el resultado: 2
4.
49
Problema:
Encontrar el perímetro de un rectángulo cuya base mide el doble de su altura.
Solución:
B
C
h
h
D
A
2h
2h
+
B'
h
C'
2h
D'
A'
Entonces el perímetro es:
2
2
6 .
Perímetro del cuadrado es: 4
l
l
Justificación:
Abrir el compás con una apertura y con centro en , marcar la distancia sobre la
recta hacia la derecha el punto ′, con centro en ′ y radio
marcar hacia la
derecha de la recta el punto ′, con centro en ′ y radio marcar hacia la derecha
de la recta el punto
recta el punto
, con centro en ′ y radio marcar hacia la derecha de la
, unir los punto
con el punto ′ con un color diferente al que se
hizo la recta, ver la siguiente figura. Esto simularía como si hubiéramos rotado el
rectángulo para ir marcando el perímetro.
50
C
D
l
l
A
l
+ l
C'
B
+
l
D'
+
l
B'
A'
Área del cuadrado
Notemos que como el cuadrado en particular es un rectángulo de base
altura
y
entonces el área del cuadrado es
.
l
l
Área de un paralelogramo de base
y altura
α
es
.
α
h
b
Justificación:
α
α
h
b
=
+h
=
+
h
=
b
51
Tracemos la altura interior del paralelogramo, y cortemos el triángulo rectángulo
para tener en dos partes el paralelogramo, luego pegamos este triángulo
rectángulo en el lado no recto, lo que queda es un rectángulo con la misma área
pues tan sólo hemos partido la figura inicial y la hemos armado de diferente forma,
así llegamos a que el área del paralelogramo es:
Área de un triángulo de base
y altura
.
es:
×
.
2
h
T
b
Justificación
Si queremos determinar el área del triángulo gris T, lo podemos hacer
construyendo un paralelogramo que tenga dos veces el área del triangulo T y
utilizar lo que ya sabemos del área del paralelogramo. Esto se puede hacer
siguiendo los pasos en las figuras y que se describe a continuación.
α
α
Τ
T
h
b
52
Calcamos el triángulo gris en un papel, y luego calquemos el mismo triángulo de
tal forma que nos quede un paralelogramo, es claro que este paralelogramo tiene
área
, pues esto ya se justifico antes
2
.
Área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases
y
por su altura
.
¿Qué es un trapecio?
Primero es necesario saber cuál es el origen de los trapecios:
La clasificación de los triángulos es:
Si a estos triángulos los partimos con una recta paralela a la base lo que
obtenemos son los cuatro trapecios siguientes:
Para el trapecio rectángulo tenemos que su área es:
53
.
2
α
b
h
α
B
Justificación:
Para encontrar el área de un trapecio calcamos en un papel el trapecio del cual
queremos encontrar el área, luego lo giramos 180º y lo transladamos de tal forma
que el lado no vertical enbone perfectamente con la calca de este trapecio y
volvemos a calcar.
B
α
b
h
α
b
+
B
lo que nos queda son dos trapecios equivalentes a un rectángulo cuya área es
pero como sólo se quiere la mitad de este rectángulo, entonces
tenemos que el área del trapecio es:
2
.
54
B
α
b
h
h
α
+
b
B
Ejercicio
1. Justificar la fórmula para el trapecio escaleno :
.
2
α
b
h
B
El área de un pentágono de lado , apotema
cualquiera de sus lados) y perímetro
(distancia del centro del polígono a
es:
5
2
2
.
l
a
Justificación:
Cortemos el pentágono de la siguiente manera:
55
a
l
Trazamos una recta sobre un papel y sobre la recta ponemos los bordes de los
lados del pentágono, calcamos el pentágono, como lo muestra la siguiente figura.
a
Giramos la figura sombreada 180º y la sobreponemos por las orillas de la parte
superior, como lo muestra la siguiente figura.
l
+
l
+
l
+ l
+ l
a
l
+
l
+
l
+ l
+
Lo que nos queda es un paralelogramo cuya área es: 5
l
.
Sólo queremos la mitad del área del paralelogramo que es el área del pentágono,
es decir:
5
2
.
Observemos que el perímetro del pentágono es la base del paralelogramo antes
formado, es decir
5 , donde
es el perímetro del pentágono, por lo que
también el área del pentágono se puede ver como:
56
2
5 .
donde
Por lo que el área del pentágono es:
5
2
2
.
Ejercicio
2. Justificar el área de un hexágono utilizando la técnica anterior.
Cómo encontrar un valor aproximado a
Colocar un cordón alrededor de una tapa circular (Figura 1), medir con una regla la
longitud del condón que se utilizo (figura 2), anotar esta medida. Con el mismo
cordón ver también cuánto tiene de diámetro la tapa circular (Figura 3), medir con
la regla la longitud que nos dio y anotar también esta medida (figura 2), hacer la
siguiente proporción:
medida del contorno
medida del diametro
Figura 1
?
Figura 2
60.4 cm
19.2 cm
Figura 3
3.145833 cm .
57
Colocar un cordón alrededor de una tapa circular (Figura 1), medir con una regla la
longitud del condón que se utilizo (figura 2), anotar esta medida. Con el mismo
cordón ver también cuánto tiene de diámetro la tapa circular (Figura 3), medir con
la regla la longitud que nos dio y anotar también esta medida (figura 4), hacer la
misma proporción:
Figura 1
Figura 2
Figura 3
35.5 cm
11.3 cm
Figura 4
3.141592 cm.
Podríamos medir cualquier otro artefacto circular y ver que la proporción no varía
mucho. Entonces mientras mejor se tome la medida, mejor aproximación
tendremos al valor de
3.141592654 ⋯ que es número de veces que cabe el
diámetro en el perímetro de la circunferencia. O visto de otra manera el perímetro
de la circunferencia es:
perímetro
diámetro
o bien
perímetro
2
, donde
es el radio.
Actividad:
Buscar dos pequeños espejos rectangulares, pegarlos por uno de los costados y
poner una hoja de tal manera que se haga la simulación de un polígonos de tres
(Figura 1), cuatro (Figura 2), cinco (Figura 3), seis (Figura 5), etc., lados
58
Figura 1
Figura 4
Figura 2
Figura 5
Figura 3
Figura 6
Como ya habíamos visto, el área de cualquier polígono regular es:
2
.
Pero entre más lados tengamos en un polígono regular como en la siguiente
figura.
59
El área del círculo, cuando el apotema se parece más al radio, será entonces:
í
2
2
2
.
Ejemplo:
Calcular el área y el perímetro de los pétalos azules de la siguiente figura, si
sabemos que el lado del cuadrado mide 20 cm:
Solución:
60
Para calcular el perímetro notemos que cada dos pétalos es el perímetro del
círculo inscrito en el cuadrado, por lo que el perímetro de los cuatro pétalos azules
es:
2
2
2
2 10 cm
í
ó
í
125.66 cm.
Ahora calculemos el área. Primero dividamos el cuadrado en dos partes iguales y
tracemos el triángulo que tiene la misma base del cuadrado y altura la mitad de la
medida del lado, ver la figura siguiente.
El área del semicírculo es:
2
10 cm
2
3.1416 50 cm
157.08 cm .
El área del triángulo es:
2
20 cm 10 cm
2
100 cm .
El área del círculo menos el área del triángulo, nos da el área del uno de los
pétalos azules la cual es:
61
157.08 cm
100 cm
57.08 cm .
Pero como son 4 pétalos azules el área es:
4
57.08 cm
228.32 cm .
Ejercicio
Calcular el área verde y su perímetro de la siguiente figura, donde el lado del
cuadrado mide 4 m.
Otras fórmulas
Ángulos internos de un polígono
Para el triángulo equilátero, aunque hay maneras más sencillas de calcular sus
ángulos internos, vamos a desarrollar una fórmula que nos permita generalizar a
otros polígonos. Notemos que la circunferencia
divide en tres arcos iguales
(3
∢
2
,
y
con centro en
y radio
, se
, donde uno de ellos subtiende a
1) un lado del triángulo, por lo que los ángulos centrales ∢
,∢
y
miden
3
2
360
3
120
62
C
A
60° O 120°
B
Pero además, como los ángulos interiores ∢
ángulos inscritos de la circunferencia
,∢
y∢
del triángulo son
, entonces estos ángulos son la mitad de
los ángulos centrales. Esto es
120
2
60
Para calcular el ángulo externo al triángulo, prolongamos el lado
y el ángulo ∢
del triángulo,
es uno de los ángulos exteriores del triángulo equilátero, por lo
que los ángulos exteriores miden:
180°
60°
120°
C
D
120°
A
60°
B
63
Para el cuadrado notemos que la circunferencia
divide en cuatro arcos iguales
(4
∢
2
,∢
,
,
,y
con centro en
y radio
, se
, donde uno de ellos subtiende a
2) dos lados consecutivos del cuadrado, por lo que los ángulos centrales
,∢
, y∢
miden
4
2
360
180 .
4
Pero además como los ángulos interiores ∢
, ∢
cuadrado son ángulos inscritos de la circunferencia
, ∢
y ∢
del
, son la mitad de los
ángulos centrales, entonces miden:
180°
2
90°.
D
C
180°
O
90°
A
B
Para calcular el ángulo exterior del cuadrado, prolonguemos el lado
triángulo, el ángulo ∢
del
es uno de los ángulos exteriores del cuadrado, por lo
que los ángulos exteriores miden:
180°
90°
90°.
64
D
C
O
E 90° 90°
A
B
Para el pentágono notemos que la circunferencia
y radio
, se
2
3)
tres lados consecutivos del pentágono, por lo que los ángulos centrales ∢
,
divide en cinco arcos iguales
∢
,∢
, ∢
, y∢
,
con centro en
,
,
y
que subtienden a (5
miden
5
2
360
5
216 .
Pero además como los ángulos interiores ∢
,∢
,∢
pentágono son ángulos inscritos de la circunferencia
ángulos centrales ∢
, ∢
, ∢
,
∢
216
2
108 .
,
,∢
y∢
del
, son la mitad de los
y ∢
respectivamente,
entonces miden:
C
D
B
216°
O
108°
E
A
65
Para calcular el ángulo externo al pentágono, prolongamos el lado
pentágono, el ángulo ∢
del
es uno de los ángulos exteriores del pentágono, por lo
que los ángulos exteriores miden:
180°
108°
72°.
C
D
72
B
216°
O
108°
A
F E
Ejercicio
3. Completar la siguiente tabla
POLÍGONOS REGULARES
número de
Ángulos centrales entre
lados
dos lados consecutivos
3
3
2
360
3
4
4
2
360
4
5
5
2
360
5
Ángulos interno
120
120
2
60
180
180
2
90
216
216
2
108
Ángulos externo
180
60
120
180
90
90
180
108
72
6
66
7
También se puede ver el número de diagonales que se pueden trazar dentro de un
polígono convexo.
Esta sucesión nos da el número de diagonales que se pueden trazar en un
polígono convexo.
Ejercicios
1. Decir cuál es el siguiente término de la sucesión, que es equivalente a decir
cuántas diagonales se pueden trazar en un hexágono.
2. La fórmula general que nos da el número de diagonales que se pueden
trazar en un polígono de
lados.
Una vez que se dio un pequeño repaso a los significados de las fórmulas de
perímetro y área lo que haremos a continuación es encontrar áreas de figuras no
regulares.
67
Problema
Encontrar el área del polígono
, sabiendo que se encuentra en la
cuadrícula.
1ª estrategia.
Encerremos el polígono dentro de una figura regular en este caso la encerramos
en un rectángulo cuya área es:
68
5
10
50
Restemos a esta área el área de los triángulos
son
3
,
9u ,
2u y
,
,
y
cuyas áreas
6u respectivamente. El área de los
triángulos no sombreados es:
3u
9u
2u
6u
20u .
Por lo que el área sombreada es:
50 u
20 u
30 u .
2ª estrategia
Dividamos el polígono en figuras regulares, en este caso lo dividimos en los
trapecios
y
, y en los triángulos
y
. Como se muestra en la
siguiente figura.
69
El área que tiene el trapecio rectangular
es:
6
3 4
2
18 u .
2
El área que tiene el trapecio rectangular
es:
4
1 2
2
2
El área que tiene el triángulo rectángulo
es:
2
2
4
2
El área que tiene el triángulo rectángulo
4u .
es:
6
2
5u .
1
2
3u .
70
Po r lo que el área del polígono
es la suma de las áreas de los polígonos
anteriores, es decir
18 u
5u
4u
3u
30 u .
Problema:
Se quiere poner azulejo tipo terracota de 20 cm
20 cm para recubrir un
rectángulo que se encuentra en la parte central de una superficie rectangular con
5 m de largo y 4 m de ancho, la cenefa debe estar a una distancia de 40
de la
pared, las orillas del rectángulo color terracota se cubrirán con cenefas que miden
7cm
20 cm, el marco entre la pared y la cenefa se cubrirá con azulejo de color
amarillo.
1. ¿Cuántos metros se deben comprar de cenefa?
2. ¿Cuántos metros cuadrados se deben de comprar de cada loseta?
Solución:
4
Azulejo amarillo
cenef a
3.5
Azulejo terracota
3
2.5
2
1.5
1
0.5
1
2
3
4
5
71
1. Como la cenefa es el marco blanco del rectángulo color terracota, entonces
lo que hay que obtener es el perímetro del marco blanco, es decir la base
mide
5m
0.80 m y de altura tiene
4m
0.80 m, pues hay que
quitar 40 cm en cada lado para hacer el marco amarillo. Así lo que se
necesita de cenefa es:
2
2
4.2 m
3.2 m
14.8 m.
2. Para el azulejo amarillo se necesitan encontrar el área de rectángulo mayor
menos el área del rectángulo que contiene la cenefa, es decir:
5m
4m
Á
á
4.2 m
3.2 m
6.56 m .
Á
Para la parte del rectángulo rojo hay que quitar 0.47 m a cada lado del
rectángulo, por lo que la cantidad de azulejo terracota es:
5m
2 . 47 m
4m
2 . 47
12.42 m .
Á
72
Unidad III. Aritmética e introducción al álgebra
Interpretación y localización en la recta numérica de fracciones y
números
decimales;
operaciones
con
fracciones
y
decimales;
equivalencia entre estas dos representaciones de un número racional.
Ecuaciones sencillas, los números con signo y sus operaciones.
73
Introducción
Esta unidad está dedicada al estudio de los números racionales. Inicia con la
localización de ellos en la recta numérica haciendo uso del concepto de triángulos
semejantes. A continuación se estudia cómo convertir una fracción a su expresión
decimal periódica y viceversa. Se ve una interpretación geométrica de las leyes de
los signos. Finalmente se resuelven diversos problemas de aplicaciones.
Interpretación y localización en la recta numérica de fracciones y
números decimales
Nota: La palabra fracción viene de la palabra en Latín frangere que significa
romper.
División de un segmento en partes iguales
Veamos cómo dividir un segmento en 5 partes iguales.
Trazamos un segmento cualquiera
.
.
.A
Levantamos una recta perpendicular al segmento
B
que pase por .
.
.
A
B
Elegimos cualquier medida arbitraria y hacemos una marca sobre la recta
perpendicular, llamamos al punto marcado. Después colocamos el compás en
y los abrimos hasta llegar a . Con esta abertura marcamos los puntos , , y
.
74
G
F
E
D
C
.
A
.
Unimos
.
con
B
y trazamos rectas paralelas a la recta
por los puntos
, ,
y
G
F
E
D
C
.
A
.
B
Marcamos los puntos de intersección de estas rectas con el segmento
Obteniendo los puntos , , y .
.
G
F
E
D
C
.
.
A
K
J
I
H
B
75
Analicemos los triángulos
y
. Ambos triángulos son rectángulos.
El lado
es prolongación del lado
y el lado
es prolongación del lado
.
Además el lado
es paralelo al lado
. El ángulo es igual al ángulo
De
donde los triángulos son semejantes. Así
.
Pero
.
Y por construcción:
.
De donde
2
,
así
,
2
de donde
2
.
De manera que
2
.
Pero
,
entonces
2
.
De donde
.
76
Que es lo que queríamos demostrar.
Análogamente por las propiedades de los triángulos semejantes tenemos que
.
Localizar el número
en la recta numérica.
Dividimos la unidad en cinco partes iguales y después a partir del cero nos
movemos hacia la derecha y tomamos dos de estas partes.
.
0
2
5
1
3
2
Si queremos localizar el punto que corresponde al número
, una vez dividida la
unidad en cinco partes iguales, colocamos el compás en el cero y lo abrimos hasta
la primera marca que tenemos. Después giramos el compás y colocamos la
primera marca a la izquierda del 0. Colocamos la punta del compás en la primera
marca y hacemos la segunda, así hasta completar 6 marcas.
.− 6
5
0
1
2
3
77
Ejercicios
.
Localizar en la recta numérica los números ,
Un resultado interesante es el que una fracción se puede escribir como suma de
un número entero y de fracciones que tengan un uno en el numerador. Este
método lo utilizaban los egipcios.
Veamos las diferencias en los procedimientos si trabajamos con un número
positivo o con uno negativo.
•
Escribir
como suma de un número entero y fracciones distintas que
tengan un uno en el numerador.
Solución:
Como en el número
el numerador es mayor que el denominador,
escribimos el número como suma de un número entero y una fracción.
14
5
4
.
5
2
Los números fraccionarios que tienen un uno en el numerador son:
1 1 1 1
, , , ,⋯
2 3 4 5
Comparamos con , para ello realizamos los productos cruzados
4
Como 8
2
5 entonces
8
5
y
1
5.
. Calculamos
4
5
1
2
4 2
1 5
10
3
.
10
De donde
14
5
2
1
2
3
.
10
78
Ahora comparamos
con ,
3
Como 9
3
9
10
y
10, entonces
1
10.
. Como resultó ser menor, entonces
comparamos con la siguiente fracción, es decir, comparamos
3
Como 12
4
12
10, entonces
3
10
10
y
1
con
10.
. Calculamos
1
4
3 2
1 5
1
.
20
20
De donde
14
5
•
1
2
2
1
4
1
.
20
Veamos ahora un ejemplo con un número negativo. Consideramos el
número
.
Como en el número
el numerador es mayor que el denominador,
escribimos el número como suma de un número entero y una fracción.
27
7
Comparamos
con
6
Como
12
6
.
7
3
para ello realizamos los productos cruzados
2
12
7
y
7 entonces
1
7.
. En el caso de los negativos
necesitamos que sea menor, entonces calculamos
6
7
1
2
6
7
1
2
6 2
7 1
14
5
.
14
De donde
27
7
3
1
2
5
.
14
79
Comparamos
con
5
Como
15
para ello realizamos los productos cruzados
3
15
14 entonces
5
14
1
3
14
y
1
14.
. Calculamos
5
14
1
3
5 3
14 1
14 3
1
.
42
Por tanto,
27
7
3
1
2
1
3
1
.
42
Ejercicios
Escribir los siguientes números como sumas de números enteros y fracciones
distintas con numerador igual a uno.
.
1.
2.
.
Equivalencia entre representación decimal y fraccionaria de un número
racional
Los números racionales los podemos expresar de dos formas distintas, como
fracciones o bien como decimales.
Por ejemplo, para expresar el número
4
Escribir
como decimal, realizamos la división.
0.75
3
30
20
0
como decimal.
80
7
5.142857
36
10
30
20
60
40
50
1
Observamos que el último residuo que calculamos es 1, que es igual al primer
residuo que obtuvimos, entonces el siguiente cociente va a ser 1 y el residuo 3, y
así sucesivamente se van a repetir los mismos números.
5.14285714 ….
Esto lo escribimos como
36
7
5. 142857.
Los números que tienen la barra arriba son los que se van a repetir, en ese orden,
indefinidamente.
Podemos representar a los números racionales como fracciones o como
expresiones decimales finitas o periódicas.
Las expresiones decimales que no son ni finitas ni periódicas, se llaman números
irracionales.
Para localizar en la recta numérica un número racional que está representado
como expresión decimal finita o periódica, lo escribimos como fracción.
Por ejemplo, para localizar el número 0.25 en la recta numérica, lo escribimos
como fracción.
0.25
100
100
0.25 100
100
25
1
100 4
0.25
81
Y localizamos como se explicó anteriormente.
el número 0.25.
Veamos otra forma de hacer esto. Llamamos
0.25.
Multiplicamos ambos lados de la igualdad por una potencia de 10, de manera que
del lado derecho de la igualdad nos quede un número entero.
100
0.25 100
25,
de donde
100
Despejamos
25.
y simplificamos:
25
100
1
.
4
Veamos otros ejemplos con expresiones periódicas.
1. Escribir como fracción el número 3. 572.
Solución:
Llamamos al número
3. 572.
Multiplicamos por una potencia de 10, de manera de colocar un periodo a la
izquierda del punto decimal
1000
3572. 572.
Restamos, simplificamos y despejamos
1000
1000 1
999
3572. 572
3569
3569
3569
.
999
3. 572
2. Escribir como fracción el número 6.916.
Solución:
Llamamos al número
82
6.916.
Multiplicamos por una potencia de 10, de manera de colocar la parte no
periódica a la izquierda del punto decimal
100
691. 6.
Multiplicamos por una potencia de 10, de manera de colocar un periodo a la
izquierda del punto decimal
10 100
1000
6916. 6
6916. 6.
Restamos, simplificamos y despejamos
1000
1000
100
100
900
6916. 6
6225
6225
6225
900
83
.
12
691. 6
Ejercicios.
Escribir los siguientes números como fracción. 18. 06 , 1.73.
Nota: Leonardo de Pisa (1170 - 1250), mejor conocido como Fibonacci, introdujo a
Europa el sistema decimal indoarábigo y los numerales arábigos.
83
Interpretación geométrica de las leyes de los signos
•
Primer caso: Ambos números positivos.
Veamos como representar geométricamente 4 2.
Dibujamos un plano cartesiano y localizamos el 4 sobre el eje
el eje .
y el 2 sobre
Y
6
5
4
3
2
1
.
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
Unimos con un segmento el 1 del eje con el 4 que marcamos sobre el eje
. Ahora trazamos una recta paralela a este segmento que pase por el 2.
Y
6
5
4
3
2
1
.
.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
•
•
•
•
El punto 8 donde corta esta recta al eje
es el resultado de la
multiplicación.
Procedimiento:
Para representar geométricamente
seguimos los siguientes pasos:
Localizar en el eje .
Localizar en el eje .
Unir con un segmento el 1 del eje con el punto del eje .
Trazar una paralela al segmento por el punto del eje .
Ejercicio
Representar geométricamente
3
4.
84
•
Tercer caso: Ambos números negativos.
Veamos como representar geométricamente 3
2 .
Dibujamos un plano cartesiano y localizamos el 3 sobre el eje y el 2
sobre el eje . Unimos con una recta el 1 del eje con el 3 que marcamos
sobre el eje . Trazamos una recta paralela a esta última recta que pase
por el 2 que marcamos en el eje .
Y
4
3
2
1
.
-5 -4 -3 -2 -1
-1
.
1
2
3
4
5
6
7 X
-2
-3
El punto 6 donde corta esta recta al eje
multiplicación.
es el resultado de la
Veamos ahora la justificación de estas construcciones.
Probaremos que
.
Localizamos el punto sobre el eje de tal manera que
y sobre el eje
tal que
. Localizamos en el eje de manera que
1. Unimos con un
segmento
con . Trazamos una recta paralela al segmento que pase por y
llamamos al punto donde corta al eje .
Y
.
A
U
O
B
Consideramos los triángulos
.
C
X
.
y
.
85
Ambos triángulos son rectángulos. Por construcción, el lado
es paralelo al lado
, el lado
es prolongación del lado
y el lado
es prolongación del lado
.
Los ángulos marcados en la figura son iguales por ser ángulos alternos internos
entre dos paralelas y una transversal.
Así los triángulos
y
son semejantes. Entonces
.
Como
1, entonces
∙
Por lo tanto,
.
.
Otra aplicación de este método geométrico es la siguiente:
Localizar el inverso multiplicativo de
3.
En el plano cartesiano, localizamos el 3 sobre el eje
y el 1 sobre el eje .
Trazamos un segmento que una estos dos puntos y después trazamos una recta
paralela a este segmento que pase por el 1 del eje . El punto donde esta recta
corta al eje
es
.
Y
.
1
-2 -1
-1
.
1
X
-2
.
-3
86
Ejercicio
1. Construir con regla y compás el inverso multiplicativo de 5.
De las construcciones anteriores podemos observar lo siguiente:
•
•
•
•
•
Un número y su inverso multiplicativo tienen el mismo signo.
Si un número es mayor que uno, su inverso multiplicativo es menor que uno
y mayor que cero.
Si un número está entre cero y uno, su inverso multiplicativo es mayor que
uno.
Si un número es menor que 1, su inverso multiplicativo está entre 1 y
cero.
Si un número está entre cero y 1, su inverso multiplicativo es menor que
1.
Problemas
En esta sección resolveremos problemas con distintos grados de dificultad.
En todos los problemas que aparecen a continuación se plantea una ecuación de
primer grado de la forma
,
donde , y son constantes y
despejar , es decir,
es la variable. Para encontrar la solución hay que
.
Una vez que hemos obtenido el valor de , hay que volver a leer el problema para
poder responder a la pregunta que se plantea e interpretar el valor obtenido de .
Observación: En la solución de los problemas se utilizó distintos nombres para las
variables.
1. Un médico utiliza la siguiente fórmula para saber cuántos pacientes puede
atender.
1.06
,
donde
cita y
es el número de pacientes, es el intervalo de tiempo entre cada
es el total del tiempo que dispone el médico para atender a los
87
pacientes. El Dr. López dispone de 4 horas para atender pacientes y quiere
atender un paciente cada 25 minutos. ¿Cuántos pacientes puede atender el
Dr. López?
Solución:
Para poder calcular el número de paciente que puede atender el doctor,
tenemos que expresar las horas en minutos, es decir,
4 horas
4 60
240 minutos.
Así
1.06
1.06 240
25
1.06 48
5
50.88
5
10.176.
Como la respuesta se refiere al número de pacientes que puede atender el
médico, entonces la respuesta debe ser un número entero.
El Dr. López puede atender 10 pacientes.
Ejercicio
2. Resolver el mismo problema si el Dr. López dispone de 3 horas para
atender pacientes y quiere atender un paciente cada 20 minutos.
3. Durante un año, una empresa contrató 115 empleados nuevos. En ese año
se jubilaron 22 empleados y 35 se fueron por otros motivos. Si al final del
año la empresa contaba con 328 empleados. ¿Cuántos empleados más
tiene la empresa con respecto al inicio del año?
Solución:
Llamamos al número de empleados que tenía la empresa al iniciar el año.
Los empleados que se jubilaron o se fueron son: 22 35 57.
Empleados nuevos: 115.
Primero tenemos que averiguar cuántos empleados tenía al iniciar el año.
Como sabemos cuántos tiene al final del año, entonces planteamos la
ecuación
57 115 328.
Despejando tenemos
88
328 57
270.
115
El número de empleados al iniciar el año era de 270.
Para saber cuántos empleados más tiene que al iniciar el año, hacemos
328 270 58.
Por lo tanto, la empresa tiene 58 empleados más que al iniciar el año.
Ejercicio
4. Durante un año, una empresa contrató 253 empleados nuevos. En ese año
se jubilaron 12 empleados y 6 se fueron por otros motivos. Si al final del
año la empresa contaba con 232 empleados. ¿Cuántos empleados más
tiene la empresa con respecto al inicio del año?
5.
del periodo de gestación en semanas de un antílope es igual a 15.
¿Cuántas semanas dura la gestación del antílope?
Solución:
Llamamos a las semanas que dura la gestación del antílope y planteamos
la ecuación:
5
15.
9
Podemos escribir esta ecuación de la siguiente manera:
.
Las tarjetas “rojas” pasan con las “rojas” y las “verdes” con las “verdes”
x
x
.
Simplificamos la expresión de la derecha
3 9
27.
Comprobación:
89
Si
27, entonces
5
9
5
27
9
5 3
15.
Por lo tanto, el periodo de gestación de un antílope es de 27 semanas.
6. La suma de dos números es 33 y el mayor es 60. Encontrar el cociente del
mayor entre el menor.
Solución:
Llamamos al número menor.
Como la suma de los dos números es 33, entonces
60 33.
Despejando , tenemos
33 60
27.
El número mayor es 60 y el menor es 27. El cociente del mayor entre el
menor es
60
60
.
27
27
Por lo tanto, el número buscado es
.
Ejercicio
7. La suma de dos números es
del mayor entre el menor.
39 y el mayor es
16. Encontrar el cociente
8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 30 cm y un ángulo mide 22°.
¿Cuánto miden los otros dos ángulos?
Solución:
Como el triángulo es rectángulo, entonces uno de sus ángulos mide 90°.
Además sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es
180 , entonces si llamamos al ángulo que no conocemos tenemos que
22°
90°
180°.
90
Despejando , tenemos
180°
180°
68°.
22° 90°
112°
Por lo tanto, los otros dos ángulos miden 90° y 68°.
Observación: En este problema el dato del perímetro del triángulo no se
utiliza. Esto se hace con el fin de que los alumnos identifiquen qué datos
necesitan para resolver el problema.
Ejercicio
9. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 107 m y el lado desigual mide
50 m. ¿Cuánto miden los otros dos lados?
10. El largo de un rectángulo es el triple de su ancho. El perímetro es 40 cm.
¿Cuál es el área del rectángulo?
Solución:
Llamamos al largo del rectángulo y al ancho.
Como el largo es el triple del ancho, entonces
3 .
El perímetro de un rectángulo es:
2
2
Y sabemos que el perímetro es 40 y que
3 , entonces
40 2 3
2
6
2
8 .
Despejamos :
40
40
8
5
8
.
Para saber el largo del rectángulo, sustituimos el valor de
5 en
91
3
3 5
15.
El rectángulo tiene 15 cm de largo y 5 cm de ancho.
El área del rectángulo es
5 15
75.
Por lo tanto, el área del rectángulo es 75 cm2.
Ejercicio
11. El largo de un rectángulo es el quíntuple de su ancho. El perímetro es 30
cm. ¿Cuál es el área del rectángulo?
12. La suma de dos número enteros pares consecutivos es 46. Encontrar el
cociente del menor entre el mayor.
Solución:
Hay dos maneras de resolver este problema.
Primera manera:
Como los números en cuestión son pares, entonces el primer número es de
la forma 2 .
El número entero par consecutivo de 2 es 2
2.
La suma de los números es 46, entonces planteamos la ecuación:
2
2
2
46.
Ahora despejamos :
2
2
2
46
4
2
46
4
46 2
4
48
48
4
12.
Para saber cuáles son los números debemos calcular
2
2 12
24
y
92
2
2
2
12
2
24 2
22.
Ahora tenemos que calcular el cociente del menor entre el mayor. Como
24 es el menor y 22 es el mayor, entonces
24 12
.
22 11
Por lo tanto, el resultado es .
Segunda manera:
Llamamos al primer número .
El número entero par consecutivo de es
2.
La suma de los números es 46, entonces planteamos la ecuación:
2
46.
Ahora despejamos :
2
46
2
2
46
2
46 2
2
48
48
2
24.
Para saber cuál es el otro número debemos calcular
2
24 2
22.
Ahora tenemos que calcular el cociente del menor entre el mayor. Como
24 es el menor y 22 es el mayor, entonces
24 12
.
22 11
Ejercicio
13. La suma de dos número enteros impares consecutivos es 108. Encontrar la
suma de los dígitos del número mayor.
93
14. Los símbolos químicos del oro Au y de la plata Ag vienen de sus nombres
en latín. El del oro es aurum que significa “amanecer radiante” y el de la
plata es argentum que significa “brillante”.
El punto de ebullición del oro menos el de la plata es 758 C. El punto de
fundición de la plata es 962 C. El punto de ebullición del oro es igual al
triple del punto de fundición de la plata más 84 C. Determinar el punto de
ebullición del oro y de la plata.
Solución:
Llamamos al punto de ebullición del oro y al de la plata.
El punto de fundición de la plata es 962 C.
El punto de ebullición del oro es igual al triple del punto de fundición de la
plata más 84 C, es decir,
3 962
84
2886 84
2970.
Así, el punto de ebullición del oro es 2970 C.
Por otro lado, tenemos que el punto de ebullición del oro menos el de la
plata es 758 C.
758.
Sustituimos el valor de
en la ecuación anterior:
2970
2970 758
2212
758
.
Por lo tanto, el punto de ebullición de la plata es 2212 C.
94
Unidad IV. Proporcionalidad
Identificar situaciones en que se presenta proporcionalidad directa.
Encontrar cantidades proporcionales con factor unitario entero,
decimal y fraccionario. Regla de tres y aplicación sucesiva de
proporcionalidad. Comparación con la proporcionalidad inversa.
Conexión con funciones lineales.
95
Introducción
Primero abordamos el tema de proporcionalidad resolviendo un problema
geométrico. A continuación se resuelven diversos problemas de regla de tres y
tanto por ciento. En algunos casos se da más de una solución con el objeto de
mostrar que se pueden utilizar distintos caminos para resolver un problema.
Proporcionalidad directa
Problema: Si los triángulos ∆
tienen la misma altura de 5 cm y con
y ∆
bases 4 cm y 6 cm respectivamente, ¿cómo es la proporción entre sus áreas
comparada con la proporción entre las bases, donde se levanta la altura común?
Solución:
C1
C
5
5
4
6
D A1
B
A
área ∆
4
5
2
B1
D1
6
10 y área ∆
5
2
15 .
Entonces
área ∆
área ∆
15
10
3
.
2
Mientras que
base del ∆
base del ∆
6
4
3
.
2
96
Lo que quiere decir que la proporción es la misma.
Generalizamos esta idea, para cualesquiera dos triángulos con la misma altura.
Ejercicio
Si los triángulos ∆
y ∆
tienen la misma altura, entonces la proporción
entre sus áreas es igual a la proporción entre sus bases, donde se levanta la
altura común.
Solución:
C1
C
h
D A1
B
A
D1
B1
base
base
área ∆
h
base ∆
2
∆
y área ∆
.
2
Entonces
área ∆
área ∆
base ∆A B C
2
base ∆
2
base ∆
base ∆
.
Ejercicios
1.- Si los triángulos ∆
y ∆
tienen la misma base de 5 cm y con alturas
4 cm y 6 cm respectivamente ¿Cómo es la proporción entre sus áreas comparada
con la proporción entre sus alturas, que se levantan sobre la base común?
97
2.- Si los
triángulos ∆
y
∆
tienen la misma base, entonces la
proporción entre sus áreas es igual a la proporción entre sus alturas, que se
levantan sobre la base común.
98
Regla de tres directa
Veamos ahora algunos problemas que presentan distintos grados de dificultad, así
como distintas estrategias para resolverlos.
1. A cierta hora de la mañana, un árbol proyecta una sombra de 3.24 m y un
bastón de un metro de altura proyecta una sombra de 40 cm. ¿Qué altura
tiene el árbol?
Solución:
Primero expresamos la sombra del batón en metros, es decir, la sombra
mide 0.40 metros.
Llamamos a la altura del árbol.
Planteamos la siguiente regla de tres:
3.24 →
0.40 → 1.
De donde
3.24 1
0.40
32.4
4
8.1.
El árbol mide 8.1 metros.
Nota: Este procedimiento fue el que utilizó Thales de Mileto (639 – 547
a.C.) para determinar la altura de las pirámides de Egipto.
Ejercicio
2. Una docena de naranjas cuestan 15 pesos y se necesitan 3 naranjas para
hacer un vaso de jugo. Si cinco amigos compraron un vaso de jugo cada
uno, ¿cuánto pagaron por los jugos?
3. ¿Qué porcentaje de 52 es 39?
Solución:
Primer método:
Escribimos una proporción
100
39
52
99
y despejamos :
39
100
52
39
25
13
3 25
75.
Así 39 es el 75% de 52.
Segundo método:
Escribimos el diagrama
39
→ 52
→ 100.
De donde
39 100
52
75.
Así 39 es el 75% de 52.
Ejercicio
4. ¿Qué porcentaje de 213 es 68.16?
Nota: Una leyenda dice que el símbolo de pesos $ proviene del escudo de
armas español grabado en la moneda española de plata de la colonia,
donde aparecen las Columnas de Hércules atravesadas por una banda con
el lema Non Plus Ultra en forma de una "S".
5. El gerente de una tienda de aparatos eléctricos rebajó el precio de una
licuadora de $600 a $528. ¿Cuál fue el porcentaje del descuento?
Solución:
Llamamos al porcentaje del descuento.
Calculamos la diferencia entre los precios:
600 528 72.
Planteamos el problema
72
→ 600
→ 100.
Así
72 100
600
12.
100
El descuento fue del 12%.
Ejercicio
6. El gerente de una tienda de aparatos eléctricos rebajó el precio de una
licuadora de $720 a $619.20. ¿Cuál fue el porcentaje del descuento?
Nota: La primera olimpiada de la era moderna, la organizó el barón Pierre
de Coubertin y se celebró en Atenas, Grecia del 6 al 15 de abril de 1896.
7. El record olímpico de la carrera de 100 metros planos para hombres lo tiene
el jamaiquino Usain Bolt y lo obtuvo el 16 de agosto de 2008 en las
olimpiadas celebradas en Beijing. Usain hizo un tiempo de 9.69 segundos.
¿A qué velocidad media corrió los 100 metros? Expresar la velocidad en
kilómetros por hora.
Solución:
La velocidad es la distancia entre el tiempo:
.
Entonces
100
.
9.69
Haciendo la división, el resultado es
10.32.
Como la distancia está medida en metros y el tiempo en segundos,
entonces la velocidad es 10.32 metros por segundo.
Para entender mejor este resultado, lo interpretamos en kilómetros por
hora.
Una hora tiene 3600 segundos. Planteamos la siguiente regla de tres.
En un segundo avanza 10.32, entonces en 3600 ¿cuánto avanzará?
1
→
3600 →
10.32
.
De donde
10.32 3600
37152.
Este resultado son metros por hora. Para pasarlo a kilómetros por hora,
solo hay que dividir entre mil.
101
37152
37.152.
1000
Por tanto, la velocidad es 37.152 kilómetros por hora
8. Una persona que pesa 40 kilos en la Tierra, pesa
de kilo en la Luna. El
peso en la Luna es directamente proporcional al peso en la Tierra. ¿Cuánto
pesa en la Luna una persona que pesa 65 kilos en la Tierra?
Solución:
Llamamos al peso de una persona en la Luna y al peso en la Tierra.
El peso en la Luna es directamente proporcional al peso en la Tierra,
entonces
.
Como sabemos que una persona que pesa 40 kilos en la Tierra, pesa
de
kilo en la Luna, entonces tenemos que
20
3
40
De donde
40
1
.
6
Una vez encontrado el valor de , entonces podemos expresar el peso en la
Luna de la siguiente manera:
1
6
Si una persona pesa en la Tierra 65 kilos entonces en la Luna pesa:
1
65
6
10.83 kilos.
Podemos representar gráficamente la relación
.
Hacemos la tabla:
102
0
6
0
1
y localizamos los puntos 0,0 y 6,1 en el plano cartesiano.
Y
2
.
1
0
.
2
4
6
8
X
Esta figura representa una función lineal.
9. En una fonda la comida corrida cuesta 5% más que el año pasado. El
precio actual es $42. ¿Cuánto costaba el año pasado?
Solución:
Llamamos al precio del año pasado.
El cambio del precio es: 42
.
Planteamos
42
→
5
→ 100.
De donde
42
100
5
42
20
840 20
21
840
840
21
40.
El año pasado la comida costaba $40.
Ejercicio
10. En el mercado el kilo de cebolla cuesta 20% menos que el mes pasado,
debido a que terminó la época de lluvias y ya no se echan a perder. El
103
precio actual es $12 el kilo, ¿cuánto costaba el kilo de cebolla el mes
pasado?
11. Para hacer 7 vestidos se necesitan 5 metros de tela y 3 metros de tela
cuestan $252. Ana necesita tela para dos vestidos, ¿cuánto tiene que
pagar?
Solución:
Llamamos al precio de 5 metros de tela. Planteamos la siguiente regla de
tres:
3 → 252
5 →
.
de donde
5 252
5 84
420.
3
Así la tela de 7 vestidos cuesta 420 pesos.
Ahora llamamos al precio de dos vestidos, de manera que
7 → 420
2 →
.
de donde
2 420
2 60
120.
7
Por lo tanto, Ana tiene que pagar 120 pesos.
12. Siete señoras bordan 28 manteles en 12 horas. ¿Cuántos manteles pueden
bordar 9 señoras en 15 horas?
Solución:
En este problema tenemos que hacer una aplicación sucesiva de
proporcionalidad.
Planteamos en un diagrama la situación del problema:
Señoras
7
9
→
→
Manteles
28
Manteles
→
→
Horas
12
15
Primero vemos cuántos manteles pueden bordar 9 señoras en 12 horas.
7 → 28
9 →
.
104
De donde
9 28
7
9 4
36.
Ahora nos planteamos la pregunta: ¿Cuántos manteles pueden bordar esas
9 señoras en 15 horas?
Manteles
36
→
→
Horas
12
15
Planteamos la regla de tres:
36 →
→
12
15.
De donde
36 15
12
3 15
45.
Por lo tanto, 9 señoras pueden bordar 45 manteles en 15 horas.
Ejercicio
13. Una fábrica con 4 máquinas puede empacar 100 juguetes en 3 horas.
¿Cuántos juguetes pueden empacar 6 máquinas en 5 horas?
1.
Regla de tres inversa
Cuatro bombas tardan 6 horas en llenar un tinaco de agua. Si se
descompone una bomba, ¿cuánto tiempo tardarán las otras 3 bombas en
llenarlo?
Solución:
Planteamos la situación en un diagrama
4 →
3 →
6
.
En este caso observamos que si aumentamos el número de bombas, el
tiempo disminuye y si disminuimos el número de bombas el tiempo
aumenta. Entonces en el diagrama anterior, intercambiamos los valores en
una de las columnas:
105
4
3
→
→
6.
Y ahora hacemos los cálculos
4 6
8.
3
Por lo tanto, tres bombas tardan 8 horas en llenar el tinaco.
2. Un engrane de 20 cm de diámetro gira a 350 revoluciones por minuto. Si el
número de revoluciones por minuto es inversamente proporcional al
diámetro del engrane, ¿cuántas revoluciones por minuto da un engrane que
mide 5 cm de diámetro?
Solución:
Escribimos los datos en el siguiente diagrama
20 →
5 →
350
.
Como el número de revoluciones por minuto es inversamente proporcional
al diámetro del engrane, entonces el diagrama anterior lo escribimos como:
20
5
→
→ 350.
20 350
5
20 70
Así
1400.
Por lo tanto, el engrane que tiene 5 cm de diámetro da 1400 revoluciones
por minuto.
Ejercicio
3. Uno de los engranes de un reloj tiene un diámetro de 4 mm y gira 10
revoluciones por segundo. Si este engrane mueve otro que mide 4 cm,
¿cuántas revoluciones por segundo da el engrane grande?
4. Un automóvil tarda 3 horas en recorrer cierta distancia a una velocidad
promedio de 90 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer esa misma
distancia si su velocidad promedio es de 120 km/h? ¿Qué distancia
recorrió?
106
Solución:
Como la velocidad es igual a la distancia entre el tiempo:
.
Entonces tenemos que
,
En este caso la distancia es constante, entonces el tiempo es inversamente
proporcional a la velocidad.
Calculamos
3h 90km/h
270km.
Así el automóvil recorrió 270 km.
Ahora para saber, cuánto tiempo hizo en recorrer esta distancia, si su
velocidad promedio fue de 120 km/h, calculamos
270km
120km/h
9
h
4
2 h.
Por lo tanto, el automóvil tarda 2 horas y 15 minutos en recorrer los 270 km.
107
Unidad V. Conteo y probabilidad
Diversas formas de contar y la regla del producto. Introducción del
azar. Experimentos aleatorios, espacio muestral y eventos. Distintas
formas de determinar la probabilidad de un evento y la relación entre
ellas, comparación de eventos. Estadística descriptiva.
108
Conteo y Probabilidad
Introducción
En esta unidad se abordan algunos temas introductorios de la probabilidad y la
estadística. Se inicia con problemas de conteo, que pueden ser resueltos
utilizando árboles y tablas. A continuación se introducen los conceptos de espacio
muestral y probabilidad de un evento. Finalmente, dentro del tema de estadística
se introducen algunas medidas de tendencia central, como son la media, la
mediana y la moda, y se ve, mediante ejemplos cuándo es conveniente usar cada
una de ellas.
Diversas formas de contar y la regla del producto
Vamos a resolver diversos problemas de conteo de forma gráfica e intentar llegar
a una fórmula general para este tipo de problemas.
Problema 1
Una fábrica de automóviles ofrece un modelo con las siguientes variantes:
Caja de velocidades: Automática o Estándar.
Tipo de techo: Techo normal, quemacocos, convertible.
¿Cuántas variantes de este modelo se pueden ofrecer considerando estas
opciones?
Solución:
Una manera de resolver este problema es mediante un diagrama de árbol
Automático
Techo duro
Quemacocos
Convertible
Modelo base
Estándar
Techo duro
Quemacocos
Convertible
Una vez hecho el árbol vemos que hay 6 datos en la última columna, que
corresponden a las 6 variantes que puede haber:
109
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Automático
Automático
Automático
Estándar
Estándar
Estándar
Techo duro
Quemacocos
Convertible
Techo duro
Quemacocos
Convertible
Antes de pasar a otra manera de contar, es conveniente hacer más ejercicios de
este tipo
Problema 2
Un restaurante tiene el siguiente menú:
Primer plato
Sopa de verduras
Arroz con chicharos
Segundo plato
Pollo Adobado
Puntas de Filete
Pescado a la Plancha
Postre
Flan
Gelatina
¿Cuántas comidas diferentes puede haber sirviendo un plato de cada grupo?
Hacemos nuevamente un árbol, solo que ahora tiene más ramas
110
Pollo
Sopa
Menú
Filete
Pescado
Pollo
Arroz
Filete
Pescado
Flan
Gelatina
Flan
Gelatina
Flan
Gelatina
Flan
Gelatina
Flan
Gelatina
Flan
Gelatina
Podemos enlistar todas las comidas diferentes siguiendo todos los caminos
indicados por las flechas.
1. Sopa, Pollo, Flan
2. Sopa, Pollo, Gelatina
3. Sopa, Filete, Flan
…
12. Arroz, Pescado, Gelatina
Ejercicios
Diseñar otros ejercicios similares con temas que pudieran ser de interés para los
alumnos de secundaria y que los resuelvan.
Otra manera de contar, para el caso de dos juegos de elecciones, como el ejemplo
del coche, es hacer una tabla.
Como encabezado de las columnas ponemos las opciones de un tipo, en este
caso, tipo de transmisión, y como encabezado de los renglones ponemos los tipos
de transmisión.
Techo duro
Quemacocos
Convertible
Automático
Techo duro, Automático
Quemacocos, Automático
Convertible, Automático
Estándar
Techo duro, Estándar
Quemacocos, Estándar
Convertible, Estándar
111
En la parte interior de la tabla, en cada celda ponemos el encabezado del renglón
y de la columna a la que pertenece dicha celda.
Para contar el número de opciones distintas observamos que la parte interior de la
tabla (sin contar los encabezados) tiene 2 columnas y 3 renglones, por lo que
tiene
2
3 celdas.
En general, cuando tenemos un problema de conteo en el que tenemos dos o más
grupos de opciones y debemos elegir paquetes formados por una opción de cada
grupo, el número de paquetes posibles es igual al producto de los números de
elementos de cada grupo de opciones.
Así, en el problema del menú del restaurante, tenemos:
2 primeros platos, 3 segundos platos, 2 postres.
Entonces hay 2 3
árbol de opciones.
2
12 comidas distintas, como pudimos ver construyendo el
Este problema es más difícil de visualizar mediante una tabla, ya que ésta tendría
que ser de tres dimensiones:
Pollo
Filete
Gelatina
Pescado
Flan
Sopa
Arroz
Cada bloque representa una comida diferente, y podemos ver que hay 12 bloques
en total, que corresponde al producto de los elementos de cada grupo de
opciones.
2
3
2
12 comidas
112
Introducción al azar.
El estudio de la probabilidad tiene su origen en los juegos de azar, sin embargo
actualmente tiene muchísimas aplicaciones sobre todo en las disciplinas sociales y
económicas.
Para este tema, nosotros también empezaremos analizando algunos juegos de
azar sencillos para introducir todos los elementos necesarios para estudiar
situaciones más complicadas.
Experimentos aleatorios, espacio muestral y eventos
Ejemplo 1
Consideremos el juego que consiste en lanzar un dado marcado con los números
del 1 al 6 en las caras.
El resultado de un lanzamiento es, entonces, un número del 1 al 6. Así, decimos
que el espacio muestral del juego es el conjunto formado por los números del 1 al
6.
{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A cada uno de los elementos de este espacio muestral le llamamos suceso.
Si el dado está bien construido, todos los números tienen la misma probabilidad de
salir. Como son 6 números, la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es
1
6
Ejemplo 2
En un salón de clase hay 6 niños y 9 niñas. Se va a rifar un juguete entre ellos y
para ello se introducen en una urna papelitos con los nombres de cada uno de
ellos.
El espacio muestral es el conjunto de nombres de los 15 alumnos de la clase, por
ejemplo
{Juan, Pedro,…, Cristina, Ana}
Los sucesos son cada uno de los nombres de los alumnos.
La probabilidad que tiene cada alumno de salir premiado es
113
1
.
15
Ejemplo 3
Consideremos el mismo grupo de alumnos del ejemplo anterior, solo que ahora se
va a extraer un nombre de la urna. Si el nombre elegido es de un niño, la escolta
para los honores a la bandera estará formada por únicamente niños, en cambio, si
sale el nombre de una niña, la escolta será de niñas.
El espacio muestral sigue siendo el conjunto de 15 nombres.
Intuitivamente es claro que como hay más niñas que niños, es más fácil que salga
el nombre de una niña de el de un niño.
Podemos representar en una cuadricula de 15 casillas al grupo y pintamos de azul
a 6 de ellas para indicar a los niños y de rosa a las 9 restantes para indicar a las
niñas.
Tenemos que, como 6 de los 15 papelitos corresponden a niños, la probabilidad
de elegir un niño es
niño
6
15
2
.
5
Y como 9 de los 15 papelitos corresponden a niñas, la probabilidad de elegir una
niña es
niña
9
15
3
.
5
Un evento es una colección de sucesos de un espacio aleatorio.
En este problema distinguimos dos eventos: El evento de elegir niño y el evento
de elegir niña.
La probabilidad de un evento es la suma de las probabilidades de los sucesos que
lo conforman, así, la probabilidad de que salga niño es:
114
1
15
niño
1
15
1
15
1
15
1
15
1
15
6
15
2
.
5
Que es el resultado que habíamos obtenido previamente, similarmente,
niña
1
15
1
15
1
15
1
15
1
15
1
15
1
15
1
15
1
15
9
15
3
.
5
En general tenemos que:
Si en un espacio muestral todos los sucesos tienen la misma probabilidad de salir,
la probabilidad de un evento es
número de sucesos del evento
.
número total de sucesos
En un lenguaje más coloquial se suele decir
número de casos favorables
.
número total de casos
Observaciones importantes:
•
•
•
•
El denominador: “número total de casos” siempre es positivo. Si fuera cero
no habría ningún suceso y no se le puede calcular la probabilidad a nadie.
El numerador: “número de casos favorables” es mayor o igual que cero.
Aquí sí tiene sentido que el evento no tenga casos favorables, en cuyo
caso su probabilidad es 0.
Por los dos comentarios anteriores, el cociente siempre es mayor o igual a
cero. Es decir, la probabilidad es un número mayor o igual a cero.
Como los casos favorables son algunos de los casos totales, el numerador
siempre es menor o igual al denominador, por lo que el cociente siempre es
menor o igual a uno. Es decir, la probabilidad es un número menor o igual a
uno.
En resumen: Siempre se tiene que
0
1.
Distintas formas de determinar la probabilidad de un evento y la relación
entre ellas, comparación de eventos
Veamos ahora el juego de azar que consiste en lanzar dos dados con las caras
numeradas del 1 al 6 y sumar el resultado de ambos dados.
115
Los resultados posibles son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Éste es nuestro
espacio muestral.
A diferencia del juego con un sólo dado en el que todos los sucesos tienen la
misma probabilidad,
1⁄6, ahora los sucesos tienen diferentes probabilidades.
Para que sea más fácil explicar, vamos a suponer que un dado es azul y el otro
rojo.
Por ejemplo, la única manera de sacar 2 es
Azul
1
Rojo
1
En cambio, el 5 se puede obtener de 4 maneras:
Azul
1
2
3
4
Rojo
4
3
2
1
Para calcular la probabilidad de estos sucesos necesitamos saber el número total
de posibles tiradas.
Por cada posición en la que caiga el dado azul, el dado rojo puede caer de 6
maneras distintas, por ejemplo
Azul
1
1
1
1
1
1
Rojo
1
2
3
4
5
6
y así con los otros resultados del dado azul.
Así que hay 6
6
36 tiradas posibles.
Entonces, de acuerdo a las dos tablas anteriores,
116
2
1
36
5
4
.
36
y
Ejercicio
Completar la siguiente tabla con las 36 posibles tiradas y en la tercera columna
cuenta cuántas veces salió cada resultado.
Azul
1
1
1
1
1
1
2
2
…
Rojo Suma
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
1
3
2
4
Ahora, completar esta tabla que mostrar la probabilidad de cada uno de los
resultados posibles
Resultado Cuenta Probabilidad
1
2
1
36
3
4
4
5
4
36
6
7
8
9
10
11
12
117
Estadística descriptiva
Medidas de tendencia central
La medida de tendencia central más común es el promedio, pero no es la única y
no siempre es la más útil. Otras medidas de tendencia central son la mediana y la
moda.
Ejemplo
En un salón de clase los alumnos miden:
1.35, 1.40, 1.33, 1.50, 1.51, 1.45, 1.47, 1.49, 1.38 metros
El promedio de las alturas es:
1.35
1.40
12.88
9
1.33
1.50
1.51
9
1.45
1.47
1.49
1.38
1.43 m.
Si formamos en el patio a todos los alumnos, en orden de estatura, quedarían
formados así:
1.33,
1.35,
1.38,
1.40,
1.45,
1.47,
1.49,
1.50,
1.51.
El alumno que está a la mitad de la fila mide 1.45 m. Decimos entonces que la
mediana de las alturas de los alumnos es 1.45 m.
La mediana de un conjunto de valores es el número que está a la mitad de ellos,
una vez que están ordenados.
La mediana y la media suelen tener valores parecidos. Sobre todo cuando la
característica de la población que estamos estudiando es más o menos
homogénea. Además, la mediana suele ser bastante fácil de obtener, pues sólo es
necesario ordenar los valores de chico a grande.
Observa en el ejemplo, que para encontrar la mediana de las alturas de los
alumnos ni siquiera haría falta medirlos a todos, sino simplemente ordenarlos por
estaturas y medir al de en medio.
Otro dato interesante es que el promedio puede verse afectado por valores
extremos de la población, por ejemplo, si el alumno más alto midiera 1.80 m en
118
lugar de 1.51, el promedio de las alturas sería 1.46 m. sin embargo, la mediana
seguiría siendo la misma, así que es posible que la mediana sea un valor más
representativo que el promedio.
Observación: En el caso en que el número de datos a los cuales se les quiere
sacar la mediana es impar, hay un número que queda exactamente a la mitad, y
esa es la mediana. En cambio, cuando el número de datos es par, no hay ningún
dato a la mitad, entonces tomamos como mediana el promedio de los dos datos
centrales.
Ejemplos:
1. Encontrar la mediana de 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 12.
Solución:
No hay ningún número a la mitad, porque hay 8 datos. Así que tomamos el
promedio de los dos datos centrales.
5
6
2
5.5.
2. Encontrar la media de 4, 7, 7, 8, 9, 11,14
Solución:
El número que está en el centro de la lista es el 8, así que la mediana es 8.
Hay veces en que el valor que estamos analizando no es numérico, así que no
podemos sacar ni el promedio ni la mediana. En este caso nos será útil la moda.
En un estacionamiento hay 5 coches blancos, 3 negros, 7 rojos, 4 azules y 10
grises.
No podemos sacar el promedio o la mediana de los colores, pero sí podemos
indicar cuál color es el más frecuente: el gris. La moda de esta población es “gris”.
La moda de un conjunto de valores, numéricos o no, es el valor que más se repite.
Por supuesto, la moda también se puede encontrar para datos numéricos, en el
ejemplo 1 que está un poco más arriba, la moda es 5, y en el ejemplo 2, la moda
es 7.
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