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MATERIAL TEÓRICO
2º Cuatrimestre Año 2013
Prof. María Elena Ruiz
Prof. Carlos Roberto Pérez Medina
(1)
GEOMETRÍA
¿QUÉ ES LA GEOMETRÍA?
Es la ciencia (disciplina) que estudia idealidades geométricas (modelos ideales)
Veamos con un ejemplo, para aclarar, a que nos referimos con idealidades
geométricas. Consideremos un objeto plano (o que se vea en el plano) y que sea de
forma redonda:
Una rueda
Una sección de un tronco cortado
La cara de la luna
Mediante un proceso de abstracción a partir de las formas que observamos, se
puede pasar a la idea de línea plana redonda. Luego, desligándonos de los objetos
de los cuales proviene esta idea pasamos a la circunferencia, dicho objeto es un
ideal, una línea formada por todos los puntos que equidistan de uno dado (es decir,
el centro de la circunferencia)
Cualquier circunferencia trazada sobre la arena, la pizarra o papel, es una
representación de esa idea, es la imagen sensible del lugar que ocuparía una
circunferencia ideal y nos remitimos a esa idea. Por lo tanto, los objetos
geométricos son las “idealidades geométricas”, modelos de los objetos reales de los
cuales surgen.
Ubicándonos en el terreno de las idealidades geométricas, podemos elaborar
ciencia, en el sentido de construir nuevas idealidades, basándonos en las anteriores
ya conocidas. Por ejemplo, sobre la idea de triángulo podemos construir (sin la
necesidad de buscarlas entre los objetos naturales o artefactos culturales) las ideas
de diversos tipos de triángulos que se pueden considerar, si se toma como criterio
de diferenciación las relaciones entre las longitudes de sus lados. Podemos pensar
en tipos de triángulos según si sus tres lados tienen la misma longitud, si solo dos
de ellos tienen igual longitud o que los tres lados tengan longitudes diferentes.
Subrayamos que esta diferenciación puede hacerse, sin la necesidad de buscar tales
triángulos en objetos de la realidad. Por lo tanto, estudiar geometría involucra un
proceso de abstracción de objetos, relaciones y propiedades.
¿QUÉ BENEFICIOS NOS APORTA EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA?
1
Este apunte teórico se efectuó sobre la base del material teórico realizado para la asignatura Geometría
del cursado 2011 de la carrera Diseño de Interiores y Mobiliario, por los profesores Virginia Navarro y
Carlos R. Pérez Medina.
1
1. Estimula la capacidad del hombre de explorar racionalmente el espacio
físico en el que vive, lo cual involucra la capacidad de: definir, deducir,
resolver problemas y aplicar los conocimientos sobre los objetos geométricos,
sus propiedades y relaciones entre ellos.
2. Nos ayuda al desarrollo de la intuición espacial, a la construcción del
pensamiento espacial. Éste nos permite resolver problemas de ubicación,
orientación y distribución de espacios.
3. Nos permite integrar la visualización con la conceptualización, la
manipulación y experimentación con la deducción, y todo ello con la
resolución y la aplicación de los conocimientos geométricos.
CONCEPTOS GEOMÉTRICOS ELEMENTALES
Conceptos primitivos (elementos sin definir) El punto, la recta y el plano
(Objetos geométricos básico)
Como concepto geométrico se considera al plano sin espesor e ilimitado en
todas sus direcciones. Todo plano tiene dos dimensiones al igual que toda figura
cerrada que podamos representar en él. (Largo y ancho (o alto))
No hay “cosas” en nuestro entorno real que sean planas en el sentido geométrico
estricto, pues todas las cosas reales tienen tres dimensiones. Pero si podemos
encontrar imágenes o representaciones de un plano: la parte superior de una mesa,
un piso o una pared bien pulidos, la superficie de una laguna en la que no se
observa ningún movimiento, etc.
La línea como concepto geométrico, se considera sin espesor. Solo tiene una
dimensión (longitud); ciertamente en nuestro entorno tampoco hallamos líneas en
el sentido geométrico estricto, pero sí podemos encontrar imágenes o
representaciones de líneas: los bordes de una caja, o los bordes de las figuras
dibujadas en un plano o un trozo extendido de de hilo.
Otro de los objetos geométricos básicos es el que se obtiene como corte o
intersección de dos líneas: el punto. Como objeto geométrico, el punto no tiene
dimensión alguna. Toda línea se considera formada por puntos y, por eso no
tiene “espesor”. Como representación de un punto podemos referirnos a la
huella que sobre un papel puede dejarse con el toque de la punta de un
lápiz, o la perforación que puede hacerse con la punta de una aguja, o las
esquinas de una caja.
En el siguiente cuadro se relacionan los ámbitos en los que pueden encontrarse los
objetos geométricos, de acuerdo con el número de dimensiones correspondientes:
Ámbitos de los Objetos Geométricos Nº de dimensiones
Espacio
3
Plano
2
Línea
1
Punto
0
2
DIFERENTES TIPOS DE LÍNEAS
Línea recta: Mantiene la misma dirección en todos sus puntos y se considera
ilimitada por ambos extremos y está formada por infinitos puntos.
Semirrecta: Porción de recta que tiene como origen un punto y se extiende
ilimitadamente en un solo sentido. Todo punto sobre una recta determina dos
semirrectas sobre ella.
Segmento: Si fijamos dos puntos sobre una recta se obtiene un segmento, que es la
porción de recta que queda comprendida y une los dos puntos. Con segmentos
situados en rectas diferentes de un mismo plano y conectados por sus extremos se
construyen líneas quebradas o poligonales. Cuando estas líneas quebradas se
“cierran” sin haberse cruzado en ellas, se forman polígonos.
También están las líneas curvas, que son aquellas que van variando su dirección en
cada punto. Por ejemplo, la circunferencia.
Finalmente, hablamos de líneas mixtas que son aquellas constituidas por líneas
rectas y curvas al mismo tiempo.
Todos los objetos geométricos básicos tienen su representación:
Objeto geométrico
Representación
Punto
Con una letra mayúscula: A
Con puntas de flechas en los extremos. Se marcan dos

Puntos , o con una letra minúscula AB , r
Recta
Con punta de flecha en el extremo “abierto” Se marca el punto

Origen y otro punto, o con una letra minúscula. MN , s
Semirrecta
Segmento
Se marcan los dos puntos extremos PQ
3
Hay que tener presente que:
Dos puntos bastan para determinar una recta.
Tres puntos no alineados bastan para determinar un plano.
Un plano queda perfectamente determinado mediante dos rectas que se cortan
en un punto.
DISTANCIA ENTRE UNA RECTA Y UN PUNTO
La distancia entre una recta y un punto fuera de ella, es la longitud del segmento
perpendicular desde el punto a la recta. La distancia entre una recta y un punto de
la misma se define como cero.
POSICIÓN RELATIVA DE RECTAS
En el plano dos rectas pueden tener las siguientes posiciones relativas:
1.
Rectas secantes: son las que se cortan, es decir, tienen un punto en común.
2.
Rectas Perpendiculares: Si al cortarse dos rectas forman cuatro ángulos
congruentes se dice que estas dos rectas son perpendiculares. Se llama ángulo
recto a cualquiera de los ángulos que se cortan.
3. Rectas paralelas: son las que no se cortan, es decir, no tienen ningún punto en
común.
ÁNGULOS
Hay varias formas de considerar un ángulo:
 Desde la perspectiva dinámica, podemos entenderlo como un giro que hace
una semirrecta que mantiene fijo su punto de origen. Como este movimiento
puede ser más o menos amplio, hablamos de amplitud del giro, para
referirnos a su medida. Incluso, esta amplitud puede ser mayor a una vuelta
completa. En este caso interesa saber en qué “sentido” sé mueve la
semirrecta. Se considera negativo si el giro es en el sentido de las agujas del
reloj y positivo en caso contrario.
Desde la perspectiva dinámica, también, se puede considerar un ángulo
como un movimiento de barrido que hace una semirrecta que mantiene fijo
su punto de origen. Es una idea muy similar a la de giro, solo que ahora la
semirrecta al moverse, va marcando su huella en el plano. La idea de
amplitud y orientación se mantienen.
 Desde una perspectiva estática, un ángulo puede considerarse como la
región limitada por dos semirrectas con un origen en común. Es decir, como
si fuera el resultado del barrido del que hablábamos antes. También desde
la misma perspectiva, un ángulo puede ser considerado como la unión de dos
semirrectas con un origen en común. En ambos casos se mantiene el
concepto de amplitud angular, pero no suele tomarse en cuenta el sentido.
Al hablar de ángulos, conviene advertir que todo lo que se ha dicho en términos de
semirrectas puede extenderse también a segmentos. Para incluir ambos casos
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posibles, se habla en forma general de los lados de un ángulo. El punto de origen de
las semirrectas que giran, o el punto común de las dos semirrectas que se unen, se
denomina vértice del ángulo.
Un ángulo puede recibir diferentes notaciones, en general se utilizan los siguientes
símbolos: ,  o  , los cuales van acompañados por letras del alfabeto griego,
letras mayúsculas del alfabeto latino o números.
Ejemplos:



 ,  ,  
ABC , ABC , B , B

1 , 1
Medir un ángulo significa medir su amplitud. Una de las unidades para medir la
amplitud de un ángulo es el grado sexagesimal (la amplitud de un ángulo obtenido
como resultado de dividir una vuelta en 360 partes iguales).
Entre los ángulos se establecen ciertas relaciones en función de sus medidas:
 Dos ángulos que tienen igual medida se dice que son congruentes.
 Dos ángulos se llaman complementarios cuando la suma de sus medidas es 90°
 Dos ángulos se llaman suplementarios cuando la suma de sus medidas es 180°
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS SECANTES


Dadas dos rectas secantes
AB y CD (no
necesariamente perpendiculares) aparecen cuatro
ángulos entre ellas, relacionados de a dos:
Se llaman ángulos opuestos por el vértice a los que
 
están formados por las semirrectas EA y ED y


por sus prolongaciones EB y EC en sentido
opuesto. Los ángulos AED y CEB son opuestos
por el vértice al igual que los ángulos CEA y BED .
Los ángulos que comparten el vértice y un lado se llaman consecutivos. Los ángulos
consecutivos cuyos lados no compartidos están constituidos por semirrectas
opuestas, se denominan adyacentes. Siguiendo con el ejemplo gráfico, son ángulos
consecutivos
y
adyacentes
los
siguientes
pares
de
ángulos:
DEB y BEC, BEC y CEA, CEA y AED, AED y DEB
5
Por definición, la unión de dos ángulos adyacentes son suplementarios. De aquí se
deduce que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes, ya que poseen el
mismo suplemento.
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS CORTADAS POR UNA TERCERA
Si se tienen dos rectas cualesquiera m y n, y una recta l que corta a ambas, se
forman ocho ángulos, los cuales reciben nombres particulares según su posición
respecto de la secante y las otras dos rectas.
Se llaman ángulos alternos (internos o externos) a los pares de ángulos que están
en distintos semiplanos respecto a la secante. Se dice también que dos ángulos
formados por dos rectas cortadas por una tercera son conjugados (internos o
externos) cuando están situados en un mismo semiplano con respecto a la secante.
Finalmente, los ángulos correspondientes son dos ángulos, uno interno y el otro
externo, situados a un mismo lado de la secante, no adyacentes.





y ;  y  ángulos alternos externos
y  ;  y  ángulos alternos internos
y ;  y  ángulos conjugados externos
y  ;  y  ángulos conjugados internos
y ;  y  ;  y ;  y  ángulos correspondientes
En el caso particular de que m y n sean paralelas se tiene
que:
 Los ángulos correspondientes son congruentes
 Los ángulos alternos internos y los alternos externos son congruentes
 Los ángulos conjugados externos e internos son suplementarios.
CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS
Con frecuencia en la resolución de problemas de geometría se necesitan hacer
algunas construcciones planas. Debido a esto veremos algunos métodos de
construcción utilizando herramientas geométricas (regla y compás).
Es probable que el estudiante esté familiarizado con estos métodos pero la
experiencia ha demostrado que estos procedimientos elementales a menudo se
olvidan, de ahí la importancia de considerarlos en este material teórico.
1. Mediatriz de un segmento.
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento que lo
divide en su punto medio.
Procedimiento:
Dado un segmento AB tomamos un compás y lo abrimos con una amplitud algo
mayor que la mitad del segmento, haciendo centro en A trazamos un arco con esa
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abertura, por “encima” y por “debajo” del segmento. Repetimos la acción con la
misma abertura del compás, pero ahora haciendo centro en B .
Los dos arcos por encima del segmento se cortan en un punto M , igualmente los
dos arcos por debajo del segmento lo hacen en un punto N . Al trazar la recta que
determinan M y N hemos construido la mediatriz del segmento. El punto P
donde se intersecan la recta y el segmento, es el punto medio del segmento AB ,
luego AP  PB .
¿Cómo se construye la mediatriz de una recta o semirrecta?
De ninguna manera es posible en ambos casos pues la recta y la semirrecta no
tienen puntos extremos.
Relación existente entre los puntos de la mediatriz y los extremos de un segmento:
Es importante observar a partir de la construcción de la mediatriz que M está a la
misma distancia de A y de B, ya que M se obtuvo como el corte de dos arcos con la
misma abertura del compás.
Por consiguiente: “todos los puntos de la mediatriz de un segmento equidistan de
los extremos del segmento.”
Por lo anterior, una definición más formal de Mediatriz es la siguiente: “Es el lugar
geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento”. Ahora bien,
si dos puntos de una recta equidistan de los extremos de un segmento (la distancia
desde un punto no tiene que ser igual a las distancias desde el otro) dicha recta es
la Mediatriz del segmento.
2. Construir una perpendicular a una recta dada, que pase por un punto
perteneciente a la misma.

Sea una recta AB y un punto P perteneciente a dicha recta. Con el compás,
haciendo
 centro en P, se traza un arco de circunferencia que interseca a la
recta AB en dos puntos: A´ y B ´, estos dos puntos son equidistantes de P,
luego P es el punto medio del segmento A´B´ que quedó determinado.
Tomamos el compás y lo abrimos con una amplitud algo mayor que la mitad
del segmento A´B´, haciendo centro en A ´ trazamos un arco con esa
abertura, por “encima” o por “debajo” del segmento. Repetimos la acción con
la misma abertura pero ahora haciendo centro en B´. Los dos arcos se cortan
en un punto M . Al trazar la
recta que determinan M y P hemos construido

la perpendicular a la recta AB que pasa por el punto P .
3. Construir una perpendicular a una recta dada, que pase por un punto
exterior a la recta.

Sea AB y P el punto exterior. Se dibuja un arco de circunferencia con
centro en P para crear los puntos A' y B ', que son intersección del arco de
7

circunferencia con la recta AB (éstos son equidistantes a P). Se dibujan dos
circunferencias centradas en A' y B', pasando cada una por P. Sea Q el otro
punto de intersección de estas dos circunferencias. La recta que pasa por P
y Q es la perpendicular solicitada.
4. Construir una recta paralela a una dada que pase por un punto exterior
a la recta

AB y C el punto exterior. Usando la construcción anterior de la
perpendicular, trazamos la perpendicular CD a la recta AB, que pase por C.
Llamamos E al punto de intersección de las dos rectas.
Ahora trazamos la circunferencia con centro A' y radio igual a la distancia
de C a E.
Ahora trazamos la circunferencia con centro C y radio igual a la distancia de
A' a E.
Llamamos F al punto de intersección de las dos circunferencias.
Ahora trazamos la recta CF.
La recta CF es la paralela a AB que pasa por C.
Sea
5. Dividir un segmento en “n” partes iguales.
Suponga que se desea dividir un segmento dado AB en 6 partes iguales. A partir
de uno de los extremos ( A ) del segmento trazar una semirrecta que forme un
ángulo cualquiera con el segmento dado. Usando un compás tome 6 segmentos
iguales sobre la semirrecta, quedando de esta manera determinados 6 puntos (
C, D, E, F , G y H ), luego unir el último punto con el otro extremo ( B ), quedando
determinado el segmento HB. Luego construya líneas paralelas a la HB desde los
puntos C, D, E, F , G . Estas líneas cortarán al segmento en los puntos
C ', D ', E ', F ', G ' , que dividen al segmento AB en las seis partes iguales
solicitadas.
6. Construcción de la bisectriz de un ángulo dado

Dado el ángulo AOB , hacemos centro en el vértice O trazamos un arco que
determine dos puntos, uno sobre cada lado del ángulo dado. Luego, haciendo centro
en dichos puntos, marcamos, en cada caso, un arco que quede en el interior del
ángulo, con la misma abertura del compás en cada caso. Así queda determinado un
tercer punto M, uniendo M con el vértice O del ángulo queda determinada la
bisectriz del ángulo. La bisectriz de un ángulo lo divide en dos ángulos congruentes.
7. Trasladar un ángulo dado (solo con compas)

Sea COB el ángulo dado, con el compás haciendo centro en el vértice O de éste, se
traza un arco de lado a lado; llamamos N y M a los dos puntos de intersección con
los lados del ángulo. Sobre una recta o segmento, con la misma abertura del
compás, haciendo centro en un punto A de la recta, trazamos un arco que corte a la
recta en un punto R. Volviendo al ángulo original, se toma con el compás la
distancia MN. Manteniendo la misma abertura, se hace centro en el punto R y se
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corta el arco trazado anteriormente, lo que determina un punto S. Al unir A con S
se tiene el segundo lado del nuevo ángulo, el cual es congruente con el original.
POLÍGONOS
Recordemos que en el apartado anterior, decíamos que “con segmentos situados en
rectas diferentes de un mismo plano, y conectados por sus extremos, se construyen
líneas quebradas o poligonales”. Estas líneas pueden ser abiertas si no coincide uno
de los puntos extremos del segmento inicial con alguno del segmento final, o
cerradas en caso contrario. Cuando una línea quebrada es cerrada y no se han
cruzado entre sí los segmentos que la componen, decimos que se ha formado un
polígono.
En todo polígono se destacan los siguientes elementos:

Lados: son los segmentos de la línea poligonal

Vértices: puntos de concatenación de dichos segmentos

Ángulos internos: los formados por dos segmentos consecutivos, orientados
hacia la región interna del polígono

Ángulos externos: los formados por un lado
y la prolongación de otro contiguo hacia la
región exterior. Generalmente se designa
con la letra griega del ángulo interior
adyacente acompañada de un subíndice.

Diagonales: son los segmentos que unen
dos
vértices
no
consecutivos.
De los elementos de un polígono, podemos medir: la longitud de sus lados, cuya
suma total se denomina perímetro; la longitud de sus diagonales; la amplitud de
sus ángulos, así como su suma total; la magnitud de su región interna, es decir, el
área del polígono.
Los polígonos se representan con las letras mayúsculas que nombran a cada uno de
sus vértices, escribiéndolas en forma ordenada y usando, en los casos de polígonos
de tres y cuatro lados respectivamente, los símbolos  o  , antecediendo a las
letras de los vértices; estos símbolos reemplazan las palabras triángulo y
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cuadrilátero, en el caso de no usarlos debería escribirse cada una de estas palabras
antes de las letras que nombran los vértices según corresponda.
Los polígonos se pueden clasificar a través de diversos criterios:
a) Según el número de lados.
En general, se habla de un polígono de “tantos” lados, conformando el nombre
de cada uno usando los prefijos griegos de cantidad y el sufijo “gono” que
significa ángulo. Es por esto que cada uno de ellos tiene un nombre particular:
POLÍGONOS
Números de lados
Nombre
3
Triángulo
4
Cuadrilátero
5
Pentágono
6
Hexágono
7
Heptágono
8
Octágono
10
Decágono
12
Dodecágono
15
Pentadecágono
b) Según el valor de los ángulos.
Si la medida de cada uno de los ángulos interiores del polígono es menor de
180°, el polígono se denomina convexo, en caso contrario, cóncavo. Dicho de otra
manera, si al tomar dos puntos cualesquiera de la región poligonal interna, el
segmento que los une queda todo él dentro de esa región poligonal, hablamos de
un polígono convexo, es decir, sin “entrantes”. Un polígono se puede clasificar
como cóncavo cuando presenta algún entrante, es decir, algún ángulo interior
de medida mayor a 180°.
c) Según la congruencia de sus lados y de sus ángulos
Si todos los lados de un polígono son congruentes entre sí, y también lo son
todos sus ángulos, el polígono se denomina regular. E irregular en caso
contrario.
TRIÁNGULOS
Un triángulo es el polígono de tres lados. Es el más elemental de todos los
polígonos, lo que hace que tenga ciertas particularidades:
 No existen triángulos cóncavos.

Es el único polígono convexo que no tiene
diagonales.

Es el único polígono en el que se puede
10
hablar, sin equívocos, de lados opuestos a ángulos, y viceversa; por eso el lado
BC opuesto al ángulo de vértice A, puede denotarse también como “a”, y así en
los demás casos.
Clasificación de triángulos
Disponemos de dos criterios para clasificar los triángulos.
a)
Según las relaciones de medida entre los lados. Tenemos tres casos:
Relación entre los lados
Nombre del triángulo
Los tres lados congruentes
Equilátero
Dos lados congruentes
Isósceles
Ningún par de lados congruentes
Escaleno
b)
Según la amplitud de sus ángulos. Tenemos también tres casos:
Naturaleza de los ángulos Nombre del triángulo
Los tres ángulos agudos
Acutángulo
Un ángulo recto
Rectángulo
Un ángulo obtuso
Obtusángulo
Relación entre los lados y los ángulos en un triángulo

Si en un triángulo dos lados son congruentes, los ángulos opuestos también lo
son.

Si en un triángulo dos lados no son congruentes, al lado mayor se opone el
ángulo mayor.
Propiedades recíprocas:

Si en un triángulo dos ángulos son congruentes, los lados opuestos también lo
son.

Si en un triángulo dos ángulos no son congruentes, al ángulo mayor se opone el
lado mayor.
Construcción de un triángulo
Para que tres segmentos puedan construir un triángulo es necesario que la
longitud del segmento mayor sea menor que la suma de las longitudes de los otros
dos segmentos.
Procedimiento: conocida las medidas de tres segmentos, con el compás se abarca la
longitud de uno de los segmentos; se ubica este segmento AB en el plano. Desde el
vértice A y con una abertura del compás equivalente a la medida del segundo
segmento, se traza un arco. Se realiza la misma operación desde el vértice B , con
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una abertura del compás equivalente a la medida del tercer segmento. Desde el
punto C en que se cortan los dos arcos se trazan los segmentos CA y CB y el 
ABC queda construido.
Líneas Notables de un Triángulo
Hasta ahora hemos hablado de los lados, vértices y ángulos de un triángulo. Vamos
a ampliar este conjunto de elementos con otros varios, vamos a construirlos y a
estudiar sus propiedades.
a) Mediatrices de un triángulo
Son las semirrectas que pasan por el punto medio de cada lado del triángulo y son
perpendiculares a cada uno de ellos. Al efectuar la construcción de las tres
mediatrices en un triángulo, se tiene una de las propiedades fundamentales de
estas rectas: las tres se cortan en un mismo punto, denominado circuncentro (se lo
suele expresar con la letra O ), que presenta la particularidad que equidista de los
tres vértices, esto es debido a que pertenece a las mediatrices de los tres
segmentos que determinan dicho triángulo.
Con centro en el circuncentro, es decir en O , podemos trazar una circunferencia
que contenga a los vértices del triángulo. Decimos que es la circunferencia
circunscripta o que el triángulo está inscripto en ella.
b) Bisectrices de un triángulo
Son las semirrectas que a cada uno de los ángulos interiores de un triángulo, lo
dividen en dos congruentes. Al efectuar la construcción de cada una de las tres
bisectrices de un triángulo se tiene una de las propiedades fundamentales de éstas:
que las tres se cortan en un mismo punto, denominado incentro.
La particularidad que presenta el incentro es que equidista de los tres lados del
triángulo. Con centro en el incentro podemos trazar una circunferencia inscripta en
el triángulo. Dicha circunferencia es tangente a los lados del triángulo.
(El radio es igual a la distancia del incentro a los lados, recordemos que para medir
la distancia mínima se considera la recta perpendicular)
c) Medianas de un triángulo
Son los segmentos trazados desde cada vértice del triángulo al punto medio del
lado opuesto. Al efectuarse la construcción de las tres medianas de un triángulo, se
tiene una de las propiedades fundamentales de éstas: que se cortan en un mismo
punto, denominado baricentro.
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Dos son las particularidades que presenta el baricentro de un triángulo. Una es
que coincide con el centro de gravedad del triángulo. Y la segunda es que dicho
punto dista de cualquier vértice, dos tercios de la distancia del vértice al punto
medio del lado opuesto.
d) Alturas de un triángulo
Son las perpendiculares trazadas desde cada vértice a la recta que contiene el lado
opuesto. Estas perpendiculares pueden tener su pie sobre el lado o sobre su
prolongación. Al igual que en los casos anteriores, al efectuarse esa construcción se
descubre que se cortan en un punto, denominado ortocentro.
El ortocentro no presenta una particularidad tan destacable como si la tienen el
circuncentro, el baricentro y el incentro, pero los griegos lo denominaron el centro
“recto” del triángulo para recordar la incidencia de las alturas, que forman un
ángulo recto con los lados correspondientes.
Propiedades de los ángulos de un triángulo
 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
Consideremos el  ABC con sus ángulos interiores
 

1, 2 y 3 , así como la recta r que contiene al lado
AB . Por el vértice C hacemos pasar una paralela
s al lado AB . Observemos que sobre la recta s y
con vértice C , se forman tres ángulos
 

consecutivos 4,3 y 5 , cuya unión forma un ángulo llano, es decir, la suma de las
medidas de los tres es de 180°.
Observemos que la recta que contiene al lado BC es secante a las paralelas r y s ;


por su carácter de ángulos alternos internos, los ángulos 2 y 5 son congruentes.
Análogamente, nos fijamos en la recta que contiene al lado AC . Esta recta también
es secante a las paralelas r y s ; y por su carácter de ángulos alternos internos, los


ángulos 1 y 4 son congruentes.
 

Ahora bien, si la suma de las medidas de los ángulos 4,3 y 5 es de 180°, también lo
 

será la de los ángulos 1, 2 y 3 .
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Esta propiedad es muy fecunda para llegar a otros resultados:
 Cualquier ángulo interior es suplementario del ángulo suma de los otros
dos.
 La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es  n  2  180 .
Ángulos exteriores: Todo triángulo tiene, además de tres ángulos interiores, otros
tres ángulos exteriores, cada uno suplementario a su ángulo interior adyacente.
Por consiguiente es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes.
 La suma de los ángulos exteriores de cualquier triángulo es de 360°
Esta propiedad puede probarse de manera lógica. Como dijimos anteriormente
cada ángulo interior es adyacente a su ángulo exterior, es decir la suma de ambos
da 180°
Si sumamos todos los ángulos interiores con todos los exteriores tendríamos,






suponiendo que los ángulos interiores son:  ,  y  y los exteriores  ',  ' y  ' ,
        
    '       '       '   540

 
 

       
          '  '  '   540

 

   
   
180    '  '  '   540    '  '  '   360




COMPARACIÓN DE FIGURAS: El CASO DE LOS TRIÁNGULOS
Para comparar figuras planas se puede adoptar dos criterios de
comparación: su forma y tamaño, o magnitud de su región interior. La
siguiente tabla refleja los posibles resultados de esta comparación:
Figuras
Formas
Tamaño
Congruentes Igual
Igual
Semejantes
Igual
Diferente
Equivalentes Diferente Igual
La congruencia de triángulos
De acuerdo con tales criterios, dos triángulos son congruentes si poseen
igual forma y tamaño. Desde el punto de vista de sus elementos, la
congruencia de dos triángulos significa que: hay tres pares de lados
correspondientes y tres pares de ángulos correspondientes congruentes.
Existen tres criterios que permiten determinar la congruencia entre dos
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triángulos, a través de la verificación de algunas condiciones entre pares de
sus elementos
En la figura se muestran dos situaciones de congruencia de triángulos, las
cuales usando la notación quedan descritas así ABCA’B’C’
y
MLSM’L’S’. Los vértices que se corresponden en la congruencia, e
indican los pares de ángulos y segmentos iguales, se indican con una tilde en
cada caso, esto es
ABCA’B’C’ MLSM’L’S’
AA’
MM’
BB’
LL’
CC’
SS’
De estas correspondencias, se deduce en cada caso las siguientes relaciones
de igualdad entre pares de ángulos y segmentos.
ABCA’B’C’
MLSM’L’S’
Criterios de congruencia de triángulos
Dos triángulos son congruentes si se
verifica que entre ellos existen:
1.
Tres pares de lados congruentes.
 L L L
AB  A ' B '
BC  B ' C '
CA  C ' A '
2.
Dos pares de lados congruentes
15
y los ángulos correspondientes comprendidos entre ellos.  L A L 
AB  A ' B '
BAC  B ' A ' C '
AC  A ' C '
3.
Un lado congruente y los dos ángulos correspondientes que tienen como vértice
los extremos de ese lado.  A L A
CAB  C ' A ' B '
AB  A ' B '
ABC  A ' B ' C '
Semejanza de triángulos
Recordando lo visto en Matemática 1, dos triángulos son semejantes cuando tienen
igual forma y tamaño diferente. La primera de estas dos condiciones, igual forma,
implica la congruencia entre los ángulos correspondientes de los triángulos; y la
segunda condición, implica proporcionalidad entre los lados correspondientes
siguientes.
BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO
Se llama base media de un triángulo al segmento cuyos extremos son los
puntos medios de un par de lados. La base media de un triángulo es paralela
al tercer lado y congruente con su mitad.
1
DE  AC
2
RAZÓN DE ÁREAS
Sabiendo que el área de un triángulo es igual al semiproducto de su base por
la respectiva altura, podemos concluir las siguientes propiedades:
1. Si dos triángulos tienen la misma base, entonces la razón de sus áreas es
igual a la razón de sus alturas, con respecto a esa base.
16
2. Si dos triángulos tienen la misma altura, entonces la razón de sus áreas es
igual a la razón de sus bases, con respecto a esa altura.
3. Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de sus áreas es igual al
cuadrado de la razón de semejanza.
TRIGONOMETRÍA DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
La trigonometría plana es una rama de la matemática que estudia las
relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, hecho que está
implícito en su propio nombre, desde el significado etimológico de la palabra
trigonometría, que es "la medición de los triángulos". Este significado deriva
de los términos griegos trigōno que significa triángulo, y metron que
significa medida. En sus orígenes, esta rama de la matemática se utilizó
para resolver problemas de agrimensura y astronomía, pero con el
desarrollo de la ciencia se ha convertido en un instrumento indispensable en
la física, la ingeniería y la medicina. Sirve para estudiar fenómenos
vibratorios, como por ejemplo la luz, el sonido, la electricidad, etc.
En esta parte, consideraremos solamente los triángulos, sabiendo que un
triángulo consta de seis elementos: tres ángulos y tres lados, y está
perfectamente determinado si se conocen tres de ellos siempre que uno de
los datos sea un lado. Nos referimos entonces a resolver un triángulo cuando
queremos calcular tres de sus elementos cuando se conocen los otros tres, es
decir encontrar la longitud de los lados y la medida de sus ángulos.
Estudiaremos de manera particular, cómo resolver triángulos
rectángulos, de los cuales sabemos que tienen un ángulo recto y
los otros dos agudos, y que de los tres lados, los dos que forman
el ángulo recto se llaman catetos y el otro, opuesto a este
ángulo, se llama hipotenusa.
Veremos que es posible establecer ciertas razones entre los lados de los
triángulos rectángulos, conocidas como razones trigonométricas, y también
algunas aplicaciones que tienen.
TEOREMA DE PITÁGORAS (Recordar lo visto en Matemática 1)
El teorema de Pitágoras relaciona los catetos de un triángulo rectángulo con su
hipotenusa de la siguiente manera:
17
AC 2  BC 2  AB 2 ó
b2  a 2  c2
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
De manera general se dice que las razones o relaciones trigonométricas, es la
comparación por cociente de dos magnitudes del mismo tipo que da por resultado
un número constante. Particularmente para triángulos rectángulos, vamos a
considerar que se definen como las razones que se pueden establecer entre las
longitudes de los lados de un
rectángulo, con respecto a uno de sus ángulos
agudos . Dependiendo de la posición del ángulo, cada cateto se llama opuesto o
adyacente al ángulo. Dado el siguiente triángulo
rectángulo:
Respecto del , se le llama a
el cateto opuesto y a
el cateto adyacente al ángulo. También puede
decirse, respecto del , que
el lado opuesto a él.
es el lado adyacente y
Con estos acuerdos, se definen como sigue las seis
razones trigonométricas para .
seno de ˆ 
longitud del cateto opuesto a αˆ
longitud de la hipotenusa
coseno de αˆ 
longitud del cateto adyacente a αˆ
longitud de la hipotenusa
tangente de αˆ 

sen ˆ 
BC
AC

cos ˆ 
AB
AC
longitud del cateto opuesto a αˆ

longitud del cateto adyacente a αˆ
tg ˆ 
BC
AB
18
cotangente de αˆ 
secante de αˆ 
longitud del cateto adyacente a αˆ

longitud del cateto opuesto a αˆ
longitud de la hipotenusa
longitud del cateto adyacente a αˆ
cosecante de αˆ 

longitud de la hipotenusa
longitud del cateto opuesto a αˆ
ctg αˆ 
AB
BC
sec αˆ 
AC
AB
 cos ec ˆ 
AC
BC
Estas razones trigonométricas son las mismas para cualquier triángulo rectángulo,
observando la figura, vemos que si en lugar de trazar un único triángulo rectángulo
sobre
se trazaran más, las razones trigonométricas que se obtendrían son las
mismas, la justificación está más abajo.

En
ABC
En
A B C 
En
A B C 


Pero
como
son
semejantes,
sen ˆ 
BC
AC
sen ˆ 
BC 
AC 
sen ˆ 
BC 
AC 
se
verifica
que:
Por lo tanto es indiferente calcular el seno de
sobre cualquiera de los triángulos.
Esto mismo es válido para las otras razones trigonométricas.
Una razón trigonométrica cambia de valor si cambia el ángulo sobre el cual se
calcula, es decir que las razones trigonométricas dependen del valor del ángulo.
SOBRE ALGUNAS APLICACIONES
Resolver triángulos rectángulos utilizando relaciones trigonométricas es
fundamental para muchos problemas de navegación, topografía, astronomía y la
medición de distancias. Las aplicaciones que se considerarán involucran siempre
triángulos rectángulos, pero es importante aclarar la trigonometría también es útil
en la resolución de triángulos no rectángulos.
19
Para analizar las aplicaciones a las que hacemos referencia, se necesita cierta
terminología referida a los ángulos. Si un observador está viendo un objeto,
entonces la recta del ojo del observador hacia el objeto se conoce como línea de
visión. Si el objeto que se está observando está por encima de la horizontal,
entonces el ángulo entre la línea de visión y la horizontal se conoce como ángulo de
elevación. Si el objeto está por debajo de la horizontal, entonces el ángulo entre la
línea de visión y la horizontal se conoce como ángulo de depresión. Para algunas
situaciones problemáticas particulares, en los que la línea de visión se refiere a un
objeto físico, como un plano inclinado o la ladera de una colina, se utiliza el término
ángulo de inclinación.
CUADRILÁTEROS
Se llama cuadrilátero al polígono formado por cuatro lados. Entre los
elementos de un cuadrilátero se encuentran sus lados y ángulos.
Entendiendo por estos últimos los que se hallan en la región interna del
polígono, ángulos internos. Cuando se tiene un cuadrilátero convexo, todos
sus ángulos miden menos de 180°, mientras que en un cuadrilátero cóncavo
hay un ángulo (y solo uno) que mide más de 180°.
Otro elemento de un cuadrilátero son las diagonales. Todo cuadrilátero
convexo posee dos, mientras que si es cóncavo, posee una sola diagonal.
Cuando se traza una diagonal, el cuadrilátero se descompone en dos
triángulos. De aquí deducimos que la suma de las medidas de los ángulos
internos de todo cuadrilátero es 360°.
20
Clasificación de los cuadriláteros
Como ya vimos, los cuadriláteros se pueden clasificar como convexos o
cóncavos. Pero hay otro criterio que tiene que ver con los lados de un
cuadrilátero y, en particular, con la condición de paralelismo entre ellos.
Si un cuadrilátero posee
Se denomina
Dos pares de lados paralelos Paralelogramo
Un solo par de lados paralelos
Trapecio
Ningún par de lados paralelos
Trapezoide
1. Paralelogramos
Un paralelogramo es un cuadrilátero que posee dos pares de lados paralelos.
En un paralelogramo, los lados opuestos son congruentes. Análogamente,
los ángulos opuestos son congruentes. Y como la suma de los ángulos
interiores es 360°, se tiene que dos ángulos contiguos son suplementarios.
De modo que conociendo la medida de un ángulo se conocen los demás.
Las diagonales de un paralelogramo no tienen por qué ser congruentes, pero
se cortan en sus puntos medios.
En general existen cuatro tipos de paralelogramos, caracterizados por sus
lados o ángulos al ser o no congruentes.

Un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son todos rectos.

Un rombo es un paralelogramo cuyos lados son todos congruentes entre sí.

Un cuadrado es un rectángulo cuyos lados son todos congruentes entre sí.

Un paralelogramo propiamente dicho es un paralelogramo que tiene lados y
ángulos iguales dos a dos.
A partir de las definiciones para cada paralelogramo, se tienen
criterios para clasificarlos:
varios
a) Según sus lados y ángulos

Si posee 4 lados congruentes se trata de un rombo.

Si posee 4 ángulos congruentes, es decir rectos, se trata de un
rectángulo.

Si posee ambas características (los 4 lados congruentes y los 4
ángulos rectos), se trata de un cuadrado.
21

Si no posee ninguna de las cuatro características se trata de un
paralelogramo propiamente dicho.
b) Según sus diagonales

Si son perpendiculares, se trata de un rombo.

Si son congruentes, se trata de un rectángulo.

Si son perpendiculares y congruentes, se trata de un cuadrado.

Si no son ni perpendiculares ni congruentes, se trata de un
paralelogramo propiamente dicho.
2. Trapecios
Un trapecio es un cuadrilátero que posee un solo par de
lados paralelos, por esta razón son polígonos convexos.
Los elementos del trapecio son sus lados, ángulos y
diagonales. Cabe señalar que los dos lados paralelos
reciben el nombre de base menor y base mayor, de
acuerdo con su medida. Y la distancia que las separa se
denomina altura del trapecio.
La figura del trapecio es uno de los elementos arquitectónicos destacados en
nuestras culturas americanas autóctonas. El frente de las pirámides tiene forma
de trapecio, así como las ventanas y puertas de numerosos edificios, sobre todo a
lo largo de la cordillera, de los valles y del altiplano andino.
Pirámide Maya, Chichén Itzá, México.
22
Clasificación de los trapecios
Los trapecios se clasifican en dos tipos, de acuerdo a un criterio que usa las
relaciones de los ángulos que forman los lados no paralelos con la base mayor,
llamados ángulos de las bases.
Si ambos ángulos de la base son congruentes, el trapecio se denomina isósceles, y
se tiene que los lados no paralelos son también congruentes.
Si uno de los lados no paralelos forma un ángulo recto con la base mayor (y por
consiguiente, también con la base menor), se denomina trapecio rectángulo. En
los demás casos se habla de trapecio, sin más.
El área del trapecio se obtiene es:
Bb
 h , siendo B la medida de la base mayor,
2
b la medida de la base menor y h su altura.
Veamos porque: en el trapecio ABCD
hemos trazado la diagonal AD que divide la
región
interna
en
dos
triángulos:


ADC y ABD . El área del trapecio resulta
ser la suma de las áreas de los dos
triángulos, es decir:
23
AB  h CD  h  AB  CD   h


2
2
2
Esta altura h es la misma para ambos triángulos y coincide con la altura del
trapecio. Observemos que AB y CD son la base mayor y menor del trapecio, que
designamos por B y b .
De modo que queda probado que el área del trapecio es el producto de la
semisuma de las medidas de las bases por la medida de su altura.
3. Trapezoide
El trapezoide es un cuadrilátero tal
que ninguno de sus cuatro lados es
paralelo
a
otro.
No
tienen
propiedades especiales, excepto las
propias
de
todo
cuadrilátero
convexo, tal como que la suma de sus
ángulos interiores es de 360°.
Pueden ser simétricos o asimétricos. El trapezoide simétrico tiene la forma
de un cometa con dos pares de lados iguales. Sus diagonales son
perpendiculares y bisectrices de los ángulos de los vértices.
En la tabla siguiente, están las formulas a través de las cuales se puede
obtener el área de cada tipo de cuadrilátero, teniendo las medidas de lados,
altura y diagonales.
Figura
Perímetro
u 
Área
u 2 
Paralelogramo
2   l1  l2 
l1  h
2   l1  l2 
l1  h
4l
Dd
2
Rectángulo
Rombo
Romboide
24
2   l1  l2 
Dd
2
4l
l2
B  b  l1  l2
 B  b  h
Cuadrado
Trapecio
2
25
Romboide
Trapecio
PROPIEDADES
DE LOS LADOS

Un par de lados paralelos
Trapecio Trapecio
rectángulo isósceles


Dos pares de lados paralelos
Dos pares de lados opuestos
congruentes
Dos pares de lados consecutivos
congruentes
Cuatro lados congruentes

Paralelogramo
Rectángulo Rombo Cuadrado




























PROPIEDADES DE LOS
ÁNGULOS
Un par de ángulos opuestos
congruentes
Dos pares de ángulos opuestos
congruentes
Un par de ángulos adyacentes
congruentes
Dos pares de ángulos adyacentes
congruentes
Cuatro ángulos congruentes





26
PROPIEDADES DE
LAS DIAGONALES
Las diagonales se cortan
en un punto interior
Una diagonal corta a la
otra en su punto medio
Cada diagonal corta a la
otra en su punto medio
Una diagonal es
bisectriz de un par de
ángulos opuestos
Cada diagonal es
bisectriz de un par de
ángulos opuestos
Las diagonales son
perpendiculares
Las diagonales son
congruentes
Una diagonal divide al
cuadrilátero en dos
triángulos congruentes
Cada diagonal divide al
cuadrilátero en dos
triángulos congruentes
Las diagonales dividen
al cuadrilátero en 4
triángulos congruentes
Trapezoide
Romboide
Trapecio




Trapecio
Rectángulo

Trapecio
Isósceles

Paralelogramo



Rectángulo




















Rombo Cuadrado











27
POLÍGONOS REGULARES
Un polígono se denomina regular cuando todos sus lados son congruentes, así como
sus ángulos internos. Ambas condiciones son necesarias, por esta razón los
polígonos reculares son convexos.
El triángulo equilátero y el cuadrado son ejemplos de polígonos regulares de 3 y 4
lados, respectivamente. En los demás casos, se habla de pentágono regular,
hexágono regular, etc.
Todos los lados de un polígono regular son congruentes; de aquí que, si la medida
de un lado es l , el perímetro p de un polígono regular de n lados viene dado por:
p  nl
Los ángulos internos, formados por dos lados consecutivos son también
congruentes. Como la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es
 n  2 180 , de aquí se tiene que cada ángulo interior mide la suma anterior
dividida entre n , es decir,
 n  2  180
n
Las diagonales de un polígono regular (a excepción del triángulo equilátero, que no
posee ninguna) son también congruentes. Recordemos que el número de diagonales
de un polígono regular de n lados viene dado por
n   n  3
2
.
Todo polígono regular posee un centro o punto central. Si el polígono regular tiene
un número par de lados, el centro viene dado por la intersección de cualquier par
de diagonales; y si el polígono tiene un número impar de lados, el centro viene dado
por la intersección de dos segmentos que partan de dos vértices y vayan hasta el
punto medio de los lados opuestos.
Establecido el centro de un polígono regular podemos hablar de su ángulo central,
que es el ángulo formado por dos segmentos que parten del centro y van hasta dos
vértices consecutivos. El valor de este ángulo central en un polígono regular de n
lados viene dado por
360
.
n
Finalmente, podemos hablar de la apotema de un
polígono regular, que es el segmento (que es
perpendicular) trazado desde el centro al punto medio de
cualquiera de los lados del polígono.
28
Al trazar los segmentos que van desde el centro a cada uno de los vértices del
polígono obtenemos n triángulos isósceles congruentes. El área de cada uno de
l a
, siendo l la medida de un lado y a la de su apotema. El
2
l a
área total del polígono regular es: n 
, dicho de otra manera, el área total de un
2
estos viene dado por
polígono regular viene dada por el producto del semiperímetro por la apotema.
Semejanza y congruencia de polígonos regulares
Todos los polígonos regulares que poseen el mismo número de lados son
semejantes: tienen la misma forma. Por ejemplo, todos los cuadrados son
semejantes, así como todos los triángulos equiláteros, etc. Todos los polígonos
regulares poseen ángulos internos congruentes. Pero dos de tales polígonos serán
congruentes sólo si los lados de ambos miden lo mismo.
Ensamblados o mosaicos con polígonos regulares
Un aspecto curioso que tiene que ver con estos polígonos es la posibilidad de
“ensamblar” o “enladrillar” una superficie plana con baldosas poligonales, de modo
que al ir yuxtaponiendo no queda espacio libre entre ellas ni se superponen unas
con otras. En otras palabras cubrir la superficie con mosaicos.
Los triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares son los únicos
polígonos regulares que nos permiten rellenar el plano. Esto se debe a que la
medida del ángulo interno del polígono regular debe ser divisor de 360°. En el caso
del triángulo equilátero, del cuadrado y del hexágono regular, estas medidas son,
respectivamente, 60°, 90° y 120°. Esto significa que en cada vértice concurren 6
triángulos equiláteros, 4 cuadrados y 3 hexágonos, respectivamente.
Además de los mosaicos regulares, también existen los mosaicos semirregulares,
que son aquellos que se obtienen utilizando simultáneamente dos o más tipos de
polígonos regulares para cubrir una superficie, ensamblándolos por sus vértices de
modo que rodeen cada vértice en el mismo orden.
El conjunto de mosaicos regulares y mosaicos semirregulares se conoce como
mosaicos homogéneos. En cada vértice de un mosaico homogéneo es preciso que la
suma de los ángulos de los polígonos en contacto sea igual 360º.
Existen sólo 11 tipos de mosaicos homogéneos y todos son el resultado de diversas
combinaciones de triángulos, cuadrados, hexágonos, octógonos y dodecágonos. Ocho
de ellos son semirregulares y los tres restantes son los mosaicos regulares
mencionados previamente.Para precisar la composición de cada uno de estos
mosaicos se suelen escribir los polígonos que intervienen en un vértice en el orden
en que se presentan. Esta información se abrevia mediante un simple símbolo. Por
ejemplo: 32•4•3•4 significa que en cada vértice hallamos, por orden, dos
triángulos, un cuadrado, un triángulo y un cuadrado.
29
A continuación se pueden observar dichos mosaicos:
30