Download Teorema de Euclides

UNIDAD 3 (106-163)C
:Maquetación 1
4/11/10
17:16
Página 110
Teorema de Euclides
El canopy es uno de los deportes de aventura más difundidos en el
último tiempo en el sur de nuestro país. Este consiste, básicamente,
en lanzarse por un cable, atado, a grandes distancias y diferentes
alturas, mediante una polea y un arnés sostenido a ella.
Supongamos que tenemos una instalación de este deporte y que se
puede representar en la siguiente figura:
B
Padre e hijo practicando canopy.
D
15 m
9m
C
A
Analicemos...
•
•
¿Qué relación existe entre los triángulos BAC y CBD?, ¿por qué?
¿Cuánto debe desplazarse la polea, suponiendo que esta se encuentra en el vértice B del triángulo, para que la distancia entre
D y C sea la menor posible?, ¿cómo lo supiste?
En la situación anterior, tenemos que para que CD sea lo menor
posible, debe ser perpendicular a AB; por lo tanto, la distancia que
debe desplazarse la polea corresponderá a la longitud del segmento BD.
Recuerda que...
Si dos triángulos ABC y A`B`C `
tienen dos pares de ángulos
iguales (AA), entonces se tendrá
que ΔABC ~ ΔA`B`C `, es decir, los
triángulos son semejantes.
Observa que el triángulo ABC es rectángulo en C, y el triángulo
CBD es rectángulo en D; luego, ambos triángulos tienen en común
el ángulo correspondiente al vértice B y al ángulo recto, es decir,
tienen dos pares de ángulos iguales.
Recordando los criterios de semejanza de triángulos tendremos
que, por el criterio AA, ΔABC ~ ΔCBD.
En consecuencia, sus lados son proporcionales, o sea, el cociente
entre los lados correspondientes es constante:
BD BC
BD 9 ,
=
de
=
como BC = 9 m y AB = 15 m obtenemos
BC AB
9
15
donde podemos determinar la medida del lado del triángulo buscada:
81
BD =
= 5,4 m.
15
Por lo tanto, la polea debe desplazarse 5,4 metros para que la distancia a CD sea la menor posible.
110 | Unidad 3
:Maquetación 1
4/11/10
17:16
Página 111
Este resultado se puede generalizar para todo triángulo rectángulo.
Observa. Al trazar la altura h sobre la hipotenusa c de un triángulo
rectángulo y considerar los segmentos p y q que la altura determina sobre la hipotenusa, correspondientes a las proyecciones de
los catetos a y b respectivamente, se obtiene:
ΔABC ~ ΔCBD, pues
⬏ACB = ⬏CDB = 90º
⬏CBA = ⬏DBC.
Por criterio AA, los triángulos son semejantes.
Glosario
proyección: dado un segmento AB
y una recta L que contiene al punto
A, la proyección de AB sobre L es el
segmento AC tal que BC es perpendicular a L.
B
C
ΔABC ~ ΔACD, pues
⬏ACB = ⬏ADC = 90º
⬏CAB = ⬏DAC.
Por criterio AA, los triángulos son semejantes.
A
L
C
Por lo tanto, los tres triángulos son semejantes.
a
Luego,
BC AB
a c
=
⇒ =
⇒ a2 = p · c
BD CB
p a
AC AB
b c
A
ΔABC ~ ΔACD ⇒
=
⇒ =
⇒ b2 = q · c
AD AC
q b
CD DB
h p
ΔCBD ~ ΔACD ⇒
=
⇒ =
⇒ h2 = p · q
AD DC
q h
Hemos obtenido tres relaciones importantes relativas a los triángulos rectángulos. Estas relaciones son conocidas como el teorema
de Euclides.
ΔABC ~ ΔCBD ⇒
h
b
q D
p
B
c
En resumen
En todo triángulo rectángulo se cumple que:
• el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa.
•
Unidad 3
UNIDAD 3 (106-163)C
el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto
C
so bre la hipotenusa.
Es decir,
a
h2 = p · q
b
h
a2 = p · c
b2 = q · c
A
q D
p
B
c
La primera relación en el teorema de Euclides es conocida como el teorema de la altura,
y la segunda, como el teorema del cateto.
El triángulo rectángulo y la trigonometría
| 111