Download triangulos - cuadrilateros (trigonometria)

Propiedades
de los Triángulos
y los Cuadriláteros
Superficie
• Es la mitad del área de un
rectángulo de la misma base y de la
misma altura
½ (base x altura)
H= a senγ
CD= a cos γ
DA=c cosα
CD+ DA= b= a cos γ + c cos α
A΄= (a cos γ + c cos α ) a sen γ/:2
A=1/2absenγ--->1/2 bc senα
A´= 1/2absenβ
A´=ab/2
Formula de Herón
•Si conocemos las longitudes de los lados del triángulo (a, b, c) es
posible calcular la superficie empleando la fórmula de herón
viene dada por:
Donde p es el semiperimetro
Demostración
Supongamos un triángulo de lados a, b, c cuyos ángulos opuestos a
cada uno de esos lados son A, B, C. Entonces tenemos que:
Por el teorema del coseno :
La altura de un triángulo de base a tiene una
longitud bsen( C), por lo tanto:
Propiedades del triángulo
•La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor
que la longitud del tercer lado.
•La suma de todos los ángulos de sus vértices, en un plano, es igual
a 180°.
Teorema del Seno
Para cualquier triangulo se verifica el Teorema del Seno que demuestra
que: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los
ángulos opuestos»:
Sen α = CD/b
CD= b sen α
Sen β =CD/a
CD= a Sen β
Sen β =AE/c
AE= c Sen β
Sen γ = AE/b
AE= b Sen γ
Teorema del coseno
•Relaciona el tercer lado de un triángulo con los dos primeros y con
el coseno del ángulo formado por estos dos lados.
a² =CD²+ DB²
CD²= b²- AD²
a² = b² - AD²+ DB²
a²= b² - AD²+C² - 2DC +AD²
a² =b²+ c²-2c*AD
a² = b² + c²- 2c* b cos α
b² = a² + c² –2ac cosβ
c² = a² + b² –2ab cos γ
Teorema de Pitágoras
•El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo
la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la
hipotenusa:
c² =a²+ b² - 2ab cos90º
Teorema del cateto o de Euclides
•El teorema del cateto establece que en un triángulo rectángulo
cada uno de los catetos es media proporcional entre la
hipotenusa y su proyección sobre ella. Por lo tanto:
Triángulos semejantes
•Se puede simplificar así la definición: dos triángulos son
semejantes si sus ángulos son iguales
Teorema de Thales
Primer teorema (caso particular de triángulos semejantes)
Sean dos rectas (d) y (d') orientadas y concurrentes en un punto O. Sean A y A' dos puntos
de (d), y B y B' dos puntos de (d'). Entonces:
La igualdad de los cocientes equivale al paralelismo
1° fig. tiene medidas algebraicas positivas - los vectores OA, OA', OB y OB'
tienen la misma orientación que la rectas (d) y (d'),
2fig posee cocientes negativos.
si se aplica teorema : A'B' / AB es igual a los dos anteriores.
2° teorema
Sea C un punto de la circunferencia de diámetro [AB], distinto de A
y de B. Entonces el ángulo ACB es recto.
Prueba: OA = OB = OC = r, radio del círculo.
Por lo tanto OAC y OBC son isósceles. La
suma de los ángulos del triángulo ABC vale
2α + 2β = π (radianes). Dividiendo por dos, se
obtiene
Además dice que la bisectriz de un triángulo corta al lado opuesto del ángulo
con la bisectriz en dos segmentos proporcionales Hipotenusa (al cuadrado) =
C(Al cuadrado) + C(Al cuadrado) En conclusión se forma un triangulo
rectangulo
Teorema de la bisectriz
En un triangulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las
partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de
ángulo interno opuesto.
Demostración
Si se dibuja desde C una // a AL hasta
encontrar la prolongación de lado BA a
partir del lado A hasta pto D El triangulo
ACD es isósceles (ángulos C y D son
congruentes:
Porque los dos angulos son alternos internos
respecto a las rectas paralelas AL y DC
cortadas por la recta transversal AC
porque son correspondientes a las rectas paralelas AL y DC a las
cuales corta la recta BD,
Además
iguales.
porque los ángulos creados por la bisectriz son
Por la propiedad transitiva de la igualdad tenemos que
Por tanto los segmentos AC y AD son congruentes. Por el
Teorema de Tales se mantiene la proporción:
y ya que AC y AD son congruentes, también se cumple que
Ortocentro
•Se denomina ortocentro al punto donde se
cortan las tres alturas de un triángulo.
El término deriva de orto, recto, en
referencia al ángulo formado entre las bases
y las alturas.
•El ortocentro se encuentra dentro del triángulo si éste es acutángulo,
coincide con el vértice del ángulo recto si es rectángulo, y se halla
fuera del triángulo si es obtusángulo
•El único caso en que los centros coinciden en un único punto es
en un triángulo equilátero.
Baricentro
Es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y
equivale al centro de gravedad
Incentro
Es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a
los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las
bisectrices de los ángulos.
Radio del círculo inscrito en triángulo
cualquiera
•En función de un lado y de las razones
Trigonométricas de la mitad de los ángulos
< OBD = B/2,
< OCD=C/2
BD= r ctg B/2,
CD=r ctg c/2
r(ctg B/2 + ctg C/2)=a;
r sen B/2+C/2 =a sen B/2 sen C/2;
r= a sen B/2 sen C/2 /: cos A/2
Circuncentro
Circuncentro es el punto en que se cortan las tres mediatrices de los lados de un
triángulo y centro de la circunferencia circunscrita. Dicho punto se suele
expresar con la letra (O).Todos los vértices del triángulo se encuentran a la
misma distancia del circuncentro.
Radio de la circunferencia circunscrita
S=centro de circunf..circunscrita al ∆
ABC y R=radio
Se traza la bisectriz SD del < BSC que
bisecará a BC y será perpendicular a él
< BSC en el centro
= doble del < BAC =2A
^ a/2 =BD=BSsen BSD=Rsen A
R= a /: 2 sen A
En consecuencia
a/sen A =b/senB= c/sen C= 2R
ó de manera que no intervengan ángulos
R= a/2senA=abc/2bcsenA=abc/4∆
Círculo exinscrito
El círculo de una circunferencia tangente a un lado de un triángulo y a las
prolongaciones de los otros dos se llaman un círculo exinscrito del
triángulo
A= area Δ ABC
A= área ABIC – área BIC
Área BIA + área CIA – área BIC
A= ½ c * Ra + ½b*RA - ½* Ra
=½Ra (c +b-a) ; como P= a +b+ c;
P-2 a = b+c-a
=½Ra(P-2 a)
= ½ Ra (2p-2 a) ;p=P/2 ; p:semiperímetro
= ½Ra2(p-a)
= Ra (p-a)
Ra = A / p-a
; Radio del círculo
exinscrito tangente exteriormente al
lado a
Análogamente:
Rb = A / p-b
Rc= A/p-c
Triángulo pedal
G, H y K son los pies de las alturas trazadas de los
vértices a sus lados opuestos en triángulo ABC,
entonces, GHK se llama triángulo pedal
Las alturas se encuentran en el ortocentro de ABC
< OGK=<OBK= 90° - A
< OGH = < OCH = 90° -A;
< KGH= 180°-2A
por lo tanto los ángulos del triángulo pedal son:
180-2ª, 180-2B, 180-2C
por otro lado los triángulos AKH, ABC son
semejantes:
HK/BC = AK/AC = cos A
HK= a cos A
Los lados del triángulo pedal son
a cos A, b cos B, c cos C
Area y circunradio de triángulo pedal
Area= ½ (producto lados) por (seno del ángulo
comprendido)
=1/2 R sen 2B* Rsen 2C *sen(180-2A)
=1/2 R² sen 2A sen 2B sen 2C
circunradio=
HK/: 2 sen HGK = Rsen 2A/:2 sen (180-2A)
= R/2
Cuadriláteros
Area de un cuadrilátero es igual a ½ del producto de las diagonales por el seno
del ángulo que comprenden
AC y BD = diagonales, se cortan en P
<DPA = α
Δ DAC = Δ APD +Δ CPD
= ½ DP* AP senα + ½ DP PC sen (π-α)
= ½ DP (AP +PC)sen α
=1/2 DP* Acsenα
de modo semejante
ΔABC=1/2 BP*AC sen α
Area = ½ (DP+BP) AC sen α
= ½ DB* AC sen α
Muchas gracias.
» Cecilia Herrera.-