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LICENCIATURA EN AUDIOVISIÓN
Ing. Jorge Petrosino
Parte 4 - Operaciones con fracciones y potencias
fraccionarias
¿Cómo reconocer a un número racional?
Todo número racional puede expresarse como m/n en donde m y n son números enteros.
Como esa es la definición de número racional también es cierto lo contrario: todo número
expresado como m/n es racional.
Se ha podido determinar que todos los números racionales al ser expresados en su forma
decimal (esto es, con una parte entera y una coma o punto decimal al cual le pueden seguir
cifras decimales), terminan perteneciendo a dos grandes clases: los que tienen una cantidad
finita de cifras, y los que tienen una cantidad de cifras infinitas pero a partir de un
determinado momento un grupo de estas cifras comienzan a repetirse indefinidamente (son
lo que se llaman periódicos).
Los siguientes son ejemplos de números racionales con un número finito de cifras:
0.145
165.3
115 (ya que los enteros también son racionales, esto es 115/1)
Los siguientes son ejemplos de números periódicos:
0.145145145 (que se anota como 0.145 )
115.1653141414... (que se anota como 115.165314 )
En el apunte utilizaremos una raya recta debajo de los números que se repiten (un
subrayado), debido a la dificultad de colocar el símbolo tradicional de números periódicos en
un procesador de textos. Así expresaremos el número 123.2222 como 123.2.
¿Cómo obtengo el modo fraccionario si conozco su forma decimal?
Ya hemos visto un caso en apuntes anteriores (el de cantidad finita de cifras decimales).
En ese caso lo que había que hacer era colocar un número entero con todas las cifras del
número original (salteando el punto decimal) y luego dividirlo por algún número que comience
por uno y continúe con varios ceros. Un ejemplo ayudará a recordar el caso:
¿A qué fracción equivale 0.145?
Equivale a 145/1000.
Para resolver i
Encontrar la fracción equivalente a los siguientes números racionales:
 0.00852
 733.3
¿Qué sucede si el número es periódico?
En este caso puede utilizarse un truco para hallar la fracción equivalente. En principio
veremos cómo resolver un caso simple como el de 0.7777...
Operaciones con fracciones – pág. 28
Puede verse que si dividimos un número por nueve, dará un resultado periódico.
Para resolver ii
Calcular el resultado de 1/9. Luego probar 2/9. ¿Pueden detectar una regla general que les
permita saber cuál es la fracción que daría por resultado 0.777... (o sea 0.7)?
Para resolver iii
¿Qué cambio le harían a la regla para obtener 0.007?
Para resolver iv
Calcular el resultado de 10/99. Luego probar 11/99, y luego 12/99. Con estos resultados
intenten encontrar una regla general que les permita calcular la fracción equivalente a los
siguientes números:

0.787878... = 0.78

0.0787878... = 0.078

78.7878... = 78.78

0.145145... = 0.145

0.0145145... = 0.0145
Para resolver
Estimar (primero sin calculadora) qué resultados darán las siguientes operaciones y luego
comprobarlas con calculadora.
4/9
4/99
4/999
44/99
4/999
44/999
. 444/999
40/99
40/999
40/990
123/999
123/9999
¿Qué pasará si ahora consideramos un número que comienza teniendo una serie de cifras
no periódicas, pero que luego continúa con un grupo de cifras periódicas?
Comencemos pensando en el siguiente número 1.333... = 1.3
Podemos pensarlo como 1 + 0.3 , y ya sabemos solucionar la segunda parte:
1 + 0.3 = 1 + 3/9
Pero resulta que el 1 puede expresarse como 9/9 sin cambiar nada, y con la ventaja adicional
que podremos sumar luego nueve novenos más tres novenos.
1 + 0.3 = 1 + 3/9 = 9/9 + 3/9 = 11/9
Para resolver v
Obtener la fracción equivalente a los siguientes números:

2.3

235.4

2.67

235.67

5.346
Con lo visto deberíamos ser capaces de encontrar la fracción equivalente a cualquier racional
que tuviera una serie de cifras cualesquiera antes del punto decimal, y continuara con un
grupo de cifras periódicas.
Operaciones con fracciones – pág. 29
¿Qué deberíamos agregar para calcular cualquier número con un grupo de cifras no
periódicas que luego se continuara con un grupo de cifras periódicas?
Para resolver vi
Sabiendo que 1.333... es igual a 11/9, calcular cuál es la fracción equivalente a:
 13.333...
 0.1333...
 0.001333...
El truco consistirá entonces en dividir el problema en partes. Trabajaremos sobre un ejemplo
para mostrar el proceso completo:
Supongamos que estamos intentando averiguar la fracción equivalente a 634.78989... .
Primero lo multiplicaremos o dividiremos por potencias de diez hasta lograr que la parte no
repetitiva quede antes del punto decimal y lo repetitivo quede después. Pondremos el
número entre paréntesis y agregaremos algo que compense la operación realizada:
634.789 = (634.789x10)/10 = 6347.89 / 10
Si denominamos al primer número “a” y al recién obtenido con la letra “b”, tenemos que en
este caso:
a = b /10
De esta forma hemos solucionado una primera parte del problema, quedándonos un nuevo
número racional por resolver (b=6347.89) que tiene la forma de los que ya sabemos resolver.
Este número puede obtenerse del siguiente modo:
b = 6347.89 = (6347x99+89)/99 = 628442/99
Ahora volvemos un paso atrás para obtener “a”.
a = b/10 = (628442/99)/10 = 628442/990
Con las técnicas vistas es posible obtener la fracción equivalente a cualquier número escrito
con decimales que tenga un número finito de cifras o que resulte ser periódico.
Reglas para operar con fracciones
Como todo número racional puede expresarse como fracción, es importante que recordemos
con detalle las operaciones a realizar con fracciones.
Al operar con números racionales podríamos hacerlo utilizando tanto su forma decimal como
su forma fraccionaria. Siendo que resulta tan cómodo operar con calculadora, ¿por qué
deberíamos preocuparnos por operar con su forma fraccionaria que involucra algunas
complicaciones? El tema es que al operar con su forma decimal no estamos colocando el
valor original inalterado sino un valor aproximado.
Entendamos esto bien. Cuando yo escribo en la calculadora el número 0.333 (así, con tres
cifras decimales) pretendiendo que estoy escribiendo el número 1/3, hay algo que no está del
todo bien. ¿Cómo sabe la calculadora que yo pretendía escribir 0.3 (con el 3 repitiéndose) y
no quería escribir exactamente 0.333 = 333/1000 que sería un número no periódico?
La respuesta es que no tiene forma de saberlo. La calculadora operará en realidad como si el
número escrito fuese exactamente 0.333 y no 0.333...
¿Hay mucha diferencia? Todo depende del tipo de cálculos que estamos efectuando.
Supongamos que alguien nos pregunta si 1/3 multiplicado por 3 da exactamente “uno”.
Está claro que operando con los números en forma decimal esto es evidente, pero intenten
probarlo mediante la calculadora. Si colocan el número 0.333 y lo multiplican por 3,
obtendrán 0.999 y en vez de “1”·.
Operaciones con fracciones – pág. 30
En algunos cálculos realizados en ingeniería puede resultar poco importante un error de
algunos decimales, pero existen momentos en que necesitamos hacer el cálculo exacto.
Para estos casos no hay otra solución que trabajar directamente con las fracciones, que me
garantizarán mantener el valor original del número racional con el que estamos trabajando.
Por otro lado veremos que el calculo exacto de las fracciones es esencial para el trabajo con
potencias y radicaciones.
Para esto repasaremos el modo de realizar operaciones con los números fraccionarios.
Suma y resta de fracciones de igual denominador
En las fracciones al número entero de arriba se lo llama “numerador” y al de abajo se lo
llama “denominador”.
En este caso se considera que el denominador es el “tipo de cosas” que se está sumando.
(Si una pizza se divide en 8 partes cada parte es un octavo, y la suma anterior estaría
indicando la suma de dos “octavos” más un “octavo”, lo que da como resultado tres
“octavos”). Lo mismo puede decirse de la resta.
Si las fracciones tienen igual denominador lo que debemos hacer simplemente es sumar los
numeradores.
Así suele decirse que :
2/8 + 3/8 = (2+3)/8
juntando el denominador como si fuera uno solo.
Suma y resta de fracciones de distinto denominador
¿Qué debemos hacer si tenemos que sumar 1/8 + 1/4? Está claro que 1/4 es mayor que 1/8
(un cuarto de pizza es más pizza que un octavo de pizza).
La manera correcta consiste en hallar un modo de expresar ambas fracciones de un modo
que tengan igual denominador. ¿Es esto posible?
Está claro que en este caso es sencillo. Simplemente deberemos notar que 1/4 es lo mismo
que 2/8. Así, la suma quedará:
1/4 + 1/8 = 2/8 + 1/8 = 3/8
El ejemplo tenía una solución muy sencilla, ya que había un modo fácil de lograr que la
primer fracción se expresara de tal modo que su denominador terminase siendo igual al del
otro número.
¿Qué sucede cuando no es tan sencillo? Intentemos sumar 1/3 + 1/2.
En este caso no existe ningún número entero que dividido tres, sea igual a 1/2. Tampoco es
posible encontrar un valor x tal que 1/3=x/2. ¿Qué deberemos hacer entonces? ¿Cómo
encontramos un denominador que sea común a ambos?
En este ejemplo, con un poco de suerte podríamos darnos cuenta de que un tercio es igual a
2/6, y que un medio es igual a 3/6. Encontramos una manera de expresar ambas fracciones
de modo que el denominador sea el mismo. Ahora si valdrá sumarlas, simplemente sumando
los denominadores.
Esto es:
1/3 + 1/2 = 2/6 + 3/6 = 5/6
Operaciones con fracciones – pág. 31
¿Cómo hallar algún denominador común a ambos en un caso general? El modo más simple
es multiplicando los denominadores. Observemos que en el ejemplo significaría multiplicar
3x2=6. Esto nos da la pista de que debemos encontrar un modo de escribir 1/3 en una forma
tal que tenga un 6 en el denominador. ¿Qué valor de x cumplirá que 1/3=x/6?
Podemos darnos cuenta de que si acabamos de multiplicar el denominador por 2 (para pasar
de 3 a 2) podemos mantener la fracción inalterada si también multiplicamos el numerador
(pasando de 1 a 2). Del mismo modo, la segunda fracción pasó de un denominador igual a 2
a un denominador igual a 6 (esto es, lo multiplicamos por 3), por lo tanto deberemos
multiplicar el numerador también por 3 para mantener la fracción inalterada.
En forma general, si tenemos que calcular a/m + b/n lo que haremos será multiplicar la primer
fracción por el último denominador quedando (a.n)/(m.n). Para obtener la segunda fracción
multipicaremos por m tanto el numerador como el denominador quedando (b.m)/(n.m). Como
las fracciones se han mantenido inalteradas y ahora los denominadores son idénticos,
podemos juntarlos:
a
m

a n  b m
b
n
=
mn
y esta es la forma general.
Veamos otro ejemplo numérico:
Para resolver vii
Obtener el resultado de sumar 9/11 + 3/5 en formato de fracción.
Producto de dos fracciones cualesquiera
Si se desea obtener el resultado de multiplicar dos fracciones, suele mencionarse como regla
práctica que hay que multiplicar los numeradores por un lado, y multiplicar los
denominadores por otro lado.
El formato general de esta operación será:
 a   b 
  
 m  n 
( a b)
=
( mn)
División entre dos fracciones
La manera más sencilla de obtener la división entre dos fracciones es la de aprovechar la
propiedad de que dividir es lo mismo que multiplicar por el recíproco (para recordar lo que
esto significa podemos decir que dividir por 3 es lo mismo que multiplicar por 1/3; y también
que dividir por 1/3, es lo mismo que multiplicar por 3).
Operaciones con fracciones – pág. 32
Veamos un ejemplo
3
2
 3   4 =  3   5 
      
2 5 2 4
=
4
5
( 3 5)
=
( 2 4)
=
15
8
Para resolver viii
Obtener el resultado de hacer la siguiente división (5/4)/(7/3)
Relación entre la potenciación y las fracciones
Es posible elevar una fracción a una potencia, y también es posible elevar un número a una
potencia fraccionaria.
Veamos el primer caso. Estaríamos hablando por ejemplo de calcular
3
 
2
3
Por definición de potenciación, sabemos que esto es un modo resumido de decir que
debemos multiplicar a la fracción por si misma tres veces.
 3   3   3 
   
2 2 2
Pero acabamos de ver que al multiplicar fracciones, debemos multiplicar todos los
numeradores para obtener el numerador resultante, y todos los denominadores para obtener
el denominador resultante. Con lo que obtendremos:
( 3 3 3)
( 2 2 2)
y esto es lo mismo que elevar 3 al cubo en el numerador y elevar 2 al cubo en el
denominador.
3
3
2
3
Uniendo el principio y el final de lo que acabamos de hacer nos queda que:
3
 
2
3
3
=
2
3
3
Algo similar sucede con las raíces. Sabemos ya que la raíz cúbica puede interpretarse como
equivalente a elevar a una potencia de 1/3. Por lo que:
3
1
4
5
=
4
 
5
1
3
=
4
=
1
5
3
3
3
3
4
5
Operaciones con fracciones – pág. 33
Con esto completamos la primera parte mencionada de elevar una fracción a una potencia
entera, y también de obtener la raíz de valor entero de una fracción. Nos queda analizar lo
que puede significar elevar un número a una potencia fraccionaria.
Elevar un número a potencias no enteras
¿Tendrá sentido intentar elevar un número a la 2/3? Después de todo la potencia se
comenzó definiendo como la cantidad de veces que un valor debía multiplicarse por sí
mismo.
¿Qué quiere decir entonces 2 elevado a la 2/3?
¿Debemos multiplicar el 2 por sí mismo 0.666... veces? ¿Cómo hacemos semejante cosa?
En realidad cuando los matemáticos definieron la radicación tuvieron que extender la idea
inicial de que la potenciación era la cantidad de veces que algo debía multiplicarse por si
mismo. Podríamos decirlo así. Cuando la potencia a la que se eleva un valor es entera, sigue
manteniéndose el significado original, pero cuando la potencia no es entera, hay que
interpretar la operación de otra manera algo más compleja. Nosotros aquí discutiremos sólo
el caso en que un número se eleva a una potencia racional, quedando sin analizar qué
podría suceder cuando la potencia es irracional (si es que semejante cosa tiene sentido).
¿Qué significa entonces 2
2/3
?
2
2
3
2
=
2
1
3
=
1
2 3
2 
=
3 2
2
En forma general podemos decir que
n
a
m
=
m n
a
Para resolver ix
Simplificar la siguiente expresión de modo que quede un sólo valor elevado a un único
exponente racional.
4
2  
3
5 
2
2 
-------- 0 --------
Operaciones con fracciones – pág. 34
SOLUCIONES
i
0.00852 = 852/100000
733.3 = 7333/10
ii
La fracción equivalente a 0.7777.... es 7/9.
iii
0.007777....
Las siguientes fracciones son equivalentes a los números solicitados:
 0.787878...
= 78/99
 0.0787878...
= 78/990
 78.7878...
= 7800/99
 0.145145...
=145/999
 0.0145145...
=145/9990
iv
v
es equivalente a 7/9 dividido nuevamente por 100. Esto es igual a 7/900.
Los resultados son:
 2.333 ...
 235.444...
 2.6767...
 235.6767...
 5.346346...
vi



vii
= 2 + 3/9 = 18/9 + 3/9 = 21 /9
= 235 + 4/9 = (235x9)/9 + 4/9 = (2115 + 4)/9 = 2119/9
= 2 + 67/99 = (2x99)/99 + 67/99 = (198+67)/99 = 265/99
= 235 + 67/99 = (235x99 + 67)/99
= (5x999 + 346)/999 = 5341/999
Los resultados son:
13.333...
= 1.333... x 10 = 11/9 x 10 =110/9
0.1333...
= 1.333... / 10 = (11/9) / 10 = 11/90
0.001333...
= 1.333... / 1000 = (11/9)/1000 = 11/9000
El resultado será
9/11 + 3/5 = (9x5+3x11)/11x5 = 78/55
viii
El resultado será:
2 4
(5/4)/(7/3) 5= (5/4)x(3/7)
= (5x3)/(4x7) = 15/28
ix
 
 3 2
 2  2
La solución es:
 2
2
3 5 24 2
2 =
 5 4
 3 2
 2  2
=
 5 2  4


3 1 2
2
2
=
2
10
4
3
2
2 =
 10  4 


3 2
2
=
 20  12 


6 6 
2
=
 32 
 
6
2 
Este último valor puede simplificarse aún más ya que la fracción 32/6 puede expresarse
como 16/3, quedando entonces:
 16 
 
3
2 
3 16
que es lo mismo que
2