Download MÓDULO: Enseñanza de la Geometría Clase 5: Trapecios

Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria
MÓDULO: Enseñanza de la Geometría
Clase 5: Trapecios. Construcciones y elaboración
de criterios de congruencia
En esta clase les proponemos centrarnos en el estudio de los criterios de congruencia de
figuras. Entendemos esta temática en estrecha relación con el problema de la
construcción que estuvimos abordando en las cuatro primeras clases.
Aquí nos
ubicaremos principalmente desde el aula de la escuela secundaria, aunque a veces nos
interese salir de allí para darle otro espesor a los objetos y prácticas que allí se viven.
¿Qué es un criterio de congruencia? ¿Cómo llega a formularse? ¿Es posible
validarlo en el aula? ¿Cómo y cuándo aparecieron en la matemática?
¿Se pueden trabajar otros criterios de congruencia para triángulos en el aula? ¿Qué valor
tendría?
¿Tiene sentido pensar en criterios de congruencia para cuadriláteros? ¿Por qué no se
conocen?
Estas son algunas de las preguntas que vamos a abordar en las dos últimas clases del
módulo. Como en todas las anteriores, los invitamos a trabajar a medida que van
leyendo, así podrán profundizar en los temas que se van proponiendo en el texto.
En esta Clase 5 analizamos posibles actividades para el aula centradas en la construcción
de un tipo particular de cuadriláteros: los trapecios.
Es nuestra intención desplegar un análisis matemático-didáctico, en particular,
queremos transitar algunos ejemplos que permitan dar mayor carnadura a nuestra
afirmación de que los criterios de congruencia para triángulos pueden convertirse en
una herramienta para la argumentación.
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Entendemos que la incorporación por parte del profesor de tareas y técnicas con las
cuales no está aún familiarizado representa un desafío para la enseñanza, pero
apostamos a que gradualmente se vaya instalando una variedad de contextos como
medio para enriquecer el hacer geometría por parte de los alumnos.
Conscientes de la novedad que puede representar para muchos docentes y, en el afán de
problematizar su uso, propondremos un conjunto de actividades para realizar con
GeoGebra, con el propósito de que sean discutidas, adaptadas, modificadas y
contextualizadas para el aula.
En el final de la clase vamos a profundizar algunas afirmaciones que hemos realizado en
la Clase 2 a propósito del “arrastre” de elementos en entornos computarizados como el
GeoGebra. Exploraremos dos problemas en donde el arrastre de determinados
elementos puede convertirse en una técnica interesante para incorporar al trabajo en el
aula.
1. Los cuatro lados como datos
Comenzamos en esta clase y continuamos en la siguiente el estudio del problema de la
construcción de un cuadrilátero dados sus cuatro lados, a partir de una exploración en
“lápiz y papel” y/o en GeoGebra.
¿Qué pasará si se intenta construir un trapecio dados los cuatro lados?
El estudio de esta problemática podría plantearse en el aula (de primero o segundo año
de la escuela secundaria) a partir de un enunciado inicial como el siguiente:
Problema 1
a) Construir si es posible un trapecio que tenga los lados congruentes a estos cuatro
segmentos:
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Al comenzar a manipular los datos seguramente aparecerá en el aula la pregunta acerca
de cuáles de los cuatro segmentos deben considerarse como los correspondientes a los
lados paralelos del trapecio. Probablemente se llegue a afirmar que el trapecio será
diferente según cuáles sean los dos lados paralelos entre los cuatro datos. Aunque, en
este inicio, eso puede ser una sospecha y no una evidencia. Nos parece necesario que se
decida colectivamente cuáles serán los lados paralelos para que toda la clase esté
discutiendo entorno a la misma situación. Concluida la construcción (los datos están
dados para que efectivamente exista un trapecio con esos lados), se puede pedir
considerar otros dos como paralelos para confirmar la sospecha del inicio.
Supongamos entonces que en la clase se decide que sean a y b los segmentos
congruentes a los dos lados paralelos del trapecio que se quiere construir.
Un primer procedimiento que intentarían los estudiantes podría ser ir acomodando los
segmentos de a uno, por ejemplo a y luego c adyacente, con un ángulo arbitrario entre
los dos. Luego, por el extremo libre de c trazar una paralela al lado a, para acomodar
sobre ella el tercer segmento b. Una construcción así ¡es casi imposible que concluya con
éxito!
Les proponemos intentarlo antes de seguir para que entiendan el camino que
podrían haber seguido los estudiantes.
La Figura 1 representa un trapecio QPRT así construido en un archivo GeoGebra; el
ángulo QPR resultó de 88,25° (usamos la opción ángulo para obtener la medida).
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Figura 1
Sobre una construcción así es posible reflexionar en el aula que la longitud del cuarto
lado TQ quedará totalmente determinada a partir de los tres primeros y el ángulo que
quedó
determinado
entre
PQ
y
PR
(respectivamente
congruentes
a
a
y
c).
Probablemente, los estudiantes no tengan conciencia de que al elegir una posición para
el punto R –o para el segmento PR– están determinando un ángulo. Será un asunto a
discutir en el aula. También se puede preguntar a los estudiantes si se puede saber
cuánto medirá el ángulo PRT, activando conocimientos sobre las relaciones que ligan los
ángulos determinados por rectas paralelas y transversales.
Si los estudiantes realizaron diferentes construcciones de este tipo, individual o
grupalmente, se podrían poner en común qué ángulos fueron eligiendo y se les podría
decir que midan, de manera aproximada, cuánto le sobra o le falta al lado TQ en relación
al segmento d. La diversidad de medidas de ángulos y de aproximaciones podría crear
un clima que estimule la búsqueda de una construcción precisa que solucione el
problema de estas aproximaciones.
Estas discusiones, gestionadas por el docente, podrían colocar a los estudiantes
en posición de buscar otra vía para resolver el problema trabajando con regla y compás
en su hoja de papel.
Estamos pensando un aula en la que las producciones autónomas, individuales o
grupales de los estudiantes sean tomadas como punto de partida de discusiones
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colectivas que a su vez relancen el problema dando pie a otro tramo de trabajo
autónomo.
Una posibilidad con GeoGebra
Antes de continuar con una posible gestión para la construcción del trapecio nos gustaría
proponer una exploración con GeoGebra, en caso de contar con los medios materiales y
con
una
relativa
experiencia
con
el
programa.
Dependiendo también de esta última, el archivo que
presentamos a continuación podría ser totalmente
construido por los alumnos o, en el otro extremo, se
les podría pasar el archivo ya terminado: en el medio
de ambas opciones podemos pensar en construirlo con
ellos, con un proyector y una pantalla para que todos
La
autonomía
estudiantes
de
los
(trabajar
con
GeoGebra no es más que un
ejemplo)
construye,
es
algo
que
con
se
plena
intencionalidad docente.
puedan reproducir la construcción que se va realizando
con el aporte de los estudiantes a viva voz.
La nueva tarea podría enunciarse así:
Problema 1 (continuación)
En el archivo trapecioincompleto.ggb encontrarán una construcción del trapecio a medio
hacer. Exploren la figura arrastrando sus puntos móviles para lograr el trapecio pedido.
La tarea para los alumnos, además de participar en la construcción del archivo o
eventualmente discutir cómo fue construido, consiste en continuar la construcción para
poder lograr que el lado TQ sea congruente al segmento d. Una manera de lograrlo es
trazando una circunferencia de radio d centrada en el vértice Q, y arrastrar el punto R
hasta lograr que T pertenezca a esa circunferencia. La figura lograda por aproximación
sería:
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Figura 2
Otra forma sería trazar una circunferencia de centro T y radio d, y arrastrar R hasta
lograr que la circunferencia pase por Q.
Invitamos a los profesores a jugar un poco con el archivo ggb, realizando alguna
de estas construcciones.
En cualquiera de los dos casos se llega a determinar el trapecio de manera aproximada,
con apoyo en lo visual. Es un tipo de procedimiento sólo posible en un archivo
GeoGebra, que posibilita ir modificando la
construcción a medida que se arrastra el punto
Pensamos en un aula dónde, a partir
R sobre la circunferencia.
de la resolución de diferentes tipos de
Sea que hayan hecho construcciones en lápiz y
tareas,
papel o con este procedimiento exploratorio en
razonamientos y argumentos como
un archivo GeoGebra, se trata de establecer
herramientas que permiten anticipar
con los estudiantes que estas son respuestas
lo que va a ocurrir, a diferencia de la
aproximadas y dependen de nuestra vista y/o
medición, que es aplicable a cada
de instrumentos de medición.
figura particular.
se
jerarquizaron
los
Será necesaria una clara intervención docente
que informe la posibilidad de lograr una construcción que pueda ser totalmente realizada
apoyándose en propiedades y que no dependa de la percepción ni de herramientas de
medida, que dan lugar siempre a respuesta aproximadas.
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Puestos en la posición de buscar otra vía para resolver el problema, trabajando con regla
y compás en su hoja de papel o en GeoGebra, se podría proponer a los estudiantes
tratar de determinar un triángulo cuya construcción sea posible a partir de los datos de
los cuatro lados.
Una posibilidad sería realizar una figura de análisis de un trapecio cualquiera y trazar un
segmento paralelo a uno de los lados no paralelos.
Figura 3
En la Figura 3 se trazó EC // AB, quedando determinado un paralelogramo ABCE y un
triángulo ECD. Llegado a este punto se podría preguntar a los estudiantes si alguna de
las dos figuras queda determinada a partir de los datos:
En relación con el paralelogramo se trataría de acordar que se tiene como dato la
medida de sus lados, pero hay muchos paralelogramos a construir dependiendo del
ángulo que se considere entre el segmento AB y el AE (fue una de las opciones a
estudiar en el Problema 6 de la Clase 5).
La discusión sobre el triángulo se centraría en que se conocen la medida de dos de sus
lados, y el tercero corresponde a la diferencia entre las medidas de las bases (también
dadas). Es decir, los cuatro datos del problema original permiten determinar los tres
lados de este triángulo y por lo tanto es posible realizar su construcción, tarea que
queda a cargo de los estudiantes, tanto como la de completar el trapecio a partir del
triángulo.
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Figura 4
Notemos que para completar el trapecio se puede extender el segmento JK y trazar
paralelas, y esto fija el ángulo entre los lados IK e IO, que debe ser congruente al ángulo
MKJ. Justamente el valor de ese ángulo es el que se necesitaba en la primera
construcción que intentamos.
A partir de una construcción como ésta se podría discutir si puede haber un trapecio no
congruente con estos cuatro lados como datos (y con la elección de cuáles serán los
lados paralelos): es posible centrarse en que el triángulo por el cual se comienza es
único (así lo asegura un criterio de congruencia de triángulos). Una vez construido el
triángulo, puede ser que en el aula el trapecio se haya logrado extendiendo el triángulo
para un costado o para el otro, pero se lograrán trapecios simétricos y por lo tanto
congruentes.
La construcción realizada permite entonces formular un criterio de congruencia para
trapecios:
“Si un trapecio tiene todos sus lados congruentes a los lados de otro trapecio y los que
son paralelos en uno de ellos son congruentes a los lados paralelos en el otro, entonces
los trapecios son congruentes.”
Este enunciado encierra una condición que no ha sido aún estudiada:
¿Es necesario aclarar cuáles son los lados paralelos?
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Lo dejamos como problema para que lo piensen ustedes:
(1) Para resolver
Dados los segmentos
Construir, si es posible, un trapecio que tenga sus lados congruentes a
ellos y que no sea congruente al trapecio de la Figura 5. Los lados
paralelos pueden ser cualesquiera.
Otra pregunta interesante para discutir con los estudiantes, una vez resuelto el Problema
1, es preguntar “si siempre que se den cuatro segmentos, se puede lograr la
construcción del trapecio”.
Si los estudiantes realizaron la exploración que mencionamos al principio de esta clase
con el archivo trapecioincompleto.ggb, podrían modificar las medidas de los lados y
observar que a veces no se puede lograr la construcción.
Invitamos a los profesores a realizarlo. De esta exploración no es nada sencillo formular
qué condiciones sobre las medidas de los lados tienen que darse para que se pueda
construir un trapecio, pero la visualización permite tener una poderosa evidencia de que
no siempre se podrá construir.
Por otro lado, si se examina la construcción que realizamos a partir de un triángulo –sea
en papel, con regla y compás, o en GeoGebra– aparece como necesario que ese
triángulo efectivamente exista. Para eso, las medidas de sus lados no pueden ser
cualquiera: “los segmentos c, d y a-b deben cumplir la desigualdad triangular”. El resto
de la construcción, el paralelogramo “adosado”, no tiene ninguna restricción de medidas
para poder ser construido.
Como lo hemos hecho en otras clases, a partir del Problema 1 de construcción, hemos
planteado diferentes preguntas que permiten profundizar en el estudio, más allá del
planteo inicial. Si en la clase se plantean todas estas preguntas o sólo algunas
dependerá de distintas condiciones en el aula y queda siempre a cargo del docente abrir
nuevas calles de estudio, dejar asuntos pendientes o dar por concluido el trabajo.
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2. Cuando los datos son tres lados y un ángulo
Hemos estudiado en el punto 1 un problema que podría ser visto como la extensión del
criterio LLL de congruencia de triángulos: agregamos un lado para estudiar la
construcción y un posible criterio de congruencia para trapecios.
¿Qué pasaría si le agregamos un lado a otros criterios de congruencia para
triángulos? Por ejemplo, consideremos como datos tres lados y el ángulo comprendido
entre dos de ellos.
Análogamente a lo estudiado en el Problema 1 será necesario aclarar cuáles de los datos
corresponden a los lados paralelos.
Plantearemos un recorrido posible para estudiar este problema y dejamos para ustedes
realizar dicho estudio. A partir de este trabajo, los invitamos a elaborar problemas
posibles y potentes para el aula.
(2) Para resolver
Primera etapa: dados tres lados, incluyendo a los dos paralelos y el
ángulo entre dos de ellos…
-Construir un trapecio con esos datos.
-¿Es único el trapecio que se puede construir? Justificar la respuesta.
Segunda etapa: ¿es posible elaborar un criterio de congruencia de
trapecios a partir de esta construcción?
Tercera etapa: si se dan tres segmentos y un ángulo cualquiera
¿siempre se puede construir el trapecio como en la primera etapa o
hay alguna condición sobre los datos?
Hasta aquí habrán estudiado el problema de construcción de un trapecio teniendo como
datos el ángulo α y los lados f, g y e marcados a modo de esquema en la Figura 5 a
continuación:
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Figura 5
Utilizando el mismo esquema de la Figura 5, un nuevo problema a estudiar consiste en
considerar como datos los lados e, g y d y el ángulo α entre los dos primeros. De manera
no muy esperable, la situación cambia totalmente eligiendo como datos los dos lados no
paralelos y uno de los paralelos. Les proponemos que estudien esa situación:
(3) Para resolver
Dados el ángulo α los segmentos f, g y d de la Figura 5, construir, si es
posible, un trapecio NO congruente al de la Figura 5, con los lados no
paralelos congruentes a f y d y el ángulo entre f y g congruente a α.
Si les parece que no es posible, justifiquen la respuesta.
Ahora, avancemos con una nueva posibilidad…
3. Dos lados y dos ángulos como datos
Cuando se trata de dos lados y dos ángulos, habrá muchas situaciones diferentes según
se trata o no de los lados paralelos o de alguno de ellos, como así también de la
ubicación de los ángulos. Consideremos la siguiente figura como esquema:
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Figura 6
Un simple cálculo combinatorio daría que hay 6x6 combinaciones posibles (al considerar
dos lados y dos ángulos en la figura). Les proponemos poner en juego dos de ellas, con
enunciado parecido pero muy diferente “desenlace”, para estudiar con detalle.
(4) Para resolver, usando el esquema de la Figura 6
4.1 Dados dos ángulos y dos segmentos, construir, si es posible, un
trapecio de manera que los lados e y g sean congruentes a los
segmentos dados y los ángulos α y β a los ángulos dados.
- ¿Es único el trapecio que se puede construir?
- ¿La construcción es posible para cualquier medida de los cuatro
datos?
4.2 Dados dos ángulos y dos segmentos, construir, si es posible, un
trapecio de manera que los lados e y g sean congruentes a los
segmentos dados y los ángulos α y δ a los ángulos dados.
- ¿Es único el trapecio que se puede construir?
-¿La construcción es posible para cualquier medida de los cuatro
datos?
Para aquellos que lograron ser atrapados por este problema, los
invitamos a explorar otras de las muchas variantes de este caso y
compartir sus estudios en el foro de consulta.
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Como intentamos mostrar hasta acá en esta clase, son muchas las preguntas a hacerse
a partir del “problema de la construcción de un trapecio”. Discutimos algunas de ellas
como ejemplo del tipo de trabajo que podría generarse en un aula. En el aula de cada
uno, con la historia de trabajo de cada grupo, y con la modalidad de cada docente, sin
duda se dará lugar a desarrollos muy diferentes.
En el punto 1 de esta clase propusimos un trabajo de exploración con un archivo
GeoGebra que implicaba “arrastrar” un punto en una circunferencia para obtener una
construcción dinámica (trapecioincompleto.ggb). Para finalizar con esta clase y con los
contenidos de este módulo, queremos detenernos a reflexionar en torno a ese tipo de
“acción”, posible de realizar en el trabajo mediado por el programa GeoGebra.
4. Los tipos de arrastre
Hemos visto en la Clase 2 que las “figuras dinámicas” son representaciones capaces de
ser manipuladas utilizando una computadora. Es posible arrastrar algunos de sus
elementos para que ocupen diferentes posiciones en el plano-pantalla. El programa
garantiza que las propiedades que se han definido en ella se mantengan invariantes
durante el movimiento que produce dicho arrastre.
Esta “garantía” permite considerar el “arrastre” como una nueva técnica de trabajo;
decimos nueva ya que no existe tal cosa en un entorno no computarizado y viene a
sumarse a las ya utilizadas en geometría.
Es interesante señalar que no siempre esta técnica es utilizada con una misma finalidad.
Les proponemos para este último tramo de la clase, distinguir entonces diferentes
funcionamientos dados por quien utiliza la técnica y por la tarea en la que está
enmarcada.
Como asuntos más salientes, el arrastre nos permite:
a)
Explorar para reconocer determinadas propiedades de una figura dinámica en
búsqueda de una conjetura. Es decir, en este caso no existe aún una conjetura y se
realiza el arrastre con el fin de identificar alguna regularidad que permita interpretarse
en términos de propiedad geométrica.
b) Validar una determinada “propiedad”, es decir, verificar si lo producido corresponde a
lo
esperado
a
través
de
una
determinada
representaciones dadas por el arrastre.
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invariancia
reflejada
en
todas
las
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Para entender mejor a qué nos estamos refiriendo, les proponemos analizar juntos dos
problemas:
1. Uno de ellos implica una tarea que puede prescindir del uso de una figura
dinámica, se trata de averiguar el perímetro de un triángulo definido por
condiciones determinadas desde el enunciado.
2. La segunda tarea está formulada en los términos que hemos estudiado en la
Clase 2, se trata de una actividad de producción de una figura dinámica.
Primer problema
Desde un punto P exterior a una circunferencia c se trazan las rectas tangentes a ella,
como muestra la Figura 7. A y C son los puntos de tangencia. Sobre el arco AC (el de
menor longitud) se elige un punto al cual llamaremos D. Luego se traza la recta EF
tangente a c por el punto D, como indica la Figura 7. Sabiendo que la medida del
segmento AP es de 10, hallar el perímetro del triángulo PFE.
Para
un
exploración
primer
es
momento
posible
de
también
formular estas preguntas: ¿dónde
debe ubicarse el punto D para que
el perímetro sea mínimo? ¿y para
que sea máximo?
Figura 7
Para comenzar a estudiar el problema y armar una conjetura, sugerimos en
principio no utilizar GeoGebra.
La situación requiere, como respuesta, el valor del perímetro del triángulo, para lo cual
se cuenta con una información numérica: el segmento AP. Dicho segmento AP está
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constituido, en parte, por un lado del triángulo, y éste lado será variable de acuerdo al
punto D (perteneciente al arco AC) que hayamos elegido.
Las rectas son tangentes a la circunferencia de la cual solo sabemos que el punto P es
exterior a ella.
El problema encuentra su solución recurriendo a la siguiente propiedad: los
segmentos determinados por un punto exterior y cada punto de tangencia son iguales.
En este problema, esto vale para los puntos P, F y E, lo cual hace iguales los siguientes
pares de segmentos: PA y PC, EA y ED, FD y FC.
Esta propiedad hace que la medida del segmento AP sea la misma que las de PE y la de
ED sumados. Lo mismo ocurre con la relación entre las medidas de PC, PF y FD. Es decir,
que el perímetro del triángulo equivale a dos veces la medida de AP. Si bien el problema
podría generalizarse para cualquier medida de AP, pensamos que determinar su longitud
deja abierta la puerta a exploraciones y conjeturas basadas en las medidas de los
segmentos.
La propiedad que está en cuestión requiere identificar una invariante, a saber: no
importa qué punto exterior a la circunferencia tomemos, las distancias a sus puntos de
tangencia son iguales.
El problema pareciera reducirse a conocer la propiedad de antemano o tener una
“intuición feliz” que haga sospechar sobre la congruencia de estos dos segmentos. Es
probable que la solución tarde en llegar ya que el contexto del problema deja varios
elementos sin determinar (posición del punto P, radio de la circunferencia y todas las
características del triángulo) lo que no favorece su identificación.
Aclaremos que estamos hablando aquí de la identificación de una propiedad y no
de las razones de su validez. Será necesario arribar a una conjetura para la solución del
problema inicial, luego habrá momento para la prueba que, en esta oportunidad,
dejamos en manos de ustedes.
No queremos tratar aquí la manera en que cada docente desea abordar la demostración,
pero sí nos parece importante el posicionamiento del alumnado a la hora de buscar
argumentaciones que validen una afirmación.
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Es posible que los alumnos construyan las figuras a las que refiere el problema tanto en
papel como en GeoGebra. También puede ofrecerse un archivo construido en GeoGebra
por el docente, he aquí uno posible: Perimetro.ggb. El punto B, en color azul (ver aquí
Clase 2), permite modificar el radio de la circunferencia, el punto A modifica la posición
del punto P pero siempre manteniendo la misma distancia (10), y por último el punto D
puede cambiar su posición por el arco AC.
La exploración que permite el arrastre de estos puntos deja fijo el perímetro del
triángulo que hemos calculado previamente. Hemos decidido intencionalmente definir al
punto D como perteneciente a la circunferencia y no solo al arco AC. En caso que no se
cumpla con una exigencia del enunciado, es decir, que D no pertenezca al segmento AC,
el perímetro varía.
Como sabemos, la identificación de una propiedad no resuelve sin más ningún
problema, de ahí en adelante hay un camino que el alumno debe continuar. Lo que
estamos afirmando es que el arrastre, en este caso, es una buena técnica para
identificar una propiedad que deberá ser probada.
Lo inmediatamente visible en la exploración por arrastre es que el perímetro se mantiene
fijo. Para que los estudiantes comiencen a buscar razones para este hecho, se puede:
proponer que establezcan relaciones entre segmentos, destacar que en la medida que
aumenta el segmento AE, el segmento CF disminuye (y al revés), fijar la atención de que
en la medida que AE crece también ED lo hará, etc.
Apostamos al valor formativo que tiene una conjetura cuando su formulación está
en manos de los alumnos, es en este sentido que decimos que la técnica de arrastre
viene a sumarse –con este u otros propósitos– a las tradicionales.
Avancemos con otro problema…
Segundo problema
Reproducir, en un archivo de GeoGebra, la siguiente figura, sabiendo que se trata de
tres circunferencias de radio igual a 2, tangentes entre sí dos a dos.
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Figura 8
Será conveniente aquí convenir junto a los alumnos que la tarea está realizada
correctamente en la medida que se haya logrado una figura dinámica que mantenga las
propiedades señaladas en el enunciado. Es decir, cada circunferencia tendrá un radio de
2 y serán tangentes entre sí, lo cual debe “resistir” el arrastre de los puntos azules y
celestes (ver Clase 2 para más detalle).
Construir la primera circunferencia, por ejemplo, la que tiene centro en A, no constituye
ninguna dificultad; basta con elegir un punto cualquiera del plano y un radio igual a 2.
Es la determinación de los otros centros –de manera que las circunferencias se
mantengan tangentes– lo que da sentido al problema.
Aquí se pone en juego la condición de tangencia en relación con el radio de una
circunferencia.
Podría pensarse en que los demás centros están a una distancia de 4 y utilizar un
procedimiento para la construcción de un triángulo a partir de la medida de sus lados o
directamente visualizar un triángulo equilátero. Nótese que, en principio, los puntos de
tangencia pueden ser arbitrarios, pero una vez definido uno de ellos los demás quedarán
determinados. Si se tiene la primera circunferencia, es posible definir el punto de
tangencia en cualquier punto de ella, y luego puede ubicarse uno de los otros centros
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como el lugar donde se intercepta la recta tangente al punto de tangencia y la
circunferencia con centro en A y radio 4 (Figura 9).
Podría procederse de igual manera para encontrar el otro centro.
Es posible una variante de
este problema que consiste
en no dejar visibles los
centros; las relaciones que
deben establecerse en este
caso,
se
encuentran
un
poco más ocultas.
Figura 9
Una vez construida la figura de manera correcta o no, puede procederse al arrastre
como medio para validar que las propiedades definidas en la construcción alcanzan para
determinar la figura pedida.
La finalidad del arrastre de los objetos no fijos actúa garantizando que las
relaciones que se conservan fueron definidas por quien construyó la figura. En caso que
la construcción “no resista el arrastre” se podrá proponer a la clase la explicitación de
algunas razones que expliquen lo sucedido.
Si bien en el ejemplo que hemos elegido no se está verificando una propiedad explícita
de antemano por el alumno, la construcción de una figura dinámica supone establecer
relaciones geométricas que son las que tiene en cuenta el programa. Pueden visualizarse
dos circunferencias como tangentes, pero si no se han definido las relaciones que así las
determinan, el arrastre pondrá al descubierto este hecho.
Hemos sugerido varias construcciones con GeoGebra en las clases anteriores porque
creemos que es una manera de pensar nuevas formas de enseñanza. A la vez pensamos
que la incorporación de la tecnología en la clase de Geometría debe problematizarse
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pensando los tipos de tareas que se agregan, la diferente naturaleza de las nuevas
técnicas, la manera de enriquecer algunos conceptos geométricos, la modificación en el
proceso por el cual se valida una afirmación, etc. Esperamos que este pequeño aporte
vaya en ese sentido.
En síntesis
En la Clase 6 hemos explorado el problema de la construcción de trapecios y la
elaboración de posibles criterios de congruencia para este tipo de cuadriláteros.
En el apartado 1 nos hemos detenido a estudiar juntos minuciosamente posibles
recorridos de este estudio cuando se consideran como datos los cuatro lados.
Imaginamos un recorrido que concluye con una construcción aproximada de la figura y
una validación visual de que se obtiene el trapecio buscado y otros recorridos posibles en
los cuales se puede argumentar, basándose en propiedades, que la figura construida
cumple lo pedido. Vimos que, si se especifica cuáles de los datos corresponden a los
lados paralelos, cuando se logra la construcción ésta es única, dando lugar a la
formulación de un criterio de congruencia. La unicidad pudo anticiparse gracias a los
criterios de congruencia para triángulos. Estudiamos también condiciones sobre los datos
que permitieran asegurar que el trapecio pedido existe, apoyándonos en la desigualdad
triangular para los lados de un triángulo.
En los apartados 2 y 3 esbozamos un recorrido para un estudio similar en el caso en que
los datos sean tres lados y un ángulo y dos lados y dos ángulos, respectivamente. En
estos apartados el detalle del estudio quedó a cargo de ustedes.
En el apartado 4 hemos analizado dos problemas que trataron de ilustrar distintas
funciones del “arrastre” cuando se trabaja con geometría dinámica. No fue nuestro
objetivo mostrar todas las funciones que pueden incorporarse a partir del movimiento de
puntos en el plano, sino tratar de encontrar nuevos sentidos al estudio de objetos
geométricos mediados por un entorno computacional.
No se trata de “hacer lo mismo” pero con una computadora, ni de hacer lo mismo
y “sumarle” actividades con GeoGebra. Proponemos un hacer distinto, que problematice
nuestras prácticas a la vez que enriquece el espectro de conocimientos geométricos que
nuestros alumnos pueden poner en juego.
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Seguimos construyendo juntos en los espacios de intercambio…
Lectura complementaria
●
Itzcovich, H. (2050). Iniciación al estudio didáctico de la geometría. Libros del
Zorzal: Buenos Aires.
Bibliografía de referencia
●
Acosta Gempeler, M. (2005). “Comunicación: La Teoría Antropológica de lo
Didáctico
y
las
Nuevas
Tecnologías”.
Boletín
SEIEM.
Disponible
en:
http://www4.ujaen.es/~aestepa/TAD/Comunicaciones/Acosta.pdf
Actividad obligatoria
Actividad grupal
Foro y Wiki: "Avanzando hacia el TF"
En esta clase comenzamos a elaborar el Trabajo Final en forma
colaborativa. Para ello encontrarán un nuevo foro y wiki. La idea es que
resuelvan en equipo las tareas 1 y 2 (para resolver) presentadas en esta
clase y organicen en esos espacios las conclusiones a las cuales arribaron.
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Actividades opcionales
Para resolver
A lo largo de la clase se proponen algunas tareas o problemas “Para
resolver” y que no están indicadas como actividades de entrega
obligatoria.
Recomendamos la resolución de los ejercicios 3 y 4 para
poder avanzar con el abordaje que propone el módulo.
Foro de consultas generales del módulo
Como en las clases anteriores, cuentan con el foro de consultas generales
del módulo en el cual podrán presentar inquietudes, problemas o dudas en
relación con la propuesta de trabajo del módulo. En particular, con el texto
de esta clase y con las diferentes preguntas y problemas que quedaron
para que ustedes trabajen.
¡Los esperamos!
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Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria
Cómo citar este texto:
Instituto Nacional de Formación Docente.
elaboración
de
criterios
de
Clase 5: Trapecios. Construcciones y
congruencia.
Enseñanza
de
la
Geometría.
Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la
Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.
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Autores del material:
El diseño y escritura de las clases del módulo fue realizado por Carmen Sessa y Daniel
Arias
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