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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
2
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Agenda
Sesión
Tema
Tiempo
00
CONOCIENDO GEOGEBRA
10 min
01
GEOMETRÍA ELEMENTAL
20 min
02
ANGULOS
20 min
03
TRIÁNGULOS
30 min
04
PUNTOS IMPORTANTES DEL TRIÁNGULO Y
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
25 min
05
CUADRILATEROS
30 min
06
PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS
30 min
07
POLIGONOS Y ÁNGULOS EN LA CIRCINFERENCIA
25 min
08
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA
CIRCUNFERENCIA
30 min
09
PERÍMETRO Y ÁREA y ALGO MÁS DE LA CIRCUNFERENCIA
30 min
3
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Actividades del curso-taller
Sesión 00
Conociendo GeoGebra
Para el desarrollo del curso-taller se trabajará con el programa GeoGebra principalmente por
las siguientes dos razones:
a) Es una herramienta informática muy versátil y útil para el estudiantado y docentes de
Matemáticas.
b) Es un software libre.
GeoGebra es un software de Matemáticas que reúne geometría, álgebra y cálculo. Lo desarrolló
Markus Hohenwarter en la Universidad Atlántica de Florida (Florida Atlantic University) para la
enseñanza de Matemáticas escolar.
Al abrir el GeoGebra aparece una ventana en la cual se pueden identificar cuatro secciones: Barra
de herramientas, Ventana de Álgebra, Zona gráfica y Campo de entradas.
Captura de pantalla 1. Pantalla principal del GeoGebra.
Guiando con el mouse los útiles de construcción (modos) de la Barra de herramientas pueden
construirse figuras sobre la Zona gráfica cuyas coordenadas o ecuaciones aparecen en la Ventana
de Álgebra. En el Campo de entradas o Campo de texto pueden anotarse directamente
coordenadas, ecuaciones, comandos y funciones que pasarán a representarse en la Zona gráfica
al ingresarse pulsando la tecla “Enter”.
Para el trabajo en este curso-taller se hará énfasis en la Zona gráfica y el menú de la parte superior
de la pantalla. También se hará referencia a la Ventana de Álgebra, sin entrar en detalles sobre las
ecuaciones de los objetos geométricos.
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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Antes de hacer construcciones se hará un recorrido por las diferentes opciones que brinda el menú
del GeoGebra:
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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Sesión 01
GEOMETRÍA ELEMENTAL
TÉRMINOS INDEFINIDOS DE LA GEOMETRÍA: (PUNTO, LÍNEA Y PLANO)
PUNTO
 Un punto sólo tiene posición en el espacio.
 Es la unidad indivisible de la geometría.
 No tiene ninguna dimensión (largo, alto, ancho)
LÍNEA Línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento.
LÍNEA RECTA
Si el punto se mueve sin cambiar de dirección, entonces es una línea recta.
Notación:
ó
LÍNEA CURVA
Si el punto cambia continuamente de dirección
línea curva.
entonces es una
Notación:
Una línea puede ser
puede extenderse
recta, curva o combinada. Una línea cualquiera,
en forma ilimitada.
RAYO Línea recta que crece en un solo sentido y una dirección
TRAZO
Notación:
Línea segmentada, se caracteriza por dos puntos
terminales y se le asocia una dimensión (longitud)
PLANO
Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero
no espesor.
El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de
los casos que nos rodean que están en tres dimensiones.
La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos,
cuadriláteros, circunferencia, círculo.
6
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
ÁNGULO
Es la figura formada por 2 semirectas que parten de un mismo punto. Las semirectas se
llaman lados y el punto común vértice.
Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:
a) Una letra mayúscula en el vértice.
b) Una letra griega o un símbolo en la
abertura.
c) Tres letras
mayúsculas.
PARALELAS Y PERPENDICULARES
Las rectas paralelas son rectas que están en el mismo
plano y que nunca se intersecan. Se presenta un ejemplo
a la derecha.
Las rectas perpendiculares son rectas que están en el
mismo plano y que se intersecan en un ángulo recto.
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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Sesión 02
ANGULOS:
SISTEMAS DE MEDICIÓN DE ÁNGULOS
 Sistema sexagesimal : Grados
 Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituyen un
grado sexagesimal.
 Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de
ellas, a un minuto.
 Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de
estas partes a un segundo.
Sistema Internacional de Unidades SI: Radianes
 Una circunferencia se divide 2 pi radianes.
 360º = 6,2836 rd
 1 rd = 57.3 grados sexagesimales
TIPOS DE ÁNGULOS: ang
Cóncavo
0° <
< 180°
Agudo
0° <
< 90°
Recto
Llano
= 90°
Obtuso
90° <
< 180°
Convexo
180° <
< 360°
= 180°
Completo
= 360°
Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre 90° y 180°, no incluyendo estos valores.
PAREJA DE ÁNGULOS
Ángulos adyacentes
Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice.
BAC es adyacente con
DAC
Ángulos opuestos por el vértice
- Dos líneas que se intersectan
vértice. - Son ángulos no
1,
2,
3y
generan ángulos opuestos por el
adyacentes.
4
8
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
- Son ángulos congruentes:
1=
2y
3=
4
Ángulos complementarios
- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es
que suman 90°.
El
BAC es adyacente al
DAC y viceversa.
Ángulos suplementarios
- Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es
que suman 180°.
El
BAC es adyacente al
DAC y viceversa.
RECTAS PARALELAS:
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal.
Ángulos correspondientes entre paralelas.
1=5
2=6
3=7
4=8
Ángulos alternos externos entre paralelas.
1=7
2=8
Ángulos alternos internos entre paralelas.
3=5
4=6
Ángulos opuestos por un vértice
1=5
2=6
3=7
4=8
Son Suplementarios (suman 180°)
Ángulos contrarios o conjugados
1=3
2=4
5=7
6=8
9
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Sesión 03
TRIANGULOS:
Clasificación según ángulos:
Clasificación según lados:
> Rectángulo = 1 ángulo recto (90º)
> Acutángulo = 3 ángulos agudos (menores que 90º)
> Obtusángulo = 1 ángulo obtuso (mayor que 90º)
> Equilátero = 3 lados iguales
> Isósceles = 2 lados iguales
> Escaleno = 3 lados distintos
PARA CUALQUIER TRIANGULO:
P=a+b+c
C
γ'
· α + β + γ = 180º
· α’ + β’ + γ’ = 360º
· ( α’ = β + γ ) ; ( β’ = α + γ ) ; ( γ’= α + β )
A
γ
α
α’
β
β'
B
· Cada lado es menor que la suma de los otros dos lados.
· Cada lado es mayor que la diferencia entre los otros dos lados.
· Al lado de mayor medida se le opone el ángulo mayor.
· Al lado de menor medida se le opone el ángulo menor.
C
TRIANGULO EQUILATERO:
2
a
3
4
a
h
3
2
· Los 3 lados miden lo mismo
(a = b = c)
· Los ángulos miden 60º
(α = β = γ = 60º)
A
γ
b
a
h
A
α
β
c
B
C
γ
TRIANGULO ISOSCELES:
b
· 2 lados iguales (a = b) y una base (c)
a
h
· Los ángulos basales son iguales (α = β)
A
10
α
β
c
B
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
TRIANGULO RECTANGULO:
Teorema de Pitágoras:
2
2
2
a +b =c
Teorema de Euclides:
2
a = c*p
2
b = c*q
2
h = p*q
h
a *b
c
Números pitagóricos: (a – b – c)
(3 – 4 – 5)
(5 – 12 – 13)
(8 – 15 – 17)
(7 – 24 – 25)
(20 – 21 – 29)
(12 – 35 – 37)
CONGRUENCIA DE TRIANGULOS:
DEFINICIÓN
Dos triángulos son congruentes si y sólo si existe una correspondencia entre sus vértices, de modo
que cada par de lados y ángulos correspondientes sean congruentes.
AB  PQ

AC  PR

C B  R Q

ΔABC  ΔPQ R  
A  P

B  Q

C  R

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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
ALA: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los dos ángulos
adyacentes a ese lado.
LAL: Dos triángulos son congruentes cuando tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos
respectivamente iguales.
LLL: Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.
LLA >: Dos triángulos son congruentes cuando tiene dos lados y el ángulo opuesto al mayor de
esos lados respectivamente iguales.
SEMEJANZA DE TRIANGULOS:
· Dos triángulos son semejantes si tiene los lados correspondientes son proporcionales y los
ángulos correspondientes son congruentes.
· Criterios:
> LLL = los 3 lados correspondientes proporcionales.
> LAL = 2 lados correspondientes proporcionales y ángulo entre ellos igual.
> AA = 2 ángulos correspondientes iguales.
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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Sesión 04
BARICENTRO:
C
Mediana es el segmento que une el punto medio de un lado
con el vértice opuesto en un triángulo.
· Las 3 medianas se intersectan en un mismo punto y el
triángulo queda dividido en 3 triángulos equivalentes (de igual
área).
tc
M
ta
tb
G
A
B
N
· Al trazar las 3 medianas el triángulo se divide en 6
triángulos equivalentes.
C
ORTOCENTRO:
M
· Altura es la recta que pasa por un vértice y es
perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.
· Un triángulo tiene 3 alturas y se intersectan en un
mismo punto.
L
L
hb
G hc
ha
B
A
N
INCENTRO:
C
Bisectriz es la semirecta que pasa por un vértice y divide el
ángulo en dos ángulos congruentes.
L
M
· Un triángulo tiene 3 bisectrices y se intersectan en un mismo
punto.
I
A
B
N
C
CIRCUNCENTRO:
Mediatriz es la recta perpendicular construida sobre el punto medio
de cada lado del triángulo.
· Un triángulo tiene 3 mediatrices y se intersectan en un mismo
punto.
13
L
M
A
O
N
B
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Definición: Se llaman transformaciones isométricas de una figura a las transformaciones que no
alteran la forma ni el tamaño de la figura sobre la que se aplica; sólo pueden cambiarla de posición
(la orientación o el sentido de ésta)
Entre las transformaciones isométricas están las traslaciones, las rotaciones (o giros) y las
reflexiones (o simetrías)
Una traslación es el movimiento que se hace al deslizar o mover una figura, en línea recta,
manteniendo su forma y su tamaño. En una traslación se distinguen tres elementos:
Dirección: que puede ser horizontal, vertical u oblicua
Sentido: derecha, izquierda, arriba, abajo
Magnitud del desplazamiento: es la distancia que existe entre la posición inicial y la posición final
de cualquier punto de la figura que se desplaza. Al trasladar una figura en un sistema de ejes
coordenados es necesario señalar el vector de traslación. Éste es un par ordenado de números
(x,y) donde x representa el desplazamiento horizontal e y representa el desplazamiento vertical
Una rotación es el movimiento que se efectúa al girar una figura en torno a un punto. Este
movimiento mantiene la forma y el tamaño de la figura. En una rotación se identifican tres
elementos:
El punto de rotación ( o centro de rotación) que es el punto en torno al cual se va a efectuar la
rotación: éste puede formar parte de la figura o puede ser un punto exterior a ella.
Magnitud de rotación, que corresponde a la medida del ángulo determinado por un punto
cualquiera de la figura original, el centro de rotación, o vértice del ángulo, y el punto
correspondiente en la figura obtenida después de la rotación
El sentido de giro, que puede ser obtenido ( en el sentido contrario al avance de los punteros del
reloj)
Nota: En una rotación se cumple siempre que la distancia entre un punto cualquiera de la figura
girada y el centro de rotación es la misma que la distancia entre el punto correspondiente de la
figura original y el centro de rotación.
Rotación de 90º (x,y) ------- (-y,x)
Rotación de 180º (x,y) ------- (-x,-y)
Una reflexión de un figura geométrica respecto de un eje llamado eje de simetría es el movimiento
que transforma la figura de manera que cada punto P y su imagen P’ equidisten del eje de simetría
y el segmento PP' sea perpendicular al eje de simetría
Nota:
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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
(1) Una reflexión respecto de un eje es conocida como simetría axial
(2) Una reflexión respecto de un punto es conocida como simetría central
Ejes de simetría: Si al aplicar una reflexión a una figura geométrica en torno a un eje ésta se
mantiene “invariante”, es decir, no cambia, diremos que ése es un eje de simetría de la figura.
El cuadrado de la figura permanecerá igual si se refleja en torno a sus diagonales. Ambas
diagonales son ejes de simetría del cuadrado.
También permanecerá igual (o se superpondrá sobre sí mismo) si se refleja en torno a los ejes
determinados por los puntos medios de lados opuestos
Estos ejes también son ejes de simetría del cuadrado.
El cuadrado tiene cuatro ejes de simetría
En el caso de los triángulos, tenemos:
Tipo
Ejes
Triángulo equilátero
Tres ejes de simetría
Triángulo Isósceles
Un eje de simetría
Triángulo Escaleno
Ningún eje de simetría
En el caso de los cuadriláteros, tenemos:
Tipo
Ejes
Cuadrado
Cuatro ejes de simetría
Rectángulo
Dos ejes de simetría
Rombo
Dos ejes de simetría
Trapecio isósceles
Un eje de simetría
Trapezoide
Ningún eje de simetría
Nota: El círculo tiene infinitos ejes de simetría. Cada recta que pasa por el centro es un eje de
simetría del círculo.
Nota: En el caso de los polígonos regulares, estos tienen tantos ejes de simetría como números de
lados
Teselar una superficie consiste en cubrirla completamente con “baldosas”, de modo que éstas
encajen perfectamente sin dejar espacios por cubrir
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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Con rectángulos, cuadrados y rombos es muy sencillo cubrir una superficie o teselar. También es
posible teselar con cualquier tipo de triángulos
Con polígonos regulares. La condición que debe cumplirse para recubrir una superficie es que los
ángulos que convergen en cada vértice sumen 360°.
Nota: Los únicos polígonos regulares que permiten teselar son los triángulos equiláteros, los
cuadrados y los hexágonos regulares. Todo cuadrilátero tesela el plano
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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
TEOREMA GENERAL DE THALES
Si tres o más rectas paralelas son intersectadas por dos transversales, entonces ellas determinan
segmentos proporcionales en dichas transversales.
L // L 2 // L 3
Hipótesis: 1
M 1 y M 2 tr ansver sales
Tesis:
AB
A' B'

BC
B' C'
Nota: en una proporción es posible:
(a) alternar los términos medios
(b) alternar los términos extremos
(c) invertir las razones
(d) permutar las razones
(e) componer o descomponer la proporción respecto al antecedente o al consecuente
de cada razón
Teorema recíproco del teorema general de Thales
señala que:
“Si tres o más rectas son intersectadas por dos
transversales, determinando en estas segmentos
proporcionales, entonces las rectas son paralelas”
M1 y M2 transversales
AB A ' B'

 L1 // L 2 // L 3
BC B' C'
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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Sesión 05
CUADRILATEROS:



Los ángulos interiores suman 360º
Los ángulos exteriores suman 360º
Clasificación según par de lados opuestos paralelos:
> Paralelogramos (2 pares)
> Trapecios (1 par)
> Trapezoides (ningún par)
A. PARALELOGRAMOS:
 Tienen 2 pares de lados opuestos paralelos.
 Cuadrado – Rectángulo – Rombo – Romboide
1. CUADRADO:








4 ángulos interiores rectos
4 lados iguales
Lados opuestos paralelos
Las diagonales son iguales y son perpendiculares
Las diagonales se dividen en partes iguales)
Las diagonales bisectan los ángulos
Se puede inscribir una circunferencia
Se puede circunscribir una circunferencia
D
d1
d2
 d= a 2
 P = 4a
2
 A=a
A
B
a
D
2. RECTANGULO:







C
4 ángulos interiores rectos
Lados opuestos de igual medida
Lados opuestos paralelos
Las diagonales son iguales y se dimidian
Se puede circunscribir una circunferencia
P = 2a + 2b = 2(a+b)
A = ab
C
d1
b
d2
A
B
a
3. ROMBO:








4 lados iguales
Lados opuestos paralelos
Ángulos opuestos iguales
Ángulos contiguos suplementarios
Las diagonales son perpendiculares
Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos
Se puede inscribir una circunferencia
P = 4a
ef
 A = ah =
2
18
D
C
d2
d1
h
e
A
f
a
B
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
4. ROMBOIDE:







Lados opuestos de igual medida
Lados opuestos paralelos
Ángulos opuestos iguales
Ángulos contiguos suplementarios
Las diagonales se dimidian
P = 2a + 2b = 2(a+b)
A = ah
B. TRAPECIOS:


D
C
d1
h
b
d2
A
B
a
Tienen 1 par de lados opuestos
paralelos llamados basales.
Trapecio Escaleno – Trapecio Isósceles – Trapecio Rectángulo
1. TRAPECIO ESCALENO:






Lados no paralelos no son congruentes.
AB // CD
α + δ = 180º
β + γ = 180º
p=a+b+c+d
(a  b)
h
A = MN*h = 2
MN 
b
D
c
M
N

A
ab
2
β
α







Uno de sus lados no paralelos es
perpendicular a las bases.
AB es perpendicular a AD
DA es perpendicular a DC
AB // CD
c = h = altura
Ángulos en A y D son rectos
β + γ = 180º
p=a+b+c+d
A = MN · h / = A 

b
δ
d1
γ
C
c
d
M
N
d2
h
β
α
A
B
a
D
Lados no paralelos son iguales (AD = BC)
AB // CD
Las diagonales son iguales
Ángulos contiguos suplementarios
α=β
γ=δ
p = a + b + 2c
(a  b)
h
2
A = MN · h / A =
B
a
3. TRAPECIO RECTANGULO:

d
h
2. TRAPECIO ISOSCELES:







C
γ
δ
b
D
γ
C
c
M
d
N
h
A
( a  b)
h
2
19
β
a
B
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
4. MEDIANA DE UN TRAPECIO:
 Segmento que une los puntos medios de los lados no
paralelos.
 Es paralela a las bases.
 MN = (AB + DC)/2
D
C
M
N
A
B
D
C. TRAPEZOIDES:

b
δ
γ C
c
No tienen lados opuestos paralelos.
d
α
A
α
20
β
a
B
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Sesión 06
PROPIEDADES DE OTROS CUADRILATEROS:

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son
suplementarios.
(α + γ = β + δ = 180º)
D
δ
AD*CB+CD*AB=AC*BD
D
c
α
C
A
d
b
A
a
B
C
γ
β
α
B
· En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas
de cada par de lados opuestos son iguales entre sí.
(a + c = b + d)
EJEMPLO 1: En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del cuadrilátero ABCD es:
EJEMPLO 2: En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de FCGI es 12
II) El área de ABFI es 6
III) El área de AEIH es 3
EJEMPLO 3: Los vértices de una figura son: A(2, 0); B(0, 2); C(−2, 0) y D(0, −2). ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El perímetro de la figura es 8 2 .
II) Cada diagonal mide 4.
III) El área de la figura es 4 2 .
21
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
EJEMPLO 4: El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadrados congruentes entre sí,
como se muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es
A)
B)
C)
D)
E)
4a 2
9
5a 2
3
3a 2
4
5a 2
9
8a 2
9
EJERCICIO 5: En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El perímetro del polígono es 8 2 .
II) Cada diagonal del polígono mide 4.
III) El área del polígono es 4 2 .
EJEMPLO 6: En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seis cuadrados
congruentes. Si los arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces ¿Cuál(es) de las
afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I.
II.
III.
La suma de las áreas sombreadas
es igual al área de un círculo de
1
radio BC
2
La suma de los perímetros de las
áreas sombreadas es igual al
perímetro de una circunferencia de
1
radio AB
3
La suma de los perímetros de las
regiones sombreadas es mayor que
el perímetro de ABCD.
22
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
EJEMPLO 7: Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde PC  3PB , QD  2QC y M es
el punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del ∆ DMQ es
A)
B)
C)
D)
E)
k2
9
k2
3
4k 2
9
2k 2
9
2
k
6
EJEMPLO 8: En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del
lado BE en el rectángulo DBEF mide
A)
B)
C)
D)
E)
5
2
1
5
2
5
3
2
5
1
EJEMPLO 9: En la figura, ABCD es un rectángulo en el cual BC = 8 cm. Los triángulos son todos
equiláteros y congruentes entre sí. El perímetro de la región sombreada es
A) 42 cm
B) 46 cm
C) 48 cm
D) 50 cm
E) 56 cm
EJEMPLO 10: El largo de una piscina rectangular es el doble de su
ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada
2
es de 40 m , ¿cuál es el largo de la piscina de la figura?
A) 3 m
80 m
D)
B) 6 m
C) 12 m
E)   3  165  m



2

23
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
EJEMPLO 11: En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo, AF  FC y  mide 60º,
entonces ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)?
I ) FE  FC
AB
2
III) AB  BC
II) FE 
EJEMPLO 12: La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30 cm de lado cada uno. El
área de la región achurada mide
A) 50 cm
2
B) 75 cm
2
C) 100 cm
2
D) 112,5 cm
E) 125 cm
2
2
EJEMPLO 13: ¿Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q?
A) 4p + 3q
B) 4p + 4q
C) 3p + 3q
D) 3p + 2q
E) No se puede determinar
EJEMPLO 14: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos medios de los lados
AD y AB , respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo MAN?
A)
a2
2
B)
a2
4
a2
8
a
D)
4
a
E)
8
C)
24
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
EJEMPLO 15: ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si se ha dividido en cuadrados
congruentes como se muestra en la figura, ¿cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son)
verdadera(s)?
I.
II.
Área de la región sombreada es 13
Perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de
ABCD
Suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es mayor
que el perímetro del rectángulo ABCD
III.
EJEMPLO 16: En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son puntos medios de los lados
respectivos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) ΔTLP ΔTMB
II) ΔPML  ΔLTM
III) DTA  CBL
EJEMPLO 17: En la figura AQ = 1 y QC = 2, entonces ¿cuál es el área del rectángulo ABCD?
A) 2
B) 6
C) 2 3
D) 3 3
E) 3 2
EJEMPLO 18: En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:
9
8
B) 1
C) 2
A)
D)
E)
2 3
3
3 1
EJEMPLO 19: En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3 cm y CQ = 3 3 cm. Si P, B y Q son
puntos colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide:
A) 6 3 cm 2
B) 9 3 cm 2
C) 12 3 cm2
D) 9 cm 2
E) 18 cm2
25
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
EJEMPLO 20: EFGH es un rectángulo. Si Δ AHD  Δ CFB y Δ DGC  Δ BEA entonces
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
I) DCB  DAB
II) DC  AB
III) DCG  ADG
EJEMPLO 21: ¿Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas
diagonales miden 8 cm y 6 cm?
A) 60 cm
B) 70 cm
C) 80 cm
D) 84 cm
E) 120 cm
EJEMPLO 22: En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscrito el trapecio
isósceles EFGH. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) El área de EFGH es 48
II)  AEH   CFG
III) HJ = EF
26
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Sesión 07
POLIGONOS:


Figura plana limitada por lados rectos.
De acuerdo al nº de lados se clasifican en:
> 3 lados: Triángulo
> 9 lados: Nonágono o Eneágono
> 4 lados: Cuadrilátero
> 10 lados: Decágono
> 5 lados: Pentágono
> 11 lados: Undecágono o Endecágono
> 6 lados: Hexágono
> 12 lados: Dodecágono
> 7 lados: Heptágono
> 15 lados: Pentadecágono
> 8 lados: Octágono u Octógono
> 20 lados: Icoságono

La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es: 180º*(n-2)
(n = número de lados del polígono)


La suma de los ángulos exteriores es 360º.
Nº de diagonales que se pueden trazar desde un vértice de un polígono de n lados: n-3

Nº total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados:
POLIGONOS REGULARES:

Tienen todos sus lados y sus ángulos internos iguales.

Cada ángulo interior de un polígono de n lados mide:

Cada ángulo exterior de un polígono de n lados mide:

Se les puede inscribir y circunscribir una circunferencia.
EJEMPLO -1: En la figura, se muestra un hexágono regular, sobre sus lados se construyen
exteriormente triángulos equiláteros, cuyos lados son de igual medida que el lado del hexágono.
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) El área de la nueva figura duplica al área del hexágono.
II) La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono.
III) El perímetro de la nueva figura es el doble del perímetro del hexágono.
27
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
CIRCUNFERENCIA:


p=2πr
2
A=πr
A
A. MEDIDA DEL ANGULO CENTRAL:
O
· El ángulo central mide lo mismo que el arco correspondiente.
B
< AOB = 90º, entonces AB = 90º
A
B. MEDIDA DEL ANGULO INSCRITO:
· El ángulo inscrito mide la mitad del arco correspondiente.
B
C
A
C. MEDIDA DEL ANGULO INTERIOR:
C
P
x
B
D
D. MEDIDA DEL ANGULO EXTERIOR:
A
C
P
O
x
D
B
E. MEDIDA DEL ANGULO SEMI-INSCRITO:
Q
Angulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son una
tangente y una cuerda.
O
< x = < AQP
A
28
x
B
P
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
EJEMPLO 1: En la figura AB  BC y O es centro de la circunferencia. Si AB // DE , entonces el
ángulo  mide:
A) 10º
B) 40º
C) 20º
D) 70º
E) 80º
EJEMPLO 2: En la figura, se tiene un semicírculo de centro O y BAC = 20°. El valor del x es
A) 20°
B) 35°
C) 40°
D) 55°
E) 70°
EJEMPLO 3: En la figura, O y O1 son los centros de las circunferencias. En el triángulo ABC, el
ángulo CAB mide 22°, entonces el valor del ángulo α es
A) 68°
B) 66°
C) 57°
D) 44°
E) ninguno de los valores anteriores
EJEMPLO 4: En la circunferencia de centro O y diámetro AB de la figura, la medida del ángulo x es
A) 32º
B) 26º
C) 38º
D) 52º
E) 64º
29
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
EJEMPLO 5: En la figura, CD es un diámetro de la circunferencia de centro O. Si el  BOD = 20° y
arco AD es congruente con el arco DB, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)
FALSA(S)?
I)  CBO = 20°
II)  CAO =  AOD
III)  AOD =  BOD
EJEMPLO 6: En la semicircunferencia de centro O de la figura, el  BOC mide 100º. ¿Cuánto
mide el  AED en el triángulo isósceles AED?
A) 70º
B) 50º
C) 40º
D) 20º
E) Ninguno de los valores anteriores.
EJEMPLO 7: En la figura, el ángulo del centro correspondiente al arco PQ mide 110°. Si R es un
punto cualquiera del arco PQ, el  x mide
A 55°
B 70°
C 110°
D 125°
E 220°
EJEMPLO 8: En la circunferencia de centro O de la figura, AB es diámetro, DOC  60º y
DB es bisectriz del OBC . ¿Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?
I) ΔO BC  ΔAO D
II) ΔACB  ΔBDA
III) ΔAED  ΔBEC
30
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
EJEMPLO 9: En la figura, AB es el diámetro de la circunferencia de centro O, ¿cuál es la medida
del ángulo x?
A) 20º
B) 40º
C) 70º
D) 110º
E) 160º
EJEMPLO 10: En la figura, ¿cuál es el radio de la circunferencia de centro O, si la cuerda
AC 
2
y el ángulo ABC es inscrito de 45º?
2
2
4
1
B)
3
1
C)
4
1
D)
2
E) 1
A)
EJEMPLO 11: Se tiene el triángulo ABC isósceles rectángulo en A. Sus catetos miden 1.
AD, DE y DF son radios de la semicircunferencia y DF es perpendicular a BC . ¿Cuánto vale el
radio de la semicircunferencia inscrita?
A)
2 1
2
2
C) 2  1
B)
D) 3  1
E) 2  2
EJEMPLO 12: En la circunferencia de centro O de la figura, el ángulo OCB mide 24°. ¿Cuál es la
medida del ángulo AOC?
A) 12°
B) 24°
C) 48°
D) 132°
E) 156°
31
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
EJEMPLO 13: En la figura, PT es tangente en P a la circunferencia circunscrita al triángulo PQR.
La medida del ángulo  es
A) 80º
B) 100º
C) 120º
D) 125º
E) 130º
EJEMPLO 14: En la figura, los puntos A. B y C están sobre la circunferencia de radio r y la medida
del ángulo ACB es 30º. La longitud del arco AB es:
1
πr
3
1
B)
πr
6
2
C)
πr
3
1
D)
πr
12
A)
E) Ninguna de las anteriores
EJEMPLO 15: En la circunferencia de centro O de la figura, si α  β  32º , entonces el valor del
ángulo γ es:
A) 16º
B) 32º
C) 48º
D) 64º
E) Indeterminable
32
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Sesión 08
POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
Si desde un punto P, exterior a una circunferencia, trazamos dos rectas
secantes a una circunferencia, se cumple que:
PA x PB  PC x PD
A este producto se le llama POTENCIA del punto P respecto de la
circunferencia.
Si dos cuerdas se cortan en un punto P, los segmentos que se forman
cumplen la siguiente relación:
PA x PB  PC x PD
Ejemplos:
1.- Si PA  4 cm; PB  12 cm; PC  7 cm; Cuánto mide PD ?
PA x PB  PC x PD
4 m · 12 cm  7 cm · PD
4 cm · 12 cm
 PD 
7cm
PD  6.85cm
2.- Si AB  8cm ; PC  3cm y PD  4cm Cuánto mide PB ?
Llamemos: PA  x  PB  8  x (porque AB  8cm )
PA x PB  PC x PD
x · (8 – x) = 3 · 4
2
8x – x = 12
2
x – 8x + 12 = 0
(x – 6) (x – 2) = 0
 x1 = 6 ^ x2 = 2
Luego: PA  6cm  PB  8  6  2cm
(o bien PA  2cm  PB  6cm )
33
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Construye y resuelve los siguientes ejercicios y encierra la respuesta correcta:
1. En la circunferencia de centro O y radio r, MN es diámetro, si MP =
r y Q punto medio de MP , entonces QN =
N
a) r 3
O
r 3
2
r 13
c)
2
b)
M
d) r 21
e) No se puede determinar
2. En la figura el  ABC es equilátero ¿Cuánto mide el  x?. Si O es el
centro de la circunferencia
Q
P
C
x
a) 100°
O
b) 30°
A
B
c) 120°
d) 60°
e) falta información
3. El triángulo ABC está trazado en la mitad de la circunferencia.
Si hc = 4cm y el lado CB = 5cm. El radio de la circunferencia es:
a) 3 cm
1
a) 4 cm
6
1
b) 6 cm
3
1
c) 12 cm
2
d) Ninguna de las anteriores.
C
A
B
O
4. En la figura se tiene circunferencia de centro O, MP bisectriz del
OMN. Si MPN = 40°, entonces x =?
a)
b)
c)
d)
e)
25°
30°
35°
40°
45°
O
M
P
x
N
34
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
5. En la semicircunferencia de centro O, DAB = 40° y AD // OC,
entonces el ACO vale:
a)
b)
c)
d)
e)
10°
15°
20°
30°
45°
6. En la figura, O es el centro de la circunferencia. Si AB // RT y AOC
= 94°; la medida del ángulo  es:
a) 47°
b) 94°
c) 123°
d) 133°
e) 152°
7.
PA  16; AB 
PA
; entonces PT es :
4
a) 8
b) 4 48
c) 4 3
d) 8 3
e) 8 2
8. AB = diámetro = 12; EB = 2; CE = 5; ED = ?
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
3
4
5
9. AC  10; CP  8; PD  9 , entonces la medida del segmento BD =?
a)
b)
c)
d)
e)
16
10
7
8
6
35
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
10. MN es diámetro de la circunferencia. ¿Cuánto mide el radio?
a) 7
b) 8
c) 10
d) 11
e) 12
11. ¿Cuál es la medida del diámetro MN, si PM  40; PT  60 y O es
centro?
a) 36
b) 40
c) 45
d) 50
e) 54
12.
AC  2·PC  12cm; PD  4cm , entonces la medida del
segmento BD =?
a)
b)
c)
d)
e)
16
10
7
8
N.A.
36
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Sesión 09
PERÍMETRO Y ÁREA y ALGO MÁS DE LA CIRCUNFERENCIA:
El número π es igual al cociente: Circunferencia entre diámetro de
una misma circunferencia y este valor es aproximadamente igual a
3.141592654
C
P=2πr
La curva que delimita al círculo es una
circunferencia. En otras palabras, el círculo es
el área que queda encerrada por la
circunferencia.
Nosotros podemos calcular el área de un círculo, pero no así para la circunferencia.
Igualmente, podemos calcular el perímetro de una circunferencia, pero no así del
círculo.
La fórmula para calcular el área: A = π r
Calcula el perímetro y el área de las regiones sombreadas
37
2
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
38
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
39
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Curso-taller: Con GeoGebra, construcciones útiles para profesores y actividades
constructivas para los alumnos de Educación Básica
El objetivo de este curso-taller es poner a disposición de los profesores de quinto, sexto grado de
Educación Primaria y primero, segundo y tercero de Secundaria, estrategias que les permitan
dinamizar sus clases e innovar en ellas. Esto se hará por medio del software GeoGebra.
Materiales requeridos para la realización del curso-taller
Estos materiales deberán estar a disposición de los profesores del curso-taller.
1) Tener instalado el Software libre GeoGebra
2) Instaladas las carpetas de los archivos digitales (versión alumno, maestro y
videos tutoriales) de las secuencias didácticas de los meses comprendidos
desde Septiembre 2015 a Junio 2016 del Proyecto EMAT-Hidalgo, del nivel
correspondiente
3) Libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación
Primaria, PROPUESTA HIDALGO.
a) 5º y 6º grados Primaria
b) 1º, 2º y 3º grados Secundaria
4) Disco DVD que contenga: Carpetas de archivos (versión alumno y maestro)
y los video tutoriales de los meses comprendidos desde Septiembre 2015 a
Junio 2016 del Proyecto EMAT-Hidalgo Primaria
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Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
Problemática en la que se centra el curso-taller
Necesidad de los profesores de contar con herramientas para trabajar los conceptos y
competencias de los ejes temáticos: Sentido Numérico y Pensamiento Algebraico (SNPA), Forma
Espacio y Medida (FEM) y, Manejo de la Información (MI), que le permitan no solo hacer más
dinámicas sus actividades, sino evaluar de una manera más cercana al trabajo de aula y esto lo
proporciona el Software GeoGebra.
Planteamiento del curso-taller
El curso-taller está planteado para realizarse en una sesión de seis horas:
Sesión de ejercicios de construcción y razonamiento para construir e interactuar con algunos
archivos digitales (versión alumno) de las secuencias didácticas de los diez meses del Proyecto
EMAT-Hidalgo. Elementos de uso de la herramienta para la construcción de prácticas y ejercicios
de evaluación.
Fundamentación teórica
En la educación primaria se trabaja todos los años con contenidos de los ejes temáticos: Sentido
Numérico y Pensamiento Algebraico (SNPA), Forma Espacio y Medida (FEM) y, Manejo de la
Información (MI). En los planes de estudio oficiales para la Educación Básica, menciona los
análisis de las características de estos elementos en varias oportunidades, distribuidos en los cinco
bloques.
En el caso de este curso-taller, se circunscribirá a trabajar únicamente con las sesiones destinadas
al uso del Software GeoGebra. Esta limitación se hace precisamente por cuestiones de tiempo y
profundidad en el estudio.
El trabajo con las características de las figuras puede ser un tema atractivo para los alumnos, pues
permite desarrollar actividades que requieran creatividad y el uso de su ingenio y visión geométrica
como parte de su actividad de aula. Estas actividades se fundan en las sugerencias que propone el
mismo programa de estudios oficial para la Educación Básica.
Las actividades y situaciones que se diseñen tienen que enfocarse hacia la comprensión,
asimilación e interiorización de conceptos de la matemática, a partir de la manipulación que el niño
y la niña hagan de los materiales o recursos didácticos; pero recordando en todo momento, que
estos son medios que coadyuvan a la construcción y reconstrucción de conceptos, y nunca un fin
en sí mismos.
El uso de actividades que se centren en procesos y habilidades cognitivas se enmarcar en las
solicitudes que las autoridades educativas hacen a los profesores.
Una actividad importante para el desarrollo del pensamiento del alumno es la clasificación, la cual
se pone en juego al observar e identificar las propiedades que tienen los objetos. Al iniciar el
trabajo con figuras geométricas, el educando reconstruye en gran parte el proceso evolutivo de la
historia de la matemática, desde un proceso de visualización de objetos, hasta la construcción y
reconstrucción de conceptos.
Además, si se agrega el componente computacional como un ingrediente adicional, los resultados
pueden ser sorprendentes.
Por otra parte, los profesores que trabajen este tema a fondo, con su equipo personal y alguna
herramienta tecnológica que lo permita, tendrán a su alcance no solo actividades llamativas, sino
posibilidades de trasladar este tipo de actividades a la evaluación.
Debido a que el currículo, las actividades y el conocimiento matemático que propugnan estos
programas tienen una base conceptual, la evaluación no es una tarea simple ni reducida. El
desarrollo de estructuras conceptuales constituye un proceso a largo plazo; las estructuras
41
Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Primaria
conceptuales se desarrollan, elaboran, profundizan y se van haciendo más completas con el paso
del tiempo. En consecuencia, la evaluación debe ser un proceso continuo. No puede asumirse que
una experiencia suelta de aprendizaje o de evaluación vaya a ofrecer un cuadro completo del
desarrollo intelectual de los estudiantes. La evaluación debe intentar dar a todos los estudiantes la
oportunidad de reconocer sus capacidades, potencialidades y limitaciones y de cómo superar
estas últimas.
Como se indica, la evaluación es una tarea continua y no sólo destinada a emitir una calificación.
En este caso, se propone que las actividades que se trabajen permitan al docente usarlas tanto en
la forma de pruebas escritas como de actividades de trabajo. Estas pueden realizarse en clase o
extra clase y existe la posibilidad de que se usen para la evaluación sumativa.
Para este curso-taller, se propone trabajar el primero de los esquemas y cuidar que la desventaja
descrita no llegue a presentarse. Para esto se proyecta trabajar con la función evaluativa que los
profesores deben cumplir y centrar allí la culminación del proceso de curso-taller.
Los video tutoriales junto con los archivos versión maestro, harán la función de capacitación
continua, donde el profesor tendrá el compromiso académico para revisar previamente antes de
implementarlo con los alumnos.
El formato es como se muestra:
Presentación del tema, grado, mes y semana.
Explicación de cómo trabajar la sesión con los alumnos, además de dar tips didácticos para contar
con el soporte pedagógico.
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