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LA IMPORTANCIA DE GALILEO EN LA CONSTRUCCIÓN
HISTÓRICA DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN CUADRÁTICA
Jhony Alexánder Villa Ochoa
Yadira Marcela Mesa
Universidad de Antioquia – Colombia
RESUMEN
Éste es un proyecto de investigación en el que se pretende diseñar y validar una propuesta
didáctica mediante la cual se pueda construir el concepto de función cuadrática vía la
modelización de fenómenos de variación, para lograrlo se realiza reflexiones sobre el concepto
objeto de estudio a la luz de los momentos históricos y el reconocimiento de Galileo en este
proceso evidenciando sus conocimientos y procedimientos previos con base en la indagación de la
matemática construida hasta su época, con los que en su obra se muestra que utilizó permitiendo
analizar algunas implicaciones didácticas de su construcción.
INTRODUCCIÓN
Numerosas investigaciones han mostrado como el concepto de función es de gran relevancia en el
estudio del álgebra y fundamental en el aprendizaje del cálculo, pero también han destacado el
papel de la historia de las matemáticas como una herramienta para la reflexión docente a la hora de
abordar o diseñar situaciones didácticas, ya que ella permite identificar obstáculos y procedimientos
en la construcción de conceptos, por ello como resultado de una indagación documental es relevante
la figura de Galileo Galilei (1564-1642) en esta construcción y se tratará por mostrar su
pensamiento matemático en el momento de iniciar sus estudios del entorno, en particular del
movimiento como tal.
A partir del estudio en general sobre el concepto de función se ha tomado como objeto de estudio
en particular el concepto de Función Cuadrática y su construcción a partir de la modelación como
herramienta didáctica. Con base en lo anterior se hace necesaria una indagación histórica que
permita evidenciar obstáculos, oportunidades y situaciones que revelen concepciones cuadráticas.
CONOCIMIENTOS PREVIOS DE GALILEO
Éstos suponen un acumulado de saberes construidos hasta su tiempo que pondrá a su disposición
para elaborar nuevo conocimiento que en este caso tiene que ver con modelización de fenómenos de
variación, particularmente de la cinemática. Por ende es posible afirmar que a partir del mismo
conocimiento que poseía Galileo es posible realizar un estudio del movimiento, y como se verá en
este documento, de la función cuadrática aunque ésta no sea nombrada explícitamente por él su
pensamiento de tipo funcional cuadrático1 sugería su acepción.
Cabe entonces preguntarse ¿qué sabía Galileo?, para responder a esta pregunta un vistazo a la
historia de las matemáticas nos dará su respuesta, por ello es posible afirmar que sus saberes
correspondía a elementos tales como:
1.
Un pensamiento deductivo
2.
Geometría Euclidiana
3.
Progresiones y sucesiones aritméticas
4.
Las secciones Cónicas
5.
Algebra geométrica
6.
Aproximaciones gráficas del Movimiento de Oresme.
Este conjunto de procedimientos para el caso de la función cuadrática son los que se han presentado
hasta el tiempo de Galileo y que por lo tanto se evidencia en su obra, unas con mayor énfasis que
otras y que sin embargo todas ellas se hacen necesarias, a continuación se verá porqué.
1.
PENSAMIENTO DEDUCTIVO
El papel de la filosofía con la creación de la lógica posibilita la creación de sistemas, es así como se
somete el conocimiento a la validez y se consolida como verdad. Los Elementos de Euclides se
convierten en el ejemplo o modelo de razonamiento que matemáticos y culturas posteriores
adoptarán. Adicionalmente en un primer momento fue de gran relevancia para la sistematización de
un razonamiento evidenciado de manera retórica ya que su escritura es la trascripción permanente
de lo hablado, por ende las operaciones se describen y solo las letras son utilizadas para representar
puntos. Aunque esto no quiere decir que con la aparición del simbolismo algebraico no haya este
tipo de razonamiento.
1
Palabra usada por los autores para relacionar la manera de pensar las situaciones que de manera retrospectiva
invulocraban la Función cuadrática,
2.
GEOMETRÍA EUCLIDIANA
Es claro su carácter deductivo pero en relación con las nociones cuadráticas se evidencia una
definición ofrecida en los Elementos que se concibe como “…Concepto: En los Elementos el
término “cuadrado” acepta definiciones como: “de entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la
que es equilátera y rectangular”… también Puerta2 (1996, p84) comenta que: “para dibujar un
cuadrado [Euclides] a partir de un lado la expresión dada es anagrápsai apó…que indica la acción
de dibujar repetidamente a partir de una recta dada (un lado) las demás rectas (lados) que cierran un
cuadrado”. Lo anterior permite mostrar la idea de cuadrado como la acción de repetir (multiplicar)
ese mismo lado, obviamente de manera equiangular, es decir, una cantidad multiplicada por sí
misma sería la interpretación a la luz del álgebra geométrica y el hecho que para la época un
segmento no correspondía necesariamente a una medida en particular sino por el contrario a un
valor en general y la referencia a ser figura demandaba una interpretación desde las áreas. Es el
inicio de los esquemas generales de representación de la cantidad.
3.
PROGRESIONES Y SUCESIONES ARITMÉTICAS
La disposición pitagórica de los números en formas visuales permite categorizar los números
figurados, entre ellos los cuadrados, permitiendo establecer leyes generales que se construyen a
partir de las variaciones entre una cantidad con sus anteriores y como consecuencia de ella la
identificación del patrón constante.
Así como cita Puerta (1996, p 90) “los pitagóricos y
matemáticos griegos posteriores hablan de distintas clases de números según las distintas figuras
geométricas que formen (números triangulares, cuadrados, planos, sólidos, etc). Así es posible a
partir de la toma de datos la descripción del comportamiento variacional del movimiento.
4.
ÁLGEBRA GEOMÉTRICA
Manejo de un
álgebra sincopada,
desde la generalidad que se vale de la geometría. Los
historiadores y matemáticos han notado una estrecha relación entre su álgebra propuesta por AlKuarismi con el Libro II de los Elementos, así como lo menciona Escohotado (1982, p. 39) en el
prólogo de la obra Principia3:
2
Puerta 1996, Prólogo comentado de la publicación de la Obra de Euclides. Editorial Planeta.
3
Principios Matemáticos de la filosofía natural. Traducción. Madrid: Editora Nacional
“[en los árabes] su alta capacidad y su interés por la geometría y la aritmética-que culmina
con la formulación sistemática del álgebra por el famoso Al-Quaritmi-no les conduce
tampoco a hacer física matemática teórica. Es como si de alguna manera Grecia hubiese
dado ya el marco genérico, y a los árabes solo les interesase perfeccionar el cuadro con
exactitud y sutileza”.
Bien es sabido que los trabajos griegos fueron traducidos al árabe, de lo que es posible deducir que
fueron estudiados por ellos y el hecho de observar como en una época posterior al trabajo de las
magnitudes desde una perspectiva geométrica sea un trabajo construido a partir de la reflexión
sobre las elaboraciones de los griegos.
5.
CÓNICAS
Aunque desde Platón se evidencia el interés por el estudio de los cuerpos en movimiento Kline
(1972: p 77) es Galileo quien unifica lo construido por Apolonio con fenómenos naturales, con el
fin de obtener una mayor comprensión del mundo que les rodea en la medida en se elabora una
matematización de ese fenómeno. Con Galileo se inaugura un gran momento para la consolidación
de concepto de función cuadrática estableciendo la ruptura en la concepción de parábola como
figura (concebida en la obra de Apolonio) a ser considerada como el resultado del comportamiento
de algunas variables. Las cónicas y en particular la parábola se consideran en la actualidad como
referentes importantes de relaciones cuadráticas, sin embargo se observa que históricamente
surgieron de forma independiente a las nociones de variación y cambio relativas al concepto de
función y que por supuesto vale la pena generar las reflexiones pertinentes sobre las implicaciones
que tendría en el aula de clase continuar replicando esta parte de la historia abordando dichos
conceptos de manera independiente o por el contrario evaluar las implicaciones que tendría para la
comprensión de ambos concepto es de manera conjunta.
Al identificar esta ruptura se afirma entonces que la actividad pedagógica y didáctica debe
considerarla de manera que se permita la reflexión del docente acerca de su concepción de parábola
y las implicaciones que éstas tienen en el aprendizaje y construcción de este concepto por parte de
los estudiantes. Es un llamado a unificar conceptos y permitirle construirse a partir de su
consideración epistemológica.
6.
ORESME
Su objetivo era representar mediante una figura geométrica las intensidades de una cualidad de
magnitud continua que depende de otra magnitud análoga, estas intensidades estaban representadas
por segmentos. Todo esto lo explica en su tratado De configurationibus qualitatum et motuun, en
donde llega a afirmar: “Toda cosa medible, excepto los números, se puede imaginar como una
forma de cantidad continua”. De donde se puede inferir que Oresme interpretaba la noción de
número como algo diferente a las magnitudes. (Ruiz, 1998, p 113).
Según Ruiz (1998, 114) Oresme, siguiendo la praxis habitual, representó la extensio (magnitud
“independiente”, extensión) por una línea horizontal e hizo la altura de las perpendiculares
proporcionales a las intensio (magnitud “dependiente”, intensidad). Su propósito era representar la
cantidad de una cualidad por medio de una figura geométrica. Afirmó que las propiedades de la
figura podrían representar propiedades intrínsecas a la misma cualidad.
Lo anterior puede entenderse como el constructo de conocimientos de los que dispuso Galileo para
emprender su explicación de acerca de los fenómenos de movimiento presentando una ruptura en la
forma de concebir y representar el mundo, por ello esto demanda un nuevo conocimiento y ese fue
su gran aporte, el vínculo de la física con las matemáticas y partir de allí la modelización
matemática.
APORTES DE GALILEO
En Galileo se observa la forma en que recurre a sistemas de representación a partir de gráficas
rectangulares, es una demanda además de la comprensión geométrica del gnómon, como dirían los
griegos clásicos, o el concepto de perpendicular y ángulo recto, como distancia, altura, etc. Ésta a su
vez relaciona este segmento con la media proporcional o la raíz cuadrada, por lo que le da un valor
agregado a las consideraciones de Oresme respecto a la perpendicular.
Una fase en el proceso de modelización radica en la toma de datos y para ello se describe el proceso
de modelización de Galileo:
•
Dado un cuerpo
•
Se toma un plano inclinado, este supone dos rectas una sobre la que se desliza un cuerpo y la
otra servirá para calcular el tiempo transcurrido.
•
Registro de datos relacionando las dos variables involucradas en el fenómeno: La distancia y
el tiempo.
•
Análisis de los datos recolectados
•
Concluye con una tercera variable resultado de la razón entre las otras dos, y dada la
relación constante entre estas magnitudes permite generalizarlas.
•
Formulación de problemas en los que se plantean ecuaciones de carácter funcional como
“…hallar la distancia en el instante t”, lo que suponía para cualquier tiempo corresponde
una distancia.
Realizando una transposición didáctica de lo anterior podría sugerirse como:
•
Experimentación y toma de datos
•
Disponer de los conocimientos previos con el fin de relacionarlos.
•
Indagar por otros conocimientos, en este caso aritméticos para establecer relaciones
numéricas que permitan validarse.
•
Identificación de la variación
•
Crear un modelo matemático que dé cuenta del fenómeno.
Lo anterior al interior del aula4 no significa repetir las situaciones de Galileo, si no de vincularlas
con los procesos analíticos para la construcción del concepto.
Obra de Galileo
En la siguiente situación se observarán tres aspectos:
Primero: Confirmar los saberes previos de Galileo, éstos dados por la historia. Segundo: los aportes
de su obra, también dadas por la historia en tanto no se hallaron registros anteriores con tales
aportes y por las implicaciones que éstas trajeron. Y por último las implicaciones para el desarrollo
de las matemáticas posteriores o más bien la obra de Galileo como causa para nuevas formulaciones
teóricas, tanto matemáticas y física, aunque este último no será tratado en profundidad por este
artículo.
“De aquí se deduce con toda evidencia que: si en tiempos iguales tomados sucesivamente
desde el primer instante o comienzo del movimiento, tales como AD, DE, EF, FG, se
recorrieren los espacios HL,LM,MN,NI, estos espacios estarán entre sí como los números
impares a partir de la unidad; es decir, como 1,3,5,7; porque ésta es la razón de los excesos
4
Entiéndase por aula no como el espacio físico si no como donde se dan las relaciones de enseñanza – aprendizaje.
de los cuadrados de las líneas que van excediendo una de otras, y cuyo exceso es igual a la
menor de ellas; vale decir, es la razón de los excesos de los cuadrados consecutivos a partir
de la unidad. Por consiguiente, mientras la velocidad se acrece, durante tiempos iguales,
según la sucesión simple de los números, los espacios recorridos, durante estos tiempos,
reciben incrementos según la sucesión de los números impares, a contar de la unidad”.
Galileo (1638, p) Corolario del teorema II Libro IV.
Se observa en su demostración un carácter deductivo heredado de los Elementos, el trabajo con las
cantidades continuas aunque se encuentra como en el procedimiento para la toma de datos se realiza
un proceso de discretización y su razonamiento con el que argumenta el concepto de cuadrado deja
ver un componente aritmético como esta afirmación galileana de que la parábola es un punto en
movimiento. Al respecto deja de ver las cónicas como objetos matemáticos y estáticos en relación
con el movimiento permite identificarlas como el producto de la trayectoria de un cuerpo que se
mueve de acuerdo a una ley, patrón o causas, por ello surgen lo modelos que pretenden explicar los
fenómenos presentados.
Esta afirmación acerca de la parábola deja ver la transposición semiótica del movimiento en una
fase del proceso de modelización matemática del fenómeno, quedando claro que la gráfica se
construye de acuerdo con la relación de la variación entre las cantidades por ejemplo una gráfica de
caída libre no puede comprenderse como la vertical respecto a la horizontal, si no que ésta debe
considerar las variables en juego en una relación de dependencia que las determina siendo para este
caso importante en la medida en que da cuenta de la variación (o razón de cambio) de la variación,
lo que actualmente podría decirse que de acuerdo con la descripción de los incrementos de la
parábola y = x 2 iniciando en la unidad son respectivamente 3, 4, 5, 7 etc. es decir de la forma
2n + 1 que equivale a una función lineal y a su vez la razón de cambio de esta última es 2, una
función constante. Lo anterior tiene que ver con la primera y segunda derivada de la función
cuadrática, en consecuencia ella es posible comprenderse y construirse a partir del concepto de
función lineal y de la identificación de la razón de cambio, ésta le da sentido a los incrementos y
permiten comprenderla en un contexto variacional.
Para concluir Galileo propicia un espacio de investigación en el que sin hacerlo explícito motivó el
posterior y no lejano desarrollo matemático, representado en la creación o descubrimiento de la
geometría analítica y el cálculo infinitesimal con los trabajos de Descartes, Newton, etc. También
el provoca la investigación sobre un conjunto numérico continuo, ya que con el fin de que el
concepto de función cuadrática pudiese ser considerado como tal, era necesario que realmente para
cualquier punto en movimiento a éste le correspondiese un espacio, un tiempo y una velocidad
determinado, estableciendo así una correspondencia biunívoca y con esto ya se haría evidente que
estas situaciones tendrían: Variables, relación de dependencia, correspondencia biunívoca y
adicionalmente están presentes constantemente en el entorno para provocar su estudio en un
proceso de modelización matemática para el estudiante y en modelación matemática para el docente
que puede encontrar el entrono como motivo de aprendizaje y construcción matemática
particularmente del concepto de función cuadrática.
Referencias
Hein N., Biembengut, M (2006). Modelaje matemático como método de investigación en clases de
matemáticas. En M. Murillo (presidente), Memorias del V festival internacional de matemática.
Puntarenas: Colegio universitario de Puntarenas.
Del Rio Sánchez, J. (1996) Lugares Geométricas: Las Cónicas. Madrid: Síntesis.
Galileo, G .(1638) Diálogos acerca de dos nuevas ciencias. Traducción. Buenos Aires: Editorial
Kline, M. (1992) El pensamiento Matemático en la antigüedad a nuestros dias. I y II. Madrid:
Alianza editorial.
Ruiz, L. (1998). La noción de función: análisis epistemológico y didáctico, Jaén: Universidad de
Jaén.
Newton, I.(1687) Principios
Matemáticos de la filosofía natural. Traducción. Madrid: Editora
Nacional
VILLA, POSADA. El concepto de función lineal desde una perspectiva variacional. Tesis Maestría
en educación matemática. Universidad de Antioquia. 2006