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Unidad Nº 4: Vectores en R2 y R3
Álgebra y Geometría Analítica
Año 2010
Unidad Nº 4: VECTORES en IR2 y en IR3
Sistema de coordenadas cartesianas ortogonales en el Plano y en el Espacio. Expresión de
un vector en IR2 y en IR3. Igualdad de vectores. Suma de vectores. Multiplicación de un
escalar por un vector. Propiedades. Forma canónica de un vector. Vector unitario. Versor
de un vector. Producto escalar. Longitud o norma de un vector. Paralelismo y ortogonalidad
de vectores. Proyección ortogonal de un vector. Ángulo entre dos vectores. Ángulos y
cosenos directores. Propiedad de los cosenos directores. Identidad Pitagórica. Distancia
entre dos vectores. Producto vectorial. Producto mixto o Triple producto escalar.
Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonales en el Plano
Así como en el curso de ingreso vieron que existe una correspondencia biunívoca
entre los puntos de una recta y los números reales, ahora veremos que relación existe entre
los puntos del plano y los puntos del espacio con los números reales.
Definición:
Llamaremos Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonales en el Plano,
al sistema formado por: dos ejes perpendiculares llamados “eje de abscisas” o eje X y “eje
de ordenadas” o eje Y. El punto de intersección de los dos ejes, llamaremos origen de
coordenadas que denotaremos con la letra 0.
Llamaremos Coordenadas Cartesianas (a, b) de un punto P del plano a la abscisa a y la
ordenada b que se obtiene al proyectar sobre cada eje el punto P paralelamente al otro eje.
Es decir:
Y
b
•
O
a
P(a, b)
X
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Lic. Silvia Suarez de Rodríguez
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Unidad Nº 4: Vectores en R2 y R3
Álgebra y Geometría Analítica
Año 2010
A cada punto del plano le corresponde un único par ordenado (a, b) de números
reales que son sus coordenadas cartesianas y recíprocamente a cada par ordenado (a, b) de
números reales le corresponde un único punto en el plano. Es decir:
Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del plano y los pares
ordenados de los números reales.
Los ejes X e Y dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes
caracterizadas en la siguiente forma:
a > 0
I cuadrante
II cuadrante
b > 0
III cuadrante
a < 0
b < 0
IV cuadrante
a < 0
b > 0
a > 0
b < 0
Las coordenadas cartesianas de un punto del plano varían entre:
- <a<
a
y - < b < es decir, expresado en forma de intervalo:
(- , ) y b
(- , ).
Ejemplo:
Represente en coordenadas cartesianas ortogonales en el Plano, los siguientes
puntos:
P = (2, 5); Q = (-3, 4); R = (-5, -4); S = (5, -6)
Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonales en el Espacio
Llamaremos Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonales en el espacio, al
sistema formado por tres ejes mutuamente ortogonales que concurren en un punto O llamado
origen de coordenadas: el eje X (o eje de las abscisas), el eje Y (o eje de las ordenadas) y el
eje Z (o eje de las cotas); llamados ejes coordenados.
Llamaremos coordenadas cartesianas ortogonales (a, b, c) de un punto P del espacio a
las proyecciones de dicho punto P sobre cada uno de los ejes coordenados en forma paralela
al plano determinado por los otros dos ejes. Veamos gráficamente:
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Año 2010
Z
c
•P(a, b, c)
b
Y
a
X
Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio y las ternas
ordenados de los números reales.
Los ejes coordenados dividen al espacio en 8 regiones llamados octantes.
Un punto ubicado sobre un eje queda caracterizado por las coordenadas:
• En el eje X
(a, 0, 0)
• En el eje Y
(0, b, 0)
• En el eje Z
(0, 0, c)
Un punto ubicado sobre un plano queda caracterizado por las coordenadas:
• En el plano XY
(a, b, 0)
• En el plano XZ
(a, 0, c)
• En el plano YZ
(0, b, c)
Represente en coordenadas cartesianas ortogonales en el Espacio los siguientes
puntos:
P = (7, 5, 6); Q = (3, 0, -4); R = (0, -5, 6); S = (-4, 3, 1)
Vectores
Los vectores fueron utilizados en mecánica para representar la velocidad, la fuerza,
el desplazamiento desde fines del siglo XVII. No tuvieron repercusión entre los
matemáticos hasta el siglo XIX cuando Gauss usa implícitamente la suma vectorial en la
representación geométrica de los números complejos en el plano.
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Año 2010
Con Hamilton se inicia el estudio de los vectores. Se le debe a él el nombre de
vector producto de la creación de un sistema de números complejos de cuatro unidades,
denominado "cuaterniones'', muy usados hoy en día para el trabajo con rotaciones de
objetos en el espacio. Actualmente, casi todas las áreas de la física son representadas por
medio del lenguaje de los vectores.
Vectores en IR2 y en IR3
Por todo lo visto; un punto en la recta, en el plano o en el espacio queda
determinado si se conoce un número real, un par de números reales o una terna de número
reales, respectivamente. Pero también se puede determinar la posición del punto dando un
vector cuyo extremo sea el punto considerado.
Z
Y
c
0
a•
X
b
• (a, b)
0
a
• (a, b, c)
Y
X
X
0
b
a
Luego a cada punto del espacio considerado le podemos asociar un vector con
origen en 0 y extremo en el punto y recíprocamente, existiendo una correspondencia
biunívoca entre los puntos del espacio considerado y los vectores con origen en el origen de
coordenadas.
Notación
Denotaremos los vectores con letras minúsculas especialmente las últimas letras del
abecedario: u, v, w, x,…
O bien con letra mayúscula en el origen y en el extremo: OP, PQ, RS , …
Los números reales o complejos los llamaremos escalares y los denotaremos con
letras griegas o las primeras letras de nuestro abecedario: , , ,…, a, b, c,..
La velocidad, la fuerza, la aceleración y el desplazamiento se representan a través de
vectores. El tiempo, la temperatura, la energía mediante escalares
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Definición Algebraica de un Vector
El conjunto de todos los vectores del plano denotaremos con IR2, es decir:
IR2 = {(x, y) / x
IR ∧ y
IR}
El VECTOR NULO es el par (0, 0) y lo denotaremos Ov
Además existen dos vectores especiales en IR2 el (1, 0) que denotaremos con i y el
vector (0,1) con j y los llamaremos vectores canónicos.
El conjunto de todos los vectores en el espacio denotaremos con IR3, es decir:
IR3 = {(x, y, z)/ x
IR ∧ y
IR ∧ z
IR}
En general a los elementos de un vector los llamaremos componentes.
Ej. Sea el vector u = (-2, 6, 1) entonces -2 es la 1ra componente, 6 es la 2da
componente y 1 es la 3ra componente del vector u.
El VECTOR NULO es la terna (0, 0, 0) y lo denotaremos Ov.
Los vectores canónicos de IR3 son: i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1).
Definición Geométrica de un Vector
Geométricamente definimos un vector como un segmento orientado. El vector OP
tiene como origen (en física lo denominan punto de aplicación) el punto O y como extremo
el punto P
P
O
Todo vector tiene como elementos: la dirección, el sentido y el módulo.
La dirección de un vector esta dada por la recta que contiene al vector o por
cualquier otra recta paralela a ella.
El sentido de un vector esta dado por la orientación del segmento orientado, es decir
el sentido del vector OP es el que va del origen O al extremo P.
El módulo de un vector es igual a la longitud del segmento, es decir el módulo del
vector OP es igual a la longitud del segmento OP, y lo indicaremos entre barras:
OP .
El módulo de un vector es siempre positivo o nulo.
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Año 2010
Si dos o mas vectores tienen la misma dirección, sentido y módulo son
equivalentes.
Dos vectores que tienen la misma dirección y módulo pero sentido contrario se
llaman vectores opuestos, indicaremos con –v al vector opuesto de v.
v
-v
El módulo de un vector se encuentra aplicado el Teorema de Pitágora.
Sea v = (a, b)
Y
b
v
X
a
v =
a 2 + b 2 como dijimos consideramos la raíz cuadrada no negativa.
Ejemplo:
Si v = (3, 4)
v =
a2 + b2 =
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5
El vector nulo tiene módulo cero. Por lo tanto como el origen y el extremo
coinciden, el vector nulo no tiene dirección y ni sentido.
Si v = (a, b, c)
IR3; el v =
a 2 + b2 + c 2
Si las componentes de los puntos extremos, P y Q de un vector son:
P = (a1, b1, c1) y Q = (a2, b2, c2) entonces las componentes del vector PQ son las
componentes del extremo menos las componentes del origen.
PQ = Q – P = (a2 - a1, b2 - b1, c2 - c1)
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Unidad Nº 4: Vectores en R2 y R3
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Año 2010
Ejemplo: Si P = (3, 2, 4)
y
cuyos extremos son P y Q, es:
Q = (6, 8, 7) entonces las componentes del vector
PQ = (6 – 3, 8 – 2, 7 - 4) = (3, 6, 3)
PQ = 32 + 62 + 32 = 54 = 3 6
y su norma es:
En el plano definimos:
Igualdad de vectores
Dados los vectores u = (a1, a2) y v = (b1, b2), u = v sí y sólo sí sus respectivas
componentes son iguales. Es decir:
u = v ⇔ ( a1 , a 2 ) =
( b1 , b 2 ) ⇔
a1 = b1
∧
a2 = b 2
Suma de Vectores
Dados los vectores u = (a1, a2) y v = (b1, b2) definimos la suma de u y v al vector:
u + v = (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)
Ejemplo:
Si u = (5, -6) y v = (-2, 4) entonces u + v = (5 - 2, -6 + 4) = (3, -2)
Multiplicación de un Escalar por un Vector
Dado un escalar α
IR y un vector u = (a, b). Se define el producto de un escalar
por un vector al vector:
α u = α (a, b) = ( α a, α b)
El vector ( α a, α b) se llama múltiplo escalar del vector u.
Ejemplo Si α = 2 y u = (-3, 4) entonces α u = 2 (-3, 4) = (2.-3, 2.4) = (-6, 8)
El vector (-6, 8) tiene igual dirección y sentido que el vector u mientras que su
módulo se a duplicado porque se multiplico por el escalar 2 dicho vector.
Diga qué ocurre en cada caso, si el escalar es:
1) α = -1
2) α = 0
3) α > 0
4) α < 0
5) α = 1
¿Cómo es el múltiplo escalar α u?
La suma de vectores en IR2 y el producto de un escalar de IR por un vector de IR2
son dos leyes de composición interna y externa respectivamente. Justificar
+ : IR2 x IR2 → IR2
;
. : IR x IR2 → IR2
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En el Espacio Definimos:
Igualdad de Vectores
Dados los vectores u = (a1, a2, a3) y v = (b1, b2, b3), u = v sí y sólo sí sus respectivas
componentes son iguales. Es decir:
a1 = b1
u = v ⇔ ( a1 , a 2 , a3 ) =
( b1 , b 2 , b3 ) ⇔
∧
a2 = b 2
∧
a2 = b3
Suma de Vectores
Dados los vectores u = (a1, a2, a3) y v = (b1, b2, b3) definimos la suma de u y v al
vector:
u + v = (a1, a2, a3) + (b1, b2, b3) = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
Multiplicación de un Escalar por un Vector
Dado un escalar α
IR y un vector u = (a, b, c)
IR3. Se define el producto de un
escalar por un vector al vector:
α u = α (a, b, c) = ( α a, α b, α c)
Z
v ( > 0)
v
Y
vv
( < (0) > 0)
X
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Unidad Nº 4: Vectores en R2 y R3
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Propiedades
Ya hemos definido la igualdad, la suma y el producto por escalar de vectores en IR2
y IR3. Las siguientes propiedades se verifican en ambos espacios.
Sean los escalares ,
y los vectores u, v y w de IR2 o IR3.
1. u + v = v + u
( conmutativa)
2. (u + v) + w = u + (v + w)
( asociativa)
3. u + Ov = Ov + u = u
(Ov es el elemento neutro de la +)
4. u + (-u) = (-u) + u = Ov
( -u es el inverso aditivo u opuesto del vector u)
5. (
)u=
( u)
6. ( + ) u =
u+
u
7.
u+
v
8.
( u + v) =
1u=u
Por verificar estas propiedades la suma de vectores en IR2 y en IR3 y el producto de
un escalar por un vector en ambos espacios, diremos que: IR2 y IR3 poseen Estructura de
Espacio Vectorial y denotaremos:
(IR2 , + , IR , . ) (IR3 , + ,IR , . )
Éste concepto se generaliza a otros espacios y lo estudiarán en Álgebra Lineal que
es la asignatura correlativa posterior.
Forma Canónica de un Vector
Dado un vector u = (a, b)
IR2 podemos expresar el vector u empleando los
vectores canónicos de la siguiente manera:
(a, b) = (a, 0) + (0, b)
(a, b) = a (1, 0) + b (0, 1)
Luego expresaremos ( a, b ) =
a
= a i +b j
b
En forma similar dado un vector u = (a, b, c)
IR3 podemos expresar dicho vector
como vector columna o bien utilizando los vectores canónicos llamada forma canónica:
u =
( a, b, c )
a
=
= a i +b j+c k
b
c
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Sea u = ( 3, − 5, 7 ) = −5 = 3i − 5 j + 7 k
Ejemplo:
7
Vector Unitario o Versor
Llamaremos vector unitario o versor a todo vector de módulo 1.
Ejemplo:
1 3
u=
,
2 2
1
3
j es unitario porque u
= i+
2
2
=
1
2
2
3
2
+
2
=
1 3
+ = 1
2 4
Los vectores canónicos de IR2: i y j son unitarios, por ello también se los llama
versores fundamentales; como también son unitarios los vectores i , j y k de IR3
Propiedad
Si v
Ov entonces el vector u =
1
v es un vector unitario que tiene la misma
v
dirección y sentido de v.
Se deja para que los alumnos realicen la prueba.
Si v
Ov el vector
−1
v es un versor que tiene la misma dirección del vector v
v
pero sentido contrario.
Luego, para encontrar el versor de un vector basta premultiplicar dicho vector por el
inverso de su módulo.
Producto Escalar o Interno de Dos Vectores
Dados los vectores u = (a1, a2) y v = (b1, b2) vectores de IR2, definimos el producto
escalar de u y v, que denotaremos u
u
v al número real:
v = (a1, a2) • (b1, b2) = a1 b1 + a2 b2 =
2
i =1
ai bi
Ejemplo:
Sean u = (-3, 5) y v = (4, 1) = -3.4 + 5. 1 = -12 + 5 = -7
Si u y v
IR3 su producto escalar es:
u • v = (a1, a2, a3) • (b1, b2, b3) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 =
3
i =1
ai bi
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Unidad Nº 4: Vectores en R2 y R3
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Ejemplo:
Sean u = (2, -3, 6) y v = (5, -1, 3) el producto escalar:
u • v = (2, -3, 6) • (5, -1, 3) = 2.5 + (-3)(-1) +6.3 =10 + 3 + 18 = 31
Propiedades Del Producto Escalar o Interno
IR y los vectores u, v y w de IR2 o IR3 el producto
Considerando el escalar
escalar o interno verifica las siguientes propiedades:
v = v
1.
u
2.
u
3.
(α
4.
u
u
(v
u
)
u
C onm utativa
+ w) = u
v + v
v = α
v
(u
w
)
D istribu tiva
H om og é nea
u ≥ o
D efin ida P osi tiva
u = o ↔ u = 0v
Podemos definir la norma de un vector inducida por el producto interior de la
siguiente manera:
v =
uu
Por lo tanto si u = (a, b) entonces u • u = (a, b) • (a, b) = a2 + b2 = v
2
luego:
u • u = v 2
Paralelismo y Ortogonalidad de Vectores
Dos vectores no nulos son paralelos si y sólo sí existe un escalar no nulo tal que
multiplicado por uno de ellos es igual al otro vector.
u
v ⇔ ∃k ≠ 0 / u = kv
Ejemplo:
Dos vectores no nulos son ortogonales si y sólo sí el producto interior es igual a cero:
u⊥v⇔ u v=0
Ejemplo: Si u = (2, -1) y v = (3, 6) entonces
u • v = (2, -1) • (3, 6) = 2.3 + (-1).6 = 6 – 6 = 0
Luego u es perpendicular a v o v es perpendicular a u, podemos decir que u y v son
perpendiculares
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Año 2010
Significado Geométrico del Producto Escalar para Vectores del Plano y del Espacio
Propiedad: Sean u y v vectores no nulos del plano o del espacio, se verifica:
u•v = u
v cos
/ la medida del ángulo entre u y v, y 0
Demostración
Y
u
v
X
Sean los vectores u = (a1, a2) y v = (b1, b2)
Sean
la medida del ángulo entre el vector u y el eje X y la medida del ángulo
entre el vector v y el eje X. Además por la definición de la función trigonométrica coseno:
a1 = u cos
;
a2 = u sen
b1 = v cos
;
b2 = v sen
Luego efectuando el producto escalar entre los vectores u y v, y reemplazando por
las identidades anteriores tenemos:
u • v = (a1, a2) • (b1, b2) = a1 b1 + a2 b2 = u cos
u
v (cos
Llamando =
cos
+ sen
–
resulta:
sen ) = u
u•v = u
v cos
v cos (
+ u sen
v sen
– )
v cos
En la misma forma se demuestra en el espacio R3
Ángulo entre dos Vectores
Sean u y v vectores no nulos del plano o del espacio y
los vectores u y v tal que 0
u•v = u
v cos
la medida del ángulo entre
, por la interpretación geométrica del producto escalar:
Resulta que:
cos γ =
uv
u v
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Unidad Nº 4: Vectores en R2 y R3
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Si u = (a1, a2)
(0, 0) y v = (b1, b2)
(0,0) y la medida del ángulo entre los
vectores u y v, entonces:
( a1 , a 2 ) ( b1 , b 2 )
( a1 , a 2 ) ( b1 , b 2 )
cos =
a1b1 + a 2 b 2
=
a1 + a 2 2
2
b12 + b 2 2
Si u = (a1, a2, a3) (0, 0, 0) y v = (b1, b2, b3) (0, 0, 0) y la medida del ángulo
entre u y v, entonces:
( a1 , a 2 , a 3 ) ( b1 , b2 , b3 ) =
a1b1 + a 2 b 2 + a 3b3
cos =
( a1 , a 2 , a 3 ) ( b1 , b 2 , b3 )
a12 + a 2 2 + a 32 b12 + b 2 2 + b32
Ejemplo:
Sean u = (1, 1, 0) y v = (1, 0, 1), si
cos =
vectores u y v, entonces:
Luego =
es la medida del ángulo determinado entre los
(1, 1, 0 ) (1, 0, 1) = 1.1 + 1.0 + 0.1 = 1
2
2 2
12 + 12 + 02 12 + 0 2 + 12
π
3
Ángulos y Cosenos Directores
Llamaremos ángulos directores de un vector no nulo, a los ángulos que forman
dicho vector con los vectores canónicos. Los cosenos de los ángulos directores los
llamaremos cosenos directores.
En IR2
Si u = (a1, a2) (0, 0) y , y son las medidas de los ángulos que forman el vector
u con los versores i y j respectivamente, tendremos que:
Cos
==
Cos
==
u
i
=
u
u
j
u
( a1 , a 2 ) (1, 0) =
a1
u
a12 + a 2 2
=
( a1 ,
a 2 ) (0,1)
a1 + a 2
2
2
a2
u
=
En IR3
Si u = (a1, a2, a 3) (0, 0, 0) y , , son las medidas de los ángulos que forman el
vector u con los versores i, j, k respectivamente, tendremos que:
Cos
==
Cos
==
u
i
u
u
j
u
=
( a1 , a 2 , a 3 ) (1, 0, 0) =
a1
u
=
( a1 , a 2 , a 3 ) (0,1, 0) =
a2
u
a12 + a 2 2 + a 32
a1 + a 2 + a 3
2
2
2
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Año 2010
Cos =
u
k
=
u
( a1 , a 2 , a 3 ) (0, 0,1) =
a12 + a 2 2 + a 3 2
a3
u
Propiedad de los Cosenos Directores.
La suma de los cuadrados de los cosenos directores es igual a 1.
Elevando al cuadrado ambos miembros de las igualdades obtenidas en el punto
anterior:
Cos
2
+ cos
2
+ cos
2
=
a1
u
2
2
a2
u
+
+
a3
u
2
=1
Ejemplo:
Determine los cosenos directores del vector u = (1, 2, 0). Primero determinaremos
la norma de u:
(1,
u =
cos α =
2, 0
) (1,
2, 0
)
2
= 12 + 2 + 0 = 3
a
a1
1
3
a
2
2 3
6
0
=
=
; cos β = 2 =
=
=
; cos γ = 3 =
=0
u
3
u
3
3
u
3
3
3
Distancia entre dos Vectores
La distancia entre dos vectores no nulos es igual a la norma de su diferencia
d (u, v) = u - v
En IR2
Si u = (a1, a2)
(0, 0) y v = (b1, b2)
(0,0)
d (u, v) = (a1, a2) - (b1, b2)
En IR3
Si u = (a1, a2, a3)
(0, 0, 0) y v = (b1, b2, b3)
(0, 0, 0)
d (u, v) = (a1, a2, a3) - (b1, b2, b3)
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Proyección ortogonal de un vector sobre otro
Geométricamente deseamos determinar un vector que se obtenga al proyectar un
vector ortogonalmente sobre otro vector.
Sean u y v vectores no nulos del plano o del espacio, denotaremos proyv u al vector
que se obtiene al proyectar el vector u sobre el vector v en forma ortogonal y esta definido
de la siguiente manera:
proyv u =
uv
v
vv
u
u – proyv u
proy v u
v
Se puede demostrar que el vector u - proyv u es ortogonal a v:
Si ( u - proy v u ) ⊥ v ⇔
Si u y v ∈ IR3 con v
u−
u
v
v
v
v
v= u
v-
u
v
u
v
v
v =0
0 podemos visualizar el vector proyección de u sobre v
Z
u
u
u u- - proy
v
Y
proyvu
v
X
Al vector u - proyv u se lo conoce como la componente de u ortogonal a v.
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Unidad Nº 4: Vectores en R2 y R3
Álgebra y Geometría Analítica
Año 2010
Producto Vectorial
Este nuevo producto de dos vectores, también llamado producto cruz, está sólo
definido en IR3.
Sean u = (a1, a2, a3) y v = (b1, b2, b3)
El producto vectorial lo denotamos: u x v y es igual al vector:
u x v = (a2 b3 – a3 b2, a3 b1 – a1 b3, a1 b2 – a2 b1)
Podemos utilizar la siguiente disposición para recordar ésta definición:
i
j
k
u x v = a1
a2
a3 =
b1
b2
b3
a2
a3
b2
b3
i−
a1
a3
b1
b3
j+
a1 a2
k
b1 b2
El producto vectorial es un vector que es perpendicular tanto a u como a v.
Z
uxv
u
Y
v
X
Ejemplo:
i
Sean u = (2, 0, -2) y v = (-2, 4, 1) entonces: u x v = 2
j
0 −2 =
−2 4
(
= 0.1 –
( −2 ) . 4) i + ( ( −2 ) . ( −2 )
– 2.1) j +
( 2.4
k
1
)
– 0. ( −2 ) k = 8 i +2 j + 8 k
Ahora veremos algunas propiedades del producto vectorial
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Unidad Nº 4: Vectores en R2 y R3
Álgebra y Geometría Analítica
Año 2010
Propiedades del Producto vectorial
1. u, v
IR3 - { (0, 0, 0)}: u x v ⊥ u
2
2.
uxv
= u
3.
uxv = u
2
v
v
2
y
uxv ⊥ v
- (u • v)2 (Igualdad de Lagrange)
sen
/ donde es la medida del ángulo entre u y v
4. u x v = - (v x u)
5. u x (v + w) = (u x v) + (u x w)
6. u x (a v) = (a u ) x v = a (u x v)
7. i x i = j x j = k x k = 0v
8. i x j = k ; i x k = j ; j x k = i
9.
u x v representa el área del paralelogramo de lados u y v
10. u • ( v x w ) es el volumen del paralelepípedo de aristas u, v y w
Demostraremos sólo algunas de estas propiedades
Probaremos que: si u, v IR3 - {(0, 0, 0)}: u x v ⊥ u . Esto significa probar
que (u x v) • u = 0
(u x v) • u = (a2 b3 – a3 b2, a3 b1 – a1 b3, a1 b2 – a2 b1) • (a1, a2, a3)
•
(u x v) • u = a2 b3 a1 – a3 b2 a1 + a3 b1 a2 – a1 b3 a2 + a1 b2 a3 – a2 b1 a3
(u x v) • u = 0
En forma análoga se puede demostrar que u x v ⊥ v.
• Teniendo en cuenta la Identidad de Lagrange, propiedad 2:
u x v 2 = u 2 v 2 - (u • v)2 , considerando la medida del ángulo entre u y v y
recordando el significado geométrico del producto escalar. Remplazamos en u • v
uxv
2
= u
2
v
2
-( u
2
v
2
cos2 ) = u
2
v
2
( 1 - cos2 )
u x v 2 = u 2 v 2 sen2
como es la medida del ángulo entre u y v v, es claro que 0 ≤ γ ≤ π , por tanto
sen γ 0 ∀γ : 0 ≤ γ ≤ π , en consecuencia
u x v = u v sen
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Unidad Nº 4: Vectores en R2 y R3
Álgebra y Geometría Analítica
Año 2010
•
La expresión anterior puede ser interpretada geométricamente. Para ello
consideremos un paralelogramo determinado por los vectores u, v IR3. Como
podemos observar en la figura y como sabemos que el área del paralelogramo se
halla multiplicando la base por la altura, tendremos que:
Z
u
h = u sen
Y
v
X
El área del paralelogramo es
A = h v pero como la altura h = u sen , siendo
la medida del ángulo entre los vectores u y v,
sustituyendo y teniendo en cuenta la propiedad 3
A= u
v
sen
= uxv
Entonces:
El producto vectorial es un vector cuyo módulo es igual al área del paralelogramo
cuyos lados son los vectores adyacentes.
•
Consideremos un paralelepípedo en el espacio determinado por tres vectores no
coplanares: u, v, w IR3 y sea la medida del ángulo que forman los vectores u
y v x w. Como podemos observar en la figura y como sabemos que el volumen
del paralelepípedo se halla multiplicando el área de la base por la altura y como
la base es un parelologramo, su área es v x w tendremos que el volumen es:
V = v x w h y la altura es:
sustituyendo:
h = u cos ,
V= u
v x w cos
Y por el significado geométrico del producto escalar, resulta:
V= u
(v× w)
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Unidad Nº 4: Vectores en R2 y R3
Álgebra y Geometría Analítica
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vxw
u
h
w
v
Entonces:
El valor absoluto del producto mixto u • (v x w ) es igual al volumen del
paralelepípedo que tiene por aristas concurrentes a los vectores, no coplanares u,
v y w.
Condición de coplanaridad
La condición necesaria y suficiente para que tres vectores no nulos sean coplanares,
es que se anule su producto mixto.
Si los vectores son coplanares el paralelepípedo que ellos forman tiene altura nula y
su volumen se reduce a cero.
u, v y w vectores no nulos son coplanares ⇔ u
(v× w)
=0
Área del Triángulo
Teniendo en cuenta la interpretación geométrica del producto vectorial y
recordando:
Ejemplo:
u x v = Área del paralelogramo = 2 área triángulo
1
Área del triángulo = u x v
2
Determinemos el área del triángulo de vértices:
A = (2, 3, -1), B = (4, 3, 1), C = (-1, 2, 5)
Área =
AB × BC
=
2
i
j k
2 0 2
−5 −1 4
2
=
332
2
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