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Vector (física)
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Vector (física)
En física, un vector es una herramienta geométrica utilizada para
representar una magnitud física del cual depende unicamente un
módulo (o longitud) y una dirección (u orientación) para quedar
definido.[1] [2] [3] [4]
Los vectores se pueden representar geométricamente como segmentos
de recta dirigidos o flechas en planos
o
; es decir,
Un vector desde A hasta B.
bidimensional o tridimensional.
Ejemplos
• La velocidad con que se desplaza un móvil es una magnitud vectorial, ya que no queda definida tan sólo por su
módulo (lo que marca el velocímetro, en el caso de un automóvil), sino que se requiere indicar la dirección hacia
la que se dirige.
• La fuerza que actúa sobre un objeto es una magnitud vectorial, ya que su efecto depende, además de su intensidad
o módulo, de la dirección en la que opera.
• El desplazamiento de un objeto.
Conceptos fundamentales
Esta sección explica los aspectos básicos, la necesidad de los vectores para representar ciertas magnitudes físicas, las
componentes de un vector, la notación de los mismos, etc.
Magnitudes escalares y vectoriales
Frente a aquellas magnitudes físicas, tales como la
masa, la presión, el volumen, la energía, la temperatura,
etc; que quedan completamente definidas por un
número y las unidades utilizadas en su medida,
aparecen otras, tales como el desplazamiento, la
velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico,
etc., que no quedan completamente definidas dando un
dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección.
Estas últimas magnitudes son llamadas vectoriales en
contraposición a las primeras llamadas escalares.
Las magnitudes escalares quedan representadas por el
ente matemático más simple; por un número. Las
magnitudes vectoriales quedan representadas por un
ente matemático que recibe el nombre de vector. En un
Representación gráfica de una magnitud vectorial, con indicación de
su punto de aplicación y de los versores cartesianos.
espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un
vector se representa por un segmento orientado. Así, un
vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su
dirección,
la
cual
puede
ser
representada
mediante
la
suma
de
sus
componentes
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vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de
coordenadas; o mediante coordenadas polares, que
determinan el ángulo que forma el vector con los ejes
positivos de coordenadas.[5] [6]
Se representa como un segmento orientado, con una
dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su
longitud representa el módulo del vector y la "punta de
flecha" indica su dirección.[1] [2] [3]
Representación de los vectores.
Notación
Las magnitudes vectoriales se representan en los textos impresos por letras en negrita, para diferenciarlas de las
magnitudes escalares que se representan en cursiva. En los textos manuscritos, las magnitudes vectoriales se
representan colocando una flecha sobre la letra que designa su módulo (el cual es un escalar). Ejemplos:
•
... representan, respectivamente, las magnitudes vectoriales de módulos A, a, ω, ... El módulo de una
magnitud vectorial también se representa encerrando entre barras la notación correspondiente al vector:
...
• En los textos manuscritos se escribe:
... para los vectores y
... o
... para
los módulos.
Cuando convenga, se representan la magnitud vectorial haciendo referencia al origen y al extremo del segmento
orientado que la representa geométricamente; así, se designan los vectores representados en la Figura 2 en la forma
, ... resultando muy útil esta notación para los vectores que representan el desplazamiento.
Además de estas convenciones los vectores unitarios o versores, cuyo módulo es la unidad, se representan
frecuentemente con un circunflejo encima, por ejemplo
.
Tipos de vectores
Según los criterios que se utilicen para determinar la igualdad o equipolencia de dos vectores, pueden distinguirse
distintos tipos de los mismos:
• Vectores libres: no están aplicados en ningún punto en particular.
• Vectores deslizantes: su punto de aplicación puede deslizar a lo largo de su recta de acción.
• Vectores fijos o ligados: están aplicados en un punto en particular.
Podemos referirnos también a:
•
•
•
•
•
Vectores unitarios: vectores de módulo unidad.
Vectores concurrentes: sus rectas de acción concurren en un punto propio o impropio (paralelos).
Vectores opuestos: vectores de igual magnitud, pero dirección contraria.
Vectores colineales: los vectores que comparten una misma recta de acción.
Vectores coplanarios: los vectores cuyas rectas de acción son coplanarias (situadas en un mismo plano).
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Componentes de un vector
Un vector en el espacio se puede expresar como una
combinación lineal de tres vectores unitarios o versores
perpendiculares entre sí que constituyen una base
vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se
representan por , , , paralelos a los ejes de
coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del
vector en una base vectorial predeterminada pueden
escribirse entre paréntesis y separadas con comas:
Componentes del vector.
o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de
coordenadas cartesiano, será
Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores ax, ay, az, son las componentes de un vector que, salvo
que se indique lo contrario, son números reales.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila,
particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:
Con esta notación, los versores cartesianos quedan expresados en la forma:
Operaciones con vectores
Suma de vectores
Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo
final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.
Método del paralelogramo
Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de
manera que los orígenes de ambos coincidan en un
punto, completando un paralelogramo trazando rectas
paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del
otro (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma
es la diagonal del paralelogramo que parte del origen
común de ambos vectores.
Método del paralelogramo.
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Método del triángulo
Consiste en disponer gráficamente un vector a
continuación de otro; es decir, el origen de uno de los
vectores se lleva sobre el extremo del otro. A
continuación se une el origen del primer vector con el
extremo del segundo.
Método del triángulo.
Método analítico para la suma y diferencia de vectores
Dados dos vectores libres,
El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma
y ordenando las componentes,
Con la notación matricial sería
Conocidos los módulos de dos vectores dados,
y
, así como el ángulo
que forman entre sí, el módulo de
es:
La deducción de esta expresión puede consultarse en deducción del módulo de la suma.
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Producto de un vector por un escalar
El producto de un vector por un escalar es otro vector
cuyo módulo es el producto del escalar por el módulo
del vector, cuya dirección es igual a la del vector, o
contraria a este si el escalar es negativo.
Partiendo de la representación gráfica del vector, sobre
la misma línea de su dirección tomamos tantas veces el
módulo de vector como indica el escalar.
Producto por un escalar.
Sean
un escalar y
un vector, el producto de
por
se representa
y se realiza multiplicando cada una de
las componentes del vector por el escalar; esto es,
Con la notación matricial sería
Derivada de un vector
Dado un vector que es función de una variable independiente
Calculamos la derivada del vector con respecto de la variable t, calculando la derivada de cada una de sus
componentes como si de escalares se tratara:
teniendo en cuenta que los vectores unitarios son constantes en módulo y dirección.
Con notación matricial sería
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Veamos un ejemplo de derivación de un vector, partiendo de una función vectorial:
Esta función representa una curva helicoidal alrededor del eje z, de radio unidad, como se ilustra en la figura.
Podemos imaginar que esta curva es la trayectoria de una partícula y la función
representa el vector de posición
en función del tiempo t. Derivando tendremos:
Realizando la derivada:
La derivada del vector de posición respecto al tiempo es la velocidad, así que esta segunda función determina el
vector velocidad de la partícula en función del tiempo, podemos escribir:
Este vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria en el punto ocupado por la partícula en cada instante. Si
derivásemos de nuevo obtendríamos el vector aceleración.
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Ángulo entre dos vectores
El ángulo determinado por las direcciones de dos vectores
y
viene dado por:
Cambio de base vectorial
En matemáticas las rotaciones son
transformaciones lineales que conservan
las normas en espacios vectoriales en los
que se ha definido una operación de
producto
interior.
La
matriz
de
transformación tiene la propiedad de ser una
matriz unitaria, es decir, es ortogonal y su
determinante es 1.
Cambio de base vectorial.
Sea un vector
expresado en una sistema de coordenadas cartesianas (x,y,z) con una base vectorial
definida por los versores
asociada
; esto es,
Ahora, supongamos que giramos el sistema de ejes coordenados, manteniendo fijo el origen del mismo, de modo que
obtengamos un nuevo triedro ortogonal de ejes (x′, y′, z′), con una base vectorial
asociada definida por los
versores
. Las componentes del vector
en esta nueva base vectorial serán:
La operación de rotación de la base vectorial siempre puede expresarse como la acción de un operador lineal
(representado por una matriz) actuando sobre el vector (multiplicando al vector):
que es la matriz de transformación para el cambio de base vectorial.
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Ejemplo
En el caso simple en el que el giro tenga magnitud
alrededor del eje z, tendremos la transformación:
Cambio de base vectorial.
Al hacer la aplicación del operador, es decir, al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos la expresión del
vector en la nueva base vectorial:
siendo
las componentes del vector en la nueva base vectorial.
Requerimientos físicos de las magnitudes vectoriales
No cualquier n-tupla de funciones o números reales constituye un vector físico. Para que una n-tupla represente un
vector físico, los valores numéricos de las componentes del mismo medidos por diferentes observadores deben
transformarse de acuerdo con ciertas relaciones fijas.
En mecánica newtoniana generalmente se utilizan vectores genuinos, llamados a veces vectores polares, junto con
pseudovectores, llamados vectores axiales que realmente representan el dual de Hodge de magnitudes tensoriales
antisimétricas. El momento angular, el campo magnético y todas las magnitudes que en cuya definición interviene el
producto vectorial son en realidad pseudovectores o vectores axiales.
En teoría especial de la relatividad, sólo los vectores tetradimensionales cuyas medidas tomadas por diferentes
observadores pueden ser relacionadas mediante alguna transformación de Lorentz constituyen auténticas magnitudes
vectoriales. Así las componentes de dos magnitudes vectoriales medidas por dos observadores
y
deben
relacionarse de acuerdo con la siguiente relación:
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Donde
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son las componentes de la matriz que da la transformación de Lorentz. Magnitudes como el momento
angular, el campo eléctrico o el campo magnético o el de hecho en teoría de la relatividad no son magnitudes
vectoriales sino tensoriales.
Véase también
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Producto escalar
Producto vectorial
Doble producto vectorial
Producto mixto
Producto tensorial
Espacio vectorial
Combinación lineal
Sistema generador
Independencia lineal
Base (álgebra)
Base ortogonal
Base ortonormal
• Coordenadas cartesianas
• Coordenadas polares
Referencia
[1] Ito, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2da edición), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4
[2] « Vectors and Direction (http:/ / www. physicsclassroom. com/ Class/ vectors/ u3l1a. cfm)» (en inglés). The Physics Classroom. Consultado
el 3 de junio de 2010.
[3] « Vector (http:/ / www. mathwords. com/ v/ vector. htm)» (en inglés). mathwords.com. Consultado el 3 de junio de 2010.
[4] A.B. Ivanov. Michiel Hazewinkel (ed.): « Vector (http:/ / eom. springer. de/ V/ v096340. htm)» (en inglés). Encyclopaedia of Mathematics.
Springer. Consultado el 13 de junio de 2010.
[5] « Euclidean vector (http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ Vector. html)» (en inglés). PlanetMath.org. Consultado el 3 de junio de 2010.
[6] « Vector (http:/ / www. mathacademy. com/ pr/ prime/ browse. asp?LT=F& PRE=vector& LEV=B& TBM=Y& TAL=Y& TAN=Y&
TBI=Y& TCA=Y& TCS=Y& TDI=Y& TEC=Y& TGE=Y& TGR=Y& THI=Y& TFO=Y& TNT=Y& TPH=Y& TST=Y& TTO=Y&
TTR=Y)» (en inglés). Math Academy Online. Consultado el 3 de junio de 2010.
Bibliografía
• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes) (en español), Monytex. ISBN 84-404-4290-4,
ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
• Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). Physics (en inglés), New York: John Wiley & Sons.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers, 6ª edición (en inglés),
Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes) (en español), Barcelona: Ed. Reverté.
ISBN 84-291-4382-3.
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Enlaces externos
• Weisstein, Eric W. « Vector (http://mathworld.wolfram.com/Vector.html)» (en inglés). MathWorld. Wolfram
Research.
• Juega con vectores (http://www.frontiernet.net/~imaging/vector_calculator.html)
• Demostración gráfica de operaciones básicas con Vectores (http://www.mis-algoritmos.com/fisica)
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Fuentes y contribuyentes del artículo
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Vector (física) Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=39735137 Contribuyentes: Abgenis, Aibdescalzo, Airunp, Alberto Salguero, Alexav8, Algarabia, Alhen, Aliman5040, Alvaro
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