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Ejercicios de refuerzo Matemáticas 1º ESO- Alumnos
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Divisibilidad
Múltiplos de un número: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números
naturales. Por eso hay infinitos múltiplos de un número, tantos como números naturales. Para saber si un número a es
múltiplo de b, se divide a entre b. Si la división es exacta, entonces a es múltiplo de b.
Divisores de un numero: Un número es divisor de otro si el resto de la división de uno entre otro es 0. Para saber si
un número b es divisor de a, se divide a entre b. Si la división es exacta, entonces b es divisor de a.
Criterios de divisibilidad:
a. Un número es divisible por 2 si termina en cero o cifra par.
b. Un número es divisible por 3 si el resultado de sumas todas sus cifras es múltiplo de 3.
c. Un número es divisible por 5 si acaba en 0 o en 5.
d. Un número es divisible por 10 si acaba en 0.
Números primos y compuestos: un número es primo cuando tiene sólo 2 divisores, él mismo y la unidad. Un
número es compuesto si tiene otros divisores diferentes de él mismo y la unidad.
Descomposición factorial: para descomponer un número en factores primos, lo dividimos tantas veces como haga
falta, por los números primos 2, 3, 5, 7, 11, etc.
Mínimo común múltiplo (mcm) de varios números: es el menor de los múltiplos comunes de esos números. Para
calcular el mcm de varios números, los descomponemos en factores primos y de estos factores tomamos los comunes
y no comunes elevados al mayor exponente.
Máximo común divisor (MCD) de varios números: es el mayor de los divisores comunes de esos números. Para
calcular el MCD de varios números, los descomponemos en factores primos y de estos factores tomamos los comunes
elevados al menor exponente.
Ejercicios:
1. Escribe tres múltiplos de los siguientes números:
a. 47
c. 100
b. 51
d. 214
2. Señala los números que son múltiplos de 9 y justifica tu respuesta: 12, 27, 40, 42, 45, 60, 63, 90, 100
3. Averigua si los siguientes número son divisores de 20:
a. 12
c. 5
b. 10
d. 6
4. Indica si son verdaderas, V, o falsas, F, estas afirmaciones y justifica tu respuesta:
a. 181 es múltiplo de 14
c. 195 es múltiplo de 13.
b. 18 es divisor de 54
d. 9 es divisor de 48.
5. Indica si los siguientes números son divisibles por 2, 3, 5 o 10 y justifica por qué:
a. 84
c. 441
e. 8875
b. 387
d. 1025
f. 893240
6. Contesta, justificadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a. Un número puede ser a la vez múltiplo de 2 y de 5.
b. Un número impar puede ser múltiplo de 2.
c. Cualquier número impar es múltiplo de 5.
d. Un número par puede ser a la vez múltiplo de 2 y de 5.
7. Indica si estos números son primos o compuestos. Justifica la respuesta:
a. 19
c. 59
b. 32
d. 75
8. Descompón en factores primos:
a. 35
c. 100
b. 108
d. 343
9. Calcula los números que corresponden a las siguientes descomposiciones factoriales:
a. 2·3·4
d. 35
b. 22· 5
e. 22 · 32 · 5
3
c. 5 · 7
10. Calcula el mcm y el MCD de los siguientes números:
f. 24 y 50
h. 20 y 15
j. 220 y 143
g. 16 y 6
i. 30 y 45
11. Lucas saca a pasear a su perro cada 2 días; Ana, cada 3, y Enrique, cada 5. Hoy han coincidido con
sus perros. ¿Cuándo volverán a coincidir?
12. Ana tiene tres trozos de cuerda de 12cm, 20cm y 24cm de longitud, y necesita dividirlos en trozos iguales de la
mayor medida posible. ¿Qué longitud deben tener esos trozos?
13. Rosa va a la biblioteca cada 2 días y Elena cada 3. Si han coincidido el domingo, ¿cuál es el siguiente día de la
semana en que coincidirán?
14. Se dispone de tres listones de madera que miden 90 cm, 120 cm y 150 cm de longitud. Si se quieren cortar los
tres listones en trozos del mismo tamaño: ¿Cuánto puede medir cada trozo como máximo? ¿Cuántos trozos
saldrán de cada listón?
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Página 1
Los números enteros.
Los números enteros forman un conjunto compuesto por:

Los números enteros positivos, que son los números distintos de cero precedidos del signo más.

El número cero, que no es ni positivo ni negativo.

Los números enteros negativos que son los números distintos de cero precedidos del signo menos.
El conjunto de los números enteros se representa por la letra Z.
Los números enteros positivos y el cero se identifican con los números naturales. Por eso se considera que el conjunto
de los números enteros es una ampliación del conjunto de los números naturales.
Los números enteros se representan en una recta a uno de cuyos puntos se le ha asignado el cero; a la derecha de este
se sitúan los números enteros positivos y a la izquierda los enteros negativos.
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de eliminar su signo. Se indica expresando
dicho número entre dos barras verticales |a|.
Operaciones con números enteros:
Para sumar números enteros: si son números del mismo signo se suman sus valores absolutos y el resultado tiene el
mismo signo que el de los sumandos. Si son de distinto signo, se restan sus valores absolutos y el resultado tiene el
signo del mayor.
Para restar se aplican las reglas de la suma teniendo en cuenta que un número positivo precedido de un signo menos
se considera negativo, y un número negativo precedido del signo menos se considera positivo.
Opuesto de un número entero: es el número entero que tiene el mismo valor absoluto pero distinto signo.
Multiplicación de números enteros: se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos: si los dos
factores son del mismo signo, el resultado es positivo y si los dos factores son de distinto signo, el resultado es
negativo.
División de dos números enteros: se dividen sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos: el cociente es
positivo si los términos de la división son del mismo signo y el cociente es negativo si son de distinto signo.
Operaciones combinadas: en este caso se aplican las reglas de prioridad:
1. Se calcula el valor de las operaciones que figuran entre paréntesis.
2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones.
3. Se efectúan las sumas y las restas.
Ejercicios:
1.
2.
3.
4.
Representa en la recta numérica los siguientes números enteros: -7, 10, 5, -10, 1, 3, -4.
Escribe el valor absoluto de estos números: | -7|, | 10|, | -100000|, | 133|.
Escribe los opuestos de los siguientes números:
a. Opuesto de –1
b. Opuesto de 17
c. Opuesto de 233
d. Opuesto de –10
Efectúa las siguientes operaciones:
a )(1)  (10)  (100)
b)25  75  (50)
c)(3)  (30)  (300)
d )12  (13)  (14)
e)(15)  (1)  (21)
f )(5)  32  (15)
g )(3)·(10)
h)(6)·5
i )4·(10)
j )3·(7)·3·10
k )49 : (7)
l )(12) : 4
m)(32) : (16)
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5.
Opera:
6.
Ignacio sale de compras con 20 € que tenía ahorrados y se gasta 12 €. Cuando vuelve, su madre le da 10 € de
paga, y su abuela, 13 €. Por la tarde se compra una revista por 2 € y paga una entrada de cine de 7 €. ¿Cuánto
dinero tiene al final del día?
Un cazo contiene agua a 23ºC. Si se calienta 15 ºC más y luego se deja enfriar 8ºC, ¿cuál será la temperatura
final del agua del cazo?
En una fábrica se han preparado 2500 bidones de miel. Todos los bidones pesan 67500 kg. Si cada bidón vacío
pesa 2 kg, ¿cuántos kilos de miel contiene cada uno?
7.
8.
a )13  2  (6  8) 
b)(2)  4  6  (3  7  1) 
c)(2)·8  (2)  (6)  (4)·(3) 
d )9  24  (1  2) : (9) 
e)2·8  4·(10  6)  (3  2) 
f )(9  7)·(3  2·4) : 6  (9  10) 
g )8  (10  14) : 9  (4  2·3) 
h)  5·4  (3  2·5  8)  15  (5) 
Potencias y raíces
Una potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación cuyos factores son todos iguales. El factor que
se repite se denomina base de la potencia y el número de veces que se repite se denomina exponente de la potencia.
Operaciones con potencias: el orden en el que hay que realizar las operaciones en expresiones con potencias es el
siguiente:
1. Se resuelve lo que hay dentro de los paréntesis.
2. Se calcula el valor de las potencias.
3. Se efectúan las multiplicaciones y divisiones.
4. Se realizan las sumas y las restas.
Potencia de un producto: es igual al producto de las potencias de los factores. Ej: (3 ·2)2 = 32 · 22
Potencia de un cociente: es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor. Ej: (6: 3)3 = 63: 33
Producto de potencias de la misma base: el resultado es una potencia de la misma base y como exponente la suma
de los exponentes.
Cociente de potencias de la misma base: es una potencia de la misma base y como exponente la resta de los
exponentes.
Valor de una potencia de exponente cero: cualquier potencia de base distinta de cero y exponente cero vale uno.
Valor de una potencia de exponente uno: cualquier potencia de exponente uno vale la base de dicha potencia.
Potencia de otra potencia: es una potencia que tiene la misma base y cuyo exponente es el producto de los
exponentes.
Cuando la base de una potencia es negativa: si el exponente es par, el resultado es positivo y si el exponente es
impar el resultado es negativo.
Raíz cuadrada de un número: calcular la raíz cuadrada de un número a, es buscar otro número b, que elevado al
cuadrado de a.
Ejercicios:
1.
2.
3.
4.
Halla las siguientes potencias:
a. 53
c. (-9)3
e. 100
4
8
b. (-6)
d. 10
f. 21
Expresa como una potencia:
a. (23)6
e. ((10)10)10
i. 64· 65· 62
6 0
10
6
b. (8 )
f. 5 · 5
j. 510: 56
586 2
4
2
c. (1 )
g. 6 · 6
k. 64: 62
2 5 8 6
9
2
d. (((3 ) ) )
h. 8 · 8 · 8
l. 237: 237
5
Expresa estas potencias de productos como productos de potencias: Ej- ( 7· 13) = 75 · 135
a. (17 · 9)5
b. ( 5· 8· 9) 2
c. (2· 3· 4· 5) 6
5
Expresa estas potencias de cocientes como un cociente de potencias: Ej- ( 7:13) =75:135
a. (5: 8)7
b. (80: 3)4
c. (7: 9)10
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5.
6.
Expresa como una potencia las siguientes expresiones:
a. 67 · 65: 63
b. (10:2)7 : 54
Calcula:
a.
b.
c.
16
3
4  3·5  100
4 2 ·(4  36)
3·10-5·
c.
d.
((11· 3)6)7: 33
(383)4: 385
d.


3
64  4  2·(6 2 : 32 ) 2  53
Las fracciones.
Una fracción,
a
b
se emplea para expresar partes de la unidad: el numerador, a, indica el número de partes iguales
que se toman y el denominador, b, representa el número total de partes (el denominador tiene que ser distinto de
cero). Una fracción también expresa un cociente indicado entre dos números.
Una fracción puede ser:

Menor que uno si el numerador es menor que el denominador.

Igual a uno si el numerador y el denominador son iguales.

Mayor que uno si el numerador es mayor que el denominador. En este caso, podemos expresar la fracción
9
1
 2
4
4
9
1
2
4
4
como la suma de un número entero y una fracción menor que uno. . Ejemplo:
expresión la escribimos sin el signo de la suma se llama número mixto:
Cuando esta
Para representar fracciones en la recta numérica:

Si la fracción es menor que 1, se divide el segmento comprendido entre 0 y 1 en tantas partes como indica
el denominador y se cuentan tantas como indica el numerador.

Si la fracción es mayor que 1, primero la expresamos como un número mixto para averiguar entre que dos
unidades enteras se encuentra; a continuación se representa es ese segmento de la recta numérica la fracción
menor que 1 que forma parte del numero mixto. Por ejemplo: como
comprendido entre 2 y 3, y es
9
1
9
 2  , entonces está
4
4
4
1
más que 2.
4
Fracción de una cantidad:
Para calcular una fracción de un número entero: por ejemplo para calcular los dos tercios de 12 tenemos:
2
2
de12   12  2·12 : 3  8
3
3
Si se conoce la fracción de una cantidad, es posible calcular esta cantidad de la siguiente manera:
a
dex  c  x  (c : a)·b
b
Ejemplo :
2
dex  4  x  (4 : 2)·5  10
5
Fracciones equivalentes: dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad. Para indicar que dos
fracciones son equivalentes, se emplea el signo igual (=).
Si dos fracciones son equivalentes, los productos cruzados son iguales:
a c
  a·d  b·c
b d
Para obtener fracciones equivalentes podemos:

Multiplicar numerador y denominador por un mismo número distinto de cero. Este proceso se llama
amplificar fracciones.

Dividir el numerador y el denominador por un mismo número. Este proceso se llama simplificar.
Reducción a común denominador: consiste en expresar dos o más fracciones con el mismo denominador, para ello:
se calcula el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Las nuevas fracciones tendrán como nuevo
denominador el mcm hallado anteriormente y para hallar los nuevos numeradores se divide el mcm entre los
denominadores y el resultado se multiplica por los numeradores.
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Comparación de fracciones:



Si tienen el mismo denominador, es mayor la que tenga mayor denominador.
Si tienen el mismo numerador es mayor la que tiene menor denominador.
Si tienen distinto numerador y distinto denominador, se reducen a común denominador y luego se aplica el
caso 1.
Operaciones con fracciones:
Para sumar o restar fracciones, se reducen a común denominador, si es necesario, y se suman o restan los
numeradores dejando el mismo denominador. Cuando queremos sumar o restar una fracción y un número entero, se
considera el número entero como una fracción de denominador uno.
Recuerda que siempre que se pueda hay que simplificar el resultado.
El producto de dos fracciones es otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y como
denominador el producto de los denominadores:
a c a·c
· 
b d b·d
El cociente de dos fracciones es otra fracción que se obtiene al multiplicar en cruz:
a c a·d
: 
b d b·c
Dos fracciones son inversas si su producto es la unidad. Para calcular la fracción inversa a una dada intercambiamos
el numerador por el denominador.
Dos fracciones son opuestas cuando su suma es cero. Para calcular la fracción opuesta a una dada simplemente le
cambiamos el signo.
Ejercicios:
1.
Clasifica las siguientes fracciones en mayores, menores o iguales que uno. Justifica la respuesta.
a.
b.
2.
b.
b.
f.
7
4
2
3
3
2
19
5
c.
d.
29
4
72
13
1
3
b.
7
4
c.
15
10
d.
18
5
2
de15
3
1
de25
5
c.
d.
5
de200
8
3
de4
6
Calcula el valor de n:
a.
b.
6.
e.
Calcula, con todos los pasos:
a.
5.
d.
9
3
12
12
Representa en la recta numérica:
a.
4.
c.
Expresa cada fracción como un numero mixto:
a.
3.
3
5
5
2
3
de n = 45
10
3
de n = 36
4
c.
d.
5
8
2
3
de n = 500
de n = 18
Comprueba si las siguiente fracciones son equivalentes:
a.
b.
4
6
2
5
6
9
4
y
7
y
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c.
d.
35 14
y
20 8
7 10
y
3 6
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7.
Calcula el término que falta:
a.
b.
8.
c.
d.
7 105

x 60
4
x

100 25
Ordena de menor a mayor:
a.
9.
4 20

3
x
x 15

8 20
2 5 3 4
, , y
3 6 4 5
b.
1   1 2 
: 2  
5   2 5 
d.
7 4 3
, y
10 5 2
Opera:
a.
b.
c.
 7  3 
2·    1
 3  4 
 2 1  3  3
 3  4   6 ·10



e.
f.
10. Escribe la fracción opuesta y la inversa de:
a.
2
5
b.
1   1  2 

 3  · :   1
2   6  3 

5
  3 10 
   2  : 1  · 
7
  5 9
1 3 3 
 :   1
2 4 2 
3
4
11. Las dos quintas partes de una clase de 30 estudiantes han aprobado todas las asignaturas en la primera
evaluación. ¿Cuántos alumnos han aprobado todo?
12. En un estudio realizado a un grupo de jóvenes de un instituto se han detectado problemas de caries en 40 casos,
lo que supone las dos terceras partes de los jóvenes analizados. ¿A cuántos jóvenes se les ha hecho el estudio?
13. María y Juan hacen la misma colección de cromos. María tiene las dos terceras partes de la colección y a Juan le
faltan dos sextos del total para completarla. ¿Cuál de los dos tiene más cromos?
14. Las dos quintas partes de un terreno se quieren dedicar a edificar viviendas, la tercera parte a jardines y el resto
son calles. ¿Qué fracción del terreno ocupan las calles?
15. En una granja escuela hay 60 animales, de los cuales las dos terceras partes son domésticos y de estos la quinta
parte son mamíferos. ¿Cuántos mamíferos hay en la granja escuela?
Números decimales
Un número decimal es el número formado por una parte entera (cantidad mayor que la unidad) y una parte decimal
(cantidad inferior a la unidad) separadas por una coma. La parte entera se corresponde con los múltiplos de la unidad
(unidad, decena, centena, unidad de millar, decenas de millar, centena de millar, millón...) y la parte decimal se
corresponde con los submúltiplos de la unidad (décimas, centésimas, milésimas, diezmilésimas, cienmilésimas,
millonésimas...). Hay que tener en cuenta que diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden
superior, por ejemplo: 10 unidades corresponden a 1 decena; 10 centésimas equivale a 1 décima...
Ordenación de los números decimales: para ordenar dos números decimales, se comparan sus partes enteras; si son
iguales, se comparan sus décimas; si son iguales, se comparan sus centésimas..... y así se continúa hasta que dos de
sus cifras del mismo orden sean distintas.
Expresión decimal de una fracción: para expresar en forma decimal una fracción, se realiza la división del
numerador entre el numerador.
Redondear un número decimal a un orden de unidad determinado consiste en aproximar ese número decimal
eliminando las cifras decimales de orden inferior teniendo en cuenta que: si la primera cifra decimal eliminada es
menor que 5, el número se deja como está. Si la primera cifra decimal eliminada es mayor o igual que 5, se suma uno
a la unidad anterior.
Suma y resta de números decimales:

Para sumar números decimales, se suman las cifras del mismo orden de unidad teniendo en cuenta que cada
10 unidades forman una unidad de orden superior.

Para restar números decimales, se restan las cifras del mismo orden de unidad como si se tratara de
números naturales.
Multiplicación de números decimales: se efectúa la multiplicación como si fueran números naturales. Después se
pone la coma en el producto de forma que tenga tantas cifras decimales como sumen los dos factores.
Para multiplicar un número decimal por una potencia de 10, se desplaza la coma hacia la derecha tantos lugares
como ceros tenga la potencia de 10. si es preciso, se añaden ceros.
División de números decimales:

Si el divisor es un número natural, se divide como si ambos fueran naturales, pero al bajar la cifra de las
décimas se escribe la coma en el cociente.
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Página 6

Si el divisor es otro número decimal se multiplican dividendo y divisor por una potencia de 10 que
transforme el divisor en número natural.
Para dividir un número decimal entre una potencia de 10, se desplaza la coma hacia la izquierda tantos lugares
como ceros tenga la potencia de 10.
Ejercicios:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Completa:
a. 3 unidades = _________ décimas
b. 35 décimas = ________ milésimas
c. 8 centésimas = _______ cienmilésimas
d. 2 diezmilésimas = ______ unidades
Ordena de mayor a menor los siguientes números decimales:
a. 0,031; 0,0031; 0,31; 0,003
b. 85,258; 85,33; 85,1111; 85,5
c. 6,9; 6,10; -6,09; 6,109; -6,19
Calcula:
a. 900,2 + 10,06 + 3,998
g. 4,72: 5,006
b. 123,89 – 54,6783
h. 10,479· 100
c. 348 x 1,3
i. 0,00078· 10000
d. 51,24 x 56,3
j. 12,7: 1000
e. 9,032: 52
k. 421,672: 100
f. 30,03: 2,1
Se envasan 3000 magdalenas en bolsas de una docena para venderlas a 4,3 € la bolsa. ¿Cuánto dinero se
obtendrá con la venta?
Candela ha comprado en la frutería cuatro kilos y medio de cerezas que le han costado 12,56 €. ¿Cuánto cuesta
un kilo de cerezas en esa frutería?
Iván ha ido al mercado con un billete de 20 € y ha comprado 0,5 kg de carne, a 7,2 € el kilo y 5 kg de patatas a
0,75 € el kilo. ¿Cuánto le ha costado la compra? ¿Cuánto dinero le ha sobrado de los 20 €?
Proporcionalidad
Razón y proporción
Razón: cociente indicado de dos números. Se escribe
proporción: dos razones,
a
b
y
c
d
a
b
y se lee “a es a b”.
forman proporción cuando son iguales:
a c
=
b d
. Se lee “a es a b como c es a d”.
Los términos a y d se llaman extremos y los términos b y c, medios.
En una proporción se cumple que el producto de los extremos es igual al producto de los medios:
a·d  b·c
a c
=
b d
↔
Magnitudes directamente proporcionales.
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una cantidad de una de ellas por un
número, la cantidad correspondiente de la otra magnitud queda también multiplicada o dividida por el mismo
número.
Para resolver problemas de proporcionalidad se utiliza: el método de reducción a la unidad- determinar el valor que le
corresponde a una sola unidad y a partir de este averiguar el que le corresponde a cualquier otro. Regla de tresplantear una proporción entre la razón de dos cantidades de una de las magnitudes y la de las dos cantidades
correspondientes de la otra magnitud.

EJERCICIOS
1.
Determina si cada par de las razones siguientes forman o no una proporción:
a)
2.
b)
21 3
y
7
5
c)
3
24
y
4
32
d)
8
2
y
28 7
Calcula el valor de x en cada una de las siguientes proporciones:
a)
3.
2 10
y
5
25
x
5

24 2
b)
27
x

36 48
c)
x
35

28 135
Resuelve:
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Página 7
a)
Si una persona de 1,75 m. de altura proyecta una sombra de 1,25 m. de longitud, calcula la altura de un
árbol que, en el mismo instante, proyecta una sombra de 12 m.
b) Con mi dinero puedo comprar 20 dulces a 20€ cada uno. Si suben a 25€, ¿cuántos podré comprar?
c) Si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. ¿Cuántas horas tardan 60 telares iguales en
producir la misma cantidad de tela?
d) La rapidez de un automóvil es de 70 Km/h y tarda 5 horas en recorrer una cierta distancia. ¿Cuántas horas
tardará, en recorrer la misma distancia, otro automóvil con una rapidez de 80 Km/h?
e) Para cocer arroz un cocinero utiliza siete partes de agua por dos de arroz. ¿Cuántas tazas de agua han de
echarse por 7 de arroz?
f) En un grupo de personas hay 5 hombres por cada tres mujeres. Si hay 120 mujeres, ¿cuántos hombres hay?
g) El charrán del ártico es una de las aves que hace la migración más larga, ya que recorre 20169 Km en 12
días. ¿Cuánto recorrerá en 5 días si lleva siempre la misma velocidad?
h) Un administrativo realiza 1470 pulsaciones de teclado en 7 minutos. ¿Cuántas veces le da a la tecla en 100
segundos?
i) En 17 cajas iguales hay 1632 botones iguales, ¿cuántos habrá en 37? ¿Cuántas cajas se necesitarán para
guardar 900 botones?
j) 8 albañiles tardan en hacer una obra 15 días, ¿cuánto tardarían 11 albañiles?
k) Una persona tiene 30 vacas y alimento almacenado para darles de comer durante 16 días. Vende 18 de ellas,
¿Cuántos días puede alimentar a las que sobran con el alimento que tiene?
l) Un ganadero posee forraje para alimentar a sus bueyes durante 14 semanas. Tras vender 60 animales
comprueba que le queda alimento para 20 semanas, ¿cuántos bueyes le quedaron?
m) Un ciclista que corre a una velocidad de 16 Km/h tarda 2 horas y 20 minutos en llegar al próximo pueblo.
¿Cuánto tardaría si llevase una velocidad de 22 Km/h?
n) La velocidad de la luz es constante. La luz tarda 8 minutos y 20 segundos en llegar del Sol, que está a unos
150 millones de Km de nuestro planeta. Calcula los Km que recorre la luz en un segundo.
Porcentajes.
Un porcentaje o tanto por ciento es una forma de expresar una razón que indica cuántas unidades de una magnitud
hay por cada 100 unidades. Se expresa con el signo %.
Para calcular un tanto por ciento de una cantidad, se multiplica dicha cantidad por el porcentaje expresado en forma
de razón.
Para calcular una cantidad a partir de un tanto por ciento suyo, se divide la cantidad conocida entre el porcentaje
expresado en forma de razón.
Problemas de disminuciones y aumentos porcentuales
En estos problemas intervienen las siguientes cantidades: la cantidad inicial sobre la que se aplica el descuento o el
aumento. El porcentaje de descuento o aumento que se aplica. La cantidad que se va a descontar o aumentar a la
inicial. La cantidad resultante.
Disminución porcentual
Ejemplo: ¿qué cantidad resulta al disminuir en un 205 el número 30?
Primer método
 Se calcula el 20% de la cantidad inicial: 20% de
30= 6
 Se resta la disminución a la cantidad inicial: 30 –
6= 24
Segundo método
 Si la cantidad inicial disminuye un 20%, la final es
el 80% de la inicial: 100%-20%=80%
 Se calcula el 80% de la cantidad inicial: 80%de 30=
24
Aumento porcentual
Ejemplo: ¿Qué cantidad resulta al aumentar en un 20% el número 30?
Primer método
 Se calcula el 20% de la cantidad inicial: 20% de
30= 6
 Se suma el aumento a la cantidad inicial:
30 + 6= 36

EJERCICIOS
4.
Expresa en fracción:
a) 20%
5.
b) 12%
c) 60%
d) 75%
Segundo método
 Si la cantidad inicial aumenta un 20%, la final es el
120% de la inicial: 100%+20%=120%
 Se calcula el 120% de la cantidad inicial: 120%de
30= 36
e) 100%
f) 150%
g) 1/2 %
h) 3/5%
Calcula el:
a)
12% de descuento por un artículo que vale 5.400€.
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b)
c)
d)
e)
6.
Determina qué porcentaje es:
a)
b)
c)
7.
35% de páginas leídas de un libro de 380 páginas
15% de goles marcados por Zamorano de un total de 40 goles marcados por el goleador del campeonato
48% de alumnos varones en un colegio de 450 alumnos en total.
Si en una libreta de notas, de 56 notas, 32 están sobre la nota 5 y 20 sobre o igual a la nota 4, ¿Qué
porcentaje de las notas son deficientes?
35 alumnos de un colegio de 700 alumnos.
357 manzanas podridas de un total de 1.500 manzanas.
40 horas de trabajo semanal de una jornada de 48 horas.
Calcula cuál es:
a)
b)
c)
d)
el total de una deuda, sabiendo que el 8% de ella es 56.000 €
el precio de un artículo cuyo 12% es 3.600 €
la edad de un padre si el 24% de su edad equivale a la edad de su hija de 12 años.
el descuento del sueldo de un empleado si recibió $84.000 que equivale al 85%.
8.
Juan tiene que pagar 90.000€. Si le rebajan el 5% de su deuda, ¿cuánto tiene que pagar todavía?
9.
Pedro tenía 80.000€. Si gastó el 20% y dio a su hermano el 15% del resto, ¿cuánto le queda?
10. De los 125 alumnos de un colegio, el 36% son chicas. ¿Cuántos son chicos?
11. Una camisa me costó 10.500€, con lo que gasté el 25% de mi dinero. ¿Cuánto dinero tenía?
12. De las 240 fichas que tiene un niño, 48 son rojas. ¿Cuál es el porcentaje de fichas rojas?
13. Habiendo salido el 84% de los alumnos de un colegio, permanecen en el mismo 20 alumnos. ¿Cuántos alumnos
salieron del colegio?
14. Compré 90 libros y vendí el 60% de ellos. ¿Cuántos libros me quedan?
15. Un hombre al morir dispone que sus ahorros consistente en 20.000 €, se reparta en 35% a su hermano mayor, el
40% del resto a su hermano menor y lo restante a su ahijado. ¿Cuántos euros le correspondió a este último?
16. Un cortador de pasto cobraba 20.000€ por su trabajo. Ahora pedirá 24.000€, ¿en qué porcentaje aumentó su
tarifa?
17. Un artículo se sube de 1.500€ a 1.800€. ¿Cuál es el porcentaje de alza?
Álgebra
Expresiones algebraicas: una expresión algebraica es una combinación de operaciones entre números y letras.
Valor numérico de una expresión algebraica: es el número que resulta de sustituir las letras de la expresión por un
valor dado y operar. Ej: el valor numérico de la expresión x+4 para x=1 es 5, ya que al sustituir x por 1 tenemos,
1+4=5.
Fórmulas: una fórmula es una igualdad entre expresiones algebraicas que permite calcular el valor de una variable a
partir de otras.
Monomios: se llama monomio al producto indicado de un número- llamado coeficiente- y una o varias incógnitasllamadas parte literal. Ejemplos: 3xy; -4 xy2
Operaciones con monomios:
Suma y resta: para sumar o restar dos o más monomios, han de ser semejantes, es decir tener la misma
parte literal. Una vez comprobado que los monomios son semejantes, para sumarlos o restarlos, se suman o
se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal. Si no son semejantes se deja indicado. Ejemplo:
2a  3a  5a;3 x  4 x  3  7 x  3
Producto de un número por una expresión algebraica:
 Si la expresión algebraica es un monomio, se multiplica el número por el coeficiente del monomio.
Ejemplo: 3·4 x  12 x
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
Si la expresión algebraica es una suma o una resta de monomios, se aplica la propiedad distributiva.
Ejemplo:
4·2 x  5  4·2 x  4·5  8 x  20
Ecuaciones e identidades:
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que sólo se cumple para determinados valores de las
incógnitas que aparecen en ellas.
Las expresiones que aparecen a cada lado del igual se llaman miembros de la ecuación.
La solución de una ecuación es el valor de la incógnita que verifica la igualdad.
Una identidad es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que siempre se cumple para cualquier valor de las
incógnitas.

EJERCICIOS
18. Opera:
a)
7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b =
b)
35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y =
c)
24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c =
d)
5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) =
e)
3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =
f)
8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =
g)
9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } =
19. Calcula el valor numérico de las expresiones siguientes, considerando a = 2; b = 5; c = -3; d = -1 y f = 0.
a)
b)
c)
d)
5a2 – 2bc – 3d
7a2c – 8d3
3(a – b) + 2(c – d)
2(c – a) – 3(d – b)2
e)
c b a
 
3 5 2
f)
g)
h)
cd ab

2
7
3
2
1
7
a c b f
4
5
2
8
2b f

a c
20. Realiza las siguientes operaciones:
a)
1
2 x7  x2 
3
f)
1
x  3x 4  x 7 
2
b)
2 4
x  3x 7 
3
g)
3x 2  5 x 2 
h)
6x 5  4x 5 
i)
(3) x 5  6 x 7 
j)
9  7x4 
k)
(5) x 4  (6) x 4 
l)
4 x 3  (12) x 5 
c)
 3
3z 2     
 4
d)
 3  6 4
2y 
y y 
 4  5
e)
5
3 4 2
a a 
2
5
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u)
3  2 x 4  5x 7 x  5


5
3
2
v)
5x 
w)
x
3 2
4
x)
x
 5  11
7
y)
x3
5
4
z)
x  13
3
7
aa)
2x  1
1
4
bb)
3x  2 x  1

6
4
cc)
4 x  3 3x  1

7
3
dd)
3x  6 2 x  7

5
4
ee)
2 x  5 3x  2

7
3
21. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)
3x  5  1  2 x
b)
17  2  3x
c)
6 x  45  9
d)
x  2  7x  0
e)
5x  9  29
f)
5x  2  1  7 x  12
g)
7  12 x  2
h)
3x  5  x  4
i)
4x  9   x  9
j)
10 x  x  10
k)
x  1  12
l)
12  7 x  2  3x
m)
3x  4 2 x  3 3x  9


5
5
12
n)
x 5 7 x 4 x 5 11x
 

 
3 4 6
3 2 12
o)
55x  3(3x  2)  10 x  0
p)
3
q)
4 x  1 2 x 5x  4 2 x



3
8
4
5
r)
x x
x
  2  1
4 3
5
s)
4 x  6 3x  2

0
9
6
t)
2 x  1 5 x  4 3x  4 x  2



3
6
2
4
3  4 x 3x  5

0
2
6
2 x  5 4 x 6 x  4 3x  1



11
3
11
2
22. Un número excede a otro en 5 y su suma es 29. ¿Cuáles son?
23. La diferencia entre dos números es 8. Si se le suma 2 al mayor el resultado será tres veces el menor. Encontrar
los números.
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27.
28.
29.
30.
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32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
¿Cuáles son los números cuya suma es 58 y su diferencia 28?
Encontrar tres números consecutivos cuya suma sea 84.
La suma de dos números es 8 y si a uno de ellos se le suma 22 resulta 5 veces el otro. ¿Cuáles son los números?
Encontrar dos números que difieran en 10 tales que su suma sea igual a dos veces su diferencia.
Un padre es cuatro veces mayor que su hijo; en 24 años mas el tendrá el doble de la edad de su hijo. Encontrar
sus edades.
La edad de A es 6 veces la edad de B y en 15 años mas la edad de A será el triple de la edad de B. Hallar ambas
edades.
La suma de las edades de A y B es 30 años y 5 años después A tendrá el triple de la edad de B. Hallar sus edades
actuales.
Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a los estudiantes con 30 cuestiones sobre
Matemáticas. Por cada cuestión contestada correctamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no
contestada se le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestiones respondió
correctamente?
Calcula dos números que sumen 150 y cuya diferencia sea cuádruplo del menor.
Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre
6, los cocientes se diferencian en 1.
Juan y Roberto comentan:
Juan: "Si yo te tomo 2 monedas, tendré tantas como tú"
Roberto: "Sí, pero si yo te tomo 4, entonces tendré 4 veces más que tú".
¿Cuántas monedas tienen cada uno?
Entre mi abuelo y mi hermano tienen 56 años. Si mi abuelo tiene 50 años más que mi hermano, ¿qué edad tienen
cada uno?
Un rectángulo tiene un perímetro de 392 metros. Calcula sus dimensiones sabiendo que mide 52 metros más de
largo que de ancho.
El perímetro de un rectángulo es 120 m. El largo del rectángulo es el doble del ancho. Hallar el largo y ancho del
rectángulo.
Geometría
Recta: línea formada por infinitos puntos, que no tiene principio ni fin.
Semirrecta: porción de recta que tiene principio y no tiene fin.
Segmento: porción de recta que tiene principio y fin.
Dos rectas que no se cortan en ningún punto se denominan rectas paralelas. Si se cortan, serán rectas secantes.
Cuando las rectas se cortan forman cuatro regiones llamadas ángulos. Si los ángulos que se forman son iguales, se
dice que las rectas son perpendiculares.
Un ángulo recto es el que mide 90º. Los ángulos menores que el recto se llaman agudos. Si son mayores que el
recto, son obtusos. Si miden 180º son ángulos llanos. Los ángulos menores que un llano son convexos y los mayores
de 180º son cóncavos.
Dos ángulos son complementarios si su suma es un ángulo de 90º y son suplementarios si su suma es un ángulo de
180º.
Una circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están todos a la misma distancia de otro punto
llamado centro. Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunferencia. El diámetro es una cuerda que
pasa por el centro de la circunferencia. El radio es un segmento que une el centro con cualquier punto de la
circunferencia.
Un arco es una parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.
Un ángulo central de una circunferencia es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.
Un ángulo inscrito en una circunferencia es el que tiene su vértice en un punto de la circunferencia.
Línea poligonal: aquella formada por segmentos consecutivos.
Un polígono es la región del plano formado por una línea poligonal cerrada y todos sus puntos interiores. Según su
número de lados, un polígono puede ser: triángulo- tiene tres lados; cuadrilátero- tiene cuatro lados; pentágono- tiene
cinco lados; hexágono- tiene seis lados; etc…
Según la amplitud de los ángulos interiores un polígono puede ser: convexo- ángulos interiores menores que 180º o
cóncavo- tiene uno o más ángulos interiores mayores que 180º.
Un polígono regular tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales. En un polígono regular se distinguen los
siguientes elementos:
Centro: punto del que equidistan todos los vértices.
Radio: segmento que une el centro con cualquiera de los vértices.
Apotema: segmento que une el centro con el punto medio de un lado.
Ángulo central: el formado por dos radios consecutivos.
Un triángulo es un polígono de tres lados. Según sus lados, un triángulo puede ser: equilátero- tres lados iguales;
isósceles- dos lados iguales; escaleno- tres lados distintos. Y según sus ángulos: acutángulo- tres ángulos agudos;
rectángulo- ángulo recto; obtusángulo- un ángulo obtuso.
Rectas y puntos notables de un triángulo:
Mediatrices y circuncentro: las mediatrices de los lados de un triángulo se cortan en un punto que está a la misma
distancia de los tres vértices. Este se llama circuncentro.
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Bisectrices e incentro: las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un punto que está a la misma
distancia de los tres lados. Este punto se llama incentro.
Alturas y ortocentro: las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a cada uno de los lados que pasan por
los respectivos vértices opuestos. El punto en el que se cortan se denomina ortocentro.
Medianas y baricentro: las medianas son las rectas que pasan por cada vértice y los puntos medios de los lados
opuestos respectivos. El punto en el que se cortan se llama baricentro.
Cuadriláteros: polígono de cuatro lados. En un cuadrilátero se llaman lados opuestos, vértices opuestos y ángulos
opuestos a los que no son consecutivos.
Los cuadriláteros se clasifican en: paralelogramos. Dos pares de lados opuestos paralelos; trapecios- sólo un par de
lados opuestos paralelos; trapezoides- ningún lado paralelo a otro.
A su vez, los paralelogramos se clasifican en:
Cuatro lados iguales
Cuadrado
Rombo
Tiene cuatro ángulos
Sólo tiene iguales los
iguales (rectos)
ángulos opuestos
Lados opuestos iguales
Rectángulo
Romboide
Tiene cuatro ángulos
Sólo tiene iguales los
iguales (rectos)
ángulos opuestos
Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto al ángulo recto,
hipotenusa.
El Teorema de Pitágoras dice: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos:

a2  b2  c 2
EJERCICIOS
41. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 5, y uno de sus catetos es 3, ¿Cuánto mide el cateto restante?
42. U n a e s c a l e r a d e 1 0 m d e l o n g i t u d e s t á a p o y a d a s o b r e l a p a r e d . E l p i e d e l a e s c a l e r a
dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre la pared?
43. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 y24cm. Calcula la Hipotenusa
44. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 7cm y uno de los catetos 6cm. Calcula la longitud del otro cateto.
45. Un emisor de televisión tiene 40m de altura hasta el inicio de la antena. Se quiere sujetar al suelo con tres cables.
Si las fijaciones del suelo están a 30m de la base del emisor, ¿Cuál es la longitud de los cables?
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