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Ruben Balda
Teoría y actividades
Mariana Vivas
Idea y textos
Nancy M. Cuéllar
EDITORIAL MUNDO HISPANO S.R.L.
EDIFICIO CENTRAL
MAR DEL PLATA - ARGENTINA
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Obra Catalogada
TÍTULO DE LA OBRA COMPLETA:
Nana y Enriqueta en el país de las
matemáticas
Indice
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
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TOMO I
Prólogo Página 02
Comienzo de un viaje accidentadoPágina 03
Siguiendo a los “Otros”Página 16
• Las Letras que son números: Los números Romanos
• Más allá de las Pirámides: Los números Egipcios
• A la vuelta, El Partenón: Los números Griegos
• Además de la Muralla: Los números Chinos
• ¿Y Medio Oriente? Los números Babilonios
• América no sólo produjo cacao, también los números Mayas
El taller de los quebrados: Página 34
• Los números fraccionarios mochileros:
Los números decimalesPágina 53
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Nana y Enriqueta en el país
de las Matemáticas
Tomo 1
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Prólogo
Aprender matemáticas no tiene que ser una carga tan difícil de sobrellevar: desde los primeros pasos podemos
guiar a nuestros hijos para que el proceso cognitivo
requerido sea un juego.
Esta obra pretende contribuir al desarrollo de la
inteligencia lógico-matemática con el fin de
terminar con las frustraciones de muchos
estudiantes cuando deben resolver problemas
en el área. Entre los objetivos principales está el
de incentivar al estudiante a la solución de problemas que
signifiquen relaciones y operaciones matemáticas, a través
de actividades que desarrollen la creatividad, las habilidades
y destrezas propias de cada edad, así como su aprendizaje.
Se encontrarán con actividades, situaciones que demanden
el uso de sus conocimientos para encontrar relaciones entre
objetos, además de comparar con el fin de clasificar.
Vamos a contarles la historia de dos primas: Nana y Enriqueta. A Nana nunca le gustaron las matemáticas. Siempre
había tenido problemas con ellas y cada vez que la maestra
le daba un problema para resolver, era como si le hubiera
dado un acertijo imposible de descifrar. En realidad, ella
siempre había sido buena con las palabras y las letras, en
Lengua era la mejor de la clase pero en Matemáticas, la
mejor de la clase era su mi prima Enriqueta.
Nana no sabía que junto a Enriqueta, pronto iba a vivir una
gran aventura que la llevaría a entender las matemáticas y
que, con el tiempo, las llegaría a amar tanto como lo hacía
su prima.
¿Las acompañamos?
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Comienzo de un Viaje
Accidentado
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Nana había ido a leer uno de esos libros de aventura que le encantaban debajo de su árbol favorito. Así la encontró Enriqueta que estaba juntando y contando piedras azules por el mismo lugar.
-¡Nana! ¿Qué haces por aquí leyendo en un día tan lindo? ¡Vamos a pasear hasta el arroyo! ¡Juntemos piedras negras en el camino y la que junte más se gana un premio!
Nana apartó los ojos del libro que estaba leyendo, se bajó los lentes y la miró por encima
de ellos:
-¿Estás loca? ¿Y por qué eso sería más divertido que estar viviendo una aventura en medio del
mar? (Ella estaba leyendo Un capitán de 15 años de Julio Verne).
Enriqueta hizo una mueca.
-Nunca vamos a estar de acuerdo con lo que es entretenido ¡un día vas a aprender que los
números también son divertidos!
Enriqueta estaba tan indignada por la falta de
interés de su prima en sus tan amados
números que no tuvo mejor ocurrencia
que quitarle el libro de las manos a Nana y
escaparse con él en dirección a un sendero
que llevaba al centro del parque. Nana
se puso hecha una furia y salió disparada
persiguiéndola; ella amaba sus libros tanto
como Enriqueta amaba los números.
El parque en el que ambas primas jugaban era
enorme; de esos que ocupan cuatro manzanas completas en una ciudad.
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En el centro del parque había un formidable jacarandá cuyas flores cubrían el suelo dejando una
especie de alfombra celeste en la que fueron a caer las dos, forcejeando por el libro.
De pronto, las raíces del jacarandá salieron de la tierra, tomaron a las primas y las arrojaron
Tomo 2
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Tomo que
lejos; ambas cayeron ruidosamente a la laguna artificial entre los nenúfares
y las ranas
las miraban asombradas. Repentinamente, sintieron que un remolino se iniciaba a sus pies
y sin que pudieran evitarlo, las succionó en un santiamén. Un rato después, se encontraban
flotando en medio de un cielo desconocido y, debajo de ellas, a unos veinte metros, se abría
un campo de hierba verdísimo; estaban descendiendo lentamente y el pasto se encontraba
cada vez más cerca.
Las nubes que las rodeaban, eran conjuntos con juguetes y golosinas que flotaban junto a ellas.
Además, otros niños también parecían descender hasta ese campo verde. Cuando aterrizaron
suavemente, ambas se miraron asustadas y preguntaron al unísono:
-¿Dónde estamos?
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Abrieron los ojos como platos cuando vieron acercarse a una enorme perra policía que caminaba en dos patas por un sendero entre dos colinas cercanas; usaba un vestido floreado y venía
arrastrando un carrito de compras. Ni bien llegó cerca de ellas, las miró y les habló:
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-Ustedes son
nuevas
¿verdad?
Las dos chicas se acomodaron los lentes y la miraron
boquiabiertas: era la primera vez que un personaje tan
estrafalario les hablaba. Se levantaron del suelo, sacudieron un poco su ropa y le preguntaron:
-¿Cómo lo sabe? –les pareció que debían tratarla de usted; algo en los modales de la perra les
infundía respeto.
-Olfato, pequeña. Me llamo Daisy ¿cuál es su nombre? ¿Tienen idea de dónde se encuentran?
Las niñas se encogieron de hombros y se miraron perplejas. Daisy emitió un ligero gruñido.
-Están en el país de las matemáticas. Este es el campo de aterrizaje ¿es que no sabían a dónde
irían cuando sacaron el ticket de vuelo?
Daisy se dio cuenta de que tanto Nana como Enriqueta no tenían ni idea de lo que les estaba
diciendo. Sólo había dos maneras de llegar allí por lo que se decantó por la otra y para confirmarlo, les preguntó:
-¿Alguna
de ustedes considera
que las matemáticas
son muy difíciles?
Nana puso cara de vergüenza y levantó la mano muy
lento. Enriqueta emitió un resoplido y Daisy sonrió.
-Ya veo, entonces les tocó venir por la laguna: se
activa cuando anda cerca alguien que le tiene miedo a las matemáticas. Generalmente no saben
dónde cayeron. Tienen suerte de que haya venido por el camino de la recta juntando números
quebrados para llevarlos al taller. Acompáñenme, las voy a guiar en su recorrido para que conozcan bien esta región.
Cuando Nana y Enriqueta siguieron a Daisy, notaron que el camino era una recta interminable (como debía ser toda recta) por lo que no les extrañó el nombre que le habían puesto.
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-Les voy a contar algo de la historia de este lugar y, para eso, tenemos que pasar por el Centro
de Clasificación de Números que está unos segmentos más adelante. Este centro también
tiene un canal de noticias que va informando sobre las últimas clasificaciones numéricas, el
CCN ¿lo conocen?
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-No tenemos el gusto –respondió Enriqueta con suficiencia, quien no necesitaban escuchar ese
canal de noticias para conocer las clasificaciones numéricas.
A lo lejos alcanzaron a ver un enorme edificio con varios pisos y una gigantesca puerta; las chicas vieron muchos números, un río de números, entrar por ella.
-¿Y a dónde van todos esos números? – quiso saber Nana.
-Van ahí para ser clasificados en cada sección: hay en total diez secciones dirigidas por los números naturales. Algunos piensan que se creen la gran cosa porque son los primeros en aparecer
en cualquier civilización, porque las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que
se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Como sea, está a cargo de las clasificaciones pero existen varias etapas.Vamos a verlo.
Al poco tiempo estaban entrando por esa gran puerta que habían visto a la distancia ¡habían
muchos más números de los que podían contar!
Se encontraron con un enorme recibidor en el que se veían, uno al lado de los otros, doce
ascensores controlados por “números-ascensoristas”. En la entrada de cada ascensor había una
larga fila de números esperando su turno: los primeros diez eran para los números del 0 al 9 y
en los otros dos uno decía Otros y el restante, Símbolos.
Daisy continuó con su explicación.
-Aquí ven la primera clasificación por unidad: en cada piso bajan según pertenezcan a números
naturales, enteros, fraccionarios, etc. Los símbolos van por otro ascensor ya que ellos se bajan
donde quieren… aunque existen preferencias.
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-¿Y en otros
quiénes van?
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-Ahí van los números de otros sistemas como el
romano, el egipcio y el maya, por ejemplo.
Vieron lo variada de la fila: había puntos, rayas, figuras… y muchísimas variaciones más. Claro
que en el de símbolos había letras, pero tenían cierta uniformidad.
Las chicas que se quedaron pensativas ¿Y ahora a dónde irían ellas? Antes de que pudieran
preguntar nada apareció la señorita Propiedades, encargada de asignar las propiedades a las
operaciones matemáticas. Una vez hechas las presentaciones les dijo:
-Bueno, Daisy debe ir a dejar a esos números en el tercer piso: el de números quebrados o fracciones. Si gustan, les puedo dar un recorrido por el edificio; eso sí, debemos usar las escaleras
para no interrumpir la armonía de los números.
Daisy se despidió de ellas y les deseó buena suerte. Tanto Enriqueta como Nana estaban aprehensivas porque imaginaban que tendrían que subir muchas escaleras pero todo les parecía tan
novedoso que no les importó. Para su sorpresa, las escaleras eran elásticas y con cada paso
revotaban hasta el escalón siguiente: subir las escaleras en el país de las matemáticas no era tan
trabajoso como en sus casas.
La señorita Propiedades las llevó al primer piso. En la entrada un cartel con letras doradas decía: ¨"
-Como verán, aquí tenemos a las unidades tanto del sistema arábigo (que es el nuestro) como
las de otros sistemas. En cada caja se registran por orden. Además siguen ciertas reglas por eso
cada uno entra a una oficina diferente.
Al lado de la entrada había un listado que enumeraba, es decir, definía qué era un número natural
por si alguna unidad se equivocaba de piso; era una especie de cartel de advertencia para que
no perdieran tiempo.
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1- Número natural es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama
cardinal de dicho conjunto.
2- Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos
ellos se designa por N: N = {1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
3- El cero se excluye del conjunto de los números naturales, pero en ocasiones se pueden hacer excepciones, depende del que clasifica. Si usted es un cero, averigüe antes
de entrar.
4- Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues
sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º
(decimosexto),…
5- Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación.
Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un
número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.
6- La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de
dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo
es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el
que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos. O sea, cuidado con
la operación que haga: su resultado tal vez tenga que irse al piso de números enteros.
7- La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos
números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo
no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales,
en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división
entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además
de un cociente se obtiene un resto. Lo mismo ocurre en este caso: puede que sea
un número natural pero si pasa por una división tal vez el resultado (usted, después
del proceso) tenga que retirarse al piso de los números racionales.
Podían verse algunos números confundidos y cabizbajos esperar nuevamente el ascensor para ir
al piso que les correspondía una vez que leían la advertencia. De pronto, vieron que dos números estaban discutiendo acaloradamente, la señorita Propiedades se disculpó.
-Espérenme un minuto chicas, voy a solucionar este tema; a veces ocurre que algunos no
se ponen de acuerdo con el grupo de operaciones con las que tienen que colaborar y
debo intervenir.
A continuación vieron como ella iba hacia el tumulto como una exhalación. Esperaron un rato
y, cuando las cosas estuvieron calmadas, regresó.
-Siempre tengo que poner algo de orden en cada piso que voy. Verán, los números deciden en
qué grupo de operaciones trabajará: en ese caso, una vez elegido el puesto, están sujetos a diferentes propiedades para operar (son como leyes para resolver los problemas).
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Ocurre que a veces, una vez que eligieron las operaciones, se dan cuenta de que hay propiedades
a las que tienen que responder: son una especie de coordinadores de grupos. Algunos no se
llevan bien con determinadas propiedades y entonces se ponen muy nerviosos…
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Nana comenzó a sentirse incómoda: a ella se le hacía difícil a veces saber qué propiedades aplicar en cada caso. La señorita Propiedades decidió ahondar en el tema y la llevó a recorrer las
diferentes oficinas; cada una de las oficinas tenía un nombre en la entrada. En total había cuatro
oficinas: suma-adición, resta-sustracción, multiplicación y división. Dentro de esas oficinas los
números esperaban pacientemente que los atendiera la coordinadora de uno de los grandes
escritorios; en ellos se leía un cartel en el que estaba el nombre de cada coordinador: Asociativa,
Conmutativa, Distributiva y Elemento Neutro.
Mientras visitaban cada oficina la señorita Propiedades le fue explicando:
-La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa y elemento neutro. La operación se puede realizar de diferentes maneras, es decir, la señorita
Asociativa agrupa a los números como mejor le parece para operar: observen cómo diagramó en esa pizarra del fondo algunos números naturales para que trabajen juntos. Le
gusta dar muchas opciones.
Las chicas vieron cómo la señorita Asociativa había explicado las alternativas de cada número
natural y por qué, si lo hacían, no alteraba el resultado.
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a + b) + c = a + (b + c)
Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 o 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)
-Como verán, en el escritorio de la señorita conmutativa, no existen filas: a ella le da lo mismo
el orden en que se sumen los números naturales mientras lo hagan. Fíjense si no en su pizarra:
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a+b=b+a
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que:
7+4=4+7
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-Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas
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sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden.
Llegaron entonces a un rincón en donde la señorita Propiedades miró al número con reproche:
era el cero y estaba echándose una siestecita.
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-El único vago en esta oficina es el cero, que fue asignado como elemento neutro… deja que
todos los números naturales sigan como están y no les suma nada ¡Incluso puso un cartel para
que nadie lo moleste!
Las chicas vieron el cartel de advertencia justo encima del cero que roncaba con todas las ganas:
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea el número natural
a, se cumple que: a + 0 = a
Abandonaron enseguida la oficina de la Adición-Suma y entraron en la de Multiplicación. La
señorita Propiedades siguió explicando:
-La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, conmutativa, distributiva del producto respecto de la suma y elemento neutro.
En esta oficina de multiplicación la señorita Asociativa también tenía mucho trabajo y una organización envidiable. En la pizarra que tenía detrás, explicaba su forma de trabajar:
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
(a · b) · c = a · (b · c)
Por ejemplo:
(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 30 y 3 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30
Los resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
También aquí, a la señorita Conmutativa le daba igual el orden de los números naturales para
multiplicarse:
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a·b=b·a
Por ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 = 40
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En esta ocasión, conocieron a la señorita Distributiva pero sólo asociada
a la suma.
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Tom
Propiedades les explicó que sólo se llevaba bien con la suma para trabajar en equipo. En una
enorme pizarra detrás lo explicaba.
Cuando los números naturales multiplican, sólo aplicaremos la propiedad Distributiva respecto
de la suma:
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si a, b, c son números naturales se cumple que:
a · (b + c) = a · b + a · c
Por ejemplo: 5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 55 y 5 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55
Los resultados coinciden, es decir,
5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8
En esta oficina, le había asignado el papel de Elemento neutro al uno y, como su compañero el
cero en el caso de la suma, estaba echándose una regia siesta; también con el cartel correspondiente para que no lo molesten.
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a,
se cumple que: a · 1 = a
Las oficinas que visitaron después eran un poco más pequeñas. La señorita Propiedades les
explicó que era porque algunas propiedades no se cumplían en determinadas operaciones.
Nana quiso saber cómo era eso. Para que pudiera entenderlo, le dijo:
-Igual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación de contar. Si tenemos 6
ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuántas ovejas tenemos? Una forma de hacerlo sería volver a
contar todas las ovejas, pero alguien que hubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el
resultado y no necesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4. Los términos de la resta
se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) y sustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).
En la entrada, había un cartel de advertencia en color rojo:
La resta no tiene la propiedad conmutativa
(no es lo mismo a - b que b - a). Por favor, si
es un número natural y está incluido en un
proceso de resta, recuérdelo y no moleste
tratando de formar parte de la propie"
dad conmutativa.
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Pasaron luego a la última oficina, la de la división, allí la señorita Propiedad les dijo:
-La división es la operación que tenemos que hacer para repartir un número de cosas entre
un número de personas. Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas),
divisor (el número de personas), cociente (el numero que le corresponde
a cada
Tomo persona) y
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resto (lo que sobra).
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Si el resto es cero la división se llama exacta y, en caso contrario, inexacta.
Al igual que en la oficina de la resta, en la entrada había un cartel de advertencia antes de ingresar.
Si es un número natural y está incluido en la operación de división, no tiene la propiedad conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a. NO INSISTA.
A continuación la señorita Propiedades les dijo a Nana y Enriqueta que las dejaría en la guardería del piso con los números pequeños para que puedan tomar un refrigerio mientras ella
atendía algunas cosas. También les sugirió que la maestra necesitaba un poquito de ayuda para
que los números se reconozcan por lo que les
pidió, mientras ella regresaba, que ayudaran a los
pequeños a reconocerse.
-¿Las
ayudamos?
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Actividades
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Actividad
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Reconozcamos los números del 1 al 5. Unamos con flechas:
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Actividad
Reconozcamos los números del 6 al 0. Unamos con flechas.
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Actividad
Coloreo el dibujo con los colores que corresponden a los números.
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Actividad
Contemos hasta el 5.
Cuenta cúantas frutas hay y escribe el número sobre la línea.
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Siguiendo a los “Otros”
Tomo 1
Después de un tiempo, Nana y Enriqueta se aburrieron de repetir números y les vino una curiosidad repentina por saber cómo era el piso de los “OTROS” (los otros sistemas de numeración).
Vieron que la señorita Propiedades estaba todavía muy entretenida con los números naturales
y salieron al pasillo para subir las escaleras. En el pasillo había un mapa en el que se detallaba la
disposición de los pisos: en el último estaban los Otros.
Las chicas subieron tan rápido esas “escaleras elásticas” que parecían volar: tenían mucha curiosidad por ver cómo es que se organizaban esas unidades desconocidas; Nana ni siquiera había
escuchado hablar de algunos sistemas que habían mencionado. Ella apenas había podido aprender el sistema decimal y posicional que siempre usaba. Estaba pensando en ello cuando un gran
cartel de advertencia en la entrada le interrumpió el paso; el cartel se paseaba de un lado para
el otro así todos podían leerlo.
“Si usted pertenece al sistema decimal, éste no es el piso que
le corresponde. Recuerde que pertenece al sistema decimal
porque utiliza diez símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
para representar al resto de los números. Además, puede formar números con esos mismos símbolos, por ejemplo, trece
con el uno (1)
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Tomo 1
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tres
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Tomo 3
y con el tres (3) escribiéndolos de la siguiente manera:
uno
1
uno
1
3
13
13
trece
trece
tres
O el cincuenta y cinco con dos cinco (5).
cinco
5
cinco
5
5
55
cinco
5
cinco
55
cincuenta y cinco
cincuenta y cinco
Además, si es decimal, seguro que también es posicional porque el valor de cada símbolo
depende de la posición que ocupa (no es lo mismo el 12 que el 21, si bien usa los símbolos 1 y 2).
No insista, aquí no es su lugar,
hágase un test vocacional para
ver a qué números pertenece
específicamente pero ¡aquí no
aceptamos números del sist
- ema
decimal que necesiten orientación!”
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
LAS LETRAS QUE SON NÚMEROS: LOS NÚMEROS ROMANOS
Enriqueta y Nana observaron que las cosas en aquel piso estaban dispuestas
otra
mo 2manera;
Tomo 1 de To
Tomo 3 no
por operaciones sino por los mismos sistemas de numeración. Todos los números debían ir a
la oficina correspondiente según su clasificación. Como salido de la nada, un personaje extraño
vestido a la usanza romana y coronado de laureles salió de una oficina con un pergamino, vociferando a los cuatro vientos:
-Prontus la oficinus cerrará su puertus para una reunión de emergencia. Las letras que no hayan
confundidus este pisus con el pisus de símbolus, por favor, síganme. ¡A la oficina de Números
Romanos prontus! Sé que es confusus ser una letra y funcionar como númerus pero númerus
son. ¡Prontus, prontus!
Las chicas los siguieron junto a muchas letras confundidas que parecía que les habían dado un
golpe en la cabeza: no sabían para qué lado enfilar y, a duras penas, siguieron al extraño personaje. En esa oficina pudieron enterarse del funcionamiento de los Números Romanos. Todas las
letras estaban sentadas en la oficina mientras otro personaje que parecía ser el jefe del primero
–quien estaba a su lado sentado y en silencio – se presentaba y explicaba las reglas.
-Buenas tardes tengas todos, mi nombre es Augusto y voy a explicarles el funcionamiento aquí
y cómo pasaron de ser letras a números.
Se escuchó un murmullo entre las letras y el ayudante de Augusto pidió silencio: las chicas estaban en un rincón escuchando todo. Continuó la explicación.
-Como habrán comenzado a entender, el sistema de numeración romano no es posicional
porque el valor de cada símbolo es el mismo sin importar la posición donde se encuentre. En
ese sentido, no va a haber diferencias con respecto a ser letras: siempre van a tener el mismo
valor vayan donde vayan. Además, pasan a ser símbolos de este sistema y, como verán, son todas
MAYÚSCULAS y cada letra tiene un valor asignado.Tampoco todas las letras mayúsculas fueron
seleccionadas para número romano. A continuación voy a leer la lista de las letras que pertenecen al sistema. El resto, por favor, se retira porque se confundió de piso.
A medida de que iba leyendo la lista las letras aparecían en una pizarra electrónica colocada en
la pared: junto con la letra estaba su equivalencia numérica.
1
I
5
10
50
100
500
1000
V
X
L
C
D
M
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Tomo 2
Tomo 3
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Tomo 2
Tomo 3
Al rato vieron retirarse cabizbajas a una N y una i minúscula que se había estirado para pare-
%
cer una mayúscula: no pudo engañar a nadie porque no había conseguido quitarse el punto
de encima.
Augusto sacó otro pliego y les explicó que ahora que serían números, ya
no dependían
de las
Tom
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Tomo 3
reglas gramaticales pero sí tenían que seguir determinadas reglas porque no se era un número
romano así nomás. Con toda la solemnidad de la que era capaz, continuó.
-Para escribir un número con los símbolos romanos, debemos seguir algunas reglas:
• Los símbolos I, X, C y M no pueden escribirse más
de tres veces consecutivas en un mismo número.
• Un símbolo de menor valor ubicado a la derecha
de otro de mayor valor, se suma. Por ej. II=2 y V=5,
entonces VII=7.
• Un símbolo de menor valor ubicado a la izquierda de otro de mayor
valor, se resta. Por ej. I=1 y X=10, entonces IX=9.
• Los símbolos V, L y D solamente se permite escribirlos una sola vez
en cada número y no se pueden escribir a la izquierda de otro de
mayor valor.
• El símbolo I solamente puede colocarse a la izquierda de V o X, el X
sólo a la izquierda de L o C, y el C únicamente a la izquierda de D o M.
• Cuando el número supera el valor 3999, se resuelve trazando una
línea horizontal sobre el símbolo la cual multiplica su valor por mil, por
ejemplo: 5000 = V, 4000 = IV, 7500 = VIID, etc.
• Si se colocan dos rayas horizontales sobre un símbolo, su valor se multiplica por un millón.
La mayoría estuvo de acuerdo e iban firmando un papel que les había acercado el ayudante de
Augusto pero quedaban unos cuantos todavía a quienes se les veía la cara de confundidos.
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Tomo 3
-Bueno, caramba, si no es tan difícil… Veamos algunos ejemplos. –Augusto iba dibujando los
ejemplos en el aire y éstos se quedaban suspendidos como si estuvieran hechos de luz. Las
chicas quedaron boquiabiertas.
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XV= 15
III=3
CMXCV=995
XLV=45
CDXLIX=449
VIV=6005
MÁS ALLÁ DE LAS PIRÁMIDES: LOS NÚMEROS EGIPCIOS
Se escuchó un “aaaahhhhh…..” de las letras confundidas que quedaban. De pronto, una señorita
que parecía Cleopatra entró abruptamente, furiosa; tomó de la oreja a un símbolo que parecía
una I pero que mirándolo detenidamente era un poquito más llenito, no estaba tan derechito
y terminaba de manera irregular. Mientras lo arrastraba a la salida de la oficina iba protestando.
-¡Lo que me faltaba! ¡Encima de organizar el sistema de numeración egipcio ese, tengo que hacer
de niñera de unos símbolos disconformes!
Su voz se perdió por el pasillo. Nana y Enriqueta no pudieron más de la curiosidad y salieron corriendo detrás de esa señorita; total, ya sabían todo lo que había que saber sobre
números romanos…
Los vieron meterse a una oficina que tenía unos jeroglíficos tallados en la puerta: alcanzaron a
ver algunos símbolos de los más extraños. Esos sí que seguramente no andarían con crisis de
identidad como les pasaba a las letras devenidas en números. ¡Eso parecía un zoológico!
Observaron un enorme friso que estaba colocado en la pared principal con las equivalencias
para que cada símbolo conociera su lugar.
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Tomo 3
Todos los que estaban en ese lugar tenían algo dorado en sus atuendos. La señorita que había
arrastrado al uno a esa oficina –ahora podían saberlo porque habían visto la tabla de equivalencias – carraspeó un par de veces y leyó un papiro que desplegaba en ese momento.
Tomo 1
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Tomo 3
-Escuchen atentamente. Las reglas aquí son más simples pero también más estrictas y no
deben olvidarlas.
El silencio se hizo en la oficina. La señorita observó detenidamente a cada uno hasta que ni
siquiera se escuchaba un suspiro.
-Los símbolos se podrán repetir hasta 9 veces. Además, se pueden escribir tanto de derecha a
izquierda como de izquierda a derecha. Observen este ejemplo. Dio vuelta el papiro y les mostró un boceto.
Una vez que vio que todos lo habían observado y entendido, continuó.
-Este sistema no es posicional y los distintos números se van formando con la repetición de los
símbolos. Es un procedimiento aditivo, esto quiere decir que… Volvió a dar vuelta el papiro y
explicaba mientras lo mostraba
Si
=1
entonces
3=
y el 4 =
-Y así llegar hasta 10 (diez), que es la herradura invertida
=10, recién ahí cambiamos
de símbolo:
-Por ejemplo, si queremos representar el 24 =
ó el 2312 =
La señorita vio algunas caras confundidas aún y trajo un cuadro que puso frente a ella para hacer
una comparación entre tres sistemas decimales. Mientras le mostraba los ejemplos les explicaba.
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Sistema
Decimal
Sistema
Romano
523
DLXXIII
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Tomo 1
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Sistema Egipcio
Tomo 1
5321
VCCCXXI
2150205
CLCCV
En un rincón algunos símbolos estaban dando un
examen: tenían que unir con flechas los números que representaban una misma cantidad…
Enriqueta los vio tan nerviosos que le dieron
¿Los ayudamos
nosotros?
ganas de ayudarlos…
¡Unamos con flechas los números que son iguales!
DCXXVII
LXXXV
MCCI
CLII
CCLXIV
-¿Qué número
son en el sistema
decimal?
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1 y <).
Indicar que número es mayor, utilizando los símbolos de mayor y menor
Tomo (>
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%
MCCV
253
LXVII
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70
DXLII
Respuestas
DCXXVII
LXXXV
MCCI
CLII
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<
253
>
LXVII
<
DXLII
<
MCCV
70
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Nana y Enriqueta estaban de lo más entretenidas hasta que sintieron que alguien les retorcía las
orejas llevándolas hasta el centro de todas las oficinas. Ya estaban por protestar furiosamente
cuando vieron de quién se trataba… ¡era la señorita Propiedades y estaba furiosa!
-¡A ustedes les parece! ¡Estaba buscándolas por todas partes! Quedaron bajo mi responsabilidad señoritas… lo que hicieron estuvo muy mal… ¡irse sin avisar!
Tomo 1
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Las dos miraban atentamente el suelo, profundamente avergonzadas pero, a la vez, con ganas de
seguir explorando ese lugar. La señorita Propiedades puso los ojos en blanco y suspiró.
-Bueno… está bien. Si querían venir a conocer este lugar me hubieran dicho y comenzábamos
por aquí. Déjenme organizar un poco las ideas para que vean cómo terminamos adoptando el
sistema decimal…
Las chicas se sentaron en el piso para escucharla con mucha atención; algunos confundidos
que estaban dando vueltas por ese piso también lo hicieron buscando, quizá, que el relato de
la señorita Propiedades les sacara un poco la confusión y supieran, finalmente, hacia dónde ir.
Cuando ella vio todos los que tenía reunidos alrededor para escucharla, carraspeó un poquito
y, dándose aires de importancia, comenzó la explicación:
-Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, nudos en una cuerda, piedritas,
entre muchas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad
crecía se hizo necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a
la misma solución, cuando se alcanza un determinado número
se hace una marca distinta que los representa a todos ellos.
Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta
que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior
y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza
un número determinado (que puede ser diferente del anterior
constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo
orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer
orden y así sucesivamente. En el sistema decimal sería unidad,
decena, centena… etc. ¿se va entendiendo?
Todos asintieron rápidamente.
-La base que más se ha utilizado a lo largo de la Historia es 10
según todas las apariencias por ser ese el número de dedos con
los que contamos. Hay alguna excepción notable como es la numeración babilónica que usaba 10 y 60 como bases y la numeración maya
que usaba 20 y 5.
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Tompero
o2
Casi todos los sistemas utilizados representan con exactitud los números
enteros,
muchos
o3
Tomo 1
Tom
de ellos no son capaces de representar grandes cantidades, y otros requieren tal cantidad de
símbolos que los hace poco prácticos. Pero, sobre todo, no permiten en general efectuar operaciones como la multiplicación y requieren procedimientos muy complicados. El sistema decimal
actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. El gran mérito fue la
Tomque
introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema
o 2 sólo
3
Tomo 1 en el
Tomodiez
símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de
efectuar las operaciones.
Algunos números se retiraron silenciosamente porque habían comprendido que estaban en el
piso equivocado.
La señorita Propiedades se ajustó los lentes y continuó:
-Ya estuvieron viendo lo que es un sistema aditivo cuando les explicaron el sistema jeroglífico egipcio. De alguna forma todas las unidades están físicamente presentes. Los sistemas
aditivos son aquellos que acumulan los símbolos que sean necesarios hasta completar el
número; se pueden poner los símbolos en cualquier orden, aunque se prefiera una determinada disposición.
Además de la egipcia, se clasifican en sistemas aditivos la numeración sumeria (de base 60),
hitita, cretense, azteca (de base 20), romana y las alfabéticas de los griegos, armenios, judíos y
árabes. Pero para no monopolizar la charla, les voy a presentar a alguien quien les va a explicar
el sistema griego de numeración.
A LA VUELTA, EL PARTENÓN: LOS NÚMEROS GRIEGOS
Vieron entrar a un señor con una toga como los antiguos filósofos griegos, parecía algo distraído
pero se presentó y comenzó su disertación.
-El primer sistema de numeración griego se desarrolló hacia el 600 A.C. Era un sistema de base
decimal que usaba determinadas figuras para representar cantidades; se utilizaban tantas de ellas
como fuera necesario. Para representar la unidad y los números hasta el 4 se usaban trazos
verticales. Para el 5, 10 y 100 las letras correspondientes a la inicial de la palabra cinco (pente),
diez (deka) y mil (khiloi). Por este motivo se llama a este sistema acrofónico.
Se retiró al pasillo y vino con una gran pizarra en donde estaban las equivalencias que había
comenzado a explicar:
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1
5
10
50
100
3000 + 500 + 200
1
5
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500
1000
+ 30
+5
500
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2
Tomo 3
5000Tomo 10000
Tomo 1
+
2 = 3737
5000
10000
-¿Ven? Los símbolos de 50, 500 y 5000 se obtienen añadiendo el signo de 10, 100 y 1000 al de
5, usando un principio multiplicativo. Progresivamente, este sistema ático fue reemplazado por
el jónico, que empleaba las 24 letras del alfabeto griego junto con algunos otros símbolos. De
1
10
100
esta forma los números parecen palabras, ya que están compuestos por letras y a su vez, las
palabras tienen un2
valor numérico, basta sumar
20 las cifras que corresponden
200 a las letras que las
componen. Esto hizo aparecer una nueva disciplina que estudiaba la relación entre los números
3000
+ algunas
+ 200
30
+5
+
3737
3500sociedades
300 2un =
y las
palabras. En
como 30
la+
judía
y la árabe,
que utilizaban
sistema
similar, el
estudio de esta relación ha tenido una gran importancia y ha constituido una disciplina aparte:
4
40
400
5
50
500
6
60
600
la cábala, que persigue fines místicos y adivinatorios.
1
10
100
20
200
3 9
30
90
300
900
4
40
400
5
50
500
6
60
600
7
70
700
8
80
800
9
90
900
2
7
8
70
80
700
800
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Tomo 2
1
La señorita Propiedades despidió amablemente al señor y siguió con To
sumoexplicación:
Tomo 3
Tomo 1
%
-Tenemos, además, aquellos que son conocidos como sistemas híbridos. En estos sistemas se
combina el principio aditivo con el multiplicativo. Si para representar 500 los sistemas aditivos
recurren a cinco representaciones de 100, los híbridos utilizan la combinación del 5 y el 100.
Pero siguen acumulando estas combinaciones de signos para los números
mo 2
Tomo 1 másTocomplejos.
Tomo 3Por
lo tanto sigue siendo innecesario un símbolo para el 0. Para representar el 703 se usa la combinación del 7 y el 100 seguida del 3.
El orden en la escritura de las cifras es esencial para evitar confusiones, se dan así los pasos
para llegar al sistema posicional, ya que si los signos del 10, 100 etc. se repiten siempre en los
mismos lugares, pronto alguien piensa en suprimirlos, dándolos por supuestos y se escriben sólo
las cifras correspondientes a las decenas, centenas etc. Pero para ello es necesario un cero, algo
que indique que algún orden de magnitud está vacío y no se confundan el 307 con 370, 3070...
Además del chino clásico han sido sistemas de este tipo el asirio, arameo, etíope y algunos del
subcontinente indio cómo el tamil, el malayalam y el cingalés.
ADEMÁS DE LA MURALLA: LOS NÚMEROS CHINOS
Repentinamente, apareció un pequeño chino vestido totalmente al estilo oriental antiguo; llevaba una larga trenza y un sobrerito haciendo juego con su traje. Traía unos pergaminos y los
mostró mientras explicaba:
-La forma clásica de escritura de los números en China se empezó a usar desde el 1500 A.C.
aproximadamente. Es un sistema decimal estricto que usa las unidades y los distintas potencias
de 10. Utiliza los ideogramas de la figura y usa la combinación de los números hasta el diez con
la decena, centena, millar y decena de millar para, según el principio multiplicativo, representar 50,
700 ó 3000. El orden de escritura es fundamental, ya que 5 10 7 igual podría representar 57 que 75.
1
5
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2
6
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1000
3
7
10
10000
4
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3
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100
10
4
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Sacó otro pergamino y continuó:
-Tradicionalmente se ha escrito de arriba abajo aunque también se hace de izquierda a derecha.
No es necesario un símbolo para el cero siempre y cuando se pongan todos los ideogramas,
pero aún así, a veces se suprimían los correspondientes a las potencias
de 10.
Tomo 1
Tomo 2
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5x1000 + 7x100 + 8x10 + 9 = 5789
-Aparte de esta forma, se usaron otras; en los documentos importantes, una grafía más complicada para evitar falsificaciones y errores. En los sellos los escritos eran más estilizados y lineales;
se usaban hasta dos grafías diferentes en usos domésticos y comerciales, aparte de las variantes
regionales. Los eruditos chinos desarrollaron un sistema posicional muy parecido al actual desde
que incorporaron el cero por influencia india en s.VIII.
Cuando terminó de decir esto último, hizo una gran referencia y se fue rápidamente con los
rollos de pergamino que había llevado.
La señorita Propiedades continuó:
-Mucho más efectivos que estos sistemas son los posicionales. En ellos la posición de una cifra
nos dice si son decenas, centenas... o, en general, la potencia de la base correspondiente. Sólo
tres culturas, además de la India, lograrían desarrollar un sistema de este tipo: babilonios, chinos
y mayas. Los sistemas babilónico y maya no disponían de símbolos particulares para los dígitos,
usando para representarlos una acumulación del signo de la unidad y la decena. El hecho de que
sus bases fuesen 60 y 20 respectivamente no hubiese representado en principio ningún obstáculo. Los mayas, después de las veintenas no usaban 20x20=400 sino 20x18=360.
Tomó aire y puso un tono sigiloso, como contando un secreto:
-Fueron los indios antes del siglo VII los que idearon el sistema tal y como hoy lo conocemos, sin
más que un cambio en la forma en la que escribimos los nueve dígitos y el cero.
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Aunque con frecuencia nos referimos a nuestro sistema de numeración cómo árabe, las pruebas
arqueológicas y documentales demuestran que la India utilizó el cero mucho antes. Los árabes
transmitieron esta forma de representar los números y sobre todo el cálculo asociado a ellas,
aunque tardarían siglos en ser usadas y aceptadas. Sin esta forma eficaz de numerar y efectuar
cálculos difícilmente la ciencia hubiese podido avanzar.
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
¿Y MEDIO ORIENTE? LOS NÚMEROS BABILONIOS
Mientras decía esto cuatro pequeños personajes interrumpieron el diálogo discutiendo en un
lenguaje extraño; uno de ellos los miraba con impaciencia y de un empujón los retiró de escena.
-Disculpe señorita propiedades, los babilonios, es decir, los persas, acadios, asirios y amorreos
–aclaró dirigiéndose a todos – nunca nos pusimos de acuerdo en muchas cosas, ni siquiera en el
idioma. Eso sí, en el único punto en que estuvimos de acuerdo es con los números, pero después
de mucho tiempo...
El personaje tomó la palabra a partir de allí: era un hombrecito que vestía un atuendo que
parecía una falda, iba descalzo usaba un turbante, casi demasiado grande para él. Continuó con
su presentación:
-Entre las muchas civilizaciones de la antigua Mesopotamia se desarrollaron distintos sistemas
de numeración.Antes de Cristo se inventó un sistema de base 10, aditivo hasta el 60 y posicional
para números superiores.
Sacó una tablilla que tenía casi su tamaño y en la que había diagramas de lo que iba explicando.
11
2
2
33
44
55
9 9
-Para la unidad se usaba la marca vertical que se hacía con el punzón en forma de cuña. Se ponían
tantos como fuera preciso hasta llegar a 10, que tenía su propio signo.
10
10
20
20
30
30
36
36
40
40
59
59
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1
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4
5
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9
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Tomo 2
o3
Tomo 1 hasta
-De este se usaban los que fuera necesario completando con las unidades
llegar Tom
a 60.
10
20
30
36
40
59
-A partir de ahí se usaba un sistema posicional en el que los grupos de signos iban representando sucesivamente el número de unidades, 60, 60x60, 60x60x60 y así sucesivamente como en
estos ejemplos que les estoy mostrando.
1x60 + 2x10 + 3 = 83
12x60 + 3x10 + 5 = 755
32x3600 + 21x60 + 43 = 116503
Ni bien terminó de señalar cada ejemplo, se metió los dedos en la boca y emitió un potente
silbido. Por la ventana entró una hermosa alfombra persa que se posó en el suelo. Sus otros
compañeros que habían estado escuchando se subieron a ella llevándose la tablilla de la exposición; el expositor subió con ellos y mientras saludaban, la alfombra se elevó, atravesó la ventana
y la vieron alejarse hasta desaparecer.
AMÉRICA NO SÓLO PRODUJO CACAO,
TAMBIÉN LOS NÚMEROS MAYAS
Estaban todos todavía con la boca abierta cuando apareció repentinamente un hombrecito
de piel morena. Vestía una especie de taparrabos y tenía plumas multicolores en la cabeza. Le
entregó una nota a la señorita Propiedades.
-Bueno, nuestro visitante nos agradece el interés y me pide que por favor les explique su sistema
de numeración. – Le entregó la nota y le sonrió – muchas gracias señor, eso iba a hacer: explicar
la numeración maya.
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%
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
La señorita se ajustó los lentes y continuó:
-Los mayas idearon un sistema de base 20 con el 5 cómo base auxiliar. La unidad se representaba
mo 1
Tomo
3
2
To
Tomo
por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos servían para 2, 3 y 4. El 5 era
una raya horizontal,
a la
que se añadían los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas,
y de la misma forma se continúa hasta el 20, con cuatro rayas.
El hombrecito sacó de entre sus plumas un listón que creció y se convirtió en un enorme cartel.
La señorita Propiedades abrió mucho los ojos pero continuó.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
-Hasta aquí parece ser un sistema de base 5 aditivo, pero en realidad, considerados cada uno
Numeración comercial
un solo signo, estos símbolos constituyen las cifras de un sistema de base 20, en el que hay que
multiplicar el valor de cada cifra por 1, 20, 20x20, 20x20x20 ... según el lugar que ocupe, y sumar
el resultado. Es por tanto un sistema posicional que se escribe de a arriba abajo, empezando por
el orden de magnitud mayor.
El maya se sacó
una pluma de
la cabeza y 61
ésta se transformó
cartel para la401
explicación 800
20
21
41
122en otro400
de la expositora.
21 = 1x20www.elbibliote.com
+1
122 = 6x20 + 2
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0
16
1
17
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4
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5
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21
6
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21 = 1x20 +10
1
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8
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400
401
8000
11 122
12= 6x20
13 +14
2
41 = 2x20 + 1
401 = 1x202 + 0x20 + 1
61 = 3x20 + 1
8000 = 1x203 + 0x202 + 0x20 + 0
15
16
17
18
19
-Al tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para
elNumeración
cero con el queastronómica
indicar la ausencia de unidades de algún orden, se hizo imprescindible, y los
mayas lo usaron; aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Como los
Numeración comercial
babilonios, lo usaron simplemente para indicar la ausencia de otro número.
La señorita Propiedades entonces puso otra vez cara de contar una cosa muy importante y
20susurró:
casi
20
21
41
61
122
360
361
7200
21
41
61
122
400
401
8000
-Pero los científicos mayas eran a la vez sacerdotes ocupados en la observación astronómica y
361 = 1x(18x20) + 1 = 1x360 + 141 = 2x20 + 1
para expresar los números correspondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden
21 = 1x20
+1
122
= 6x20
+2
irregulares
para la base
20. Así la cifra
que ocupaba
el tercer
lugar desde abajo se multiplicaba
por 20x18=360 para completar una cifra muy próxima 2
a la duración de un año.
41 = 2x20 + 1 2 401 = 1x20 + 0x20 + 1
7200 = 1x(18x20 ) + 0x(18x20) + 0
Esta vez, el maya se sacó una de sus joyas y ésta flotó en3 el techo como
2 si fuera una alfombra.
61 = 3x20 + 1
8000 = 1x20 + 0x20 + 0x20 + 0
7200
= 1x7200
+ y0x360
+ 0x20
+ escrito
0
Todos
miraron
hacia el techo
pudieron ver
lo que tenía
debajo.
Numeración astronómica
20
21
41
61
122
360
361
7200
361 = 1x(18x20) + 1 = 1x360 + 141 = 2x20 + 1
7200 = 1x(18x202) + 0x(18x20) + 0
7200 = 1x7200 + 0x360 + 0x20 + 0
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La señorita propiedades continuó:
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
-Al año lo consideraban dividido en 18 uinal, cada uno
constaba de 20 días. Se añadían algunos días festivos
(uayeb) y de esta forma
se conseguía que durara
justo lo que una de las unidades de tercer orden del
sistema numérico. Además
de éste calendario solar, usaron otro de carácter religioso en
el que el año se divide en 20 ciclos
de 13 días: el sagrado Tzolkin.
El maya asintió satisfecho
y
sacó
de
entre sus pertenencias
un
hermoso maíz
y se lo ofreció
a la señorita
Propiedades; de una
bolsita de cuero a un costado
tomó un puñado de granos secos de maíz
y los arrojó a quienes escuchaban. Todos
vieron cómo iba desdibujándose
lentamente hasta desaparecer
por completo.
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
El Taller de los Quebrados:
Los Números Fraccionarios
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
-Bueno, ahora vamos al taller de los quebrados, es decir, los números naturales; tengo algo que
encargarle a Daisy antes de continuar con el recorrido. Y no quiero que vuelvan a desaparecer
de mi vista sin avisarme ¿Estamos?
Las chicas pusieron cara contrita y la siguieron hasta el taller de quebrados sin decir ni pío.
El lugar era más caótico de lo que habían pensado. Daisy se encontraba con el carrito esperando
su turno para dejar los números quebrados que había encontrado: cabían en el carrito porque
era muy pequeños pero había algunos números que impresionaban por el tamaño. Ahí mismo la
señorita Propiedades les aclaró que el tamaño no tenía nada que ver; y a Nana casi le agarra un
colapso porque comenzaba a tener problemas de entendimiento.
La señorita Propiedades puso los ojos en blanco y las condujo al centro de ese enorme espacio. Allí había una especie de mesa redonda con una abertura en el centro en dónde un pulpo
morado gigantesco iba acomodando piezas para formar un bloque que
parecía ser un quebrado. Había piezas grandes y piezas más
pequeñas: luego de que armaba una especie de bloque
con las piezas, le ponía un chaleco con la designación correspondiente del número fraccionario.
Esos bloques saltaban de la mesa, le daban
la mano (uno de los tentáculos) con grandes muestras de agradecimiento y se iban
por una puerta lateral. Nana cada vez
entendía menos por lo que Propiedades
comenzó a explicar.
-Un número fraccionario representa
una división entre un número y otro, y a
la vez nos indica las partes de un entero
(un número) que se están tomando. Así, por
ejemplo, cuando comemos una pizza y la cortamos en 8 porciones, estamos usando fracciones.
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3/4
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Si el entero es la pizza, significa que una porción es 1/8 (un octavo) del entero.
Un repartidor entró con su moto velozmente y dejó en la mesa circular una pizza grandota
dividida en 8 porciones: el pulpo ni se inmutó y siguió armando fracciones.
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Pasó una fracción con cara de pocos amigos y vieron el chaleco con su nombre en el pecho;
Propiedades aprovechó para utilizar ese detalle en la explicación. Sin vacilar tomó el chaleco de
la fracción y la acercó a las chicas para que la vieran; la cara de sorpresa del dueño del chaleco
era muy chistosa.
-En toda fracción podemos distinguir dos partes un numerador y un denominador separados
por una línea horizontal. Justo como lo que ven ahora.
Numerador
Denominador
Y siguió la explicación sin inmutarse:
-El denominador es un número que indica en cuantas partes se divide la unidad, y el numerador es el número que indica cuantas de esas partes se han de tomar. Como aquí. Esta fracción
se lee dos tercios.
2
Esta fracción se lee: dos tercios
3
Acercó aún más el chaleco a las chicas. La cara de la pobre fracción estaba roja como un tomate
y así estaban comenzando a verse ella porque ya tenían algo de vergüenza a esa altura. Pero la
señorita Propiedades continuó, soltando de pronto a la fracción que se escapó a toda velocidad
de esa loca de remate (mientras se iba, daba vueltas el índice en la sien derecha dando entender
exactamente eso)
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
- También una misma fracción se puede escribir de distintas maneras:
%
2/3 2:3
2%3
2
3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
La señorita Propiedades extendió la mano hacia arriba señalando una especie de holograma que
se iba formando a medida de que hablaba. Los gráficos danzaban y se desplegaban a medida que
avanzaba en la explicación.
-Si queremos representar gráficamente la fracción 3/4, por ejemplo, tenemos que hacer lo
siguiente: Elegimos una figura para representar la unidad (el entero).
Rectángulo
Dividimos la unidad en cuatro partes iguales y pintamos tres partes
3/4
Procediendo de esta forma, podemos representar cualquier fracción.
Vamos a ver ahora como se leen las fracciones y algunos ejemplos:
Numerador
Fracción
¿Cómo se lee?
1
Representación
gráfica
Denominador
Un medio
2
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Tomo 1
Fracción
¿Cómo se lee?
1
Un tercio
3
3
4
2
5
4
6
5
7
o1
Tomo 2
Tomo 3
Tom
o2
Tom
Tomo 3
Representación
gráfica
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tres cuartos
Dos quintos
Cuatro sextos
Cinco séptimos
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Tomo 1
Fracción
3
¿Cómo se lee?
Tres octavos
8
7
o1
Tomo 2
Tomo 3
Tom
o2
Tom
Tomo 3
Representación
gráfica
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Siete novenos
9
1
10
Un décimo
Una vez que el denominador supera
el valor diez, al número le ç
agregamos la terminación avo.
3
11
Tres onceavos
38
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Fracción
¿Cómo se lee?
7
20
5
45
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Representación
gráfica
Siete veinteavos
Cinco cuarenta y tres avos
Si el denominador alcanza el valor
100, se dice centésimo. Si se supera
el valor 100, entonces se vuelve a
completar con la terminación avo.
5
100
15
140
Cinco centésimos
Quince ciento cuarenta avos
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%
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Mientras las chicas escuchaban atentamente la exposición, se acercaron algunas fracciones: una
estaba quitándose una pelusa imaginaria de la ropa y su condición era impecable; otra parecía
que recién se había levantado de la cama de lo desprolija que estaba y la primera estaba vestida
con espejo de colores mientras se daba aires de reina. Propiedades las acercó a las tres: a la primera le puso un letrero pequeño en la solapa que decía PROPIA, a la segunda
le To
dio
letrero
mootro
2
Tomo 1
Tomo 3
y ella se lo colgó en la oreja, decía IMPROPIA, y la última puso cara de indignada cuando la recibió, pero de todos modos se lo colocó en la cabeza junto a la tiara que llevaba: decía APARENTE.
Propiedades comenzó la explicación de esa extraña clasificación.
-Debemos saber que las fracciones se pueden clasificar en propias, impropias y aparentes.
Las fracciones propias son aquellas en donde el numerador es menor que el denominador y la
fracción representa un número menor que el entero.
Ejemplo:
Fracción propia: vemos que el área
sombreada es menor que el área
sombreada del entero. Comproba
mos que la fracción propia es
menor que el entero.
El entero (o unidad)
representado por un
círculo completamente
sombreado.
>
1
1
4
Signo de desigualdad: la boquita
abierta “>” siempre mira al número
que es mayor. De esta manera,
leemos 1 es mayor que 1/4
Este tipo de fracciones se llaman propias.
40
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Las fracciones impropias son aquellas en donde el numerador es mayor que el denominador, en
este caso el número que se representa es mayor que la unidad.
Ejemplo:
Fracción impropia: vemos que el
área sombreada es mayor que el
área sombreada del entero.
Comprobamos que la fracción
impropia es mayor que la unidad,
es decir, necesitamos más de un
entero para representar
la fracción.
El entero (o unidad)
representado por un
círculo completamente
sombreado.
<
1
6
4
Signo de desigualdad: la boquita
abierta “<” siempre mira al número
que es mayor. De esta manera,
leemos 1 es menor que 6/4
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
La señorita Propiedades vio entonces la cara de desconcierto de Nana y, poniendo los ojos en
blanco, decidió volver a explicar:
-Vemos ahora otro ejemplo: 5/2 cinco medios.
Tomo 1
Tomo 2
Tomamos la siguiente figura como unidad
Tomo 3
El denominador nos indica en cuantas partes debemos dividir la unidad.
En este caso dividimos en dos partes.
5
2
Pero debemos sombrear 5 partes, es decir, que el entero (unidad) no nos alcanza, entonces
dibujamos otra unidad más y la dividimos en 2 nuevamente.
1 entero
+
1 entero
=
2 enteros
Como todavía no llegamos a sombrear 5 partes, entonces dibujamos otra unidad más y la dividimos en 2. De esta manera llegamos a tener 5 partes para pintar.
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Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
1
1
Finalmente escribimos:
5
2
>
1
2
1
Fracciones aparentes: como ya sabemos las fracciones representan una división entre un
número y otro, precisamente cuando el resultado de esa división da un número entero las fracciones se llaman fracciones aparentes.
Por ejemplo: 4/2 (cuatro medios) es igual a 4:2 (cuatro dividido dos), que es igual a 2 (dos).
Como podemos ver, esta fracción representa un número entero.
Otros ejemplos son:
10
2,
16
4
20
4
Ejemplo:
1 entero
2 enteros
4
2
1 entero
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tom
La señorita Propiedades les pidió a Propia, Impropia y Aparente queTomostraran
elo 2cuadro
mo 1
3
Tomo que
%
habían traído con ellas:
Fracciones Propias
Fracciones Impropias
2
3
6
4
Fracciones Aparentes
Tomo 1
8Tomo 2
2
Tomo 3
El numerador (8) es mayor
El numerador (2) es menor
El numerador (6) es mayor
que el denominador (2), como
que el denominador (3), la
que el denominador (4), la
en las fracciones impropias,
fracción representa un número
fracción representa un número
pero en este caso el número
menor que el entero.
mayor que el entero.
que representa la fracción
es igual a un entero.
En ese momento Nana sintió que le faltaba la respiración: la ubicación en la recta siempre había
sido una de las cosas más difíciles para ella. Enriqueta la miró con compasión, apoyando una
mano en su hombro le dijo:
-No te preocupes Nana, se ve que acá seguro vas a entender, de alguna manera, todo esto.
Ni bien su prima le dijo eso, apareció una especie de perchero parlante de metal que tenía
forma rectangular, dividido en segmentos iguales; se parecía a esos en los que colgaban los trajes
en los rodajes de las películas o en el que llevaban el equipaje los grandes hoteles. La señorita
Propiedades lo tomó de una punta y dijo:
-Aquí tenemos una recta numérica. Cada uno de los ganchos grandes es un entero y tendríamos que “colgar” cada fracción en el ganchito intermedio correspondiente. Veamos en la recta
numérica las tres clases de fracciones que acabamos de ver, el mecanismo es muy sencillo.
Representamos 1/2
Veamos ahora la recta numérica, dividimos la unidad (un entero) en dos partes iguales y marcamos con un punto rojo el valor 1/2 (los ganchitos rojos en el perchero).
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
2
1
-Como vemos, el punto ubicado en la recta es menor al entero (numerador
<Tom
denominador)
o2
Tomo 1
Tomo 3
por lo tanto se trata de una fracción propia. Ahora otro ejemplo con 2/5. Dividimos la unidad
en cinco partes iguales y marcamos con un punto rojo el valor 2/5.
Como vemos el punto ubicado en la recta es menor al entero (numerador < denominador) por
lo tanto se trata de una fracción propia.
• 4/3
A medida de que iba explicando, Propiedades había tomado de las solapas a las fracciones del
ejemplo y las había colgado del ganchito correspondiente, para indignación de ellas, aunque
permanecieron colgadas para no estropear la exposición. Ella continuó:
-Ahora dividimos la unidad en tres partes iguales y marcamos con un punto rojo el valor 4/3.
0
1
4
3
2
3
-Como vemos, el punto ubicado en la recta es mayor al entero (numerador > denominador)
por lo tanto se trata de una fracción impropia. Otro ejemplo: 5/2. Dividimos la unidad en dos
partes iguales y marcamos con un punto rojo el valor 5/2.
0
1
2
5
2
3
-Como vemos el punto ubicado en la recta es mayor al entero (numerador > denominador) por
lo tanto se trata de una fracción impropia.
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%
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
La señorita Propiedades puso cara de concentración:
-Ahora veamos otro tipo de fracción para cerrar el tema: 10/2. Dividimos la unidad en dos
partes iguales y marcamos con un punto rojo el valor 10/2.
Tomo 2
Tomo 1
Tomo 3
1
0
2
3
10
2
4
5
-Como vemos, el punto se ubica en la posición de un entero (en este caso 5) por lo tanto se
trata de una fracción aparente. Otro ejemplo: 20/5. Dividimos la unidad en dos partes iguales
y marcamos con un punto rojo el valor 20/5.
20
5
1
0
3
2
4
5
-Como vemos nuevamente, el punto se ubica en la posición de un entero (en este caso 4) por
lo tanto se trata de una fracción aparente.
Una vez que ubicamos las fracciones en la recta numérica, es sencillo compararlas y determinar
cuál es mayor o cuál es menor. Utilizaremos los signos mayor y menor (> y <).
En este caso, queremos comparar las siguientes fracciones:
a) Comparar 1/2 con 2/5
0
0
1
2
2
5
1
2
3
1
2
3
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
-Como podemos ver, un medio (1/2) está más cercano a uno que dos quintos (2/5), entonces un
medio (1/2) es mayor que dos quintos (2/5).
Expresamos lo anterior de la siguiente manera:
1
2
>
2
5
b) Comparar 4/3 con 5/2
0
1
0
1
4
3
2
3
5
2
2
3
-Como podemos ver, cuatro tercios (4/3) es más grande que uno y cinco medios (5/2) es más
grande que dos, entonces cinco medios (5/2) es mayor que cuatro tercios (4/3).
Luego, indicamos lo anterior de la siguiente manera:
5
2
>
4
3
c) Comparar 10/2 con 20/5
10
2
0
1
2
3
4
5
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Tomo 1
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 2
Tomo 3
20
5
0
1
3
2
4
Tomo 1
5
-Como podemos ver, veinte quintos (20/5) es igual a cuatro y diez medios (10/2) es igual a
cinco, como cinco es mayor que cuatro, entonces veinte quintos (20/5) es menor que diez
medios (10/2).
Indicamos lo anterior de la siguiente forma:
20
5
<
10
2
La señorita Propiedades hizo una pausa a ver si todos los que escuchaban habían entendido (se
había reunido un enorme grupo alrededor de ella) y quedó conforme cuando comprobó que
sí. En eso entraron a escena un grupo numeroso de fracciones que la saludaron efusivamente.
-¡Hola señorita Propiedades! Justo tenemos reunión de fracciones equivalentes, o como nos
decimos cariñosamente: hermanas mellizas.
A Nana no les pareció que esas fracciones eran parecidas; es más, las veía bastante diferentes.
Propiedades se dio cuenta enseguida y le aclaró:
-Las fracciones equivalentes son aquellas que
representan la misma parte de un entero, es decir,
representan el mismo número.
Como seguía viendo la cara de desconcierto, las
-¡Por supuesto
que son mellizas!
¡Son iguales!
fracciones equivalentes trajeron un enorme tablero
para ayudarle a Propiedades a explicar el asunto:
3
4
6
Entero
8
Como podemos ver 3/4
y 6/8 representan la
misma parte del entero,
por lo tanto son
fracciones
equivalentes.
48
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Como las fracciones equivalentes son iguales, entonces escribimos:
3
4
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
6
=
8
-¡Ah…! –exclamó Nana que esta vez había entendido de veras. Aprovechando esta buena fortuna, Propiedades continuó:
-Las fracciones equivalentes se pueden obtener por amplificación o simplificación.
La amplificación consiste en multiplicar el numerador y el denominador por un mismo número
distinto de cero.
X2
2
5
4
=
10
X2
-Multiplicamos el numerador y el denominador por 2 y obtenemos como fracción equivalente 4/10.
A su vez podemos obtener otra fracción equivalente a partir de esta nueva fracción multiplicando nuevamente por dos o por cualquier otro número. Por ejemplo, vamos a obtener otra
fracción equivalente a partir de 4/10, pero ahora multiplicando por 5.
X5
2
5
=
4
10
=
20
50
X5
-Multiplicamos al numerador y al denominador por 5 y obtenemos como fracción equivalente 20/50.
49
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%
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
También podríamos haber multiplicado por otro número a la fracción original y obtener así
otra fracción equivalente. Por ejemplo, si multiplicamos por 3 obtenemos como resultado 6/15.
X3
Tomo 1
2
=
5
Tomo 2
Tomo 3
6
15
X3
-Como vemos tenemos distintas formas de llegar, por amplificación, a las mismas fracciones
equivalentes. Finalmente, podemos escribir las fracciones que obtuvimos de la siguiente manera:
2
5
=
4
10
=
20
50
=
6
15
Aquí vemos a la fracción 2/5 y algunas de sus fracciones equivalentes. Colocamos el signo igual
entre ellas debido a que todas las fracciones representan el mismo valor.
En ese momento las cuatro fracciones correspondientes habían hecho una ronda alrededor de
2/5 y más seguían llegando para jugar: 12/30, 24/60, etc.
Nana por fin había entendido y Enriqueta dio un salto de gusto. Entonces ella aprovechó para
ayudar a la señorita Propiedades y acotó:
-La simplificación consiste en dividir al numerador y al denominador por un mismo número
distinto de cero. Este número debe ser un divisor común entre numerador y denominador.
%2
8
20
=
4
10
%2
50
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
-Dividimos al numerador y al denominador por 2 y obtenemos como fracción equivalente 4/10.
-A su vez podemos obtener otra fracción equivalente a partir de esta nueva fracción, dividiendo
nuevamente por dos o por cualquier otro número. Por ejemplo, vamos a obtener otra fracción
Tomo 1
equivalente a partir de 4/10 dividiendo nuevamente entre 2.
Tomo 2
Tomo 3
%2
4
=
10
2
5
%2
-Dividimos al numerador y al denominador por 2 y obtenemos como fracción equivalente 2/5.
También podríamos haber dividido la fracción inicial entre otro número, por ejemplo, entre cuatro.
%4
8
20
=
2
5
%4
-Como vemos, tenemos distintas formas de llegar a las mismas fracciones equivalentes por
simplificación. Finalmente podemos escribir las fracciones que obtuvimos de la siguiente manera.
8
20
=
4
10
=
2
5
Aquí vemos a la fracción 8/20 y algunas de sus fracciones equivalentes. Colocamos el signo igual
entre ellas debido a que todas las fracciones representan el mismo valor.
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Y en esta ocasión, también se armó otra ronda de equivalentes, pero esta vez, cantaban alrededor de Enriqueta:
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
-“Somos equivalentes,
Parecemos diferentes,
Y lo dicen en la calle,
¡Somos todas iguales!”
4
10
8
2
20
5
Enriqueta siguió por sobre el bochinche:
-Al simplificar una fracción llegará un momento en donde ya no encontraremos ningún divisor en común entre el numerador y el denominador, a este tipo de fracciones las llamamos
fracciones irreducibles. Por ejemplo, 2/5 es una fracción irreducible pues entre 2 y 5 no
existe ningún divisor en común.
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Mochileros:
Los Números Decimales
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Se alejaron del caos del taller y nuevamente tomaron las escaleras. La señorita Propiedades les
explicó que se dirigían al último piso que les tocaba recorrer en el edificio: el campamento de
los números decimales. Enriqueta frunció el ceño y preguntó:
-¿y los números
enteros?¿Y los números
complejos? ¿Y los
racionales?
Enriqueta, no seas impaciente. En este edificio se
clasifican los números más simples. Los números
que mencionás están ubicados en una construcción con tecnología de punta, no muy lejos de aquí. Los números enteros habían comenzado
a tener problemas con los naturales y los complejos con los romanos. Fue una batalla campal.
Enriqueta asintió y se dirigieron a un piso cuya entrada estaba enmarcada con carteles hechos
de madera; a las chicas les recordó la entrada de un camping al que alguna vez habían asistido.
Allí pudieron leer en el cartel central la siguiente leyenda:
“
Un número decimal representa un número que no
es entero, es decir, los números decimales se
utilizan para representar a los números que se
encuentran entre un número entero y otro”.
0
1
0,75
3
2
2,3
4
3,561
5
6
5,2
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Tomo 3
Otro cartel advertía:
Todo número decimal está compuesto por una
Tomo 1
parte entera y una parte decimal, separadas
por una coma “,”.
Por ejemplo:
Parte entera
3,651
Parte decimal
Coma
El último de todos aclaraba:
“Los números decimales son posi"
cionales, es decir que el valor
de cada número depende de la
posición que cada uno ocupe”.
Antes de entrar, terminaron leyendo otra advertencia:
Ya sabe, si usted es un entero o no se bancaría cargar
con un poquito más que su persona, por favor, vaya a
otra parte porque ESTE NO ES SU LUGAR.”
Ni bien entraron vieron que todos los números llevaban una mochila que abrían en un rincón;
a los pocos segundos se vertían en ella algunos números más pequeños que descendían desde
un tubo transparente. Una vez que terminaba de llenarse, la cerraban, la cargaban a su espalda
y aparecía en fluorescente primero el número “mochilero” y detrás de una coma los números
que le habían colocado.
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
La señorita Propiedades explicó que en la mochila se podía leer el número decimal que terminaban componiendo entre el mochilero y los números que cargaban. Miró la cara de desconcierto
de Nana y decidió aclarar un poquito más con la ayuda de una pantalla holográfica que apareció
Tomo 1
de la nada:
Tomo 2
Tomo 3
-Veamos, con el siguiente ejemplo, como se leen los números decimales:
2
Coma
Décima
Centésima
Milésima
8
7
6
3
Diezmillonésima
4
Millonésima
1
Cienmilésima
,
Diezmilésima
2
Entero
2,1428763
De esta forma si la expresión decimal es:
Expresión Decimal
¿ Cómo se lee?
2,1
Dos enteros y un décimo
2,14
Dos enteros y catorce centésimos
2,142
Dos enteros y ciento cuaenta y dos milésimos
2,1428
Dos enteros y mil cuatrocientos"
veintiocho diezmilésimos
2,14287
Dos enteros y catorce mil dosciento"
sochenta y siete cienmilésimos
2,142876
Dos enteros y ciento cuarenta y dos mil
ochocientos setenta y seis millonésimos
2,1428763
Dos enteros y un millón cuatro"
cientos veintiocho mil setecientos
sesenta y tres diezmillonésimos
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Una vez que comprobó que las chicas habían entendido, continuó ahondando en los núme-
%
ros decimales.
-Para comparar números decimales el procedimiento es sencillo. Se comienza de izquierda a
derecha comparando primero la parte entera en el caso de que éstas sean iguales, se prosigue
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
comparando los décimos. Si los décimos de ambos números decimales son iguales, se continúa
comparando los centésimos y así continuamos hasta que encontremos cuál de los dos números
es el mayor.Veamos un ejemplo colocando los símbolos > y <:
a) 23,487 y 2,993
Al comparar ambos números comenzamos, de izquierda a derecha, con los enteros.
Como 23 es más grande que 2, entonces el primer número (23,487) es mayor que
el segundo (2,993) y lo indicamos con >.
23,487 > 2,993
Se lee: Veintitrés enteros y cuatrocientos ochenta y siete milésimos es mayor que dos enteros
y novecientos noventa y tres milésimos.
b) Otro ejemplo 4,25 y 4,251
-Para comparar estas expresiones vamos a completar con ceros el primer número
(4,25 4,250). De esta forma ambos números tienen la misma longitud y es más
sencillo compararlos cifra a cifra. Podemos darnos cuenta de que tanto la parte
entera como los primeros dos números después de la coma (de izquierda a derecha)
son iguales para ambas expresiones decimales, pero el número que ocupa la posición
de los milésimos es distinta. Entonces, como 1 (correspondiente a 4,251) es mayor
que 0 (perteneciente a 4,250), escribimos:
4,250 < 4,251
Se lee: Cuatro enteros y veinticinco centésimos es menor que cuatro enteros y doscientos
cincuenta y un milésimos.
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c) Finalmente comparamos 15,8 y 15,799
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
-Inicialmente vamos a completar con ceros la primera expresión decimal (15,8 15,800).
De esta forma es más fácil comparar ambos números. Comparamos número a número,
de izquierda a derecha, comenzando por la parte entera. En este caso la parte entera para
ambos números es la misma (15) y continuamos entonces conTola
que
a
Tomcorresponde
1
o2
mocifra
Tomo 3
los décimos. Como podemos ver, en la primera expresión el número que ocupa la posición
de los décimos es 8 y en la segunda expresión el número es 7, entonces el primer número
decimal (15,800) es mayor que el segundo (15,799).
15,800 > 15,799
Al comparar estas cifras vemos que 9 es mayor que
0 y podemos pensar, erróneamente, que al tener
la segunda expresión (15,799) números mayores,
entonces ésta expresión es mayor que la primera
(15,800). Esto no es cierto; no olvidemos que los
números decimales son posicionales.
Se lee: Quince enteros y ocho décimos es mayor que quince enteros y setecientos noventa y
nueve milésimos.
Un mochilero pasó con una pancarta para que todos lo vieran:
Al comparar dos números decimales,
debemos asegurarnos que ambos núme"
ros tengan la misma longitud (como hemos
visto en los ejemplos anteriores) colocando
tantos ceros después de la coma como
sean necesarios.
La señorita Propiedades continuó luego de esa aclaración:
-Los números decimales pueden ser finitos, es decir, hay una cantidad de números que podemos
contar, después de la coma.
0,45
2,078
12,4702
3215,022
875,001295
Por ejemplo, el número decimal 12,4702 tiene cuatro números después de la coma, es decir,
tiene cuatro decimales. Los números decimales también los podemos clasificar en infinitos o
periódicos. Esto quiere decir que después de la coma hay una cantidad de números que no
podemos contar, es infinita.
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2,589763125874… 4789,5423333333…
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
14,8888888888…
41,25252525…
Estos números tienen una cantidad de decimales que no podemos contar (los puntos suspensivos “…” indican que la serie de números continúa).
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
-¿Y cómo se puede trabajar con números decimales infinitos o muy largos? Se preguntarán ustedes. Muchas veces, para no trabajar con números tan extensos, como en el caso de los números
decimales infinitos o números con muchos decimales, recurrimos a la aproximación.
Propiedades aclaró este punto:
-Aproximar un número quiere decir que vamos a buscar un número con menos decimales que
el primero, que represente más o menos la misma cantidad.
Para aproximar tenemos dos caminos:
En ese momento apareció un personaje con una gigantesca goma de borrar, en su frente podía
leerse el nombre: Truncamiento.
Propiedades asintió aprobadora y explicó:
-El truncamiento es el camino más sencillo. Si tenemos que aproximar un número a los décimos
simplemente debemos eliminar el número que ocupa el lugar de los centésimos y todos los que
se encuentren a la derecha de éste. Si en cambio debemos aproximar a los centésimos, entonces
eliminamos el número que ocupa el lugar del milésimo y todos los números que se encuentran
a su derecha, y así sucesivamente. Veamos algunos ejemplos:
1. Aproximamos el número 4,273 a los décimos, es decir, al primer lugar después de
la coma.
4,273
-El número que ocupa el lugar del centésimo es el 7, por lo tanto eliminamos este
número y todos los que se encuentran a su derecha, eliminando también el 3.
El resultado de aproximar 4,273 por truncamiento es:
4,2
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Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
2. Aproximamos el número 23,58823 a los centésimos, es decir, al segundo lugar
después de la coma.
23,58823
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
-El número que ocupa el lugar del milésimo es el 8, por lo tanto eliminamos este
número y todos los que se encuentran a su derecha, eliminando también el 2 y el 3.
El resultado de aproximar 23,58823 por truncamiento es:
23,58
Repentinamente apareció una esfera muy simpática con la palabra: Redondeo por todo su cuerpo.
Propiedades ahora aclaró otro punto:
-El segundo camino es el Redondeo: Para redondear un número, procedemos de la siguiente
manera: si tenemos que aproximar un número a los décimos, entonces debemos fijarnos en el
número que ocupa el lugar de los centésimos. Si el número que ocupa el lugar de los centésimos
es menor que 5, entonces se deja el número como está y se eliminan las cifras que ocupan el
lugar de los centésimos, así como todos los números que se encuentran a su derecha.
4 , 43 2874
Décimos
El número que se encuentra en el
lugar de los centésimos es 3 y es un
número menor que 5. Por lo tanto el
número redondeado es: 4,4
Centésimos
-Si en cambio el número que ocupa el lugar de los centésimos es mayor o igual que 5, entonces
a la cifra anterior (es decir a los décimos) le sumamos 1 y luego eliminamos todos los números
que se encuentren a su derecha.
12,68459
Décimos
El número que se encuentra en el
lugar de los centésimos es 8 y es un
número mayor que 5. Por lo tanto el
número redondeado es:12,7
Centésimos
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%
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
Tomo 1
Tomo 2
Tomo 3
De esta misma forma debemos proceder si queremos redondear en cualquier otra posición
decimal, es decir que, si deseamos redondear a los centésimos, por ejemplo, entonces nos debemos fijar en el número que se encuentra en el lugar del milésimo y así sucesivamente.
Tomo 2
Tomo 1
Tomo 3
Veamos otros ejemplos para entender mejor el tema: Redondeamos los siguientes números
al décimo.
Resultado
a) 7,5489
Como 4 es un número menor que 5
b) 542,1756
7,5
Como 7 es un número mayor que 5
542,2
-Redondeamos los siguientes números al milésimo:
a)47,12831
b) 6,125578
C omo 3 es un número menor que 5
Como 5 es un númeroes igual a 5
Resultado
47,128
6,126
Enriqueta rebozaba de gusto ya que en ese país se encontraba como en casa; además, veía que
finalmente su prima estaba entendiendo algunas cosas que siempre le habían costado lo suyo.
Nana tenía una enorme sonrisa en la cara: estaba siendo llevada en andas por los decimales ya
que había dicho que por fin había entendido algo de matemáticas.
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