Download los números reales

Abel Martín
LOS NÚMEROS REALES
ACTIVIDAD 6
Representa con números y escríbelos en tu cuaderno y en la calculadora las partes oscuras
de las figuras del egipcio, empezando por la de abajo, a la izquierda
Ilustración: Jorge Hevia
3/4
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES. FRACCIÓN
IRREDUCIBLE.
ACTIVIDAD 1
Simplifica las siguientes fracciones:
PANTALLAS – RESPUESTA
(j) 129/99
(k) 225/135
(l) 135/85
(m) 1089/242
OPERACIONES CON FRACCIONES
ACTIVIDAD OPERACIONES 2
Efectúa con la calculadora las siguientes operaciones con fracciones:
(a)
2 1 2 1 1
+ : + ⋅
3 4 3 6 4
(b)
1 1 1 1
− + −
4 3 6 12
www.aulamatematica.com
(c)
4 2 1 1
: − ⋅
5 5 2 3
1
Los números Reales
(d)
1 1 2 4
: ⋅ +
5 3 3 6
(e)
1 2 1 1
: − ⋅
3 5 2 3
(f)
4 2 1 1
: − ⋅
3 5 2 3
PANTALLAS – RESPUESTA
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR y mcm DE DOS O
MÁS NÚMEROS CON LA CALCULADORA
ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN
Calcula, con la ayuda de la calculadora, el máximo común divisor y mínimo común múltiplo
de las siguientes parejas de números:
(e) 50 y 60
(f) 75 y 80
(g) 1250 y 530
(h) 3458 y 1530
PANTALLAS – RESPUESTA
(e) 50 y 60
Fracción irreducible
El MCD es...
El mcm es...
El MCD es...
El mcm es...
El MCD es...
El mcm es...
(f) 75 y 80
Fracción irreducible
(g) 1250 y 530
Fracción irreducible
2
Matemáticas
Abel Martín
(h) 3458 y 1530
Fracción irreducible
El MCD es...
El mcm es...
APLICACIONES DIDÁCTICAS DEL NÚMERO MIXTO
DETERMINAR EL COCIENTE Y EL RESTO DE UNA DIVISIÓN
ACTIVIDAD 1
Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones. Comprueba alguna de ellas con el
algoritmo que te enseñaron en Primaria.
(f) 189 : 15
¡Ojo! En la parte fraccionaria el divisor tiene que ser 15, así que para que 3/5
denominador 15, simplemente multiplicamos por 3 el numerador y el denominador
12
Cociente: 12
Resto: 9
;
tenga de
3⋅3
9
= 12
5⋅3
15
Hemos dividido entre 15
TENER UNA IDEA MÁS REAL Y CLARA DEL "RANGO" Y LA
MAGNITUD EN LA QUE NOS ESTAMOS MOVIENDO.
ACTIVIDAD 9
Somos 12 personas y hacemos un pedido de pizzas partidas en 8 trozos cada una. Si nos
llegan 97 trozos, ¿podremos comer cada uno una pizza completa? En caso afirmativo, cuántos
trozos sobrarían y en caso negativo cuántos faltarían.
Comenta la pantalla.
ACTIVIDAD 10
¿Y eso
es
mucho?
¡ Nos hemos
comido
345/49
tartas !
¿Cuántas
enteras hay y
cuánto sobra?
Comenta la pantalla.
www.aulamatematica.com
3
Los números Reales
ACTIVIDAD 11
¡mucho,
no!
¡Nos quedan
765/34
kilómetros para
llegar a la costa!
Comenta la pantalla.
Sólo nos quedan 22.5 kilómetros
ACTIVIDAD 13
Llamamos a "Pizza Telexacta" y les pedimos que nos envíen estrictamente 47/6 de pizzas.
Si el dependiente es un profundo conocedor de las matemáticas y están especializados en
cortar cada unidad en tantos trozos como les hemos mencionado implícitamente y no
necesariamente envían las pizzas enteras, describe cada uno de los siguientes envíos:
Nos han enviado 7 pizzas enteras partidas en 6 trozos cada una y de otra nos han enviado
sólo 5 trozos.
(e) ¿Y si les hubiésemos pedido 40/6?
2
4
→ 6
3
6
Nos han enviado 6 pizzas enteras partidas en 6 trozos cada una y de otra más nos han
enviado sólo 4 trozos de los 6 en los que estaría dividida la última pizza.
6
Fracciones generatrices
052
ℜ
2.325137684...
Periódico puro
2/3/4E
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, I
No tiene fracción generatriz ya que se trata de un número IRRACIONAL
053
ℜ
φ (Número de oro)
Periódico puro
Decimal exacto
2/3/4E
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, I
No tiene fracción generatriz ya que se trata de un número IRRACIONAL
φ=
054
ℜ
4
1+ 5
= 1.618033989...
2
e
Periódico puro
2/3/4E
Decimal exacto
Periódico mixto
Matemáticas
I
N
Z
Q
Z-
Abel Martín
R, I
No tiene fracción generatriz ya que se trata de un número IRRACIONAL
e = 2.718281828...
055
ℜ
e2
2/3/4E
Periódico puro
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, I
No tiene fracción generatriz ya que se trata de un número IRRACIONAL
e2 = 7.389056099...
056
ℜ
0.051515...
Periódico puro
2/3/4E
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, periódico mixto
0.051 =
=
057
ℜ
51 − 0
51
17
=
=
990
990
330
3.63862957349...
Periódico puro
2/3/4E
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, I
No tiene fracción generatriz ya que se trata de un número IRRACIONAL
058
ℜ
0.0222...
2/3/4E
Periódico puro
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, periódico mixto
0 .0 2 =
=
059
*
ℜ
2−0
1
=
90
45
Sea P = 23.31 45 , se pide:
(a) Clasifica dicho número.
(b) Halla la fracción generatriz de dicho número.
Periódico puro
Decimal exacto
Periódico mixto
2/3/4E
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, periódico mixto
23.31 45 =
=
233145 − 2331
230814
115407
38469
=
=
=
9900
9900
4950
1650
12823
=
550
060
ℜ
– 2.34444...
Periódico puro
2/3/4E
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, periódico mixto
)
2 .3 4 =
www.aulamatematica.com
5
Los números Reales
=
234 − 23
211
=
90
90
– 2.34444... = –
061
ℜ
211
90
1.2345645645...
Periódico puro
2/3/4E
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, periódico mixto
1.23456 =
La fracción resultante tiene excesivos dígitos
para que la calculadora pueda obtener la
fracción generatriz
123456 − 123
123333
41111
=
=
=
99900
99900
33300
062
ℜ
2.3232
2/3/4E
Periódico puro
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, decimal exacto
2.3232 =
=
063
ℜ
5
23232
1452
=
10000
625
−3
2/3/4E
Periódico puro
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, I
No tiene fracción generatriz ya que se trata de un número IRRACIONAL
5
064
ℜ
− 3 = – 1.24573094...
0.325
2/3/4E
Periódico puro
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, decimal exacto
0.325 =
=
065
ℜ
325
13
=
1000
40
0.28571428571...
Periódico puro
2/3/4E
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, periódico puro
0.28571428571... = 0.285714 =
285714 − 0
95238
31746
10582
=
=
=
=
=
999999
333333
111111
37037
962
74
=
= 2
3367
259 7
066
81
2/3/4E
81 = 9
ℜ
Periódico puro
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, Z, N
067
6
4
2.28
2/3/4E
Matemáticas
Abel Martín
ℜ
Periódico puro
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, I
No tiene fracción generatriz ya que se trata de un número IRRACIONAL
4
068
ℜ
5
2.28 = 1.228807099...
3.134
Periódico puro
2/3/4E
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, I
No tiene fracción generatriz ya que se trata de un número IRRACIONAL
5
3.134 = 1.256665807...
069
3.51231231...
ℜ
Periódico puro
2/3/4E
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, periódico mixto
3.5123 =
=
070
ℜ
35123 − 35
35088
5848
=
=
9990
9990
1665
28.35222...
Periódico puro
2/3/4E
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, periódico mixto
28.352 =
=
071
ℜ
28352 − 2835
25517
=
900
900
54.67777...
Periódico puro
2/3/4E/1B
Decimal exacto
Periódico mixto
I
N
Z
Q
Z-
R, Q, fraccionario, periódico mixto
54.67 =
=
5467 − 546
4921
=
90
90
Clasifica las siguientes fracciones, sin efectuar la operación, a través del estudio de los
factores de cada número:
010
3/7
2/3/4E
R, Q, fraccionario, periódico puro.
011
27/5
2/3/4E
R, Q, fraccionario, decimal exacto
012
9
16
3/4E
3
9
3
= = 2
16
4 2
R, Q, fraccionario, decimal exacto.
www.aulamatematica.com
7
Los números Reales
Expresa los siguientes números como decimales:
004
- 2/10
2/3/4
−2 −1
=
= - 0.2
10
5
005
Decimal exacto.
2/11
2/3/4
2
= 0.181818...
11
006
Periódico puro.
2/26
2/3/4
2
1
= = 0.076923076...
26 13
Periódico puro.
OPERACIONES COMBINADAS CON NÚMEROS RACIONALES
Efectúa las siguientes operaciones de forma lo más exacta posible, es decir, calculando
previamente las fracciones generatrices cuando sea necesario:
)
)
)
1.8 – 0.08 : 0.4
004
3/4E/1B
RESOLUCIÓN:
)
1. 8 =
18 − 1 17
=
=
9
9
)
0.0 8 =
8−0
8
4
=
=
=
90
45
90
)
0. 4 =
4
=
9
)
)
)
1.8 – 0.08 : 0.4 =
17
4
4
=
–
:
=
45 9
9
17
36
=
–
=
9
180
mcm: 180
340 − 36
=
180
304
=
=
180
76
=
45
=
)
0.185 : 0.02
007
3/4E/1B
RESOLUCIÓN:
0.185 =
=
)
0.02 =
=
185 − 0
185
5
=
=
999
999
27
2−0
2
1
=
=
90
90
45
5
1
:
=
27 45
5 ⋅ 45
5⋅9⋅5
=
=
=
27 ⋅1
9 ⋅ 3 ⋅1
25
=
3
8
Matemáticas
Abel Martín
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA DE LOS NÚMEROS REALES
Representa EXACTAMENTE en la recta Real el número
Utiliza el Teorema de Thales o el de Pitágoras si es necesario.
004
6 , justificando lo que haces.
– 3, – 2, 4
3/4E/1B
ℜ
–3
008
1/5
,
–2
4
1
0
3/5
3/4E/1B
Los números racionales que son fracciones y decimales exactos, sí se podrían representar
exactamente en la recta, ya que 1/5 = 0.2 y 3/5 = 0.6. Así que podremos saber su lugar
preciso.
No obstante, para practicar, nos ayudaremos del “Teorema de Thales”.
1/5
3/5
ℜ
1
0
016
5/3
3/4E/1B
Los números racionales que son fracciones periódicas puras no se podrían representar
exactamente en la recta, por lo que nos ayudaremos del “Teorema de Thales”.
5
2
=1
3
3
5/3
0
017
2
ℜ
3
1
10/3
3/4E/1B
Los números racionales que son fracciones periódicas puras no se podrían representar
exactamente en la recta, por lo que nos ayudaremos del “Teorema de Thales”.
10
1
=3
3
3
10/3
0
018
1
2
3
- 1/4
4
ℜ
5
3/4E/1B
Los números racionales que son fracciones y decimales exactos, sí se podrían representar
exactamente en la recta, ya que – 1/4 = – 0.25 y podremos saber su lugar preciso.
No obstante, para practicar, nos ayudaremos del “Teorema de Thales”, representándolo en
forma positiva y ubicándolo por simetría con respecto al 0.
www.aulamatematica.com
9
Los números Reales
ℜ
1/4
- 1/4 0
033
2
1
18
3/4E/1B
Los números irracionales no se podrían representar exactamente en la recta, ya que tienen infinitas
cifras decimales no periódicas por lo que, para representar su lugar exacto, nos ayudaremos del llamado
“Teorema de Pitágoras”.
h
ℜ
1
2
4 17
3
18
2
2
h =c +c
2
2
17 2 + 12
h2 = 18
h =
h=±
18 → 18
h2 = c 2 + c 2
h2 = 3 2 + 3 2
h2 = 9 + 9
h=±
18 →
18
Dibujo realizado por la ClassPad 300 de CASIO
034
38
3/4E/1B
Los números irracionales no se podrían representar exactamente en la recta, ya que tienen infinitas
cifras decimales no periódicas por lo que, para representar su lugar exacto, nos ayudaremos del llamado
“Teorema de Pitágoras”.
ℜ
0
1
2
3
5
4
6 38
Aplicamos el teorema de Pitágoras
h2 = c 2 + c 2
h2 =
10
37 2 + 12 → h2 = 38 → h = ±
Matemáticas
38 →
38
Abel Martín
ORDENACIÓN DE NÚMEROS REALES
001.- Ordena los siguientes números de menor a mayor. Justifica lo que haces.
(d)
4 3 7
9
, ,
y
12 8 20
10
Método de reducción a común denominador:
Método de expresión en forma decimal:
mcm: 120
4
3
= 0.33... ,
= 0.375,
12
8
7
9
= 0.35 ,
= 0.9
20
10
4
7
3
9
<
< <
12
20
8
10
40
45
42 108
,
,
,
120 120 120 120
40
42
45
108
<
<
<
120
120
120
120
4
7
3
9
<
< <
12
20
8
10
002.- En cada una de las siguientes desigualdades escribe los posibles números que faltan:.
(d)
4
¿?
5
≤
≤
3
3
3
Algunos valores de "¿?" podrían ser:
4
4
5
4
5
5
;
≤
≤
≤
≤
3
3
3
3
3
3
(e)
1
¿?
3
≤
≤
6
5
30
Reducimos a común denominador: (30)
5
a
3
≤
≤
30
30
30
Es imposible encontrar ningún número que verifique esta desigualdad ya que 5/30 no es
menor que 3/30
www.aulamatematica.com
11