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¿CÓmo SE uTiLiZa ESTE LiBro?
12
DOBLE PÁGINA
PRESENTACIÓN
Comenzamos la Unidad de manera didáctica y amena, con una actividad cercana para el entorno de los alumnos. A continuación, aparece un breve vocabulario en el que se recogen los términos matemáticos que se van a emplear en dicha Unidad; su objetivo es el de recordar conceptos de cursos anteriores.
COMBINATORIA.
BINOMIO DE NEWTON
¿Recuerdas qué es…?
Conjunto
Es una colección de objetos o
elementos.
En determinadas situaciones es necesario
hacer recuentos de las posibilidades que
se presentan para tomar las decisiones
adecuadas.
El conjunto que no tiene ningún
elemento se llama conjunto vacío.
Se representa con el símbolo ∅.
Imagina que los alumnos de 4.º quieren
organizar un sorteo para recaudar fondos.
Deciden hacer papeletas en las que aparecen
tres números del 1 al 20. Para determinar
el premio se extraerán tres bolas de un
bombo con bolas numeradas del 1 al 20.
El premio corresponderá a la papeleta
que contenga los tres números extraídos.
¿Cuántas papeletas diferentes tienen que
hacer para poner a la venta?
Subconjunto
Es una parte de un conjunto.
Identidades notables
Cuadrado de la suma de dos
monomios:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Cuadrado de la diferencia de dos
monomios:
Los procedimientos para realizar estos
recuentos se estudian en la parte de
Matemáticas que se llama Combinatoria.
(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2
Los objetivos de esta Unidad son:
• Conocer los procedimientos básicos
para hacer recuentos.
• Utilizar las expresiones matemáticas
que proporciona la Combinatoria.
• Conocer el desarrollo de la potencia
de un binomio.
DESARROLLO
DE LA UNIDAD
12
La Unidad está estructurada en epígrafes que comienzan con una actividad que sirve de ejemplo para introducir el concepto a tratar.
Al fi nalizar cada apartado se proponen ejercicios para resolver para que el alumno compruebe la comprensión de los conceptos estudiados.
5
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Para el campeonato del mundo de ciclismo en pista se dispone de cuatro
corredores, pero sólo pueden competir tres. ¿De cuántas formas distintas
podemos seleccionar a tres corredores para la competición?
Los corredores son: A, B, C y D.
Situación real
En cinco carreras gana dos y
queda segundo en tres.
Si queda primero en la carrera
A, en la carrera B puede quedar
primero o segundo. Si también
queda primero en la carrera B,
en las carreras restantes queda
segundo.
Con este razonamiento se
construye el diagrama en árbol.
Traducido al lenguaje combinatorio
Hay que formar ordenaciones de cinco
elementos, donde un elemento se repite dos
veces y otro se repite tres.
Carreras
A
1
226
ACD
D
E
Resultados
2
2
11222
1
2
2
12122
ABC
ABD
ACD
BCD
1
2
12212
2
1
12221
2
2
21122
1
2
21212
2
1
ACB
BAC
BCA
CAB
CBA
ADB
BAD
BDA
DAB
DBA
ADC
CAD
CDA
DAC
DCA
BDC
CBD
CDB
DBC
DCB
1
2
2
1
22121
1
1
22211
2
2
1
2
http://www.juntadeandalucia.
es/averroes/concurso2004/
ver/06/combinatoria_archivos/
per_marco.htm
Actividades interactivas para
calcular permutaciones con
repetición y de las demás
formulas de la combinatoria.
ABD
2
2
21221
5!
5 4 321
=
=10
2! 3! 2 1 3 2 1
Permutaciones con repetición de m elementos, donde los elementos se
repiten a, b, ..., k veces respectivamente, siendo a + b + … + k = m, son
las distintas agrupaciones que se pueden formar de manera que:
1. En cada agrupación el primer elemento se repite a veces, el segundo b
veces, etcétera.
2. Dos agrupaciones son diferentes si los elementos vienen dados en dis­
tinto orden.
m!
El número se calcula con la expresión: Pma , b, ..., k =
a! b! ... k!
BCD
C 4, 3
V 4, 3 = 4 · 3 · 2 = 24
P 3 = 3! = 3 · 2 · 1 = 6
22112
Son permutaciones con repetición de cinco
elementos donde un elemento se repite dos
veces y otro elemento se repite tres veces.
Se representa por P 52, 3
P52 , 3 =
ABC
Si en cada combinación se ordenan los corredores de todas las formas po­
sibles, se obtienen las variaciones sin repetición de cuatro elementos toma­
das de tres en tres.
C
2
2
Su número es:
En este caso, las combinaciones posibles de tres corredores son:
1
1
Los resultados posibles son 10.
Hay que formar selecciones de tres corredores. El orden de cada selección no
influye porque lo que interesa son los distintos subconjuntos que se pueden
obtener del conjunto formado por los cuatro corredores. Los subconjuntos
que se obtienen se llaman combinaciones de cuatro elementos tomados de
tres en tres. Se representa por C4, 3.
B
1
http://descartes.cnice.mec.
es/materiales_didacticos/
combinatoria_jjce/
combinatoria_2.htm#pr
Actividades sobre
permutaciones con repetición
y sin ella.
COMBINACIONES
Para formar todas las ordenaciones posibles se asigna una letra a cada
carrera A, B, C, D y E.
Se asigna la cifra 1 si gana la carrera y se asigna la cifra 2 si termina la carrera
en segundo lugar.
WEB
6
Un piloto de Fórmula I ha corrido cinco carreras y ha quedado tres veces en
segundo lugar y dos en primer lugar. ¿De cuántas formas se han podido dar
estos resultados?
CD
Si se observa la tabla, se comprueba que C 4, 3 · P3 = V 4, 3
Despejando se tiene: C4 ,3 =
En la pestaña Actividades/
Unidad 12, encontrarás la
actividad Relación unidad 12,
para repasar el cálculo de la
combinatoria.
V4 ,3
4 3 2
=
=4
P3
3 2 1
Combinaciones de m elementos tomados de n en n son los distintos sub­
conjuntos de n elementos que se pueden formar a partir de un conjunto
de m elementos.
El número de combinaciones se calcula con la expresión:
V
Cm, n = m, n
Pn
WEB
http://www.juntadeandalucia.
es/averroes/concurso2004/
ver/06/combinatoria_archivos/
combcon_marco.htm
Actividades interactivas para
trabajar con combinaciones con
repetición y sin ella.
Ejercicios
11 En una heladería venden helados de seis sa­
bores diferentes. Si Luisa quiere comprar un he­
lado con dos sabores, ¿cuántos helados puede
elegir?
12 Una empresa de distribución de publicidad
dispone de 10 repartidores. Si los repartidores tra­
bajan en equipos de tres personas, ¿de cuántas
formas diferentes se puede formar los equipos de
distribución?
227
CÓMO SE USA
EL CD
Dentro del libro está incluido el CD para el alumno con material multimedia para que trabaje en el aula y en casa. En cada unidad didáctica, en aquellos apartados que se complementen con el CD, aparece el símbolo que indica el empleo del CD por parte del alumno para complementar su aprendizaje.
Sumario 4-B.indd 2
19/2/08 16:46:18
EJERCICIOS
RESUELTOS
12
EJERCICIOS RESUELTOS
1 Con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 determina:
a) ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden formar?
b) ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar? De ellos, ¿cuántos son múltiplos de 5?
a) Los números tienen cinco cifras diferentes a b c d e, y tienen que empezar
por cualquier dígito distinto de cero.
Números que empiezan por 1:
2 La plantilla de jugadores de un equipo de fútbol está formada por
3 porteros, 6 defensas, 8 centrocampistas y 5 delanteros. Las alineaciones que hace el entrenador siempre están formadas por 1 portero, 4 defensas, 3 centrocampistas y 3 delanteros. Si cada jugador puede ocupar
cualquier lugar de su demarcación, ¿cuántas alineaciones diferentes
puede formar el entrenador?
Una alineación está formada por:
1 portero
4 defensas
3 centrocampistas
3 delanteros
1 _ _ _ _ V 9, 4
Hay cuatro lugares que pueden ocupar los dígitos 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
El número viene dado por las variaciones sin repetición de nueve elementos
tomados de cuatro en cuatro.
Los jugadores se pueden elegir dentro de cada tipo de las si­
guientes formas:
El mismo razonamiento sirve para los números que empiezan por 2 o por
3 ..., o por 9:
Porteros: V 3, 1 = 3
Defensas: V 6, 4 = 6 · 5 · 4 · 3 = 360
2 _ _ _ _ V 9, 4
Centrocampistas: V 8, 3 = 8 · 7 · 6 = 336
3 _ _ _ _ V 9, 4
:::
Delanteros: V 5, 3 = 5 · 4 · 3 = 60
9 _ _ _ _ V 9, 4
El número total de alineaciones que se pueden formar es:
Los números de cinco cifras diferentes que se pueden formar con los diez
dígitos son:
9 · V 9, 4 = 9 · 9 · 8 · 7 · 6 = 27 216
b) Un número de cinco cifras empieza por un dígito distinto de cero y pue­
de tener alguna cifra repetida.
V 3, 1 · V 6, 4 · V 8, 3 · V 5, 3 = 3 · 360 · 336 · 60 = 21 772 800
El problema es diferente si lo que se quiere saber es el número de alineacio­
nes con la condición de que haya 1 portero, 4 defensas, 3 centrocampistas y
3 delanteros. En este caso, se sustituyen las variaciones por combinaciones
porque el orden de colocación de los jugadores no influye en la alineación.
Números que empiezan por 1:
3
C3, 1 C6, 4 C8, 3 C5, 3 =
1
1 _ _ _ _ VR 10, 4
El mismo razonamiento sirve para los números que empiezan por 2, por
3 ..., por 9:
2 _ _ _ _ VR 10, 4
3 _ _ _ _ VR 10, 4
:::
9 _ _ _ _ VR 10, 4
Los números de cinco cifras que se pueden formar con los diez dígitos son:
9 · VR 10, 4 = 9 · 10 4 = 90 000
De estos números, son múltiplos de 5 los que terminan en 0 ó 5, es decir, la
décima parte terminan en cero y otra décima parte en 5. Son múltiplos de
cinco 9 000 + 9 000 = 18 000.
232
6
8
5
4
3
3
=
6 5 4 3 8 7 6 5 4 3
= 25 200
4 3 2 1 3 2 1 3 2 1
=3
El número viene dado por las variaciones con repetición de diez elementos
tomados de cuatro en cuatro.
3 Hallar el término central del desarrollo de (2x – y)22.
Como el desarrollo de la potencia del binomio (a + b) n tiene n + 1 términos,
el desarrollo de (2x – y) 22 tiene 23 términos. El término central ocupa el lu­
gar 12 en el desarrollo.
22
Los coeficientes son números combinatorios de la forma
, donde k toma
k
los valores de 0 a 22. Para k = 11 se obtiene el coeficiente del término cen­
22
tral
.
11
El término central es:
22
T12 =
2x)22
11
11
22
( y)11 =
11
211 x11 y11
233
EJERCICIOS
PROPUESTOS
12
EJERCICIOS PROPUESTOS
1
Se tiran una moneda y un dado sobre una
mesa. Construye un diagrama en árbol con todos los
resultados posibles.
Se lanzan tres monedas sobre una mesa.
2
Construye el diagrama en árbol de todos los resultados
posibles.
Escribe el diagrama en árbol de todas las for­
3
mas posibles de sentarse cuatro personas en cuatro si­
llas alrededor de una mesa cuadrada.
Cinco amigos compran cinco entradas para el
10
cine. ¿De cuántas formas se pueden sentar en sus loca­
lidades?
En una glorieta confluyen cuatro carreteras.
11
En los últimos diez minutos han pasado diez coches por
ella. ¿De cuántas formas pueden haberse incorporado
los diez coches a la glorieta?
Elena tiene veinte bolitas para hacerse un co­
12
llar. Las bolitas son 5 verdes, 5 rojas, 6 blancas y 4 ama­
rillas. ¿De cuántas formas puede distribuir las bolitas
para hacerse el collar?
Construye el diagrama en árbol que represen­
4
ta todos los números de tres cifras distintas que pue­
den formarse con los dígitos 1, 2, 3 y 4.
Un alumno tiene seis asignaturas que pueden
13
ser calificadas como:
Con los dígitos 1, 2, 3 y 4 construye el diagra­
5
ma en árbol de todos los números de tres cifras de for­
ma que la cifra de las centenas sea 1.
a) ¿De cuántas formas puede tener las calificaciones a
final de curso?
Construye el diagrama en árbol de todas las
6
parejas de vocales distintas que se pueden formar con
las vocales a, e, i, o, u.
En la final de un torneo de ajedrez se proclama
7
campeón el primer contendiente que gane tres parti­
das. ¿De cuántas formas distintas se puede desarrollar
la final? Construye un diagrama en árbol para obtener
el resultado. (No se consideran las partidas que termi­
nan en tablas.)
I S B N SB
b) ¿En cuántas de ellas aprueba todas las asignaturas?
Se tiene que distribuir seis bolas numeradas
19
del 1 al 6 en tres bombos de forma que en el primer
bombo haya 2 bolas, en el segundo 3 bolas y una bola
en el tercero. ¿De cuántas formas se pueden distribuir
las bolas en los bombos?
20
En una carrera participan diez corredores.
¿Cuántas quinielas hay que rellenar para tener la segu­
ridad de acertar si se debe pronosticar el orden de lle­
gada de los cuatro primeros?
Determina cuántos números de cuatro cifras
21
distintas menores que 6 000 se pueden formar con los
dígitos 1, 2, 3, 4, 7 y 8.
Si se lanza un dado tres veces y se anota el
23
número obtenido, ¿cuántos números de tres cifras se
pueden formar con los resultados obtenidos?
Un examen consta de diez preguntas que sólo
14
admiten la respuesta de «verdadero» o «falso». ¿De
cuántas formas diferentes se puede contestar sin dejar
ninguna pregunta sin respuesta?
En una zona geográfica hay cinco pueblos in­
15
comunicados entre sí. ¿Cuántos tramos de carretera hay
que construir para que exista comunicación directa en­
tre cada dos pueblos?
¿Cuántas banderas tricolores pueden hacerse
32
con los colores del arco iris?
¿Cuántas quinielas se pueden hacer con 6
33
unos, 3 equis y 5 doses?
¿Cuántos productos de tres factores diferentes
17
se pueden hacer con los números 2, 3, 5 y 7?
Si se dispone de pesas de 1, 2, 5 y 10 kilogra­
18
mos, ¿cuántas pesadas diferentes pueden hacerse?
¿Cuántos números de diez cifras significati­
24
vas y distintas hay en el sistema de numeración deci­
mal?
Para obtener el número de cinco cifras gana­
34
dor de un sorteo se extrae una bola de un bombo que
tiene cinco bolas numeradas del 1 al 5. Se anota la bola
extraída y se devuelve al bombo para repetir la opera­
ción cuatro veces más. ¿Cuántos números diferentes
pueden salir cuyas cifras sean dos unos y tres cincos?
Con las letras de la palabra COMBINACIÓN,
25
¿cuántas ordenaciones se pueden hacer? ¿Cuántas de
esas ordenaciones empiezan por COM?
5
¿De cuántas formas se puede elegir un dele­
8
gado y un subdelegado en un grupo de 20 alumnos?
28
¿Cuántas quinielas distintas se pueden relle­
nar de modo que todas ellas tengan 8 unos, 3 equis y
3 doses?
¿Cuántos números de tres cifras distintas se
9
pueden formar con los dígitos impares?
Si se unen cuatro vértices de un octógono,
29
¿cuántos cuadriláteros se pueden formar?
12
PARA REPASAR
EN GRUPO
DEFINICIÓN
Variaciones sin repetición de m elementos tomados de n en n son las distintas agrupaciones de
n elementos que se pueden hacer con los m elementos dados, teniendo en cuenta que:
1. En cada agrupación hay n elementos distintos.
2. Dos agrupaciones son diferentes si los elementos vienen dados en distinto orden o tienen algún
elemento diferente.
El número se calcula con la expresión:
V m,n = m · (m – 1) · (m – 2) … (m – n + 1)
• El primer lado es la sucesión 1, 1, 1... La primera línea paralela al lado es la
sucesión de números naturales. La tercera línea es la sucesión de números
triangulares.
1
El número se calcula con la expresión:
m!
a! b!…k!
Combinaciones de m elementos tomados de n en n son los distintos subconjuntos de n elementos
que se pueden formar a partir de un conjunto con m elementos.
El número de combinaciones se calcula con la expresión:
Cm, n =
Binomio
de Newton
238
Sumario 4-B.indd 3
Vm , n
Pn
n n n n 1
n n 2 2
n
n n
(a +b) =
a +
a b+
a b +…+
ab n 1+
b
0
1
2
n 1
n
n
5
1
1
1
1
1
1
1
8
9
10
6
7
15
28
36
56
1
10
70
1
6
1
21
56
7
28
84 126 126 84
8
36
45 120 210 252 210 120 45
6
1
1
9
1
66 220 495 792 924 792 495 220 66
7
1
8
1
10
11 55 165 330 462 462 330 165 55
12
5
1
1
1
11
12
1
1
1
1
1
9
10
15
28
1
6
10
21
36
3
4
1
1
3
1
5
15
35
2
1
4
20
35
1
1
1
6
10
21
1
1
3
4
1
1. En cada agrupación están los m elementos dados.
2. Dos agrupaciones son diferentes si los elementos vienen dados en distinto orden.
El número se calcula con la expresión:
P m = m · (m – 1) · (m – 2) … 3 · 2 · 1 = m!
1. En cada agrupación el primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, etcétera.
2. Dos agrupaciones son diferentes si los elementos vienen dados en distinto orden.
1
2
3
1
Permutaciones sin repetición de m elementos son las distintas agrupaciones que se pueden hacer
con los m elementos dados, teniendo en cuenta que:
Permutaciones con repetición de m elementos, donde los elementos se repiten a,b,...,k veces
respectivamente, siendo a + b + … + k = m, son las distintas agrupaciones que se pueden formar
de manera que:
1
1
1
1
VR m,n = m n
Combinaciones
PARA REPASAR
EN GRUPO,
CURIOSIDADES,
JUEGOS Y
DESAFÍOS
• Los términos de la sucesión de Fibonacci aparecen sumando los números
situados en las diagonales trazadas de izquierda a derecha en el triángulo.
1. En cada agrupación hay n elementos.
2. Dos agrupaciones son diferentes si los elementos vienen dados en distinto orden o tienen algún
elemento diferente.
Pma , b,…, k =
235
• Si en cada fila el segundo término es un número primo, hay un triángulo
invertido asociado a él que contiene múltiplos del número.
El número se calcula con la expresión:
Permutaciones
con repetición
Determina cuántos números capicúas de cin­
35
co cifras pueden formarse con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7 y 8.
El triángulo aritmético, también conocido como triángulo de Pascal o
triángulo de Tartaglia, matemáticos a los que se les atribuye su descubri­
miento, es un triángulo de desarrollo infinito. Además de las propiedades
ya comentadas en el texto, si se observa la estructura del triángulo, se ven
regularidades numéricas ya conocidas por ti. Por ejemplo:
Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son las distintas agrupaciones de n
elementos que se pueden hacer con los m elementos dados, teniendo en cuenta que:
Permutaciones
sin repetición
2
CURIOSIDADES,
JUEGOS Y DESAFÍOS
Elabora con tu grupo de trabajo un esquema con los siguientes conceptos
de la Unidad y pon un ejemplo de cada uno de ellos.
CONCEPTO
Variaciones
con repetición
3
Si se permutan las cifras del número 2 223 414,
27
¿cuántos números se pueden obtener?
Combinatoria
Variaciones
sin repetición
1
El juego de la Lotería Primitiva consiste en
26
marcar seis números escogidos entre un conjunto de
números del 1 al 49. ¿Cuántas combinaciones de seis
números se pueden elegir?
234
Situados al fi nal de cada Unidad, están adaptados al nivel de conocimientos de los alumnos. Se han estructurado manteniendo el orden de los diferentes epígrafes del tema objeto de estudio, marcando los mismos por nivel de difi cultad para que resulte sencillo abordar su resolución.
En la plantilla de una cadena de televisión dis­
31
ponen para los programas informativos de cinco perio­
distas para la información política, cuatro periodistas
para las noticias deportivas y tres para las culturales.
¿De cuántas formas pueden desarrollar un programa
informativo si debe estar presentado por dos periodis­
tas de información política, dos de noticias deportivas
y uno de noticias culturales?
¿Cuántas permutaciones se pueden obtener
22
con los dígitos 0, 2, 4, 6 y 8? De los números obtenidos,
¿cuántos son menores que 4 000?
Un grupo de veinte soldados tiene que orga­
16
nizar turnos de guardia de dos soldados cada guardia.
¿Cuántos grupos de guardia se pueden formar?
figura 12.08
Un aula tiene 10 puntos de luz iguales. Si se
30
quiere iluminar el aula con 6 puntos de luz, ¿de cuántas
formas diferentes se puede hacer?
4
Diagramas en árbol
Batería de actividades en las que se recoge una recopilación de estrategias de resolución de problemas, teniendo en cuenta la relación entre diferentes conceptos, desarrollada para cada una de las Unidades del libro, cuya fi nalidad es la de transmitir y aclarar al alumno los procedimientos para su resolución.
4
20
35
56
1
10
5
1
15
35
70
6
1
21
56
7
1
28
84 126 126 84
8
36
1
9
45 120 210 252 210 120 45
1
10
11 55 165 330 462 462 330 165 55
12
1
11
66 220 495 792 924 792 495 220 66
12
1
1
La curiosidad de los matemáticos les ha llevado a investigar otras regulari­
dades más complejas que se pueden encontrar en el triángulo de Pascal.
DESAFÍO MATEMÁTICO
1
1
Si en un triángulo equilátero T se unen los puntos medios de los la­
dos, el triángulo T queda dividido en 4 triángulos: tres de ellos (T 1,
T 2, T 3) con la misma orientación que T y uno invertido.
Si se repite el proceso sobre T 1, T 2 y T 3, la estructura que aparece
en ellos es semejante a la obtenida sobre T. Esta construcción
se llama fractal de Sierpinski.
Comprueba que en el triángulo de Pascal se puede obte­
ner el fractal de Sierpinski construyendo uno semejante
al de la figura y recubriendo con color negro los hexá­
gonos que contienen números impares.
Como el triángulo es infinito se puede repetir este
proceso ampliando el diseño obtenido.
1
1
1
1
6
7
8
9
10
5
1
1
2
10
21
36
3
1
6
15
28
1
3
4
1
1
1
1
1
1
20
35
56
4
1
10
35
70
5
1
15
6
1
21
56
7
28
84 126 126 84
1
8
36
45 120 210 252 210 120 45
1
9
1
10
11 55 165 330 462 462 330 165 55
12
66 220 495 792 924 792 495 220 66
1
11
12
1
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Estas secciones tienen como fi nalidad ayudar al alumno a ordenar los conceptos fundamentales de la Unidad motivándole para emplear correctamente el lenguaje matemático dentro de su contexto.
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