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14 Combinatoria
ACTIVIDADES INICIALES
14.I.
¿Cuántos caracteres se podrían codificar usando un máximo de cinco símbolos
Habría 2 de un símbolo, 4 de dos, 8 de tres, 16 de cuatro y 32 de cinco, 62 en total.
14.II. Para separar letras se deja un silencio de un punto de duración. ¿Cómo se transmitiría la
palabra Morse?
Representando el silencio por /, sería
– – / – – – / ·– · / · · · / ·.
14.III. El código Morse se utiliza también en transmisiones mediante señales luminosas. Puedes
simularlo en clase utilizando la mano (mano abierta: encendido, mano cerrada: apagado).
Intenta transmitir un mensaje a algún compañero.
Actividad abierta.
14.IV. Para aprender el alfabeto Morse se emplean diversas reglas mnemotécnicas. La más común es
asociar a cada letra una palabra que empiece por esa letra, que tenga tantas vocales como
símbolos tenga la letra codificada, de forma que cada O represente una raya y cada vocal
distinta de O represente un punto. Por ejemplo, la A ( ·– ) se recordaría con la palabra Ajo,
Árbol, Asno,… Busca una palabra para cada letra. Verás que hay algunas muy difíciles…
Respuesta abierta. La K y las cuatro últimas son complicadas. Se puede usar algún truco, como
buscar palabras en otro idioma, o variar la ortografía normal, como se suele hacer en los SMS. Por
ejemplo, para la K se puede usar la palabra “Kosako”
18
Unidad 14 | Combinatoria
ACTIVIDADES PROPUESTAS
14.1. Actividad resuelta.
14.2. En una cafetería puedes elegir entre tres tipos de café: colombia, india y arabia; cuatro tipos
de leche: de soja, entera, desnatada y de almendras; dos toppings: canela y vainilla, y dos
edulcorantes: azúcar y sacarina.
¿Cuántos cafés diferentes podrían hacerse con los cuatro ingredientes?
Formamos el diagrama en árbol:
Aplicando el principio de multiplicación podremos hacer: 3·4·2·2 = 48 cafés diferentes.
14.3. Un determinado modelo de automóvil se fabrica con dos tipos de motores: diesel y gasolina;
podemos elegir la carrocería entre cinco colores: blanco, rojo, azul, amarillo y negro, y con
tres terminaciones: básica, deportiva y lujo. ¿Cuántos tipos diferentes de coches se fabrican
de ese modelo?
Formamos el diagrama en árbol:
Aplicando el principio de multiplicación podremos fabricar: 2·5·3 = 30 tipos diferentes de coches.
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19
14.4. Actividad resuelta
14.5. En una comunidad formada por 22 viviendas tiene que renovarse la junta directiva, Para ello
deben elegir al presidente, al vicepresidente, al secretario y a un vocal. ¿De cuántas formas
diferentes se pueden asignar los cuatro cargos?
V22,4 = 22 · 21 · 20 · 19 = 175 560 formas diferentes de asignar los cargos de la junta directiva.
14.6. En una parada de autobús hay 8 personas esperando. Si cuando suben al autobús solo hay 5
asientos libres, ¿de cuántas formas diferentes pueden sentarse?
V8,5 = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 formas diferentes de sentarse.
14.7. Actividad interactiva
14.8. Actividad resuelta.
14.9. Actividad resuelta.
14.10. ¿Cuántas banderas con tres franjas horizontales pueden formarse con los colores blanco,
rojo, azul, verde, naranja y amarillo? Ten en cuenta que puede haber banderas de un solo
color.
3
Disponemos de 6 colores. Si podemos repetir colores obtenemos VR6,3 = 6 = 216 banderas distintas.
14.11. ¿Cuántos números de 5 cifras se pueden formar que contengan solo doses y treses?
Admitiendo los dos casos formados uno exclusivamente por doses y otro por treses tenemos:
5
VR2,5 = 2 = 32 números distintas.
14.12. ¿Cuántas palabras de seis letras se pueden forman que contengan solamente las vocales
a, i y u?
6
Tenemos: VR3,6 = 3 = 729 palabras distintas.
14.13. ¿Cuántos números impares de seis cifras hay que contengan solo unos y cuatros?
Si solo contiene unos y cuatros y además debe ser impar, entonces la cifra de las unidades es
necesariamente un uno. Nos quedan por tanto otras cinco cifras por determinar. Por tanto tenemos:
5
VR2,5 = 2 = 32 números distintas.
14.14. Al lanzar tres dados diferentes, ¿cuántos resultados diferentes pueden obtenerse?
Si lanzamos tres dados, obtenemos VR6,3 = 6³ = 216 resultados distintos.
14.15. Actividad resuelta.
14.16. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
20
a)
12!
6!·6!
a)
12!
12·11·10·9·8·7· 6·5·4·3·2·1 12·11 · 2·5·3·3·4·2 · 7
=
= 12·11
=
· 7 924
=
6!·6!
6·5·4·3·2·1 · 6·5·4·3·2·1
2·3 · 5 ·4 ·3 · 2
b)
10! 10·9·8·7· 6·5·4·3·2·1
= 10·9·8·7
= 5040
=
6!
6·5·4·3·2·1
c)
9!
9·8·7·6·5·4·3·2·1
22 ·3·5·11 5
1
660·
= 22 ·3·5·11
=
= =
12!
12·11
·10
10
2
12·11·10· 9·8·7·6·5·4·3·2·1
Unidad 14 | Combinatoria
b)
10!
6!
c)
660·
9!
12!
14.17. Con las letras de la palabra QUIJOTE, ¿cuántas palabras de 7 letras pueden formarse con
sentido o no?¿Y si la primera letra es la J?
Como ninguna de las letras se repite se trata de las permutaciones de 7 elementos, es decir:
P7 = 7·6·5·4·3·2·1 = 5040 palabras
Si forzamos que la primera letra sea J tenemos que reordenar las otras 6 luego tendremos:
P6 = 6·5·4·3·2·1 = 720 palabras
14.18. Actividad resuelta.
14.19. ¿De cuántas formas diferentes pueden colocarse alineados ocho rayas y cinco puntos? ¿Y
cinco rayas y cuatro puntos?
8,5
Ocho rayas y cinco puntos: P=
13
5,4
Cinco rayas y cuatro puntos: P
=
9
13! 13 ⋅ 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8! 13 ⋅ 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9
=
=
= 1287 formas
8!5!
8!5!
5·4·3·2·1
9!
9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5! 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6
=
=
= 126 formas
5! 4!
5! 4!
4!
14.20. ¿Cuántas quinielas diferentes pueden hacerse con 8 unos, 5 equis y 2 doses?
=
P158,5,2
15!
15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11·10·9·8! 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11·10·9
=
=
= 135 135 quinielas distintas
8!5!2!
8!5!2!
5!2!
14.21. ¿Cuántos números mayores que 100 000 pueden formarse con los dígitos 0, 2, 2, 4, 4, 4?
Podemos calcular todos los números distintos que podemos formar incluyendo los que comiencen
con cero. Después, solo serán menores que 100 000 precisamente aquellos que comiencen con 0, y
como solo hay un cero basta considerar los números que podemos formar con las otras 5 cifras y
restar esta cantidad a la anterior.
2,3
Todos los números posibles: P=
6
2,3
Comienzan por cero: P=
5
6!
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3! 6 ⋅ 5 ⋅ 4
=
=
= 60
2!3!
3!2!
2
5!
5 ⋅ 4 ⋅ 3! 5 ⋅ 4
=
= = 10
2!3!
3!2!
2
Por tanto podrán formarse 60 –10 = 50 números distintos mayores que 100 000
14.22. ¿Cuántos números de ocho cifras pueden escribirse con 3 cincos y 5 treses? ¿Cuántos son
múltiplos de 5?
3,5
P=
8
8!
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5!
=
= 56 números distintos con tres cincos y cinco treses.
5!3!
5!3!
Si es múltiplo de 5, además la última cifra es fija y debe ser 5 luego quedan 2 cincos, 5 treses y 7
posiciones a colocar, es decir:
2,5
P=
7
7!
7 ⋅ 6 ⋅ 5! 7 ⋅ 6
=
= = 21 números distintos y múltiplos de 5.
5!2!
5!2!
2!
14.23. Actividad resuelta.
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21
14.24. En una clase de 28 alumnos tienen que seleccionar a cuatro para una comisión. ¿Cuántos
grupos diferentes pueden formarse?
C=
28, 4
V28, 4
28!
28·27·26·25·24! 28·27·26·25
= =
=
= 20 475 grupos diferentes.
24!4!
24!4!
4!
P4
14.25. Omar tiene que elegir 3 asignaturas entre las 7 que oferta el Conservatorio. ¿Cuántas
elecciones posibles tiene?
C=
7, 3
V7, 3
7!
7·6·5·4!
= =
= 35 elecciones posibles.
4!3!
4!3!
P3
14.26. ¿Cuántos productos diferentes de 4 factores sin repetir pueden hacerse con los dígitos 2, 3, 5,
6, 7, 8 y 9? ¿Cuántos de estos productos son múltiplos de 5?
Las maneras de elegir 4 de esos factores sin importar el orden son C=
7, 4
V7, 4
7!
7·6·5·4!
= =
= 35
P4
4!3!
4!3!
Pero algunas de estas elecciones generan los mismos productos, en particular aquellas formadas por
el 6, el tres y otros dos factores a elegir entre 5, 7 y 8 y las formadas por el 2, el 9 dos factores a
elegir entre 5, 7 y 8.
Como hay C3,2 = 3 formas de elegir 2 factores entre los números 5, 7 y 8, estos tres productos los
hemos contado dos veces.
Así, el número de productos diferentes es 35 – 3 = 32.
Para ser múltiplo de 5 deben contener a 5 como factor con lo que debemos elegir otros tres de entre
los 6 restantes.
Como antes tenemos C=
6, 3
V6, 4
6!
6·5·4
= =
= 20 formas de hacerlo.
P4
3!3!
3!
Y como antes habremos contado dos veces el producto 5·6·3·n y 5·9·2·n siendo n o bien 7 o bien 8
con lo que quedan 18 productos distintos.
14.27. Para formar un equipo de voleibol, el entrenador escoge 3 alumnos de 4.ºA y otros 3 de 4.ºB.
¿Cuánto equipos distintos puede elegir si en 4.ºA hay 25 alumnos y en 4.ºB 28?
Como cada trío de 4.ºA se puede asociar con un trío de 4.ºB tendremos:
C25,
=
3 · C28, 3
25! 28!
28!
28 · 27 · 26 · 25 · 24 · 23
=
=
= 7 534 800 equipos distintos.
·
22!3! 25!3! 22!·3!·3!
3!3!
14.28. Para una visita institucional se forma una comisión con 3 profesores de entre los 9 del
Departamento de Lengua, 2 de entre los 8 del de Matemáticas y 1 de entre los 3 de Educación
Física. ¿Cuántas comisiones distintas pueden formarse?
C9, 3 ·=
C8, 2 · C3,1
9! 8! 3!
9·8·7·8·7·3
·=
·
= 7 056 comisiones pueden formarse.
6!3! 6!2! 2!1!
3!·2!
14.29. Actividad interactiva.
14.30. Actividad resuelta.
14.31. ¿Cuántas pizzas diferentes puede servir una pizzería si los clientes pueden elegir 4
ingredientes diferentes entre 14?
El número de formas de elegir 4 ingredientes entre 14 sin importar el orden es:
C
=
14, 4
22
14!
14·13·12·11·10!
= 1001
=
10!4!
10! ·4!
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14.32. ¿Cuántos números pares de cuatro cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4,
5 y 6? ¿Y si las cifras se repiten?
Si las cifras no se repiten tendremos lo siguiente:
Hay 3 posibilidades de elegir la cifra de las unidades y V5,3 de elegir las decenas, centenas y
unidades de millar, es decir:
3· V5,3 = 3·5·4·3 =180 números pares distintos.
Si las cifras se pueden repetir, tendremos:
3
3· VR6,3 = 3·6 =648 números pares distintos.
14.33. ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 12 alumnos en los cuatro asientos de la
primera fila de la clase? ¿Y si el primer puesto está reservado siempre para el delegado?
Se pueden elegir V12,4 = 12·11·10·9 = 11 880 formas distintas de sentar a 4 de los 12 alumnos.
Si el primero es para el delegado solo quedan 11 alumnos y 3 puestos, luego tendremos:
V11,3 = 11·10·9 = 990 formas distintas.
14.34. ¿Cuántos anagramas, con sentido o sin él, de la palabra COLOCO se pueden escribir?
Tenemos 6 letras, pero la C está dos veces y la O tres, luego tendremos:
2,3
P
=
6
6!
6·5·4
= = 60 anagramas distintos.
2!3!
2
14.35. En una liga de 20 equipos, ¿cuántas clasificaciones distintas pueden darse al final de la
temporada?
El número de formas de reordenar los 20 equipos es: P20 = 20! = 2 432 902 008 176 640 000
14.36. Si solo tres entre ocho concursantes pasan a la segunda fase de un concurso, ¿cuántas
situaciones distintas pueden darse?
Como el orden en que pasan a la final es indiferente, el número de formas de elegir tres concursantes
entre 8 participantes es:
8!
8·7·6
=
C8,3
= = 56
5!3!
3!
Luego podemos tener 56 situaciones diferentes.
14.37. ¿Cuántos múltiplos de 3 con tres cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2 y 4?
Las ternas que generan múltiplos de 3 son:
Los tres dígitos iguales. De estas hay 3 posibilidades.
Un uno y dos cuatros. De estas hay P32 = 3 posibilidades.
Dos unos y un cuatro. De estas hay P32 = 3 posibilidades.
El resto de ternas ({1,2,4}; {1,2,2};{1,1,2};{2,2,4};{4,4,2}) no generan múltiplos de 3.
Por tanto se pueden formar 3 + 3 + 3 = 9 posibilidades
14.38. ¿Cuántos capicúas hay de 8 cifras?
Como la cifra de las centenas de millón (y de las unidades) no puede ser cero para que realmente
sea de 8 cifras, tendremos 9 posibilidades de seleccionar dicha cifra y después las para las otras tres
tendremos VR10,3, es decir:
3
9· VR10,3 =9·10 = 9000 números capicúas distintos de 8 cifras
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EJERCICIOS
Diagramas de árbol. Principio de multiplicación
14.39. Una urna contiene 5 bolas blancas y 2 negras. Se extraen 3 bolas consecutivamente y sin
devolución. Realiza un diagrama de árbol para calcular el número de resultados posibles.
El número de resultados posibles es V7,3 = 7 · 6 · 5 = 210 formas distintas de extraer la bolas.
14.40. La combinación secreta de una caja fuerte está formada por tres números diferentes (1, 2 y 3) y
dos letras (X e Y).
Realiza el diagrama de árbol y calcula el número de combinaciones posibles.
Como van los tres números seguidos de las dos letras, el número de combinaciones posibles será
P3·P2 = 6 · 2 = 12
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Unidad 14 | Combinatoria
14.41. El equipamiento del equipo de baloncesto consta de 3 camisetas diferentes, 3 pantalones
distintos y 5 pares de medias. ¿Cuántas equipaciones diferentes pueden hacerse?
Aplicando el principio de multiplicación tendremos: 3·3·5 = 45 equipaciones distintas.
14.42. Utiliza un diagrama de árbol para encontrar todos los números de 5 cifras que pueden
formarse con 3 cincos y 2 sietes.
14.V.
2,3
Se pueden formar P
=
5
5!
= 10
2!3!
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14.43. El código de la taquilla de Zaira está formado por 4 números del 1 al 4, repetidos o no.
Con ayuda de un diagrama de árbol, describe y calcula el número de posibles códigos que se
pueden utilizar para abrir la taquilla.
4
El número de códigos posibles es: VR4,4 = 4 = 64
Variaciones
14.44. ¿De cuántas formas pueden repartirse cuatro premios de diferente categoría entre las 885
personas que han participado en un certamen literario?
El número de formas posibles de repartir los cuatro premios es:
V885,4 = 885 · 884 · 883 · 882 = 609 291 086 040
14.45. La clave de acceso al Banconet está formada por 3 letras, exceptuando la ñ, seguidas de 2
números. Si el sistema de identificación bancario distingue entre minúsculas y mayúsculas,
¿cuántas combinaciones diferentes puede haber?
Disponemos de 26 letras minúsculas y 26 mayúsculas y de 10 dígitos, es decir, 52 letras y 10 dígitos.
El número de combinaciones posibles es:
3
2
VR52,3 · VR10,2 = 52 · 10 = 14 060 800
14.46. En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. Extraemos una, anotamos su número y la
devolvemos a la bolsa. Repetimos la operación 3 veces. ¿Cuántos resultados diferentes se
pueden dar?
3
El número de resultados diferentes es: VR8,3 = 8 = 512
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14.47. Con las letras de la palabra MURCIÉLAGO:
a)
¿Cuántas palabras de cuatro letras sin repetir se pueden formar?
b)
¿Cuántas palabras de cuatro letras repetidas o no se pueden construir?
c)
De las palabras del apartado b, ¿cuántas empiezan y terminan por vocal?
En todos los casos no tengas en cuenta si las palabras formadas tienen o no sentido.
a)
Disponemos de 10 letras distintas luego el número de palabras de 4 letras sin repetir será:
V10,4 = 10·9·8·7 = 5040
4
b)
VR10,4 = 10 = 10000
c)
Las opciones para la 1.ª y 4.ª letra son 5, de modo que el número total de palabras será:
2
5·VR10,2 · 5 = 25·10 =2500
14.48. Con los números del 1 al 6, ambos inclusive, ¿cuántos números de 3 cifras distintas pueden
formarse que sean divisibles entre 3?
Las únicas ternas que hacen que el número sea múltiplo de 3 son {3,1,2} {3, 1, 5} {3, 2, 4} {6, 1, 2}
{6, 1, 5} {6, 2, 4}
Con cada terna podemos formar P3 = 3! = 6 números distintos.
Por tanto tendremos 6·P3 = 6 · 6 = 36 múltiplos de 3
14.49. ¿Cuántos números capicúas de 4 cifras existen? ¿Cuántos son pares? ¿Cuántos son
múltiplos de 5? ¿Cuántos son menores que 3200?
2
Números capicúas de 4 cifras: VR10,2 = 10 = 100. Ahora, 100 – 10 (los que empiezan por 0) = 90.
Números capicúas pares: 4 ⋅ 10 =
40
Números capicúas múltiplos de 5 son solo los que terminan por 5. Hay 10 que empiezan y terminan
por 5.
Números capicúas menores que 3200 son los que empiezan por 1 (hay 10), los que empiezan por 2
(hay 10) y los que empiezan por 30 o 31 (hay 2). En total tendremos 22.
14.50. Calcula el valor de x en estas igualdades.
a)
VRx,4 = 20·VRx,2 – VR8,2
b)
5Vx, 3 = Vx+2, 3
a)
VRx,4 = 20·VRx,2 – VR8,2  x = 20·x – 8  x – 20x + 64 = 0
4
2
2
4
2
2
2
Resolvemos la ecuación bicuadrada con el cambio: x = t  t – 20t + 64 = 0
t
=
20 ± 202 − 4·1·64 t =
±4
16 ⇒ x =
= 
4⇒x =
±2
2·1
t =
De estas soluciones solo tienen sentido las positivas x = 2 y x = 4
b)
5·Vx,3 = Vx+2,3  5x·(x – 1)(x – 2) = (x + 2)(x + 1) x 5x·(x – 1)(x – 2) – (x + 2)(x + 1) x =0
2
2
2
2
x·(5x – 15x + 10 – x – 3x – 2) = 0  x·(4x – 18x +8) = 0 2 x·(2x – 9x + 4) = 0
2
o bien x = 0 o bien (2x – 9x + 4) = 0
=
x
9 ± 81 − 32  x = 4
= 
1
2·2
x = 2
Solo tiene sentido en este contexto la solución x = 4
Permutaciones
14.51. Estefanía coloca en una estantería de la cocina los cereales. Si tiene 5 clases diferentes de
cereales empaquetados en cajas, ¿cuántas ordenaciones distintas puede hacer?
En número de ordenaciones distintas es P5 = 5! = 120
Combinatoria | Unidad 14
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14.52. Con las letras de la palabra PERMUTACIÓN, ¿cuántas agrupaciones diferentes pueden
hacerse? ¿Cuántas de ellas empezarían por P? ¿Y por PA?
Disponemos de 11 letras todas distintas que podremos reordenar de P11 formas distintas, es decir:
P=
11!
= 11· 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 =
· 1 39 916 800 reordenaciones distintas.
11
Si fijamos P como la primera letra tendremos: P=
10!
= 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2=
· 1 3 628 800
10
reordenaciones distintas.
Si fijamos PA como las dos primeras letras tendremos: P=
9!
= 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 ·=
1 362 880
9
reordenaciones distintas.
14.53. La lista de reproducción con las canciones favoritas de Montse tiene 14 canciones. Si el MP4
de Montse las reproduce aleatoriamente, ¿cuántas reproducciones diferentes puede haber?
Disponemos de 14 canciones todas distintas que podremos reordenar de P14 formas distintas:
P=
14!
= 14 · 13 · 12 · 11· 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2=
· 1 87 178 291 200 reordenaciones distintas.
14
14.54. ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras pueden formarse con 3 treses y 3 sietes?
Podremos formar=
P63,3
6!
6·5· 4
=
= 20 números distintos
3! · 3!
3!
14.55. El diseño de un nuevo circuito de velocidad debe incluir 9 curvas, de las cuales cuatro deben
ser hacia la derecha y cinco hacia la izquierda. ¿De cuántas formas diferentes puede
distribuirse el circuito?
Podremos colocarlas de
PR95,4
formas distintas, es decir,
5,4
PR
=
9
9!
9·8·7·6
=
= 126
5! · 4!
4!
distribuciones distintas.
14.56. El AVE que une las ciudades de Madrid y Zaragoza está formado por seis vagones: 4 de clase
turista y 2 de clase preferente.
¿De cuántas formas posibles pueden ordenarse los vagones detrás de la cabecera?
2,4
Podremos ordenarse de PR
=
6
6!
6·5
= = 15 formas distintas.
2! · 4!
2!
14.57. Nueve amigos quieren hacerse una fotografía de tal manera que los cinco más altos se
colocarán atrás, y los más bajos, sentados delante. ¿De cuántas formas diferentes pueden
colocarse?
Los altos pueden colocarse de P5 formas distintas, y los más bajos de P4 formas, de modo que
tendremos P5 =
· P4 5!
· 4! 120=
· 24 2880 formas de colocarlos
=
14.58. El aula de informática de un instituto tiene 10 ventanas. Teniendo en cuenta que sus
posiciones posibles son abiertas o cerradas, y que debe haber 6 abiertas y 4 cerradas, calcula
el número de posiciones distintas que pueden tener las ventanas.
El número de formas de seleccionar las abiertas y cerradas es:
6,4
PR
=
C=
10
10,6
28
Unidad 14 | Combinatoria
10!
10 · 9 · 8 · 7
=
= 210 posiciones distintas
6! · 4!
4!
14.59. ¿Cuántos números mayores que 2 000 000 pueden formarse con:
a)
4 cincos, 2 unos y 1 siete
b)
Los dígitos 1, 2 y 3
a)
Para se mayor que 2 000 000 la primera cifra debe ser un 5 o un 7
Si la primera es un 5 nos quedan por colocar tres cincos dos unos y un 7, es decir:
6!
6·5· 4
=
= 60 números
3! · 2!
2!
3,2
PR
=
6
Si la primera cifra es el 7 nos quedan por colocar cuatro cincos y dos unos, es decir:
6!
6·5
= = 15 números.
4! · 2!
2!
4,2
PR
=
6
En total tenemos 60 + 15 = 75 números distintos
b)
Con 7 dígitos a elegir entre 1, 2 y 3 necesitamos que el primero sea un 2 o un 3.
6
6
Si el primero es un 2 tendremos: VR3,6
= 3=
729 y si es un 3 tendremos VR3,6
= 3=
729
Por tanto serán 729 + 729 = 1 458 números distintos.
14.60. Resuelve las siguientes ecuaciones encontrando los valores de las incógnitas..
a)
a)
PRn4,2,1 21
=
3
PRn2,2,2
−2
PRn2,2,1 = V6,2
b)
c)
PR85,3 = 5· Px
2
PRn4,2,1 21
( n − 2 )!
n!
n!
21· 4!·2!
21· PRn2,2,2
21·
=⇒ 3 · PRn4,2,1 =
=
⇒
=
−2 ⇒ 3 ·
2,2,2
3
4!·2!
2!·2! · 2!
PRn − 2
( n − 2 )! 3 · 2!·2! · 2!
⇒ n · (n − 1) = 42 ⇒ n 2 − n − 42 = 0 ⇒ n =
n = 7
1 ± 1 + 168 
=
2
n = −6
Tiene sentido la solución n = 7.
b)
c)
n!
6!
=
⇒ n ! = 6·5·2!·2!·1! ⇒ n ! = 120 ⇒ n = 5
2!·2!·1! 4!
Para que tenga sentido necesitamos que x sea par, es decir, x = 2y pero como
PRn2,2,1 = V6,2 ⇒
8!
= 56 , y 56 no es múltiplo de 5, entonces es imposible que 56 = 5· Px y la ecuación
5!·3!
2
5,3
=
PR
8
no tiene solución.
Combinaciones
14.61. Relaciona en tu cuaderno las operaciones de la columna de la izquierda con la herramienta
combinatoria correspondiente de la derecha.
8!
V8,5
8!
5!3!
VR8,5
8·7·6·5·4
P8
5
PR85,3
8
8! = P8
8!
= PR85,3
5!3!
8 ·7 · 6 · 5 · 4 = V8,5
5
8 = VR8,5
Combinatoria | Unidad 14
29
14.62. En el juego del mus se reparten cuatro cartas a cada jugador. En el reparto inicial, ¿cuántas
manos diferentes puede tener el primer jugador?
El número de formas de elegir cuatro cartas sin importar el orden en que se eligen es C40,4, es decir,
=
C40,4
40!
40 · 39 · 38 · 37
=
= 91 390 manos distintas
36!·4!
4!
14.63. ¿Cuántos cuadriláteros distintos pueden formarse con 14 puntos en el plano, sabiendo que no
existen 3 puntos alineados?
C14,4
El número de formas de elegir los cuatro vértices es=
14!
14 · 13 · 12 · 11
=
= 1001
10!·4!
4!
14.64. Un alumno debe contestar 10 de las 18 preguntas de que consta un examen, de las que 5 son
obligatorias. ¿De cuántas formas diferentes puede responder?
Si 5 son obligatorias deberá elegir las otras 5 de entre las 13 restantes.
=
El número de elecciones posibles será C
13,5
2,4
14.65. ¿Qué relación hay entre P6
13! 13 · 12 · 11· 10 · 9
=
= 1287
8!·5!
5!
, C6,2 y C6.4?
Las tres son iguales entre sí e iguales a
6!
= 15
4!·2!
14.66. En el juego de Euromillones hay que seleccionar 5 números del 1 al 50 y 2 estrellas numeradas
del 1 al 11. ¿Cuántas apuestas diferentes pueden hacerse?
50!
11!
= 2 118 760 formas de elegir los 5 números y =
C11,2 = 55 formas de elegir las
45!·5!
9!·2!
dos estrellas. Por tanto habrá 55 · 2 118 760 = 116 531 800 apuestas distintas posibles.
C50,5
Hay=
14.67. María ha comprado pintura azul, blanca, amarilla y verde para pintar su casa. Decide probar
con mezclas de 2 tonos. ¿Cuántas tonalidades diferentes obtiene?
El número de formas de elegir 2 pinturas de entre las 4 es C4,2 = 6 combinaciones posibles
14.68. Adrián tiene en la nevera calabacines, acelgas, borrajas, zanahorias, patatas, judías verdes y
puerros. Eligiendo solo 5 verduras, ¿cuántas cremas de verduras diferentes podría
elaborar?¿Y si elige solo 3 verduras?
Tiene 7 verduras para elegir y debe seleccionar 5 luego podrá hacer C7,5 = 21 cremas distintas.
Si elige sólo tres verduras, podrá hacer C7,3 = 35 cremas distintas.
14.69. Con las cifras 1, 3, 5, 7 y 9:
30
a)
¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar?
b)
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se pueden conseguir?
c)
¿Cuántos productos de 3 factores distintos se pueden realizar?
a)
V5,3 = 5 · 4 · 3 = 60 números de 3 cifras distintas.
b)
P5 = 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1= 120 números de 5 cifras distintas (Coincide con V5,5)
c)
Con esos números ningún par de ternas posibles generan el mismo producto por tanto tenemos
5!
=
C5,3
= 10 productos distintos posibles
3!·2!
Unidad 14 | Combinatoria
14.70. ¿Cuántos triángulos diferentes pueden formarse al unir tres vértices de un octógono? ¿Y de
un decágono?
En un octógono regular (u otro que no tenga tres vértices alineados) tenemos C8,3 formas distintas de
seleccionar conjuntos de 3 vértices y como cada trío genera un único triángulo tendremos
8!
=
C8,3
= 56 triángulos distintos.
5!·3!
En el caso del decágono tendremos C
=
10,3
10!
= 120 triángulos distintos
7!·3!
14.71. Cierta comarca está formada por 15 pueblos, y todos sus Ayuntamientos deciden rehabilitar
sus carreteras.
Si todas las localidades se encuentran comunicadas entre sí, ¿cuántas carreteras deberán
rehabilitarse?
Habrá tantas carreteras como pares de pueblos distintos podamos formar, es decir, habrá que
15!
rehabilitar =
C15,2 = 105 carreteras.
13!·2!
14.72. En una clase hay 15 chicos y 10 chicas. Se quiere escoger a 5 alumnos, respetando la
proporcionalidad de chicos y chicas. ¿De cuántas formas diferentes pueden elegirse?
Si de 25 estudiantes 15 son chicos, entonces de 5, necesitaremos x chicos de forma que
15 x
= ,
25 5
esto es 3 chicos.
Ahora
el
número de formas distintas
15! 10!
· C10,2
·
455
· 45 20 475
C15,3
=
=
=
12!·3! 8!·2!
de
elegir
3
chicos
y
2
chicas
será:
14.73. Calcula el valor de x en la siguiente ecuación..
Cx + 3,3 – Vx,2 = VRx + 1,2
Cx + 3,3 − Vx ,2 = VRx +1,2 ⇒
( x + 3)!
( x + 3)·( x + 2)·( x + 1)
x!
−
= ( x + 1)2 ⇒
− x·( x − 1) = ( x + 1)2
( x − 2)!
6
x !·3!
x3 − 6x 2 + 5x
=
0 ⇒ ( x 2 − 6 x + 5)x =
0⇒x =
0 ∨ x 2 − 6x + 5 =
0
6
x = 5
6 ± 36 − 20 
⇒ x =0 ∨ x =
=
2
 x = 1
Para x = 0 y x = 1 la expresión Vx,2 carece de sentido, por tanto la única solución es x = 5.
PROBLEMAS
14.74. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 7 amigos que acuden a un concierto de música clásica
en una fila de 7 butacas? ¿Y si la persona de mayor edad siempre se sienta en la última butaca
de la fila?
Formas de sentarse: P=
7!
= 5040
7
Si fijamos una posición: P=
6!
= 720 formas
6
Combinatoria | Unidad 14
31
14.75. Una persona ha olvidado su clave de la tarjeta de crédito. Solo recuerda que empieza por 9 y
que es un número par. ¿Qué posibilidad tienen de encontrarla sabiendo que las claves son de
4 cifras con posible repetición?
Si empieza por 9 nos faltan 3 cifras por determinar. Por ser par la última solo puede ser, 0, 2, 4, 6 u 8.
Las dos cifras centrales pueden ser cualquiera, por tanto el número de claves posibles es:
2
5 · VR10,2 = 5 · 10 = 500
14.76. En un intercambio cultural participan 24 alumnos. El monitor responsable desea distribuirlos
por parejas para completar los asientos del autobús.
a)
¿De cuántas formas puede realizarlo?
b)
Si hay 8 alumnos del mismo país, ¿en cuántas posiciones estos 8 alumnos no estarán
emparejados entre ellos?
C24,2
a) =
b)
24!
= 276 formas de emparejar a los alumnos.
22!·2!
En C8,2 = 28 de esos agrupamientos están los alumnos del mismo país juntos.
Por tanto, en 276 – 28 = 248, alguno de los alumnos del mismo país están mezclados con el
resto.
14.77. Un equipo de balonmano está formado por seis jugadores de campo y un portero.
Si un entrenador dispone de 12 jugadoras de campo y 2 porteras, ¿cuántas alineaciones
distintas puede completar?
Las posiciones de las 6 jugadoras son distintas, por lo tanto, si influye el orden, por lo que el número
de alineaciones distintas es: 2 ⋅ V12,6 =
2 ⋅ 665 280 =
1 330 560 .
14.78. En las actividades de fin de curso de un centro se organiza un partido y se premia a quien
adivine el resultado del encuentro.
Contabiliza todos los tanteos que en principio se pueden producir si se ha decidido imponer
un tope de 7 goles por equipo.
Si han apostado 4 personas por cada resultado y cada apuesta cuesta un euro, ¿cuánto recibe
cada uno de los que ganen?
Con un tope de 7 goles cada equipo puede tener en su marcador hasta 8 resultados distintos, por
2
tanto el nº total de tanteos posibles será: VR8,2 = 8 = 64 tanteos posibles.
La recaudación ascenderá a 4 · 64 = 256 €.
Como habrá 4 acertantes cada uno recibirá 64 €
14.79. Los números escritos en base ocho solo permiten el uso de cifras del 0 al 7.
32
a)
¿Cuántos números de 4 cifras escritos en dicha base tienen todas las cifras distintas?
b)
¿Cuántos números de 6 cifras escritos en dicha base tienen todas las cifras distintas?
a)
Si no consideramos aquellos que empiezan por cero tenemos:
V8,4 – V7,3 = 8 · 7 · 6 · 5 – 7 · 6 · 5 = 1680 – 210 = 1470 números distintos con todas sus cifras
distintas.
b)
V8,6 – V7,5 = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 – 7 · 6 · 5 · 4 · 3 = 20 160 – 2 520 = 17 640 números
Unidad 14 | Combinatoria
14.80. Se define un byte como una combinación de 8 dígitos que solo pueden ser ceros y unos.
¿Cuántos bytes distintos hay que tengan 6 ceros y 2 unos? ¿Cuántos de estos bytes terminan
en 1?
6,2
PR=
C=
8
8,6
8!
= 28 bytes distintos.
6!2!
Si imponemos que terminen en 1 tendremos que determinar 7 dígitos en los que uno de ellos es un 1
6,1
y el resto son ceros, es decir, 7 posibilidades (o si se prefiere PR=
C=
7)
7
7,1
14.81. La codificación de los libros de una biblioteca se establece de la siguiente manera: los 3
primeros dígitos del código hacen referencia a la sección a la que pertenece el libro; los 2
siguientes, al número de la estantería en la que se encuentra, y los 2 últimos, a la posición que
ocupa dentro de dicha estantería.
Teniendo en cuenta que se utilizan las cifras del 0 al 9, ¿cuántos libros se pueden codificar?
7
Número de libros que se pueden codificar: VR10,7
= 10
=
10 000 000 .
Si, como es razonable, consideramos que no hay sección (0 0 0), ni estantería (0 0), ni posición (0, 0),
la respuesta es: 999 · 99 · 99 = 9 791 199.
14.82. La contraseña de acceso a la cuenta de cierto correo electrónico está formada por 8
caracteres. Los 5 primeros son dígitos del 1 al 9, y los 3 últimos son vocales.
a)
¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar?
b)
¿Cuántas de ellas terminan en a?
a)
Número de contraseñas distintas: VR9,5 ⋅ VR5,3 = 95 ⋅ 53 = 7 381125
b)
Terminan en a: VR9,5 ⋅ VR5,2 = 95 ⋅ 52 = 1 476 225
14.83. Santi, Pilar, Ana, Rodrigo y Elena van a ir de viaje en un coche de 5 plazas con dos asientos
delanteros y tres traseros.
Solo las tres chicas tienen carné de conducir y, además, Santi tiene que ir en los asientos
delanteros porque se marea.
Teniendo en cuenta estas condiciones:
a)
¿De cuántas formas diferentes pueden ocupar los asientos del coche?
b)
¿En cuántas de estas formas irá Rodrigo sentado al lado de una de las cuatro ventanillas?
c)
¿En cuántos casos irá Ana sentada entre Pilar y Rodrigo?
d)
¿En cuántos casos irá Santi sentado al lado de Rodrigo?
a)
El asiento del copiloto lo ocupa Santi. Para elegir conductor hay 3 posibilidades. Después los
otros tres asientos se podrán ocupar de cualquier modo. Por tanto habrá 3 ⋅ P3 =3 ⋅ 3! =18
formas distintas de ocupar los asientos.
b)
Rodrigo no irá en una ventanilla si ocupa el asiento central trasero, es decir, tendremos
3 ⋅ P2 =3 ⋅ 2! =6 formas en las que NO va sentado junto a la ventanilla.
Quedan por tanto 18 – 6 = 12 formas en las que sí irá sentado junto a la ventanilla.
c)
Si Ana va entre Pilar y Rodrigo, la conductora debe ser Elena, el copiloto Santi y el asiento
central estará ocupado por Ana. Quedan por tanto P2 = 2 formas posibles de colocar a Pilar y
Rodrigo.
d)
En ninguno. Santi va delante y Rodrigo no conduce.
Combinatoria | Unidad 14
33
14.84. Un programa de ordenador descifra claves secretas en tiempo récord. Una agencia de
investigación necesita descubrir un código de 5 dígitos y 3 letras, y en ese orden.
Sabiendo que emplea una milésima de segundo en analizar cada código, ¿cuántos días tardará
en desvelar el código secreto?
El número de códigos posibles es VR10,5 ⋅ VR26,3 = 105 ⋅ 263 = 1 757 600 000
Tardará por tanto 1 757 600 segundos es decir 20 días 8 horas 13 minutos 20 segundos como
mucho, puesto que puede descifrarla antes de probar todas las posibilidades.
14.85. Determina cuál de las siguientes relaciones es la correcta, siendo n un número natural mayor
que 1, y justifica tu respuesta.
n! < n
n
n! = n
n
n! > n
n
La relación correcta es la primera, ya que n ! = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ ... ⋅ 1 < n n = n ⋅ n ⋅ n ⋅ ... ⋅ n
14.86. Con las cifras impares:
a)
¿Cuántos resultados distintos se pueden obtener al sumarlas de 3 en 3?
b)
De los números de 5 cifras diferentes que se pueden formar, ¿cuántos son mayores que
70 000?
c)
¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden conseguir? Averigua la suma de todas
ellas.
a)
Como existen sumas coincidentes, como 1 + 3 + 9 =1 + 5 + 7, hay que tener en cuenta que todas
las sumas diferentes son los números impares desde 9 hasta 21. En total 7.
b)
De los números de 5 cifras diferentes que se pueden formar son mayores que 70 000 aquellos
que empiezan por 7 y 9: 2 ⋅ P4 =
48 .
c)
Números de 3 cifras distintas = V5,3 = 60
Para calcular la suma de todos ellos:
Al ser números de tres cifras, serán de la forma C D U (centenas, decenas y unidades).
∑U= V ⋅ 9 + V ⋅ 7 + V
∑ D =10 ⋅ 300 =3000
∑C = 100 ⋅ 300 = 30000
4,2
4,2
4,2
⋅ 5 + ... + V4,2 ⋅ 1= 300 

⇒


∑ Total =33300
14.87. El número de combinaciones de m elementos tomados de n en n es igual a Cm ,n =
Vm ,n
, pero
Pn
hay otra manera de calcular este número en la que la expresión obtenida depende solo de
factoriales. Obtén esta fórmula.
Vm,n m·(m − 1)······(m − (n − 1)) m·(m − 1)······(m − (n − 1))·[(m − n )·(m − n − 1) ·.....·1]
=
=
=
Pn
n!
[(m − n )·(m − n − 1) ·.....·1]· n !
m!
=
(m − n )!·n !
C=
m ,n
34
Unidad 14 | Combinatoria
AMPLIACIÓN
14.88. Las antiguas matrículas de un país consistían en una letra (de un total de 26) seguida de
cuatro dígitos. Las nuevas consisten en tres letras seguidas de tres dígitos. ¿Cuál es el
cociente entre el posible número de matrículas nuevas y el de antiguas?
a)
262
10
b)
26
10
c)
263
103
d)
263
102
4
El número de matrículas antiguas viene dado por A = 26 · VR10,4 = 26 · 10 y el número de matrículas
3
3
nuevas, por B = VR26,3 · VR10,3 = 26 · 10 .
Así pues, el cociente pedido
B
263 · 103
262
sería
, opción a).
=
A
10
26 · 104
14.89. En una fiesta, cada chico bailó exactamente con 3 chicas y cada chica bailó solamente con 2
chicos. Si había 12 chicos en la fiesta, ¿cuántas chicas había?
a)
2
b)
18
c)
16
d)
8
Llamando x al número de chicas que había en la fiesta, y contando las parejas que se formaron,
podemos escribir que, atendiendo al número de chicos, el número de parejas formadas fue 12 · 3 y
atendiendo al número de chicas, x · 2.
Así pues 12 · 3 = 2x y x = 18, opción b).
14.90. En una hamburguesería hay 3 tipos de carne, pero 8 tipos de salsas. Un cliente puede escoger
uno de los tres tipos de carne y cualquier número de salsas, e incluso no tomar salsa.
¿Cuántas hamburguesas distintas podría tomar?
a)
24
b)
256
c)
768
d)
40 320
Cada uno de los 8 tipos de salsa puede ser escogida o no, por tanto habrá una elección o una “no
elección” en 8 casos, luego tendremos VR2,8 formas de elegir las salsas.
8
Como esto es para cada una de las tres carnes, tendremos un total de 3 · VR2,8 = 3 · 2 = 768
combinaciones posibles, respuesta c).
14.91. Un mesón ofrece el doble de primeros platos que de segundos y tres postres. Un menú
consiste en un primer plato, un segundo y un postre. ¿Cuál es el mínimo número de segundos
platos que debe ofrecer el restaurante para asegurar que un cliente podría tomar menús
diferentes a lo largo de todo un año?
a)
5
b)
6
c)
7
d)
8
Llamando n al número de segundos platos, 2n es el número de primeros platos, por lo que el número
de menús vendrá dado por 2n · n · 3.
Nos dicen que 2n · n · 3 ≥ 365, es decir, n 2 ≥
365
, por lo que al ser n entero, deberá ocurrir que
6
n ≥ 8, con lo que la opción correcta es d).
14.92. Un número de teléfono de 7 dígitos d1 d2 d3 d4 d5 d6 d7 decimos que es “memorizable” si la
sucesión d1 d2 d3 es la misma que la d4 d5 d6 o que la d5 d6 d7 (o incluso que las dos). Si
cada dígito puede ser de 0 a 9, ¿cuántos teléfonos memorizables hay?
a)
19 810
b)
19 910
c)
19 950
d)
19 990
Calculemos en primer lugar el número de teléfonos “memorizables” porque la sucesión d1d2d3 sea la
4
3
· 10 = 10 .
d4d5d6 siendo d7 cualquier dígito. Este número será, pues, VR10
4
Análogamente, cuando d1d2d3 sea d5d6d7 siendo d4 cualquier dígito habrá otros 10 números. Pero
aquí ha habido números que hemos contado dos veces, en concreto, cuando todos los dígitos sean el
mismo número. Como hay 10 números con estas características, la respuesta será
4
2 · 10 − 10 = 19 990, opción d).
Combinatoria | Unidad 14
35
AUTOEVALUACIÓN
14.1. Se organiza una fiesta solidaria con el fin de recaudar fondos para el centro de personas
mayores del barrio. En dicha fiesta se disponen 4 tipos de bocadillos, 2 clases de refresco y 2
postres. Dibuja el diagrama de árbol correspondiente a la elección de un bocadillo, un refresco
y un postre.
¿Cuántas posibilidades distintas existen?
Hay 4 ⋅ 2 ⋅ 2 =
16 posibilidades distintas.
14.2. Sara tiene 4 hijos y ha comprado un marco para poner alineadas una foto de cada uno de sus
hijos.
¿De cuántas formas distintas puede colocar Sara las fotos de sus hijos?
Podrá colocarlos de P4 = 4! = 24 formas distintas
14.3. Juan tiene 5 camisetas y quiere elegir 3 para llevarlas en su viaje de fin de semana.
¿De cuántas formas distintas puede realizar la elección?
Podrá elegir las camisetas de C5,3 = 10 formas distintas
14.4. ¿Cuántos números de 8 cifras se pueden construir con 4 doses, 2 cincos y 2 treses? ¿Cuántos
de ellos son pares?
Pueden formarse =
PR84,2,2
8!
= 420 números distintos.
4!⋅ 2!⋅ 2!
Si son pares la última cifra es un dos, por tanto habrá =
PR73,2,2
36
Unidad 14 | Combinatoria
7!
= 210 números distintos.
3!⋅ 2!⋅ 2!
14.5. ¿De cuántas formas diferentes se pueden extraer 3 figuras de entre todas las existentes en una
baraja española de 40 cartas?
Hay C
=
12,3
12!
= 220 formas distintas de extraer 3 figuras.
9!·3!
14.6. Los cuatro refugios de un parque natural están comunicados todos ellos dos a dos. ¿Cuántos
caminos diferentes hay?
Por cada pareja de refugios hay un camino. Esto hace un total de =
C4,2
4!
= 6 caminos diferentes.
2!·2!
14.7. Calcula el valor de x en las siguientes igualdades:
a) Vx,3 = 4Cx + 1,2
b)
Px = 20Px – 2
a)
x!
( x + 1)!
=4⋅
⇔ x 3 − 5 x 2 = 0 ⇒ x = 0 y x = 5 . Solo tiene sentido la solución x = 5.
( x − 3)!
( x − 1)!·2!
b)
x ! =20 ⋅ ( x − 2)! ⇔ x 2 − x − 20 =0 ⇒ x =5 y x =−4 , pero solo tiene sentido x = 5.
14.8. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 6 camisetas amarillas y 4 rojas?
6,4
Se pueden colocar de PR
=
10
10!
= 210 formas distintas.
6!·4!
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Conoce e identifica > Banderas de colores
El color que aprecias en las cosas que te rodean no es más que una percepción visual que se genera
en tu cerebro al interpretar las sensaciones nerviosas que le envían unas células de la retina
llamadas fotorreceptores o conos.
Como hay tres tipos de conos, se dice que hay tres colores primarios, que son los que producen una
sensibilidad máxima en cada uno de estos tipos de células. Estos colores son el rojo, el verde y el
azul.
Combinando dos de estos colores en proporciones iguales se producen los colores aditivos
secundarios: cian, magenta y amarillo. Este proceso es recíproco si en vez de utilizar colores de luz
se utilizan pigmentos de color y se mezclan. En este caso se llaman primarios el cian, el magenta y
el amarillo, porque con ellos se obtienen el rojo, el verde y el azul.
Si a estos seis colores se añade el blanco, suma de los tres colores primarios de luz, y el negro,
ausencia de los tres, se obtienen los ocho colores elementales.
14.1. Las especies animales que tienen estos tres tipos de fotorreceptores (como la humana) se
llaman tricrómatas. Otras especies, como, por ejemplo, los marsupiales, son tetracrómatas
porque tienen cuatro tipos de fotorreceptores. ¿Cuántos serían los colores elementales para
estas especies?
Cuatro.
14.2. Antonio y Beatriz están entretenidos diseñando banderines tricolores con estos ocho colores
elementales. Cada banderín está formado por tres franjas horizontales de igual anchura.
¿Cuántos banderines diferentes podrán formar?
V8,3 = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336
Combinatoria | Unidad 14
37
14.3. Antonio se da cuenta de que hay países, como Argentina o Austria, que tienen una bandera
con tres franjas horizontales iguales pero bicolores.
a)
¿Cómo son las banderas de estos países?
b)
¿Cuántos banderines con estas características podrán diseñar Antonio y Beatriz?
a)
Argentina: azul, blanco, azul.
b)
V8,2 = 8 ⋅ 7 = 56
Austria: rojo, blanco, rojo.
14.4. Si cada una de las tres franjas de los banderines se puede rellenar con cualquiera de estos
ocho colores, aparecerán banderines monocolores y bicolores también. ¿Cuántos banderines
diferentes se pueden diseñar ahora?
3
VR8,3
= 8=
512
14.5. A Beatriz se le ha ocurrido diseñar pines tricolores con forma circular. Cada color ocupará un
sector circular de la misma superficie que los otros.
Ella está convencida de que puede diseñar el mismo número de pines que de banderines con
franjas horizontales tricolores, pero Antonio opina que no. ¿Quién tiene razón? Justifica tu
respuesta calculando el número de pines circulares diferentes que se pueden diseñar.
Con tres colores en horizontal se pueden diseñar 6 banderines, 3! = 6.
Con tres colores para banderines en forma circular solo hay dos diseños, pues los banderines RVA,
VAR, ARV son el mismo, y RAV, AVR y VRA también, ya que son permutaciones cíclicas.
Por tanto, el número de pines circulares será: 2 ·C8,3 = 2 · 56 = 112 .
14.6. En esta página hay cuatro banderas.
38
a)
¿A qué países corresponden?
b)
¿Cuáles de ellos pertenecen a la Unión Europea?
a)
Bulgaria, Italia, Polonia y Marruecos.
b)
Bulgaria, Italia y Polonia.
Unidad 14 | Combinatoria
Calcula y piensa > Combinatoria con ritmo
La combinatoria también está muy presente en la música. En esta actividad recordarás algunos
conceptos básicos sobre el ritmo para determinar cuántas posibilidades te ofrece.
En música, la duración de los sonidos y las pausas se representa mediante un conjunto de signos
llamados figuras y silencios. La referencia es la negra, a la que se asigna una duración de un tiempo.
Redonda
Blanca
Negra
Corchea
Semicorchea
4
2
1
1
2
1
4
Figura
Silencio
Duración
Un compás es una división del tiempo en partes iguales. Los compases se representan mediante
una fracción donde el numerador indica el número de pulsos o partes, y el denominador, la figura
4
que ocupa cada una de las partes, de acuerdo con las duraciones anteriores. Así, un compás de
4
(se lee “cuatro por cuatro”) puede contener cuatro negras; será el único que utilizarás en esta
actividad. Se representa así:
4
también puede contener dos blancas, o
4
una redonda, o dos negras y una blanca… Cada combinación es un ritmo distinto. Ten en cuenta que
cuatro negras son una sola combinación, pero tres negras y un silencio de negra dan lugar a cuatro
combinaciones distintas, según dónde sitúes el silencio.
De acuerdo con las duraciones de la tabla, un compás de
14.7. Calcula cuántos ritmos se pueden crear en un compás utilizando solo (pero no necesariamente
todas) las siguientes figuras y silencios.
a) Redondas y blancas.
e) Redondas, blancas y sus silencios.
b) Redondas, blancas y negras.
f) Redondas, blancas, negras y sus silencios.
c) Blancas y silencios de blanca.
g) Todas las figuras (ningún silencio).
d) Negras y silencios de negra.
a) Dos: una redonda o dos blancas
b) Seis: R, BB, BNN, NBN, NNB, NNNN
c) Cuatro: BB, BS, SB, SS
d) Dieciséis: NNNN, NNNS, NNSN, NSNN, SNNN, NNSS, NSNS, NSSN, SNNS, SNSN, SSNN,
NSSS, SNSS, SSNS, SSSN, SSSS
e) Seis: R, SR, BB, BSB, SBB, SBSB
f)
Treinta y cuatro: (las 6 de e) + (las 16 de d) + (12 formadas por una B y NN o con sus silencios).
g) Cerca de 5000 (4975). Téngase en cuenta que con 1N, 4C y 4SC, que forman un compás, hay
630 combinaciones posibles, y con 1N, 3C y 6SC hay 840.
14.8. Imagina una pieza compuesta por 16 compases. ¿Cuántos ritmos distintos puede tener?
16 · 16 · 16 · … · 16 = 16
16
≈ 1,8 · 10
19
14.9. Ahora compón un ritmo de 5 compases e intenta interpretarlo.
Respuesta abierta.
14.10. ¿Tienes buen oído? En esta actividad interactiva tendrás que reconocer ritmos a partir de las
partituras: www.e-sm.net/4esoz68.
Respuesta abierta.
Combinatoria | Unidad 14
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Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan
Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno, Miguel Nieto, Isabel de los Santos,
Esteban Serrano, José R. Vizmanos, Yolanda A. Zárate
Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bellido
Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire
Corrección: Javier López
Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos,
José Santos, José Manuel Pedrosa
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetación: SAFEKAT S. L.
Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez
Coordinación editorial: Josefina Arévalo
Dirección del proyecto: Aída Moya
Gestión de las direcciones electrónicas:
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