Download elaborar y comparar procedimientos de cálculos de suma, resta

ELABORAR Y COMPARAR
PROCEDIMIENTOS DE CÁLCULOS
DE SUMA, RESTA
MULTIPLICACIÓN Y DIVISION
4to. Grado
Grupo RED
Universidad de La Punta
4to. grado
>Elaborar y comparar procedimientos
de cálculo de las cuatro operaciones
CONSIDERACIONES GENERALES
En cuarto grado, si bien es importante que los alumnos no pierdan la capacidad de
calcular con procedimientos propios, trabajaremos para que puedan utilizar los
algoritmos de la suma, la resta, y la multiplicación por una y dos cifras.
En el primer ciclo se trabajo con la memorización de resultados. En este año es
interesante que los alumnos puedan componer y ampliar el conjunto de cálculos
básicos de suma, resta, y multiplicación que ya tiene disponibles, incluyendo
oportunidades para calcular en forma escrita o mental, no sólo en forma exacta, sino
también aproximada. Esto permitirá que los alumnos puedan ejercer un mayor dominio
sobre los mismos, y, de este modo, facilitar su uso cuando haya que combinarlos para
resolver cálculos más complejos.
Es conveniente al comienzo de cuarto comprobar que el repertorios de cálculos
trabajados en el primer ciclo, esté disponible en cada uno de los alumnos. Para tal fin
están puestas actividades relacionadas con el campo aditivo, como del campo
multiplicativo.
En las primeras cuatro actividades se trabaja con actividades relacionadas con el
campo aditivo. El resto de las actividades se relacionan con el campo multiplicativo.
En la actividad 5 la tabla pitagórica, la cual es una tabla de multiplicación de doble
entrada atribuida a Pitágoras con los resultados desde 1x1 a 10x10. Del análisis
colectivo de la tabla, se espera establecer las siguientes relaciones:
- Las diferentes tablas pueden relacionarse entre sí.
- La propiedad conmutativa de la multiplicación hace que baste con memorizar la mitad
de los productos del cuadro.
- Puede haber diferentes multiplicaciones que den el mismo resultado.
Luego hay actividades en donde los alumnos deben realizar cálculos mentales de
multiplicaciones y divisiones que impliquen poner en juego el repertorio memorizado y
propiedades de las operaciones y del sistema de numeración.
En cuarto grado, es posible introducir el nombre convencional de las propiedades
para que los alumnos avancen en las posibilidades de argumentar acerca de los
procedimientos con un lenguaje más ajustado. Sin embargo, debemos tener presente
que la generalidad que los alumnos pueden atribuir el uso de expresiones como la
propiedad conmutativa está limitada a algún conjunto de ejemplos.
INDICE DE LA SECUENCIA:
ACTIVIDAD 1: A pensar
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de cálculo de las cuatro operaciones
Sumas y restas con números redondos.
ACTIVIDAD 2: ¿Cuánto hay que sumarle a... para obtener...?
Calcular complementos, a partir del análisis de las escrituras numéricas.
ACTIVIDAD 3: ¿Cuánto hay que restarle a... para obtener...?
Calcular complementos, a partir del análisis de las escrituras numéricas.
ACTIVIDAD 4: A resolver
Trabajar con las propiedades conmutativa y asociativa de la suma y la resta
ACTIVIDAD 5: Tabla Pitagórica
Establecer una red de relaciones entre multiplicaciones a partir de la tabla.
ACTIVIDAD 6: Juego con cartas
Resolver divisiones.
ACTIVIDAD 7: ¿Quién tiene razón?
Trabajar con las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva.
ACTIVIDAD 8: A pensar
Analizar la multiplicación y división por potencias de 10.
ACTIVIDAD 9: Con la calculadora
Reconstruir un resultado de la tabla pitagórica a partir de otros.
ACTIVIDAD 10: A resolver
Cálculo mental de multiplicaciones y divisiones apoyándose en propiedades de las
operaciones y del sistema de numeración.
ACTIVIDAD 11: ¿Qué tan cerca se encuentra el resultado?
Trabajo con la estimación de resultados de las cuatro operaciones
ACTIVIDAD 1: A pensar
Indicá en cada cálculo, sin resolverlo, cual es la cifra que se modificará
487326 + 1
568324 -1
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487326 + 10
568324 - 10
487326 + 100
568324 - 100
487326 + 1000
568324 - 1000
487326 + 10000
568324 - 10000
487326 + 100000
568324 - 100000
487326 + 1000000
568324 - 1000000
ACTIVIDAD 2: ¿Cuánto hay que sumarle a... para obtener...?
¿Cuánto hay que
sumarle a
Para
obtener…?
660
1.000
80
100
900
1.400
250
500
800
1.432
Respuesta
Anotaciones en borrador que
necesites para averiguarlo
ACTIVIDAD 3: ¿Cuánto hay que restarle a... para obtener...?
¿Cuánto hay que
restarle a
Para
obtener…?
1050
950
Respuesta
Anotaciones en borrador que
necesites para averiguarlo
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4to. grado
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de cálculo de las cuatro operaciones
1.400
500
1.248
748
1.150
550
ACTIVIDAD 4: A resolver
1. Resolvé de la forma más rápida que puedas y explicá como lo hiciste en cada
caso.
a) 23 + 45 + 17 + 5 + 8 =
b) 1 +2 + 15 +17 + 13 + 25 + 5 =
c) 50 – 8 – 6 -5 – 4 =
d) 122 – 20 – 12 – 5 – 1 =
NOTA: Luego de que los alumnos resuelvan las cuentas, habrá que centrarse en los
procedimientos que emplearon. Por ejemplo en los dos primeros ejercicios pueden
elegir los sumandos para completar decenas lo cual implica cambiar el orden de los
sumandos y asociarlos del modo elegido. Estas acciones están validadas por las
propiedades conmutativa y asociativa en la suma. Algunos alumnos pueden extender
este procedimiento a los dos últimos ejercicios. En estos dos últimos se puede hacer
que los alumnos lo piensen como: 50 – (8 + 6 + 5 + 4).
ACTIVIDAD 5: La tabla Pitagórica
Vamos a recordar la tabla pitagórica trabajada en tercero.
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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10
5
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a) Completá con los resultados que recuerdes y marcá con color aquellos
resultados que conozcas de memoria.
b) Respondé:
A. - Si se compara cada número de la columna 3 con cada uno de los de la
columna del 6 para la misma fila, ¿qué relación tienen?
B. ¿Qué columnas se pueden duplicar para obtener otras?
C. ¿Qué columnas se pueden triplicar para obtener otras?
D. Si continuarán la columna del 10 poniendo los casilleros 11 x 10, 12 x 10 hasta
el 19 x 10, ¿qué números escribirían como productos?
E. Buscá todas las multiplicaciones que dan el mismo resultado, ¿en algún caso
se repiten los números en distinto orden?
NOTA: En este caso se podrá avanzar en el uso de la propiedad conmutativa. La
extensión de esta propiedad a todos los productos de la tabla también se podrá
hacer una tabla incompleta como la siguiente, ya que si se conocen los productos
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que pertenecen a la diagonal y a la parte superior de la tabla, entonces se pueden
hallar los restantes.
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
9
12
15
18
21
24
27
30
16
20
24
28
32
36
40
25
30
35
40
45
50
36
42
48
54
60
49
56
63
70
64
72
80
81
90
3
4
1
5
6
7
8
9
10
100
F. Escribí la tabla del 12 que no está en la tabla pitagórica, usando los productos
que aparecen en ella.
G. Decidí si las siguientes afirmaciones son o no verdaderas, y explicá por qué.

Todos los números de la tabla del 8 e obtienen multiplicando por 2 tres veces.

Todos los números de la tabla del 4 se obtienen sumando 2 a los números de
la tabla del 2.

Todos los números de la tabla del 6 se obtienen multiplicando por 3 los
números de la columna del 2.

Todos los números de la tabla del 5 se encuentran sumando los de la columna
del 3 con los del a columna del 2.
ACTIVIDAD 6: Juego con cartas
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MATERIALES:
Cartas con dígitos del 1 al 9. (En la parte de recursos están disponibles las cartas)
ORGANIZACIÓN:
Grupos de a 3 jugadores.
REGLAS DEL JUEGO:
Se pone todo el mazo de cartas boca abajo sobre la mesa. Se elije uno de los
jugadores como juez. Los otros dos jugadores sacan una carta cada uno. Ambos le
dan la carta elegida al juez. Este tiene que decir en voz alta el resultado de la
multiplicación de los dos números que salen en la carta. El primero que adivina la carta
del otro gana
VARIANTE:
Se puede cambiar la numeración de las cartas para trabajar con otras divisiones.
ACTIVIDADES DE CIERRE:
1) Un número, multiplicado por 7, da 56. ¿Qué número es?
Después de buscar el número, identificá entre las siguientes escrituras la que
representa esta adivinanza:
7 + ... = 56
... – 7 = 56
... x 7 = 56
2) Para cada una de las siguientes preguntas, señalá la respuesta correcta y anotá el
cálculo que hiciste para responder:
• ¿Cuál es el número que, multiplicado por 5, da 40?
5
8
10
• ¿Cuál es el número que, multiplicado por 7, da 21?
6
3
9
• ¿Cuál es el número que, multiplicado por 8, da 32?
7
3
4
3) Inventen adivinanzas similares y desafíen a sus compañeros.
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4) A partir de los resultados de la tabla de multiplicaciones, completá el cociente de las
siguientes divisiones:
36 : 6 =
36 : 4 =
42 : 7 =
81 : 9 =
48 : 8 =
ACTIVIDAD 7: ¿Quién tiene razón?
A. Un compañero dice que cuando él no se acuerda de algún producto como 6 x
8, lo piensa así:
6 x 8 = 6 x4x 2 =24 x 2 = 48. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué?
Buscá otros productos de la tabla del 8 que no te acuerdes y pensalos como lo
hizo tu compañero.
B. Para resolver 9 x7, Lila pensó:
Como 7 es igual a 5 + 2 puedo hacer: 9 x 5 = 45 y 9 x 2 = 18 y luego puedo sumar
ambos resultados 45 + 18 = 63
¿Estás de acuerdo con lo que hizo Lila? ¿Por qué?
Buscá otra manera de pensarlo.
NOTA: Con esta actividad o de otras similares, se podrá hacer hincapié en la
equivalencia de: 9 x (5 + 2) = (9 x 5) + (9 x 2), señalando que son ejemplos de la
propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma. En este caso “la
regla” permite facilitar este cálculo.
ACTIVIDAD 8: A pensar
1)
a) En la tabla de multiplicaciones de la actividad 1encontramos que al multiplicar
un número por10, el producto termina en cero. ¿Eso sucede siempre?
¿Podemos saber con certeza que si uno continúa con la tabla del 10 hasta un
número cualquiera, el producto terminará en 0? ¿Por qué sucede eso?
b) ¿Podés dar rápidamente el resultado de 25 x 10? ¿Y, luego el de 64 x 10?
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c) ¿Cuáles de estos números podrían ser el resultado de una multiplicación por
10?
168 – 7.980 – 7.809 – 9.800 – 5.076 – 3.460
2) Vamos a retomar las relaciones anteriores para analizar las multiplicaciones por100.
a) Calculá:
23 x 100
20 x 100
105 x 100
123 x 100
120 x 100
b) ¿Cuáles de estos números podrían ser el resultado de una multiplicación de un
número natural por 100?
450
400
2.350
2.300
2.003
2.030
1.200.000
3) Calculá mentalmente:
a) 45x____ = 4.500
b) 128x____= 1.280
c) 17x____= 17.000
d) ____x 10 = 320
e) ____x 100 = 800
f) ____x 100 = 1.300
g) ____x 100 = 4.000
h) ____x 1.000 = 7.000
i) ____x 1.000 = 29.000
j) ____x 1.000 = 50.000
4) Sabiendo que 16 x 10 =160, ¿como resolverías, sin hacer la cuenta escrita los
siguientes resultados?
a)16 x 20 =
b)16 x 40 =
c)16 x 100 =
d) 16 x 50 =
e)16 x 80 =
5)
a) Conociendo una multiplicación se pueden escribir dos divisiones sin hacer la
cuenta. Por ejemplo, si 45 x 100 = 4.500, entonces se puede escribir:
4.500 : 100 = 45 y 4.500 : 45 = 100
b) Escribí las divisiones para:
23 x 1.000 = 23.000
18 x 100 = 1.800
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16 x 50 = 800
c) Anoten divisiones que se pueden conocer a partir de las multiplicaciones que
hicieron en los problemas anteriores.
d) En parejas, traten de recordar o elaborar una regla que sirva para las divisiones por
10, 100 ó1.000.
6) Sabiendo que 60 : 10 = 6, ¿Cómo resolverías, sin hacer la cuenta escrita, los
siguientes cálculos?
a)60 : 30 =
b)60 : 20 =
c)6.000 : 30 =
d) 600 : 20 =
ACTIVIDAD 9: Con la calculadora
1- En la calculadora tenés que hacer las siguientes multiplicaciones, ¿cómo
podrías resolverlas:
Si no funcionara la tecla 8?
4x8=
6x8=
7x8=
5x8=
¿Y si no pudieras usar la tecla del 6?
9x6=
8x6=
7x6=
¿Si no funcionara la tecla del 7?
4x 7 =
10x 7 =
5x 7 =
2- Imaginate que el visor de la calculadora muestra cada uno de los números que
aparecen en la columna de la izquierda. Anotá cómo es posible, con una única
operación en cada caso, lograr que aparezca en el visor de la calculadora el
resultado escrito en la columna de la derecha. Como siempre, te pedimos que
primero lo anticipes y, recién después, lo verifiques en tu calculadora.
28
280
6
120
470
47
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6.300
63
40
40.000
3- Anotá 35 en la calculadora y realizá una operación por vez para obtener
sucesivamente los números de la “tira”.
350
35
700
7.000
1.000
10
180
ACTIVIDAD 10: A resolver
1a) Multiplicar 3 x 20 es fácil. Ahora bien, ¿cómo se puede utilizar esa cuenta para
calcular 3 x 19 mentalmente?
b) Calculá mentalmente estos productos:
5 x 19 =
7 x 19 =
30 x 19 =
NOTA:

En el problema 1a), después de dejarles un tiempo a los alumnos para que
piensen y busquen algún procedimiento para 3 x 19, se podrá analizar
colectivamente en qué sentido la multiplicación por 20 es un recurso para
multiplicar por 19, explicitando que 19 veces un número es equivalente a 20
veces ese mismo número menos una vez el número, es decir:
3x (20 – 1) = 3 x 20 – 3 x 1= 60 – 3 = 57

Un error muy frecuente en problemas del tipo (1b) consiste en que los alumnos
multipliquen por 20, y resten 1 para multiplicar por 19. Es interesante someterlo
al análisis. Resulta fundamental instalar en el grupo la necesidad de controlar,
por ejemplo, cómo es posible estar seguro de que para 3 x 19 se hicieron 19
veces 3, explicitando que, al hacer 20 veces 3, hay que restar 1 vez 3, y no 1.
c) Calculá mentalmente estos productos y explicá como los pensaste.
4x 29 =
6x38 =
7x49 =
3x78 =
ACTIVIDAD 11: ¿Qué tan cerca se encuentra el resultado?
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1. Respondé a estas preguntas sin realizar el cálculo exacto. Escribí que tuviste en
cuenta para contestar.
a. ¿125 + 295 es mayor o menor que 500? ¿Cómo lo pensaste?
b. ¿637 – 225 es mayor o menor que 400? ¿Cómo lo pensaste?
c. ¿423 + 590 es mayor o menor a 1.000? ¿Cómo lo pensaste?
d. ¿723 – 312 es mayor o menor que 400? ¿Cómo lo pensaste?
2. Elegí el resultado sin hacer la cuenta y explicá cómo lo pensaste. Después resolvé
para saber el valor exacto:
a) 25 x 8
250
160
200
b) 120 x 5
6.000
600
300
3. Para estimar los resultados, completá los lugares en blanco y explicá si el
resultado será mayor o menor que la estimación.
31 42  30  40  ______
390  9  390  10  ______
410  11  ______ 10  ______
119  310  120  _______ _______
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