Download Probabilidad y Estadística para

Probabilidad y Estadística
Titular: Ing. Daniel Fernandez
JTP: Mg. Ing. Julio Ortigala
Notas de la clase utilizadas por el Ing. Julio Ortigala.
Marzo 2011
Bibliografía
• Unidades 2 a 10: Probabilidad y
Estadística para Ingenieros de Walpole
Myers 8º Edición E. Pearson
1
Unidad 2: Probabilidad
Si se mide la densidad de un producto químico
no siempre obtendremos el mismo resultado.
Los valores cambian debido a pequeñas
variaciones en las variables que no están
controladas en la experiencia, como son los
cambios de temperatura ambiente, ligeras
variaciones en el instrumento de medición,
pequeñas impurezas en la composición química
del producto en distintas partes del mismo,
diferencias entre los distintos operarios, etc.
Experimento
Los estadísticos utilizan la palabra experimento para
describir cualquier proceso que genere un conjunto de datos.
Tirar un dado y ver que número sale, sería un experimento.
Si sacamos tres computaras de la línea de producción, y
corroboramos si son defectuosas o no, estamos realizando
un experimento estadístico.
Si medimos la velocidad de esas computadoras y anotamos
los resultados obtenidos, también estamos realizando un
experimento estadístico.
2
Tipos de datos
Los datos obtenidos en un experimento aleatorio o
estadístico reciben distintas denominaciones,
según sus características.
Cuando medimos la velocidad de una reacción
química o la velocidad de una computadora,
cuando medimos la altura de una botella, o el
diámetro de un pistón, obtenemos datos
cuantitativos. Estos son aquellos que pueden
expresarse en números.
.
Datos cualitativos o categóricos: son aquellos que no
pueden expresarse numéricamente.
Por ejemplo, si analizamos los productos fabricados
con PVC y los clasificamos según su pureza en
minima
media
alta
Estamos generando datos cualitativos o categóricos. De la
misma manera que si analizamos el estado civil de los
empleados de una organización.
3
Datos dicotómicos: cuando solo hay dos
resultados posibles.
Por ejemplo: el sexo de las personas, si una
pieza es defectuosa o no.
Si tiro el dado y observo si el número es par
o impar.
Experimentos aleatorios
• Un experimento aleatorio es aquel que
proporciona diferentes resultados aun
cuando se repita siempre de la misma
manera.
4
Espacio muestral del experimento aleatorio
• Se denomina así al conjunto de los posibles
resultados de un experimento aleatorio. El
espacio muestral se denota con la letra S.
• Supóngase que se analiza un componente
de polipropileno usado en bombas para
líquidos corrosivos. Se considera si cumple
o no con el grado de resistencia a la tracción
establecido. El espacio muestral de este
experimento tiene dos resultados posibles: si
y no
S = {si ; no }
Espacio muestral
• Considérese el experimento donde se
analizan dos componentes y se clasifican
como defectuoso o no defectuoso,
dependiendo si cumplen o no con el grado
de pureza. Simbolizamos con D: defectuoso
y D’: no defectuoso.
• El espacio muestral de este experimento
está formado por cuatro resultados posibles:
S = {DD; DD′; D′D; D′D′}
5
Muestreo con o sin reemplazo
• En experimentos aleatorios que implican la selección de
artículos de un lote, es necesario indicar si el artículo
seleccionado será colocado de nuevo o no, en el lote antes
de seleccionar el siguiente.
• Por ejemplo, si el lote contiene tres artículos {a,b,c} y el
experimento consiste en seleccionar dos de ellos sin
remplazo, entonces el espacio muestral puede
representarse como
S = {ab, ac, ba, bc, ca, cb}
Muestreo con reemplazo
• Sin embargo, si los artículos se devuelven al lote
antes de seleccionar el siguiente, el muestreo se
denomina con reemplazo.
• En este caso, los resultados posibles son
S = {aa, ab, ac, ba, bb, bc, ca, cb, cc}
6
aplicación
• Suponga que se extraen tres artículos, en
forma aleatoria (con reemplazo), de un
proceso de fabricación. Cada artículo se
inspecciona y se clasifica como
defectuoso o sin defectos. ( D, D′ ).
• Muestre el espacio muestral del
experimento.
Espacio muestral discreto
• Un espacio muestral es discreto si tiene o
pocos resultados posibles o infinitos
contables
• Ej: tirar un dado y observar el número que
sale
• Tirar el dado hasta que salga por primera
vez un cinco.
7
Espacio muestral continuo
Un espacio muestral es continuo, cuando tiene
muchos resultados posibles. En un intervalo dado,
se pueden encontrar infinitos resultados, sobre
todo si se mide con algún instrumento de alta
resolución
Por ejemplo: medir la altura de las botellas
producidas en un cristalería.
Evento
Se denomina así a cualquier subconjunto del espacio
muestral.
Para simbolizarlos utilizaremos las primeas letras del alfabeto,
en mayúscula.
Suponga que se extraen dos componentes de la línea de
fabricación y se clasifican como defectuoso (D) o no
defectuoso (N), según cumplan o no con las especificaciones
de pureza, densidad y peso. El espacio muestral tiene cuatro
resultados posibles.
S = {NN , ND, DN , DD}
8
El evento en el que ambos componentes son
defectuosos esta formado por solo un resultado
B = {DD}
El evento C: al menos un elemento es defectuoso
C= { ND; DN; DD}
Eventos
Si nos interesa el evento donde
al menos uno de los
componentes es no
defectuoso, tenemos que
A = {ND, DN , NN }
El evento donde se obtienen
tres componentes
defectuosos, es vacío.
C=Ø
9
Complemento de un evento
El complemento de un evento A con respecto
a S, es el subconjunto de todos los elementos
de S que no pertenecen a A.
El complemento de A es el conjunto
A′ = {DD}
Eventos
Si nuestro espacio muestral está formado por todos
los elementos químicos del grupo II de la Tabla
Periódica y definimos el evento A como todos los
elementos de S que tienen 20 o menos electrones
en su átomo, el evento A esta formado por
A = {Be, Mg , Ca}
El complemento de A es
A′ = {Sr , Ba, Ra}
10
Operaciones con eventos
Consideremos ciertas operaciones entre eventos que
tendrán como resultado la formación de nuevos
eventos.
Estos nuevos eventos serán subconjuntos del espacio
muestral como los eventos dados.
Si definimos el evento A: elementos químicos
pertenecientes al grupo I de la Tabla Periódica y el
evento B elementos químicos pertenecientes al
periodo 6 de la Tabla, encontramos que el elemento Cs
(cesio) pertenece a ambos eventos
La intersección de dos eventos A y B ,
simbolizada como A ∩ B, es el evento
que contiene a todos los elementos que son
comunes a A y B
A ∩ B = {Cs}
11
Eventos mutuamente excluyentes o disjuntos
• Dos eventos son mutuamente excluyentes si no poseen
elementos en común, es decir su intersección es vacía.
• Sea A: elementos químicos del grupo VIII de la Tabla
Periódica (gases nobles) y el evento B: elementos con
carácter metálico de la Tabla Periódica, el evento A ∩ B, no
tiene elementos en común ya que ningún gas noble tiene
características de metal, por lo que A y B son disjuntos o
mutuamente excluyentes
• A ∩ B= { ø }
Unión de dos eventos
• La unión de dos eventos A y B, que se simboliza
como A υ B, es el evento que contiene todos los
elementos que pertenecen a A o a B o a ambos.
• Supongamos que A es el evento formado por los
alumnos de Ing. Química de 2º año que no
fuman y B el evento formado por los alumnos de
Ing. Química de 2º año que no beben en exceso,
entonces el evento A υ B es el conjunto de todos
los alumnos de Ing. Química de 2º año que no
fuman, que no beben en exceso o que no hacen
ambas cosas.
12
Aplicación
Considere el espacio muestral
S={ cobre, sodio, nitrógeno, potasio, uranio, oxigeno, cinc}
Y los eventos
A= {cobre, cinc, sodio}
B= {sodio, nitrógeno, potasio}
C= {oxígeno}
Ubique los elementos de los conjuntos en un diagrama de
Venn
Liste los elementos de los conjuntos que corresponden a los
eventos siguientes
b1) A ∩ B
b2) A ∩ C
b3) A ∩ B ∩ C
b4) A υ B υ C
b5) (A υ B υ C)´
Probabilidad de un evento
Con frecuencia es útil cuantificar la posibilidad de que se
presente un resultado de un experimento aleatorio. “La
posibilidad de que llueva hoy es de un 30 %”.
Es una afirmación que refleja la creencia sobre la
posibilidad de que llueva.
La probabilidad de un resultado se cuantifica asignándole
un número del intervalo [0,1] o un porcentaje del 0 al 100%.
Mientras más grande sea el número, mayor es la posibilidad
de que el evento ocurra. Un cero indica que el resultado no
se presentará; un uno indica un resultado seguro
13
La probabilidad de un resultado puede
interpretarse como la probabilidad
subjetiva o grado de creencia, de que
ocurra el resultado.
Personas distintas no dudan en asignar
probabilidades diferentes a los mismos
resultados.
Probabilidad frecuencial de un evento
Otra interpretación de la probabilidad se basa
en el modelo conceptual de la repetición del
experimento aleatorio.
La probabilidad del resultado se interpreta
como el valor límite de la proporción de veces
que el resultado aparece en n repeticiones del
experimento aleatorio, a medida que n crece
sin cota alguna.
14
Por ejemplo, se asigna la probabilidad de 0,25 al resultado
del evento, “aparece una molécula rara en una muestra de
aire tomada en los alrededores de una planta de refinación
de crudos”.
Este resultado puede surgir por la experiencia de muchos
ensayos realizados en la zona considerada.
Se debería esperar que en los próximos 1000 ensayos
realizados, en 250 aparezca una molécula rara.
Este ejemplo proporciona una interpretación de frecuencia
relativa para la probabilidad.
Probabilidad de un evento
El modelo de la probabilidad establece
que la suma de las probabilidades de
todos los resultados de un experimento
sea uno.
15
Resultados igualmente probables
En muchos experimentos, como lanzar un dado
no cargado o una moneda legal, todos los
resultados tienen la misma probabilidad de
ocurrencia.
Cada vez que un espacio muestral esté formado
por N resultados igualmente probables, la
probabilidad de cada uno de ellos será 1/N.
Ejemplo: la probabilidad de que salga un cinco
cuando tiramos un dado legal es 1/6
Definición clásica
Se basa en que todos los resultados son
- igualmente probables o equiprobables.
- mutuamente excluyentes
- colectivamente exhaustivos
P(A)= n/N
donde
P(A) es la probabilidad de ocurrencia del evento A
n= Número de resultados favorables
N= Número de resultados posibles
16
Aplicación
En un deposito hay 500 contenedores con acido sulfúrico y
se sabe que el 1% no cumple con las especificaciones en
cuanto a pureza.
Supóngase que se elige un contenedor al azar, ¿cual es la
probabilidad de que no cumpla con las especificaciones en
cuanto a pureza?
Eventos formados de varios resultados
A menudo es necesario asignar probabilidades
a eventos que estén compuestos de varios
resultados del mismo espacio muestral.
Para un espacio muestral discreto, la
probabilidad de un evento E, denotada por
P(E), es igual a la suma de las probabilidades
de los resultado en E.
17
Ejemplo: se estudia la probabilidad de fallas, por mes, en las
válvulas de un yacimiento de gas ubicado en el sur de la
Argentina y se hallan los siguientes resultados:
La probabilidad de que no falle ninguna, en un mes, es 0,4
La probabilidad de que falle 1, en un mes, es 0,3
La probabilidad de que fallen 2 es 0,15
La probabilidad de que fallen 3 es 0,1
La probabilidad de que fallen 4 es 0,05.
Si E es el evento “fallan más de dos válvulas en un mes
determinado”, la probabilidad de que ocurra
E es P(E)= 0,1 + 0,05 = 0,15
Eventos formados de varios resultados
Si se sabe que cuando fallan más de una válvula
en un mes, se registra una merma en la
producción de gas, la probabilidad de que se
registre una merma en la producción de gas es
la probabilidad de ocurrencia del evento A: se
registra una merma en la producción de gas.
P(A)= 0,15 + 0,1+ 0,05= 0,3
O lo que es lo mismo, podemos afirmar que en
3 de cada 10 meses habrá una merma en la
producción de gas
18
Axiomas de la probabilidad
Ahora que se ha definido la probabilidad de un
evento, es posible reunir las hipótesis realizadas
hasta el momento con respecto a las probabilidades
en un conjunto de axiomas que deben satisfacer las
probabilidades de cualquier experimento aleatorio.
Los axiomas aseguran que las probabilidades
asignadas en un experimento pueden interpretarse
como frecuencias relativas, y que son consistentes
con el conocimiento intuitivo de las relaciones entre
frecuencias relativas
Axiomas de la Probabilidad
Si S es el espacio muestral y E es cualquier
evento del experimento aleatorio, entonces:
• P(S) = 1
• 0 ≤ P(E) ≤ 1
• P(E) + P(E´) = 1
o
P(E´)= 1 – P (E)
19
Reglas aditivas
Si A y B son dos cualesquiera eventos, entonces
P(A υ B)= P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces
P(A υ B) = P(A) + P (B)
Para tres eventos:
P(A υ B υ C) = P(A) + P (B) + P(C) – P(A ∩ B) –
P(A ∩ C) – P (B ∩ C) +
P (A ∩ B ∩ C)
Aplicación
La probabilidad de que una empresa
cualquiera certifique Normas ISO 9001 es
2/3 y la probabilidad de que certifique ISO
14000 es 4/9. Si la probabilidad de que
realice ambas certificaciones es ¼, ¿Cuál
es la probabilidad de que la empresa
certifique al menos una de las normas?
¿Cuál es la probabilidad de que solo
certifique ISO 9001? De cada 1000
empresas ¿Cuántas no certificarán ninguna
de estas normas?
20
Probabilidad condicional
La probabilidad de que un evento B ocurra cuando
se sabe que ya ocurrió algún evento A se llama
probabilidad condicional y se denota por P (B │ A).
Este símbolo se lee “la probabilidad de que ocurra B
dado que ocurrió A” o la “probabilidad de B dado A”.
La probabilidad condicional de B dado A se calcula
como:
P(A ∩ B)
P (B │ A)=
P(A)
Aplicación
Por experiencia pasada se sabe que el
70% de los alumnos de 2º año de Ing.
Química promocionan Probabilidad y
Estadística y el 55 % de los alumnos
promocionan AMII. También se sabe que
la probabilidad de que promocione ambas
asignaturas es del 49%. Si se elige un
alumno al azar y se sabe que promocionó
Probabilidad y Estadística, ¿cuál es la
probabilidad de que también haya
promocionado AMII?
21
Reglas multiplicativas
Si se reordena la fórmula dada para la
probabilidad condicional, se obtiene una
expresión para la intersección de dos
eventos
P (A ∩ B) = P(A | B). P(B) = P (B | A). P(A)
Aplicación
La probabilidad de que la batería de un automóvil
sujeta a altas temperaturas dentro del
compartimiento del motor, reciba una carga
mayor que la normal, es 0,7. La probabilidad de
que la batería quede expuesta a altas
temperaturas es 0,05.
Sean A: el evento donde la batería experimenta
una corriente de carga mayor que la normal y B:
el evento donde la batería está expuesta a altas
temperaturas. ¿Cuál es la probabilidad de que la
batería experimente tanto una corriente de carga
mayor que la normal como una temperatura alta?
22
Regla de probabilidad total
En ciertas ocasiones debemos calcular la probabilidad de
ocurrencia de un evento que depende de otros.
Por ejemplo, supóngase que durante el proceso de
fabricación de semiconductores, la probabilidad de que un
circuito integrado que esté sujeto a grandes niveles de
contaminación sea causa de una falla en un producto es 0,1.
Por otra parte, la probabilidad de que un circuito que no está
sujeto a altos niveles de contaminación durante el proceso de
fabricación, sea la causa de una falla es 0,005.
Regla de probabilidad total
En una corrida de producción particular, el 20 %
de los circuitos están sujetos a altos niveles de
contaminación. ¿Cuál es la probabilidad de que
un producto que utilice alguno de estos circuitos
integrados falle?
Es evidente que la probabilidad pedida depende
de si el circuito estuvo o no expuesto a altos
niveles de contaminación.
23
Regla de probabilidad total
• Si designamos como F: el evento donde el
producto falla y A: el evento donde el
circuito está expuesto a altos niveles de
contaminación. La probabilidad pedida es
P (F) y la información proporcionada
puede expresarse de la siguiente manera.
Regla de probabilidad total
P(F│A)=0,1
P(F│A´)=0,005
P(A)= 0,2 por consiguiente P(A´)=0,8
El evento F depende de A y A´. Por lo que se
puede escribir
F= (A ∩ F) υ ( A´∩ F)
Si queremos calcular la probabilidad de F,
debemos tener en cuenta que los eventos
encerrados en los paréntesis son mutuamente
excluyentes
24
Regla de probabilidad total
P(F)= P(A ∩ F) + P(A´ ∩ F)
Por otro lado, P(A ∩ F)= P(F│A). P(A)
Reemplazando en P(F)
P(F)= P(F│A).P(A) + P(F│A´). P(A´)
Reemplazando por los datos
P(F)= 0,1 (0,2) + 0,005(0,8)= 0,024
Regla de la probabilidad total para varios evento
Dados varios eventos en un espacio muestral S
(E1, E2,…Ek) siendo estos mutuamente
excluyentes y exhaustivos (significa que la unión
de todos ellos es S), y un evento D, que tiene
elementos comunes con todos ellos, entonces
P (D)= P (D ∩ E1) + P (D ∩ E2) +… + P (D ∩ Ek) =
= P (D │ E1). P (E1) + P (D │ E2). P (E2) + …+
P (D │ Ek ). P (Ek)
25
Independencia
En ciertas ocasiones podemos observar que la ocurrencia de
un evento A no tiene ninguna influencia sobre la ocurrencia del
evento B. En este caso se dice que A y B son eventos
independientes.
Para formalizarlo matemáticamente, se dice que dos eventos
A y B son independientes si y solo si, cualquiera de las
siguientes proposiciones es verdadera.
P(A | B)= P(A)
P(B | A)= P(B)
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Obsérvese que la tercera igualdad permite calcular la
intersección de dos eventos cuando se sabe que son
independientes.
Intersección de eventos no independientes
Si los eventos A1, A2, A3 no son
independientes, para calcular la intersección
entre ellos, debemos hacer
P (A1∩ A2 ∩ A3)= P(A1)P(A2| A1)P(A3| A1∩ A2)
26
Aplicación
En un almacén, se hallan 50 contenedores con acido
sulfúrico. De éstos, el 90 % cumplen con los
requerimientos de humedad solicitados.
Si se extraen tres contenedores con reemplazo del stock
existente, ¿cuál es la probabilidad de que los tres cumplan
con los requerimientos de humedad?
Si se extraen tres contenedores sin remplazo, ¿cual es la
probabilidad de que los tres cumplan con los
requerimientos de humedad?
Teorema o Regla de Bayes
• El Teorema o Regla de Bayes se utiliza
cuando en un espacio muestral S se
definen más de un evento mutuamente
excluyentes y exhaustivos. A su vez existe
un evento que tiene elementos en común
con los eventos definidos en primer lugar.
27
Teorema o Regla de Bayes
Supongamos que una bodega de Mendoza existen tres
Proveedores de botellas. El proveedor 1 provee el 70% de
la totalidad de las botellas, el proveedor 2, el 20 % y el
proveedor 3 , el resto.
A su vez se sabe que en el caso del proveedor 1, el 95%
de las botellas cumple con los requerimientos de calidad,
el 90 % de las botellas del proveedor 2 cumple con los
requerimientos y el 80 % de las botellas del proveedor 3
cumple con los requerimientos de calidad.
Suponga que en la línea de envasado se halla
una botella que no cumple con los
requerimientos y provoca un paro en la línea
¿Cuál es la probabilidad de que sea una botella
provista por el proveedor 3?
28
Teorema o Regla de Bayes
Si definimos los eventos
D: botella defectuosa
E1= botella provista por 1
E2= botella provista por 2
E3= botella provista por 3
La preguntan que se nos efectúa es, sabiendo que
la botella es defectuosa ¿cuál es la probabilidad
de que sea del proveedor 3?
Teorema o Regla de Bayes
Simbólicamente: P (E3| D)
Eso es una probabilidad condicional como
las que estamos acostumbrados a resolver
P (E3| D) =
P( E3 ∩ D)
P( D)
29
Teorema o Regla de Bayes
La probabilidad de ocurrencia de D lo
obtenemos con la Regla de la Probabilidad
Total
P (D) = P (D │ E1). P (E1) + P (D │ E2). P
(E2) + …+ P (D │ Ek ). P (Ek)
Teorema o Regla de Bayes
Reemplazando
P(E3|D)= P( E3 ∩ D)
P( D)
=
P ( E3 ∩ D )
P ( D | E1).P( E1) + P ( D | E2 ).P( E2 ) + P ( D | E3 ).P( E3 )
30
Teorema o Regla de Bayes
Si aplicamos las ecuaciones para nuestro ejemplo
P(E1)= 0,7
P(E2)= 0,2
P(E3)= 0,1
P(D |E1)= 0,05
P(D |E2)= 0,1
P(D |E3)= 0,2
P (D)= 0,05.0.7 + 0,1.0.2 + 0,2.0,1= 0,075
Por lo tanto, el 7,5 % de todas las botellas es
defectuosa
Teorema o Regla de Bayes
• Reemplazando
• P(E3|D)=
P( D | E3 ).P( E3 ) 0,2.0,1
P( E3 ∩
= D)
=
= 0,27
=
P( D)
0,075
0,075
• Interpretación: la probabilidad de que
una botella defectuosa haya sido provista
por el proveedor 3, es 0,27.
31