Download Probabilidad Condicional

Probabilidad Condicional
Algunas veces la ocurrencia de un evento A puede afectar la ocurrencia posterior
de otro evento B; por lo tanto, la probabilidad del evento B se verá afectada por el
hecho de que ya ocurrió el evento A
Ejemplo:
Suponga que un grupo de 20 artículos contiene 10 que son defectuosos y 10 que
no lo son; una persona selecciona uno de estos artículos al azar, sin saber que hay
defectuosos, y lo instala en un equipo. Sea A el evento de que la selección de un
怠
怠待
artículo resulte en uno defectuoso; por lo tanto, 鶏岫畦岻 噺 噺 ; ahora bien, si se
態
態待
selecciona otro artículo de los 19 restantes la probabilidad del evento B donde B
怠待
representa que el segundo artículo seleccionado está defectuoso será 鶏岫稽岻 噺 ,
怠苔
苔
si la primera selección dio como resultado un artículo no defectuoso o 鶏岫稽岻 噺 ,
怠苔
si la primera selección fue un defectuoso; o sea que la selección de un defectuoso
en el segundo intento depende de lo que ocurrió en el primer intento.
En muchos experimentos la ocurrencia de un evento particular está usualmente
asociada a la ocurrencia de otros eventos, de manera que al calcular la
probabilidad de dicho evento es necesario considerar aquellos que condicionan su
ocurrencia.
Ejemplo:
De una urna que contiene 4 bolas rojas y 5 bolas negras se extraen al azar y sin
reemplazo dos bolas, una a una. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea
roja?, ¿Sea negra?, ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda sea roja?
Definamos los siguientes eventos:
迎沈 La i に ésima bola extraída es roja; i = 1, 2
軽沈 La i に ésima bola extraída es negra; i = 1, 2
替
泰
鶏岫迎怠 岻 噺 , 鶏岫軽怠 岻 噺
苔
苔
Para calcular la probabilidad de 迎態 , se necesita saber el color de la primera bola
extraída.
M
F
I
E
D
G
V
Z
Si la primera bola es roja, entonces
Si la primera bola es negra, entonces
La probabilidad de
depende de la bola extraída en la primera selección.
Definición:
Sean A y B eventos de un espacio muestral S. La Probabilidad Condicional de さA
dado Bざ, la cual denotamos
, está dada por
Tenemos que:
Regla multiplicativa
Nota: Sean A y B dos eventos no vacíos de un espacio muestral S. Se puede
mostrar que:
Ejemplo:
Un fabricante de neveras tiene cinco listas para ser enviadas a un distribuidor. El
fabricante no sabe que dos de las cinco son defectuosas. Recibe un pedido de dos
de ellas y lo cubre seleccionando al azar dos de las cinco.
a. Obtenga el espacio muestral S para el experimento de seleccionar dos de las
cinco.
b. Sea E el evento de que el pedido se cubre con dos neveras no defectuosas.
Represente el subconjunto generado por E.
c. Encuentre la
M
F
I
E
D
G
V
Z
Solución:
a. Suponga que una elección de una nevera defectuosa se representa por D y no
defectuosa por B; así, el espacio muestral S será:
Para hallar la probabilidad asignada a cada uno de los elementos del anterior
conjunto, procedemos de la siguiente forma:
b.
c.
O sea que la probabilidad de que el cliente reciba dos defectuosas es de 0.3.
M
F
I
E
D
G
V
Z
Ejemplo:
Considere la siguiente tabla de doble entrada
Fuma
Si
No
Total
Sedentarismo
Si
No
19
17
10
24
29
41
Total
36
34
70
Defina los eventos:
S: La persona seleccionada es sedentaria.
F: La persona seleccionada fuma.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea sedentario y si fuma?
鶏岫鯨 堪 繋 岻 噺
なひ
噺 ど にばなね
ばど
b. ¿Cuál es la probabilidad de que si fuma?
鶏岫繋 岻 噺
なひ 髪 なば
噺 ど のなね
ばど
c. ¿Cuál es la probabilidad de que sea sedentario dado que si fuma?
鶏岫鯨 繋 岻 噺
M
F
I
E
鶏岫鯨 堪 繋岻 ど にばなね
噺
噺 ど のにぱ
ど のなね
鶏岫繋岻
D
G
V
Z
Ejemplo:
Se seleccionan al azar 100 personas de una gran comunidad y se someten a un
estudio para evaluar la incidencia del fumar en el desarrollo de enfermedad
pulmonar. Los resultados obtenidos después de un período se muestran a
continuación.
Hombre - Fumador
Si
No
Si
40
3
Enf Pulm
No
5
12
Total
45
15
Mujer - Fumador
Total
Si
No
43
20
2
17
10
8
60
30
10
Total
22
18
40
Defina los eventos:
H: La persona seleccionada es un hombre.
M: La persona seleccionada es una mujer.
F: La persona seleccionada fuma.
N: La persona seleccionada no fuma.
E: La persona seleccionada desarrolla enfermedad pulmonar.
NE: La persona seleccionada no desarrolla la enfermedad pulmonar.
Se selecciona una persona al azar de estas 100. Calcule las siguientes
probabilidades.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador y hombre? ¿fumador y mujer?
鶏岫繋 堪 茎 岻 噺
ねの
噺 ど ねの
などど
鶏岫繋 堪 警岻 噺
M
F
I
E
ぬど
噺 どぬ
などど
D
G
V
Z
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea fumador? ¿Cuál es la probabilidad de que
desarrolle enfermedad pulmonar?
鶏岫繋 岻 噺
鶏岫継 岻 噺
ねの 髪 ぬど
噺 ど ばの
などど
ねぬ 髪 にに
噺 ど はの
などど
c. Si es mujer, ¿Cuál es la probabilidad de que desarrolle enfermedad pulmonar?
¿y si es hombre?
鶏岫継 警岻 噺
鶏岫継 堪 警岻 ににエなどど にに
噺
噺
噺 ど のの
鶏岫警岻
ねどエなどど ねど
鶏岫継 茎 岻 噺
ねぬ
噺 ど ばなは
はど
d. Si es mujer y no fuma ¿Cuál es la probabilidad de que desarrolle enfermedad
pulmonar?
鶏岫継 警 堪 軽岻 噺
牒盤帳堪岫暢堪朝岻匪
牒岫暢堪朝岻
噺 (Trate de calcularlo)
e. ¿Cuál es la probabilidad de que desarrolle enfermedad pulmonar, dado que no
fuma o es mujer?
Solución
鶏岫継 軽 姦 警岻 噺
鶏岫継 堪 岫軽 姦 警岻岻
鶏岫軽 姦 警岻
鶏岫岫継 堪 軽岻 姦 岫継 堪 警岻岻
鶏岫軽 姦 警岻
鶏岫岫継 堪 軽岻 髪 岫継 堪 警岻 伐 鶏岫継 堪 軽 堪 警岻
噺
鶏岫軽 姦 警岻
噺
M
F
I
E
D
G
V
Z
Otra camino:
Probabilidad Condicional e Independencia
Recordemos el primer ejemplo de Probabilidad Condicional:
Suponga que un grupo de 20 artículos contiene 10 que son defectuosos y 10 que
no lo son; una persona selecciona uno de estos artículos al azar, sin saber que hay
defectuosos, y lo instala en un equipo. Sea A el evento de que la selección de un
; ahora bien, si se
artículo resulte en uno defectuoso; por lo tanto,
selecciona otro artículo de los 19 restantes la probabilidad del evento B donde B
representa que el segundo artículo seleccionado está defectuoso será
,
si la primera selección dio como resultado un artículo no defectuoso o
,
si la primera selección fue un defectuoso; o sea que la selección de un defectuoso
en el segundo intento depende de lo que ocurrió en el primer intento.
Note que si en la primera selección, el artículo tomado se hubiera reincorporado al
lote, la
no hubiera variado. En resumen, si el artículo no se reincorpora al
lote, B no es independiente de A
Si el artículo se reincorpora al lote, B es independiente de A.
Note que lo que determina la independencia en este caso es la forma en que se
tomó la muestra (con reemplazo o sin reemplazo).
M
F
I
E
D
G
V
Z
Cuando un evento A es independiente de un evento B se cumple la siguiente
relación:
Nota: El concepto de independencia entre dos eventos A y B es diferente al
concepto de que A y B son mutuamente excluyentes.
Ejemplo: Muestreo sin reemplazo es casi equivalente a muestreo con reemplazo
cuando la población es muy grande y la muestra tomada es pequeña con respecto
a esta población.
Suponga que se toman 20 personas de una población que tiene aproximadamente
500000 personas de los cuales se estima que 200000 son clientes potenciales para
un cierto producto. Interesa conocer la probabilidad de seleccionar un cliente
potencial en la muestra de tamaño 20.
Sea
: Evento de que la persona i es un cliente potencial,
Si el muestreo se hace con reemplazo (es decir una persona seleccionada podría
ser seleccionada de nuevo),
Si el muestreo se hace sin reemplazo,
.
M
F
I
E
D
G
V
Z
Como
, los eventos
y
se pueden asumir independientes.
Note que la probabilidad de seleccionar un cliente potencial permanece
aproximadamente constante y por lo tanto ambos muestreos producen valores de
probabilidad similares.
Definición. Sean
entonces.
, k eventos asociados a un espacio muestral S,
Si los eventos son independientes
Sean
eventos de un espacio muestral
S, se dice que
son estadísticamente Independientes si y sólo si, cualquiera
de las siguientes proposiciones se cumple:



M
F
I
E
D
G
V
Z
Teorema de probabilidad total y regla de Bayes
Considere un espacio muestral S que está particionado en k eventos mutuamente
excluyentes:
Note que
y
para i distinto de j
Idea: Cualquier evento en S se puede escribir en términos de los
Esto es cierto ya que:
Los elementos dentro de los paréntesis son disjuntos. Entonces,
Este resultado se conoce como teorema de probabilidad total.
!
También se puede expresar:
Ejemplo:
De los estudiantes que ingresan a la carrera de Estadística, el 35% lo hace por
primera opción, el 55% por segunda opción y el resto por tercera opción. De los
que pasan por primera opción, el 90% se gradúa, de los de segunda opción el 35%
se gradúa y de los de tercera opción el 5% se gradúa. Se selecciona de manera
aleatoria un estudiante del programa Estadística.
a. Si es de segunda opción, ¿Cuál es la probabilidad de que no se gradúe?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se gradúe?
Defina los siguientes eventos:
: El estudiante ingresa por la opción i,
G: El estudiante se gradúa.
Del enunciado se tiene que:
Además:
a. Se pide calcular
b. Por el teorema de probabilidad total se tiene que:
M
F
I
E
D
G
V
Z
Teorema de Bayes.
Usando este resultado, es relativamente sencillo formular el Teorema o Regla de
Bayes:
Sean
eventos mutuamente excluyentes asociados a un espacio muestral
S y son tales que lo particionan. Sea A cualquier evento definido en S, entonces,
Ejemplo: En una población de votantes el 40% son del partido A y 60% del partido
B. Se estima que 30% de los integrantes del partido A y 70% de los del partido B
están a favor de una cierta ley de impuestos. Si se selecciona una persona al azar
de esta población y declara estar a favor de dicha ley, ¿Cuál es la probabilidad de
que esta persona pertenezca al partido B?
Solución.
Defina los eventos:
A: Ser del partido A
B: Ser del partido B
C: Estar a favor de la ley de impuestos
Sabemos que:
A y B particionan el espacio muestral S.
M
F
I
E
D
G
V
Z
Entonces,
鶏岫系 岻 噺 鶏岫系 堪 畦岻 髪 鶏岫系 堪 稽岻
噺 鶏岫畦岻鶏岫系 畦岻 髪 鶏岫稽岻鶏岫系 稽岻
噺 岫ど ね 茅 ど ぬ岻 髪 岫ど は 茅 ど ば岻 噺 ど のね
Lo anterior, nos ayuda a calcular
鶏岫稽 系 岻 噺
鶏岫稽岻鶏岫系 稽岻 ど は 茅 ど ば
噺
噺 ど ばばぱ
ど のね
鶏岫系岻
Ejemplo: Tres líneas de producción contribuyen a la producción total de una
compañía. La línea 1 contribuye con el 20% de la producción y 15% de sus
productos son defectuosos. La línea 2 proporciona el 50% de la producción y 5%
de sus productos son defectuosos. La línea 3 proporciona 30% de la producción y
6% de sus productos son defectuosos. Con esta información, responda las
siguientes preguntas:
a. ¿Qué porcentaje de artículos, en la producción total, son defectuosos?
b. Si un artículo se selecciona al azar y es defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de
que proceda de la línea 1?
Solución. Defina los siguientes eventos:
A: El artículo proviene de la línea 1
B: El artículo proviene de la línea 2
C: El artículo proviene de la línea 3
D: El artículo está defectuoso
ND: El artículo no está defectuoso
M
F
I
E
D
G
V
Z
De acuerdo a la información del problema:
a.
b.
Tarea 013.
1. Sobre el anterior ejercicio, calcule :
a. ¿Qué porcentaje de artículos, en la producción total, son defectuosos?
b. Si un artículo se selecciona al azar y es defectuosos, ¿Cuál es la
probabilidad de que proceda de la línea 2?
c. Si un artículo se selecciona al azar y es defectuosos, ¿Cuál es la
probabilidad de que proceda de la línea 3?
d. Si un artículo se selecciona al azar y es no defectuosos, ¿Cuál es la
probabilidad de que proceda de la línea 1?
2. Realice los cálculos similares de probabilidades sobre los datos de
rostros atractivos. Compare los resultados con la tarea 012
M
F
I
E
D
G
V
Z
Ejemplo: Incidencia de una enfermedad rara. Sólo 1 de 1000 adultos se ve
afectado por una enfermedad rara para la cual se ha desarrollado una prueba
diagnóstica. La prueba es tal, que cuando un individuo en realidad tiene la
enfermedad, ocurre un resultado positivo 99% de las veces, en tanto que un
individuo sin la enfermedad presenta un resultado positivo sólo 2% de las veces. Si
se aplica la prueba a un individuo seleccionado al azar y el resultado es positivo.
¿Cuál es la probabilidad de que el individuo tenga la enfermedad?
Para usar el teorema de Bayes, sea:
: El individuo tiene la enfermedad.
: El individuo no tiene la enfermedad.
: Resultado de prueba positiva.
Solución:
Los diagramas de árbol pueden ser útiles para ilustrar este tipo de situaciones.
M
F
I
E
D
G
V
Z
Junto a cada rama que corresponde a un resultado de prueba positiva, la regla de
la multiplicación produce las probabilidades registradas. Por lo tanto,
, de donde se tiene:
Este resultado parece ser contraintuitivo; al parecer la prueba diagnóstica es tan
precisa, que se espera que alguien con un resultado positivo tenga altas
probabilidades de padecer la enfermedad, en tanto que la probabilidad
condicional calculada sólo es 0.047. Sin embargo, debido a que la enfermedad es
rara y la prueba sólo tiene una confiabilidad moderada, la mayor parte de los
resultados de prueba positivos surgen de errores y no de individuos enfermos. La
probabilidad de tener la enfermedad se incrementó por un factor multiplicativo de
47 (del 0.001 al 0.047); pero para obtener un incremento más en la probabilidad
posterior, se requiere una prueba diagnóstica con índices de error mucho más
pequeños. Si la enfermedad no fuera rara (p.ej., incidencia de 25% en la
población), entonces los índices de error para la prueba actual proporcionarían
buenos diagnósticos.
M
F
I
E
D
G
V
Z