Download Determine: a) La matriz genérica A= de orden 3x3 tal que, = 1

Facultad Regional Mendoza. UTN
Álgebra y Geometría Analítica
2014
Trabajo Práctico N°1: MATRICES
Ejercicio 1: Determine:
a) La matriz genérica A=
de orden 3x3 tal que, = 1, 2, 3 y = 1, 2, 3
=
b) La matriz genérica de orden 3x3, tal que:
c) De un ejemplo para las matrices A y
d) La matriz B=
, donde:
.e) La matriz C=
, donde:
Opcional:
f) La matriz D=
g) La matriz E=
, donde:
, donde:
.
.
= 0, para todo, = 1, 2, 3 y para todo j = 1, 2, 3.
≠ ⇒
= ⇒
= 0
=1
≠ ⇒
= 0
= ⇒
= +
≥ ⇒
=2 + < ⇒
=0
h) Para la matriz anterior calcula: ∑
, si =
i) Clasifique las matrices de los incisos b, d, e, f, g, e identifica la operación matricial
utilizada en el inciso h.
2
Ejercicio 2: Sean: A=
1
!# 0
"
B= 0 $
"
"
$
"
%
"
$(
"'
%'
"'
#&
1
1 −2
C=)−1 2
3+
2 −3 3
D=
1 3
2 1
2
3
2 1
F=)1 3+
0 2
I) Encuentre las matrices que se obtienen efectuando las siguientes operaciones o dar las
3√3 2√3.
E=,0
razones por las que no están definidas.
a) 2
b) −2
c) 2/ $
d) 30
$
e) 3 + 21
f) 32 + 20
g) 44 ∙ 6 1
"
h) 2 ∙ 2
i) (4 + /)
j) (4 ∙ /)
k) / ∙ 4
II) Grafique en los ejes de coordenadas x-y a la matriz A considerada como vector
geométrico y grafique los incisos a y b. Describe lo observado.
III) Observe los resultados de los incisos j y k. Concluya.
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Ejercicio 3: Sea la matriz A=
1
0
0
1
0
y sean los vectores geométricos 9" =
9$ =
y
−1
0
1
1
.
1
a) Pre multiplique a los vectores 9", 9$ y 96 por la matriz A.
96 =
b) Represente gráficamente los vectores 9", 9$ y 96 y los vectores obtenidos en el inciso
anterior.
c) Observe y describa el efecto geométrico que produce pre multiplicar a los vectores por la
matriz A.
Opcional:
d) Pre multiplique a los vectores 9" , 9$ y 96 por las matrices B=
1 0
−1 0
, C=
,
0 1
0 1
−1 0
2 0
0
D=
, E=
, F=: $
;.
0 −1
0 1
0 1
e) Represente gráficamente los vectores obtenidos en el inciso anterior, en ejes de
"
coordenadas x-y distintos para cada matriz.
f) Observe y describa el efecto geométrico que produce pre multiplicar a los vectores 9",
9$ y 96 por las matrices B, C, D, E, F.
Ejercicio 4: Indique cuáles de las siguientes matrices son elementales. Justifique la
respuesta en cada caso.
0 1
2
A=
, B=
1 0
0
0
1
, C=
1
0
3
0 2
1 0
, D=
, E=
1
1 0
0 2
1 0
0
, F=)0 0
0
0 1
0
8
1+, G=)0
0
0
0 0
2 0+
0 1
Ejercicio 5: ¿Qué le sucede a una matriz A de 3 x 3 si?:
2 0 0
1 2 0
a) Se pre multiplica por 1" = )0 1 0+
c) Se pre multiplica por 1$ = )0 1 0+
0 0 1
0 0 1
b) Se pos multiplica por 1" .
Ejercicio 6: Determine cuáles de las siguientes matrices están en la forma escalonada por
filas; escalonada por filas reducida; o ninguna de ellas. Justifique.
1
= =0
0
0
2
0
0
0
3
0
0
0
4
1 3
1> 4 = =0 1
0
0 0
0
0 0
2
2
0
0
1
1
1> C= )
0
1
0
1
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0 0
1 0 0
1 0+ D=:0 1 0
0 0 1
0 2
0
2
3; E=:0
0
1
0
0;
0
Ejercicio 7: Determine el rango de las siguientes matrices e indique cuáles de ellas son
inversibles.
1 2 3
A=)2 5 3+
1 0 8
1 2 2
B=)1 2 3+
2 4 3
C=
1
2
3 2
0 1
D=
0
0
0 0
0 0
Ejercicio 8: Calcule, de ser posible, las inversas de las siguientes matrices.
1 2 3
B=)0 0 1+
1 2 2
1 2
A=
3 4
1 2 2
C=)3 2 2+
2 1 0
1 0
D=
0 3
3
2
1
E==0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
1
2
0>
1
0
Ejercicio 9:
a) Exprese el siguiente enunciado en símbolos:
Si A y B son matrices invertibles de orden n, entonces la inversa del producto de A por B es
el producto de la inversa de B por la inversa de A.
b) Demuestre lo enunciado en el item a.
Ejercicio 10: Dada la matriz
reales.
=
de orden 2x2 donde a, b, c y d son números
a. Verifique que se cumple:
i. ( ) =
ii. ( ) = ( )
∈ℝ
b. Obtenga la matriz genérica que verifica:
i. $ = B (siendo B la matriz identidad de orden 2x2)
0 0
ii. $ = (considere a distinta de la matriz nula de orden 2x2.
0 0
iii. Dé para cada caso del inciso b un ejemplo de matriz A de orden 2x2.
Ejercicio 11: Dada la Matriz
c. Determine:
i. (3 )C"
ii. ( $ )C"
=
3
5
1
2
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iii. (( ) )C"
Ejercicio 12: Complete justificando la respuesta.
a) Sea la ecuación matricial AX-2C=3C. Donde A y C son matrices del mismo orden e
inversibles, entonces X =
b) Sea la ecuación matricial / C" ( + 9)4C" = B, donde A, B y C son matrices
inversibles del mismo orden, entonces X =
Ejercicio 13: Determine si las siguientes proposiciones son V o F. Justifique la respuesta.
a) ( + 4)$ =
$
+ 2 4 + 4 $. A, B y C de orden 2x2.
b) Cualquiera sea la matriz A de orden 2x3, la matriz
c) Toda matriz anti simétrica admite inversa.
∙
es simétrica.
d) Si A es una matriz diagonal, entonces A es simétrica.
e) Si A es una matriz de 3x3 de rango 2, la forma escalonada reducida de A es la matriz I.
f) (D 4 )C" = D C" (4 )C"
g) Si
C"
∙ 4 = 0 entonces A o B es una matriz nula.
Opcional:
h) Si
∙ 4 = B entonces A es la inversa de B.
i) La traza de la matriz (2I+0)=6. I de orden 4x4.
j) ( + 4) =
+4
k) La suma de matrices diagonales inversibles, es una matriz diagonal inversible.
Ejercicio Resuelto:
Ejercicio 14: Resuelva:
Se analizará el gasto mensual que producen tres familias en base a los siguientes datos:
Consumo promedio mensual de alimentos por familia: Familia A: pan 1 kg, carne 2 kg,
leche 1 kg. Familia B: pan 2 kg, carne 3 kg, leche 1 kg. Familia C: pan 2 kg, carne 3 kg,
leche 2 kg.
Costo por kg de alimento del mes 1: Pan $5, Carne $30, Leche $20.
a) Plantee la operación matricial que nos permitirá obtener el gasto mensual total que
produce cada familia en el mes 1. Considere en la operación matricial a las familias como
filas y a Pan, Carne y leche como Columnas.
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b) Si tenemos una cuarta familia D que consume: Pan 1 kg, carne 1 kg, leche 1 kg y el costo
por kg del mes 2 es: Pan $7, Carne $40, Leche $30, amplíe el sistema matricial planteado
para obtener el gasto total mensual que produce cada familia en el mes 1 y 2.
/IJKILMN
0 EF
OPJ1
G / H
85
1
1 2 1
5
∙
a)
=
)
)
+
120+
2
2 3 1
)30+
140
3
2 3 2
20
El gasto mensual total que produce cada familia en el mes 1 es: $85 para la familia 1, $120
para la familia 2 y $140 para la familia 3.
OPJ1 OPJ2
0 EF
G / H
/IJKILMN
85 117
1 2 1
1
7
5
= =120 164>
b)
∙
2
=2 3 1>
)30 40+
140 90
3
2 3 2
20 30
77
55
4
1 1 1
El gasto mensual total que produce cada familia 4 en el mes 1 es: $55.
El gasto mensual total que produce cada familia en el mes 2 es: $117 para la familia 1,
$164 para la familia 2, $90 para la familia 3 y $77 para la familia 4.