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ÁLGEBRA -2011-
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: LÓGICA - PARTE A
Ejercicio 1: Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones
compuestas y diga si son tautologías, contradicciones o contingencias.
a) p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
b)
q⇒p∧q
c) - (p ⇒ q) ⇔ (p ∧ - q)
d) – q ∧ (p ⇒ q) ∧ p
Ejercicio 2: Complete las siguientes proposiciones:
a) q ⇒ [- p ∧ ( p ∨ q)]
es F entonces
p es ........; q es ............
b) p ⇒ q ∧ r
es F entonces
p es …….; q es ..V..; r es ……
c) (p ∨ q) ⇔ (p ∧ r)
es V entonces
p es …F...; q es …….; r es ……
d) p ⇒ q ∧ r es F y además (p ∨ q) ⇔ (p ∧ r) es V entonces p es …….; q es …….; r
es ……
Ejercicio 3: Dadas las proposiciones p: “soy mujer” q:“soy madre biológica”,
arme una implicación verdadera e identifique condición suficiente y condición
necesaria.
Ejercicio 4: Siendo p: “a = b” y q: “a2 = b2”, arme una implicación verdadera.
Escriba en símbolos los enunciados directo, recíproco, contrario y contrarrecíproco.
Ejercicio 5: Simplifique las siguientes proposiciones
a) - ( - p ∨ - q )
b) - ( p ∨ q ) ∨ (- p ⇒ - q )
c) [ p ∨ (r ∨ p) ∧ q] ∨ - (- p ∧ - r )
Ejercicio 6: Complete para la siguiente proposición
La negación de ∀ x: [- P(x) ∧ - R(x) ⇒ - Q(x)] es ….
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 1: LÓGICA - PARTE B
Ejercicio 1: Confeccione la tabla de verdad de las siguientes proposiciones
compuestas y diga si son tautologías, contradicciones o contingencias.
a) p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
b) -(p ⇒ q) ⇔ (p ∧ - q)
c) q ⇒(q ⇒ p)
d) -(p ⇒ q) ∧ -p
Ejercicio 2: Complete las siguientes proposiciones:
a) (p ⇔ -q) ∧ (p ⇒ q) es V
entonces p es ...F....; q es ............
b) (p ∧ q) ∨ - q es V
......V......
entonces p es .......; q es
c) p ⇒ q ∧ r es F y además p ⇔ r es V
….
entonces p es …..; q es …….; r es
d) (p ∨ q) ∧ - q es V y además –p ⇒ q es V
entonces p es …..; q es …….
Ejercicio 3: Dadas las proposiciones q:“despego de la tierra” p: “yo salto”, arme
una implicación verdadera e identifique condición suficiente y condición necesaria.
Ejercicio 4: Siendo p: “a < b” y q: “a2 < b2”, arme una implicación verdadera.
Escriba en símbolos los enunciados directo, recíproco, contrario y contrarrecíproco.
Ejercicio 5: Simplifique las siguientes proposiciones
a) (q ∨ -q) ⇒ p
b) p ⇒ (q ∧ -q)
c) (p ⇒ q) ∧ ( p ⇒ r)
Ejercicio 6: Complete la siguiente proposición
La negación de ∃ x/ [P(x) ∨ R(x) ⇒ - Q(x)] es ……
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: MATRICES - PARTE A
Ejercicio 1: Para A, B y C resuelva las operaciones. Justifique si no puede
realizarlas.
A + 2.B
B – 2A
C - 3.I
C. B
B.C
A2
(C. B)2
(I - C)2
(A.BT)T
B AT
Ejercicio 2: Completar las siguientes afirmaciones
a) La matriz A de orden 4x4 tal que aij= (-2) i - j es ....
b) La matriz A de orden 4x4 tal que aij =
es …..
Ejercicio 3: Para las siguientes afirmaciones que son falsas, dar un contraejemplo:
a) Si A y B son matrices cuadradas inversibles del mismo orden entonces (A +
B)-1 = A-1 + B-1
b) Si A. B = A. C entonces B = C
c) Si A. B = I entonces A y B son cuadradas.
d) Si A. B = 0 entonces A = 0 o B = 0.
Ejercicio 4: Escalone la matriz, determine el rango y si es posible calcule
su inversa
A=
B=
C=
Ejercicio 5: Resuelva las siguientes ecuaciones para X, suponiendo que A, B y C
son todas matrices cuadradas invertibles
a) C-1 (X + C ) B = I
b) (A. B. X. A-1.B-1)
-1
= B. B-1 + A
Ejercicio 6: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si A nxn es inversible entonces la forma escalonada reducida es ……
b) Si A nxn es inversible entonces el rango de A es ……..
Ejercicio 7: Dar una matriz A 3x3 que sea antisimétrica, triangular superior y
triangular inferior a la vez.
TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: MATRICES - PARTE B
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Ejercicio 1: Para A, B y C resuelva las operaciones. Justifique si no puede
realizarlas
A+B
3B – A
C - 3.I
C. B
B.C
B2
(C. B)2
(I - C)2
(A+BT)T
B +AT
Ejercicio 2: Completar las siguientes afirmaciones
a) La matriz A de orden 4x4 tal que aij = 1/(i+j) es ....
b) La matriz A de orden 4x4 tal que aij = es …..
Ejercicio 3: Para las siguientes afirmaciones que son falsas, dar un contraejemplo:
a) Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden entonces (A. B)2 = A2 . B2
b) Si A y B son matrices inversibles entonces A + B es inversible.
c) Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden entonces (A . B)
-1
= A-1. B-1
Ejercicio 4: Determine el rango de las siguientes matrices y si es posible
calcule su inversa
A=
B=
C=
Ejercicio 5: Resuelva las siguientes ecuaciones para X, suponiendo que A, B y C
son todas matrices invertibles nxn.
a) C-1 X. B-1 = A A-1
b) X B = (B A)2 A-1
Ejercicio 6: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si A nxn es inversible entonces es equivalente a la matriz ……
b) Si A nxn es inversible entonces la cantidad de filas no nulas después de
escalonarla es …….
Ejercicio 7: Dar una matriz A 3x3 que sea simétrica y triangular superior a la vez.
TRABAJO PRÁCTICO Nº 3 -DETERMINANTES - PARTE A
Ejercicio 1: Complete y determine el signo de los siguientes productos
elementales.
a24.a
5
.a12. a
35
41
. a63 a…
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a13 a24.a
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.a......
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Ejercicio 2: Calcule el determinante de las siguientes matrices:
a)
b)
Ejercicio 3: Si det(A) = k y A es de orden 3 x 3, entonces:
a) det (2.A) = ........
b) det(3. A.AT) = ........
c) det ( 5.A-1 ) = ........
d) det( 5.A )-1 = ........
e) det A3 = ........
f)
det (A + AT) = ........
g) det( 7.I - A A-1)T= ........
Ejercicio 4: Dar un contraejemplo para las siguientes afirmaciones que son falsas:
a) Si A es una matriz 2x2 con determinante cero, entonces la matriz A tiene dos
filas iguales.
b) Si A es una matriz 3x3, entonces 5 det A = det (5.A )
Ejercicio 5: Determine la matriz inversa de las matrices del ejercicio 2 si es
posible.
Ejercicio 6: Halle los valores de λ para que la siguiente matriz no admita inversa
Ejercicio 7: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si A nxn es inversible entonces el determinante de A es ……
b) Si A nxn y det(A) ≠0 entonces el rango de A es ……..
TRABAJO PRÁCTICO Nº 3: DETERMINANTES - PARTE B
Ejercicio 1: Complete y determine el signo de los siguientes productos elementales
a24.a
.a12. a
53
a51a24.a
6
41
.a
...
.a.... a13..
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Ejercicio 2: Calcule el determinante de las siguientes matrices:
a)
b)
Ejercicio 3: Si det(A) = 3 y A es de orden k, entonces:
a) det(A) + det (AT)= ........
b) det(A) + det(A-1) = ........
c) det (2.A ) - det (-2 A) = ........
h) det ( A3)-1 = .......
i)
det ( 7.A-1 )= ........
d) det( 7.A )-1=…..
Ejercicio 4: Dar un contraejemplo para las siguientes afirmaciones que son falsas:
a) Si A y B son matrices nxn, con det A = 2 y det B = 3, entonces det (A - B) = -1
b) Si A es de orden n entonces det (- A) = - det A
Ejercicio 5: Determine la matriz inversa de las matrices del ejercicio 2 si es
posible.
Ejercicio 6: Halle los valores de λ para que la siguiente matriz no admita inversa
Ejercicio 7: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si el det(A) ≠ 0 entonces A es ……
b) Si A nxn y det(A) ≠ 0 entonces A es equivalente a la matriz ……..
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESPARTE A
Ejercicio 1: Las siguientes son matrices ampliadas escalonadas de sistemas
lineales.
a) Escriba el sistema correspondiente.
b) Determine las incógnitas principales y libres.
c) Encuentre el conjunto solución.
d) Clasifique el sistema.(T de RF)
i)
ii)
iii)
Ejercicio 2: Escriba un sistema homogéneo con las condiciones que se dan y
compruebe que su elección ha sido correcta
a) Cuadrado con infinitas soluciones
b) No cuadrado con solución única.
Ejercicio 3: Elija los números a, b, c, d en esta matriz ampliada de tal modo que
no tenga solución, tenga infinitas soluciones o tenga solución única
Ejercicio 4:¿Qué condiciones hay sobre b1, b2, b3 para que tengan solución?
Ejercicio 5: Las siguientes son proposiciones falsas, dar un contraejemplo para
cada uno.
a) Si AX = B tiene solución única entonces A es cuadrada.
b) Si la matriz de coeficientes A tiene una fila de ceros, entonces AX = B es
indeterminado.
c) Si la matriz de coeficientes A tiene una columna de ceros, entonces AX = B es
determinado.
Ejercicio 6: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si A es inversible entonces AX=B tiene solución única para cualquier ……
b) Si A es inversible entonces la solución de AX=0 es ……..
TRABAJO PRÁCTICO Nº 4: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESPARTE B
Ejercicio 1: Las siguientes son matrices ampliadas escalonadas de sistemas
lineales.
a) Escriba el sistema correspondiente.
b) Determine las incógnitas principales y libres.
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c) Encuentre el conjunto solución.
d) Clasifique el sistema.(T de RF)
i)
ii)
iii)
Ejercicio 2: Proponga y resuelva un sistema tal que sea:
a) Homogéneo 2 x 4 con 3 grados de libertad.
b) Homogéneo 3 x 2 con solución trivial.
c) No homogéneo 1 x 4 con 3 grados de libertad.
Ejercicio 3: Elija los valores de k en esta matriz ampliada de tal modo que no
tenga solución, tenga infinitas soluciones o tenga solución única
Ejercicio 4: ¿Qué condiciones hay sobre b1, b2, b3 para que estos sistemas tengan
solución?
Ejercicio 5: Las siguientes son proposiciones falsas, dar un contraejemplo para
cada uno.
a) Si AX = 0 tiene solución única entonces A es cuadrada.
b) Si AX=B tiene más ecuaciones que incógnitas entonces es indeterminado.
Ejercicio 6: Complete las siguientes afirmaciones:
a) Si AX=B con A inversible entonces X= ……
b) Si AX = 0 es un sistema cuadrado con solución trivial entonces A es ……..
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 TRANSFORMACIONES LINEALES PARTE A
Ejercicio 1: Para las siguientes funciones, determine si son transformaciones
lineales.
a) T: R2 → R3 tal que T(x, y) = (2x, 3 y, x + y)
b) T: R3 → R2 tal que T(x, y, z) = (x + y, z)
c) T: R2 → R2 tal que T (x, y) = (x, y + 1)
d) T: Mn → Mn tal que T(A) = A2
Ejercicio 2: Para aquellas funciones que sean transformaciones lineales en el
ejercicio 1
a) Determine N(T), encuentre una base y la dimensión.
b) Determine la imagen de T, encuentre una base y la dimensión
Ejercicio 3: Encuentre la ley de la transformación tal que T (2, 3, 0) = 3 , T (4, 0, 5)
= 12 y
T (0, 1, 7) = 3 . ¿Cuál es la imagen de T( 6, 10, 12) ?
Ejercicio 4: Para T: R4 → R2 tal que T(X)= A.X con A= , determine el rango y la
nulidad de T
Ejercicio 5: Complete las siguientes proposiciones: “La ley de la transformación
lineal en R2 que corresponde a una
a) Reflexión respecto del eje x es T(x, y) = …..
b) Rotación de 180° respecto al origen es T(x, y) = …..
c) Proyección sobre el eje x es T(x, y) =….
d) Compresión vertical de k = 1/2 es T(x,y) =….
e) Expansión horizontal de k= 3 es T(x, y)
Ejercicio 6: Las siguientes son proposiciones falsas, dar un contraejemplo para
cada uno
Si T: V → W es tal que T(0) = 0 entonces es T una transformación lineal
Si T: R3 → R2 es una transformación lineal entonces dim Im(T) = 2
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Ejercicio 7: Complete las afirmaciones sabiendo que T: Rn → Rn es tal que T(X)=
A.X:
a) Si A es inversible entonces la nulidad de T es……
b) Si A es inversible entonces el rango de T es ……
TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 TRANSFORMACIONES LINEALES - PARTE B
Ejercicio 1: Para las siguientes funciones, determine si son transformaciones
lineales.
a) T: R2 → R3 tal que T(x, y) = ( x , 0, 2y)
b) T: R3 → R2 tal que T(x, y, z ) = ( 3x, y + z )
c) T: R2 → R2 tal que T (x, y) = (y, 1)
d) T: Mn → Mn tal que T(A) = AT
Ejercicio 2: Para aquellas funciones que sean transformaciones lineales en el
ejercicio 1
a) Determine N(T) , encuentre una base y la dimensión.
b) Determine la imagen de T, encuentre una base y la dimensión
Ejercicio 3: Si T (2, 1) = (6, 6) y T(1,5) = (1, 8) entonces T(x, y)=…….………y T( -7,
4)=………
Ejercicio 4: Para T: R3 → R3 tal que T(X)= A.X con A=, determine el rango y la
nulidad de T
Ejercicio 5: Complete las siguientes proposiciones: “La ley de la transformación
lineal en R2 que corresponde a una
a) Reflexión respecto del eje y es T(x, y) = …..
b) Rotación de 90° respecto al origen es T(x, y) = …..
c) Proyección sobre el eje y es T(x, y) =….
d) Compresión horizontal de k = 1/3 es T(x,y) =….
e) Expansión vertical de k= 5 es T(x, y)
Ejercicio 6: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones
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a) Si T: R3 → R2 es una transformación lineal entonces (0,0) ϵ N(T)
b) Si T: R2 → R7 es una transformación lineal entonces dim Im(T) puede ser 3
Ejercicio 7: Complete las afirmaciones sabiendo que T: Rn → Rn es tal que T(X)=
A.X
c) Si A es inversible entonces el núcleo de la T es …..…
d) Si A es inversible entonces las ……………..de A forman una base para Im(T)
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 6: MATRIZ ASOCIADA - PARTE A
Ejercicio 1: Encuentre la representación matricial de las siguientes
transformaciones lineales
a) T: R3  R4
tal que T (x, y, z) = ( - y, x, z, x + z)
b) T: R3  R2 tal que T (x, y, z) = ( x, 0)
c) Las correspondiente al ejercicio 5 del práctico anterior
Ejercicio 2: Encuentre la matriz A que representa la transformación T: R2  R2 tal
que
T (x, y) = (2x, 6y) usando la base {(1, 0), (0, 1)} en el dominio y en el codominio
Ejercicio 3: Encuentre la matriz M que representa la transformación T: R2  R2 tal
que
T (x, y) = (2x, 6y) usando la base {(1, 0), (4, 2)} en el dominio y en el codominio
Ejercicio 4: Encuentre la representación matricial de la transformación Id: R 2  R2
tal que
Id (x, y) = (x , y) usando la base {(1, 0), (4, 2)} en el dominio y {(1, 0), (0, 1)} en el
codominio
Ejercicio 5: Encuentre la representación matricial de la transformación Id: R2  R2
tal que
Id (x, y) = (x , y) usando la base {(1, 0), (0, 1)} en el dominio y {(1, 0), (4, 2) }en el
codominio
Ejercicio 6: Verifique que las matrices A y M son semejantes.
Ejercicio 7: Encuentre el transformado del vector v = (3, 8) usando la matriz A y
luego usando la matriz M.
Ejercicio 8: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) Si A y B son dos matrices semejantes entonces det(A) = det(B)
b) Si A y B son dos matrices semejantes entonces AT y BT son dos matrices
semejantes
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 6: MATRIZ ASOCIADA -PARTE B
Ejercicio 1: Encuentre la representación matricial de las siguientes
transformaciones lineales
a) T: R2  R4 tal que T (x, y) = (x , y, y + z, 0)
b) T: R2  R tal que T (x, y) = 0
c) Las correspondiente al ejercicio 5 del práctico anterior
Ejercicio 2: Encuentre la representación matricial de la transformación T: R 2  R2
tal que
T (x, y) = (x +y, 2y) usando la base {(1, 0), (0, 1)} en el dominio y en el codominio
Ejercicio 3: Encuentre la representación matricial de la transformación T: R2  R2
tal que
T (x, y) = (x +y, 2y) usando la base {(1, 3), (0, 4)} en el dominio y en el codominio
Ejercicio 4: Encuentre la representación matricial de la transformación Id: R 2  R2
tal que
Id (x, y) = (x , y) usando la base {(1,3), (0, 4)} en el dominio y {(1, 0), (0, 1)} en el
codominio
Ejercicio 5: Encuentre la representación matricial de la transformación Id: R 2  R2
tal que
Id (x, y) = (x , y) usando la base {(1, 0), (0, 1)} en el dominio y {(1, 3), (0,4) } en el
codominio
Ejercicio 6: Verifique que las matrices encontradas en los ejercicios 2 y 3 son
semejantes.
Ejercicio 7: Encuentre el transformado del vector v = (1, 6) usando la matriz
ejercicio 2 y luego usando la matriz del ejercicio 3
Ejercicio 8: Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) Si A y B son dos matrices semejantes entonces det(A) - det(B)= 0
b) Si A y B son dos matrices semejantes y A es inversible entonces B es
inversible
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 7: DIAGONALIZACIÓN- PARTE A
Ejercicio 1: Para la siguiente matriz, determine si los vectores dados son vectores
propios y en ese caso dar los valores propios.
Ejercicio 2: Diagonalice si es posible las siguientes matrices
Ejercicio 3: Determine el valor de k para que la siguiente matriz sea diagonalizable
Ejercicio 4: Si A es una matriz 3x3 cuyos valores propios son 1, 5 y 9 entonces
a) los valores propios de 4.A son.............
b) los valores propios de A2 son........
c) los valores propios de A-1 son.......
d) los valores propios de AT son........
Ejercicio 5: Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) Si λ = 0 es un valor propio de A entonces A no es una matriz diagonalizable.
b) Si una matriz A de orden n tiene n valores propios iguales, entonces A no es
diagonalizable.
c) Si A es diagonalizable, entonces A es inversible.
d) Si A es inversible entonces es diagonalizable.
Ejercicio 6: Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
a) Si A es inversible entonces los valores propios de A son distintos de cero.
b) Si A y B son dos matrices semejantes entonces los polinomios característicos de
A y de B son iguales.
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 7: DIAGONALIZACIÓN- PARTE B
Ejercicio 1: Para la siguiente matriz, determine si los vectores dados son vectores
propios y en ese caso dar los valores propios.
Ejercicio 2: Diagonalice si es posible las siguientes matrices
Ejercicio 3: Determine el valor de k para que la siguiente matriz sea diagonalizable
Ejercicio 4: Para la matriz A del ejercicio 2, completar
a) Los valores propios de A-1….
b) Los valores propios de AT…..
c) Los valores propios de k.A……
d) La matriz Ak…..
Ejercicio 5: Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones.
a) Si P-1 A P = D, entonces A 2 = (P-1) 2 D2 P2
b) Los valores propios deben ser escalares diferentes de cero.
c) Si los valores propios son distintos, los vectores asociados a esos valores
resultan LI.
d) Si A es equivalente por filas a la matriz identidad, entonces A es diagonalizable.
Ejercicio 6: Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
a) Si A y B tienen los mismos valores propios entonces A y B son semejantes.
b) Si A es diagonalizable entonces AT es diagonalizable.
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TRABAJO PRÁCTICO 8: NÚMEROS COMPLEJOS- PARTE A
Ejercicio 1: Complete las siguientes proposiciones para que resulten
verdaderas:
a)
El argumento de z =
es ......
b)
Si z = x + y i entonces [ Im ( i.)+ Re ( 2 z )] es igual a ......
c)
El módulo de (- + i )6 es igual a ........
d)
Si z = – i entonces su forma polar es ………
e)
Si z = e i π entonces su forma cartesiana es…………
Ejercicio 2: Calcule y represente:
a)
ln ( − e i )
b)
ln (-2i)
c)
Ejercicio 3: Encuentre módulo y argumento de ω:
a) ω = (1+2i) i -1
b) ω = (− 2 ) - i
TRABAJO PRÁCTICO Nº 8: NÚMEROS COMPLEJOS- PARTE B
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Ejercicio 1: Complete las siguientes proposiciones para que resulten
verdaderas:
a)
El módulo de z = es………
b)
Si z = x + y i entonces la parte imaginaria de [ Im ( i )2 – i 35 Re (z )
] es…
c)
Si z = (+ i ) –1 entonces el argumento de z 5 es……
d)
Si z = ( -3 , -3 ) , su forma exponencial es…
e)
Si z = ( 1 , π ) , su forma binómica es……
Ejercicio 2: Calcule y represente:
a)
ln
b)
La forma polar del complejo z = ln ( - π )
c)
Ejercicio 3: Encuentre módulo y argumento de ω:
a) ω = (i -3) i
b) ω = (−3i) 1+ i
TRABAJO PRÁCTICO Nº 9: ECUACIONES E INECUACIONES –PARTE A
Ejercicio 1: Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
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a) Bicuadrada
x4 − 5x2 − 36 = 0
b) Binómica
x6 + 16 x2 = 0
c) Trinómica
x6 − 7 x3 - 8 = 0
d) Recíproca de tercer grado
x3 − 4 x2 − 4 x + 1 = 0
e) Recíproca de cuarto grado
x4 − 7 x3 + 6 x2 − 7 x + 1 = 0
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Ejercicio 2: Determine gráficamente el conjunto solución de los siguientes
sistemas de inecuaciones:
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 9: ECUACIONES E INECUACIONES-PARTE B
Ejercicio 1: Encuentre el conjunto solución de las siguientes ecuaciones:
a) Bicuadrada
36 x4 − 73 x2 + 16 = 0
b) Binómica
64 x8 + x4 = 0
c) Trinómica
8x6 +7 x3 -1 = 0
d) Recíproca de tercer grado
2x3 + 5 x2 +5 x + 2 = 0
e) Recíproca de cuarto grado
6 x4 - 25 x3 + 38 x2 - 25 x + 6 = 0
Ejercicio 2: Determine gráficamente el conjunto solución de los siguientes
sistemas de inecuaciones
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 10: COMBINATORIA- PARTE A
Ejercicio 1: Encuentre el valor de x que verifica:
a) P
x,1
= 56 P
x,3
b) Vx,2 + 5 P3 = 9 x + 6
Ejercicio 2: Resuelva los siguientes problemas:
a) Un entrenador de fútbol dispone en la plantilla de su equipo de 7
delanteros de la misma calidad y que pueden actuar indistintamente
en los tres puestos de ataque del equipo. ¿Cuántas delanteras
distintas podría confeccionar? Rta: 210 delanteras de ataque
b) ¿Cuántos resultados diferentes se producen al lanzar 5 dados de
distinto color y anotar los resultados de la cara superior? Rta: 7776
resultados diferentes
c) ¿De cuántas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de butacas
de un cine? Permutaciones sin repetición. Rta: 40320 formas diferentes de
sentarse
d) ¿Cuál es el número total de permutaciones que pueden formarse con las letras
de la palabra MATEMATICA? Rta: 151200
e) Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 4 entradas.
¿De cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la
película? Rta: 35 formas distintas
f) En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se
pueden elegir 4 pasteles?.
Ejercicio 3: En el desarrollo de , determinar:
a) El último término.
b) El término de grado 17.
c) El término central.
Ejercicio 4: Hallar el desarrollo hasta el cuarto término de
Ejercicio 5: Determinar el valor de n para ( 2 x2 – ½ )n sabiendo que el 5ª término
es de grado 20.
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TRABAJO PRÁCTICO Nº 10: COMBINATORIA- PARTE B
Ejercicio 1: Encuentre el valor de x que verifique
a) Cx,x-2 = 10
b) 3 Vx,4 = 5 V
x,2
Ejercicio 2: Resuelva los siguientes problemas:
a) ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir tres premios
distintos entre cinco personas? Rta: 60 formas distintas de reparto.
b) Con un punto y una raya (símbolos clásicos del alfabeto Morse)
¿Cuántas señales distintas de 5 dígitos pueden hacerse?
c) Un técnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo
hiciera al azar, ¿de cuántas formas diferentes podría completar las
conexiones? Rta: 720 conexiones diferentes
d) En una carrera de autos se colocan tres azules, dos rojos y uno verde. ¿De
cuántas formas diferentes se pueden ubicar?
e) En un edificio en el que viven 25 personas adultas hay que formar una comisión
interna de 3 personas. ¿Cuántas comisiones se pueden formar? Rta: 2300
f) ¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó?
Ejercicio 3: En el desarrollo de , determinar:
a) El cuarto término.
b) El término de grado 10.
c) El término central.
Ejercicio 4: Hallar el desarrollo hasta el cuarto término de () -2
Ejercicio 5: Determinar el valor de n para que los quintos términos de sean
iguales.
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