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ESTADÍSTICA (M1004)
GUÍA PRÁCTICA
PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS
TEORIA DE CONJUNTOS
1) Considere los siguientes conjuntos:
A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
Se pide: A ∪ B, B – C, A ∩ B ∩ C
B = { 4, 7, 8, 9}
C = {5, 6, 7,10,11}
2) Considere los conjuntos:
U = { X ∈ℜ / 1 ≤ X ≤ 10}
A = {X ∈ℜ / 2 < X ≤ 9} B = { X ∈ℜ / X ≥ 6} C = {X ∈ℜ / 1 ≤ X ≤ 5}
Se pide:
A ∪ B, A – B, (A ∩ B) / C,
(A ∩ C)c,
Ac ∪ Cc, B ∩ C,
(A - B) ∪ C
3) Considere los conjuntos:
U = { X ∈ℜ / − 10 ≤ X ≤ 15}
A = {X ∈ℜ / 0 ≤ X ≤ 8} B = { X ∈ℜ / X > − 2} C = {X ∈ℜ / − 7 ≤ X ≤ − 1}
Se pide:
A ∪ B, C – B, (A ∩ B) ∪ C, (A ∩ B)c,
Ac ∪ C,
(Cc ∪ B) ∩ A,
(A - B) ∪ B
COMBINATORIA
4) Un mecanismo electrónico de control requiere de 5 chip de memoria idénticos. ¿De cuantas maneras puede
ensamblarse este mecanismo colocando los 5 chip en las 5 posiciones si se cuenta con 8 chip idénticos?
5) Una caja de 12 baterias recargables contiene una defectuosa. ¿De cuantas maneras puede un inspector
puede seleccionar 3 de las baterias y: a) obtener la defectuosa?, b) no obtener la defectuosa?
6) ¿cuántas alineaciones es posible formar al escoger un equipo de basketball compuesto de 3 jugadores
veteranos y 2 novatos a partir de 7 veteranos y 6 novatos, si todos ellos pueden jugar en cualquier posición?
7) Se debe formar un comité de 7 personas a partir de un grupo de 8 aragüeños y 5 carabobeños. ¿De cuantas
maneras se puede seleccionar el comité si debe contener: a) solo 4 aragüeños?, b) por lo menos 4 aragüeños?
TEORIA DE PROBABILIDAD
8) En un reciente estudio sobre jóvenes entre 16 y 18 años, se tomaron los siguientes datos de un grupo de
jóvenes: 72 hombres y 30 mujeres fuman; mientras que los otros 44 hombres y 25 mujeres de la muestra no
fuman. Si se considera la muestra significativa, se pregunta: a) ¿Cuál es la probabilidad de ser fumador?, b)
¿Cual es la probabilidad de ser hombre fumador?, c) ¿Cual es la probabilidad de no fumar, si es mujer?
9) En una clase hay 15 niños y 30 niñas. Se seleccionan al azar 10 estudiantes para una tarea especial. ¿Qué
probabilidad hay de seleccionar exactamente tres niños?
LRLM NOV’04
10) La probabilidad de que el chip de un circuito integrado tenga un grabado defectuoso es de 0,12, la
probabilidad de que tenga un defecto de cuarteadura es de 0,29 y la probabilidad de que tenga ambos
defectos es de 0,07. Se pide: a) ¿Qué probabilidad hay de que un chip de fabricación reciente tenga ya sea un
defecto de grabado o de cuarteadura?. b) ¿Qué probabilidad hay de que no tenga ningún defecto?
11) Juan dice la verdad nueve de cada diez veces y Pedro siete de cada nueve. De una urna con 5 bolas
blancas y 20 bolas negras se extrajo una al azar. Si ambos dijeron que la bola extraida era blanca, ¿Cuál es la
probabilidad de que la bola extraida fuera realmente blanca?
12) Una máquina bajo control produce un 2% de piezas defectuosas. En esta situación se encuentra el 92% de
las veces. El resto, cuando se encuentra fuera de control, el porcentaje de piezas defectuosas se eleva al 15%.
Si una unidad seleccionada al azar resulta ser defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido
inspeccionada cuando la máquina estaba bajo control?
13) La máquina 1 produce piezas de buena calidad en el 80% de los casos, mientras que esta proporción es del
90% si las piezas proceden de la máquina 2. Se separa una pieza de cada máquina. Se pide: a) Probabilidad de
que ambas piezas sean defectuosas, b) ¿Cuál es la probabilidad de que una sea defectuosa y la otra no?, c) Si
una es defectuosa y la otra no, ¿Cuál es la probabilidad de que la defectuosa sea de la máquina 2?
14) Se saca al azar una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules. Hallar la
probabilidad de que la bola extraida sea: a) roja, b) azul, c) blanca, d) no roja, e) roja o blanca.
15) Si en el problema anterior se sacan 3 bolas, calcule la probabilidad de que salgan en el orden roja, azul,
blanca si extrajeron: a) con reposición, b) sin reposición. (en ambos casos construya el espacio muestral)
16) En el juego de pares y nones, cada jugador esconde una mano en la espalda y extiende 0, 1 o 2 dedos y
luego simultáneamente ambos jugadores muestran sus manos. El jugador A gana si la suma de los dedos que
aparecen es par, de lo contrario gana B. Construya el espacio muestral (cada jugador escoge al azar el número
de dedos y con igual probabilidad). Diga la probabilidad de que B gane si muestra un número par de dedos.
17) Un fabricante de automóviles proporciona vehículos equipados con: transmisión manual o automática,
con o sin aire acondicionado, con reproductor de cintas o de discos compactos, en colores azul, blanco o plata.
Se elige un automóvil al azar del almacén de producto terminado. Se pide: a) Espacio muestral, b)
probabilidad de seleccionar un vehículo azul con transmisión manual, c) probabilidad de seleccionar un
vehículo blanco con transmisión manual re productor de discos compactos y con aire acondicionado, d)
probabilidad de seleccionar un automóvil no blanco con reproductor de cintas.
18) En una caja se tienen 4 fichas rojas, 3 fichas verdes y 2 fichas azules. Sea un experimento que consiste en
extraer 3 fichas sin reposición. Considere los siguientes eventos: A = Obtener al menos 2 fichas del mismo
color, B = Obtener una ficha verde en el primer intento, C = Obtener a lo sumo una ficha roja. Se pide: a)
Halla r el espacio muestral, b) P(A∪B/C), c) P[(Ac∪B)∩C], d) P(C – A)
19) Se tiene una urna con 4 bolas rojas, 3 bolas blancas y 5 bolas azules. Se extrae una bola al azar y se lanza
un dado, si sale 1 o 2, la bola extraida se cambia por una bola roja y se introduce en la urna; si sale un 3 o 4, la
bola extraida se cambia por una bola blanca y se introduce en la urna; si sale 5 o 6, la bola extraida se cambia
por una bola azul y se introduce en la urna. Luego de este proceso se extrae una bola de la urna. Se pide: a)
Espacio muestral, b) probabilidad de extraer una bola azul en la última extracción, c) probabilidad de que la
bola extraida al final sea roja, si se sabe que salió un 4 en el dado.
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20) En el departamento de contabilidad de cierta empresa se encuentran un lote de facturas de las cuales se
conocen los siguientes datos: a) el 14,25% de las facturas están morosas, b) el 30% de la facturas son de la
empresa Y, c) El 45% de las facturas están al dia y pertenecen a la empresa Z, d) el 100% de las facturas de la
empresa Z están al dia, e) el 89,5% de la facturas son de la empresa X o están al dia. Se pide: i) Desarrolle el
espacio muestral, ii) ¿Cuál es la probabilidad de que una factura seleccionada al azar sea de la empresa Y o
este morosa?, iii) Si la factura está al dia, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la empresa X o Z?.
21) El Ministerio de Educación Superior está interesado en determinar las potencialidades de estudios de alto
nivel de los venezolanos, para ello se seleccionaron 2 universidades encontrándose: a) 35% de los estudiantes
cursan en la universidad B y estudian ingeniería, b) del total de estudiantes 47% cursan estudios de ingeniería,
c) el 7,2% de los estudiantes son de la universidad A y cursan ingeniería y no piensan realizar postgrado, d)
del total de estudiantes 45,3% no realizarán postgrado, e) de los estudiantes de la universidad B y que cursan
ingeniería el 50% no realizará postgrado, f) el 24,5% estudian en la universidad B cursan administración y
realizarán postgrado, g) 50% de los estudiantes de la universidad B estudian administración. Se pide: i)
Espacio muestral, ii) si se selecciona un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que estudie en la
universidad A o piense realizar postgrado, iii) si el estudiante no realizará postgrado, ¿cuál es la probabilidad
de que no estudie ingeniería?
22) En cierta empresa procesadora de alimentos se empacaron, en bolsas idénticas de un kilo, arroz y avena.
Una vez en el almacén algunas de estas bolsas pueden deteriorarse, siendo la decisión de la empresa si las
envasa de nuevo o no. Ahora bien, del total envasado y pasado al almacén, el dia de ayer, se conoce la
siguiente información: a) el 30% de las bolsas de arroz se encuentran deterioradas, b) el 2,4% de las bolsas
son de arroz están deterioradas no son envasadas de nuevo, c) el 3,9% de las bolsas no son envasadas de
nuevo, d) el 80% de las bolsas de arroz y deterioradas son envasadas de nuevo, e) el 75% de las bolsas de
avena se encuentran deterioradas. Se pide: i) espacio muestral, ii) sise selecciona una bolsa al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que este deteriorada o sea envasada de nuevo?, iii) si la bolsa no está deteriorada ¿cuál es la
probabilidad de que sea de arroz?.
VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
23) En una caja se tienen 2 fichas con el número 1, 3 fichas con el número 2 y 1 ficha con el número 3. Sea un
experimento que consiste en extraer 3 fichas con reposición. Considere las siguientes variables aleatorias:
X = suma de las dos primeras fichas extraidas, Y = producto de la segunda y la tercera ficha extraidas, Z = al
número de cambios en la secuencia de números obtenidos en las fichas. Se pide: a) Espacio muestral, b)
Esperanza, varianza y desviación típica de cada variable, c) P(X > 5 / Y = 6), d) P(Z < 2), e) Distribuciones de
probabilidad conjunta de X, Y y de X, Z, f) ¿Son X, Y variables aleatorias independientes? g) ¿lo son X, Z?
24) Sea X una variable aleatoria discreta con una función de densidad y probabilidad:
k
si x = 1, 2, 3, 4

f (x ) =  x
 0
en otro caso
Calcule: a) el valor de k para que sea una fdp, b) P(1 ≤ x ≤ 3), c) P(2 < x ≤ 4), d) P(0 ≤ x ≤ 3 / x >1).
25) Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un período de
una hora. Dada la siguiente información:
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X
0
1
2
3
4
5
6
7
P(X=x)
0,05
0,10
0,10
0,10
0,20
0,25
0,10
0,05
Halle el promedio de clientes que se espera visiten la tienda en una hora y su desviación típica.
8
0,05
26) Sea un experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda 3 veces. Sean las siguientes variables
aleatorias:
X = número de caras obtenidas
si sale cara la primera vez
0
Y = 
si sale sello la primera vez
1
Z = número de cambios en la secuencia de caras y sellos
Se pide: a) Espacio muestral, b) Esperanza, varianza y desviación típica de cada variable, c) P(X > 2 / Y = 1),
d) P(Z < 2), e) Distribuciones de probabilidad conjunta de X, Y, de Y, Z y de X, Z, f) verificar la
independencia de X, Y, de X, Z, de Y, Z.
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
27) Cierta válvula tiene una duración (en horas) con una función de densidad y probabilidad:
c
si x ≥ 600

f (x ) =  x 3
 0
si x < 600
Calcule: a) el valor de la constante c para que sea una fdp, b) la probabilidad de que una válvula dure por lo
menos 1000 h, c) la probabilidad de que dure entre 500 y 1700 h si se sabe que dura mas de 1000h, d)
determine la media de la duración del elemento en h. (esperanza)
28) Sea X una variable aleatoria con fd:
3 x 2
si 0 ≤ x ≤ 1
f (x ) = 
en otro caso
0
1
Calcule: a) graficar f(x), b) P(X < ½), c) P(X > /3 / X < ½), d) determine la esperanza, la varianza y la
desviación típica de X.
29) Sea X una variable aleatoria con fd:
1
si 0 ≤ x ≤ 3
 x+ k
f (x ) =  6

0
en otro caso
Calcule: a) el valor de la constante k para que sea una fdp, b) P(1 ≤ X < 2), c) P(X < 2 / X > ½), d) determine
la esperanza, la varianza y la desviación típica de X.
30) Sea X una variable aleatoria con fd:
x
−

 ke 5
si x > 0
f (x ) = 

0
en otro caso
Calcule: a) graficar f(x), b) el valor de la constante k para que sea una fdp, c) P(0 ≤ X < 8), c) P(X < 2/X > 10)
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