Download La inversa de una matriz 9.5

396
CAPÍTULO 9 Álgebra matricial
55. Encuentre el determinante de
A
4
3
1
0
2
2
4
2
0
3
1
2
3
4
5
0
3
0
0
0
5
2
4
0
7
56. Encuentre el determinante de
A
0
3
2
3
2
0
0
6
3
3
8
2
2
4
12
0
0
0
0
1
0
9
6
3
4
En los siguientes ejercicios, resuelva el sistema de ecuaciones utilizando la regla de Cramer.
57. 3x1
4x1
59. x1
2x1
61.
x1
4x1
63. x1
2x1
5x1
65. 3x1
x1
x1
67.
x1
2x1
3x1
9.5
2x2
13
6x2
0
5x2
85
4x2
40
2x2
4
8x2
18
3x2 2x3
4x2
x3
2x2 4x3
5x3
4x2 2x3
x2
x3
2x2 3x3
4x2
x3
6x2 9x3
58. 5x1
3x1
60. 4x1
5x1
62. 3x1
9x1
64. x1
3x1
3x1
66. 3x1
5x1
8
47
4
34
5
15
x3
1
2x3
5
x3
2
x3 11
3x3 19
4x2 6x3
0
68. x1
4x2 3x3
16
8x1 12x2 4x3
10
2x1 3x2
x3
14
17
16
21
14
10
2
24
12
16
4x2
5x2
8x2
3x2
2x2
6x2
x2
4x2
2x2
2x2
La inversa de una matriz
Para algunas matrices se puede identificar otra matriz denominada matriz inversa multiplicativa, o más simplemente, la inversa. La relación entre una matriz A y su inversa (representada por A1) es que el producto de A y A1, en cualquier orden, da como resultado la
matriz identidad, es decir:
AA
1
A
1
A
I
(9.8)
La inversa es similar al recíproco en el álgebra de los números reales. Multiplicar una
cantidad b por su recíproco 1/b da como resultado un producto igual a 1. En el álgebra matricial, multiplicar una matriz por su inversa da como resultado la matriz identidad.
9.5 La inversa de una matriz
397
Observaciones importantes acerca de la inversa
I
II
III
Para que una matriz A tenga una inversa, ésta debe ser cuadrada.
La inversa de A también será cuadrada y tendrá la misma dimensión que A.
No todas las matrices cuadradas tienen una inversa.
Una matriz cuadrada tendrá una inversa siempre y cuando todas las filas o columnas
sean linealmente independientes; es decir, ninguna fila (o columna) es una combinación
lineal (múltiplo) de las filas (o columnas) restantes. Si cualquiera de las filas (o columnas)
es linealmente dependiente [son combinaciones lineales (múltiplos) de otras filas (columnas)], la matriz no tendrá una inversa. Si una matriz tiene una inversa, se dice que es una
matriz no singular. Si una matriz no tiene una inversa, se dice que es una matriz singular.
Ejemplo 25
Puede verificarse que la matriz B, que se presenta a continuación, es la inversa de la matriz A al calcular
los productos AB y BA.
A
3 7
2 5
B
AB
3 7
2 5
5
2
BA
5
2
7
3
5
2
7
3
7
3
1 0
0 1
3 7
2 5
1 0
0 1
Ya que ambos productos dan como resultado una matriz identidad (2 2), puede decirse que la
matriz B es la inversa de A, o sea:
B
A
1
De modo similar, puede afirmarse el equivalente de que A es la inversa de B, es decir:
A
B
1
❑
Determinación de la inversa
Hay varios métodos para determinar la inversa de una matriz. Un método se basa en el procedimiento de eliminación gaussiana estudiado en la sección 3.3. Desarrolle el procedimiento general usando un ejemplo. Si le confunde el procedimiento de Gauss, es aconsejable
que vuelva a leer la sección 3.3.
398
CAPÍTULO 9 Álgebra matricial
Ejemplo 26
Regresemos a la matriz A del último ejemplo. Si hay otra matriz B que sea la inversa de A, ésta tendrá un orden de (2 2). Establézcanse los elementos de B como sigue.
b11 b12
b21 b22
B
Si A1 B,
AB
I
3 7
2 5
o bien
b11 b12
b21 b22
1 0
0 1
Si se multiplica en el lado izquierdo de la ecuación, el resultado es
3b11
2b11
7b21 3b12
5b21 2b12
7b22
5b22
1 0
0 1
Para que estas dos matrices sean iguales, sus respectivos elementos deben ser iguales entre sí;
esto es,
3b11
7b21
1
(9.9)
2b11
5b21
0
(9.10)
3b12
7b22
0
(9.11)
2b12
5b22
1
(9.12)
Para determinar los valores de b11 y b21 se necesitan resolver las ecuaciones (9.9) y (9.10) simultáneamente. De igual manera, para determinar b12 y b22 se deben resolver las ecuaciones (9.11)
y (9.12).
3 7 1
3 7 0
2 5 0
2 5 1
3 7 1 0
2 5 0 1
— Transformación gaussiana —
1 0 b11
Figura 9.2 Transformación
gaussiana.
1 0 b12
1 0 b11 b12
0 1 b21
0 1 b 22
Transformación por separado
0 1 b21 b 22
Transformación junta
Si se debieran resolver estos sistemas en forma individual por el método de eliminación de Gauss,
las transformaciones procederían como se ilustra en la figura 9.2. Para cada sistema se realizarían
operaciones de fila para transformar el arreglo de coeficientes
3 7
2 5
en una matriz identidad (2 2).
Dado que ambos sistemas tienen la misma matriz de coeficientes en el lado izquierdo, las mismas ope-
9.5 La inversa de una matriz
399
raciones de fila se usarán para resolver ambos sistemas. Se puede mejorar el proceso aumentando las
constantes del lado derecho para el primer sistema con las del segundo sistema de ecuaciones, como
se muestra a continuación:
3 7
2 5
1 0
0 1
Al hacer esto, las operaciones de fila necesitan ser realizadas sólo una vez.
Después de transformar la matriz de los coeficientes en el lado izquierdo en una matriz identidad (2 2), la primera columna de valores en el lado derecho contendría la solución para el primer
sistema de ecuaciones (b11 y b21) y la segunda columna la solución para el segundo sistema de ecuaciones (b12 y b22). Las matrices transformadas tendrían esta apariencia
1 0
0 1
b11 b12
b21 b22
y la matriz (2 2) a la derecha de la línea vertical es la matriz B, o la inversa de A.
Procedimiento de reducción de Gauss
Para determinar la inversa de una matriz A (m m):
I
Aumente la matriz A con una matriz identidad (m m), dando como resultado
(A | I )
II
Realice operaciones de fila en toda la matriz aumentada para transformar A
en una matriz identidad (m m). La matriz resultante tendrá la forma
(I | A
1
)
donde A1 se puede leer a la derecha de la línea vertical.
Ejemplo 27
Continuando con el último ejemplo, puede encontrarse A1 mediante los pasos siguientes:
3
2
1
2
7
5
1
0
0
1
7
3
1
3
5
0
0
1
(multiplique la fila 1 por 13)
❑
400
CAPÍTULO 9 Álgebra matricial
7
3
1
3
1
0
1
3
2
3
0
1
(multiplique la fila 1 por 2
y súmelo a la fila 2)
1
0
7
3
1
3
2
0
3
(multiplique la fila 2 por 3)
1
1
0
0
1
5
2
7
3
(multiplique la fila 2 por
a la fila 1)
7
3
y súmelo
La inversa de A es:
A
5
2
1
7
3
❑
como se indicó en el ejemplo 25.
Si la matriz es singular (no tiene inversa), no será posible transformar A en una matriz identidad.
NOTA
Ejemplo 28
Considere la matriz
2
6
1
B
4
1
2
6
5
3
Nótese la dependencia lineal entre las filas 1 y 3. La fila 1 es un múltiplo (2) de la fila 3. Con base
en el análisis anterior, puede anticiparse que B no tendrá una inversa. Pruebe esta hipótesis al aplicar
el procedimiento de Gauss.
2
6
1
4
1
2
6
5
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
6
1
2
1
2
3
5
3
1
2
0
1
0
0
0
1
1
0
1
2
13
2
3
13
3
1
0
0
2
13
0
3
13
0
0
0
1
2
3
0
1
2
3
1
2
(multiplique la fila 1 por 12)
0
1
0
0
0
1
(multiplique la fila 1 por 6
y súmelo a la fila 2)
0
1
0
0
0
1
(multiplique la fila 1 por 1
y súmelo a la fila 3)
401
9.5 La inversa de una matriz
1
0
0
1
0
0
2
1
0
3
1
0
1
2
3
13
1
2
0
1
0
1
1
0
1
26
3
13
1
2
0
1
13
0
2
13
1
13
0
0
0
1
(multiplique la fila 2 por 113 )
0
0
1
(multiplique la fila 2 por 2
y súmelo a la fila 1)
En este punto se hace imposible generar un 1 en la tercera columna de la fila 3. Se podría poner
un 1 en esta posición al sumar un múltiplo de la fila 1 o 2 a la fila 3. Con todo, esto daría como resultado valores no cero en las columnas 1 o 2 de la fila 3. Inténtelo si necesita convencerse. Nuestra
conclusión es que B no tiene inversa.
❑
Obtención de la inversa usando cofactores (opcional)
Otro método para determinar la inversa de una matriz consiste en utilizar la matriz de cofactores.
El método de cofactores
El procedimiento de cofactores para encontrar la inversa de una matriz cuadrada A
es el siguiente:
I
II
Determine la matriz de cofactores Ac para la matriz A.
Determine la matriz adjunta Aj que es la transpuesta de Ac:
Aj
III
ATc
La inversa de A se encuentra al multiplicar la matriz adjunta por el recíproco
del determinante de A, o sea
A
1
1
(9.13)
Aj
Nótese en la ecuación (9.13) que cuando el determinante de A, , es igual a cero, el cálculo de la inversa no está definido. Por lo tanto, si 0, la matriz no tiene inversa.
Ejemplo 29
Determínese la inversa de la matriz
A
4
2
3
1
La matriz de cofactores Ac es
Ac
1 2
3 4
402
CAPÍTULO 9 Álgebra matricial
La matriz adjunta correspondiente es
1
2
Aj
3
4
El determinante de A es
(4)( 1)
2
( 2)(3)
Por consiguiente,
A
Ejemplo 30
1
2
1
1
2
3
4
1
2
3
2
1
2
Para determinar la inversa de la matriz (3 3)
B
1
1
1
2
0
3
0
1
2
Bc
3
4
2
1
2
1
3
5
2
la matriz de cofactores Bc es
La matriz adjunta Bj es la transpuesta de Bc, es decir:
B jc
3
1
3
4
2
5
2
1
2
Verifique que el determinante de B es igual a 1.
Por lo tanto,
B
1
3
1
3
1
1
3
1
3
NOTA
4
2
5
4
2
5
2
1
2
2
1
2
❑
(¡Un elemento potencial para ahorrar tiempo!)
En el paso 1 del método de cofactores, haga una pausa después de
identificar una fila o columna de cofactores y calcucule . Si 0,
¡ya acabó! La inversa no existe. Si 0, proceda para encontrar
los cofactores restantes.
9.5 La inversa de una matriz
403
La inversa y los sistemas de ecuaciones
En la sección 9.3 se estudia la representación matricial de los sistemas de ecuaciones. Se
puede utilizar la inversa de una matriz para determinar el conjunto solución para un sistema de ecuaciones. Dado un sistema de ecuaciones de la forma AX B, donde A es una
matriz cuadrada que contiene los coeficientes de las variables, ambos lados de la ecuación
matricial se pueden multiplicar por A1, dando como resultado
A
1
AX
1
A
(9.14)
B
Ya que A1A I, puede reformularse la ecuación (9.14) como
o bien
IX
A
X
A
1
1
B
(9.15)
B
Es decir, el vector solución para el sistema de ecuaciones se puede encontrar al multiplicar la inversa de la matriz de coeficientes A por el vector de las constantes del lado
derecho B. Si A1 no existe, las ecuaciones (más específicamente, la matriz de coeficientes) son linealmente dependientes y no hay ninguna solución o hay una infinidad de soluciones.
Ejemplo 31
Considere el sistema de ecuaciones:
4x1
3x2
4
2x1
x2
0
Este sistema de ecuaciones se puede escribir en forma matricial así:
AX
o
4
2
B
3
1
x1
x2
4
0
Para resolver este sistema de ecuaciones por el método de la inversa, debe determinarse A1. En
forma conveniente, A es la matriz que se analiza en el ejemplo 29 y A1 se ha calculado. Por lo tanto, el vector solución X se calcula así:
X
A
1
B
1
2
3
2
1
2
4
0
2
4
La solución para el sistema de ecuaciones es x1 2 y x2 4.
404
CAPÍTULO 9 Álgebra matricial
Ejemplo 32
Considere el sistema de ecuaciones:
x1
2x 2
x1
x1
3x 2
5
x3
15
2x 3
40
La matriz de coeficientes es:
A
1
1
1
2
0
3
0
1
2
y una vez más ya se ha estudiado convenientemente este ejemplo (véase el ejemplo 30). Se calcula
el vector solución como
X
3
1
3
4
2
5
2
1
2
5
15
40
5
5
10
x1 5, x2 5 y x3 10.
o
❑
El procedimiento de la inversa para resolver sistemas de ecuaciones, cuando se compara con los métodos analizados en el capítulo 3 (método de eliminación-sustitución y método de eliminación de Gauss), es menos discriminante. Los procedimientos del capítulo 3
dan señales claras y directas para cada tipo de conjunto solución (única, infinidad, ninguna solución). El procedimiento de la inversa no distingue entre ningún conjunto solución y
un conjunto solución infinito. Si el determinante de A no es igual a cero, hay una solución
única. Si 0, sólo se puede establecer que ya sea que no hay solución o que hay un número infinito de soluciones.
Sección 9.5 Ejercicios de seguimiento
Determine la inversa de las siguientes matrices, si es que existe, usando el procedimiento gaussiano.
1.
1
2
4
2
3.
5.
1
3
1
1
2
1
1
1
2.
2 3
4 7
4.
40 8
30 6
6.
1
2
3
4
9.5 La inversa de una matriz
7.
0 3 1
1 1 0
2 3 3
9.
4 3
5 4
11.
1
2
2
1
1
3
1
1
4
8.
1
1
1
0
1
0
10.
2
6
3
9
10
1
5
2
5
1
12.
405
1
1
2
6
3
3
Determine la inversa de las siguientes matrices utilizando el método de la matriz de cofactores.
13.
3 7
2 5
15.
3
4
9
17.
3
4
5
1
15
2
0
6
5
2
1
4
19.
21.
14.
1
3
1
1
4
1
0
2
1
4
5
3
5
15
25
16.
5
10
1
6
11
1
18.
5 2
3 1
20.
3
15
1
5
22.
1
2
5
1
3
4
7
13
1
1
1
2
Utilizando los resultados de los ejercicios 1 a 22, determine la solución para los sistemas de ecuaciones de los ejercicios 23 a 44, respectivamente (si existe alguna).
x2
1
x1
2x 1 3x 2
5
25. 4x 1 2x 2 24
2x 1
x 2 10
27. x 1 x 2
11
x1 x2
59
24. 2x 1 3x 2 1
4x 1 7x 2 3
26. 40x 1 8x 2 80
30x 1 6x 2 60
28. x 1 3x 2 5
2x 1 4x 2 0
29.
30.
23.
31.
33.
35.
37.
x1
2x 1
4x 1
5x 1
x1
2x 1
2x 1
3x 1
2x 1
3x 1
4x 1
9x 1
3x 2
x3 1
x2
2
3x 2 3x 3 7
3x 2 17
4x 2 22
x2
x3 2
x2
x3 9
3x 2 4x 3 4
7x 2
3
5x 2
3
5x 2 2x 3 20
x2
40
15x 2 6x 3 30
32.
34.
36.
38.
x1
x3
10
x1 x2
x3
40
x1
2x 3
40
2x 1 3x 2 10
6x 1 9x 2 20
10x 1 2x2 6x 3 10
x 1 5x 2 3x 3 20
5x 1
x 2 3x 3 15
3x 1 15x 2 25
5x 1 25x 2 40
5x 1
6x 2
7x 3
25
10x 1 11x 2 13x 3
45
x1
x2
x3
4
406
CAPÍTULO 9 Álgebra matricial
39. 3x 1 5x 2 22
4x 1 2x 2 12
41.
x1
x 2 10
4x 1 4x 2 12
43. x 1
x2
x3
3x 1
4x 3
x 1 2x 2 5x 3
40. 5x 1 2x 2
3x 1
x2
42.
3x 1
x2
15x 1 5x 2
44.
x1
x2
2x 1 3x 2
5x 1 4x 2
2
22
18
14
9
20
12
x3
x3
2x 3
1
6
11
45. La solución para un sistema de ecuaciones que tiene la forma AX B se puede encontrar mediante la multiplicación de matrices
2
1
X
3
2
17
10
¿Cuál era el sistema de ecuaciones original? ¿Cuál es el conjunto solución?
46. Se puede encontrar la solución para un sistema de ecuaciones que tiene la forma AX B mediante la multiplicación matricial
0.5
1
X
1.5
2
8
6
¿Cuál era el sistema de ecuaciones original? ¿Cuál es el conjunto solución?
47. La solución para un sistema de ecuaciones que tiene la forma AX B se puede encontrar mediante la multiplicación de matrices
0
1
1
X
1
1
0
1
2
2
3
2
4
¿Cuál era el sistema de ecuaciones original? ¿Cuál es el conjunto solución?
48. La solución para un sistema de ecuaciones que tiene la forma AX B se puede encontrar mediante la multiplicación de matrices
X
3
1
3
4
2
5
2
1
2
2
5
18
¿Cuál era el sistema de ecuaciones original? ¿Cuál es el conjunto solución?
9.6
Aplicaciones selectas
Esta sección proporciona algunas ilustraciones de aplicaciones del álgebra matricial. A diferencia de muchas otras aplicaciones de matemáticas, no hay fórmulas o planteamientos establecidos para resolver todas las aplicaciones de las matrices. Cada aplicación es de alguna manera
única. Encontrará que se puede requerir cierto nivel de ensayo y error al trabajar con la lógica
subyacente en una aplicación. Aunque se pueden utilizar muchas aplicaciones, el autor recomienda que considere las sugerencias siguientes cuando trabaje con una aplicación.