Download De Tbeodoslo y Euge,úo• N.O 370. Luego lit rccan de los prismas

De Tbeodoslo
y Euge,úo•
2
n
de ellos estaban en la razón compuesta de
la Tazan de las bases, multiplicada por la
raza n de las alturas de la figura plana,
Pero los sólidos , como acabamos de
decir, esta n en razon compuc~ta de la razon de las superficies, que les sirven de base, multiplicada
por la 1..12On de las líneas,
que les miden su altura; y de este modo
los sólidos esran entre sí en una razon compuesta de tres, esto' es , de dos razones que
hay en la base gen:::rante , y otra en las alturas del sólido.
N.O 370. Luego lit r ccan de los prismas
entre
sí es COl1lp!lcsta d« tres r ,¡z.,cnes , dos
que ha) en la slIpnficie ge¡¡erante ú base del
prisma,
y un« que l1,t] en JU slter»,
Pero quando las bases de los prismas
son sernejanres , las dos razones que hay
en ellas son iguales; de forma, que una razon multiplicada
por otra es lo mismo que
multiplicada
por s: misma ; y :1sí el exponente de esta razon compuesta es un quadrado de la razon simple. (N. 162.)
Si los prismas son sernejantes , la misma razón que hay entre qualesquiera lados
correspondientes
de la base, la ha de ha-.
bcr tarnbieu eo las alruras ; y por (01101,uieme quando la base se multiplica por
la altura, para formar el prisma la razon
Xllm.l.
R
® Biblioteca Nacional de Colombia
258
Cartas Físico-Matemáticas
de la base, que es un quadrado de la razon simple de los lados) se multiplica de
nuevo por esa razón simple Ú otra igual; lo
qual es una razón compuesta de tres razones semejantes.
N? 371. Luego los prismas semejantes
estcn entre sí en la raz;,on compuesta de tres
¡¡z;,Ofles igllales.
N.O 372.. Luego el exponente de los prismas semejantes es el producto de /a r az.ot»
simple de qualquier lado) multiplicada por si
misma una vez;, para bacer un quadrado, J
multiplicada
otra vez;, por la raiz;, para bacer
un cubo.
N? 373 • Luego los pr¡!mas semejantes
est an mire si, como los cubas de qllalquier.t
lit sus lados correspondientes,
Pero las pirámides son los tercios
de
los prismas por el núm. 346, Y las partes
1
proporcionales
por el núm.
están
entre
sí como sus codos
134.
N. o 374. LUGgo las pirámides semejantes est an entre sí, como los cubos de sus ledos,
También dixírnos , que los cilindros se
pod i.H1 considerar como prismas de lados infinitos, y los conos como pirámides de una
infinidad de lados.
N'? 375. Luego 101 cilindros semej,tntts
J
1(1S
cenas semepmt«: titaN entre
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SI)
tomo
de Tbeodosio J Eugenio.
259
los tubos de sus lados homo'logos.
Ya hemos considerado la esfera como
compuesta de infinitas pirámides , que tienen el vértice en su centro.
N<? 376. Luego las esfer lIS son entre si,
(01110 los cubos de sus diámetros.
De modo,
que si una esfera tiene el diámetro duplo
de la otra, su valor es ocho veces mayor,
porque 2 x 2 X 1.
8; Y si el diámetro
fuere triple, su valor es veinte y siete veces
mayor , porque 3 x 3 x 3
27 ; Y lo
mismo se dice de todos los Otros sólidos semejantes.
=
=
s,
XIII.
De la proporcio¡¡ que se halla
de la esfera
que tuviesen
y el del cilindro,
la misma altura
de la esfera.
entre el valor
cubo y cono,
y profundidad
N<? 377. Llamamos
cilindro circunscripto á la esfera á aquel que tiene por
base un círculo máximo de la esfera, y por
altura su diámetro (Lam. 12. Fig. 1l.), y.
por consiguiente toca á la esfera por el punto . superior, por el inferior, y por el cirCUlto.
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.60
Cart.1S Fúico-MattmJticAS
Acabamos de decir en el núm. 3 5~,
que la esfera A es igual al cilindro, que
tiene por base un círculo rnáxirno , y por
altura dos tercios del diámetro , y que el
cilindro circunscripto B (Lam. 12. Fig. 1 r.)
tiene la misma base del cilindro L (L. 12.
Fig. 14')' Y tres tercios del diámetro por
altura. Luego estos dos cilindros B, L (L. 12.
Pig. 1 J J 14') SOII entre si come Las sltwr iIS,
esto es, como dos tercios .{ tres.
N~ 378. Luego tambien la esfera A
(Lam. 12. Fig. 1 J.) es , su ,ilindro cimm·
seripto B, como dos á t1'(S ; esto es , si 1:1 esfera pesa 22 onzas, el cilindro pesad 3 3.
Vale, pues , la esfera dos tercios del
cilindro circunscripto. Pero el cono que tuviese esa misma base y esa misma altura del
cilindro, vale solamente una tercera parte
de él ; esto es , si el cilindro B pesa 33 onzas,
el cono e (Lam. 12. Fig. r 2.) pesará solas 1 l.
N? )79. Luego el con» (L. I 2. Fig. 12.)
que tielle por bss« U" circulo m~.,ím() de la
esfera, J por situr« Sil diámetro, 1'1Ile la mitad de la esfera; de modo, que si la. esfera vale ~i2, el cono valdrá I l.
Y así el cono e que tuviere por base
'"
un circu 1o rnaxrrno
, y por a Itura
tura eel dilametro de la esfera, es igual á media esfera, «5
I
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I
le rlmdosjo y JI/genio.
al ernisferio D. (L,(m.
N~
cilindro
tltdt!d,
380. Luego
19'1
12. Fig. 12.)
tl
(0110,
lA
esfera y el
qa« tienen l¡( mssm« altura J pl'ofunS01l como 1 , 2, , 3 , o' cem»
11, 22,
33 (LAm.
12. Fig. 15.)
Quanto al cubo circunscripto (Lit",. I~ ..
Fig. 1 3') , si le quisiéremos comparar con
.la esfera, dividirérnos la dificultad,
y irérnos dando solucion poco. á poco.
N~ 381. Lo primero comparemos
la
esfera, 6 el cilindro L su igual (Lam. 12.
Fig. 14') con un prisma M de la misma
altura, esto es, de dos tercios de diámetro,
6 guatro tercios de radio. Mas siendo la altura la misma , solo se halla la diferencia en las bases F G , Y ésta, como dixímos al núm. 267 , es como 22 á 28, esto es, como la circunferencia á quatro diámetros. Luego si el cilindro L, 6 la esfera
que le es igual pesa 2.2 onzas , el prisma
11 pesad 28.
N~ ) 82. Comparemos ahora este prisma M con el cubo circunscripto
N , corno
ambos son de la misma base,
toda la diferencia está en la altura;
pero teniendo el
cubo tres tercios de diámetro por altura,
y el prisma solamente dos, si el prisma M
vale 4 diámetros,
6 .28, el cubo debe valer 6 diámetros, Ó 4-2 ; Y por consiguiente,
R3
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262.
Carttis Físho-MdtemdticM
comparando
la esfera A, 6 el cilindro L
su igual con el cubo N circuuscripto , será
como 28 6 42 , 6 como la circunferencia
á ó diámetros.
N? 38). Luego los quiltro cuerpos que
pertencc n l la esfera en el modo an iba dieh» (Lllm 12. Flg. 1'l.), esto es, el COila,
la esfera, el cilindro y el cubo est sn en est s
proporcion
11,
22 ,
Ej.
33 ,4z.
XIV.
Del valor del sector , y del segmento
de la esfera.
N? 3 84'
.i.~s{ como arriba consideramos la esfera dividida en pirámides, cuyo
vértice comun era el centro,
podemos dividir ahora el sector en muchas pirámides,
cuyo vértice comun sea el centro, y cUyJS
bases hagJn la superficie convexa del sector.
(Lam. 1 3. Fig. l. )
N. o 385. Luego el sector es igual á
mucb ss pirámides juntas,
cuyas bases baga1¡
la superficie, y cuya altur« sea el r adio: Ya
se dixo al núm. 346, que cada pirámide
valia un tercio de su prisma corrcspondiente, y era igual á su base multiplicada por
el tercio de la altura del prisma.
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(le Theodosio y Eugenio.
263
N? 38G. Luego el sector Z (L4m. I/~.
Fig. i .) es igu,d á un prismd B, wy.t b!lse
sed un pttralelagratno ¡gud ¡;{ la stlpnjicie (Oill'tX;t del sector, y cuj'.l nltur s sea IIn tercio
del radio de la fsfer,f.
Pero la superficie convexa del sector Z,
que es la misma del segmento , ya dixí'
. l' a un pamos a 1num.
327, que era ¡gua
ralelogramo B , cuya longitud fuese la cir-,
cunfercncia del círculo mñximo de la esFera,
y su altura [a flecha. (Lam. 13. Fig. r.)
Luego el valor de Z , sector de la esfeftt, es igual á un prisma I3 wya longitud
sea la citcunjerenci»
de la esfera, y su ancbur a la flecha, y su altura un tercio del
radio. (Lam, 1 3. Fig. i.)
N? 387. Para valuar el segmento de
la esfera (Lam. 13, Fig. 2.) , después de hallado el valor del sector B , bastera cortar
todo el cono K ,y sabido el valor ele este
C0I10, el resto será el valor del segmento H.
Pero el cono K ya dixírnos que era
igual á un cilindro de la misma base, V
1
de
la tercera parte de la altura (N. 352.);
Y también habiamos
dicho que el círculo
de la base de este cono se podia reducir
un paralelogramo,
que tuviese por longitud la circunferencia de él, y por altura medio radio. (N. 2. p.)
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á
264
pisico-MawnáticAJ
N? 388. Luego IJáCiend~ un priJm~ P,
c"Ja longitlld ses la circunferellcia
del cono,
J su latuud medio radio de su bM! , J la altur ti el tercio de 1" Altura del cono, se ca·
nocerá Slf valor.
N? 389. Luego el valor lid segmc11tD
H (Lam. 1 ~. Fig. 2.) es ti v.alor del sector Z
(L/HlI. 13.
1.), méuos el del cono K.
N.O 390. Luego el vslor del Jegmento
H es igual al del prisma B de la (Lullt. 13'
Fig. 1.), quitando de [st» el vslor det cono
K, que es el de otro prisma P (Lam. 13,
Fig 2.), Y de este modo el segmento H será igual al sólido; y la razón es , porque
así como juntando 6 sumando el cono K
con el segmento H , tenemos el sector Z,
así rambi~~l juntando el prisma P, que rienc el valor del cono K , Y añadiéndole el
CartM
»s.
sólido J, en donde entra , se formad
prisma 13 de la (Lam. 13' Fig, r.) igual
sector Z.
,.
el
al
XV.
Del modo de valu.cr d prismt recta trllncado.
N? ; 91.
Llamamo~
pris-ma truncado
a quel que sea cortado irregularmente,
erno A (LAm. 1). Fil' 3')
odo
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de TJuodoslo y Ef~gwio.
'! 6' 5
Para simplificar la doctrina hablaremos
del prisma tr¡;1l1glllar , porque todos los
otros se pueden reducir á triangubres.
Tiene, pues, el prisma triangular A tres
esquinas desiguales , y par.l reducirle á un
prisma reguhr,
capaz de ser valuado,
se
hará lo siguiente:
I.
N. 392. Tiraremos del ángulo sólido o
dos diagonales om, 011 : considerarémos cortada esta pequeña pirámide, cup. base mil"
es la base del prisma, y cuyo vértice está
en o ,ponemos abaxo en E esta pirámide.
II.
Separada 1~ pirámide P., queda el
to B, que es una pir,ámide irregular
quatro caras, cuya base es r! n m, y
yo vértice está en o , y en esta base r s
podemos tirar una diagonal m s,
resde
cu-
mn
III.
Podemos considerar una división desde
el vértice o, buscando siempre la diagonal
In s, y dividimos
esta piámide
quadrilá-
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266
Cttrt.fS Físico-M.ttCI1JtittCM
tera en dos triangulares , las qn.e podemos
separar una
el! ya base es r s ni , Y su
vértice está en o; OWt D, CU\':l base e,
tu 5 n , y su vertice estaI en o, • !as qua 1es,
si se juntan , vuelven á hacer el sólido B;
y poniéndolas encima la pirámide E , queda formado el prisma truncado A primitimo
De este modo se conoce que el prisma
truncado A se divide en tres pirámides E,
e,
/Ó.»
e,
D.
Corno estas pidmides son desemejnntes,
y nada tienen cornun , veamos si reducimos
e y D á otras 1;,.:a1e5, que teng:l1l la misma base de E , que viene á ser la del
prisma primitivo A ; pues de este modo sed mas fácil hallar el valor de las pirámides
y del prisma que se dividió en ellas.
IV.
N? 393. Hagamos
des pues dos pirá:mides imaginarias F, G, cuyas bases sean
como la de la pirámide E; esto es, la del
prisma primitivo
A, Y demos {¡_ F la altura del prisma en la esquina r m, y 6. la pirámide G la altura del prisma en la esquína s ti. Teniendo
la pirámide E la altura
del prisma en a o, tenemos con esto tres
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de Tbeodosio y Eugenio.
2 ()7
pirámides todas con la misma base del prisIDJ, Y cs.d:l una tiene por altura una esquina del prisma, a o será la altura de E,
r 111 la de F , Y s 1: la de G.
V.
V carnos ahora si estas dos pirámides
.im;u:;inarias F, G valen tanto como las verdaderas e, D, en que el prisma se divi/ O~llanto a/ e ,esta
'1
/.
d'ro,
tiene
e vertrce
en
o, y tiene por base el triilllgulo 111 r s,
Pero la pirámide imaginJria P , si la 50breponen en el triángulo 111 r n , tendrá ese
triángulo por base: pata comparar, 'pues,
estas dos bases 6 triángulos m r s , 111 r n,
busquérnoslos en el prisma A, Y verérnos
que el triángulo r 111, 6 r n 111 son iguales, porqne estan entre las mismas paralelas por el núm. 224' Luego el triángulo
r s In, base de e, es igual :í r n m, base de F : veamos ahora la altura de estas
dos pirámides e y F: e tiene el vértice en
o, y F en a; pero mirando bien el prisma
primitivo A, se advierte que o y a estan en
la misma paralela: luego las pirámides e y
F tienen base igual y altura igual, por
consiguiente son iguales.
Vengamos ahora :í las pirámides G, D,
j
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268
CArtas Fisico-MatemJtiMs
para ver si tambien son sus iguales entre sí.
Pongamos 1<1una y la otra , de suerte , que
tengan por vértices en G el pUlltO ¡f ,en D
el puntO o , ambos por la misma esquina
It o, del prisma
A, que ya vimos estaban
en la misma altura.
Quanto ft la base de D,
es el triángula m s ti del prisma A; la base de G es
el mismo tri6nguJo
11Z s 11 del prisma
A:
luego D, G tienen la misma base, y los
/.
vernces
estan a'1·a misma a 1tura ; y asi'1 a.
pirámide imaginaria
G es igual á la pirá-
mide verdadera D.
NI? 394' Luego el pris;n,t truncado es
igual ti las tres pir ¡mides E, F, G, que tienen por bases la del prisma truILcado ,J por
A-Iluras las tres esquinas de éste.
Pero estas tres pirámides
(Lam.
1 3.
Fig. 4.) se reducen á tres prismas de la misma base del truncado A, Y de una altura
que sea un tercio del ele las pirámides,
ó
un tercio de las esquinas del prisma A; Y
e,
~sí los prismas B ,
D SOI1 iguales á las
pirámides E, F , G , que se corresponden
á
plomo en la lámina.
NI? 395. Luego el prisma truncado A
1,.
(Lam.
Fig. 3.) es igual ¡{ un prisma entero A (Lam.
13' Fig, 4. ) de la misma base,
cUJa. "Itur" seá la SIl1l:11- de 1M tercer4S par-
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de Tbeo¡{osio J lllgenio.
2.69
tes de las tres esquinM del trutlciCdo; y así
el prisma truncado es igual al prisma entero A, compuesto de los prismas B, C, D.
Si el prisma no fuere recto , córtese por
el medio con una sección perpendicular á
las esquinas,
y quedará dividido en dos
prismas rectos truncados)
y sabrérnos h,llar su valor.
s.
XVI.
Modo de valuar el volrímen
i1'l'egul ..res•
de los ,u~rpoJ
Q
N<;' 396.
ualquier cuerpo irregular
se puede dividir por una sección recta ) y
entonces las dos nuevas superficies de la.
seccicn pueden servir de bases rectas de los
dos cuerpos.
En segundo lugar , puesta qualquicra.
de estas partes sobre su base recta,
podemos ir dividiendo cada una de ellas en prismas triangulares
truncadas;
y sabiendo valuar cada prisma,
se sabe el valor del 56lido: bien pudieran quedar algunas pirámides;
pero ~ estas ya las sabernos hallar SIl valor.
Para abreviar la operación darémos algunas reglas) que nos dispensen de llegar
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2. 70
cartas Fisjco-M ttte111tÍti'<ts
hasta la última division de los prismas triangulares truncados.
1.
N? 397. Sea un sólido como el de la
Fig. 5 de la Larn. 1 3: su base E A O Q
sea un paralelogramo,
sobre cuyos quatro
ángulos se levanten perpendicularmente
quatro esquinas desiguales E S, Al, P Q, O R,
el lado E O S Resté cortado de forma, que
se termine en 1: el lado O Q R P córtese
tarnbien de forma , que se termine en 1.
Aquí tenemos un paralclipipedo
irregularmente truncado : supongamos,
pues) que
es preciso saber su valer.
n.
en la base la diagoml A O,
una scccien por las esquinas O R, Al,
quedará
dividido en los dos prismas truncados,
que
vemos con separacicn
en la misma figura,
y cuyo valor sabemos averiguar por lo que
queda dicho.
Par quanto el que tiene por base el
triángulo E A O es igU:ll á un prisma recto
de esta base, cuya altura sea un tercio de
Tiremos
Y conforme á esa diagonal hágase
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de Theodosío J Eugenio.
271
E S eón m;1Sun tercio de Al,
mas un terCiD de RO;
del mismo modo el otro es
igual :í un prisma recto, cuya base sea el
triángulo A O Q, y la altura un tercio de
P Q con un tercio de Al,
Y un tercio de
RO.
Pero corno las dos bases , por ser triángulos mitades del paralelogramo,
son igua-
les , en vez de hacer dos productos óprismas, hagamos uno con la altura de los dos,
esto es, un prisma, cuya base sea E A 0,
Y cuya altura sea un tercio de E S, un
tercio de P Q, y dos tercios de Al, mas
dos tercios ele RO;
ó por otro medio un
tercio de cada esquina que 110 sea comnn,
y dos tercios de las esquinas que sean comunes á ambos , y son aquellas por donde 'la 1:1 division. Como el prisma quadriIítero total se divide en los dos, su valor es
la suma de ambos.
N? 398. Luego el par,llelipipedo
diferentemente tnHlcado es ¡guirl ti su media base,
multiplicada por un tercio de cada esqtúna que
no sea coinun , y dos tercios de cada esquin4
C01111U1 ti los dos prismas
triallgulares, en ql4e
se podí,t dIvidir.
Lo mismo dirérnos , si el paralelipipedo
fuese cóncavo (Lam. 13.
6.) , enrónces
S~ podrá dividir) segun 1:4 linea de direc-
ns-
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272
Cartas FÍúco·MatemáttCAs
cien de la concavidad M N , Y se tirará la
diagonal en la base o i , Y se hará la misma operación de arriba.
N. e 399. El prisma qnadrangular que
no fuere
paralciipipcdo
, solo se puede va-
luar, haciendo la división en la base , squll
la línea ú direccion de la COIl\ cxidad , 6
de la concavidad superior; y haciendo dos
triángulos,
y de cada lino de ellos multiplicado por los tercios de sus tres esquinas,
formando un producto, la suma de arribos
m"á el valor de este sólido.
§.
XVII.
De los sIJ'{¡dos re'gtl!tues.
N? 400. Llamamos
sólido absolutamente regular al que en las superficies, en
las líneas y en los 6nfuJos guarda una perfecta it;Ulldad y semejanza. De este ;énero
son el cub» , el tetr aedro ; ó de quatro 5U~
perficies , el ortaedro d:: ocho, el' icos sedt»
de veinte, v el dodecaedro
de doce,
en los
quales no I;ay la mínima desiguaidad
en
~n..,.ulQs,
líneas , ni superficies.
u
N.O 4(li,
L:l esfera (l..mi,
.
14. Fig. r.)
también podia colocarse entre los cuerpos
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de Tbeodosio y Eugenio.
2i
3
regulares, por ser en rodas par~es semejantes á sí misrno : de suene,
que de qualquiera modo que se la tome siempre ofrece la misma superficie igu::dmente convexa.
El cubo (Lam. J 4 f'lg. 2.) es fornndo
por seis quadrados iguales:
el uno es: 1 en
la base, los qU:ltro al rededor de la base
hacen los quatro lados,
y el sexto forma la
base superior. En 'el cubo todos los án?",¡]os
sólidos son formados por la concurrencia de
tres quadrados ; y en los quadrados todos
los ángulos son de noventa grados, y tedas las líneas son iguales.
N." "'1-02. Luego el cubo es un salido
perfea.¡mente regular.
Ccn quadrados no podemos formar otro
s6lido, porque si quisiéremos
juntar solamente cos , no se forma ál ~t:lo sólido , pues
éste Forzosamente ha de tener tres lados á
lo rnénos , y rr-s dimensiones en longitud,
latitud y profundidad.
Si juntamos
los tres lados quadrados
que dixímos
tnrmamos un 6ngulo sólido,
como se ve en el cubo. Si juntJI110S gl1aIrO
([,am. T 4 Fig. 7.) e, i, o, ti, reni-ndo cada
qua! noventa gr.1dm , todos juntos hacen
360; Y por consi +uiente el punto en donde concurren es el centro de un círcu.o , y
no puede hacer ángulo sólido.
Tom.J.
S
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Cart as fisico-Matem áti'''í
N<? 403. Luego con quadrados no se
puede formar otro sóL"lo qtU no sea el cub«,
Veamos ahora los sólidos que formarnos con los tri:íngulos equildteros : pues todos los otros tri:íngu1os son por su irregu2. 74-
laridad incapaces de formar cuerpo perfectamente regular.
Juntos tres triángulos (t.sm, l4' Fig. 3')'
harán un ángulo sólido M, Y como la base tarnbieu ha de ser un triángulo
forma ...
do por tres lados de los triáng~los que forman las superficies , ha de ser tri:íngulo ; y
pues las líneas que le forman son lados de
triángulos
equiláteros , tambien él ha de
ser equilátero,
y por esto igual á los superiores. Los tres- tri:íngulos de la base, siendo todos ellos formados por tres triángulos
equiláteros,
uno de la base, y dos de los
lados,
que son todos iguales ~ los que forman el ángulo del vértice M, tambien le
son iguales.
Estos quarro triángulos
se ven en la
(Lam. 14. Fig. 8.) , Y en ella se advierte có-.
rno podrán formarse de plano para armar
el retahcdro : E es la base, A, E ,O
son
los lados que pueden levantarse al rededor
de la base, y juntándose los ángulos m m In,
har.in el vértice del tetrahedro
M de la
(L,lIn. 41. Fig. 3')
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·de· Theodosio J Eugenio.
275
+04' Luego el tetr abedr» form,td,
por quatllJ (¡iaugulos equila'teTos,
es nlerpfJ
rcgul,~r.
N~
J untemos ahora gUJtro triángulos equiHueros ti e m n (Lnnt , 14 Fig. 12..), de suerte que se junten o o , quedará una pir.irnide de quatro lados con el vértice en ¡: no
obstante la base sera quadrada , y por eso
desigual á los lados, y así sed un sólido
irregular.
Pero formemos otra pirámide semejante ,y juntemos las dos bases quadradas , resultará
el sólido regular H. (Lllm.
1+_
Fig. +)
I.
Todos
equiláteros.
los
ocho
lados
son
triánglllo~
n.
Todos
Jos ángulos sólidos son formados por quau'o 1a~dos con el vértice en i;
porque el vértice inferior t se supone ser lo
mismo que el de arriba ; los laterales r 1,
&c. SOI1 formados cada uno por el ccncurso de dos triángulos superiores,
y dos inferiores ; y así son formados por quatl·o triangulos equiláteros.
N~ 4°5. Luego el ca abearQ eHuerpo per-
¡"tamente
regular.
® Biblioteca Nacional de Colombia
276
Cartas Flsico-M.tttemlticM
Para formarle de papel se puede cortar
como en la ( Lsm , J 4- Fig. 9.) , Y doblarle,
de modo que o o se junten, y se verá formado un sólido en i de Jos triángulos A e
m n , y los otros quatro formarán la parte
inferior del octahedro , cuyo vértice es t.
Juntemos ahora cinco triángulos equiláteros (Lam; 14' Fi!;. 1 ).) , y hagamos que
n m se junten, se levantad el centro o , y
quedará un sólido de cinco lados i.s-uales y
semejantes. Con todo eso la base de esta
pirámide es un pentágono , y los lados son
triángulos, lo que contradice á la regularidad que se desea; y así por este medio
todavía no tenemos sólido regular.
Si formamos otra pirámide de cinco
lados semejantes , para juntarla, poniendo
la cúspide ácia abaxo , como hicímos en
el octahedro , queda un sólido todo formado por triángulos equiláteros. No obstante
los :í'ngulos sólidos no son semejantes, por
ser el superior y el inferior formados con
la concurrencia de cinco triángulos, y los
laterales de al rededor a a a a, &c. son fornudos por solos quau'o, dos de la pirámide superior, y dos de la inferior; por consiguiente aun no tenemos sólido regular.
Pero bagamos una figura en papel, como se representa (Lam. 14- Fig. 10.), en
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de Tluoáosio y J!tlgcnio.
la que,
277
ademas de los cinco triágulos equi-
Iáteros e, e, e e, e, que han de formar la pirámide superior O ; Y de los otros cinco
que formarán la inferior E, tenemos .M N,
formada de diez triángulos equiláteros , cinco que unen por las tres bases con los superiores , y otros cinco que unen con los
inferiores.
Doblando,
pues , esta lista de
triángulos
circularmente,
de modo que se
junten las dos extremidades
1\1 N, Y disponiendo las divisiones en tal forma,
qu.e
solo por ellas se doble la lista, y haga un
circuito de superficies planas, si arriba unimos todos los ángulos 0, 0, 0, 0, 0, y abaxo
los ángulos e, e, e, e, e, tendremos un sólido,
como se ve en la (Lam, 14. Fig. 5')' en el
qual se observa 10 siguiente:
L
Que este sólido es
triángulos
equiláteros.
compuesto de veinte
Il.
Que todos los ángulos sólidos 5011 formados por el concurso de cinco lados: en
O , E se ve claro;
en los laterales el circuito A, i vemos que cada ángulo sólido de
S 3
® Biblioteca Nacional de Colombia
278
Cart as Fisico-Mdtemltic
lis
los que terminan la base de la pirámide superior O, es formado por dos triángulos
de la pirámide superior; otros dos que penden de éstos, y caen Jcia :1 baxo , y otro
que viene de abaxo á introducirse
entre los
dos que están pendientes. Lo mismo digo de
s , y de los otros que terminan 1:1 base de la
pirámide interior E.
N? 406. Luego el icosihedr» es un Ctler-
po regular, formado por veinte lados semcJantes é iguales, &c.
Si juntamos
seis triángulos equildteros
(L,nn. 14, Fig. 1+ ), corno cada ángulo
de los del centro es de sesenta grados, todos seis harán 360, que (1;$ el circuito de
un círculo: de suerte, que si los juntamos,
el centro O 110 se puede levantar del plano , ni formar ángulo sólido.
N.o 407. Luego Con ti'iállgulos equil~te-
ros no se puede formar cuer po alguno ugular. fuera del tetrsbcdro de qu aro lados, del
oct ahedro de ocho, del icosal1edro de veinte,
V cngamo~ ~lhor<l á los pentágonos para
ver qué cuerpos sólidos podremos [orrnar
con ellos , y juntemos
tres pentágonos.
(Lam. 14' Fig. 15.) Para examinar qué valor tienen sus ángulos,
tomemos un pent.igono,
y tiremos desde su centro radios á
sus ángulos. Los del centro o , como tienen
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de rlmdo.ri() y EugeHio.
279
rcr medida un quinto de la circunferencia,
tendrán setenta y dos grJdos por medida.
Pero cada triángulo
tiene el valor de
grados:
luego [Jltln para el valor de
los dos ~l1gulos, que cada triángulo tiene
al rededor del pendgono
lo, que va de 72
~ t 80. Esto repartido
entre los dos, :í (;1da uno dará 54; pero si convertimos estos
radios,
que dividen el pentágono en triángulos , cada ángulo queda doble del que
hacia la base del tri:íngulo , esto es , duplo
de 54 , que viene á ser 108.
Luego los Ángulos del p(l1tigono 1'4len
180
108.
J untando
.( Lsm .
14,
tres pentágonos A, e, ()
15.), solo tenemos en A
en el valor que ocupan los tres
ahora
Fig.
324 grados
ingulos,
y aun f":dta el valor de 36 grados
parl completar
la circunferencia
de 360.
Luego si junrasernos e con i, formarérnos
un á'ngulo sólido con tres lados. de cinco
ángulos.
Tomemos,
pues, un pendgono de papel M (Lam. 14. Fig. 1 l.), Y de sus cinco
lados hagamos que se levanten otros cinco
pentágonos iguales hasta unirse mntuarncnte en forma de una vandeja (perdónese
la
familiaridad
de los términos,
porque solo
atendernos á la claridad,
que es la que ne-
p+
® Biblioteca Nacional de Colombia
280
Cartas Fisic8-Mt1tcmlúcdS
cesiran los principiantes)
: formemos otra
vandeja semejante al rededor del pentigono
N, Y colocarérnos una sobre otra,
corno
se ve en la (L4m. 14, Fig. 6.). Pero en esta figura tenemos que observar
1.
Que todos
los lados son semejantes,
formados por án<;ulos planos , semejantes é
iguales ; pues todos son pent:Ígonos iguales
y semejantes.
n.
Que todos los ángulos sólidos son formados por tres lados; en los que se forman :11 rededor del pen'6gono superior M,
y el inferior N , es manifiesto; pues los forma la base con 105 dos Fentá~ollo~, que se
levantan como lados hasta encontrarse muruamente , y los que se Forman por el concurso de la mirad superior con la inferior,
también se forman por un pentágono,
que
sube de abaxo para introducirse
entre Jos
que penden del que está encima, ó al con-
trario.
N? 408. Luego el dodec4hedro es un ullido regular , compuesto de doce lados iguales
y semejantes.
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'de T1J(odosio
y Eugenio.
281
Si quisiéremos
juntar guarro pentágonos para. hacer con ellos un á¡,r,-ulo sólido, 110 pocirérnos ; porque teniendo cada
uno de ellos los ángulos de diez grados,
quarro juntos harian la suma d-e 4) 2 , los
que siendo mucho mas que la circunferencir del círculo, no pueden caber en el plano,
y mucho ménos en el án~ulo sólido, que
para elevarse del plano debe tener circunferencia menor que la de! círculo.
N? 409. Luego con pentágonos rllgu[,tres
no se puede bacer
dro.
otro sóLido que el dode,ahe~
Si quisiéremos formar con exágonos alcuerpo sólido , veremos que ~s imposible, porque (Lam. J 4. Fig. 16.) juntando
tres, tenemos ) 60 grados,
pues cada ángulo del exágono regular contiene 120 por
el núm. 98: Luego tres hacen 360, lo gue
es justamente la circunferenci.i
del círculo;
y así el punto de concurrencia no po-lria
elevarse del plano para hacer ángulo só.ido.
Si queremos valernos del eptágono , que
quiere decir fie-ura de siete ángulos, no podrérnos hacer sólido alguno, porgue si tres
exágonos ne pueden hacer ángulo sólido,
mucho ménos podrán los eptágonos,
cuyos
ángulos son mayores.
gUll
N.O 420
Luego no puede haber sóltdo
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Cd.rtds Fisico-MdumJtic4S
Alguno regul¡rr [uer, de los que hemos dub«,
esto (S ; cubo, tetrsbedr«,
octdhedro , icostlhedro J dodec,¿lJedro; exceptúase
/" tSj,ra, de
fa qtl4l no h eblsm»: Jqllf.
2~2
Ahora,
amigo Eugenio,
:íntes de poner término ;\ e tos elementos de Geometría, gobernado por la experiencia qu~ tengo • quiero hacerte un epílogo de cornbinación entre las razones
de las líneas de
las superficies y de los sólidos.
10 que te
dará mucha luz; le añadiré á esta carta ~ que
ya tenia concluida,
EPILOGO
!ohre Id. combinacio« de us
pon iones d: las líneas,
y sdlidos.
r.: z:.OIJ'S y prosuperficies
~. r.
D
N~ 4 t r,
ixímos nl núm. 1; 9 que
quando muchos términos
estaban en proporcion , iempre iba reynando la misma
razón entre todos ello ; de suerte, que entre dos términos
inmediatos se hallará el
mismo exponente de la razon,
T amblen dixímos que un número rnul-
® Biblioteca Nacional de Colombia
ele 'theodos)»
y Etlgenio.
~ S)
riplicado por sí mismo hacia el quadrado,
v. g. 4 por 4 dad 16, que es el número
quadrado de 4. También dixímos que este
quadrado multiplicado
otra vez por su raiz,
6 por el número primitivo 4, formaba el
cubo. Ahora bien , quando una cantidad se
multiplica por í mi ma para formar el quadrndo , se dice que se eleva :í la segunda potenti« ; y quando se multiplica otra vez este quad rado por la raíz para formar el cuDO, se dice que sube ~ la tercera pottncia:
quando todavía se multiplica el cubo otra
vez por la raiz , se eleva ésta á la quarta
potencia : si aun se multiplica
de nuevo,
sube á la qiunt « potencia.
Lo que es costumbre expresar así en Algebra: sea la cantidad simple ó raíz igual
á A ; d quadrado de A se expresa así AxA,
ó bien A t : el Cll bo de A, ó la tercer ti potencia se podría expresar as{ A x A x A;
pero es mas corto A; ; Y del mismo modo
la qua na potencia de A' se expresa así A4,
y la quinta Al.
N~ 412. Aquí deben advenir los principiantcs , gue. 110 es 10 mismo, 3 A que A',
porque el número
3 ántcs de A significa
suma ó adicion , esto es, que la cantidad
A se toma tres veces, siendo 3sí que Al significa que la cantidad A no solo se rnulti-
® Biblioteca Nacional de Colombia
284
CartlH
FísicIJ-Matemáticas
plica una vez, sino que su producto se ha.
de multiplicar
por A otra vez. Supongamos que A valga 4 palmos,
3 A significará I:?, palmos,
y Al significlrá
64
palmos, porque 4 x 4 vale 16 ,y 16 x 4
vale 64'
N? 41 3. En la Geometría podrérnos dar
figura sensible así de la segunda potencia,
que es una superficie como de la tercera,
que es un sólido; pero como no hay mas
de tres dimensiones)
no podemos dar figura sensible de la quarta de la quinta potenci.t, &c. Solo los números dan idea de esta rnulriplicacion , y no las líneas.
Esto supuesto, formando
una progresion geométrica -:-: 1: Z : 4: 8: 16: 32:
64: 128 , &c., cuyo exponente comun es
2 , ó el exponente
de la razon es doble. Se
ve claramente que para llegar el primer término al valor del segundo basta multiplicarle una vez por el exponente 2; mas para elevarle al valor del tercero es preciso
multiplicarle
otra vez por el mismo exponente ; y del mismo modo para que se ele..
ve al valor del quarto
término es preciso
tercera multiplicación
, por el mismo exponente de la razon que reyna. De esto se
infieren varias conseqiiencias •
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de rbeodQsio y Eugenio.
285
I.
Que podernos decir)
que la razon del
primer término á su inmediato es el exponente simple, esto es, 2.
n.
N? 414'
Que la razon de] primer téral tercero es un quadrado ó srgunda
¡oTencia del exponente 2, esto es, 4.
mino
III.
N.O 415. Que la razon del primer término al quarto es un cubo, ó tercer» pfl"
tenc;a del exponente .2 , esto es ) 8.
IV.
•
I
N.O 416. Que la razon del pnmer termino al quinto es .2 , elevado á la quart"
potencia, esto es)
1".
v.
N. o 417. Que la razon del primer término al sexto es 2 , levantado á la quint»
potencia,
esto es, 32, &c.
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z 86
Cartas Fisico-Matemáticts
N? 4-18. Supongamos ahora que
formamos quadrados
de estos mismos términos de la progresion , vease la (Lam. 15.
Fig. 1.)
" 1 : 2 : 4 : 8 - - - rnon - - - 2 •
.;:- 1 :4: 16: 64---r<12011---4'
La razón ó exponente que revna en esta segllnda progresion es 4, esto es , el
quadrado del exponente que reyna en la pri/
L'
mera; porque como diixnnos a 1 numo
1u4,
en los quadrados
hay la r:120n compuesta
de la que habia entre las bases , y de la
que había entre las alturas;
y COIY,O son
iguales, y la razon compuesta de dos ¡gua.
les es un quadrado de las simples, se sigue,
I
}.!? 419. Luego en La p¡ ogresio¡¡ de los
cu.uir eáos el expoJ1C1/tc del Fimnu ,¡¡ segundo es un quadr~ldo del exponente
simple.
Pero entre el primer término de las raices y el tercero el exponente es un quadrado del exponente simple por el núm. 4°8;
Y entre el primer quadrado y el segundo el
exponente tarnbicn es el quadrudo del quocicnte
N?
simple
por el
núm. 413.
Luego en La pl'ogresion de los
quadradoJ el exponente es el mismo que h,cJ
tri La prog¡'csioll
di las raíces,
saltando un
11
420.
úmer»,
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.le TIJeodúsio J Eugenio.
.187
H3.gamos ahora los cubos de las canti ..
dades primitivas. (Lam. 15. Ftg. l. )
4 : 8 - - - exponente 2 raiz,
4: 16 : 64 - - - exp. 4 quadrado.
~
1 : 2 :
..
1:
,__ 1 :
8 : 64 : 5 11.
- - -
exp. 8. cubo.
En esta tercera progresion el exponente
que reyna es 8, esto es, un cubo del exponente primitivo 2) porgue como ya dixímos al núm. 409,
el exponente que hay
entre el primer término y el qua no de la
primera progresioo
simple es un cubo del
exponente simple; pero también dixímos al
núm. Ió4, que entre los cubos el exponeme era compuesto de tres razones seme ...
james : por consiguiente es como el exponente del primer término ;¡1 quarto de la
primera progresion.
N." 421. Luego entre el primer térmi1JO J ¡egundo de la
úl1ima progresiots el ex ..
pOllente es un cubo del
eXpOni/ltt
simple de 14
primer" progHlÍon.
~. n.
Otra
N~ 422.
cosa has de observar,
Eugenio,
y es que teda lo que son líneas,
6 qualesquiera
fi;ur:ls semejantes , tienen
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288
Cartas Físico . Matemátic/lS
entre sí la razón de las raices , esto es , del
exponente simple,
bien sea la proporcion
arismérica 6 geométrica;
de suene,
que
(Lam. 1 5 Fig 2.) si cm los círculos son los
radios corno r , 2, t , los diarnctros son como 1, .2, 3, las circunferencias son como J,
2, 3, los arcos de igual número
de grados
serán como 1, 2, 3, &c.
N? LJ2 3. Pero si comparamos superficies
semejantes unas con otras, ya su exponente 6 razon no es el exponente simple de
las raíces ,sino
que ha de ser este exponente elevado :í la segunda potencia, esto
es, el quadrado del primero,
cerno dixímos al núm 4 J 2. ; Y ese mismo exponente ha de reyn:1r en todo guama fuere superficie; y así (Lam. T 5. Fig. 3') ~ilas líneas son como 1, 2, 3, los quadrados Fornudos sobre ellas serán como 1, 4, 9, los
tri5ngulos' como 1, 4, 9; Y también en las
pirámides,
cubos, conos
esferas todo lo
que: fuere superficie será como 1, 4, 9.
N~ +2.4. Últimamente
si comparamoi
sólidos semejantes curre sí (Lam 15 F. 3.),
el exponente 110 sed, ni el de las ralees,
ni el de las superíicies , sino el de los cubos,
esto es, ha de ser un cubo del primer exponente;
y si las líneas que les pertenecen , esto es, los diámetros 6 periferias
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eran
de rheodosio J Eugenio.'
279
3 ,ShlS volúmenes serán 1,8,27,
1, 2,
porque el cubo de 1 es 1 , el de 2 es 8,
el de 3 e. 27 ; de forma, que así como en
los círculos distinguimos
el area 6 campo
de la circunferencia qae los cierra, y decimos que las superficies 6 arcas son como
1, 4, 9; pero que las líneas de la circunferencia siempre son como 1, :2, 3 , conforme.
á los: radios 6 diámetros, así ahora en los
sólidos no hemos ele confundir los volúrnenes con las superficies que los contienen' )'
por cÓl15iguiente si los radios de una e~fe-
ro.
15.
(Lam.
Fig.
3')' 6 los lados de varios
en bos fueren como 1, 2, 3 todo 10 que sea
línea, en esos sólidos semejantes será como
1, 2, 3 , esto es , altura,
T, 1, 3, lados,
corno 1, 2, 3, &c. ; mas todo lo que fuere superficie,
v. g. base, cara, &c. serán como
.I, 4, 9, Y el peso ó volúrncn , ó el espacio comprehendido dentro de la superficie
total serán como 1, 9, :2 7.
N? 425. De aquí se sigue que en los
sólidos semejantes todas las líneas correspoudientes estan en la faZOI1 simple.
Todas las superficies en la razon de Jos
quadrcdos.
Todos
los volúmenes,
6 el peso del sóbos.
Eugenio,
lo que me
lid o en la razon d e los
Ve aquí,
Tom.L.
amigo
Ctl
T
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280
Cartas FisiclJ-Mdtemáticas
ha parecido suficiente para inteligencia. de
la Física, que deseas saber, y que yo te
iré ensenando en varias cartas que te escribiré , conforme á lo que tengo prometido. (*)
(*)
En ve.2:J de enseñar por Cartas compuso el P. illmeyda una Física completa en tres
tomos en octavo mayor, de los qasles ya está
el primero traducido, J ermcg.1do para la im-
presiono
FIN DEL TOMO PRIMERO.
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