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De Tbeodoslo y Euge,úo• 2 n de ellos estaban en la razón compuesta de la Tazan de las bases, multiplicada por la raza n de las alturas de la figura plana, Pero los sólidos , como acabamos de decir, esta n en razon compuc~ta de la razon de las superficies, que les sirven de base, multiplicada por la 1..12On de las líneas, que les miden su altura; y de este modo los sólidos esran entre sí en una razon compuesta de tres, esto' es , de dos razones que hay en la base gen:::rante , y otra en las alturas del sólido. N.O 370. Luego lit r ccan de los prismas entre sí es COl1lp!lcsta d« tres r ,¡z.,cnes , dos que ha) en la slIpnficie ge¡¡erante ú base del prisma, y un« que l1,t] en JU slter», Pero quando las bases de los prismas son sernejanres , las dos razones que hay en ellas son iguales; de forma, que una razon multiplicada por otra es lo mismo que multiplicada por s: misma ; y :1sí el exponente de esta razon compuesta es un quadrado de la razon simple. (N. 162.) Si los prismas son sernejantes , la misma razón que hay entre qualesquiera lados correspondientes de la base, la ha de ha-. bcr tarnbieu eo las alruras ; y por (01101,uieme quando la base se multiplica por la altura, para formar el prisma la razon Xllm.l. R ® Biblioteca Nacional de Colombia 258 Cartas Físico-Matemáticas de la base, que es un quadrado de la razon simple de los lados) se multiplica de nuevo por esa razón simple Ú otra igual; lo qual es una razón compuesta de tres razones semejantes. N? 371. Luego los prismas semejantes estcn entre sí en la raz;,on compuesta de tres ¡¡z;,Ofles igllales. N.O 372.. Luego el exponente de los prismas semejantes es el producto de /a r az.ot» simple de qualquier lado) multiplicada por si misma una vez;, para bacer un quadrado, J multiplicada otra vez;, por la raiz;, para bacer un cubo. N? 373 • Luego los pr¡!mas semejantes est an mire si, como los cubas de qllalquier.t lit sus lados correspondientes, Pero las pirámides son los tercios de los prismas por el núm. 346, Y las partes 1 proporcionales por el núm. están entre sí como sus codos 134. N. o 374. LUGgo las pirámides semejantes est an entre sí, como los cubos de sus ledos, También dixírnos , que los cilindros se pod i.H1 considerar como prismas de lados infinitos, y los conos como pirámides de una infinidad de lados. N'? 375. Luego 101 cilindros semej,tntts J 1(1S cenas semepmt«: titaN entre ® Biblioteca Nacional de Colombia SI) tomo de Tbeodosio J Eugenio. 259 los tubos de sus lados homo'logos. Ya hemos considerado la esfera como compuesta de infinitas pirámides , que tienen el vértice en su centro. N<? 376. Luego las esfer lIS son entre si, (01110 los cubos de sus diámetros. De modo, que si una esfera tiene el diámetro duplo de la otra, su valor es ocho veces mayor, porque 2 x 2 X 1. 8; Y si el diámetro fuere triple, su valor es veinte y siete veces mayor , porque 3 x 3 x 3 27 ; Y lo mismo se dice de todos los Otros sólidos semejantes. = = s, XIII. De la proporcio¡¡ que se halla de la esfera que tuviesen y el del cilindro, la misma altura de la esfera. entre el valor cubo y cono, y profundidad N<? 377. Llamamos cilindro circunscripto á la esfera á aquel que tiene por base un círculo máximo de la esfera, y por altura su diámetro (Lam. 12. Fig. 1l.), y. por consiguiente toca á la esfera por el punto . superior, por el inferior, y por el cirCUlto. ® Biblioteca Nacional de Colombia .60 Cart.1S Fúico-MattmJticAS Acabamos de decir en el núm. 3 5~, que la esfera A es igual al cilindro, que tiene por base un círculo rnáxirno , y por altura dos tercios del diámetro , y que el cilindro circunscripto B (Lam. 12. Fig. 1 r.) tiene la misma base del cilindro L (L. 12. Fig. 14')' Y tres tercios del diámetro por altura. Luego estos dos cilindros B, L (L. 12. Pig. 1 J J 14') SOII entre si come Las sltwr iIS, esto es, como dos tercios .{ tres. N~ 378. Luego tambien la esfera A (Lam. 12. Fig. 1 J.) es , su ,ilindro cimm· seripto B, como dos á t1'(S ; esto es , si 1:1 esfera pesa 22 onzas, el cilindro pesad 3 3. Vale, pues , la esfera dos tercios del cilindro circunscripto. Pero el cono que tuviese esa misma base y esa misma altura del cilindro, vale solamente una tercera parte de él ; esto es , si el cilindro B pesa 33 onzas, el cono e (Lam. 12. Fig. r 2.) pesará solas 1 l. N? )79. Luego el con» (L. I 2. Fig. 12.) que tielle por bss« U" circulo m~.,ím() de la esfera, J por situr« Sil diámetro, 1'1Ile la mitad de la esfera; de modo, que si la. esfera vale ~i2, el cono valdrá I l. Y así el cono e que tuviere por base '" un circu 1o rnaxrrno , y por a Itura tura eel dilametro de la esfera, es igual á media esfera, «5 I ® Biblioteca Nacional de Colombia I le rlmdosjo y JI/genio. al ernisferio D. (L,(m. N~ cilindro tltdt!d, 380. Luego 19'1 12. Fig. 12.) tl (0110, lA esfera y el qa« tienen l¡( mssm« altura J pl'ofunS01l como 1 , 2, , 3 , o' cem» 11, 22, 33 (LAm. 12. Fig. 15.) Quanto al cubo circunscripto (Lit",. I~ .. Fig. 1 3') , si le quisiéremos comparar con .la esfera, dividirérnos la dificultad, y irérnos dando solucion poco. á poco. N~ 381. Lo primero comparemos la esfera, 6 el cilindro L su igual (Lam. 12. Fig. 14') con un prisma M de la misma altura, esto es, de dos tercios de diámetro, 6 guatro tercios de radio. Mas siendo la altura la misma , solo se halla la diferencia en las bases F G , Y ésta, como dixímos al núm. 267 , es como 22 á 28, esto es, como la circunferencia á quatro diámetros. Luego si el cilindro L, 6 la esfera que le es igual pesa 2.2 onzas , el prisma 11 pesad 28. N~ ) 82. Comparemos ahora este prisma M con el cubo circunscripto N , corno ambos son de la misma base, toda la diferencia está en la altura; pero teniendo el cubo tres tercios de diámetro por altura, y el prisma solamente dos, si el prisma M vale 4 diámetros, 6 .28, el cubo debe valer 6 diámetros, Ó 4-2 ; Y por consiguiente, R3 ® Biblioteca Nacional de Colombia 262. Carttis Físho-MdtemdticM comparando la esfera A, 6 el cilindro L su igual con el cubo N circuuscripto , será como 28 6 42 , 6 como la circunferencia á ó diámetros. N? 38). Luego los quiltro cuerpos que pertencc n l la esfera en el modo an iba dieh» (Lllm 12. Flg. 1'l.), esto es, el COila, la esfera, el cilindro y el cubo est sn en est s proporcion 11, 22 , Ej. 33 ,4z. XIV. Del valor del sector , y del segmento de la esfera. N? 3 84' .i.~s{ como arriba consideramos la esfera dividida en pirámides, cuyo vértice comun era el centro, podemos dividir ahora el sector en muchas pirámides, cuyo vértice comun sea el centro, y cUyJS bases hagJn la superficie convexa del sector. (Lam. 1 3. Fig. l. ) N. o 385. Luego el sector es igual á mucb ss pirámides juntas, cuyas bases baga1¡ la superficie, y cuya altur« sea el r adio: Ya se dixo al núm. 346, que cada pirámide valia un tercio de su prisma corrcspondiente, y era igual á su base multiplicada por el tercio de la altura del prisma. ® Biblioteca Nacional de Colombia (le Theodosio y Eugenio. 263 N? 38G. Luego el sector Z (L4m. I/~. Fig. i .) es igu,d á un prismd B, wy.t b!lse sed un pttralelagratno ¡gud ¡;{ la stlpnjicie (Oill'tX;t del sector, y cuj'.l nltur s sea IIn tercio del radio de la fsfer,f. Pero la superficie convexa del sector Z, que es la misma del segmento , ya dixí' . l' a un pamos a 1num. 327, que era ¡gua ralelogramo B , cuya longitud fuese la cir-, cunfercncia del círculo mñximo de la esFera, y su altura [a flecha. (Lam. 13. Fig. r.) Luego el valor de Z , sector de la esfeftt, es igual á un prisma I3 wya longitud sea la citcunjerenci» de la esfera, y su ancbur a la flecha, y su altura un tercio del radio. (Lam, 1 3. Fig. i.) N? 387. Para valuar el segmento de la esfera (Lam. 13, Fig. 2.) , después de hallado el valor del sector B , bastera cortar todo el cono K ,y sabido el valor ele este C0I10, el resto será el valor del segmento H. Pero el cono K ya dixírnos que era igual á un cilindro de la misma base, V 1 de la tercera parte de la altura (N. 352.); Y también habiamos dicho que el círculo de la base de este cono se podia reducir un paralelogramo, que tuviese por longitud la circunferencia de él, y por altura medio radio. (N. 2. p.) ® Biblioteca Nacional de Colombia á 264 pisico-MawnáticAJ N? 388. Luego IJáCiend~ un priJm~ P, c"Ja longitlld ses la circunferellcia del cono, J su latuud medio radio de su bM! , J la altur ti el tercio de 1" Altura del cono, se ca· nocerá Slf valor. N? 389. Luego el valor lid segmc11tD H (Lam. 1 ~. Fig. 2.) es ti v.alor del sector Z (L/HlI. 13. 1.), méuos el del cono K. N.O 390. Luego el vslor del Jegmento H es igual al del prisma B de la (Lullt. 13' Fig. 1.), quitando de [st» el vslor det cono K, que es el de otro prisma P (Lam. 13, Fig 2.), Y de este modo el segmento H será igual al sólido; y la razón es , porque así como juntando 6 sumando el cono K con el segmento H , tenemos el sector Z, así rambi~~l juntando el prisma P, que rienc el valor del cono K , Y añadiéndole el CartM »s. sólido J, en donde entra , se formad prisma 13 de la (Lam. 13' Fig, r.) igual sector Z. ,. el al XV. Del modo de valu.cr d prismt recta trllncado. N? ; 91. Llamamo~ pris-ma truncado a quel que sea cortado irregularmente, erno A (LAm. 1). Fil' 3') odo ® Biblioteca Nacional de Colombia de TJuodoslo y Ef~gwio. '! 6' 5 Para simplificar la doctrina hablaremos del prisma tr¡;1l1glllar , porque todos los otros se pueden reducir á triangubres. Tiene, pues, el prisma triangular A tres esquinas desiguales , y par.l reducirle á un prisma reguhr, capaz de ser valuado, se hará lo siguiente: I. N. 392. Tiraremos del ángulo sólido o dos diagonales om, 011 : considerarémos cortada esta pequeña pirámide, cup. base mil" es la base del prisma, y cuyo vértice está en o ,ponemos abaxo en E esta pirámide. II. Separada 1~ pirámide P., queda el to B, que es una pir,ámide irregular quatro caras, cuya base es r! n m, y yo vértice está en o , y en esta base r s podemos tirar una diagonal m s, resde cu- mn III. Podemos considerar una división desde el vértice o, buscando siempre la diagonal In s, y dividimos esta piámide quadrilá- ® Biblioteca Nacional de Colombia 266 Cttrt.fS Físico-M.ttCI1JtittCM tera en dos triangulares , las qn.e podemos separar una el! ya base es r s ni , Y su vértice está en o; OWt D, CU\':l base e, tu 5 n , y su vertice estaI en o, • !as qua 1es, si se juntan , vuelven á hacer el sólido B; y poniéndolas encima la pirámide E , queda formado el prisma truncado A primitimo De este modo se conoce que el prisma truncado A se divide en tres pirámides E, e, /Ó.» e, D. Corno estas pidmides son desemejnntes, y nada tienen cornun , veamos si reducimos e y D á otras 1;,.:a1e5, que teng:l1l la misma base de E , que viene á ser la del prisma primitivo A ; pues de este modo sed mas fácil hallar el valor de las pirámides y del prisma que se dividió en ellas. IV. N? 393. Hagamos des pues dos pirá:mides imaginarias F, G, cuyas bases sean como la de la pirámide E; esto es, la del prisma primitivo A, Y demos {¡_ F la altura del prisma en la esquina r m, y 6. la pirámide G la altura del prisma en la esquína s ti. Teniendo la pirámide E la altura del prisma en a o, tenemos con esto tres ® Biblioteca Nacional de Colombia de Tbeodosio y Eugenio. 2 ()7 pirámides todas con la misma base del prisIDJ, Y cs.d:l una tiene por altura una esquina del prisma, a o será la altura de E, r 111 la de F , Y s 1: la de G. V. V carnos ahora si estas dos pirámides .im;u:;inarias F, G valen tanto como las verdaderas e, D, en que el prisma se divi/ O~llanto a/ e ,esta '1 /. d'ro, tiene e vertrce en o, y tiene por base el triilllgulo 111 r s, Pero la pirámide imaginJria P , si la 50breponen en el triángulo 111 r n , tendrá ese triángulo por base: pata comparar, 'pues, estas dos bases 6 triángulos m r s , 111 r n, busquérnoslos en el prisma A, Y verérnos que el triángulo r 111, 6 r n 111 son iguales, porqne estan entre las mismas paralelas por el núm. 224' Luego el triángulo r s In, base de e, es igual :í r n m, base de F : veamos ahora la altura de estas dos pirámides e y F: e tiene el vértice en o, y F en a; pero mirando bien el prisma primitivo A, se advierte que o y a estan en la misma paralela: luego las pirámides e y F tienen base igual y altura igual, por consiguiente son iguales. Vengamos ahora :í las pirámides G, D, j ® Biblioteca Nacional de Colombia 268 CArtas Fisico-MatemJtiMs para ver si tambien son sus iguales entre sí. Pongamos 1<1una y la otra , de suerte , que tengan por vértices en G el pUlltO ¡f ,en D el puntO o , ambos por la misma esquina It o, del prisma A, que ya vimos estaban en la misma altura. Quanto ft la base de D, es el triángula m s ti del prisma A; la base de G es el mismo tri6nguJo 11Z s 11 del prisma A: luego D, G tienen la misma base, y los /. vernces estan a'1·a misma a 1tura ; y asi'1 a. pirámide imaginaria G es igual á la pirá- mide verdadera D. NI? 394' Luego el pris;n,t truncado es igual ti las tres pir ¡mides E, F, G, que tienen por bases la del prisma truILcado ,J por A-Iluras las tres esquinas de éste. Pero estas tres pirámides (Lam. 1 3. Fig. 4.) se reducen á tres prismas de la misma base del truncado A, Y de una altura que sea un tercio del ele las pirámides, ó un tercio de las esquinas del prisma A; Y e, ~sí los prismas B , D SOI1 iguales á las pirámides E, F , G , que se corresponden á plomo en la lámina. NI? 395. Luego el prisma truncado A 1,. (Lam. Fig. 3.) es igual ¡{ un prisma entero A (Lam. 13' Fig, 4. ) de la misma base, cUJa. "Itur" seá la SIl1l:11- de 1M tercer4S par- ® Biblioteca Nacional de Colombia de Tbeo¡{osio J lllgenio. 2.69 tes de las tres esquinM del trutlciCdo; y así el prisma truncado es igual al prisma entero A, compuesto de los prismas B, C, D. Si el prisma no fuere recto , córtese por el medio con una sección perpendicular á las esquinas, y quedará dividido en dos prismas rectos truncados) y sabrérnos h,llar su valor. s. XVI. Modo de valuar el volrímen i1'l'egul ..res• de los ,u~rpoJ Q N<;' 396. ualquier cuerpo irregular se puede dividir por una sección recta ) y entonces las dos nuevas superficies de la. seccicn pueden servir de bases rectas de los dos cuerpos. En segundo lugar , puesta qualquicra. de estas partes sobre su base recta, podemos ir dividiendo cada una de ellas en prismas triangulares truncadas; y sabiendo valuar cada prisma, se sabe el valor del 56lido: bien pudieran quedar algunas pirámides; pero ~ estas ya las sabernos hallar SIl valor. Para abreviar la operación darémos algunas reglas) que nos dispensen de llegar ® Biblioteca Nacional de Colombia 2. 70 cartas Fisjco-M ttte111tÍti'<ts hasta la última division de los prismas triangulares truncados. 1. N? 397. Sea un sólido como el de la Fig. 5 de la Larn. 1 3: su base E A O Q sea un paralelogramo, sobre cuyos quatro ángulos se levanten perpendicularmente quatro esquinas desiguales E S, Al, P Q, O R, el lado E O S Resté cortado de forma, que se termine en 1: el lado O Q R P córtese tarnbien de forma , que se termine en 1. Aquí tenemos un paralclipipedo irregularmente truncado : supongamos, pues) que es preciso saber su valer. n. en la base la diagoml A O, una scccien por las esquinas O R, Al, quedará dividido en los dos prismas truncados, que vemos con separacicn en la misma figura, y cuyo valor sabemos averiguar por lo que queda dicho. Par quanto el que tiene por base el triángulo E A O es igU:ll á un prisma recto de esta base, cuya altura sea un tercio de Tiremos Y conforme á esa diagonal hágase ® Biblioteca Nacional de Colombia de Theodosío J Eugenio. 271 E S eón m;1Sun tercio de Al, mas un terCiD de RO; del mismo modo el otro es igual :í un prisma recto, cuya base sea el triángulo A O Q, y la altura un tercio de P Q con un tercio de Al, Y un tercio de RO. Pero corno las dos bases , por ser triángulos mitades del paralelogramo, son igua- les , en vez de hacer dos productos óprismas, hagamos uno con la altura de los dos, esto es, un prisma, cuya base sea E A 0, Y cuya altura sea un tercio de E S, un tercio de P Q, y dos tercios de Al, mas dos tercios ele RO; ó por otro medio un tercio de cada esquina que 110 sea comnn, y dos tercios de las esquinas que sean comunes á ambos , y son aquellas por donde 'la 1:1 division. Como el prisma quadriIítero total se divide en los dos, su valor es la suma de ambos. N? 398. Luego el par,llelipipedo diferentemente tnHlcado es ¡guirl ti su media base, multiplicada por un tercio de cada esqtúna que no sea coinun , y dos tercios de cada esquin4 C01111U1 ti los dos prismas triallgulares, en ql4e se podí,t dIvidir. Lo mismo dirérnos , si el paralelipipedo fuese cóncavo (Lam. 13. 6.) , enrónces S~ podrá dividir) segun 1:4 linea de direc- ns- ® Biblioteca Nacional de Colombia 272 Cartas FÍúco·MatemáttCAs cien de la concavidad M N , Y se tirará la diagonal en la base o i , Y se hará la misma operación de arriba. N. e 399. El prisma qnadrangular que no fuere paralciipipcdo , solo se puede va- luar, haciendo la división en la base , squll la línea ú direccion de la COIl\ cxidad , 6 de la concavidad superior; y haciendo dos triángulos, y de cada lino de ellos multiplicado por los tercios de sus tres esquinas, formando un producto, la suma de arribos m"á el valor de este sólido. §. XVII. De los sIJ'{¡dos re'gtl!tues. N? 400. Llamamos sólido absolutamente regular al que en las superficies, en las líneas y en los 6nfuJos guarda una perfecta it;Ulldad y semejanza. De este ;énero son el cub» , el tetr aedro ; ó de quatro 5U~ perficies , el ortaedro d:: ocho, el' icos sedt» de veinte, v el dodecaedro de doce, en los quales no I;ay la mínima desiguaidad en ~n..,.ulQs, líneas , ni superficies. u N.O 4(li, L:l esfera (l..mi, . 14. Fig. r.) también podia colocarse entre los cuerpos ® Biblioteca Nacional de Colombia de Tbeodosio y Eugenio. 2i 3 regulares, por ser en rodas par~es semejantes á sí misrno : de suene, que de qualquiera modo que se la tome siempre ofrece la misma superficie igu::dmente convexa. El cubo (Lam. J 4 f'lg. 2.) es fornndo por seis quadrados iguales: el uno es: 1 en la base, los qU:ltro al rededor de la base hacen los quatro lados, y el sexto forma la base superior. En 'el cubo todos los án?",¡]os sólidos son formados por la concurrencia de tres quadrados ; y en los quadrados todos los ángulos son de noventa grados, y tedas las líneas son iguales. N." "'1-02. Luego el cubo es un salido perfea.¡mente regular. Ccn quadrados no podemos formar otro s6lido, porque si quisiéremos juntar solamente cos , no se forma ál ~t:lo sólido , pues éste Forzosamente ha de tener tres lados á lo rnénos , y rr-s dimensiones en longitud, latitud y profundidad. Si juntamos los tres lados quadrados que dixímos tnrmamos un 6ngulo sólido, como se ve en el cubo. Si juntJI110S gl1aIrO ([,am. T 4 Fig. 7.) e, i, o, ti, reni-ndo cada qua! noventa gr.1dm , todos juntos hacen 360; Y por consi +uiente el punto en donde concurren es el centro de un círcu.o , y no puede hacer ángulo sólido. Tom.J. S ® Biblioteca Nacional de Colombia Cart as fisico-Matem áti'''í N<? 403. Luego con quadrados no se puede formar otro sóL"lo qtU no sea el cub«, Veamos ahora los sólidos que formarnos con los tri:íngulos equildteros : pues todos los otros tri:íngu1os son por su irregu2. 74- laridad incapaces de formar cuerpo perfectamente regular. Juntos tres triángulos (t.sm, l4' Fig. 3')' harán un ángulo sólido M, Y como la base tarnbieu ha de ser un triángulo forma ... do por tres lados de los triáng~los que forman las superficies , ha de ser tri:íngulo ; y pues las líneas que le forman son lados de triángulos equiláteros , tambien él ha de ser equilátero, y por esto igual á los superiores. Los tres- tri:íngulos de la base, siendo todos ellos formados por tres triángulos equiláteros, uno de la base, y dos de los lados, que son todos iguales ~ los que forman el ángulo del vértice M, tambien le son iguales. Estos quarro triángulos se ven en la (Lam. 14. Fig. 8.) , Y en ella se advierte có-. rno podrán formarse de plano para armar el retahcdro : E es la base, A, E ,O son los lados que pueden levantarse al rededor de la base, y juntándose los ángulos m m In, har.in el vértice del tetrahedro M de la (L,lIn. 41. Fig. 3') ® Biblioteca Nacional de Colombia ·de· Theodosio J Eugenio. 275 +04' Luego el tetr abedr» form,td, por quatllJ (¡iaugulos equila'teTos, es nlerpfJ rcgul,~r. N~ J untemos ahora gUJtro triángulos equiHueros ti e m n (Lnnt , 14 Fig. 12..), de suerte que se junten o o , quedará una pir.irnide de quatro lados con el vértice en ¡: no obstante la base sera quadrada , y por eso desigual á los lados, y así sed un sólido irregular. Pero formemos otra pirámide semejante ,y juntemos las dos bases quadradas , resultará el sólido regular H. (Lllm. 1+_ Fig. +) I. Todos equiláteros. los ocho lados son triánglllo~ n. Todos Jos ángulos sólidos son formados por quau'o 1a~dos con el vértice en i; porque el vértice inferior t se supone ser lo mismo que el de arriba ; los laterales r 1, &c. SOI1 formados cada uno por el ccncurso de dos triángulos superiores, y dos inferiores ; y así son formados por quatl·o triangulos equiláteros. N~ 4°5. Luego el ca abearQ eHuerpo per- ¡"tamente regular. ® Biblioteca Nacional de Colombia 276 Cartas Flsico-M.tttemlticM Para formarle de papel se puede cortar como en la ( Lsm , J 4- Fig. 9.) , Y doblarle, de modo que o o se junten, y se verá formado un sólido en i de Jos triángulos A e m n , y los otros quatro formarán la parte inferior del octahedro , cuyo vértice es t. Juntemos ahora cinco triángulos equiláteros (Lam; 14' Fi!;. 1 ).) , y hagamos que n m se junten, se levantad el centro o , y quedará un sólido de cinco lados i.s-uales y semejantes. Con todo eso la base de esta pirámide es un pentágono , y los lados son triángulos, lo que contradice á la regularidad que se desea; y así por este medio todavía no tenemos sólido regular. Si formamos otra pirámide de cinco lados semejantes , para juntarla, poniendo la cúspide ácia abaxo , como hicímos en el octahedro , queda un sólido todo formado por triángulos equiláteros. No obstante los :í'ngulos sólidos no son semejantes, por ser el superior y el inferior formados con la concurrencia de cinco triángulos, y los laterales de al rededor a a a a, &c. son fornudos por solos quau'o, dos de la pirámide superior, y dos de la inferior; por consiguiente aun no tenemos sólido regular. Pero bagamos una figura en papel, como se representa (Lam. 14- Fig. 10.), en ® Biblioteca Nacional de Colombia de Tluoáosio y J!tlgcnio. la que, 277 ademas de los cinco triágulos equi- Iáteros e, e, e e, e, que han de formar la pirámide superior O ; Y de los otros cinco que formarán la inferior E, tenemos .M N, formada de diez triángulos equiláteros , cinco que unen por las tres bases con los superiores , y otros cinco que unen con los inferiores. Doblando, pues , esta lista de triángulos circularmente, de modo que se junten las dos extremidades 1\1 N, Y disponiendo las divisiones en tal forma, qu.e solo por ellas se doble la lista, y haga un circuito de superficies planas, si arriba unimos todos los ángulos 0, 0, 0, 0, 0, y abaxo los ángulos e, e, e, e, e, tendremos un sólido, como se ve en la (Lam, 14. Fig. 5')' en el qual se observa 10 siguiente: L Que este sólido es triángulos equiláteros. compuesto de veinte Il. Que todos los ángulos sólidos 5011 formados por el concurso de cinco lados: en O , E se ve claro; en los laterales el circuito A, i vemos que cada ángulo sólido de S 3 ® Biblioteca Nacional de Colombia 278 Cart as Fisico-Mdtemltic lis los que terminan la base de la pirámide superior O, es formado por dos triángulos de la pirámide superior; otros dos que penden de éstos, y caen Jcia :1 baxo , y otro que viene de abaxo á introducirse entre los dos que están pendientes. Lo mismo digo de s , y de los otros que terminan 1:1 base de la pirámide interior E. N? 406. Luego el icosihedr» es un Ctler- po regular, formado por veinte lados semcJantes é iguales, &c. Si juntamos seis triángulos equildteros (L,nn. 14, Fig. 1+ ), corno cada ángulo de los del centro es de sesenta grados, todos seis harán 360, que (1;$ el circuito de un círculo: de suerte, que si los juntamos, el centro O 110 se puede levantar del plano , ni formar ángulo sólido. N.o 407. Luego Con ti'iállgulos equil~te- ros no se puede formar cuer po alguno ugular. fuera del tetrsbcdro de qu aro lados, del oct ahedro de ocho, del icosal1edro de veinte, V cngamo~ ~lhor<l á los pentágonos para ver qué cuerpos sólidos podremos [orrnar con ellos , y juntemos tres pentágonos. (Lam. 14' Fig. 15.) Para examinar qué valor tienen sus ángulos, tomemos un pent.igono, y tiremos desde su centro radios á sus ángulos. Los del centro o , como tienen ® Biblioteca Nacional de Colombia de rlmdo.ri() y EugeHio. 279 rcr medida un quinto de la circunferencia, tendrán setenta y dos grJdos por medida. Pero cada triángulo tiene el valor de grados: luego [Jltln para el valor de los dos ~l1gulos, que cada triángulo tiene al rededor del pendgono lo, que va de 72 ~ t 80. Esto repartido entre los dos, :í (;1da uno dará 54; pero si convertimos estos radios, que dividen el pentágono en triángulos , cada ángulo queda doble del que hacia la base del tri:íngulo , esto es , duplo de 54 , que viene á ser 108. Luego los Ángulos del p(l1tigono 1'4len 180 108. J untando .( Lsm . 14, tres pentágonos A, e, () 15.), solo tenemos en A en el valor que ocupan los tres ahora Fig. 324 grados ingulos, y aun f":dta el valor de 36 grados parl completar la circunferencia de 360. Luego si junrasernos e con i, formarérnos un á'ngulo sólido con tres lados. de cinco ángulos. Tomemos, pues, un pendgono de papel M (Lam. 14. Fig. 1 l.), Y de sus cinco lados hagamos que se levanten otros cinco pentágonos iguales hasta unirse mntuarncnte en forma de una vandeja (perdónese la familiaridad de los términos, porque solo atendernos á la claridad, que es la que ne- p+ ® Biblioteca Nacional de Colombia 280 Cartas Fisic8-Mt1tcmlúcdS cesiran los principiantes) : formemos otra vandeja semejante al rededor del pentigono N, Y colocarérnos una sobre otra, corno se ve en la (L4m. 14, Fig. 6.). Pero en esta figura tenemos que observar 1. Que todos los lados son semejantes, formados por án<;ulos planos , semejantes é iguales ; pues todos son pent:Ígonos iguales y semejantes. n. Que todos los ángulos sólidos son formados por tres lados; en los que se forman :11 rededor del pen'6gono superior M, y el inferior N , es manifiesto; pues los forma la base con 105 dos Fentá~ollo~, que se levantan como lados hasta encontrarse muruamente , y los que se Forman por el concurso de la mirad superior con la inferior, también se forman por un pentágono, que sube de abaxo para introducirse entre Jos que penden del que está encima, ó al con- trario. N? 408. Luego el dodec4hedro es un ullido regular , compuesto de doce lados iguales y semejantes. ® Biblioteca Nacional de Colombia 'de T1J(odosio y Eugenio. 281 Si quisiéremos juntar guarro pentágonos para. hacer con ellos un á¡,r,-ulo sólido, 110 pocirérnos ; porque teniendo cada uno de ellos los ángulos de diez grados, quarro juntos harian la suma d-e 4) 2 , los que siendo mucho mas que la circunferencir del círculo, no pueden caber en el plano, y mucho ménos en el án~ulo sólido, que para elevarse del plano debe tener circunferencia menor que la de! círculo. N? 409. Luego con pentágonos rllgu[,tres no se puede bacer dro. otro sóLido que el dode,ahe~ Si quisiéremos formar con exágonos alcuerpo sólido , veremos que ~s imposible, porque (Lam. J 4. Fig. 16.) juntando tres, tenemos ) 60 grados, pues cada ángulo del exágono regular contiene 120 por el núm. 98: Luego tres hacen 360, lo gue es justamente la circunferenci.i del círculo; y así el punto de concurrencia no po-lria elevarse del plano para hacer ángulo só.ido. Si queremos valernos del eptágono , que quiere decir fie-ura de siete ángulos, no podrérnos hacer sólido alguno, porgue si tres exágonos ne pueden hacer ángulo sólido, mucho ménos podrán los eptágonos, cuyos ángulos son mayores. gUll N.O 420 Luego no puede haber sóltdo ® Biblioteca Nacional de Colombia Cd.rtds Fisico-MdumJtic4S Alguno regul¡rr [uer, de los que hemos dub«, esto (S ; cubo, tetrsbedr«, octdhedro , icostlhedro J dodec,¿lJedro; exceptúase /" tSj,ra, de fa qtl4l no h eblsm»: Jqllf. 2~2 Ahora, amigo Eugenio, :íntes de poner término ;\ e tos elementos de Geometría, gobernado por la experiencia qu~ tengo • quiero hacerte un epílogo de cornbinación entre las razones de las líneas de las superficies y de los sólidos. 10 que te dará mucha luz; le añadiré á esta carta ~ que ya tenia concluida, EPILOGO !ohre Id. combinacio« de us pon iones d: las líneas, y sdlidos. r.: z:.OIJ'S y prosuperficies ~. r. D N~ 4 t r, ixímos nl núm. 1; 9 que quando muchos términos estaban en proporcion , iempre iba reynando la misma razón entre todos ello ; de suerte, que entre dos términos inmediatos se hallará el mismo exponente de la razon, T amblen dixímos que un número rnul- ® Biblioteca Nacional de Colombia ele 'theodos)» y Etlgenio. ~ S) riplicado por sí mismo hacia el quadrado, v. g. 4 por 4 dad 16, que es el número quadrado de 4. También dixímos que este quadrado multiplicado otra vez por su raiz, 6 por el número primitivo 4, formaba el cubo. Ahora bien , quando una cantidad se multiplica por í mi ma para formar el quadrndo , se dice que se eleva :í la segunda potenti« ; y quando se multiplica otra vez este quad rado por la raíz para formar el cuDO, se dice que sube ~ la tercera pottncia: quando todavía se multiplica el cubo otra vez por la raiz , se eleva ésta á la quarta potencia : si aun se multiplica de nuevo, sube á la qiunt « potencia. Lo que es costumbre expresar así en Algebra: sea la cantidad simple ó raíz igual á A ; d quadrado de A se expresa así AxA, ó bien A t : el Cll bo de A, ó la tercer ti potencia se podría expresar as{ A x A x A; pero es mas corto A; ; Y del mismo modo la qua na potencia de A' se expresa así A4, y la quinta Al. N~ 412. Aquí deben advenir los principiantcs , gue. 110 es 10 mismo, 3 A que A', porque el número 3 ántcs de A significa suma ó adicion , esto es, que la cantidad A se toma tres veces, siendo 3sí que Al significa que la cantidad A no solo se rnulti- ® Biblioteca Nacional de Colombia 284 CartlH FísicIJ-Matemáticas plica una vez, sino que su producto se ha. de multiplicar por A otra vez. Supongamos que A valga 4 palmos, 3 A significará I:?, palmos, y Al significlrá 64 palmos, porque 4 x 4 vale 16 ,y 16 x 4 vale 64' N? 41 3. En la Geometría podrérnos dar figura sensible así de la segunda potencia, que es una superficie como de la tercera, que es un sólido; pero como no hay mas de tres dimensiones) no podemos dar figura sensible de la quarta de la quinta potenci.t, &c. Solo los números dan idea de esta rnulriplicacion , y no las líneas. Esto supuesto, formando una progresion geométrica -:-: 1: Z : 4: 8: 16: 32: 64: 128 , &c., cuyo exponente comun es 2 , ó el exponente de la razon es doble. Se ve claramente que para llegar el primer término al valor del segundo basta multiplicarle una vez por el exponente 2; mas para elevarle al valor del tercero es preciso multiplicarle otra vez por el mismo exponente ; y del mismo modo para que se ele.. ve al valor del quarto término es preciso tercera multiplicación , por el mismo exponente de la razon que reyna. De esto se infieren varias conseqiiencias • ® Biblioteca Nacional de Colombia de rbeodQsio y Eugenio. 285 I. Que podernos decir) que la razon del primer término á su inmediato es el exponente simple, esto es, 2. n. N? 414' Que la razon de] primer téral tercero es un quadrado ó srgunda ¡oTencia del exponente 2, esto es, 4. mino III. N.O 415. Que la razon del primer término al quarto es un cubo, ó tercer» pfl" tenc;a del exponente .2 , esto es ) 8. IV. • I N.O 416. Que la razon del pnmer termino al quinto es .2 , elevado á la quart" potencia, esto es) 1". v. N. o 417. Que la razon del primer término al sexto es 2 , levantado á la quint» potencia, esto es, 32, &c. ® Biblioteca Nacional de Colombia z 86 Cartas Fisico-Matemáticts N? 4-18. Supongamos ahora que formamos quadrados de estos mismos términos de la progresion , vease la (Lam. 15. Fig. 1.) " 1 : 2 : 4 : 8 - - - rnon - - - 2 • .;:- 1 :4: 16: 64---r<12011---4' La razón ó exponente que revna en esta segllnda progresion es 4, esto es , el quadrado del exponente que reyna en la pri/ L' mera; porque como diixnnos a 1 numo 1u4, en los quadrados hay la r:120n compuesta de la que habia entre las bases , y de la que había entre las alturas; y COIY,O son iguales, y la razon compuesta de dos ¡gua. les es un quadrado de las simples, se sigue, I }.!? 419. Luego en La p¡ ogresio¡¡ de los cu.uir eáos el expoJ1C1/tc del Fimnu ,¡¡ segundo es un quadr~ldo del exponente simple. Pero entre el primer término de las raices y el tercero el exponente es un quadrado del exponente simple por el núm. 4°8; Y entre el primer quadrado y el segundo el exponente tarnbicn es el quadrudo del quocicnte N? simple por el núm. 413. Luego en La pl'ogresion de los quadradoJ el exponente es el mismo que h,cJ tri La prog¡'csioll di las raíces, saltando un 11 420. úmer», ® Biblioteca Nacional de Colombia .le TIJeodúsio J Eugenio. .187 H3.gamos ahora los cubos de las canti .. dades primitivas. (Lam. 15. Ftg. l. ) 4 : 8 - - - exponente 2 raiz, 4: 16 : 64 - - - exp. 4 quadrado. ~ 1 : 2 : .. 1: ,__ 1 : 8 : 64 : 5 11. - - - exp. 8. cubo. En esta tercera progresion el exponente que reyna es 8, esto es, un cubo del exponente primitivo 2) porgue como ya dixímos al núm. 409, el exponente que hay entre el primer término y el qua no de la primera progresioo simple es un cubo del exponente simple; pero también dixímos al núm. Ió4, que entre los cubos el exponeme era compuesto de tres razones seme ... james : por consiguiente es como el exponente del primer término ;¡1 quarto de la primera progresion. N." 421. Luego entre el primer térmi1JO J ¡egundo de la úl1ima progresiots el ex .. pOllente es un cubo del eXpOni/ltt simple de 14 primer" progHlÍon. ~. n. Otra N~ 422. cosa has de observar, Eugenio, y es que teda lo que son líneas, 6 qualesquiera fi;ur:ls semejantes , tienen ® Biblioteca Nacional de Colombia 288 Cartas Físico . Matemátic/lS entre sí la razón de las raices , esto es , del exponente simple, bien sea la proporcion arismérica 6 geométrica; de suene, que (Lam. 1 5 Fig 2.) si cm los círculos son los radios corno r , 2, t , los diarnctros son como 1, .2, 3, las circunferencias son como J, 2, 3, los arcos de igual número de grados serán como 1, 2, 3, &c. N? LJ2 3. Pero si comparamos superficies semejantes unas con otras, ya su exponente 6 razon no es el exponente simple de las raíces ,sino que ha de ser este exponente elevado :í la segunda potencia, esto es, el quadrado del primero, cerno dixímos al núm 4 J 2. ; Y ese mismo exponente ha de reyn:1r en todo guama fuere superficie; y así (Lam. T 5. Fig. 3') ~ilas líneas son como 1, 2, 3, los quadrados Fornudos sobre ellas serán como 1, 4, 9, los tri5ngulos' como 1, 4, 9; Y también en las pirámides, cubos, conos esferas todo lo que: fuere superficie será como 1, 4, 9. N~ +2.4. Últimamente si comparamoi sólidos semejantes curre sí (Lam 15 F. 3.), el exponente 110 sed, ni el de las ralees, ni el de las superíicies , sino el de los cubos, esto es, ha de ser un cubo del primer exponente; y si las líneas que les pertenecen , esto es, los diámetros 6 periferias ® Biblioteca Nacional de Colombia eran de rheodosio J Eugenio.' 279 3 ,ShlS volúmenes serán 1,8,27, 1, 2, porque el cubo de 1 es 1 , el de 2 es 8, el de 3 e. 27 ; de forma, que así como en los círculos distinguimos el area 6 campo de la circunferencia qae los cierra, y decimos que las superficies 6 arcas son como 1, 4, 9; pero que las líneas de la circunferencia siempre son como 1, :2, 3 , conforme. á los: radios 6 diámetros, así ahora en los sólidos no hemos ele confundir los volúrnenes con las superficies que los contienen' )' por cÓl15iguiente si los radios de una e~fe- ro. 15. (Lam. Fig. 3')' 6 los lados de varios en bos fueren como 1, 2, 3 todo 10 que sea línea, en esos sólidos semejantes será como 1, 2, 3 , esto es , altura, T, 1, 3, lados, corno 1, 2, 3, &c. ; mas todo lo que fuere superficie, v. g. base, cara, &c. serán como .I, 4, 9, Y el peso ó volúrncn , ó el espacio comprehendido dentro de la superficie total serán como 1, 9, :2 7. N? 425. De aquí se sigue que en los sólidos semejantes todas las líneas correspoudientes estan en la faZOI1 simple. Todas las superficies en la razon de Jos quadrcdos. Todos los volúmenes, 6 el peso del sóbos. Eugenio, lo que me lid o en la razon d e los Ve aquí, Tom.L. amigo Ctl T ® Biblioteca Nacional de Colombia 280 Cartas FisiclJ-Mdtemáticas ha parecido suficiente para inteligencia. de la Física, que deseas saber, y que yo te iré ensenando en varias cartas que te escribiré , conforme á lo que tengo prometido. (*) (*) En ve.2:J de enseñar por Cartas compuso el P. illmeyda una Física completa en tres tomos en octavo mayor, de los qasles ya está el primero traducido, J ermcg.1do para la im- presiono FIN DEL TOMO PRIMERO. ® Biblioteca Nacional de Colombia