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Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. MÓDULO MATEMÁTICA La universidad tiene por función esencial el desarrollo y la difusión de la cultura en todas sus formas, la investigación científica, y la preparación técnica y profesional de sus egresados. La actividad del profesional universitario se debe orientar, en general, a encontrar soluciones a los problemas de la humanidad, y en particular, deberá proyectar su accionar en beneficio de su comunidad como así también en lograr los mejores beneficios individualmente. Como Institución apostamos a una formación integral, en la que la formación académica y profesional se integre con la vida cotidiana, con las necesidades, inquietudes y propuestas de los estudiantes donde sus experiencias y necesidades particulares, sean desafíos importantes a nivel personal y social. Los ingresantes a las diferentes carreras de Diseño tendrán que poseer determinadas predisposiciones, artísticas técnicas y humanistas. Las competencias básicas que deberán poseer y desarrollar serán la creatividad, la imaginación creadora, la originalidad y sobre todo deberán poseer un especial sentido de lo práctico unido a lo estético, que le permita proponer ideas y acciones, adecuadas a los problemas que se le presenten. Como educadores, nos toca la inquietante tarea de recibir a los nuevos alumnos y de poner a disposición a todos y cada uno de ellos nuestras mejores herramientas de indagación, de pensamiento lógico y de investigación. Dada estas características se hace imprescindible destacar el permanente contacto que existe entre la matemática y los más diversos campos del quehacer científico y tecnológico. Para el ser humano, la matemática es importante por la potencia del conocimiento que ellas implican; no nos es posible imaginar el avance de las ciencias sin la participación de la matemática y viceversa, todo avance en el campo de la matemática impulsó de alguna manera el desarrollo en diversos campos científicos. Así el avance de la matemática conjuntamente con las otras ciencias indudablemente ha producido grandes cambios para la humanidad. El aprendizaje de la Matemática representa un vehículo para el desarrollo del razonamiento lógico y las habilidades relacionadas con éste. Es además, una herramienta fundamental para el estudio y la comprensión de otras disciplinas, especialmente en aquellas que se requiere el desarrollo del pensamiento abstracto. La enseñanza de la Matemática desempeña un papel instrumental, formativo y de fundamentación teórica. En lo instrumental, se proporcionan técnicas y estrategias básicas no solo para otras materias de estudio, sino también para la actividad profesional. En lo formativo, la matemática contribuye a la formación de estructuras mentales y a la adquisición de aptitudes que trasciende el ámbito de la misma, desarrollando actitudes y hábitos de investigación que le resultaran de gran utilidad en la resolución de diversos problemas en la vida profesional y además, permite sistematizar los procesos para imaginar o visualizar las secuencias del diseño. La fundamentación teórica es un elemento imprescindible en su desenvolvimiento, 1 CURSO DE INGRESO 2014 MÓDULO MATEMÁTICA Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ya que las definiciones, demostraciones y desarrollos conceptuales lógicos le dan validez y solidez a la matemática, confiriéndole la categoría de ciencia formal. Sin escapar a esta concepción integral del conocimiento, es que en las tres carreras de la Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño (FAUD), se imparte la asignatura Matemática, ya que el futuro profesional deberá conocer, los materiales que usará para distintos fines, y deberá analizar las posibilidades de concreción. Estos materiales están sujetos a diversas leyes que determinan la realización del producto; es matemática la herramienta indispensable que permite modelizar características, relaciones y comportamiento de diversos elementos con que trabajará el profesional, permitiéndole un alto grado de perfeccionamiento exigido por la tecnología moderna. EL OBJETIVO DE ESTE MÓDULO DENTRO DEL CURSO DE INGRESO ES: Homogeneizar los diferentes niveles de conocimiento con que acceden los aspirantes a las distintas carreras de la FAUD en los temas elementales de Matemática. Afianzar los conceptos básicos de Matemática considerando la diversidad de planes de estudio y profundidad con que se desarrollan los mismos en los distintos establecimientos educativos. Integrar los contenidos de matemática con el resto de los módulos que se dictan en el curso de ingreso para destacar su importancia como herramienta fundamental en el proceso proyectual y en la vida profesional, justificando a la vez, el estudio de esta asignatura en las carreras proyectuales de la Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño de la U.N.S.J. A LO LARGO DE ESTE CURSO SE ESPERA QUE EL ALUMNO PUEDA: Conocer y aplicar temas como: Magnitudes Escalares y Vectoriales. Razones, proporciones y escala. Geometría. Polígonos. Perímetro, Superficies y Volumen. Conjunto numérico y Operaciones con números reales. Relaciones trigonométricas. CONTENIDOS RAZÓN - PROPORCIÓN - ESCALA. Concepto de razón y proporción. Extremos y medios, propiedad fundamental. Proporcionalidad directa e inversa. Ejercicios. Proporción Aurea. Teorema de Thales. Aplicación. Proporcionalidad a segmentos. Escala: aplicación. ejemplos. Determinación de la escala más adecuada para la confección de planos. Aplicaciones. 2 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. GEOMETRÍA. Entes geométricos fundamentales: punto, línea y plano. Relaciones fundamentales. Postulados. Ejercitación. Elementos geométricos en el plano: semirrectas, segmentos semiplanos, ángulos y rectas. Ejercitación. POLÍGONOS Definición, elementos. Clases de polígonos. Algunas propiedades de los polígonos. Polígonos regulares convexos. Triángulos. Cuadriláteros. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. Unidades de medida. Sistema Métrico Legal Argentino (SIMELA). Unidades de base y Unidades derivadas: medidas de longitud, superficie y volumen. Múltiplos y submúltiplos Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores en el plano y en el espacio. Suma de vectores: gráfica y analíticamente. PERÍMETROS, SUPERFICIES Y VOLÚMENES. Revisión de figuras y cuerpos. Fórmulas de perímetros y superficies de figuras. Superficies laterales y totales, desarrollo de los cuerpos geométricos, fórmulas de volumen de cuerpos. Ejercicios y problemas. TRIGONOMETRÍA Trigonometría. Relaciones trigonométricas: sistemas de medición de ángulos, definición de las Relaciones trigonométricas, signo y valor en los distintos cuadrantes, gráficas. Relación fundamental de la trigonometría. Teorema de Pitágoras. Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos en problemas de aplicación. 3 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. CURSO DE INGRESO 2015 MÓDULO MATEMÁTICA............................................................................................................ 1 CONTENIDOS ............................................................................................................................ 2 RAZÓN - PROPORCIÓN - ESCALA. .......................................................................................................2 GEOMETRÍA........................................................................................................................................3 POLÍGONOS ........................................................................................................................................3 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. ........................................................................................3 PERÍMETROS, SUPERFICIES Y VOLÚMENES. ........................................................................................3 TRIGONOMETRÍA ...............................................................................................................................3 RAZONES – PROPORCIONES - ESCALA ........................................................................................ 8 CONTENIDOS ......................................................................................................................................8 RAZONES Y PROPORCIONES NUMÉRICAS ................................................................................... 8 MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES E INVERSAMENTE PROPORCIONALES ........................................10 EJERCICIOS PROPUESTOS ........................................................................................................................12 PROPORCIÓN AÚREA..............................................................................................................................12 RAZON AÚREA Y SUS APLICACIONES ..........................................................................................................13 SEGMENTO AÚREO ................................................................................................................................13 NÚMERO DE ORO : ................................................................................................................................14 RECTÁNGULO AÚREO .............................................................................................................................15 SUCESION DE FIBONACCI: .......................................................................................................................17 PROPORCIONES EN EL CUERPO HUMANO ...................................................................................................17 LOS DISEÑOS Y LA BELLEZA EN LAS MEDIDAS ...............................................................................................19 DISEÑO INDUSTRIAL ...............................................................................................................................20 DISEÑO GRÁFICO ...................................................................................................................................20 ARQUITECTURA ....................................................................................................................................21 ACTIVIDADES ........................................................................................................................................22 TEOREMA DE THALES: ............................................................................................................................23 CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS .................................................................................................27 ESCALA. .................................................................................................................................. 28 ACTIVIDAD 1 ........................................................................................................................................32 MÁS EJERCICIOS PARA PRACTICAR.............................................................................................................32 GEOMETRÍA............................................................................................................................ 33 CONTENIDOS ....................................................................................................................................33 ENTES GEOMÉTRICOS FUNDMENTALES ................................................................................... 33 PUNTO: ...............................................................................................................................................33 LÍNEA: ................................................................................................................................................33 4 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. PLANO: ...............................................................................................................................................34 RELACIONES FUNDAMENTALES ................................................................................................................34 POSTULADOS .......................................................................................................................................35 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO ...................................................................................................38 TIPOS DE SEGMENTOS............................................................................................................................39 SEMIPLANO .........................................................................................................................................40 ÁNGULOS ............................................................................................................................................42 IDENTIFICACIÓN DE UN ÁNGULO ..............................................................................................................42 ÁNGULO CONVEXO: ..............................................................................................................................43 ÁNGULO AGUDO ...................................................................................................................................43 ÁNGULOS RECTOS .................................................................................................................................44 ÁNGULO OBTUSO .................................................................................................................................44 ÁNGULO LLANO ...................................................................................................................................44 ÁNGULO CÓNCAVO ..............................................................................................................................44 ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS ................................................................................................................45 ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS ...................................................................................................................45 ÁNGULOS ADYACENTES ..........................................................................................................................46 ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE ........................................................................................................46 RECTAS PERPENDICULARES .....................................................................................................................47 RECTAS PARALELAS ...............................................................................................................................48 RECTAS OBLICUAS .................................................................................................................................49 MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO .................................................................................................................49 BISECTRIZ DE UN ÁNGULO ......................................................................................................................49 ACTIVIDADES .......................................................................................................................................50 POLÍGONOS ............................................................................................................................ 53 CONTENIDOS .......................................................................................................................................53 DEFINICIÓN DE POLÍGONO ......................................................................................................................53 ELEMENTOS DE UN POLÍGONO .................................................................................................................54 CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS .................................................................................................................54 TRIÁNGULO ..........................................................................................................................................55 CLASIFICACIÓN .....................................................................................................................................55 PROPIEDAD DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO .......................................................55 PROPIEDAD DEL ÁNGULO EXTERIOR ..........................................................................................................56 LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES....................................................................................................................56 EL CIRCUNCENTRO ..........................................................................................................................56 EL INCENTRO .................................................................................................................................57 EL BARICENTRO..............................................................................................................................57 EL ORTOCENTRO ............................................................................................................................58 CUADRILÁTEROS ...................................................................................................................................58 CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS ....................................................................................................59 UNIDADES DE MEDIDA. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. ................... 60 5 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. UNIDADES DE MEDIDA ...........................................................................................................................60 MAGNITUDES ESCALARES: ...................................................................................................... 60 UNIDADES DE BASE ................................................................................................................................61 UNIDADES SUPLEMENTARIAS ...................................................................................................................61 UNIDADES DERIVADAS............................................................................................................................61 MEDIDAS DE LONGITUD ..........................................................................................................................62 UNIDADES DERIVADAS............................................................................................................................62 MEDIDAS DE SUPERFICIE .........................................................................................................................62 MEDIDAS DE VOLÚMEN ..........................................................................................................................62 MAGNITUDES VECTORIALES. ................................................................................................... 65 VECTORES............................................................................................................................................66 COMPONENTES DE UN VECTOR. ...............................................................................................................68 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE VECTORES .....................................................................................................68 MÉTODO DE LA POLIGONAL. .............................................................................................................68 MÉTODO DEL PARALELOGRAMO ........................................................................................................69 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR. .............................................................................................71 VECTORES EN EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES. .....................................................................72 PERÍMETRO, SUPERFICIE Y VOLÚMEN ..................................................................................... 74 PERÍMETRO ............................................................................................................................ 74 LONGITUDES DE CIRCUNFERENCIAS Y ARCOS ...............................................................................................74 CUADRO DE PERÍMETROS DE UNA FIGURA .................................................................................................75 ACTIVIDADES .......................................................................................................................................76 SUPERFICIE DE FIGURAS PLANAS ............................................................................................. 77 CUERPOS GEOMÉTRICOS......................................................................................................... 79 CLASIFICACIÓN .....................................................................................................................................81 POLIEDROS PLANOS REGULARES ...............................................................................................................81 TETRAEDRO .........................................................................................................................................82 HEXAEDRO O CUBO ...............................................................................................................................82 OCTAEDRO ..........................................................................................................................................83 DODECAEDRO.......................................................................................................................................83 ICOSAEDRO ..........................................................................................................................................83 POLIEDROS PLANOS IRREGULARES ............................................................................................................85 PRISMAS .............................................................................................................................................85 PIRÁMIDES...........................................................................................................................................85 CUERPOS REDONDOS .............................................................................................................................87 ESFERA ...............................................................................................................................................87 CILINDRO .............................................................................................................................................87 CONO .................................................................................................................................................88 CONO TRUNCADO .................................................................................................................................89 ACTIVIDADES .......................................................................................................................................90 TABLA DE VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS ...............................................................................91 6 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. TRIGONOMETRÍA.................................................................................................................... 93 TRIGONOMETRÍA ..................................................................................................................................93 SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES........................................................................................ 93 SISTEMA SEXAGESIMAL ..........................................................................................................................93 SISTEMA CIRCULAR O RADIAL ...................................................................................................................94 CORRESPONDENCIA ENTRE LOS DOS SISTEMAS ANTERIORES ...........................................................................94 GRÁFICO DE EQUIVALENCIA ENTRE LOS DOS SISTEMAS ..................................................................................95 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ....................................................................................................................95 TEOREMA DE PITÁGORAS ........................................................................................................ 96 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................ 98 SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA SEGÚN EL CUADRANTE .....100 RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES .............................................................. 101 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS .................................................................... 102 7 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. RAZONES – PROPORCIONES - ESCALA CONTENIDOS: Concepto de razón y proporción. Extremos y medios, propiedad fundamental. Proporcionalidad directa e inversa. Ejercicios. Proporción Aurea. Teorema de Thales. Aplicación. Proporcionalidad a segmentos. Escala: aplicación. ejemplos. Determinación de la escala más adecuada para la confección de planos. Aplicaciones. RAZONES Y PROPORCIONES NUMÉRICAS RAZÓN Dados en un cierto orden dos números a y b 0 se llama razón entre a y b, al número n, cociente entre ambos números. a Razón: n b Al primer número "a" se le llama antecedente de la razón y al segundo "b" se le llama consecuente. Ejemplo: En su actividad normal el corazón de un adulto late alrededor de 70 veces por minuto, mientras que el de un recién nacido alcanza 140 latidos por minuto. números de latidos del corazón del recién nacido 140 2 números de latidos del corazón del adulto 70 Respuesta: la razón de latidos entre un adulto y un recién nacido es igual a 2 PROPORCIÓN Dados en un cierto orden cuatro números a, b, c y d 0, se dice que forman proporción cuando la razón entre los dos primeros a y b es igual a la razón entre los dos últimos c y d; es decir que una proporción es una igualdad entre dos razones. a c (I) b d Los números a y d se llaman extremos de la proporción y los números c y b, medios. 8 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. La proporción (I) se llama proporción ordinaria. Al extremo d se le llama cuarto proporcional. Una proporción se dice continua cuando los medios son iguales. Al extremo c se le a b llama tercero proporcional y al medio b se le llama medio proporcional: b c Ejemplos 3 9 Proporción ordinaria 6 18 8 4 Proporción continua. 4 2 PROPIEDAD FUNDAMENTAL El producto de los medios es igual al producto de los extremos. Se llaman medios a los números b y c, se llaman extremos a los números a y d. a.d = b.c De una proporción se pueden deducir otras: a c (I) b d b d 1. Invierto sus razones en (I): a c d c 2. Permuto sus extremos en (I): b a a b 3. Permuto medios en (I): c d c a 4. Permuto razones en (I): d b d b 5. Permuto razones en (1): c a c d 6. Permuto razones en (2): a b b a 7. Permuto razones en (3): d c 8. Se le llama Serie de razones iguales a la igualdad de dos o más razones: a c e g b d f h En la vida cotidiana se pueden encontrar muchas magnitudes que se relacionan entre sí mediante una proporción (velocidad, tiempo, peso, precio, etc). EJEMPLOS DE APLICACIÓN 9 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 1) La velocidad media de un automóvil es 4 veces la de un ciclista; Si el auto tarda 50 minutos en recorrer 84 km, ¿Cuánto tardará el ciclista en recorrer 63 km? Recordando que la velocidad media de un móvil se define espacio recorrido e V med. = tiempo empleado t 84 km Vmed auto = 50 min Partiendo de los datos aportados por el problema donde: Velocidad del auto = 4 Velocidad del ciclista 84 km 63km 4. 50 min Tiempo ciclista operando en esta proporción y "despejando" tiempo ciclista = 4.63km.50min 150min = 2,5 hs 84km 2)Un rectángulo mide 50 cm de ancho y 20 cm de alto. Hallar la razón entre su anchura y su altura. ¿Qué nos indica la razón? Solución: Calculamos el cociente anchura del rectángulo/altura = 50cm/20cm=2.5 La razón es 2,5 e indica que la anchura es 2,5 veces la altura 3) Una chica tiene 15 años y su padre 45.Hallar la razón entre la edad de la hija y la edad del padre. Explica qué significa la razón. Solución: Calculamos el cociente edad hija/edad padre = 15/45 = 1/3 La razón es 1/3 e indica que la edad de la hija es la tercera parte de la edad del padre. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES E INVERSAMENTE PROPORCIONALES PROPORCIONALIDAD DIRECTA Dos magnitudes son directamente proporcionales si al el doble, triple de la primera le corresponde doble, triple de la segunda... La constante de proporcionalidad directa, k, es el cociente entre una cantidad cualquiera de la 2ª magnitud y la correspondiente de la 1ª. Magnitud 1 Magnitud 2 0,5 1,5 1 3 1,5 4,5 2 6 3 9 10 30 10 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. k= 0,5 3 4,5 6 9 30 = 1 = 1,5 = 2 = 3 = 10 1,5 k= 3 Piensa: ¿ Qué quiere decir? La edad de una persona y su peso ¿son magnitudes directamente proporcionales? REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA. FORMAS DE RESOLVER EJERCICIOS: 1) Ver que las dos magnitudes son directamente proporcionales. 2) Se escribe: Magnitud 1 Magnitud 2 Dato: a ___________ b Pregunta: c ___________x 𝑐.𝑏 3) Se calcula: x= 𝑎 Ejemplo: Si 8 kilos de manzanas valen $10,40 ¿cuánto costarán 13 kilos? 1ª magnitud 2ª magnitud (las mismas unidades deben quedar verticalizadas) Nº kilos Pesos 8 kg___________ $10,40 13𝑘𝑔 .$10,40 13 kg ___________x $ ⇒ x= =$16,90 8𝑘𝑔 Solución: 13 kg de manzanas costarán $16.90 pesos. PROPORCIONALIDAD INVERSA En algunas ocasiones dos magnitudes están relacionadas de modo que cuando aumenta una, la otra disminuye. Lo hacen de forma proporcional, es decir, que al multiplicar una de ellas por un número la otra queda dividida por el mismo número. Estas magnitudes están relacionadas por una proporcionalidad inversa, o bien son inversamente proporcionales. REGLA DE TRES INVERSA Ejemplo: Un coche circulando a 90 km/h ha tardado 12 horas en realizar un viaje. ¿Cuánto tiempo tardará en el mismo trayecto a una velocidad de 80 km/h? 1ª magnitud 2ª magnitud Km/h horas 90 Km/h _____ 12h 90 Km/h·12ℎ 80 Km/h ______ x⇒ =13,5h 80 Km/h 11 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Solución: Tardará 13,5 horas en realizar el mismo trayecto a una velocidad de 80 km/h. EJERCICIOS PROPUESTOS 1) Dados las siguientes tablas incompletas y las siguientes expresiones matemáticas y k a) k b) y x x Tabla 1 x y 3 6 4 15 -5 -10 Tabla 2 x y 1 4 2 0,8 -4 -1 1/2 2) Indique si las siguientes magnitudes son directa (MD) o inversamente proporcionales (MI) - Las horas trabajadas de un empleado con el sueldo correspondiente.............................. - La cantidad de máquinas que produce un producto y el tiempo que tardan en producir ............................... - La velocidad que un móvil emplea para recorrer cierto espacio y el tiempo empleado ............................... - La longitud del lado de un cuadrado y la superficie de dicho cuadrado............................. - El número de personas que viajan en un remis y la cantidad dinero que deberá pagar cada uno............................... 3) Una tubería tiene una fuga de agua y pierde 322 litros de agua cada 7 minutos. ¿En cuánto tiempo se perderán 2300 litros? 4) Un rectángulo tiene 25 centímetros de base y 18 centímetros de altura. ¿Qué altura deberá tener un rectángulo de 15 centímetros de base para que tenga la misma superficie? 5) Seis obreros enlosan 1200 m2 en 4 días. ¿Cuántos metros cuadrados enlosarán 12 obreros en 5 días? 6) En una campaña publicitaria 6 personas reparten 5000 folletos en 5 días. ¿Cuántos días tardarán 2 personas en repartir 3000 folletos? 7) Para construir 4 casas iguales en 30 días hacen falta 60 albañiles. ¿Cuántos albañiles se necesitarán para construir 6 casas en 90 días. 8) Para imprimir unos folletos publicitarios, 9 impresoras han funcionado 8 horas diarias durante 40 días. ¿Cuántos días tardarán en imprimir el mismo trabajo 6 impresoras funcionando 10 horas diarias? PROPORCIÓN AÚREA Durante los últimos siglos, creció el mito de que los antiguos griegos estaban sujetos a una proporción numérica específica, esencial para sus ideales de belleza y geometría 12 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. (creían que la proporción conducía a la salud y a la belleza). Dicha proporción es conocida con los nombres de razón áurea ó divina proporción. Esta brillante mística está totalmente vinculada a Pitágoras filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón, pudiéndose demostrar la proporción que Platón había denominado “la sección” y que más tarde se conocería como “sección áurea”, en la Edad Media, la sección áurea era considerada de origen divino: se creía que encarnaba la perfección de la creación divina. Ésta, constituía la base en la que se fundaba el arte, el diseño y la arquitectura, donde se considera agradable la proporción entre longitud y anchura de aproximadamente 1,618, uno de los ejemplos más renombrado es el diseño del Partenón de Atenas. Por ello y muchos más motivos, podemos afirmar que toda armonía puede se expresada por este números, y podemos encontrarlo con sorprendente frecuencia en las estructuras naturales como también en aquellas creadas por el hombre, sus extrañas propiedades son la causa de que la Sección Áurea haya sido considerada históricamente como divina en sus composiciones e infinita en sus significados. A simple vista podemos apreciar el equilibrio que nos brinda la proporción, la que Luca Paccioli matemático italiano (uno de los grandes tratadistas del siglo XV en álgebra y aritmética, que desarrollaba para aplicar en el comercio) llamaba Proporción divina; Kepler que es el primero que menciona su interés en botánica y para el cual, es una joya preciosa, uno de los tesoros de la Geometría ( el otro tesoro es el teorema de Pitágoras), la llama también Sección Divina; Leonardo Da Vinci le da el nombre de Sección Áurea o Sección Dorada y la de Numero de Oro estos son los nombres con los que podemos encontrar esta proporción divina. Podemos resumir estas concepciones, exponiendo que en el mundo perceptible donde solo la estructura, la forma y el ritmo, tienen un carácter de realidad, en el mismo modo que en el dominio de las ideas puras; este número, es la esencia de la forma o la forma por excelencia. La existencia de un número nada fácil de imaginar convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la época griega como ya dijimos y hasta nuestros días en el arte y el diseño. RAZON AÚREA Y SUS APLICACIONES Como ya dijimos: razón es la relación en lo que se refiere a la dimensión entre dos magnitudes homogéneas; la proporción es la igualdad de razones. SEGMENTO AÚREO Un segmento es una recta comprendida entre dos puntos A y B llamados extremos. Dado el segmento 𝐴𝐵, 13 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Se trata de encontrar el punto C entre A y B tal que la razón de 𝐴𝐵 a 𝐴𝐶 es igual que la razón de 𝐴𝐶 a 𝐶𝐵. A esta razón se le llama razón áurea, y la denotaremos por (Fi) que es la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras. Simbólicamente. Razón Aúrea: 𝐴𝐵 𝐴𝐶 𝐴𝑐 = 𝐶𝐵 Razón Aúrea= Φ (Número de Oro) Esta partición asimétrica obtenida, es la más directa, más general y más armoniosa, por su característica basada en la razón de la “sección Áurea”. NÚMERO DE ORO : ¿Qué es y de dónde proviene el Número de Oro? El número de oro es el valor de la sección Aúrea, matemáticamente, como ya dijimos anteriormente nace de plantear la proporcionalidad entre dos segmentos: "Buscar dos segmentos tales que el cociente entre el segmento mayor a y el menor b sea igual al cociente que resulta entre la suma de los dos segmentos y el mayor". a b c Expresado matemáticamente: a a b = b a Es decir: segmento mayor segmento menor segmento total segmento mayor A esta razón, Euclides lo llamo “división de una longitud en media y extrema razón”, siendo esto la divina proporción, pudiéndose alcanzar el valor numérico del “numero de oro”. Podemos obtener el número a partir de la expresión anterior: a a b = b a Dividimos por “b” los dos términos del segundo miembro. 14 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 𝑎 = 𝑏 (𝑎 + 𝑏) 𝑎 +1 𝑏 =𝑏𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 Si ponemos a = x ; reemplazamos en la expresión anterior nos queda : b x 1 x por lo que, x 2 x 1 o bien x 2 x 1 0 x Esta última, es una ecuación completa de segundo grado en x, cuyas raíces se pueden encontrar por la formula: x1,2 b b2 4.a.c de donde 2.a x1 5 1 2 x2 5 1 2 Como valor de la razón buscada elegimos: a 5 1 1.618003398.... (fi)es el numero de oro b 2 “Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos el segmento es el número de oro”. Este valor es un número algebraico inconmensurable trivial a primera vista, posee características casi únicas entre los números de esta clase por lo que se lo llamo “Número de Oro” .Este número, es un número irracional y ha sido tema de estudio de matemáticos, físicos, filósofos, arquitectos, pintores y músicos desde la antigüedad. RECTÁNGULO AÚREO Un rectángulo áureo es aquél en el que la razón de las longitudes de sus lados es . i a m b c 15 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Para construir un rectángulo áureo: 1. Se dibuja un cuadrado. 2. Se toma el punto medio m de uno de sus lados (en este caso lado 𝒂𝒃). 3. Unimos este punto con uno de los vértices del lado opuesto. 4. Se traza un arco de circunferencia con centro en m y radio 𝒎𝒊 (donde i es 5. el punto de intersección de la circunferencia con el vértice superior derecho del cuadrado). 6. Se prolonga el lado 𝒂𝒃 hasta el punto de intersección c con la circunferencia 7. Obteniendo así el lado mayor del rectángulo. Un rectángulo áureo tiene la propiedad de que se puede dividir en un cuadrado y un rectángulo de manera que este último es también un rectángulo áureo. Este nuevo rectángulo puede ser a su vez dividido en un cuadrado y un nuevo rectángulo áureo. Si iteramos este proceso indefinidamente dibujando arcos de circunferencia en los cuadrados que vamos obteniendo, se obtiene una ESPIRAL ÁUREA cuyo centro está en la intersección de las dos diagonales dibujadas en azul. En realidad esta curva no es una espiral puesto que está formada por arcos de circunferencia pegados. Es una aproximación de una espiral logarítmica. Observamos que cada rectángulo (o cuadrado) es semejante al inmediatamente inferior en tamaño pero veces mayor (y rotado 90º alrededor del centro de la espiral). Por tanto un giro de 90º compuesto con una homotecia de razón dejaría invariante la espiral. La espiral logarítmica es el único tipo de espiral que mantiene su forma al ser reescalada. Este hecho explica porque existen numerosas formas en la naturaleza que siguen esta pauta; por ejemplo, semillas de flores como el girasol y conchas. Por otra parte, los fenómenos de crecimiento biológico presentan frecuentemente pautas relacionadas con la sucesión de Fibonacci. Éstas aparecen, por ejemplo, en distribuciones de hojas alrededor de tallos o de pétalos en flores. 16 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. SUCESION DE FIBONACCI: La sucesión de Fibonacci es una secuencia infinita de números que comienza por: 1, 1, 2, 3, 5,8,13..., en la que cada uno de ellos es la suma de los dos anteriores. Así: 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2, 13=8+5 . Para cualquier valor mayor que 3 contenido en la secuencia, la proporción entre cualesquiera dos números consecutivos es 1,618 o Sección Áurea. La sucesión presenta diversas regularidades numéricas y hemos calculado los primeros catorce términos: t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 t11 t12 t13 t14 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 PROPORCIONES EN EL CUERPO HUMANO La percepción de las proporciones humanas ha variado a lo largo de las épocas. Uno de los primeros documentos escritos sobre las proporciones humanas es de Marcus Vitruvius Pollio, arquitecto y escritor romano del siglo I. El estudio de las proporciones en el cuerpo humano también ha interesado a numerosos artistas y matemáticos. Uno de los dibujos más conocidos de Leonardo da Vinci es el hombre de Vitruvio, en el que muestra una visión del hombre como centro del Universo al quedar inscrito en un círculo y un cuadrado. En él se realiza un estudio anatómico buscando la proporcionalidad del cuerpo humano, el canon clásico o ideal de belleza. Durante la gran época de la arquitectura griega, el cuerpo humano fue considerado como el ejemplo vivo más perfecto de simetría y proporción, debiendo servir a la arquitectura de inspiración, de modelo para la composición de sus trazados. 17 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Un ejemplo de proporción humana armoniosa que el mismo Vitruvio menciona es la altura que, en el hombre bien formado, es igual a la amplitud de sus brazos extendidos. Estas medidas iguales generan un cuadrado que abarca todo el cuerpo, en tanto que las manos y los pies desplazados tocan un círculo centrado en el ombligo. Esta relación del cuerpo humano con el círculo y el cuadrado se asienta en la idea arquetípica de la cuadratura del círculo, que fascinó a los antiguos, porque esas formas se consideraban perfectas e incluso sagradas, tomándose el primero como símbolo de las orbitas celestiales y segundo como representación de la cuadrada "solidez de la tierra. Los dos combinados en el cuerpo humano sugieren, en el lenguaje simbólico de los modelos, que aunamos en nosotros las diversidades del cielo y de la tierra, idea compartida por muchas mitologías y religiones. Cuando el Renacimiento redescubrió la vigencia clásica de Grecia Roma, Leonardo da Vinci ilustró con su famoso dibujo la versión de esta idea expuesta por Vitruvio. Leonardo en su Tratado de la pintura (Proporciones y Movimientos del Cuerpo Humano) menciona lo siguiente: - Todos los hombres alcanzan al tercer año de vida la mitad de la altura que tendrán cuando sean adultos. Si un hombre que mida dos brazas(medida de longitud equivalente a 1.6718) es pequeño y uno que mida cuatro es grande en demás, habrá de admirarse el término medio. Tres es el término medio entre dos y cuatro. Toma entonces un hombre de tres brazas de alto, modelo según las reglas que he de brindarte. Si crees que puedo estar equivocado, tomando por proporcionado a un hombre que no lo es en absoluto, respondo que veras muchos hombres que midan tres brazas de alto, y a un número todavía mayor que tengan miembros regulares. Debes medir al más proporcionado. - El largo de la mano es la tercera parte del brazo y entra nueve veces en la altura de un hombre, lo mismo sucede con el rostro y los espacios que están comprendidos entre la juntura del hombro y las clavículas, entre la tetilla y el hombro, entre una y otra tetilla y entre cada tetilla y la anterior juntura. - La distancia que hay entre la base de la nariz y el principio de la boca es un séptimo del rostro. - La distancia que hay entre la boca y la línea del mentón es un cuarto del rostro y es equivalente al largo de la boca. - La distancia que hay entre el puente de la nariz, de donde parten las cejas, y la línea del mentón, es igual a dos tercios del rostro. - La distancia entre la línea de la boca y el nacimiento del mentón, allá donde comienza el labio inferior, es un tercio de la distancia que hay entre la línea de la boca y la línea inferior del mentón, así como es, también, la doceava parte de la cara. La distancia que hay entre el nacimiento del mentón y su base, por otra parte, es igual a la fracción sexta de la cara y a la cincuenta y cuatroava parte del alto total de una persona. Desde la boca hasta la línea inferior del mentón hay un cuarto del rostro, al igual que desde la saliente última del mentón hasta la garganta. - La distancia entre el mentón y la nuca es igual a la que hay entre la boca y el nacimiento del cabello, esto es: tres cuartos de la cabeza. 18 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. - - La distancia entre el mentón y la quijada es equivalente a la mitad de la cabeza, así como al ancho del cuello. El ancho del cuello entra una vez y tres cuartos en la distancia que media entre las cejas y la nuca. La distancia entre la inserción de una oreja y de la otra es igual a la que hay entre el mentón y el entrecejo. En un rostro hermoso, la boca es tan grande como la distancia entre la línea de los labios hasta la línea inferior del mentón. La depresión o línea que hay debajo del labio inferior, se ubica en la mitad de la distancia entre línea inferior del mentón y la base de la nariz. EJERCICIO: Elije: Uno de los ítems del texto anterior y escribe la proporción correspondiente. Resuélvelo Un par de segmentos y plantea una proporción. Resuélvelo LOS DISEÑOS Y LA BELLEZA EN LAS MEDIDAS Como ya vimos, muchos consideran que los rectángulos de sección de oro son más armoniosos y placenteros a la vista y el número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, folletos, partes de nuestro cuerpo, etc. Veremos algunos de los tantos ejemplos de aplicación de cada una de las disciplinas. 19 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. DISEÑO INDUSTRIAL DISEÑO GRÁFICO 20 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ARQUITECTURA El Partenón es el templo griego situado en la Acrópolis de Atenas dedicado a Atenea Parthenos, diosa protectora de la ciudad de Atenas. Es el monumento más importante de la civilización griega antigua y se lo considera como una de las más bellas obras arquitectónicas de la humanidad. Es uno de los principales templos dóricos que se conservan. Mide 69,5 x 31 m en planta y 18 metros de altura. Su ancho y alto están en una proporción aúrea, que también se repite en todas las líneas de construcción una y otra vez. Torre Eiffel 21 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Pirámide de Keops Catedral de Notre Dame ACTIVIDADES Actividad 1 Calcule x en las siguientes proporciones. 21 x 6 (Rta. x= 21/11 ) 3 11 7 14 2 8 1. (Rta. x= 1 ) x 1 2 3 4 2. (Rta. x= 20) 15 x 0,5 x 3. (Rta. x1= +0,25; x2 =-0,25) x 0,125 Actividad 2 Aplique la propiedad fundamental de las proporciones y calcule x. x 1 2 1. (Rta. x= -3) x 3 5 3 2. (Rta. x= 9/13) 3 x 2x 1 x 3 x (Rta. x= -1/18) 3. 14 2 22 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. TEOREMA DE THALES: Alguien le preguntó a Thales ¿cómo procedería para calcular la altura de la pirámide de Keops? El matemático le respondió: “clavaré en la arena un bastón cuya longitud (h) conozco, y mediré su sombra(s). A esa misma hora, mediré la sombra que proyecta la pirámide (S)y así determinaré la longitud del segmento(H) La razón entre la altura de la pirámide y la sombra de ella es igual a la razón entre la longitud del bastón y su sombra”. Es decir: H h h.S de donde la altura de la pirámide será: H= S s s TEOREMA DE THALES “Si 3 o más paralelas son cortadas por dos transversales, dos segmentos cualesquiera de una de éstas son proporcionales a los dos segmentos correspondientes a la otra”. 23 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. a // b // c // d OP MN PQ NT OP + PQ= ST Nota: Cuando mencionamos 𝑂𝑃 nos referimos a la longitud de dicho segmento. Idem para el resto de los segmentos. CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE THALES s A B r Si dos rectas r y r’, concurrentes en O, son cortadas por dos rectas paralelas AA´ y BB´, entonces: OA AB OB OA´ A´B´ OB´ O A´ B´ r´ El teorema antes mencionado hace posible los siguientes cálculos: 1) División de un segmento en partes iguales. 2) Construcción de un segmento que sea: - a c Cuarto proporcional a otros tres dados: b x a b Tercero proporcional a otros dos segmentos dados: b x - Dividir un segmento AB en dos partes tales que su razón sea a/b. 3) Semejanza de polígonos en general. - Proporcionalidad de los perímetros de polígonos semejantes. - Proporcionalidad de superficie de polígonos semejantes. 4) Escalas. - 24 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1) Dado el segmento AB dividirlo en 3 partes iguales. R Q P A N M B Una vez trazado el segmento AB , se traza una semirrecta formando un ángulo agudo cualquiera, que pase por alguno de los extremos del segmento a dividir, en este caso pasa por A; sobre esta recta auxiliar y a partir de A se marca un segmento unidad (AP) y se lo repite dos veces más (AR), quedando determinados los puntos A,P,Q,R. Se une R con B y luego se trazan paralelas a esta última recta por los puntos Q y P , determinando los puntos N y M. Se obtiene: AN = NM = MB 1) Dados tres segmentos encontrar el cuarto proporcional - a c Dados tres segmentos a, b, c encontrar el cuarto segmento x que cumpla b x Sobre una recta se trasladan los Datos Procedimiento segmentos a y b, sobre otra recta que Q forme un ángulo agudo con la P anterior y por el origen de a, se marca el segmento c. Se traza la recta PM y luego por N se traza una a b c o M N paralela a la anterior, quedando determinado el segmento PQ =x. OM =a MN =b OP =c PQ =x 2) Dados dos segmentos encontrar el tercero proporcional que cumpla Esta construcción es un caso particular del anterior cuando b=c Sobre una recta se trasladan los Datos Procedimiento segmentos a y b, sobre otra recta que forme un ángulo agudo con la Q anterior y por el origen de a, se P marca nuevamente el segmento b. Se traza la recta PM y luego por N a b o M N se traza una paralela a la anterior, quedando determinado el segmento OM =a MN =b OP = b PQ =x PQ =x. 3) Dado un segmento AB dividirlo según una razón dada; en este caso 2/3. 25 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Por A se traza una semirrecta que forma con AB un ángulo agudo. Se elige sobre esta última recta un segmento arbitrario (a)y se lo transporta dos veces consecutiva sobre la semirrecta; quedando determinado el punto P; luego se marcan tres veces consecutivas más, a partir de P, quedando determinado el punto Q. Unimos Q con B; por P se traza una paralela a la QB, que determina sobre AB un punto R. Este punto divide el segmento en la razón pedida, donde AR =x ; RB = y. Por el corolario del Teorema de Thales x AP 2 ya que por construcción y PQ 3 AP 2 ; PQ 3 Datos long AB y la razón 2/3 Q P A R B Actividad 3 Si la razón de los perímetros de dos hexágonos semejantes es igual a la razón de dos cualesquiera de sus lados homólogos, escriba dicha proporción y dibuje aproximadamente la situación. Analice que sucede con la superficie de dichos hexágonos. ¿Cómo es la relación de superficies entre ambos? Actividad 4 Aplique el teorema de Thales para encontrar los segmentos pedidos. 1. Dado def y A // de . A d t f p e Encuentre y las longitudes fp y pe sabiendo que: Long. fp = x ; long. pe = x+3; long. ft = 4 cm; long. td = 6 cm (Rta. x=6= fp ; pe =9 ). 2. T d e f T´ a M b N cP Hallar la longitud ab sabiendo que: long. ac = 25 cm long. df = 16 cm long. ef =3,2 cm (Rta. ab = 20) 26 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS El concepto de semejanza de triángulos significa que dos triángulos de medidas diferentes, guardan una cierta proporcionalidad entre ellos. Dicha proporcionalidad entre triángulos se da cuando todas las partes (lados y ángulos) de esas figuras son proporcionales entre sí. Para ver que dos triángulos son semejantes basta con comprobar uno de los siguientes criterios de semejanza: Criterio 1 Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. Dos triángulos son semejantes si tienen los tres ángulos iguales. 𝐴= 𝐴 ′ 𝐵 = 𝐵′ 𝐶= 𝐶 ′ Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual. La razón de semejanza se denomina k EJEMPLO: 1. Razona si son semejantes los lados de los siguientes triángulos 27 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 2. Razona si son semejantes los ángulos de los siguientes triángulos 3. Razona si son semejantes los siguientes triángulos DIFERENCIA ENTRE SEMEJANZA Y CONGRUENCIA. Congruencia de triángulos se da cuando dos triángulos son exactamente iguales en todos los sentidos, es decir, miden lo mismo y tienen los mismos ángulos. Semejantes son los triángulos que no son idénticos pero guardan una proporción (o escala) en sus lados y ángulos. ESCALA. La representación de objetos a su tamaño natural no es posible cuando éstos son muy grandes o cuando son muy pequeños. En el primer caso, porque requerirían formatos de dimensiones poco manejables y en el segundo, porque faltaría claridad en la definición de los mismos. Esta problemática la resuelve la ESCALA, aplicando la ampliación o reducción necesarias en cada caso para que los objetos queden claramente representados en el plano del dibujo. La Escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones reales y las del dibujo que representa la realidad sobre un plano o mapa. Las escalas se escriben en forma de razón donde el antecedente indica el valor de las medidas del plano y el consecuente, el valor de las medidas en la realidad. Escala = long. del dibujo Long. Real Despejando la fórmula obtenemos: long. del dibujo= Escala. Long. Real 28 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Long. Real = long. del dibujo Escala La proporción relativa entre elementos debe ser equilibrada, lo que implica el uso de una escala correcta en la composición. Esta representación gráfica que se hace, cuidando de conservar exactamente la forma, es necesaria, para que el objeto y su representación sean semejantes. Por lo general, de distinto tamaño que el objeto real; pero como la forma debe conservarse, las relaciones entre las dimensiones reales y las correspondientes a la representación deben ser constantes. Así por ejemplo, si a una longitud de 15 m corresponde en la representación una longitud de 5 cm, la escala del plano es: 5 cm = 5 cm = 1 15 m 1500cm 300 Esto significa que una longitud del dibujo es 300 veces menor que la correspondiente a la longitud real. EJEMPLOS DE ESCALAS NORMALIZADAS 29 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 30 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. EJEMPLO: 1 o también Esc=1:100, esto 100 significa que cada unidad del dibujo, representa 100 unidades de longitud en el objeto real. Si queremos calcular las dimensiones reales de una de las habitación es a partir del dibujo, será: El siguiente plano corresponde a una casa en Esc= long. dibujo = 4,8 cm(medir con la regla) 1 4,8cm long dibujo reemplazando 100 x Long real 100.4,8 cm 480 cm 4,8 m Despejando x 1 La otra medida de la habitación es: long dibujo =3 cm. Aplicando el mismo procedimiento obtendremos Long real = 3m Esc. = 31 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ACTIVIDAD 1 1. Calcular la longitud en el mapa correspondiente a una distancia de 18.5 km. Representada en escala 1/500000. (Rta: long. en el mapa = 3,7cm) 2. Calcular la longitud real en metros que corresponde a una distancia de 4.9 cm en un plano cuya escala es de 1/ 1750.(Rta. L=85,75m ) 1 3. Calcular la escala de un plano que hace corresponder 190 dm a 5,7 km(Rta. Esc. = ) 300 4. Un terreno rectangular tiene por dimensiones 300 m de largo y 125 m de ancho. ¿Qué dimensiones tienen en la representación gráfica si se usa una escala 1/1000? (Rta. 30 y 12,5 cm) 5. Si en un mapa en escala 1/ 4000000 la distancia entre dos ciudades corresponde 4 cm ¿Cuál es la distancia efectiva expresada en kilómetros?(Rta. L real=160 km) 6. Dibuje el plano del terreno del ejercicio 4 en escala 1/2500. MÁS EJERCICIOS PARA PRACTICAR A. Resuelva los siguientes problemas de proporciones: a) Tres arquitectos invirtieron $ 30.000, $ 40.000 y $ 50.000para construir algunos departamentos que luego vendieron. Una vez que recuperaron los gastos deciden repartir la ganancia de $15.000 proporcional al dinero que cada uno invirtió. ¿Cuánto le toca a cada uno? b) En un edificio de propiedad horizontal las expensas se liquidan en forma proporcional al área de cada departamento. Este mes las expensas totales ascienden a $ 1116. Si las áreas de cada uno de los cincos departamentos son: U1=60m 2, U2=54m2,U3=72m2, U4=90 m2, y U5= 96 m2. ¿Cuánto debe abonar en concepto de expensas cada propietario? c)Una empresa de transporte de realiza un recorrido entre tres pueblos cuya ubicación aproximada está dada por el siguiente esquema. - Realice un plano en escala 1/120000 del recorrido aproximado. 6,6 km 3900m 840dam - Si realiza cuatro viajes completos diarios, cuantos km recorre al terminar el día. Si gasta 10 l de gasoil cada 100 km, cuanto es lo mínimo que debe tener en el tanque al comenzar la primera jornada y que le permita realizar el trabajo durante tres días. 32 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. GEOMETRÍA. CONTENIDOS: Entes geométricos fundamentales: punto, línea y plano. Relaciones fundamentales. postulados. ejercitación. Elementos geométricos en el plano: semirrectas, segmentos semiplanos, ángulos y rectas. ejercitación. ENTES GEOMÉTRICOS FUNDMENTALES La geometría se basa en tres conceptos fundamentales que se aceptan sin definirlos y que forman parte del espacio geométrico. Estos elementos son: PUNTO: Es el elemento más importante de él se derivan los otros elementos fundamentales: la línea y el plano. Es la unidad indivisible de la geometría, no tiene dimensión (largo, alto, ancho). Se dice que el punto tiene posición en el espacio, pero no extensión. Cada punto es un elemento del espacio geométrico y lo designaremos con una letra imprenta mayúscula y se representa con un pequeño círculo o cruz. LÍNEA: Es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento. Tiene una sola dimensión. Cada recta es un conjunto de puntos alineados; la designaremos con una letra minúscula imprenta. Una recta no tiene ni origen ni fin. Una línea puede extenderse en forma ilimitada y puede ser: recta, curva o combinada (mixta). Línea Recta: Es una figura geométrica que se genera cuando una sucesión puntos se mueve sin cambiar de dirección. Se describe como la presentación gráfica de las infinitas posiciones de un punto que se mueve siempre en la misma dirección. La recta es la línea más corta que puede trazarse entre dos puntos. 33 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Línea Curva: Es una figura geométrica dada por una sucesión de puntos que cambian continuamente de dirección. a b Línea Mixta: Es una figura geométrica dada por una sucesión de puntos que combinan en un sólo trazo líneas curvas y líneas rectas. c PLANO: Un plano es una superficie que tiene largo y ancho pero no espesor, por lo tanto tiene 2 dimensiones. Se representa con una porción del mismo y se lo designa con una letra del alfabeto griego. RELACIONES FUNDAMENTALES Los tres conceptos anteriores están relacionados a través de las relaciones de pertenencia e inclusión: 34 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Los puntos pertenecen a las rectas y los planos. Las rectas están incluidas en los planos. r∩α POSTULADOS Se llaman postulados a aquellas propiedades que satisfacen los elementos geométricos que se aceptan sin demostrar y que surgen de la simple observación. 1. Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos planos. 2. Todo punto pertenece a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas. El conjunto de rectas que concurren en un punto se denomina haz de rectas. 35 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 3. Toda recta está incluida en infinitos planos ya que por una recta pasan infinitos planos. El conjunto de planos que pasa por una recta se denomina haz de planos. 4. Dos puntos determinan una y sólo una recta a la cual pertenecen. 5. A una recta pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella. 6. Una recta y un punto fuera de ella determinan un plano de modo que el punto pertenece al mismo y la recta está incluida en él. 36 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 7. La recta determinada por dos puntos de un plano está incluida a dicho plano. También puede enunciarse como: Dos puntos incluidos en un plano determinan una recta que está incluida en el plano. 8. A un plano pertenecen infinitos puntos y existen también infinitos puntos que no pertenecen a ella. 37 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ELEMENTOS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO SEMIRRECTA Es un conjunto infinito de puntos, que está limitado por uno de sus extremos; tiene principio pero no fin. Si marcamos nuestra recta definiendo sólo un punto inicial, entonces tenemos una semirrecta. El punto O, divide nuestra recta en dos partes, formando dos semirrectas. Es importante saber que el punto O, no pertenece a las semirrectas, sino es sólo la frontera entre las dos semirrectas. Se denomina origen al punto O que da lugar a dos semirrectas opuestas. Para diferenciar las semirrectas, se determinan 2 puntos adicionales, cada uno de los cuales pertenece a cada semirrecta: Semirrecta de origen O que pasa por el punto A. Semirrecta de origen O que pasa por el punto B. Características de las semirrectas Todo punto de una recta pertenece a una de las dos semirrectas o coincide con el origen. La intersección de dos semirrectas opuestas es el punto de origen. La unión de dos semirrectas opuestas es toda la recta. 38 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. SEGMENTOS Dados dos puntos A y B, se llama segmento a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Los puntos A y B se denominan extremos del segmento. TIPOS DE SEGMENTOS Segmentos Consecutivos: Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común. y ningún otro punto en común fuera de éste. Pueden ser: 1- alineados o colineales. 2- No colineales, determinando una poligonal. Los segmentos consecutivos no colineales, llamados poligonal , pueden ser abiertos o cerrados según tengan o no extremos comunes el primer y el último segmento que lo forman. Las poligonales cerradas forman polígonos. E D Poligonal abierta Poligonal cerrada 39 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Segmento nulo: Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden. Ejemplo: un punto SEMIPLANO Toda recta perteneciente a un plano separa al mismo en dos porciones, cada uno de ellos recibe el nombre de semiplano. A la recta que da lugar a los dos semiplanos se la llama frontera o recta de división. Para diferenciar los semiplanos se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los cuales pertenece a cada semiplano: Semiplano respecto a la recta r que contiene al punto A. Semiplano respecto a la recta r que contiene al punto B. Propiedades de los semiplanos Se observa que: La intersección de dos semiplanos determinados por una recta es la recta de división. 40 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. La unión de dos semiplanos determinados por una recta es todo el plano. Todo punto de un plano pertenece a uno de los dos semiplanos o a la recta de división. Todo segmento determinado por dos puntos de distintos semiplanos corta a la recta de división. Todo segmento determinado por dos puntos del mismo semiplano no corta a la recta de división. 41 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ÁNGULOS Cuando dos rectas se cortan, forman en el plano 4 regiones llamadas ángulos. IDENTIFICACIÓN DE UN ÁNGULO Por lo tanto, un ángulo es la porción de plano delimitado por dos semirrectas del mismo origen, y está delimitado por: Un vértice: punto de origen de las dos semirrectas que lo forman. Dos lados: semirrectas cuyo origen forma el vértice del ángulo. Los ángulos se identifican por tres letras donde: La letra central corresponde al vértice. Las otras dos letras son puntos cualesquiera de las semirrectas que lo forman. Dados dos planos se llama ángulo convexo a la intersección del semiplano respecto de la recta que contiene al punto B y el semiplano respecto a la recta que contiene al punto A. 42 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ÁNGULO CONVEXO: Un ángulo convexo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquiera de sus lados, el segmento se encontrará dentro del ángulo. Los ángulos convexos se clasifican en: Agudos Rectos Obtusos Llanos ÁNGULO AGUDO Un ángulo agudo tiene una abertura menor a la del ángulo recto. 43 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ÁNGULOS RECTOS Un ángulo recto es aquel formado por el cruce de dos rectas perpendiculares. ÁNGULO OBTUSO Un ángulo obtuso tiene una abertura mayor a la del ángulo recto. ÁNGULO LLANO Un ángulo llano es aquel cuyos lados son semirrectas opuestas. Todo ángulo llano es igual a dos rectos. ÁNGULO CÓNCAVO Si en cambio, se considera la unión de los dos semiplanos queda determinado un ángulo cóncavo. Si se suprime un ángulo convexo del plano, lo que queda es un ángulo cóncavo. 44 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Un ángulo cóncavo es aquel en el cual, al trazar un segmento uniendo dos puntos cualesquiera de sus lados, el segmento se encontrará fuera del ángulo. Los ángulos cóncavos son mayores que un llano. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos son complementarios cuando la suma de sus amplitudes da como resultado un recto. ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes da como resultado un llano. 45 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ÁNGULOS ADYACENTES Dos ángulos son adyacentes cuando tienen un lado en común y el otro lado está formado por dos semirrectas opuestas. Los ángulos adyacentes son siempre suplementarios, ya que su suma es igual a un llano. Si dos ángulos adyacentes son iguales, ambos son ángulos rectos. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando tienen un vértice en común y sus lados son semirrectas opuestas. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. 46 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales. Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una perpendicular a dicha recta. El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas: Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma. Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma. 47 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes. La distancia entre ellas es siempre la misma. Dado un punto perteneciente a una recta o exterior a ella, por él pasa una y sólo una paralela a dicha recta. El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas: Con regla y escuadra 48 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. RECTAS OBLICUAS Dos rectas son oblicuas cuando se cortan entre sí y forman ángulos diferentes a 90°. r s t t MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular que lo divide en dos segmentos iguales. Por lo tanto, la mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide a un ángulo en dos ángulos iguales. Por lo tanto, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados del ángulo. 49 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ACTIVIDADES 1. Responde y completa: a. ¿Cuáles son los entes geométricos fundamentales? Describa brevemente cada uno y de un ejemplo gráfico. b. Completa con ∁ , ∈ , ∃ , ∄, ∩. Los puntos…………… a las rectas y a los planos. Las rectas están……………….. en los planos. Todo punto………….a infinitas rectas, ya que por un punto pasan infinitas rectas. Toda recta está………… en infinitos planos ya que por una recta pasan infinitos planos. Dos puntos determinan una y sólo una recta a la cual………... A una recta………… infinitos puntos y……….. también infinitos puntos que…………….. a ella. 2. Responde V o F • El punto es una figura de dimensión 2. …………. • La línea es una figura que tiene una sola dimensión………. • La línea se la designa con una letra griega…………. • El plano tiene dos dimensiones……………. • Al plano lo designamos con una letra minúscula imprenta………. • Un plano es una superficie que tiene largo, ancho y espesor……………….. • La recta es un conjunto de puntos alineados que puede extenderse en forma ilimitada y puede ser: recta, curva o combinada (mixta). ………… 2. Define y de un ejemplo de ángulos: suplementarios, complementarios, adyacentes y consecutivos. 3. a. Dibuja tres segmentos consecutivos, no coloniales, poligonal abierta. b. Dibuja un ángulo de 115º y otro de -78º. Clasifíquelo según el tipo de ángulo y coloque la nomenclatura correspondiente. Al primer ángulo trácele su bisectriz. El complemento del ángulo de 115° es............................ y su suplemento................................. 3. Dada la siguiente gráfica: 50 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. a b c d a. b. c. d. Marca con azul 1 par de ángulos consecutivos. Marca con verde un par de ángulos opuestos por el vértice. Marca con negro un par de ángulos adyacentes. Marca, señala con una flecha y escríbele el nombre a un ángulo recto, un ángulo llano y un ángulo de 360º. e. Observa las rectas y completa con la nomenclatura correspondiente si son paralelas, perpendiculares u oblicuas. a…………b c…………a b………...d c…………d 4. Dibuja un segmento 𝐴𝐵 = 7, 5 cm y traza su mediatriz. 5. Averigua los siguientes datos y completa: β = 122º δ= α= γ= 𝑎𝑏 = 5 cm 𝑏𝑐 = 7 cm 𝑐𝑎= c γ δ a α β b Según sus lados es un triángulo………………………….. Según el ángulo δ es un triángulo………………………….. 51 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Su perímetro es………………………….. Su superficie es……………………….. 6. Resuelve 1) β = 35°20’12” β δ = 119°8’5” α= α ξ δ ξ= 2) β = 38°20’50” δ δ= α= α β β 52 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. POLÍGONOS CONTENIDOS: Polígonos. Clases de polígonos. Algunas propiedades de los polígonos. Polígonos regulares convexos. Triángulos. Cuadriláteros. Poligonal Abierta: Si tenemos n puntos no colineales en determinado orden, la figura resultante de la unión de los pares de puntos consecutivos será compuesta de n-1 segmentos y se llama línea poligonal abierta. POLIGONAL ABIERTA Poligonal Cerrada: Si unimos el último punto al primero, la figura constará de n segmentos y se llamará línea poligonal cerrada o polígono POLIGONAL CERRADA DEFINICIÓN DE POLÍGONO La superficie contenida por una línea poligonal cerrada se llama polígono. Los polígonos pueden ser: • Convexos: todos sus ángulos interiores son menores de 180º. • Cóncavos: algunos de sus ángulos interiores son mayores de 180º. . 53 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ELEMENTOS DE UN POLÍGONO Cada uno de los segmentos se denomina lado. El número de lados ha de ser mayor o igual a tres. El punto de unión de cada par de segmentos se denomina vértice. El ángulo formado por dos lados del polígono se denomina ángulo interior. El ángulo formado por un lado cualquiera y la prolongación del lado adyacente se denomina ángulo exterior. El segmento que une dos vértices no consecutivos del polígono convexo se denomina diagonal. CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS 54 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. TRIÁNGULO Un triángulo es un polígono de tres lados. CLASIFICACIÓN Los triángulos se clasifican: Según sus lados en: Equilátero: tres lados iguales Isósceles: dos lados iguales. Escaleno: tres lados desiguales. Según sus ángulos en: Acutángulo: tres ángulos agudos Rectángulo: un ángulo recto Obtusángulo: un ángulo obtuso PROPIEDAD DE LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º. Disponiendo los ángulos del triángulo en forma consecutiva se obtiene un ángulo llano. 55 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Corolarios: En todo triángulo, cada ángulo es igual a 180º menos la suma de los otros dos ángulos. Si en un triángulo un ángulo es rectángulo u obtuso, los dos ángulos restantes son agudos. Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, los terceros también son iguales. PROPIEDAD DEL ÁNGULO EXTERIOR Todo ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. Corolario: En todo triángulo, cada ángulo exterior es mayor que cualquiera de los ángulos interiores. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES En un triángulo se definen cuatro tipos de rectas denominadas, genéricamente, rectas notables. Esas rectas son: • Mediatrices: rectas perpendiculares a cada uno de los lados por su punto medio. • Bisectrices: rectas que dividen a cada uno de los ángulos en dos ángulos iguales. • Medianas: son los segmentos que van de cada vértice al punto medio del lado opuesto. • Alturas: rectas perpendiculares a cada uno de los lados que pasan por el vértice opuesto. En un triángulo tendremos tres rectas de cada tipo. Los puntos de intersección de dichas rectas se denominan puntos notables y son: EL CIRCUNCENTRO es uno de los puntos característicos de un triángulo y es el punto de intersección de las mediatrices de cada uno de los lados. La MEDIATRIZ es la recta perpendicular a un lado por su punto medio. Recibe este nombre por ser el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. MODO DE CONSTRUCCIÓN 1. Se construye el triángulo ABD. 56 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 2. Se construyen las mediatrices de cada uno de los lados. 3. El punto C de intersección de las mediatrices es el circuncentro. 4. La circunferencia de centro C y radio la distancia a uno de los vértices será la circunferencia. EL INCENTRO es uno de los puntos característicos de un triángulo y es el punto de intersección de las bisectrices de cada uno de los ángulos. La bisectriz es la recta que divide el ángulo en dos partes iguales. Recibe este nombre por ser el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. MODO DE CONSTRUCCIÓN 1. Se construye el triángulo ABC. 2. Se construyen las bisectrices de cada ángulo. 3. El punto l de intersección de las bisectrices es el incentro. 4. Se traza la perpendicular al lado AC que pasa por el punto I obteniéndose el punto tangente T. 5. La circunferencia de centro C y radio la distancia al punto T recibe es la circunferencia inscrita. EL BARICENTRO es uno de los puntos característicos de un triángulo y es el punto de intersección de las medianas de cada uno de los lados. La mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto. El cociente de distancias AB y BMa se mantiene constante. Lo mismo ocurre en las otras dos medianas. 57 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. MODO DE CONSTRUCCIÓN 1. Se construye el triángulo ACD. 2. Se construyen las medianas uniendo el punto medio de un lado con su vértice opuesto. 3. El punto B de intersección de las medianas es el baricentro. EL ORTOCENTRO es uno de los puntos característicos de un triángulo y es el punto de intersección de las alturas del triángulo. La altura es la recta perpendicular a un lado por el vértice. MODO DE CONSTRUCCIÓN 1. Se construye el triángulo ABC. 2. Se construyen las alturas sobre cada lado. 3. El punto O intersección de las alturas es el ortocentro. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo. En un triángulo rectángulo, cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del ángulo recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene prolongando las alturas, fuera del triángulo. CUADRILÁTEROS Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. Sus elementos característicos son: lados, vértices, ángulos y diagonales. 58 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS 59 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. UNIDADES DE MEDIDA. MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES. CONTENIDOS: Unidades de medida. Sistema Métrico Legal Argentino(SIMELA). Unidades de base y Unidades derivadas: medidas de longitud, superficie y volumen. Múltiplos y submúltiplos Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores en el plano y en el espacio. Suma de vectores: gráfica y analíticamente. UNIDADES DE MEDIDA Las ciencias exactas como la física, la química, la astronomía se basan en la medición. Ésta es una técnica por medio del cual le asignamos un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón1, la cual se ha adoptado como unidad2 . Todo aquello que pueda medirse se llama magnitud. MAGNITUDES ESCALARES: Las magnitudes Escalares son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sólo número real y una unidad de medida. Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al número real que indica su medida. Algunos ejemplos de escalares son: longitud, volumen, masa de un cuerpo, tiempo transcurrido entre dos sucesos, densidad, potencia, trabajo. El Sistema Internacional de Unidades (SI), surgió como necesidad de adoptar criterios universalmente aceptados en el uso de unidades de medida. En 1960, reconoció que solo siete medidas fundamentales pueden medirse. Se puede medir longitud, tiempo, masa, intensidad de corriente eléctrica, temperatura, intensidad luminosa y contenido químico de una sustancia. Todas las demás cantidades físicas son alguna combinación de estas siete. En el año 1972 por ley, se establece en nuestro país, la adopción del Sistema Métrico Legal Argentino: SIMELA, este sistema está elaborado en base al SI. 1 Un patrón es un registro físico permanente o fácilmente reproducible de la magnitud de una unidad de medida 2 Una unidad de medida es la cantidad utilizada como base de comparación en una medición 60 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. En el SIMELA figuran tres clases de unidades: UNIDADES DE BASE, UNIDADES DERIVADAS (se forman operando con unidades de base) Y UNIDADES SUPLEMENTARIAS. UNIDADES DE BASE MAGNITUD FÍSICA UNIDAD SÍMBOLO Longitud Metro m Masa Kilogramo kg Tiempo Segundo s Intensidad de corriente eléctrica Ampere A Temperatura termodinámica Kelvin K Intensidad luminosa Candela cd Cantidad de sustancia Mol mol UNIDADES SUPLEMENTARIAS MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO Nombre Angulo plano radián rad Angulo sólido stereoradián sr UNIDADES DERIVADAS (sin nombres especiales) MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO Nombre Superficie metro cuadrado m2 Volúmen metro cúbico m3 Densidad ki log ramo metro cúbico m Velocidad metro segundo m s Aceleración metro segundo cuadrado m kg s 3 2 61 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Existen otras magnitudes derivadas con nombres especiales como las de fuerza, energía, presión, frecuencia y potencia que no las veremos en este curso. Las unidades de base y las derivadas no siempre nos resultan útiles, es por ello que se dispone de un método general para formar unidades menores y mayores: las unidades mayores y menores se forman con prefijos que modifican las unidades básicas y derivadas por factores de varias potencias de diez. MEDIDAS DE LONGITUD Múltiplos Unidad Submúltiplos km (kilometro) hm (hectómetro) dam (decámetro) m (metro) dm (decímetro) cm (centímetro) mm (milímetro) Valor en m 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 UNIDADES DERIVADAS (Se forman operando con unidades de base) MEDIDAS DE SUPERFICIE 2 Múltiplos km hm2 dam2 Valor en m2 1.000.000 10.000 100 m2 (metro cuadrado) 1 2 dm 0,01 cm2 0,0001 Submúltiplos mm2 0,000001 Otra medida para medir superficie es la hectárea (ha) 1 ha =10.000 m2 Unidad MEDIDAS DE VOLÚMEN 3 Múltiplos km hm3 dam3 m3 (metro cubico) dm3 cm3 Submúltiplos mm3 Unidad Valor en m3 1.000.000.000 1.000.000 1000 1 0,001 0,000001 0,000000001 62 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 1 tonelada (t): Es el peso equivalente a 1000kilogramos Relaciones entre volumen, capacidad y peso. La unidad de medida de capacidad es el litro (l). 1 dm3 = 1l 1 m3 =1000 l = 1 kl 1 cm3= 1 ml A 4 °C de temperatura y a presión atmosférica normal: 1 l de agua destilada pesa 1 kg. 1 m3 de agua destilada pesa 1000 kg = 1 tonelada métrica. (Tn) 1 cm3 de agua pesa 1 g. Actividad 1: Tengan presente los esquemas para resolver los siguientes ejercicios: MEDIDAS DE LONGITUD MULTIPLOS SUBMULTIPLOS SUBMÚLTIPLOS MÚLTIPLOS 1. ¿Cuántos decímetros son 3 kilómetros? 2. ¿Cuántos milímetros son 3 metros? 3. ¿Cuántos metros son 8.000 centímetros? 4. ¿Cuántos hectómetros son 200 decímetros? 5. ¿Cuántos centímetros son 3 metros? 6. ¿Cuántos centímetros son 3 metros? 7. ¿Cuántos decámetros son 9 kilómetros? 8. ¿Cuántos milímetros son 3 metros? 9. ¿Cuántos decámetros son 9 kilómetros? 10. ¿Cuántos metros son 7.000 milímetros? 11. ¿Cuántos kilómetros son 6.000 hectómetros? 12. ¿Cuántos decímetros son 5.000 milímetros? 63 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. MEDIDAS DE CAPACIDAD MULTIPLOS SUBMULTIPLOS SUBMÚLTIPLOS MÚLTIPLOS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ¿Cuántos litros son 5 kilolitros? ¿Cuántos centilitros son 7 hectolitros? ¿Cuántos decalitros son 4 hectolitros? ¿Cuántos hectolitros son 1.500 centilitros? ¿Cuántos centilitros son 880 mililitros? ¿Cuántos hectolitros son 2 kilolitros? ¿Cuántos decilitros son 6.000 mililitros? ¿Cuántos kilolitros son 100 decilitros? MEDIDAS DE PESO MULTIPLOS SUBMULTIPLOS SUBMÚLTIPLOS MÚLTIPLOS 64 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ¿Cuántos gramos son 7 hectogramos? ¿Cuántos miligramos son 9 decagramos? ¿Cuántos hectogramos son 6 kilogramos? ¿Cuántos decagramos son 100 gramos? ¿Cuántos decigramos son 1.500 centigramos? ¿Cuántos hectogramos son 500 gramos? ¿Cuántos kilogramos son 2.000 gramos? ¿Cuántos gramos son 13.000 miligramos? Actividad 2 Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). 1. Para envasar un hectolitro se necesitan 100 botellas de 1l. 1 2 1 m es la superficie de un cuadrado con lado de m . 2. 2 2 2 3. 50 ha equivalen a 500.000 m . 4. Una botella de 1,5 l contiene 150 cm3. Actividad 3 Resuelva los siguientes problemas. 1. ¿Cuántos hl se necesitan para llenar 400 botellas de 3 l? 4 2. ¿Cuántas ha tiene un campo de 250.000 m2? 3. Se llenaron 520 bolsas de 100 kg cada una ¿Cuántas toneladas se embolsaron? 4. Por un terreno de 10 m de frente por 25 m de fondo se pagaron $ 43.750.¿A cuánto se pagó el m2 ? 5. Si un frasco de jarabe contiene 150 ml, ¿para cuantas dosis de 2,5 cm3 alcanza el frasco? MAGNITUDES VECTORIALES. Para otras magnitudes, no basta dar un número para determinarlas. Por ejemplo, para determinar para dar la velocidad de una pelota, no es suficiente con conocer su intensidad, sino que hace falta saber, además, la dirección y el sentido en que se mueve. Estas magnitudes en las cuales hay que distinguir entre intensidad (que es una magnitud escalar), su dirección y su sentido, se llaman magnitudes vectoriales. De la misma forma que en la velocidad, las fuerzas no solo dependen de su intensidad sino también de las direcciones y sentidos que actúan en ellas. Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son: aceleración, cantidad de movimiento, intensidad de un campo o de una corriente. 65 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. VECTORES La representación geométrica de una magnitud vectorial se realiza mediante un segmento orientado denominado vector geométrico, como se muestra en la Fig. 1.1 que posee las siguientes características: A O P O= origen del vector P= Extremo del vector Notación del vector OP A Dirección: está dada por la recta que contiene al vector. Sentido: está dado por la orientación sobre la recta, definida por el origen y el extremo del vector. Módulo: (magnitud): está dado por la longitud del segmento orientado que define al vector y se denota como: OP A . Fig. 1.1 66 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido se dicen vectores iguales o equipolentes, sin que importe su localización en el espacio. Nos referiremos siempre a vectores libres: Fig. 1.2. Ello significa que los vectores se pueden desplazar en el espacio paralelamente a sí mismos o sobre la misma recta de acción, siempre que su módulo, dirección y sentido no sean modificados. AB B A D CD C AB CD Fig. 1.2 El opuesto de un vector OP , se simboliza como - OP , es un vector que tiene igual modulo, igual dirección y sentido opuesto al vector OP . Fig. 1.3 OP OP Fig. 1.3 67 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. COMPONENTES DE UN VECTOR. Podemos representar un vector en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales como se muestra en la Fig. 1.4 El origen del vector coincide con el origen del sistema cartesiano Po(0, 0). La proyección del vector y P a2 o OP sobre el eje x dará la componente a1 y la proyección sobre el eje y da la componente a2. α x OP a1 ,a2 . a1 Fig. 1.4 El módulo de este vector se obtiene de la siguiente forma: OP a1 2 a2 2 El ángulo que forma el vector OP con el eje positivo de las x se obtiene mediante la a a relación trigonométrica tg = 2 ; siendo por lo tanto =arc tg 2 a1 a1 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE VECTORES Estas operaciones se pueden realizar grafica o analíticamente. Gráficamente podemos adicionar o sumar vectores usando el Método de la Poligonal o el Método del Paralelogramo. MÉTODO DE LA POLIGONAL. Dados los vectores V y W encontrar su suma V W en forma gráfica: Fig.1.5 b V W V W a c R Fig. 1.5 Para obtener R V W en forma gráfica se procede de la siguiente manera: 68 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Se traza un vector equipolente al vector V (con origen en a y extremo en b), por este extremo se traza un vector equipolente a W (con origen en b y extremo en c), se obtiene un vector R (con origen en a y extremo en c) este vector se lo suele llamar vector resultante de la suma. De igual forma se puede obtener la resultante de sumar más de dos vectores. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO Dados los vectores V y W encontrar su suma V W en forma gráfica usando el método del paralelogramo: b V W V R a f W Fig. 1.6 c Para obtener R V W en forma gráfica como se muestra en la Fig.1.6 se procede de la siguiente manera: Se traza un vector equipolente al vector V (con origen en a y extremo en b), coincidente con el origen del vector anterior se traza un vector equipolente a W (con origen en a y extremo en c), para obtener el vector R se completan los lados del paralelogramo trazando una línea paralela al vector V pasando por el extremo c del otro vector, y luego una paralela al vector W por el extremo b, completándose así el paralelogramo. La resultante R se obtiene como la diagonal del paralelogramo que tiene origen en a (coincidente con el origen de los vectores V y W ) y extremo en f como se muestra en la figura 1.6. Para sumar más de dos vectores por esté método se procede a realizar el procedimiento descripto con dos vectores, luego se reitera el método entre la resultante de estos dos primeros con un tercer vector, y así siguiendo hasta sumar todos los vectores. Para hallar la diferencia, resta o sustracción de dos vectores A B esta se realiza como la suma del minuendo y el opuesto del sustraendo como se muestra en la Fig. 1.7. Se traza el equipolente al vector A y en el extremo de éste se coloca el origen de un 69 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. vector equipolente a - B como si se sumara A ( B) , obteniendo la resultante como el vector con origen coincidente con el origen de A y extremo coincidente con el extremo del vector - B B - B A A - B R R A B A ( B) Fig. 1.7 ANALÍTICAMENTE Dados los vectores A (a1, a2 ) y B (b1 , b2 ) , el vector suma C A B se obtiene la primer componente del vector resultante como la suma de las primeras componentes de los vectores, y la segunda componente como suma de los segundos componentes. C (a1 b1, a2 b2 ) (c1, c2 ) Ejemplo: Dados los vectores A (2,4) y el vector B =(5,1) encontrar el vector C A B C (2 5,4 1) (7,5) Para obtener la resta analíticamente, D A B , a las componentes del primer vector se le restan las componentes del segundo vector. D (a1 b1, a2 b2 ) (d1, d2 ) Ejemplo 1: Dados los vectores A (2,4) y el vector B = (5,1) encontrar el vector C A B C (2 5;4 1) (7;5) Ejemplo 2: Para los vectores del ejercicio anterior encontrar en forma analítica D A B 70 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. D A B = (2-5; 4-1)= (-3; 3) Para los dos ejemplos anteriores en forma gráfica, pero además referido a un sistema de coordenadas será: D A B C A B y A A C D B 2 1 | | | | B | | | | | | | -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x Fig. 1.8 Fig. 1.9 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR. Si a un vector A lo multiplicamos por un escalar (no nulo) se obtiene F A = (a1 , a2 ) El vector F tendrá: - Igual dirección que el vector A . - El sentido será el mismo que A si 0 , o sentido contrario si 0 - El módulo será menor, si –1< <1 y de módulo mayor que A en caso contrario Nota: Existe otra forma de expresar un vector, es la expresión canónica, esta forma no se verá en este curso. Actividad 3 Dados los vectores A (3,2), B (6,1), C (2,2), D (2,4) , 1 3 y 2 1 . 2 Realiza las operaciones indicadas. 1. Encuentre las sumas algebraicas indicadas en forma gráfica y analítica. a) A B C b) A D B c) 1. A d) 2 C e) 1. A - 2 C 71 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 2. Encuentre el módulo de los cuatro vectores dados. 3. Grafique los vectores dados y encuentre el ángulo que forma cada vector con el eje coordenado x (Utilice relaciones trigonométricas). VECTORES EN EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES. El vector mostrado en la figura 1.10 cuyo punto inicial es el origen de coordenadas O y cuyo punto terminal es P(x1,y1,z1)se llama vector posición del punto P y se escribe: OP ( x1,y1,z1) Componentes z El vector OP en el espacio tridimensional es cualquier triada ordenada de números reales, P(x1,y1,z1) o OP = (x1, y1, z1) Se dice que los números x1, y1 , z1 son las y componentes del vector OP . x Fig. 1.10 El módulo de un vector OP = (x1, y1, z1) se obtiene como OP ( x1 ) 2 ( y1 ) 2 ( z1 ) 2 La suma, resta y producto de un vector por un escalar en el espacio tridimensional se resuelve en forma análoga a los vectores en el plano. Solo lo resolveremos en forma analítica, ya que en forma gráfica en el espacio es más compleja. Sean A (ax, ay, az) y B (bx , b y , bz ) , Adición: A B ( a x bx , a y b y , a z bz ) Multiplicidad: A (a x , a y , a z ) Igualdad: A B si a x bx , a y b y , y a z bz Actividad 4 Dados los vectores, A (1,3,1) ; B (4,2, 5) C (2,3,6) y 2 1. Graficar en un sistema de ejes ortogonales los vectores dados 72 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 2. Encuentre analíticamente los vectores, a) A B , b) A C , c) A C + B . 3. Encuentre el módulo de los vectores dados. 4. ¿Se verifica analíticamente la siguiente igualdad? (A C) A C Justifique su respuesta 73 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. PERÍMETRO, SUPERFICIE Y VOLÚMEN CONTENIDOS: Revisión de figuras y cuerpos. Fórmulas de perímetros y superficies de figuras. Superficies laterales y totales, desarrollo de los cuerpos geométricos, fórmulas de volumen de cuerpos. Ejercicios y problemas. PERÍMETRO Un polígono (que significa en griego “de muchos ángulos”) es una figura bidimensional con un cierto número n de lados. Si n=3 es un triángulo, si n=4 recibe diferentes nombres según sus lados sean iguales o no, paralelos o no, etc.(cuadrado, rectángulo, rombo, romboide, trapecio, trapezoide o paralelogramo), si n=5 es un pentágono, etc.. Si todos los lados de un polígono son de igual longitud se denomina polígono regular. El perímetro P de un polígono es la suma de las longitudes de los lados. Si el polígono tiene n lados de longitudes l1, l2, .......ln entonces su perímetro es: P= l1+l2 +...+ln . LONGITUDES DE CIRCUNFERENCIAS Y ARCOS Longitudes de circunferencia y arcos. La longitud de una circunferencia de diámetro d y radio r = d es: L= .d 2. .r 2 L= .d 2. .r Proporcionalmente para la longitud de un arco de circunferencia de radio r y ángulo central de grados es: Long. de arco = 2 .r. .d . 360 360 es el número irracional y su valor para los ejercicios es 3,1415 . 74 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. CUADRO DE PERÍMETROS DE UNA FIGURA NOMBRE RECTÁNGULO FIGURA PERÍMETRO 2b+2h o l+l+l+l h b 4l o l+l+l+l CUADRADO l PARALELOGRAMO 2b+2a o l+l+l+l a b TRIÁNGULO l1 l2 l1+l2+l3 l3 b TRAPECIO l1 l2 B 4.l o l+l+l+l ROMBO l l2 l1 ROMBOIDE POLÍGONO REGULAR l2 B+b+l1+l2 o l+l+l+l 2l1 +2l2 o l+l+l+l ln l1+l2+....+ln= n.l. l1 LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA R r 2 r o π.d 75 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ACTIVIDADES Actividad 1 Calcula el perímetro de los siguientes polígonos regulares expresando el resultado en decámetros, metros, decímetros, centímetros y milímetros: lado: 5 cm. lado: 8 m. a) Perímetro del pentágono. b) Perímetro del hexágono. c) Perímetro del octógono. d) Perímetro del decágono. lado: 2 dm. lado: 4 mm. Actividad 2 Exprese, en cm, los siguientes perímetros. 1. De un triángulo isósceles de lados iguales de 4,5 cm y lado desigual de 65 mm. 2. De un rectángulo de vértices ABCD en el cual el segmento AB = 16,5 cm y AB 3 CD . Actividad 3 Exprese, en cm, la longitud del lado de: 1. Un triángulo equilátero de 1,5 m de perímetro. 2. Un rombo de 68 mm de perímetro. 3. De un hexágono regular de 72 cm de perímetro. Actividad 4 Resuelva los siguientes problemas. 1. ¿Cuántos metros se recorren al dar una vuelta alrededor de una pista circular de 5 dam de radio? 2. La rueda de una bicicleta cuyo radio tiene una longitud de 45 cm, tiene 35 rayos. Calcule: a) la longitud de rueda entre dos rayos consecutivos b) ¿cuántas vueltas completas da la rueda en 1 km? 3. Queremos enmarcar un cuadro cuyas dimensiones totales son 103 cm de base por 63 cm de alto. ¿Qué longitud deberá tener la moldura que debemos usar? Si la moldura cuesta $12 el metro, calcula el precio de dicho marco. 4. En una ciudad hay un parque cuya forma es la de un pentágono irregular. Los lados miden respectivamente, 45m, 39m, 29m, 17m y 39 metros. ¿Qué longitud tiene la valla que lo rodea? 5. Se tiene que embaldosar el patio interior de un edificio con baldosas cuadradas de 30 cm de lado. El patio es rectangular y sus medidas son 10m por 12 m. ¿Cuántas baldosas se necesitarán? 76 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. SUPERFICIE DE FIGURAS PLANAS La superficie de una figura poligonal está dada por el área de la figura acompañada de la unidad de superficie (unidad, múltiplo o submúltiplo). NOMBRE RECTÁNGULO FIGURA ÁREA h b.h b l2 CUADRADO l PARALELOGRAMO a b.h h b TRIÁNGULO l1 b.h 2 l2 l3 b B b .h TRAPECIO h 2 B d ROMBO D.d 2 D d ROMBOIDE D POLÍGONO REGULAR apotema CÍRCULO r D.d 2 perimetro apotema 2 .r 2 77 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Actividad 5 Resuelva los siguientes problemas 1. Calcule la superficie de un rectángulo de 4,8cm de base y 35 mm de altura. 2. Calcule el lado de un cuadrado de 1,96 m2 de superficie. 3. En un rectángulo de 72cm2 de superficie la base es el doble de la altura. ¿Cuánto valen sus lados? 2 4. En una pared de 4m de ancho y 3 m de alto se colocan azulejos hasta los de su 3 altura. Calcule la superficie de pared azulejada sabiendo que hay una puerta de 2,5m por 80 cm y a 1,5 m del piso hay una ventana de 1m de alto y 1,5 m de ancho. Actividad 6 1. Calcula teniendo en cuenta los siguientes esquemas: a) b) c) d) e) f) ¿Cuántos dam2 son 97 hm2? ¿Cuántos dm2 son 172 dam2? ¿Cuántos cm2 son 0.5 km2? ¿Cuántos mm2 son 256 m2? ¿Cuántos m2 son 250000 mm2? ¿Cuántos m2 son 1500000 cm2? Actividad 7 1. Una vela triangular de una barca se ha estropeado y hay que sustituirla por otra. Para confeccionar la nueva vela nos cobran $21 por m 2. ¿Cuánto costará esa nueva vela si debe tener 8 m de alto y 4 m de base? 2. Hemos fabricado una cometa con forma de rombo, cuyas diagonales miden 393 cm y 205 cm respectivamente. Para ello se ha usado una lámina plástica rectangular cuya longitud y anchura son las de la cometa. Calcula el área de la cometa y la de la lámina. 78 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. 3. Una empresa fabrica sombrillas para la playa. Para ello usa tela cortada en forma de polígono regular. Calcula la cantidad de tela que necesitará para fabricar 36 sombrillas de 10 lados si sabemos que el lado mide 173 cm y su apotema mide 266,21 cm. 4. La torre de una antigua fortificación es de planta hexagonal. Se ha medido el área de la planta inferior obteniéndose un resultado de 166,27m2. Si cada una de sus paredes mide 8 m de anchura, ¿cuánto mide la apotema de la planta de dicha torre? 5. En el estudio del arquitecto Leco ha empezado a trabajar Busier, un joven que ha estudiado en París. Leco le pide a Busier que diseñe una pileta de 4 paredes. Cuando éste termina su trabajo, presenta los planos de sus diseños. Su jefe no puede dejar de asombrarse: piletas como ésas no se ven todos los días. En su defensa, Busier alega que él sólo se dedicó a diseñar siguiendo la pauta que su jefe le había dado. Éstas son las formas que el joven arquitecto pensó: a. ¿Les parece que Busier siguió la pauta dada por su jefe? b. Leco le pide que sólo deje los diseños que corresponden a piletas con paredes paralelas. ¿Qué figura o figuras de la planta de la pileta debe descartar Busier? ¿Conocen el nombre de alguna de ellas? Nómbrelas. c. Leco aún no está conforme: el diseño de la pileta debe tener los dos pares de lados paralelos y ángulos rectos. ¿Qué figura o figuras de la planta de la pileta debe descartar ahora? ¿Cómo se llaman las que descartaron? d. Analicen atentamente las diagonales de todas las figuras descartadas. ¿En qué figuras las diagonales son perpendiculares? ¿En cuáles las diagonales se cortan en el punto medio? e. A esta altura a Busier sólo le quedan 2 diseños posibles. ¿Qué características los diferencian? Para reflexionar El problema de comunicación entre Leco y Busier es que Leco da por sentadas muchas cosas y no es preciso en sus pedidos. Las figuras comparten algunas de sus características, entonces, ¿cómo pueden hacer para referirse a una en particular?¿Cuáles son algunas de las características que se deben tener en cuenta en el momento de definir una figura determinada? CUERPOS GEOMÉTRICOS Los cuerpos limitados por caras poligonales se llaman poliedros (que significa en griego poli: mucho; edro: caras, es decir: “de muchas caras”). 79 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. La naturaleza nos ofrece muchos ejemplos de cuerpos poliedros. Su manifestación más perfecta se encuentra en las sustancias cristalizadas. Una sustancia muy común es la sal de mesa. Esta es la sustancia más abunda en los océanos. Cuando se evapora el agua, se forman cubos de cloruro de sodio. En un poliedro podemos distinguir los siguientes elementos: CARAS: son los polígonos que forman el Poliedro CARAS DE UN POLIEDRO ARISTAS: son los segmentos en los que se intersectan (cortan) las caras. ARISTAS DE UN POLIEDRO VÉRTICES: son los puntos donde se intersectan las aristas. VÉRTICE DE UN POLIEDRO Podemos también citar los Ángulos Diedros delimitados por dos caras que se cortan. Hay tantos Ángulos Diedros como número de aristas tenga. 80 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ÁNGULOS DIEDROS DE UN POLIEDRO Y los Ángulos Poliedros están determinados por todas las caras que inciden en un mismo vértice. Hay tantos Ángulos Poliedros como número de vértices tenga. ÁNGULOS POLIEDIEDROS DE UN POLIEDRO Por ejemplo en el paralepípedo o prisma rectangular recto encontramos 12 ángulos diedros y 8 ángulos poliedros. PARALEPÍPEDO O PRISMA RECTANGULAR RECTO CLASIFICACIÓN Según sus caras los cuerpos geométricos pueden clasificarse en: Poliedros Planos: sus caras son polígonos. Si estos polígonos que conforman sus caras son todos regulares, entonces al poliedro se le llama Poliedro Regular, en caso contrario se dice que son Poliedros Irregulares. Cuerpos Redondos: sus caras son planas y curvas o solo curvas. POLIEDROS PLANOS REGULARES Solo hay cinco poliedros regulares. Ellos son: Tetraedro (4 caras), Hexaedro o cubo (6 caras), Octaedro (8 caras), Dodecaedro (12 caras), Icosaedro (20 caras). A estos poliedros convexos regulares se le denominan también “sólidos platónicos” pues en la Grecia clásica fueron objeto de estudio por Platón. 81 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Estudiaremos estos cinco poliedros regulares, sus elementos, su desarrollo y como calcular su superficie y volumen. TETRAEDRO Sus caras son cuatro triángulos equiláteros. En cada vértice concurren 3 caras. Para calcular su superficie se multiplica por 4 la superficie de una cara. h Sup. = b 4b.h 2 Despiece del tetraedro HEXAEDRO O CUBO Sus caras son 6 cuadrados. En cada vértice concurren 3 caras. Para calcular su superficie total se multiplica por 6 la superficie de una cara. Despiece del hexaedro Sup = 6.L2 82 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. OCTAEDRO Sus caras son ocho triángulos equiláteros. En cada vértice cara concurren 4 caras. Para calcular su superficie se multiplica por 8 la superficie de una cara. h b Sup. = 8b.h 4.b.h 2 . Despiece del octaedro DODECAEDRO Sus caras son 12 pentágonos regulares. En cada vértice concurren 4 caras. Para calcular la superficie se multiplica por 12 la superficie de una cara. Despiece del dodecaedro apotema Sup 12 perimetro. apotema 6 perimetro. apotema 2 ICOSAEDRO Sus caras son veinte triángulos equiláteros. En cada vértice concurren 5 caras. Para calcular su superficie se multiplica por 20 la superficie de una cara. 83 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Despiece del icosaedro h Sup.= FIGURA ESQUEMA 20b.h 10.b.h 2 Nº DE CARAS ÁREA Tetraedro 4 caras, triángulos equiláteros 𝐴 = 2. 𝑏. ℎ Cubo 6 caras, cuadrados A = 6 a2 Octaedro 8 caras, triángulos equiláteros 𝐴 = 4. 𝑏. ℎ 12 caras, pentágonos regulares Dodecaedro 20 caras, triángulos equiláteros Icosaedro REFERENCIAS: a= arista ap= apotema VOLUMEN 𝑉= 𝑉 = 6. 𝑎3 𝑉= 𝑉= 𝐴 = 6. 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚. 𝑎𝑝 2 3 .𝑎 12 2 3 .𝑎 3 1 . (15 + + 5). 𝑎3 4 𝑉 ≅ 7,66. 𝑎3 𝑉= 𝐴 = 10. 𝑏. ℎ 5 . (3 + 5). 𝑎3 12 𝑉 ≅ 2,18. 𝑎3 h= altura 84 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. POLIEDROS PLANOS IRREGULARES Los principales poliedros irregulares son los prismas y las pirámides. PRISMAS Sus caras laterales son paralelogramos y las bases, dos polígonos iguales ubicados en planos paralelos. A los prismas se les clasifica según el número de lados de sus bases: triangular (3 lados), cuadrangular (4 lados), pentagonal (5 lados), hexagonal (6 lados), etc. Los prismas pueden ser: Rectos: Todas las caras laterales son rectángulos perpendiculares a las bases. Si sus bases son polígonos regulares, se le llama prisma regular, al ser regulares las bases podemos referenciar el radio de la circunferencia circunscrita y la apotema de la base; Por ejemplo, en un prisma pentagonal regular la base es un pentágono regular. Se muestra la apotema y el radio de la circunferencia circunscrita Prisma cuya base tiene 4 lados ;en caso contrario se dice que es un prisma irregular. Oblicuos: Algunas o todas las caras no son perpendiculares a las bases. En todo prisma se puede calcular: Superficie total, superficie lateral y volumen. Superficie lateral: es la suma de todas las caras laterales. Superficie total: es la superficie lateral más la superficie de las dos caras. A continuación se verán algunos ejemplos y en la Tabla se resumen los poliedros más usados. PIRÁMIDES Su base es un polígono y sus caras laterales son siempre triángulos que concurren en un punto llamado vértice o cúspide. Las pirámides se pueden clasificar por la forma de sus bases. Una pirámide cuya base es un polígono regular y en la cual el pie de la altura coincide con el centro de la base se llama pirámide regular, en caso contrario se llama pirámide irregular. 85 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Sup. Lateral =(Perm. de la base Apotema lateral)/2 Sup. Total = Sup. Lateral +Sup Base Volumen = Sup. Base altura 3 La apotema es la altura de los triángulos isósceles de las caras de la pirámide. NO se debe confundir con la altura de la pirámide. Si a una pirámide la intersecamos con un plano paralelo a la base, obtenemos otra pirámide y otro poliedro denominado: Tronco de pirámide El tronco de pirámide tiene dos bases que son polígonos semejantes y las caras laterales son trapecios . 𝑃𝑒𝑟 𝑑𝑒𝐵1 + 𝑃𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝐵2 . 𝑎𝑝 𝑙𝑎𝑡 2 𝐴𝑇 = 𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐿 𝐴𝐿 = 𝑉= 1 . (𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 . ℎ) 3 86 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. CUERPOS REDONDOS La esfera, el cilindro y el cono tienen superficies curvas. Se los llama cuerpos redondos. ESFERA La esfera es un cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo (o un círculo) alrededor del diámetro. La recta en la que se sitúa éste es el eje de revolución y la semicircunferencia la generatriz. La superficie esférica de centro O y radio r es el conjunto de todos los puntos del espacio que están a distancia r del punto O. Sup. Total =4 r2 La esfera de centro O y radio r está formada por la superficie esférica de centro O y 4 3 radio r y todos los puntos interiores de ella. Vol. = r 3 CILINDRO Un cilindro recto es un cuerpo de revolución que se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. La recta en la que se sitúa el lado sobre el que gira se denomina eje de rotación y el lado paralelo a él es la generatriz. El cilindro tiene dos bases circulares paralelas. El segmento que une los centros de los círculos es el eje del cilindro y el radio del cilindro es el radio de sus bases. Un cilindro 87 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. cuyo eje es perpendicular a la base se llama cilindro recto. La altura de un cilindro es un segmento perpendicular desde el plano de una base hasta el plano de la otra. Sup. Lateral =long. circunferencia .altura = 2 r h Sup. Total = Sup. Lateral +2. Sup. bases =2 r h+2 r2 2 Volumen = Sup. Base Altura = r h CONO Un cono recto es un cuerpo de revolución que se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de los catetos. La recta en la que se sitúa el lado sobre el que gira se denomina eje de rotación y la hipotenusa es la generatriz. En un cono distinguimos la superficie lateral y base que es un círculo. El punto donde convergen las generatrices es el vértice. La altura del cono recto es la distancia del vértice a la base. El cono tiene una base y un vértice. La base de un cono es una circunferencia. El radio del cono es el radio de la base. La altura de un cono es el segmento perpendicular trazado desde el vértice hasta el plano de la base. 88 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Sup. Lateral =(long. circunferencia generatriz)/2 = r g Sup. Total = Sup. Lateral +Sup. base = r g+ r2 = r(g+r) 2 r h Sup. Base Altura Volumen = = 3 3 CONO TRUNCADO Si un cono lo intersecamos con un plano paralelo a la base, obtenemos otro cono y otro sólido de revolución denominado: tronco de cono. El tronco de cono tiene dos bases que son círculos y una cara lateral cuyo desarrollo es un sector de una corona circular 𝐴𝐵1 = 𝜋. 𝑟1 2 𝐴𝐵2 = 𝜋. 𝑟2 2 𝐴𝐿 = 𝜋. (𝑟1 . 𝑟2 ). 𝑔 𝐴𝑇 = 𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐿 𝑉= 1 . (𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 . ℎ) 3 89 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. ACTIVIDADES Resuelva los siguientes problemas. 1. Un obelisco piramidal de base cuadrada tiene 4 m de lado de la base y 40 m de apotema lateral ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para cubrirlo si cada litro cubre 4 m2? 2. La superficie de una esfera es 64 cm2 a) ¿Cuál es su radio? b)¿Cuál es su volumen? 3. Se corta un cuadrado de 10 cm de lado de cada una de las esquinas de un trozo de cartón de 40 cm por 50 cm y se pliega formando una caja sin tapa. ¿Cuál es el volumen de la caja? 4. Una pileta tiene la forma la figura. 10 Todas sus dimensiones son en m. ¿Con 4 1,2 cuántos litros de agua se llena? 3 4,5 5. Las farolas de una ciudad están culminadas en un farol con forma de pirámide pentagonal, en el que el lado del pentágono es 25 cm y la apotema de las caras es 30 cm. Calcula la superficie de cristal necesaria para cada farola, si la base es una pieza metálica. 6. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular sabiendo que el lado de la base mide 6 cm y la apotema mide 10 cm. Calcula las hectáreas de terreno que ocupa dicha pirámide. 7. Calcula el área total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 25 cm y el radio de su base es de 12 cm. 8. Deseamos construir una caja de madera sin tapa que tenga por base un rectángulo de 12 x 15 cm y altura 9 cm. Calcula la superficie de madera que necesitas para su construcción. 9. Un florero con forma cilíndrica tiene un diámetro interior de 12 cm y su altura es de 25 cm. Queremos llenarlo. ¿Cuántos litros de agua necesitamos? 10. Calcula el volumen del sólido de la figura: 11. Una empresa de señales marítimas ha fabricado estas boyas de polietileno. Calcula la cantidad de film transparente necesario para recubrir mil boyas. 12. 90 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. TABLA DE VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS Figura Paralepípedo o Prisma rectangular recto Prismas Cilindro Esquema b Área c 𝐴𝑇 = 2. (𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐) 𝑉 = 𝑎. 𝑏. 𝑐 𝐴𝐿 = 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑚 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 . ℎ 𝐴𝑇 = 2. 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 𝑉 = 𝐴𝐵. ℎ 𝐴𝐵 = 𝜋. 𝑟 2 𝐴𝐿 = 2. 𝜋. 𝑟. ℎ 𝐴𝑇 = 2. 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 𝐴𝑇 = 2. 𝜋. 𝑟 2 + 2. 𝜋. 𝑟. ℎ 𝑉 = 𝐴𝐵. ℎ 𝑉 = 𝜋. 𝑟 2 . ℎ a h 𝐴𝐿 = Pirámide Pirámide cuadrangular truncada 𝑃𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 . 𝑎𝑝 𝑙𝑎𝑡 2 𝑉= 𝐴𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 𝐴𝐿 = 𝑃𝑒𝑟 𝑑𝑒𝐵1 + 𝑃𝑒𝑟 𝑑𝑒 𝐵2 . 𝑎𝑝 𝑙𝑎𝑡 2 𝐴𝑇 = 𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐿 Cono 𝐴𝐵 = 𝜋. 𝑟 2 𝐴𝐿 = 𝜋. 𝑟. 𝑔 𝐴𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐿 𝐴𝑇 = 𝜋. 𝑟 2 + 𝜋. 𝑟. 𝑔 Cono Truncado 𝐴𝐵1 = 𝜋. 𝑟1 2 𝐴𝐵2 = 𝜋. 𝑟2 2 𝐴𝐿 = 𝜋. (𝑟1 . 𝑟2 ). 𝑔 𝐴𝑇 = 𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐿 Esfera Volumen 𝐴𝑇 = 4𝜋. 𝑟 2 1 . 𝐴𝐵. ℎ 3 1 𝑉 = . (𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 . ℎ) 3 𝑉= 𝑉= 1 . 𝜋. 𝑟 2 . ℎ 3 1 . (𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐵1 + 𝐴𝐵2 . ℎ) 3 4 𝑉 = . 𝜋. 𝑟 3 3 REFERENCIAS:AT Área total; AL:Área lateral, AB:Área de la Base, g:generatriz, ap:apotema, r: radio, h: altura. 91 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. SIMBOLO SIGNIFICADO O USO PERTENECE A: NO PERTENECE A: TAL QUE NOMBRE Y ALFABETO GRIEGO LETRAS MAYÚSCULA MINÚSCULA Alfa Beta Gamma Delta IGUAL NO IGUAL MENOR QUE MENOR O IGUAL QUE Epsilon Dseta Eta Theta NO ES MENOR QUE NO ES MENOR O IGUAL QUE MAYOR QUE MAYOR O IGUAL QUE Iota Cappa Lambda Mu NO ES MAYOR QUE NO ES MAYOR O IGUAL QUE IMPLICA, O SI..., ENTONCES NO IMPLICA Un Xi Ómicron Pi SI Y SOLO SI ESTA INCLUIDO INCLUYE O CONTIENE Ó (INCLUYE) Rho Sigma Tau Ípsilon Ó (EXCLUYENTE) UNION INTERSECCIÓN x PARA TODO X Fi Ji Psi Omega EXISTE NO EXISTE - DIFERENCIA DIFERENCIA SIMÉTRICA COMPLEMENTO DEL CONJUNTO A CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS Q CONJUNTO DE NUMEROS RACIONALES R CONJUNTO DE NUMEROS REALES H CONJUNTO DE NUMEROS IRRACIONALES I CONJUNTO DE NUMEROS IMAGINARIOS 92 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. TRIGONOMETRÍA CONTENIDOS: Trigonometría. Relaciones trigonométricas: sistemas de medición de ángulos, definición de las Relaciones trigonométricas, signo y valor en los distintos cuadrantes, gráficas. Relación fundamental de la trigonometría. Teorema de Pitágoras. Resolución de triángulos rectángulos y oblicuángulos en problemas de aplicación. TRIGONOMETRÍA Es la rama de la Matemática que estudia o analiza las relaciones que existen entre la medida de los lados de un triángulo y la medida de sus ángulos. La trigonometría plana tiene como objetivo resolver triángulos. Cada triángulo está constituido por seis elementos, tres lados y tres ángulos. Resolver un triángulo, significa determinar los elementos desconocidos cuando se tienen algunos datos y ciertas relaciones entre ellos. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES SISTEMA SEXAGESIMAL Su unidad de medida angular es el ángulo igual a la noventava parte del ángulo recto. 1º = 1 ángulo recto 90º La unidad es el grado sexagesimal ( º ) Este sistema admite submúltiplos: Un grado equivale a 60 minutos: 1’ = 1º 1º = 60 ’ 60 Un minuto equivale a 60 segundos 1” = 1’ 1’ = 60” 60 Elegido el grado sexagesimal como unidad de medida angular, queda determinada la correspondiente unidad de medida de arco, que es el arco de un grado sexagesimal, y abarca el ángulo central 1º y en consecuencia la 360 ava parte de la circunferencia. 93 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. SISTEMA CIRCULAR O RADIAL Se denomina radian al ángulo que se forma cuando la longitud del arco barrido es igual al radio de la circunferencia. En general cuando decimos, que un ángulo es igual a n radianes, se quiere expresar con ello, que es el ángulo central que corresponde a un arco de n radianes. Como la circunferencia tiene una longitud de 2 r .Si r=1, resulta que la longitud de la circunferencia, expresadas en radianes es igual a 2 radianes, o sea el ángulo central total de 360º en el sistema sexagesimal, es igual a 2 radianes. Adoptado como unidad el ángulo de 1 radián se tienen las siguientes medidas: un ángulo de 1 giro = 2 un ángulo de 2 giro = 2 .2 = 4 un ángulo de k giro = k .2 = 2k un ángulo llano = un ángulo recto = 2 Longitud de arco de la circunferencia 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠. 𝜋 180° 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠. 180 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 = 𝜋 𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 = radio CORRESPONDENCIA ENTRE LOS DOS SISTEMAS ANTERIORES Podemos establecer una correspondencia entre los dos sistemas partiendo de lo expresado en el párrafo anterior. 360° 2 rad. . 2 rad. ° x rad x rad. 360 Ejemplo: Expresar 45º en el sistema radial. 45 2 rad. x rad. rad 360 4 Ejemplo: Expresar 1 radian en grados sexagesimales. 2 rad. 360° 1 rad . 360. 1 rad. x° x 57° 17’ 44,8” 2 rad 94 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. De igual manera se puede establecer una tabla que relaciona los ángulos más comunes en ambos sistemas. Sis. Sexagesimal Sis. Radial 45° /4 60° /3 90° /2 120° 2 / 3 150° 5 / 6 180° 270° 3 / 2 360° 2 GRÁFICO DE EQUIVALENCIA ENTRE LOS DOS SISTEMAS Actividad 1 Encuentre la relación que: 1. Vincule el sistema sexagesimal con el circular para expresar en radianes lo siguientes ángulos: 17º 16’ y 14º 26’ 12” 2. Vincule el sistema radial con el circular para expresar en grados sexagesimales 1/6 radianes y 0.254 radianes. TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. 95 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Observación: Los catetos van a cambiar en función al ángulo que voy a utilizar. Si el ángulo es β los catetos serán: P β cateto adyacente O cateto opuesto M Si el ángulo a utilizar es α los catetos serán los siguientes TEOREMA DE PITÁGORAS Pitágoras fue un filósofo y matemático griego muy popular durante el tiempo que duró su existencia, 580 a 495 A.C., aunque, cabe destacar, que su influencia excedió a las materias de filosofía y matemáticas, ya que también, Pitágoras, supo realizar importantes aportes en otros órdenes como ser: la astronomía y la música de su tiempo. Sin lugar a dudas, la influencia de Pitágoras en la ciencia y cultura de la humanidad fue sobresaliente y ello lo ha convertido a él en un personaje singular y notable. Nació en la Isla de Samos, su educación se considera que fue bastante esmerada y que entre otras influencias matemáticas habría contado con la de otro gran matemático como fue Tales de Mileto. En materia de música lo más importante que se le adjudica a Pitágoras es la formulación de las leyes de la armonía y la relación establecida entre escala musical y aritmética; y en matemáticas la formulación del Teorema de Pitágoras, que sostiene que dado un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos de éste será igual que el cuadrado que presenta su hipotenusa. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos 96 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. H 2 C2 C2 Este teorema, bien conocido por todos, es de los más célebres de la historia de la Matemática. ¿Quién no ha recitado alguna vez eso de: “En un triángulo rectángulo, la suma de los catetos cuadrados es igual a la hipotenusa cuadrada”, o cualquiera de las otras formas de nombrarlo? Geométricamente, el teorema de Pitágoras quiere decir que si dibujamos tres cuadrados, de forma que cada uno tenga el lado igual a uno de los tres lados de un triángulo rectángulo, se cumple que el área del cuadrado mayor es igual a la suma de las áreas de los otros dos. El área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las áreas que tienen como lado cada uno de los catetos de ese mismo triángulo. En la siguiente imagen vemos una demostración gráfica de esto que acabamos de comentar, las suma de las áreas coloreadas en amarillo y azul es igual al áreas coloreadas en rosa, por tanto el área del cuadrado inferior es igual a la suma de las áreas de los cuadrados superiores. Con esto, y sabiendo que el área de un cuadrado es igual al cuadrado de sus lados, se pudo deducir que la hipotenusa al cuadrado (área de la hipotenusa) es igual a uno de los catetos al cuadrado (área del cuadrado superior (verde) que forma el primer cateto) más el otro cateto al cuadrado (área del cuadrado superior (azul) que forma el segundo cateto), y de ahí derivo la fórmula del Teorema de Pitágoras como la conocemos hoy. 97 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS Las relaciones trigonométricas es la razón entre los lados y ángulos de un triángulo rec tángulo. Son seis y reciben el nombre de: seno, coseno, tangente, cotangente secante y cosecante. Estás, tienen como variable independiente un ángulo. Este ángulo que denotaremos como , puede estar expresado en grados o en radianes. Más adelante analizaremos algunos sistemas de medición de ángulos. Para definir relaciones trigonométricas consideremos un sistema de ejes coordenados, el radio vector y el ángulo que forma este con el eje de abscisas (x). =radio vector = magnitud del segmento OP , y x o determinando el extremo de radio vector el punto P(x,y), x es la abscisa del punto e y la ordenada del punto, es el ángulo que forma el radio vector con el eje horizontal x. P(x,y) y x M Para este radio vector nos quedaran las dos primeras funciones definidas anteriormente como: sen cateto opuesto PM =y cos cateto adyacente OM =x Observa que con el radio vector, la ordenada y la abscisa del punto queda determinado un triángulo rectángulo, donde: = radio vector =hipotenusa del triángulo. x= abscisa = cateto adyacente al ángulo y= ordenada = cateto opuesto al ángulo Mediante cocientes entre estos tres segmentos se definen las siguientes funciones trigonométricas del ángulo: Relaciones trigonométricas principales sen tg y cateto opuesto hipotenusa cos x cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto sen y x cateto adyacente cos 98 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Relaciones trigonométricas secundarias o co-funciones hipotenusa 1 cos ec y cateto opuesto sen hipotenusa 1 sec x cateto adyacente cos cos x cateto adyacente 1 cot g y cateto opuesto tg sen Importante: Si te fijas en tu calculadora en ella solo aparecen las tres primeras funciones o funciones principales. Las otras tres llamadas co-funciones las tendrás que obtener a partir de las principales utilizando la última igualdad de la definición anterior. Tracemos una circunferencia trigonométrica con centro en el origen de coordenadas y radio 1 P O M En función de los lados de un triángulo ubicado en una circunferencia trigonométrica y según el cuadrante donde se encuentre el ángulo, serán los signos de las funciones trigonométricas que tendrán que ver con los signos de la abscisa o de la ordenada. GRÁFICO DE LOS SEGMNETOS TRIGONOMÉTRICOS PARA UN ÁNGULO PERTENECEINTE AL PRIMER CUADRANTE 99 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA SEGÚN EL CUADRANTE Cuadrante I II III IV seno + + - coseno tangente cotangente secante cosecante + + + + + + + + + + - Actividad 5 Complete la siguiente tabla utilizando la calculadora y coloque el signo correspondiente según el cuadrante del ángulo: Función Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante 0° 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360° 100 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES Recordaremos nuevamente el teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Como ya se vio x=cos e y=sen , por el teorema de Pitágoras se tiene: x2 +y2 =cos2x+sen2x=1 La relación cos2α+sen2α =1 se llama relación fundamental de trigonometría y es válida para cualquier radio vector. Partiendo de la relación anterior, despejando, se pueden demostrar otras relaciones como: 1 cos 2 1 cos 2 sen2α= cos2 α = 2 2 Si divimos la expresión cos2 α +sen2 α =1 por sen2α obtenemos: cos2 sen2 1 resolviendo y despejando nos queda sen2 sen2 cos2 1 1 2 sen sen2 sabiendo que: 1 cos2 cos ec 2 cot g 2 y 2 2 sen sen cotg2 +1= cosec2 nos queda la siguiente expresión Si dividimos la expresión cos2α +sen2α =1 por cos2α obtenemos: cos2 sen2 1 cos2 cos2 resolviendo y despejando nos queda sen2 1 1 2 cos cos2 sabiendo que 1 tg 2 sec2 1 sen2 = tg 2 y = sec 2 2 2 cos cos despejando de la anterior nos queda: sec2 α =tg2 α +1 Conviene recordar también las siguientes expresiones: Seno de la suma: sen sen. cos cos. sen Seno de la diferencia: sen sen. cos cos. sen 101 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Coseno de la suma: cos cos. cos sen. sen Coseno de la diferencia: cos cos . cos sen .sen Seno del ángulo doble: sen sen(2. ) 2.sen cos . Coseno del ángulo doble: cos cos(2. ) cos2 sen2 . RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Los siguientes dos teoremas los enunciaremos sin demostración, pero los puedes encontrar demostrados en cualquier libro de trigonometría. Para el triángulo de lados A,B,C, el ángulo a es el ángulo opuesto al lado A, el ángulo b es el ángulo opuesto al lado B, y el ángulo c es el ángulo que se encuentra opuesto al lado C Teorema del seno En todo triángulo oblicuángulo los lados son proporcionales a los A B C senos de los ángulos opuestos. sen a sen b sen c Teorema del coseno En todo triángulo oblicuángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de esos lados por el coseno del ángulo que forman. 2 2 2 A B C 2B.C. cos aˆ 2 2 2 B A C 2 A.C. cosbˆ 2 2 2 C A B 2 A.B. cos cˆ Cálculo de lados y ángulos agudos de triángulos rectángulos Estas razones trigonométricas nos permiten calcular distintos problemas. 1. Calcular las longitudes aproximadas de un triángulo rectángulo si se conocen las medidas de un ángulo agudo y un lado. Ejemplo: Sea el triángulo ABC rectángulo en  B̂ =31° C AC =12 cm 12cm AB =? BC =? Ĉ =? A B 102 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Los lados AB y AC y el ángulo B pueden relacionarse mediante la relación trigonométrica AC 12 cm tg Bˆ ; reemplazando los datos conocidos: tg 31 0,6009 , despejando AB AB 12 cm AB de las dos últimas igualdades tendremos: AB = 19,97 cm . 0,6009 AC Para calcular el lado BC se usa la relación trigonométrica sen Bˆ ; reemplazando BC 12 cm los datos conocidos tendremos: sen 31 0,5104 , despejando BC de las dos BC 12 cm últimas igualdades tendremos: BC 23,2992 cm 0,5104 El ángulo Ĉ se obtiene al aplicar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo que debe ser 180°. Aˆ Bˆ Cˆ 180 ,como conozco  90 y B̂ 31 se tendrá: Ĉ 180 90 31 | 59 Nota: Siempre que sea posible deberás usar los datos que te dan en el problema y no los datos que fuiste calculando en los diversos pasos del problema, ya que estos últimos generalmente están sujetos a errores. 2. Calcular los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si se conocen las longitudes de dos lados. Ejemplo: Sea el triángulo ABC rectángulo en  B AB =15 BC =25 CA =? Ĉ =? 15cm 25cm A C B̂ ? En este caso para obtener el lado AC podemos usar el Teorema de Pitágoras. En este caso será: 2 2 2 2 2 CB AC AB , 2 y despejando el lado desconocido se obtiene: 2 AC CB AB 25 15 20 cm 103 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo Universidad Nacional de San Juan Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Diseño. Para encontrar el ángulo Ĉ usamos la relación trigonométrica que nos vincula el AB 15 cm ángulo buscado con los lados conocidos, esta relación es: sen Cˆ 0,6 BC 25 cm con la calculadora podemos hallar Ĉ =37°. Una vez conocidos dos ángulos el tercero se obtiene igual que en el ejemplo anterior. Aˆ Bˆ Cˆ 180 , será B̂ 180°-90°-37°=53° Actividad 6 1. Calcule los ángulos interiores, su perímetro y superficie de un triángulo rectángulo de lado a= 124.68 m y lado b = 86.13 m 2. Encuentre el perímetro de un campo rectangular que tiene la diagonal de 100m ; y forma con uno de sus lados un ángulo de 30°. 3. En la Avenida de Circunvalación un niño remonta un barrilete empleando un hilo de 150m. Encuentre: ¿a qué altura de la tierra se encuentra el barrilete cuando el hilo esta tenso y forma un ángulo de 45º respecto de la horizontal? 4. Una escalera de 6m de largo no debe inclinarse más de 60º. ¿a cuántos m del muro la debemos poner en su base? y ¿qué altura alcanzará sobre el muro? 5. Resuelva los siguientes triángulos rectángulos(encontrar ángulos y lados faltantes): a) hipotenusa = 20 m = 28º 35’ 12” b) cateto adyacente = 150 m = 68º 15’ 20” 6. Una torre proyecta una sombra de 10metros cuando el sol está a 30° sobre el horizonte. Calcule la altura de la torre. Actividad 7 El acceso a un edificio tiene 14 escalones iguales de 28 cm de profundidad y 22 cm de alto. Calcule la altura de la escalera. Calcule el ángulo de ascenso. Fig.2.27 28 cm, 9m 15° x Fig.2.26 Fig.2.27 104 CURSO DE INGRESO 2015- MÓDULO MATEMÁTICA- Arq. Erica Natalia Minet Bravo
