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MATEMÁTICAS
III CC
III PARCIAL
UNIDAD DIDÁCTICA #4
CONTENIDO
 Definición de polígono
 Polígonos regulares
 Polígonos irregulares
 Clasificación de polígonos según sus lados
 Propiedades de los polígonos regulares
 Construcción de un pentágono conociendo el
ángulo central
 Hoja de evaluación
 Bibliografía
PROFA: ZURICH MARADIAGA
MATEMÁTICAS
III CC
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POLÍGONO
Un polígono es una figura plana (bidimensional) cerrada con lados rectos. Algunos
ejemplos son triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, etc.
Clasificación de los Polígonos
Los polígonos se clasifican básicamente en:


Polígonos regulares
Polígonos irregulares
Polígono Regular
Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están
circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en:






Triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados,
Cuadrado: polígono regular de 4 lados,
Pentágono regular: polígono regular de 5,
Hexágono regular: polígono regular de 6 lados,
Heptágono regular: polígono regular de 7 lados,
Octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente.
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P OLÍGO NO I RREGULAR
Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos
en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan:






Triángulo: polígono de 3 lados,
Cuadrilátero: polígono de 4 lados,
Pentágono: polígono de 5 lados,
Hexágono: polígono de 6 lados,
Heptágono: polígono de 7 lados,
Octágono: polígono de 8 lados,... y así sucesivamente.
TRIÁNGULO
Polígono de tres lados. De acuerdo a la magnitud de sus ángulos, los
triángulos se clasifican en:





Triángulo isósceles: 2 ángulos iguales,
Triángulo escaleno: 3 ángulos diferentes,
Triángulo rectángulo: 1 ángulo recto,
Triángulo obtusángulo: 1 ángulo obtuso,
Triángulo acutángulo: 3 ángulos agudos.
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Triángulo: Polígono de 3 lados
CUADRILÁTERO
Polígono de 4 lados. Se clasifican en:
Paralelogramo: cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos, se denominan a su
vez:
o
Rectángulo: paralelogramo en el cual los cuatro ángulos son rectos, pero los
lados adyacentes no son de igual longitud,
o Rombo: paralelogramo que no tiene ángulos rectos, pero sus lados son de igual
longitud,
o Romboide: paralelogramo que no tiene ángulos rectos y sus lados adyacentes no
son de igual longitud,
Trapecio: cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos, se definen a su vez como:
o
o
Trapecio rectángulo: trapecio que tiene dos ángulos rectos,
Trapecio isósceles: trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual
longitud,
Trapezoide: cuadrilátero que no tiene lados paralelos.
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C UADRI LÁTERO : P OLÍGONO DE 4 LADOS
Clasificación de polígonos según sus lados
Triángulos
Cuadriláteros
Pentágonos
Tienen 3 lados.
Tienen 4 lados.
Tienen 5 lados.
Hexágonos
Tienen 6 lados.
Eneágono
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Heptágonos
Tienen 7 lados.
Decágono
Octágonos
Tienen 8 lados.
Endecágono
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Tiene los 9 lados.
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Tiene 10 lados.
Dodecágono
Tridecágono
Tiene 12 lados.
Tienen 13 lados.
Tiene 11 lados.
Tetradecágono
Tiene 14 lados.
Pentadecágono
Tiene 15 lados.
Clasificación de polígonos según sus ángulos
Convexos
Todos sus ángulos menores que 180°.
Todas sus diagonales son interiores.
CÓNCAVOS
Si un ángulo mide más de 180°.
Si una de sus diagonales es exterior.
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Tipos de cuadriláteros
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
Trapecio
En un polígono podemos distinguir:






Lado (L): es cada uno de los segmentos que
conforman el polígono.
Vértice (V): el punto de unión de dos lados
consecutivos.
Diagonal (D): segmento que une dos vértices no
continuos.
Perímetro (P): es la suma de todos sus lados.
Semiperímetro (SP): es la mitad de la suma de
todos sus lados (mitad del perímetro).
Ángulo interior (AI): es el formado por los lados
consecutivos; este se determina restando de
180 grados sexagesimales el ángulo del centro
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Trapezoide
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

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Ángulo central (AC): es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a
los extremos de un lado; este se calcula dividiendo 360° por el número de lados del
polígono regular.
Ángulo exterior (AE): es el formado por un lado y la prolongación de un lado
consecutivo o podemos aplicar 180º - ángulo interno.
En un polígono regular podemos distinguir, además:


Centro (C): el punto equidistante de todos los vértices y lados.
Apotema (a): segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es
perpendicular a dicho lado.

Diagonales totales,
, en un polígono de
lados.
Propiedades de los polígonos regulares
Algunas de las propiedades de los polígonos regulares son:





En un polígono regular de n lados, si uno de sus lados tiene longitud s, entonces su
perímetro es:
P = ns
Un círculo puede circunscribir a cualquier polígono regular y también puede inscribirse
en cualquier polígono regular.
El centro de un círculo circunscrito a un polígono regular también es el centro de su
círculo inscrito.
Un polígono equilátero inscrito en un círculo es un polígono regular.
Los radios de un polígono regular son congruentes.
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


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Las apotemas de un polígono regular son congruentes.
Una apotema de un polígono regular biseca al lado hacia el cual es dibujada.
Para u polígono regular de n lados:
 Todo ángulo central mide = 360°
n
 Todo ángulo interno mide = (n – 2) 180°
n
 Todo ángulo externo mide = 360°
n
¡IMPORTANTE!
Una circunferencia circunscrita es aquella que pasa por todos los vértices
de un polígono regular.
La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados se determina
por: ( n – 2) 180°.
Propiedades de los Pentágonos:
Todos sus ángulos internos miden 108º. Partiendo del
centro, al repartir la circunferencia entre 5 lados, tenemos
72º.
Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un
pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el
centro, quedará otro pentágono regular, con lo que el
proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos
pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no
tiene fin.
Al inscribir en un pentágono regular un pentagrama, se puede observar la razón áurea entre
las longitudes de los segmentos resultantes.
Se puede trazar empleando, únicamente, regla y compás.
Hexágono: Son los polígonos de seis lados
El hexágono regular tiene las siguientes propiedades:
a.
b.
Todos sus ángulos interiores miden 120º.
Está íntimamente relacionado con los triángulos equiláteros:
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Uniendo cada vértice con su opuesto, el hexágono regular queda dividido en seis triángulos
equiláteros. Numérense los vértices de 1 a 6 siguiendo las agujas del reloj. Uniendo los
vértices impares se obtiene un triángulo equilátero; uniendo los vértices pares se obtiene
otro.
 Se puede empapelar el plano con hexágonos sin dejar ningún
 Se puede trazar empleando únicamente regla y compás.
hueco.
Heptágonos: Son los polígonos de siete lados y siete ángulos.
En un heptágono regular, aquel cuyos lados y ángulos son iguales, los lados se unen
formando un ángulo de aproximadamente 128'6 grados.
Octágonos: Son los polígonos de ocho lados y ocho ángulos.
Un octógono u octágono regular es aquel cuyos lados y ángulos son iguales, los lados se
unen formando un ángulo de 135 grados.
Nonágonos o eneágonos: Son los polígonos de nueve lados y nueve vértices.
Nonágono proviene del latín (nonus, nueve + gonon). Un eneágono regular tiene un ángulo
interno de 140°.
Decágonos: Son los polígonos de diez lados y diez ángulos.
Endecágonos: Son los polígonos de once lados y once ángulos.
Dodecágonos: Son los polígonos de doce lados y doce ángulos.
Pentadecágonos: Son los polígonos de quince lados y quince ángulos.
Icoságonos: Son los polígonos de veinte lados y veinte ángulos.
EN RESUMEN
Por la forma de su contorno:
Convexos: Son aquellos polígonos, en los que al atravesarlos una recta lo cortan en un
máximo de dos puntos.
Cóncavos: Son aquellos polígonos, en los que una recta al atravesarlos pueden cortar en
más de dos puntos.
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Equiláteros: Son los polígonos que tienen todos sus lados iguales.
Equiángulos: Son los polígonos que tienen sus ángulos iguales.
Regulares: Son los polígonos que tienen sus ángulos y sus lados iguales entre sí.
Irregulares: Son los polígonos que tienen sus ángulos y lados desiguales.
El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se
calcula con la fórmula:
(n-2) × 180° / n
Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es:
(8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°
Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°
Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma
línea, así que suman 180°.
Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° ángulo interior
El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el
ángulo exterior es180°-135° = 45°
El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el
ángulo exterior es180°-120° = 60°
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Diagonales
Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales (líneas que van
de un vértice a otro, pero que no
son lados).
El número de diagonales es n(n - 3)
/ 2.
Ejemplos:


Un cuadrado tiene 4(4-3)/2 =
4×1/2 = 2 diagonales
Un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales
(Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)
"Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema... "
Suena musical si lo repites unas cuantas veces, pero sólo son los nombres de los círculos
"exterior" e "interior" (y sus radios) que se pueden dibujar en un polígono regular, así:
La circunferencia "exterior" se
llama circunscrita (a veces también
"circuncírculo"), y conecta los vértices del
polígono.
La circunferencia "interior" se llama inscrita (a
veces también "incírculo"), y toca cada lado del
polígono en el punto medio. El radio de la
circunferencia circunscrita es también el radio
del polígono. El radio de la circunferencia
inscrita es el apotema del polígono.
Si tomamos un "sector" de un polígono regular de "n" lados y lo cortamos por la mitad,
tenemos un triángulo pequeño que contiene toda la información importante:
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Construcción de polígonos regulares
circunscritos
1- Se traza un polígono regular cualquiera de n lados
preferiblemente de mayor tamaño, ya que solo se
usará de referencia.
2- S dibujan las apotemas, partiendo del centro del
polígono.
3- Al tomar el centro del polígono se realiza un círculo
de menor tamaño que este.
4- Se trazan rectas tangentes a la circunferencia, las cuales
siempre serán paralelas a los lados del primer polígono.
5- Al cortarse las tangentes entre sí, se observará el polígono
deseado y luego se borra el polígono de referencia (el
primer polígono).
ÁREA Y VOLUMEN
Área
El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, así que:
Tabla de valores
Podemos usar las fórmulas para hacer una tabla con los lados, apotemas y áreas de
varios polígonos, usando un valor del radio igual a "1":
Nombre
Lados
(n)
Triángulo
(o trígono)
Cuadrilátero
(o tetrágono)
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Ángulo
interior
Radio
Lado
3
60°
1
1.732...
(√3)
0.5
1.299...
(¾√3)
4
90°
1
1.414...
(√2)
0.707...
(1/√2)
2
Figura
Apotema Área
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Pentágono
5
108°
1
1.176...
0.809...
2.378...
Hexágono
6
120°
1
1
0.866...
(½√3)
2.598...
((3/2)√3)
Heptágono
(o septágono)
7
128.571°
1
0.868...
0.901...
2.736...
Octágono
8
135°
1
0.765...
0.924...
2.828...
(2√2)
50
172.8°
1
0.126...
0.998...
3.133...
...
Pentacontágono
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HOJA DE EVALUACIÓN
1. Complete la siguiente tabla.
Nombre del
polígono
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
No. De lados
del polígonos
(n)
5
Valor del
ángulo interno
108°
Suma de
ángulos
interiores
540°
Valor del
ángulo externo
72°
2. Encuentre el número de lados de un polígono regular para el cual la suma de sus
ángulos interiores es:
c.
1800
b. 1260
c. 2340
d. 3420
1. Dibuje los siguientes pentágonos usando el método del ángulo central.
a. Un pentágono de 2 cm por lado.
b. Un pentágono de 4 cm por lado.
c. Un pentágono de 5cm por lado.
2. Construya en su cuaderno los siguientes polígonos regulares.
a. Heptágono
b. Dodecágono
c. Decágono
d. Octógono
3. Coloque verdadero (v) o falso (f) en las siguientes afirmaciones.
a. Todos los polígonos regulares pueden construirse con regla y compas.
b. Cada uno de los ángulos internos del triángulo equilátero mide 60°.
c. El cuadrado es el único cuadrilátero regular.
d. En un hexágono regular, la longitud de sus lados igual al radio, por eso sus radios
lo dividen en seis triángulos escalenos.
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BIBLIOGRAFIA

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/poligonos-regulares.html

http://zip.rincondelvago.com/clasificacion-de-los-poligonos

https://www.google.com.gt/search?q=construccion+de+un+pentagono+regular+con+
regla+y+compas&hl=es&prmd=imvns&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=cJMx
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