Download tema 3 polígonos - IES Nou Deramador

DIBUJO TÉCNICO
BACHILLERATO
TEMA 3. POLÍGONOS.
Departamento de Artes Plásticas
y Dibujo
TEMA 3. POLÍGONOS.
1º
Triángulos
o Definición y notaciones
o Clasificación
o Cuestiones generales
o Puntos y rectas notables
o Construcciones
Cuadriláteros
o Definición y bases
o Clasificación
o Construcciones
Polígonos regulares e irregulares
o Definición y bases
o Clasificación
o Construcciones
o Polígonos inscritos en circunferencias y circunscritos a las mismas.
o Polígonos estrellados
o Redes modulares.
2º
- Triángulos: puntos y rectas notables. Casos especiales.
- Cuadriláteros inscriptible y circunscriptible.
- Polígonos regulares.
- Polígonos estrellados.
- Construcción de triángulos.
- Aplicación correcta de los puntos y rectas notables, así como las especiales, en los problemas planteados.
- Construcción de cuadriláteros.
- Análisis de las formas poligonales como base de diseño de objetos.
- División de la circunferencia y construcción de polígonos regulares por métodos particulares conociendo el
radio.
- Construcción de polígonos regulares por métodos particulares conociendo el lado.
- Construcción de polígonos estrellados.
POLÍGONO REGULAR
POLÍGONO IRREGULAR
POLÍGONO CONVEXO
POLÍGONO CÓNCAVO
Polígono CIRCUNSCRITO
r = apotema del polígono
r = radio de la circunferencia incrita
Polígono INSCRITO
r = radio circunferencia circunscrita
POLÍGONO EXTRELLADO
DIAGONALES de un polígono
Las formas poligonales están en la estructura de muchos objetos y construcciones.
La palabra polígono es de origen griego y quiere decir “varios ángulos”.
Un polígono es: una superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada.
Se llama perímetro de un polígono a la suma de las medidas de sus lados.
Los elementos básicos de los polígonos son: vértices, diagonales, ángulos interiores
y exteriores.
El número de lados de los polígonos determina su nombre: triángulo, cuadrilátero,
pentágono, hexágono, etc.
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota
CUADRADO
RECTÁNGULO
L
PARALELOGRAMO
B
Área: L
2
B
Área: AxB
Área: AxB
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO
b
b
b
Área: b x h
2
c = a2+ b2
Área: b x a/2
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO
TRAPECIO
Área: b x h
2
TRAPEZOIDE
PENTÁGONO
b
r
b
a
c
B
Área: B+b x h
2
HEXÁGONO
Área: (h + H)a +bh +cH
2
Área: perímetro x apotema (r)
2
TRIÁNGULO INSCRIBIBLE
A
r
b
O
a
C
D
B
AREAS Y PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
POLÍGONO: Es la porción del plano limitada por rectas que se cortan.
- Polígono regular: tiene todos los lados y ángulos iguales.
-Polígono irregular: no son iguales todos los lados ni todos los ángulos.
-Polígono inscrito: es el que tiene sus vértices en una circunferencia.
-Polígono circunscrito: sus lados son tangentes a una circunferencia.
-Polígonos estrellados: tienen forma de estrella y se obtienen al unir de 2 en 2, 3 en 3, etc. los vértices del polígono regular.
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
Nota
SEGÚN SUS LADOS
LADOS
Equilátero
C
Todos iguales
A
Rectángulo
Iguales.
Son los
tres de
60º
a=b=c
b
a
SEGÚN SUS ÁNGULOS
ÁNGULOS
A
Isósceles
a=b=c
c
Escaleno
Menores de 90º
Ángulos agudos
B
A
ABC < 90º
C
Obtusángulo
Los tres
diferentes.
Los tres
diferentes
A=90º
Acutángulo
Dos iguales.
Uno,
el opuesto
a la
base,
diferente.
Dos iguales =
lados
Una diferente =
base
b
a
Un ángulo recto.
El lado mayor =
hipotenusa.
Dos lados menores =
catetos.
B
c
Uno de los ángulos
mayor de 90º
b
a
ÁNGULOS
Un ángulo obtuso
a=b=c
A
A > 90º
c
C
En un triángulo el vértice y el lado
opuesto se nombran con la misma
letra, en mayúsculas y minúsculas
respectivamente.
La altura de un triángulo (h)
es la recta perpendicular a
un lado hasta el
vértice opuesto.
b
a
A
c
h
h
B
OTRAS PROPIEDADES
- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º - Cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos,
pero mayor que su diferencia. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es mayor que cada uno de los lados (catetos).
- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 2 meces su mediana. Recta de Euler: recta que pasa por el baricentro, ortocentro y circuncentro de un triángulo. - Si dividimos la mediana de un triángulo en tres partes iguales, el baricentro estará a 2/3 de esa recta.
PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
C
C
BARICENTRO.
MEDIANAS.
Las medianas son las
rectas que van de
el punto medio de un
lado hasta el vértice
opuesto.
Se cumple que
CB = 2 cB
a
b
B
A
B
c
C
CIRCUNCENTRO
MEDIATRICES.
Las mediatrices de sus
lados.
El circuncentro es el
centro de la circunferencia
circunscrita.
a
b
INCENTRO
BISECTRICES.
Bisectrices de los
a
ángulos del triángulo.
Es el centro de la
circunferencia
inscrita.
C
ORTOCENTRO
ALTURAS
b
b
hc = ALTURAS
I
O
A
Las mediatrices y
las alturas se
pueden cortar
fuera del triángulo,
por lo que el circuncentro
y el ortocentro pueden
estar fuera también.
A
B
c
B
c
C
A
c
O
N
P
M
Q
TRIÁNGULO PODAR
TRIÁNGULO COMPLEMENTAARIO
Resultado de unir los pies de las perpendiculares desde un punto cualquiera P
Fecha
Resultado de unir los pies de las medianas
(baricentro)
Nombre de Alumno
TRIÁNGULO ÓRTICO
Resultado de unir los pies de las alturas
(ortocentro)
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
ESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS
CUADRILÁTEROS
LADOS
Cuadrado
ÁNGULOS
DIAGONALES
Iguales
paralelos dos a dos
Iguales.
Son todos rectos.
Iguales.
Perpendiculares
Se cortan en el
punto medio.
Rectángulo
Son Iguales los lados
paralelos.
Iguales.
Son todos rectos.
Iguales.
No perpendiculares
Se cortan en el
punto medio.
Rombo
Los cuatro iguales.
Paralelos dos a dos.
Iguales los opuestos.
No son rectos.
Distintas,
perpendiculares y
se cortan en un
punto medio.
Romboide
Son iguales los lados
paralelos.
Iguales los opuestos.
No son rectos.
Distintas,
No perpendiculares
Se cortan en un
punto medio.
Los trapecios tienen
siempre dos lados
paralelos: son las bases.
Trapecios
Lado
Base Menor
Los trapezoides no tienen
ningún lado paralelo
Trapezoide
Lado
Diagonales
Base Mayor
Trapecio
Isósceles
Son iguales
Los que se apoyan
en la misma base
son iguales.
Son iguales. No se
cortan en el punto
medio.
Son distintos
Son todos distintos
No son rectos
Son distintos.
No se cortan en
un punto medio.
Son distintos
Un lado es perpendicular a las bases
Tienen dos ángulos
rectos.
Son distintos.
No se cortan en
un punto medio.
Es el único tipo de
trapecios que es
inscriptible en una
circunferencia.
Trapecio
Escaleno
Trapecio
Rectángulo
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
ESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS
POLÍGONOS
Los polígonos se designan por el número de sus lados.
T riacon t
CLASIFICACIÓN.
POLÍGONO
LADOS
POLÍGONO
triángulo
3
Endecágono
LADOS
11
Icoságono o Isodecágono
POLÍGONO
LADOS
20
cuadrado
4
Dodecágono
12
T riacon tágono
30
pentágono
5
Tridecágono
13
Tetracon tágono
40
hexágono
6
Tetradecágono
14
Pen t acon tágono
50
heptágono
7
Pentadecágono
15
Hexacon tágono
60
octágono
8
Hexadecágono
16
Hep tacon tágono
70
eneágono
9
Heptadecágono
17
O c tacon tágono
80
decágono
10
Octadecágono
18
Eneacon tágono
Eneadecágono
19
Hect ágono
90
100
Chiliágono
1.000
M iriágono
10 .000
M egágono
1.000 .000
triángulo
cuadrado
pentágono
hexágono
heptágono
octágono
eneágono
decágono
NOMBRE DE UN POLÍGONO MENOR DE 100 LADOS. Polígono de 22 lados: Icosakaidígono.
DECENAS
20:Icosa-
2:dí
30:Triaconta-
3:trí
40:Tetraconta-
4:tetrá
50:Pentaconta-
Fecha
UNIDAD
1:hená
kai
5:pentá
60:Hexaconta-
6:hexá
70:Heptaconta-
7:heptá
80:Octaconta-
8:octá
90:Eneaconta-
9:eneá
Nombre de Alumno
gono
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
ESQUEMA CUADRILÁTEROS. CARACTERÍSTICAS
A
B
C
Construcción de un triángulo equilátero conociendo el lado.
Como los tres lados son iguales sobre una recta cualquiera se sitúa uno
de ellos AB. Desde A y desde B se trazan arcos como radio el lado AB y
donde se cruzan los arcos se encuentra el tercer vértice C
A
Construcción de un triángulo equilátero conociendo la altura h.
B
h
3
Sobre una recta cualquiera t se toma un punto O arbitrario.
Por el punto O se traza la perpendicular a la recta.
Sobre la perpendicular anterior, y a partir del punto O se lleva una longitud
igual a la altura dada h.
La altura se divide en tres partes iguales. La 3 será uno de los vértices del
triángulo C.
Con centro en la división 1, se describe una circunferencia de radio r= 1-3
que cortará a la recta inicial t en los vértices A y B.
C
2
h
1
t
O
A
B
h
Construcción de un triángulo equilátero conociendo la altura h.
C
Como todos los triángulos equiláteros son semejantes, se construye uno
auxiliar cualquiera.
Se lleva la altura dada h, a partir de la base de la altura ya construida. El
extremo opuesto será el punto C.
El triángulo se completa por medio de paralelas a los lados hasta el
punto deseado C.
h
A
B
pm
A
B
A
C
Construcción de un triángulo conociendo sus tres lados. (triángulo escaleno).
B
C
C
Como todos los triángulos equiláteros son semejantes, se construye uno
auxiliar cualquiera.
Se lleva la altura dada h, a partir de la base de la altura ya construida. El
extremo opuesto será el punto C.
El triángulo se completa por medio de paralelas a los lados hasta el
punto deseado C.
A
Construcción de un triángulo isósceles conociendo la base AB y la
altura h..
B
B
A
C
h
Sobre una recta se toma un segmento AB igual a la base.
Se traza la mediatriz del segmento AB.
Sobre la mediatriz y a partir del punto medio pm, se transporta la altura h
obteniendo el tercer vértice C
h
A
Fecha
Nombre de Alumno
B
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
TRIÁNGULOS
A
Construcción de un triángulo rectángulo conociendo los dos cateros
AB y AC.
B
A
C
Sobre una recta cualquiera se toma el segmento AB.
Por un extermo A se traza la perpendicular a la recta, llevando sobre ella
el otro cateto AC
Al unir los extremos C y B se completa el triángulo
A
B
A
Construcción de un triángulo rectángulo conociendo la hipotenusa BC
y un cateto AB
B
B
Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al cateto
conocido.
Por un extremo A se traza una perpendicular a la recta.
Con centro en el otro extremo B y radio igual a la hipotenusa se traza
un arco que corta a esta perpendicular en el punto C, que será el
tercer vértice.
C
A
B
Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto AB y el
ángulo opuesto.
A
B
C
Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al cateto conocido
Por un extremo A se traza la perpendicular a la recta..
Por un punto C cualquiera de la perpendicular se traza una recta que forme
un ángulo igual al dado.
Por el otro extremo B del cateto se traza la paralela al lado del ángulo
construido anteriormente. Esta paralela corta a la perpendicular trazada
por el extremo B en el punto D, que será el tercer vértice.
D
a
a
C
A
B
A
Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto AB y el
ángulo adyacente no recto.
D
Sobre una recta cualquiera se toma un segmento AB igual al cateto conocido
Por un extremo A se traza la perpendicular a la recta..
Por el otro extremo B se construye un ángulo igual al dado.
Donde el lado del ángulo corta a la perpendicular trazada por A se obtiene
el vértice C.
a
B
A
a
B
Construcción de un triángulo rectángulo conociendo un cateto AC y la
hipotenusa BC
B
A
B
C
C
A
Sobre una recta cualquiera se situa la hipotenusa BC.
Se obtiene el punto medio del segmento BC y se traza la semicircunferencia
(arco capaz de 90º).
Desde C se traza un arco de radio AC que corta a la semicircunferencia
en el punto A que es el vértice del ángulo recto.
B
Fecha
Nombre de Alumno
C
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
TRIÁNGULOS
A
C
C
h
Construcción de un triángulo isósceles conociendo los lados iguales
AC y la altura h.
Sobre una recta se toma un punto arbitrario como punto medio pm.
Por este punto se traza la perpendicular a la recta.
Sobre ella, y a partir del punto pm se transporta la altura dada h.
Con centro en el punto C y radio igual al lado se describe un arco que corta
a la recta en dos puntos A y B que junto con el punto C son los vértices
del triángulo.
h
A
B
pm
B
A
C
Construcción de un triángulo isósceles conociendo el lado desigual AB
y un ángulo igual a
Sobre una recta cualquiera se toma el lado AB y se construye el ángulo
desde sus vértices para obtener el punto C en su intersección.
A
a
a
a
a
B
A
C
A
Construcción de un triángulo isósceles conociendo uno de los lados
iguales AC y el ángulo desigual d
C
C
d
d
Se traza una recta vertical y se considera la bisectriz del ángulo.
Desde un punto arbitrario de la recta C se dibuja el ángulo sobre la
prolongación de sus lados se trazan los arcos con radio igual al lado dado
para obtener los vértices A y B.
A
a
B
C
B
A
Construcción de un triángulo isósceles conociendo la base AB y el
ángulo opuesto a la misma j
C
d
Sobre una recta se toma un segmento AB igual a la base.
Se traza la mediatriz del segmento AB.
Se traza el arco capaz del ángulo para obtener el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo. Donde la mediatriz corta a la circunferencia se
obtiene el vértice opuesto.
a
Construcción de un triángulo isósceles conociendo uno de los lados
iguales AC y un ángulo igual a
A
C
A
A
B
d
C
a
Sobre una recta horizontal se construye el ángulo a y se prolonga el lado.
Desde el vértice A se traza una arco con radio AC hasta cortar al lado en
el vértice C
Para finalizar se traza un arco de radio AC desde el punto C para obtener el
último vértice B.
A
Fecha
Nombre de Alumno
a
a
B
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
TRIÁNGULOS
A
B
C
Construcción de un triángulo conociendo un lado AB y los ángulos
adyacentes a y b
b
a
A
B
Sobre una recta cualquiera se dibuja el lado AB y desde cada extremo se
dibujan los ángulos dados hasta cortarse en el vértice C.
b
a
A
A
B
B
A
C
C
Construcción de un triángulo conociendo dos lados AB y AC y el
ángulo comprendido a.
Sobre una recta cualquiera se dibuja el lado AB y desde el vértice A se
dibuja el ángulo dado prolongando sus lados.
Desde A se traza un arco de radio AC para obtener el último vértice..
A
a
a
A
A
Construcción de un triángulo conociendo dos lados AB y AC y la
mediana correspondiente al lado AB mc.
B
C
B
A
C
mc
Se dibuja la mediatriz del lado AB y se obtiene el punto medio pm.
Con centro en el punto A y radio AC se dibuja un arco.
Con centro en el punto medio pm se traza otro arco con el radio de la
mediana que se corta al anterior en el punto C, tercer vértice del triángulo.
A
B
pm
A
B
h
mc
Construcción de un triángulo conociendo un lado AB, la altura de
esta lado h y su mediana mc.
Se dibuja la mediatriz del lado AB y se obtiene el punto medio pm.
Se traza una paralela al lado AB a una distancia igual a la altura h.
Con centro en el punto medio pm se traza un arco de radio igual a la
mediana que cortará a la paralela en el punto C.
C
h
A
B
pm
A
B
m1
Construcción de un triángulo conociendo un lado AB y las medianas de
los otros dos lados, m1 y m2.
m2
Sabiendo que las medianas se cortan en el baricentro a 2/3 de la longitud
tomada desde el vértice, se dibuja el lado AB y desde cada uno de sus
extremos se traza un arco de radio 2/3 de cada una de las medianas,
obteniendo el baricentro.
Se completan las medianas y se acaba el triángulo.
C
pm
m1
m2
A
Fecha
Nombre de Alumno
B
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
TRIÁNGULOS
B
A
Construcción de un triángulo rectángulo, dada la hipotenusa AB
C
C
Se dibuja la hipotenusa y se obtiene el punto medio del segmento pm. Con
cento en este punto se traza la semicircunferencia, arco capaz de 90º.
En cualquier punto de la semicircunferenica estará el vértice C.(f.2)
Para hacer un triángulo isósceles rectángulo sólo habrá que dibujar la
mediatriz de AB y donde corte a la semicircunferenica estará C. (f. 1)
A
B
f.1
A
Construcción de un triángulo rectángulo conociendo la mediana
correspondiente a un cateto AB y el ángulo agudo a adyacente al mismo.
B
f.2
A
Sobre un segmento arbitrario se traza una perpendicular desde uno de los
extremos y desde el otro se construye el ángulo dado. Donde se cortan
ambas rectas tenemos el vértice C. Se obtiene el punto medio de ese
segmento pm, y se hace pasar una recta por C y por el punto medio pm.
Desde C y con la apertura de la mediana se corta a esta recta en lo que
será el punto medio del triángulo buscado. Se prolonga la recta vertical
hasta la altura de pm para obtener el punto A, se prolonga la recta del
ángulo y se dobla la distancia A pm para obtener B
B
C
a
B
a
pm
A
pm
Construcción de un triángulo conociendo un ángulo a, la mediana m y
la altura h.
a
C
Se traza una recta horizontal base. Sobre ella se traza una perpendicular
con el tamaño de la altura h.
Con centro en el vértice C y radio de longitud igual a la mediana se traza
un arco que en su intersección con la recta horizontal base determina el
punto medio pm.
Se halla el simétrico C´ de C respecto del pm y se traza el arco capaz de
180º-a del segmento CC´ determinando así el vértice B en la intersección
del arco con la ercta horizontal base.
El punto A es el simétrico de B con respecto al punto medio pm.
m
h
A
h
pm
B
C
a
m
Construcción de un triángulo conociendo sus tres alturas.
Con origen común en un punto cualquiera D se trazan tres segmento en direcciones arbitrarias con la longitud de las alturas. Se
traza una circunferencia que pase por los tres extremos. Esta circunferncia corta a los segmento en los punto 1, 2 y 3.
Se construye un triángulo con las distancias D1, D2 y D3, que será semejante al buscado.
Para dibujar el definitivo se trazan paralelas por una de las alturas definitivas.
h1
h2
h3
1
2
D
D3
3
Fecha
Nombre de Alumno
D2
D1
D3
D2
D1
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
TRIÁNGULOS
Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD.
C
b´
d
C
D
b
A
B
D
d´
B
d
d
d´
d´
d
b
b´
A
B
Dado el centro O de una circunferencia y una cuerda AB de la misma,
represente el trapecio isósceles inscrito en la circunferencia, siendo su
base mayor la cuerda AB, y sabiendo que las diagonales forman con ella
un ángulo de 45º. Deduzca razonadamente el valor de los ángulos que
forman las diagonales con la base menor.
Un cuadrilátero es inscriptible cuando los ángulo
opuestos son suplementarios, es decir, suman
180º y es circunscriptible cuando la suma de los
lados opuestos es igual.
D
C
45º
Los ángulos que forman las diagonales con la
base menor serán de 45º puesto que son
ángulos alternos.
45º
O
45º
Alternos:1-2,3-4, ...
correspondientes:
2-5, 3-8, ...
45º
A
45º
B
45º
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
P 10
Nota
Título de lámina
CUADRILÁTEROS
Con el teorema de las paralelas existen multitud de ejercicios resueltos. Para ver cuadriláteros, en concreto trapecios,
vamos a estudias dos ejercicios en concreto: Trapecio cuando nos dan los cuatro lados y trapecio cuando nos dan
las dos bases y las dos diagonales.
Teorema: Si tres o más paralelas intersectan en segmentos congruentes
a una recta secante, entonces cortan a cualquier otra recta secante en
segmentos congruentes.
Si dos o más rectas paralelas son cortadas por dos o más
rectas también paralelas, los segmentos resultantes serán
iguales.
D
Base m
D
C
M
A
Base m
P
a
Base m
C
Q
A
Y
R
Base m
N
B
X
B
b
Z
s
c
t
Dibuje un trapecio escaleno conocidas las dos bases b= AB y b´=CD y las dos diagonales d=CB y d´AD.
b´
C
d
C
D
b
A
B
D
d´
B
d
d
d´
d´
d
b
b´
A
B
Dibuja un trapecio dados los cuatro lados:
Base mayor AB = 75 mm Base menor CD = 30 mm.
L1 = 37 mm. L2 = 52 mm.
D
L1
Base menor
C
L2
L2
Base menor
A
Base mayor
M
B
Base mayor - Base menor
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
CUADRILÁTEROS
CUADRILATERO INSCRIBIBLE. Se llama así al cuadrilátero
que se puede inscribir en una circunferencia.
En un cuadrilátero inscribible sus ángulos opuestos son
suplementarios, es decir, suman 180º.
Recíprocamente, un cuadrilátero que tenga sus ángulos
opuestos suplementarios es inscribible.
A
A+B = C+D = 180º
b
Teniendo en cuenta que el valor de un ángulo inscrito es la
mitad del ángulo central que abarca el mismo arco:
O
A+B = a/2+b/2 = a+b/2 = 360 º/2=180º
a
C
D
B
C
D
G
H
O
F
A
CUADRILÁTERO CIRCUNSCRIBIBLE. Se denomina así
al cuadrilátero en el que se puede inscribir una circunferencia.
En un cuadrilátero circunscribible la suma de los lados opuestos
vale lo mismo.
De igual manera, un cuadrilátero cuya suma de los lados
opuestos valga lo mismo es circunscribible.
B
E
Fecha
Nombre de Alumno
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Nota
Título de lámina
CUADRILÁTEROS
Para la construcción de polígonos regulares se contemplan dos tipos de ejercicios: 1.- Dividir una circunferencia en un número cualquiera de
partes iguales que es lo mismo que inscribir polígonos regulares en una circunferencia. 2.- Construir un polígono regular de cualquier número
de lados a partir del lado conocido.
A
División de una circunferencia en TRES y SEIS partes iguales. TRIÁNGULO Y HEXÁGONO.
El lado de un hexágono es igual al radio de la circunferencia circunscrita: por lo tanto basta tomar
el radio r e ir tomando cuerdas consecutivas.
Para construirlo de forma sencilla: se dibujan dos diámetros perpendiculares AD, y PQ.
Por el extremo de uno, A por ejemplo, se dibuja un arco igual al radio de la circunferencia, (el arco
debe de pasar por el centro de la misma). Por el extremo opuesto del diámetro, D, realizamos la
misma operación. Donde estos arcos corten a la circunferencia serán los vértices del hexágono.
Si queremos un triángulo (3 lados) solo tendremos que unir los vértices de 2 en 2 (en azul).
Si queremos construir un dodecágono (12 lados) haremos la misma operación con el otro diámetro
con sendos arcos en los extremos P y Q.
Trazando las bisectrices de los ángulos centrales se pueden obtener polígonos de 24, 48, etc.
F
B
r
P
Q
o
E
C
AB = r
D
A
División de una circunferencia en CUATRO y OCHO partes iguales. CUADRADO Y
OCTÓGONO.
H
B
Para construir un cuadrado de forma sencilla: se dibujan dos diámetros perpendiculares AE, y CG.
Donde cortan estos diámetros a la circunferencia serán los vértices del cuadrado.
Para obtener el octógono (en rojo) solamente se deberá dibujar la bisectriz de los ángulos o bien la
mediatriz del lado del cuadrado hasta que corte a la circunferencia.
Si se quieren polígonos de 16, 32, etc. Se realizará la misma operación que con el octógono.
45º
C
G
o
D
F
E
A
División de una circunferencia en CINCO y DIEZ partes iguales. PENTÁGONO Y
DECÁGONO.
1. Se dibujan dos diámetros perpendiculares AQ, y LM.
2. Se dibuja la mediatriz de un radio. El arco corta a la circunferencia en N y la mediatriz al radio
en L.
3. Dibujar un arco con centro en L y radio LA, hasta que corte el radio OC, es el punto P.
4. La distancia de A hasta P, será la magnitud del lado del pentágono.
5. Se lleva distancia AP 5 veces sobre la circunferencia.
N
B
E
L
o
P
Si se quieren polígonos de 10 lados (decágono), Solamente habrá que coger la magnitud OP que
es el lado del decágono. También se puede dividir el lado del pentágono con mediatrices o
bien dibujar las bicectrices de los ángulos. Estas operaciones sirven para conseguir polígonos
de 20 lados, etc.
M
L
D
C
Q
A
R
División de una circunferencia en siete y catorce partes iguales. HEPTÁGONO Y
TETRADECÁGONO.
B
1. Se dibuja el diámetro MN.
2. Se traza la mediatriz del segmento O, centro de la circunferencia, y M. Corta la mediatriz
a la circunferencia en los puntos R y S.
3. El segmento PR es el lado del heptágono. Poner esta medida a lo largo de la circunferencia.
Para el polígono de catorce lados:
1. Desde el centro de la circunferencia, dibujar las perpendiculares a los lados del heptágono.
F
N
o
C
E
S
D
A
1. Se dibujan los diámetros AN y MP perpendiculares entre sí.
2. Con centro en N y radio N0, el mismo que la circunferencia, se traza un arco que corta en Q.
3. Con centro en el otro extremo del diámetro A, y con radio AQ se dibuja un arco que corta en
el diámetro perpendicular MP en el punto T.
4. Con centro en T y radio TA se dibuja un arco que corta en el diámetro MP en el punto R.
5. El segmento MR es el lado del eneágono.
6. Colocar esta medida en toda la circunferencia. (en nuestro caso se ha empezado por A)
9
3
L9
8
R
M
o
P
T
Q
4
7
5
Fecha
1
2
División de una circunferencia en nueve partes iguales. ENEÁGNO.
M
P
Nombre de Alumno
N
6
Curso
2º BACHILLERATO
Nº de lámina
Título de lámina
POLÍGONOS REGULARES. CONSTRUCCIONES SEGÚN EL RADIO.
(División de una circunferencia en partes iguales)
Nota
A
Dibujar un PENTÁGONO cuando nos dan el LADO.
D
B
1. Poner el lado AB sobre una recta horizontal r.
2. Por el punto B, levantar una perpendicular.
3. Dibujar la mediatriz del lado AB, se halla de este modo el punto medio (pm)
4. Desde el punto B abrir el compás hasta A y dibujar un arco que corte a la
perpendicular anterior en el punto P. Prolongar un poco más el arco.
5. Desde el punto medio de AB (pm) abrir el compás hasta P y dibujar un arco
que corte a la recta r en el punto M.
6. Desde el punto A abrir el compás hasta el punto M y dibujar un arco que corte
al primer arco dibujardo (BAP) en el punto C y también cortará a la mediatriz en
el punto D. C y D son vértices del pentágono.
7. Desde el punto D y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco.
8. Desde el punto A y con la medida del lado del pentágono dibujar un arco.
Donde se cortan los arcos anteriores será el punto y vértice final del pentágono: E.
C
P
E
r
pm
A
B
M
L
Dibujar un HEXÁGONO cuando nos dan el LADO.
A
Como el lado del hexágono es igual al radio, lo que tendremos que
hacer es buscar el centro de la circunferencia donde esté inscrito
el hexágono. Debemos de saber también que si dividimos una
circunferenica (360º) en seis partes iguales obtendremos ángulos de
60º. Un triángulo equilátero tiene tres ángulos de 60º.
1. Pondremos el lado AB sobre una recta r.
2. Dibujaremos un triángulo equilátero de lado AB: poner el compás en
A y con radio AB realizar un arco. Hacer lo mismo desde B.
3. Donde se cortan los dos arcos tendremos el punto O, centro de la
circunferencia del hexágono.
4. Dibujar la circunferencia que pase por A y por B (ojo, que pase por A
y por B).
5. Hallar los vértices del hexágono como en el ejercicio anterior.
B
C
F
Dibujar un OCTÓGONO cuando nos dan el LADO.
Hay construcciones de polígonos que tienen varios métodos.
Nosotros vamos a utilizar el siguiente:
1. Se dibuja el lado (AB).
2. Se dibuja la mediatriz del lado AB: hallamos el punto medio M.
3. Por el punto M dibujamos un arco de radio MA que corta a la mediatriz
en el punto O1.
4. Dibujamos una circunferencia con centro en O1 y radio O1A. Esta
circunferencia corta a la mediatriz en el punto O2, que será el centro de
la circunferencia que contenga los ocho lados (circunscrita al octógono).
5. Dibujamos la circunferencia mencionada: con centro en O2 y radio
O2A.
6. Llevamos sobre ella el lado AB ocho veces.
D
E
o
A
B
F
E
D
G
O2
H
C
O1
A
B
Dibujar un HEPTÁGONO cuando nos dan el LADO.
Dibujar un ENEÁGONO cuando nos dan el LADO.
1. Se dibuja la mediatriz del lado (AB) y una perpendicular
(t) al mismo por A.
2. Se dibuja un ángulo de 30º con el vértice en B.
El ángulo corta a la perpendicular t en el punto Q.
3.Desde B y con radio BQ se dibuja un arco que corta
a la mediatriz en O1, centro de la circunferencia del
E
polígono.
1. Se dibuja la mediatriz del lado (AB). 2. Con centro en B y radio BA se traza un
arco que corta a la mediatriz en el punto M. 3. Con centro en M y radio MA se
traza un arco que corta a la mediatriz en el punto N.
4. Con centro en N y radio NM se traza un arco
E
que corta a la mediatriz en el punto E, vértice
opuesto del lado AB y del diámetro de la
circunferencia que circunscribe el eneágono.
5.Para hallar el centro dibujar la mediatriz
N
del segmento BE hasta que corte
al diámetro.
F
D
t
O1
O1
M
Q
C
B
G
A
B
B
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
A
Curso
Nota
CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.
Dibujar polígonos regulares con EL MÉTODO GENERAL.
Hay que tener en cuenta que el método general es un método inexacto. Por lo tanto para construir polígonos en dibujo técnico se utiliza el
método específico de cada uno de ellos. Estos métodos se pueden utilizar para grandes polígonos de un número elevado de lados pero el
resultado casi siempre tiene que ajustarse o tiene que ser rectificado.
MÉTODO GENERAL cuando nos dan el RADIO.
1. Dibuja un diámetro vertical
(ojo, que pase por el centro O)
2. divídelo por el teorema de tales en tantas partes
como lados deba de tener el polígono que queremos
construir, en nuestro ejemplo 9.
3. Desde A, extremo del diámetro se dibuja un arco
de rado AP (el diámetro). Desde el otro extremo
P se realiza otro arco igual que el primero.
4. Donde se cortan los dos arcos será el punto M.
5. Unir mediante una recta M y el punto 2 de la
división de la circunferencia. Ojo, no confundir el 2
del diámetro con el nº 2 de la división del teorema de
tales.
6. La prolongación de esta recta, M2, cortará a la
circunferencia en el punto B primera división de la
circunferencia. La recta AB será el lado del eneágono.
7. Ir colocando la medida AB consecutivamente
desde A.
A
1
B
I
2
3
2
4
5
C
H
6
8
9
G
D
E
A tener en cuenta:
Si el polígono es de lados impar como es el caso,
el lado EF en este caso ha de estar partido por la mitad
por el diámetro.
Si al acabar el polígono no coincide la última
medida con el punto A, hay que rectificar AB, más
grande o más pequeño según el caso.
Tener en cuenta que cualquier error por muy pequeño
que sea en AB se multiplicará por 9 en este caso.
F
P
G
MÉTODO GENERAL cuando nos dan el LADO.
1. Poner el lado AB en una recta, en la parte inferior
del recuadro a dibujar el polígono.
2. Como el polígono que vamos a dibujar es de 11
lados vamos a dibujar en primer lugar una
circunferencia de 6 lados y otra de 12 lados.
El polígono de 11 estará entre estos dos últimos,
luego el centro de la circunferencia circunscrita también.
(ver hexágono según el lado)
3. Dibujar un arco desde A con radio AB y desde B igual.
4. Donde se cortan los dos arcos será el centro de la
circunferencia de 6 lados (hexágono). Dibujamos la
circunferencia
5. Dibujamos el diámetro de dicha circunferencia.
Este diámetro corta a la circunferencia en 12, centro
de la circunferencia de 12 lados (dodecágono).
6. Dividimos el segmento que va de 6 a 12 en seis
partes iguales.
7. Cada una de las partes en que se divide será un
centro de una circunferencia del número señalado en
el que caben tantos lados AB como divisiones
marcadas (por ejemplo la división 7 será el polígono
de siete lados AB)
8. Nosotros cogeremos el punto 11. Ponemos el
compás en 11 y dibujamos una circunferencia.
9. Ponemos en la circunferencia dibujada 11 veces
el lado AB.
10. Repasar siempre la figura un poco más oscuro
o con un color con el lápiz bien afilado.
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
M
O
7
H
F
I
E
12
11
10
9
8
7
6
J
D
C
K
A
B
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.
Polígonos estrellados.
Un polígono regular estrellado es un polígono cóncavo en forma de estrella con diferentes vértices o puntas.
Para construir un polígono estrellado hay varios métodos. El que se utiliza más en dibujo técnico es el El Método de Reducción: consiste en
trazar la estrella inscrita dentro del polígono regular. Por lo tanto hay quee dibujar primero su polígono regular en el que está sustentado, y unir
los v értic es de éste de dos e n dos, de tre s en tres , d e c uatro en cuatro, de cinco e n c inco, etc.
Otro método es El Método de Extensión: consiste en utilizar el polígono regular como centro, trazándose las puntas de las estrella mediante la
prolongación de los lados del polígono regular.
.
El número de polígonos estrellados que se pueden dibujar con un número de vértices diferente, es igual la cantidad de números primos con
el número de vértices del polígono base dividido por dos. Un número es primo respecto a otro cuando ambos no tienen divisores comunes.
Por ejemplo: para el pentágono (5 lados), los números menores que la mitad de sus lados son el 2 y el 1, y de ellos, primos respecto a 5 solo
tendremos el 2, por lo tanto podremos afirmar que el pentágono tiene un único estrellado, que se obtendrá uniendo los vértices de 2 en 2.
A
Dibujar un pentágono estrellado.
Para construir un pentágono estrellado de cinco puntas hay que construir el pentágono
regular como ya hemos aprendido, dependiendo ello de si nos dan el radio o el lado.
Después hay que unir los vértices de dos en dos, por ejemplo A con C, C don E, E con B,
y así continuamente hasta que se cierra el polígono (hasta que se lleva a A al final).
B
E
O
Dibujar un heptágono estrellado (de siete puntas).
Para construir un polígono estrellado de siete puntas, hay que dibujar primero el
heptágono regular. Para construir el heptágono se realiza con los primeros pasos del
pentágono según el radio. 1. Se dibuja la circunferencia con el radio dado.
2. Se dibujar dos diámetros perpendiculares. 3. Se dibuja la mediatriz del radio OP.
4. El lado del heptágono será KM. 5. Se coge la medida de KM y se pone 7 veces desde A.
C
D
Para construir un polígono estrellado de siete puntas, unir los vértices de dos en dos (en rojo), o si se prefiere de tres en tres (polígono verde)
puesto que este polígono tiene dos estrellados.
A
k
B
B
L7
B
A
A
G
C
C
O
M
O
P
G
G
O
F
C
D
D
E
D
F
F
E
E
Fecha
Nombre de Alumno
Nº de lámina
Título de lámina
Departamento de
Artes Plásticas
Curso
Nota
CUADRILÁTEROS. Cuadrado y Rectángulo.