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Conjuntos Numéricos
Axiomas de los números
La matemática se rige por ciertas bases, en la que descansa toda la
matemática, estas bases se llaman axiomas.
¿Cuántas operaciones numéricas conocen? La suma…
Las dos operaciones en que se basan los axiomas son la Adición y la
Multiplicación.
Algunos axiomas ustedes los conocen, son los que veremos a
continuación.
Primero designaremos letras a, b y c, que servirán para generalizar
nuestros axiomas o que algunos llaman propiedades:
Axiomas de la adición:
1.- Propiedad Conmutativa: a + b = b + a
Ejemplos: 5 + 3 = 3 + 5
2.- Propiedad Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + c
Ejemplos: 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4
3.- Elemento Neutro Aditivo: a + 0 = a
Ejemplos: 8 + 0 = 8; -4 + 0 = -4
4.- Inverso Aditivo: a + (-a) = 0
Ejemplo: 6 + (-6) = 0
Axiomas de la Multiplicación.
1.- Propiedad Conmutativa: a · b = b · a
Ejemplos: 2 x 4 = 4 x 2
2.- Propiedad Asociativa: a · (b · c) = (a · b) · c
Ejemplos: 5 x (1 x 7) = (5 x 1) x 7
3.- Elemento Neutro Multiplicativo: a · 1 = a
Ejemplos: 9 x 1 = 9; -3 x 1 = -3
4.- Inverso Multiplicativo:
Ejemplos:
Y una propiedad que ocupa las dos operaciones es la:
5.- Propiedad Distributiva: a · (b + c) = a · b + a · c
Ejemplo: 5 · (3 + 4) = 5 · 3 + 5 · 4
Estructuras Algebraicas
Sea una estructura algebraica (es un conjunto al que se le asocia una operación,
siendo el conjunto operado cerrado)
GRUPO:
Sea E un conjunto no vacío y (+,*) una operación binaria interna definida en él:
Si resulta que la operación (+,*) verifica las propiedades:
1. Asociativa
2. Existencia de elemento neutro
3. Existencia de elementos opuestos o inversos, entonces se dice que E con
la operación * tiene estructura algebraica de grupo o simplemente que
(E, (+,*)) es un grupo.
4. Si además * verifica la propiedad conmutativa. Entonces (E, (+,*)) es un
grupo conmutativo.
La suma define estructura de grupo conmutativo en el conjunto de los números
enteros ( ), en el de los números racionales ( ), en los números reales ( ) y
en los números complejos ( ).
ANILLO:
Sea E un conjunto no vacío y + y · dos operaciones binarias internas definidas
en él:
Si resulta que para la primera operación + se verifican las propiedades:
1. Asociativa
2. Existencia de elemento neutro
3. Existencia de elementos opuestos o inversos
4. Conmutativa
Y la segunda operación
1.- Asociativa
2.-Distributiva
Demostraciones
Propiedades de los conjuntos
¿Qué es un conjunto? ¿Qué entienden por conjunto?
La palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una agrupación o
colección de objetos.
En símbolos lo escribimos así
Le ponemos como nombre una letra imprenta mayúscula y lo leemos:
UN CONJUNTO ESTÁ EXPRESADO POR EXTENSIÓN CUANDO SE
NOMBRAN TODOS SUS ELEMENTOS.
Ejemplo:
A es el conjunto formado por m, t y h
Diremos que h pertenece a A,
En símbolos
m pertenece a A, en símbolos:...................................
t pertenece a A, en símbolos....................................
k no pertenece a A,
En símbolos:
8 no pertenece a A, en símbolos...................
g no pertenece a A, en símbolos...................
Hemos dicho que para que un conjunto queda determinado si sus
elementos están anteriormente definidos.
Suponga que se le pide formar el conjunto de las ranas que maúlla. Ud.
responderá "ninguna rana maúlla". El conjunto es VACÍO no hay ranas que
cumplan esa condición, los elementos están bien definidos pero no hay ninguno.
El conjunto vacío es único y se representa simbólicamente:
Conjuntos numéricos
Recuerde las formas de definir un conjunto: por extensión y por comprensión
Números naturales
Los puntos sucesivos significan: "y así sucesivamente"
Son los que se utilizan para contar objetos existentes
En algunos casos este conjunto incluye el cero.
En ese caso se anota
N a veces se lo denomina: enteros positivos ( )
* ¿Tiene este conjunto primer elemento?
* ¿Tiene este conjunto último elemento?
* Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir que elemento lo precede?
* Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir que elemento le sigue?
También podemos verlos como una serie de puntos alineados y equidistantes
Operemos con estos números
3 +1
=
4
4 -3
=
1
3 -4
=
?
Como llegamos a una operación que no podemos resolver. Es necesario extender
este conjunto.
Números enteros
Son los naturales más sus simétricos y el cero.
* ¿Tiene este conjunto primer elemento?
* ¿Tiene este conjunto último elemento?
* Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir que elemento lo precede?
* Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir que elemento le sigue?
También podemos verlos de la siguiente manera
Operemos con estos números:
3-4
=
-1
2* 3 =
6
6: 2
=
3
3: 2
=
?
Como llegamos a una operación que no podemos resolver. Es necesario extender
este conjunto.
Números Racionales
Q = {a sobre b, tal que a y b pertenecen a Z y b es distinto de cero}
De aquí en adelante no aclararemos más que los denominadores deben ser
distintos de cero.
También llamados fracciones
* ¿ Tiene este conjunto primer elemento ?
* ¿ Tiene este conjunto último elemento ?
* Dado un elemento cualquiera, ¿ se puede decir que elemento lo precede?
* Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir que elemento le sigue?
También los podemos ver de la siguiente manera
Operemos con estos números
Reflexione sobre esta imposibilidad hasta comprender realmente.
Rehaga los ejemplos dados en clase.
Obviamente necesitamos crear un conjunto que agrupe este tipo de números.
Números irracionales
Son los que no se pueden expresar como racionales
* ¿ Tiene este conjunto primer elemento ?
* ¿ Tiene este conjunto último elemento ?
* Dado un elemento cualquiera, ¿ se puede decir que elemento lo precede?
* Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir que elemento le sigue?
Podemos graficar de la siguiente manera
Números reales:
Con lo cual obtenemos la denominada recta real. (Piense en las dos rectas
cribadas sobrepuestas)
Recuerde: una recta es una sucesión infinita de puntos alineados.
Entre dos puntos siempre existe otro punto, o bien entre dos puntos existen
infinitos puntos (reflexione sobre estas dos cuestiones)
A cada número real le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un
número real.
De aquí en más siempre que hablemos de número nos referiremos a un
número real, en caso contrario se hará expresa mención.
A cada número le corresponde un punto y a cada punto le corresponde un
número.
* ¿Tiene este conjunto primer elemento?
* ¿Tiene este conjunto último elemento?
* Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir que elemento lo precede?
* Dado un elemento cualquiera, ¿se puede decir que elemento le sigue?