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CONJUNTOS NUMÉRICOS
NÚMEROS NATURALES
AXIOMAS DE PÉANO (1858-1932)
Axioma 1. Cero es un número natural.
Axioma 2. Existe una biyección  : N  N* que, a todo número natural x, asocia un número natural x,
denominado el siguiente de x.
Axioma 3, o axioma de recurrencia (inducción). Sea A una parte de N tal que A contiene al cero, y que, si A
contiene a x, entonces A también contiene al siguiente x. Entonces A coincide con el conjunto N de todos los
números naturales.
Sea A  N.
0𝜖𝐴
(
)→𝐴=𝑁
𝑥 𝜖 𝑎𝐴 → 𝑥 𝜑 𝜖
La proposición x  A se denomina hipótesis de recurrencia.
Las propiedades de N son:
1. Es infinito (∞).
2. Tiene primer elemento: cero. No tiene último elemento.
3. Todo número natural tiene un sucesor. Un número natural y su sucesor se dicen consecutivos.
4. Todo número (excepto cero) tiene un antecesor.
5. El sucesor c de un número natural b es mayor que él y su antecesor a es menor. Simbólicamente: a < b < c
6. Entre dos números naturales existe siempre un número finito de números naturales. Por eso se dice que es
un conjunto discreto.
Definida la operación suma en N, esta operación verifica:
- La suma es interna en N
- Es asociativa
- Tiene elemento neutro: el cero.
- Es conmutativa
N es un monoide aditivo conmutativo.
Definida la operación multiplicación en N, esta operación verifica:
- La multiplicación es interna en N
- Es asociativa
- Tiene elemento neutro: el uno.
- Es conmutativa
N es un monoide multiplicativo conmutativo.
La relación ≤ es un orden total en N.
1
NÚMEROS ENTEROS
La ecuación x + b = a no es siempre resoluble en el conjuntos de los números naturales, si bien, cuando tiene
solución, ésta es única. La resta es una “operación parcialmente definida” en N.
El problema de la simetrización de la adición en N conduce a la introducción de nuevos símbolos, denominados
enteros negativos Z- ,(los enteros naturales se denominan entonces enteros positivos, Z+).
A todo número natural x  N, se asocia un entero negativo, denotado -x (-x es distinto de x salvo para x = 0). Se
tiene así una biyección x  -x de N sobre N- con -0 = 0. Si se toma Z = N  Z- , la biyección x  -x es una
extensión de una involución de Z por la convección –(–x) = x.
Las propiedades de Z son:
1. Es infinito (∞).
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Todo número entero tiene un sucesor. Un número entero y su sucesor se dicen consecutivos.
4. Todo número entero tiene un antecesor.
5. El sucesor c de un número natural b es mayor que él y su antecesor a es menor. Simbólicamente: a < b < c
6. Entre dos números enteros existe siempre un número finito de números enteros. Por eso, el conjunto de
números enteros es discreto.
Desde el punto de vista de las estructuras, Z, respecto de las operaciones suma y producto, es un anillo
conmutativo, íntegro.
Es un anillo conmutativo porque:
(Z, + , . )
(Z , +)
+ es interna en Z
+ es asociativa
Tiene elemento neutro: el cero
Existen elementos simétricos: x ; –x
+ es conmutativa
(Z , +) es un grupo conmutativo
(Z , . )
. es interna en Z
. es asociativa
Tiene elemento neutro: el uno
. es conmutativa
la segunda ley (.) es
distributiva respecto
a la primera ley (+).
Un anillo A  {0} es sin divisores de cero si para cualesquiera dos elementos a, b de A se verifica que: a  0, b  0,
ab  0.
Un anillo es íntegro si es distinto de {0} y no posee divisores de cero.
La relación ≤ es un orden total en Z.
Conjunto de los números Naturales  Conjunto de los números Enteros
N Z
2
NÚMEROS RACIONALES
La ecuación bx = a no es siempre resoluble en el conjuntos de los números enteros, si bien, cuando tiene
solución, ésta es única. El cociente es una “operación parcialmente definida” en Z.
Sabemos que Z es un anillo conmutativo. Que la multiplicación no define en Z una estructura de grupo (los
únicos elementos inversibles de Z son +1 y -1). El problema que se plantea para Z es el de hacer una extensión
de Z a un conjunto más vasto que sea un grupo conmutativo. La solución de este problema conduce a la
construcción del cuerpo Q de los números racionales.
𝑎
𝑄 = { / 𝑎 𝜖 𝑍 𝑦 𝑏 𝜖 𝑍 − {0}}
𝑏
Las propiedades de Q son:
1. Es infinito ().
2. No tiene primero ni último elemento.
3. Entre dos números racionales existen infinitos racionales. Por ello, se dice que el conjunto de números
racionales es denso.
4. Como consecuencia de la propiedad anterior, ningún número racional tiene sucesor ni antecesor.
5. Q es un conjunto ordenado por la relación menor o igual.
Desde el punto de vista de las estructuras, Q, respecto de las operaciones suma y producto, es un cuerpo
conmutativo. Esto es así porque:
(Q, + , . )
(Q , +)
+ es interna en Q
+ es asociativa
Tiene elemento neutro: el cero
Existen elementos simétricos: x ; –x
+ es conmutativa
(Q , +) es un grupo conmutativo
(Q –{0} , . )
. es interna en Q
. es asociativa
Tiene elemento neutro: el uno
Existen elementos simétricos: x ; x–1
. es conmutativa
(Q –{0}, .) es un grupo conmutativo
la segunda ley ( . ) es
distributiva respecto
a la primera ley ( + ).
Conjunto de los números Naturales  Conjunto de los números Enteros  Conjunto de los números
Racionales
N  Z  Q
3
NÚMEROS REALES
La ecuación x2 – 2 =0 no tiene solución en el campo de los números racionales. No existe un número racional
cuyo cuadrado sea 2. Es decir, el conjunto de los números racionales es insuficiente para proporcionar
soluciones a todas las ecuaciones de segundo grado. La solución a esta ecuación requiere la descripción de los
números irracionales.
Los números irracionales son aquellos cuya expresión decimal es infinita y no tiene un período.
Las propiedades de R son:
1. Es infinito ().
2. R no tiene ni primer ni último elemento.
3. Es un conjunto totalmente ordenado: dados dos números reales distintos, siempre se puede establecer entre
ellos una relación de menor o mayor.
4. Ley de Tricotomía Dado cualquier par de números reales a y b, se verifica necesariamente una y solamente
una de las siguientes: a < b ; a = b ó a > b
5. Los números reales completan la recta numérica. Es decir, a todo número real le corresponde un punto sobre
la recta y a todo punto sobre la recta le corresponde un número real.
6. Entre dos números reales existen infinitos números reales, es decir, R es un conjunto denso. Como además
completa la recta, decimos que R es denso y continuo.
Desde el punto de vista de las estructuras, R satisface las tres condiciones siguientes:
1. R es un cuerpo conmutativo
2. Existe un orden total sobre R, que confiere a R, la estructura de cuerpo ordenado.
3. Toda parte no vacía y mayorada de R admite un supremo (la menor de las cotas superiores - verifica el
Axioma del Supremo). Y, como consecuencia del Axioma del Supremo, toda parte no vacía y acotada
inferiormente de R admite un ínfimo (la mayor de las cotas inferiores).
𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
𝑐𝑒𝑟𝑜
𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 {
𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠
𝑅𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠
𝐷𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑜𝑠
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑅𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠
} 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠
{𝐷𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑜𝑠
{
𝐼𝑟𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠 (𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠)
Conjunto de los números Naturales  Conjunto de los números Enteros  Conjunto de los números
Racionales  Conjunto de los números Reales
N  Z  Q  R
4
NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos surgen por la necesidad de resolver situaciones como la que plantea la siguiente
ecuación:
x2 + 1 = 0
x = √−1  R
Conjunto de los números Naturales  Conjunto de los números Enteros  Conjunto de los números
Racionales  Conjunto de los números Reales  Conjunto de los números Complejos
N  Z  Q  R  C
Este conjunto numérico es nuestro objeto de estudio en la Unidad 1 de Álgebra II, y así empezamos el cursado
de esta asignatura.
PARA RESOLVER
1) Escriba V (verdadero) o F (Falso) según corresponda en cada caso. Justifique su respuesta:
a) –3 es un número natural.
g) Los números impares son irracionales.
b) Todo número natural es entero.
h) La raíz cuadrada de cinco es un número racional.
c) Todo número entero es natural.
i) √2.√2 es un número irracional.
d) Los múltiplos de 11 son números enteros.
j) A todo punto sobre la recta le corresponde un
número racional.
e) El inverso multiplicativo de todo número entero
distinto de cero es un número entero.
f) Los números pares son racionales.
k) A todo número irracional le corresponde un punto
sobre la recta.
2) Clasifique los siguientes números en racionales e irracionales:
1
√4
3
a) √6
b)- 7
c)
g) -5
h) e
i) √13
d) – π
e) 7
j) 0
k)
f)
4
5
√3
3
l) 12
3) Escribe dos números racionales y dos irracionales que estén comprendidos entre:
31
18
a) 7,34 y 7,35
b) 0, 4̂ y 0,45
c)
𝑦
13
7
4) Coloque el signo “   ó  ” entre cada pareja de números.
1/2 .....…3/10
0,7………..
7
9
3/10 …..1/3
3, 9̂ ……..4
5
2
4
……. 
5
3
2.619 …….2.6
3,99 …...3, 9̂

5/2 ………2,5
5) Escriba en la forma más abreviada posible las siguientes expresiones:
2
a) 3√2 7√2
b) √5 (2 + √5)
c) (√5 + √2)
d) (1 + √2 ) (3 + √2)
e) (√5 + √4)(√5 − √4)
f) 5 + 4√3(7 + 2√3)
6) ¿Cuáles axiomas o propiedades, si es que los hay, justifican cada enunciado?
a) 6 ( x + 3 ) = 6 x + 18
b) a ( -b + b ) = a . 0
c) Si 2 = x, entonces x = 2
d) x3 – y3 = x3 + ( - y3 )
e) 4 x + ( 2 y + 5 ) = ( 4 x + 2 y ) + 5
f) x + y = y + x
1
h) 5 y3 + 0 = 5 y 3
g) – 1. 3 x = - 3 x = ( - 3 ). x
i) (𝑥 + 2) (𝑥+2) = 1
x  -2
7) Complete la siguiente tabla. Anote las observaciones, curiosidades o regularidades que le parezcan
interesantes. Formule algunas hipótesis a partir de tus observaciones e intente demostrarlas.
a
1
-2
1
2
3
1
4
1
2
0,5
1
2
2, 6̂
0, 3̂
−
𝑎
𝑏
b
𝑎 −1
( )
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎𝑏 −1
(𝑎𝑏)−1
1−
𝑎
𝑏
8) Indique para qué valores de x no están definidas en R las siguientes ecuaciones, resuélvalas y verifique su
solución:
a)
e)
1
𝑥
=0
0
𝑥 4 +4
b)
=0
𝑥−2
𝑥+2
4
f)
=1
3
𝑥−
𝑥
= -2
c)
2𝑥 2 −1
𝑥 2 +1
1
=1
g) 𝑥(𝑥 2 −2) = 0
3𝑥
d) 𝑥 2 −2𝑥 = 2
h)
5𝑥+2
𝑥 3 −1
=0
9) Resuelva las siguientes inecuaciones:
a)
𝑥
𝑥−1
<2
b) 𝑥 2 + 𝑥 − 5 ≥ 1
|𝑥 + 1| ≥ |𝑥 − 3|
6