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Dpto. de Dibujo y Artes Plásticas / Ángel M. Mateos
Tema 2:
--TRAZADOS
DE FORMAS POLIGONALES
1.- TRIÁNGULOS: - CLASIFICACIÓN Y PUNTOS NOTABLES
2.- CUADRILÁTEROS: PROPIEDADES Y CLASIFICACIÓN
3.- POLÍGONOS REGULARES: CLASIFICACIÓN Y CONSTRUCCIÓN
Ø
INTRO DUCCIÓ N: Circunferencias inscrita y circunscrita
Son aquellas que: a) contienen a todos los vértices de cualquier polígono
b) es tangente a todos los lados del polígono:
a) Cir. Inscrita / Polígono Circunscrito
b) Cir. Circunscrita / Polígono Inscrito
1.- TRIÁNGULOS
Ø -Definición y nomenclatura
Triángulo es toda superficie plana y cerrada limitada por tres líneas que se cortan dos a dos en tres
puntos llamados vértices y donde la suma de sus tres ángulos interiores tiene un valor constante de 180º.
La designación de sus elementos será de la siguiente forma:
- vértices: con letras mayúsculas y en sentido anti-horario
- ángulos: con la misma letra que su vértice pero con el símbolo
- lados : cada lado con la letra de su vértice opuesto en
minúscula
Ø Propiedades fundamentales:
1. La suma de sus ángulos siempre es de 180º
2. El lado mayor será menor que la suma de los otros dos lados y mayor que su diferencia
3. Cuánto mayor es un lado, mayor es su ángulo correspondiente
Ø Clasificación
Según sus lados:
EQUILÁTERO
ISÓSCELES
según sus ángulos:
ESCALENO
ACUTÁNGULO
RECTÁNGULO
OBTUSÁNGULO
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1.1.- LÍNEAS Y PUNTO S NO TABLES
BISECTRIZ / INCENTRO
4
La bisectriz divide al ángulo en dos
partes iguales, se designa con la letra”b” y el
subíndice correspondiente al ángulo.
4
El incentro, “Ic”, equidista de los lados
del triángulo y es el centro de la circunf.
inscrita en él.
M EDIATRIZ / CIRCUNCENTRO
4
La mediatriz es la perpendicular por
el punto medio de cada lado.
4
El circuncentro “Cc” es el centro de
la circunf.,que circunscribe al triángulo y viene
dado por las mediatrices de los lados, que son
cuerdas de circunferencia.
Si el triángulo fuese obtusángulo, el Oc. quedaría fuera de él.
M EDIANA / BARICENTRO
4
La mediana es la recta que une cada
vértice con el punto medio del lado opuesto.
4
El baricentro, “Bc”, es el punto
centro de gravedad del triángulo., y está
situado, sobre cada mediana, a 2/3 de la
distancia a su vértice.
ALTURA / O RTO CENTRO
4
La altura de un vértice del triángulo es
la recta perpendicular al lado opuesto al
vértice.
4
El O rtocentro, O c, es el punto en
común de las tres alturas del triángulo.
SEG M ENTO Y CIRCUNFERENCIA DE EULER
El segmento de Euler es aquel que une el ortocentro, Oc, y el circuncentro, Cc, de un triángulo. En
él están contenidos además el baricentro, Bc, y el centro de la circunferencia de Euler (punto medio de
dicho segmento) - Realizar la LÁM INA 2.3.
4
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2.- CUADRILÁTEROS
 Definición: Son figuras planas poligonales limitadas por cuatro rectas que se cortan dos a dos y
donde la suma de sus ángulos internos es 360º.Si tienen lados paralelos dos a dos se llaman
paralelogramos, si tienen sólo dos lados paralelos se llaman trapecios y si no tienen ningún lado
paralelo se llaman trapezoides. Se nombran con letras mayúsculas por orden alfabético: A, B, C y D;
 Características de los cadriláteros paralelogramos:
1ª- Los lados paralelos son iguales (de cualquier cuadrilátero)
2ª- Los ángulos opuestos son iguales y la suma de todos es 360º.
3ª- Las diagonales se bisecan (se cortan en su punto medio)
 Clasificación de los cuadriláteros:
1.- PARALELO G RAM O S
2,- TRAPECIO S
3.- TRAPEZO IDES
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3.- POLÍGONOS REGULARES
Definición Polígono regular es toda superficie plana limitada por una línea quebrada y cerrada, donde cada
segmento de la misma es un lado, siendo todos iguales y en la que los ángulos también son todos iguales, teniendo
igual número de lados y vértices o ángulos.
Clasificación: Si unimos todos los vértices del polígono, de forma consecutiva, dando una sola vuelta a la
circunferencia, el polígono obtenido se denomina convexo. Si la unión de los vértices se realiza de forma alterna se
denomina estrellado.
Polígonos Convexos
Pol. irregular
circunscrito
Polígonos Cóncavos
Pol. regular inscrito
En todos los casos, el polígono está inscrito dentro de la circunferencia, y la circunferencia envuelve al polígono, lo circunscribe.
Elementos. Cualquier polígono reg.r podrá inscribirse en una circunferencia, donde los lados serán cuerdas de dicha circunf.
Diagonal: cualquier línea que une un vértice con otro no consecutivo
se denomina apotema a la distancia del centro del polígono al punto medio de cada lado (ver figura).
En un polígono regular convexo, se denomina perímetro a la suma de la longitud de todos sus lados.
Circunferencias inscrita y circunscrita: son aquellas tangentes a todos los lados del polígono y aquellas que
contienen a todos los vértices del polígono respectivamente.
Nomenclatura: El polígono de tres lados se llama triángulo, el de cuatro cuadrilátero, y a partir de cinco, se
F
F
F
F
F
denomina n-ágono al polígono de n lados hasta diez lados, y n-decágono a partir de 10 lados:
5. -6. 7. 8. -
9. –
10.11.12.-
13.14.–
15.16.–
Polígonos estrellados o cóncavos
17.
18.19.20.
.
Son aquellos en que la unión de los vértices se realiza, de forma que el polígono cierra después de dar varias
vueltas a la circunferencia, se denomina estrellado.
Polígono curvilíneo
pentágono cóncavo
hexadecágono cóncavo
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3.1.- CONSTRUCCIÓN DE POL. REG. DADA LA CIRCUNFERENCIA
.
La construcción de polígonos inscritos en una circunferencia dada, se basan en la división de dicha
circunferencia en un número partes iguales.
Cuando en una construcción obtenemos el lado del polígono, y hemos de llevarlo sucesivas veces a lo largo de
la circunferencia, se aconseja no llevar todos los lados sucesivamente en un solo sentido de la circunferencia, sino, que
partiendo de un vértice se lleve la mitad de los lados en una dirección y la otra mitad en sentido contrario, con objeto
de minimizar los errores de construcción, inherentes al instrumental o al procedimiento.
3.1.A.- MÉTODO GENERAL
Independientemente del nº de lados que deba tener el polígono, se seguirá el mismo proceso::
Dividimos el diámetro en tantas partes como lados tenga que tener el polígono aplicando el teorema de
Tales; luego obtenemos los puntos P y los unimos con las divisiones pares para obtener el lado.
Construye un polígono regular de 7 lados inscrito en una circ. de radio 35mm
PASOS:
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I.E.S.Leonardo da vinci – Alba de Tormes, Salamanca
3.1.B.- CASOS PARTICULARES
Si lo que queremos es dibujar un polígono concreto a partir de la medida de
sus lados, dependerá del nº de lados que deba tener el polígono. Así podemos
construir cada uno de diferente forma:
-
-
División de la circunf. En 2, 4, 8, 16... 2 n, partes iguales
(construcción exacta)
Se divide la circunferencia en
dos partes iguales y se van
realizando, de forma sucesiva, la
bisectrices del ángulo central
resultante. Así dividimos la
circunferencia en 2,4,8... partes
iguales de forma consecutiva.
-
Triángulo, hexágono y dodecágono
(construcción exacta)
- División de la circunf. en 5 y 10 partes iguales (construcción exacta)
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I.E.S.Leonardo da vinci – Alba de Tormes, Salamanca
3.2.- CONSTUCCIÓN DE POLÍGONOS REG. A PARTIR DEL LADO
.
3 . 2 . 1 . Construcción del pentágono
(construcción exacta)
Pasos:
1º.-lavantamos una ∟ por un extremo,
B, y llevamos la medida AB = 35mm
2º.-Hallamos el punto medio de AB y
hacemos centro en él para abatir sobre
el lado la medida A1 (hipotenusa del
triáng. Rectángulo), obteniendo el punto
2.
3º.-Con centro en A y radio A2,
obtenemos el vértice C sobre el arco de
radio AB y el punto D sobre la mediatriz
es un vértice del polígono solución
3.2.2.- Construcción de políg. Entre 6 y 12 lados
Para construir polígonos regulares entre seis y doce lados conociendo la medida de sus
lados, emplearemos el siguiente método:
A
B
Enlaces relacionados con este tema:
☻ ☻WWW.educacionplastica.net
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