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Superficies de Riemann
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Raíz cuadrada
Aplicación: Circuito RLC
(a)
(b)
Aplicación: Circuito RLC
Para el circuito (a):
De la ley de Ohm
con
Aplicación: Circuito RLC
Es más conveniente utilizar un voltaje complejo
●
Esto se puede hacer gracias a las ecuaciones
lineales que relacionan al voltaje y a la
corriente:
Aplicación: Circuito RLC
●
En resumen, si la respuesta “matemática” a un
voltaje complejo V(t) es I(t), entonces la
respuesta “real” al voltaje Re[V(t)] será Re[I(t)]
Aplicación: Circuito RLC
●
Para el circuito (b) en estado estacionario:
con
con
tenemos
tenemos
De aquí se definen las impedancias
(resistencias puramente imaginarias)
Aplicación: Circuito RLC
Utilizando el resultado anterior [obtenido para (a)]:
Tomando la parte real
tenemos finalmente
Aplicación: Circuito RLC
Se podría hacer uso nuevamente de las ventajas
del “voltaje complejo” para una interpretación del
resultado:
Definiendo
y
Entonces
es decir
●
De modo que el voltaje y la corriente difieren en
amplitud (
) y están desfasados por una fase
Aplicación: circuito RLC
●
Equivalentemente, un circuito está descrito por
una ecuación diferencial (leyes de Kirchhoff).
Por ejemplo, para un circuito RLC
Aplicación: circuito RLC
tenemos la ec. diferencial
: carga
●
Notemos que tenemos una ec. diferencial lineal
La ec. diferencial se resuelve suponiendo que
y
●
Sustituyendo Q y V encontramos:
Aplicación: circuito RLC
Por lo tanto,
De aquí que la corriente I, dada por
con
viene dada por
Aplicación: circuito RLC
Por lo tanto,
o bien, introduciendo la impedancia Z:
●
Finalmente, considerando la parte real
Integración Compleja
●
●
●
●
Hemos visto que la noción de derivada vista en
Cálculo (variables reales) se ve modificada
debido al caracter bidimensional del plano
complejo, e.g., una función puede aproximarse a
un límite desde un número infinito de direcciones.
Este caracter bidimensional afecta también a la
teoría de integración.
Ahora necesitamos considerar integrales a lo
largo de curvas en el plano (no únicamente sobre
segmentos del eje x)
Uno de los resultados principales que veremos es
el teorema de Cauchy
Integración compleja
●
Primero veamos el caso más simple: Integrales
de funciones de una variable real.
Supongamos que una función compleja w
depende únicamente de una variable real t:
●
Para este caso, las reglas del Cálculo Integral
se extienden a este tipo de funciones. En
particular, el teorema fundamental del Cálculo.
Integración compleja
●
Sin embargo, tenemos la siguiente propiedad:
Integración compleja (contornos)
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Contornos o caminos
Imaginemos que trazamos una curva
en el
plano complejo, en un intervalo de “tiempo”:
De modo que en un instante “t” dibujamos el
punto
De esta manera podemos considerar que
el rango de la función
Se dice que
es una parametrización de
es
Integración compleja (contornos)
●
Al conjunto de puntos z=(x,y) en el plano
complejo se les llama arco o camino, si
e
son funciones continuas del parámetro t
Existen diferentes tipos de arcos (caminos),e.g.:
●
Arcos simples (suave):
Arcos simples cerrados:
●
Arcos no simples:
8
●
No suave
suave
Integración compleja (contornos)
También el orden de los puntos del arco es
importante, usualmente esto se indica con una
flecha
Así, el punto
precede a
si
Integración compleja (contornos)
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Contorno
Se le llama contorno (o C ) a una secuencia finita
de curvas
, tal que el punto final de
la curva
coincide con el punto inicial de la curva
. Se puede decir que
●
●
Si el punto final e inicial del contorno coinciden, el
contorno es cerrado
Un contorno cerrado simple es aquel que divide al
plano en dos dominios: el interior que es acotado y
el exterior que no es acotado
Integración compleja (contornos)
Comentarios:
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●
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La parametrización de un arco no es única
Un mismo conjunto de puntos pueden formar
distintos arcos
La longitud de un arco no depende de la
parametrización y está dada por (como en
Cálculo):
Integración compleja (contornos)
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Se dice que el arco descrito por z(t) es un arco
diferenciable si las derivadas
son continuas en el intervalo
Además la función
es integrable en el intervalo
●
Aún más, se dice que el arco es suave si z'(t) es
continua y no nula en el mismo intervalo
Integración compleja (contornos)
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Integrales de contorno (o de camino)
Las integrales de camino dependen, en general,
de la curva (suave) que va de un punto a al
punto b y de la misma función f(z), por supuesto.
Se denota la integral como
Si la curva
está descrita por una
parametrización z=z(t) con
Integración compleja (contornos)
Entonces
Nótese que al considerar una curva suave, la
derivada z'(t) existe.
Además la integral es independiente de la
parametrización utilizada.
Integración compleja (contornos)
Si es la curva/camino sobre la que se integra
f(z(t)), la curva
, recorre los mismos puntos,
pero en sentido inverso y
●
Si un contorno
está formado por curvas suaves
y f es continua en ,entonces
Integración (Teorema de Cauchy)
Primitivas
Vamos a estudiar las condiciones bajo las cuales
las integrales de camino no dependen del
contorno utilizado.
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Esto nos lleva a introducir el concepto de función
primitiva F (continua en un dominio D) tal que:
F'(z) = f(z) para toda z en el dominio D
Integración (Teorema de Cauchy)
Antes veamos el siguiente resultado sobre cotas
superiores para el módulo de una integral de
camino
●
donde M es una constante tal que
y L la longitud del contorno/camino
Teorema: Sea f(z) una función continua en un
dominio D. Las siguientes proposiciones son
equivalentes:
i) f(z) tiene una primitiva F(z) en D
ii) todas las integrales de f(z) sobre contornos
contenidos en D, con punto inicial z1 y punto
final z2 , tienen el mismo valor
iii) Las integrales de f(z) sobre contornos
cerrados contenidos en D tiene valor cero
Integración (Teorema de Cauchy)
Teorema de Cauchy
Este teorema establece que si f(z) es una función
analítica y su derivada f '(z) es continua en cada
punto dentro y sobre el contorno cerrado simple
C, entonces
Integración (Teorema de Cauchy)
Teorema de Cauchy-Goursat
La condición sobre la continuidad f´'(z) puede
omitirse como lo demostró Goursat
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Así, si f es función analítica en un dominio
simplemente conexo D y C cualquier contorno
cerrado en D, entonces