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Precálculo21
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Cantidades positivas y negativas
1. Pedro debía 60 bolívares y recibió 320. Expresar su estado económico.
Solución:
Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto
signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el
resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de
mayor valor absoluto.
Respuesta: el estado económico de Pedro es de + 260 bolívares.
2. Un hombre que tenía 1 170 sucres hizo una compra por valor de 1 515. Expresar su estado económico.
Solución:
Nota: cuando totalizamos dos cantidades con distinto
signo, hallamos la diferencia entre las cantidades y el
resultado lo expresamos con el signo de la cantidad de
mayor valor absoluto.
Respuesta: el estado económico del hombre es de - 345 sucres.
3. Tenía $200. Cobre $56 y pagué deudas por $189. ¿Cuánto tengo?
Solución:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id26.htm (1 de 3)12/06/2006 08:24:36 p.m.
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Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo,
hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y
los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia
entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el
signo de la cantidad (de las dos que representan los
subtotales) de mayor valor absoluto.
Respuesta: Ud. tiene + $67.
4. Compro ropas por valor de 665 soles y alimentos por 1 178. Si después recibo
2 280. ¿Cuál es mi estado económico?
Solución:
Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo,
hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y
los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia
entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el
signo de la cantidad (de las dos que representan los
subtotales) de mayor valor absoluto.
Respuesta: su estado económico es de + 437 soles.
5. Tenía $20. Pagué $15 que debía, después cobré $40 y luego hice gastos por $75. ¿Cuánto tengo?
Solución:
Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo,
hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y
de las negativas y, luego, calculamos la diferencia entre
estas cantidades. El resultado lo expresamos con el signo
de la cantidad (de las dos que representan los subtotales)
de mayor valor absoluto.
Respuesta: Ud. tiene - $30.
6. Enrique hace una compra por $67; después recibe $72; luego hace otra compra por $16 y después recibe $2. Expresar su estado económico.
Solución:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id26.htm (2 de 3)12/06/2006 08:24:36 p.m.
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Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto signo,
hallamos los totales parciales de las cantidades positivas y
los de las negativas y, luego, calculamos la diferencia
entre estas cantidades. El resultado lo expresamos con el
signo de la cantidad (de las dos que representan los
subtotales) de mayor valor absoluto.
Respuesta: El estado económico de Enrique es de - $9.
7. Después de recibir 200 colones hago tres gastos por 78, 81 y 93. Recibo entonces 41 y luego hago un nuevo gasto por 59. ¿Cuánto tengo?
Solución:
Nota: cuando totalizamos cantidades con distinto
signo, hallamos los totales parciales de las cantidades
positivas y los de las negativas y, luego, calculamos la
diferencia entre estas cantidades. El resultado lo
expresamos con el signo de la cantidad (de las dos
que representan los subtotales) de mayor valor
absoluto.
Respuesta: Ud. tiene - 70 colones.
8. Pedro tenía tres deudas de $45, $66 y $79 respectivamente. Entonces recibe $ 200 y hace un gasto de $10. ¿Cuánto tiene?
Solución:
Nota: cuando los subtotales de las cantidades positivas y
el de las negativas son iguales, el total es cero.
Respuesta: Pedro tiene 0 pesos.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id26.htm (3 de 3)12/06/2006 08:24:36 p.m.
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Cantidades positivas y negativas
1. A las 9 a.m. el termómetro marca + 12° y de esta hora a las 8 p.m. ha bajado 15°. Expresar la temperatura a las 8 p.m.
Solución:
Como la temperatura ha bajado 15°, se debe restar 15° de +12° :
+12 - 15 = - 3.
Respuesta: A las 8 p.m., la temperatura es de -3°.
2. A las 6 a.m. el termómetro marca -3°. A las 10 a.m. la temperatura es 8° más alta y desde esta hora hasta las 9 p.m. ha bajado 6°. Expresar la temperatura a las 9 p.m.
Solución:
De las 6 a.m. a las 10 a.m., la temperatura sube 8° a partir de -3°, y
- 3 + 8 = +5
De las 10 a.m. a las 9 p.m., la temperatura baja 6° a partir de +5°; y
+ 5 - 6 = -1
Respuesta: A las 9 p.m. la temperatura es de -1°.
3. A la 1 p.m. el termómetro marca +15° y a las 10 p.m. marca -3°. ¿Cuántos grados ha bajado la temperatura?
Solución:
Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) :
|-3 - 15| = |-18| = 18
Respuesta: la temperatura ha bajado un total de 18°.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id27.htm (1 de 3)12/06/2006 08:31:03 p.m.
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4. A las 3 a.m. el termómetro marca -8° y al mediodía +5°. ¿Cuántos grados ha subido la temperatura?
Solución:
Calculamos la diferencia entre las temperaturas, en valor absoluto (la temperatura final menos la inicial) :
|+5 - (-8)| = |5 + 8| = |13| = 13
Respuesta: la temperatura ha subido un total de 13°.
5. A las 8 a.m. el termómetro marca -4°; a las 9 a.m. ha subido 7°; a las 4 p.m. ha subido 2° más y a las 11 p.m. ha bajado 11°. Expresar la temperatura a las 11 p.m.
Solución:
De las 8 a.m. a las 9 a.m., la temperatura sube 7° a partir de -4°, y
- 4 + 7 = +3.
De las 9 a.m. a las 4 p.m., la temperatura sube 2° a partir de +3°; y
+3 + 2 = +5.
De las 4 p.m. a las 11 p.m., la temperatura baja 11° a partir de +5°; y
+5 - 11 = -6.
Respuesta: A las 11 p.m. la temperatura es de -6°.
6. A las 6 a.m. el termómetro marca -8°. De las 6 a.m. a las 11 a.m. sube a razón de 4° por hora. Expresar la temperatura a las 7 a.m., a las 8 a.m. y a las 11 a.m.
Solución:
7 - 6 = 1 y 4 * 1 = 4 {de las 6 a.m. a las 7 a.m. ha transcurrido una hora}
-8 + 4 = -4
{la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
8-6=2 y 4*2=8
{de las 6 a.m. a las 8 a.m. han transcurrido dos horas}
-8 + 8 = 0
{la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
11 - 6 = 5 y 4 * 5 = 20 {de las 6 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido cinco horas}
-8 + 20 = 12
Respuesta: la temperatura a las 7 a.m. es de -4°, a las 8 a.m. de 0° y a las 11 a.m. de 12°.
7. A las 8 a.m. el termómetro marca -1°. De las 8 a.m. a las 11 a.m. baja a razón de 2° por hora y de 11 a.m. a 2 p.m. sube a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 10 a.m., a las 11 a.m., a
las 12 m. y a las 2 p.m.
Solución:
Para hallar la temperatura a las 10 a.m. y a las 11 a.m. tomamos la temperatura de las 8 a.m. como la inicial, es decir de -1°
10 - 8 = 2 y (-2) * 2 = -4
{de las 8 a.m. a las 10 a.m. han transcurrido dos horas y en dos horas la temperatura baja 4°}
-1 + (-4) = -5 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
11 - 8 = 3 y (-2) * 3 = -6
{de las 8 a.m. a las 11 a.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura baja 6°}
-1 + (-6) = -7 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id27.htm (2 de 3)12/06/2006 08:31:03 p.m.
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Para hallar la temperatura a las 12 m. y a las 2 p.m. tomamos la temperatura de las 11 a.m. como la inicial, es decir de -7°
12 - 11 = 1 y 3 * 1 = 3
{de las 11a.m. a las 12 m. ha transcurrido una hora y en una hora la temperatura sube 3°}
-7 + 3 = -4 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
14 - 11 = 3 y 3 * 3 = 9
{de las 11a.m. a las 2 p.m. han transcurrido tres horas y en tres horas la temperatura sube 9°}
-7 + 9 = 2 {la temperatura final es igual a la temperatura incial más el incremento}
Respuesta: la temperatura a las 10 a.m. es de -5°, a las 11 a.m. de -7°, a las 12m. de -4° y a las 2 p.m. de +2°.
8. El día 10 de diciembre un barco se halla a 56° al oeste del primer meridiano. Del día 10 al 18 recorre 7° hacia el este. Expresar su longitud este día.
Solución:
56 - 7 = 49 {se efectúa la diferencia por ir en sentido opuesto}.
Respuesta: el barco se halla, el 18 de diciembre, 49° al oeste del primer meridiano; es decir, a - 49°.
9. El día primero de febrero la situación de un barco es: 71° de longitud oeste y 15° de latitud sur. Del día primero al 26 ha recorrido 5° hacia el este y su latitud es entonces de 5° más al sur. Expresar su
situación el día 26.
Solución:
Longitud: -71° + 5° = -66°
Latitud:
-15° + (-5°) = -20°
Respuesta: el 26 de febrero el barco se halla 66° al oeste y 20° al sur; o, lo que es lo mismo, su longitud es de -66° y su latitud de -20°.
10. El día 5 de mayo la situación de un viajero es 18° de longitud este y 65° de latitud norte. Del día 5 al 31 ha recorrido 3° hacia el este y se ha acercado 4° al Ecuador. Expresar su situación el día 31.
Solución:
Longitud: +18° + 3° = +21°
Latitud:
+65° + (-4°) = +61° {del norte al Ecuador se viaja hacia el sur}
Respuesta: el 31 de mayo el barco se halla 21° al este y 61° al norte; o, lo que es lo mismo, su longitud es de +21° y su latitud de +61°.
11. Una ciudad fundada el año 75 A.C. fue destruida 135 años después. Expresar la fecha de su destrucción.
Solución:
Las fechas A. C. Se expresan con signo negativo y las D.C. con signo positivo; y -75 + 135 = +60.
Respuesta: La ciudad fue destruida en el año 60 D.C. ó en el año +60.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id27.htm (3 de 3)12/06/2006 08:31:03 p.m.
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Cantidades positivas y negativas
(Sentido positivo: de izquierda a derecha y de abajo a arriba).
1. Expresar que un móvil se halla a 32 m. a la derecha del punto A; a 16 m. a la izquierda de A.
Solución:
Respuesta:
El móvil se halla a +32 m. de A.
El móvil se halla a -16 m. de A.
2. Expresar que la parte de un poste que sobresale del suelo es 10 m. y tiene enterrados 4 m.
Solución:
Si la parte del poste que sobresale se expresa con sentido positivo y la parte enterrada con sentido negativo, se tiene
Respuesta:
La situación del poste en el terreno es de +10 m. y de -4 m.
3. Después de caminar 50 m. a la derecha del punto A recorro 85 m. en sentido contrario. ¿A qué distancia me hallo ahora de A?
Solución:
Después de la primera caminata Ud. se encuentra a +50 m. del punto A. Ahora, se desplaza hacia la izquierda 85 m., y
+50 - 85 = - 35.
Respuesta: Ud. se halla a - 35 m. del punto A.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id28.htm (1 de 3)12/06/2006 08:32:53 p.m.
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4. Si corro a la izquierda del punto B a razón de 6 m. por segundo, ¿a que distancia de B me hallaré al cabo de 11 segundos?
Solución:
11 * 6 = 66; y como el sentido negativo es a la izquierda del punto, se tiene
Respuesta: al cabo de 11 segundos, usted se hallará 66 m. a la izquierda del punto B; o a -66m. con respecto al punto B.
5. Dos corredores parten del punto A en sentidos opuestos. El que corre hacia la izquierda de A va a 8 m. por seg. y el que corre hacia la derecha va 9 m. por seg. Expresar sus distancias del punto A al
cabo de 6 seg.
Solución:
8 * 6 = 48: distancia que ha recorrido el primer corredor, hacia la izquierda de A
9 * 6 = 54: distancia que ha recorrido el segundo corredor, hacia la derecha de A
Respuesta: al cabo de 6 segundos el corredor que lo hace hacia la izquierda se encuentra a - 48 m. de A, y el que corre hacia la derecha de encuentra a + 54 m. de A.
6. Partiendo de la línea de salida hacia la derecha un corredor da dos vueltas a una pista de 400 m. de longitud. Si yo parto del mismo punto y doy tres v ueltas a la pista en sentido contrario, ¿qué distancia
hemos recorido?
Solución:
400 * 2 = 800: distancia recorrida por el corredor, hacia la derecha
400 * 3 = 1 200: distancia recorrida por usted, hacia la izquierda
Respuesta: el corredor ha recorrido una distancia de + 800 m., usted ha recorrido una distancia de -1 200 m.
7. Un poste de 40 pies de longitud tenía 15 pies sobre el suelo. Días después se introdujeron 3 pies más. Expresar la parte sobresaliente y la parte enterrada.
Solución:
El poste tenía 15 pies sobre el suelo, y 40 - 15 = 25; esto es, tenía 25 pies enterrados. Como luego se enterraron otros 3 pies y, 25 + 3 = 28, la parte enterrada es finalmente de 28 pies. La longitud total del
poste es de 40 pies y, 40 - 28 = 12, la parte que sobresale es de 12 pies.
Se expresa con signo positivo la parte sobresaliente y con signo negativo la parte enterrada. De tal modo que:
Respuesta: La parte sobresaliente es de +12 pies y la parte enterrada es de -28 pies.
8. Un móvil recorre 55 m. a la derecha del punto A y luego en la misma dirección retrocede 52 m. ¿A qué distancia se halla de A?
Solución:
+55 + (- 52) = + 3
una vez alcanzada una distancia de + 55 m., el móvil retrocede 52 m. (se
mueve en sentido opuesto, pero en la misma dirección).
Respuesta: el móvil se halla a una distancia de + 3 m. del punto A.
9. Un móvil recorre 32 m. a la izquierda del punto A y luego retrocede en la misma dirección 15 m. ¿A qué distancia se halla de A?
Solución:
- 32 + 15 = - 17
Respuesta: el móvil se halla a una distancia de - 17 m. del punto A.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id28.htm (2 de 3)12/06/2006 08:32:53 p.m.
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10. Un móvil recorre 35 m. a la derecha de B y luego retrocede en la misma dirección 47 m. ¿A qué distancia se halla de B?
Solución:
+ 35 + (-47) = - 12
Respuesta: el móvil se halla a una distancia de - 12 m. del punto B.
11. Un móvil recorre 39 m. a la izquierda de M y luego retrocede en la misma dirección 56 m. ¿A qué distancia se halla de M?
Solución:
- 39 + 56 = + 17
Respuesta: el móvil se halla a una distancia de + 17 m. del punto M.
12. A partir del punto B una persona recorre 90 m. a la derecha y retrocede, en la misma dirección, primero 58 m. y luego 36 m. ¿A qué distancia se halla de B?
Solución:
+ 90 - (58 + 36) = + 90 - 94 = - 4
Respuesta: la persona se halla a una distancia de - 4 m. del punto B.
13. Un móvil recorre 72 m. a la derecha de A y entonces empieza a retroceder en la misma dirección, a razón de 30 m. por seg. Expresar su distancia del punto A al cabo del primer, segundo, tercer y cuarto
segundo.
Solución:
+ 72 + 1 * (-30) = + 72 - 30 = + 42: primer seg.
+ 72 + 2 * (-30) = + 72 - 60 = + 12: segundo seg.
+ 72 + 3 * (-30) = + 72 - 90 = - 18: tercer seg.
+ 72 + 4 * (-30) = + 72 - 120 = - 48: cuarto seg.
Respuesta: el móvil se halla a una distancia del punto A de, + 42 m. el primer seg., de + 12 m. el srgundo seg., de - 18 m. el tercer seg. y de - 48 m. el cuarto seg.
14. Un auto recorre 120 Km. a la izquierda del punto M y luego retrocede a razón de 60 Km. por hora. ¿A qué distancia se halla del punto M al cabo de la 1a, 2a, 3a, y 4a hora?
Solución:
Antes de comenzar a retroceder el carro se encuentra a - 120 Km. del punto M.
En la primera hora avanza +60 Km. hacia el punto M y, -120 + 60 = -60.
En la segunda hora avanza otros +60 Km. hacia el punto M y, - 60 + 60 = 0.
En la tercera hora vuelve a avanzar otros +60 Km. hacia M y, 0 + 60 = +60.
Por último avanza otros + 60 Km. hacia M y, +60 + 60 = +120.
Respuesta: El auto se encuentra en la 1a hora a -60 Km. del punto M; en la 2a hora a 0 Km. de M (esto es, se halla justo en el punto M); en la 3a hora se halla a +60 Km. de M ; y, en la 4a hora a +120 Km.
de M.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id28.htm (3 de 3)12/06/2006 08:32:53 p.m.
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Nomenclatura algebraica
Sugerencia: lea cuidadosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 13 a 15.
1. Dígase qué clase de términos son los siguientes atendiendo al signo, a si tienen o no denominador y a si tienen o no radical:
Solución:
2. Dígase el grado absoluto de los términos seguientes:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id29.htm (1 de 3)12/06/2006 08:33:21 p.m.
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Solución:
3. Dígase el grado de los términos siguientes respecto de cada uno de sus factores literales:
Solución:
4. De los términos siguientes escoger cuatro que sean homogéneos y tre hetereogéneos
Solución:
5. Escribir tres términos enteros; dos fraccionarios; dos positivos, enteros y racionales; tres negativos, fraccionarios e irracionales
Solución:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id29.htm (2 de 3)12/06/2006 08:33:21 p.m.
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6. Escribir un término de cada uno de los grados absolutos siguientes: tercer grado, quinto grado, undécimo grado, décimo quinto grado, vigésimo grado
Solución:
7. Escribir un término de dos factores literales que sea de cuarto grado con relación a la x; otro de cuatro factores literales que sea de séptimo grado con relación a la y; otro de cinco factores literales que
sea de décimo grado con relación a la b
Solución:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id29.htm (3 de 3)12/06/2006 08:33:21 p.m.
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Clasificación de las expresiones algebraicas
Sugerencia: lea juiciosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 16 y 17
1. Dígase el grado absoluto de los siguientes polinomios:
2. Dígase el grado de los siguientes polinomios con relación a cada una de sus letras
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id30.htm12/06/2006 08:34:10 p.m.
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Clases de polinomios
Sugerencia: lea cuidadosamente, en el álgebra de Baldor, las páginas 15, 16, 17 y 18.
1. Atendiendo a si tienen o no denominador literal y a si tienen o no radical, dígase qué clase son los polinomios siguientes:
2. Escribir unn polinomio de tercer grado absoluto; de quinto grado absoluto; de octavo grado absoluto; de décimo quinto grado absoluto.
Definición: "El grado absoluto de un polinomio es el grado de su término de mayor grado absoluto".
3. Escribir un trinomio de segundo grado respecto de la x; un polinomio de quinto grado respecto de la a; un polinomio de noveno grado respecto de la m.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id31.htm (1 de 3)12/06/2006 08:34:29 p.m.
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4. De los siguientes polinomios:
escoger dos que sean homogéneos y dos hetereogéneos.
Solución:
Definición 1: "Un polinomio es homogéneo cuando todos sus términos son del mismo grado absoluto".
Definición 2: "Un polinomio es heterogéneo cuando sus términos no son del mismo grado absoluto".
Definición 3: "El grado absoluto de un término es la suma de los exponentes de sus factores literales".
Los polinomios homogéneos serían: a) y e)
{en (a) todos los términos son de tercer grado absoluto, y en (e) todos los términos son de quinto grado absoluto}.
Los polinomios heterogéneos serían: c) y d).
5. De los siguientes polinomios:
dígase cuáles son completos y respecto de cuáles letras.
Solución:
El polinomio (a) es completo respecto a la a.
El polinomio (c) es completo respecto a la y.
El polinomio (e) es completo respecto a la b y a la y.
6. Escribir tres polinomios homogéneos de tercer grado absoluto; cuatro de quinto grado absoluto; dos polinomios completos.
Solución:
7. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden descendente:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id31.htm (2 de 3)12/06/2006 08:34:29 p.m.
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Solución:
8. Ordenar los siguientes polinomios respecto de cualquier letra en orden ascendente:
Solución:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id31.htm (3 de 3)12/06/2006 08:34:29 p.m.
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Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo
Sugerencia: lee cuidadosamente, en el Álgebra de Baldor, la página Nro 19.
Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente.
Procedimiento
Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los coeficientes de
todos los términos y se antepone al coeficiente total el mismo signo que comparten, y a
continuación se escribe la parte literal.
Reducir:
1. x + 2x.
Solución:
El signo común a todos los términos es el +.
Los coeficientes de los términos son 1 y 2.
La parte literal igual en todos los términos es x.
Y 1 + 2 = 3;
∴ x + 2x = 3x.
2. 8a + 9a
Solución:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (1 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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El signo común a todos los términos es el +.
Los coeficientes de los términos son 8 y 9.
La parte literal igual en todos los términos es a.
Y 8 + 9 = 17;
∴ 8a + 9a = 17a.
3. 11b + 9b
Solución:
El signo común a todos los términos es el +.
Los coeficientes de los términos son 11 y 9.
La parte literal igual en todos los términos es b.
Y 11 + 9 = 20;
∴ 11b + 9a = 20b.
4. -b - 5b.
Solución:
El signo común a todos los términos es el -.
Los coeficientes de los términos son 1 y 5.
La parte literal igual en todos los términos es b.
Y 1 + 5 = 6;
∴ -b - 5b = -6b.
5. -8m - m
Solución:
El signo común a todos los términos es el -.
Los coeficientes de los términos son 8 y 1.
La parte literal igual en todos los términos es m.
Y 8 + 1 = 9;
∴ -8m - m = -9m.
6. -9m - 7m
Solución:
El signo común a todos los términos es el -.
Los coeficientes de los términos son 9 y 7.
La parte literal igual en todos los términos es m.
Y 9 + 7 = 16;
∴ -9m - 7m = -16m.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (2 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (3 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (4 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (5 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (6 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (7 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (8 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (9 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (10 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (11 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id32.htm (12 de 12)12/06/2006 08:35:06 p.m.
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Reducción de dos términos semejantes de distinto signo
Procedi miento
Para reducir dos términos semejantes de distinto signo, se halla la diferencia entre
los coeficientes de los términos, colocando antes de esta diferencia el signo del
coeficiente mayor (en valor absoluto) y a continuación se escribe la parte literal.
Nota: dos términos semejantes con igual coeficiente y distinto signo se anulan.
Reducir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (1 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (2 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (3 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (4 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (5 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (6 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (7 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (8 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (9 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (10 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (11 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (12 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id33.htm (13 de 13)12/06/2006 08:35:54 p.m.
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Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos
Procedimiento
Para reducir un polinomio con más de dos términos semejantes y con signos distintos, se
procede así:
1) Se reducen a un solo término todos los positivos.
2) Se reducen a un solo término todos los negativos.
3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos hallados en los dos pasos
anteriores.
4) El signo que precederá la diferencia hallada en el paso anterior será el que tenga el coeficiente
mayor en valor absoluto de los términos hallados en los pasos (1) y (2).
5) Por último, se escribe la parte literal.
Reducir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id34.htm (1 de 6)12/06/2006 08:36:23 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id34.htm (2 de 6)12/06/2006 08:36:23 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id34.htm (3 de 6)12/06/2006 08:36:23 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id34.htm (4 de 6)12/06/2006 08:36:23 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id34.htm (5 de 6)12/06/2006 08:36:23 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id34.htm (6 de 6)12/06/2006 08:36:23 p.m.
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Reducción de términos semejantes
Redución de un polinomio que contenga términos semejantes de diversas clases
Procedimiento
1. Se agrupan los términos semejantes de cada clase en un mismo paréntesis
2. Se reducen los términos semejantes
3. Se da la respuesta, ordenando el polinommio resultante
Nota: recordemos que los términos semejantes son aquellos que tienen las mismas
letras y afectadas por los mismos exponentes
Reducir los polinomios siguientes:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id35.htm (1 de 3)12/06/2006 08:36:51 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id35.htm (2 de 3)12/06/2006 08:36:51 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id35.htm (3 de 3)12/06/2006 08:36:51 p.m.
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Valor numérico
Valor numérico de expresiones simples
Procedimiento
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico
2. Se efectúan las operaciones indicadas
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id36.htm (1 de 3)12/06/2006 08:37:15 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id36.htm (2 de 3)12/06/2006 08:37:15 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id36.htm (3 de 3)12/06/2006 08:37:15 p.m.
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Valor numérico
Valor numérico de expresiones compuestas
Procedimiento
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico
2. Se efectúan las operaciones indicadas
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id37.htm (1 de 4)12/06/2006 08:37:37 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id37.htm (2 de 4)12/06/2006 08:37:37 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id37.htm (3 de 4)12/06/2006 08:37:37 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id37.htm (4 de 4)12/06/2006 08:37:37 p.m.
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Valor numérico
Valor numérico de expresiones compuestas
Procedimiento
1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico
2. Se efectúan las operaciones indicadas
Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id38.htm (1 de 3)12/06/2006 08:37:55 p.m.
13
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id38.htm (2 de 3)12/06/2006 08:37:55 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id38.htm (3 de 3)12/06/2006 08:37:55 p.m.
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Precálculo21
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Ejercicios sobre notación algebraica
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id39.htm (1 de 4)12/06/2006 08:38:17 p.m.
Hosting gratuito
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id39.htm (2 de 4)12/06/2006 08:38:17 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id39.htm (3 de 4)12/06/2006 08:38:17 p.m.
14
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id39.htm (4 de 4)12/06/2006 08:38:17 p.m.
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Precálculo21
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Sum a
Suma de monomios
Procedimiento
1. Se escriben las expresiones una a continuación de otra y con sus respectivos signos
2. Se reducen los términos semejantes. Para reducir términos semejantes se procede de
la siguiente forma:
a. Si los términos son de igual signo, se suman los coeficientes y se escribe el
signo común
b. Si los términos tienen signo distinto, se restan los coeficientes y se escribe el
signo del número mayor en valor absoluto
c. A continuación del signo y del coeficiente se escribe la parte literal
Nota: recuerdese que los términos semejantes son aquellos sumandos que tienen las
mismas letras y afectadas por los mismos exponentes.
Sumar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id40.htm (1 de 5)12/06/2006 08:38:38 p.m.
15
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id40.htm (2 de 5)12/06/2006 08:38:38 p.m.
15
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id40.htm (3 de 5)12/06/2006 08:38:38 p.m.
15
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id40.htm (4 de 5)12/06/2006 08:38:38 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id40.htm (5 de 5)12/06/2006 08:38:38 p.m.
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Precálculo21
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Suma
Suma de polinomios
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila
diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna
3. Se reducen los términos semejantes:
a. Se suman los términos positivos
b. Se suman los términos negativos
c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b
d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en
valor absoluto, de las sumas en a y b
4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los
términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
Hallar la suma de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id41.htm (1 de 3)12/06/2006 08:38:58 p.m.
Hosting gratuito
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id41.htm (2 de 3)12/06/2006 08:38:58 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id41.htm (3 de 3)12/06/2006 08:38:58 p.m.
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Suma
Suma de polinomios
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila
diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna
3. Se reducen los términos semejantes:
a. Se suman los términos positivos
b. Se suman los términos negativos
c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b
d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en
valor absoluto, de las sumas en a y b
4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los
términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
Hallar la suma de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id42.htm (1 de 3)12/06/2006 08:39:16 p.m.
17
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id42.htm (2 de 3)12/06/2006 08:39:16 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id42.htm (3 de 3)12/06/2006 08:39:16 p.m.
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Precálculo21
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Suma
Suma de polinomios con coeficientes fraccionarios
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila
diferente); y de tal forma, que los téminos semejantes queden en la misma columna
3. Se reducen los términos semejantes: se suman los coeficientes fraccionarios, cada
uno con su respectivo signo
4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los
términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos
Nota: las fracciones las vamos a sumar por el método de hallar el mínimo común
denominador (m.c.d.)
Hallar la suma de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id43.htm (1 de 5)12/06/2006 08:39:35 p.m.
Hosting gratuito
18
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id43.htm (2 de 5)12/06/2006 08:39:35 p.m.
18
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id43.htm (3 de 5)12/06/2006 08:39:35 p.m.
18
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id43.htm (4 de 5)12/06/2006 08:39:35 p.m.
18
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id43.htm (5 de 5)12/06/2006 08:39:35 p.m.
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Suma
Suma de polinomios y valor numérico
Procedimiento
1.
2.
3.
4.
Se ordenan los polinomios
Se suman los polinomios
En el total, se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico
Se efectúan las operaciones indicadas y se reduce el resultado
Sumar las expresiones siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 2, b = 3, c = 10, x = 5, y = 4, m = 2/3, n = 1/5.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id44.htm (1 de 3)12/06/2006 08:39:51 p.m.
19
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id44.htm (2 de 3)12/06/2006 08:39:51 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id44.htm (3 de 3)12/06/2006 08:39:51 p.m.
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Precálculo21
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Resta
Resta de monomios
Procedimiento
1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo
cambiado
3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la
cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por
los mismos exponentes.
De:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id45.htm (1 de 7)12/06/2006 08:40:08 p.m.
Hosting gratuito
20
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id45.htm (2 de 7)12/06/2006 08:40:08 p.m.
20
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id45.htm (3 de 7)12/06/2006 08:40:08 p.m.
20
Restar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id45.htm (4 de 7)12/06/2006 08:40:08 p.m.
20
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id45.htm (5 de 7)12/06/2006 08:40:08 p.m.
20
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id45.htm (6 de 7)12/06/2006 08:40:08 p.m.
20
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id45.htm (7 de 7)12/06/2006 08:40:08 p.m.
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Precálculo21
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Resta
Resta de polinomios
Procedimiento
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo
cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada
término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.
3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la
cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el
mismos exponente.
De:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id47.htm (1 de 5)12/06/2006 08:40:25 p.m.
21
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id47.htm (2 de 5)12/06/2006 08:40:25 p.m.
21
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id47.htm (3 de 5)12/06/2006 08:40:25 p.m.
21
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id47.htm (4 de 5)12/06/2006 08:40:25 p.m.
21
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id47.htm (5 de 5)12/06/2006 08:40:25 p.m.
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Precálculo21
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Resta
Resta de polinomios
Procedimiento
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo
cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada
término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.
3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la
cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el
mismos exponente.
Restar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id48.htm (1 de 5)12/06/2006 08:40:43 p.m.
Hosting gratuito
22
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id48.htm (2 de 5)12/06/2006 08:40:43 p.m.
22
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id48.htm (3 de 5)12/06/2006 08:40:43 p.m.
22
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id48.htm (4 de 5)12/06/2006 08:40:43 p.m.
22
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id48.htm (5 de 5)12/06/2006 08:40:43 p.m.
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Precálculo21
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Resta
Resta de polinomios
Procedimiento
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo
cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada
término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.
3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la
cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el
mismos exponente.
De:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id49.htm (1 de 4)12/06/2006 08:41:10 p.m.
23
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id49.htm (2 de 4)12/06/2006 08:41:10 p.m.
23
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id49.htm (3 de 4)12/06/2006 08:41:10 p.m.
23
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id49.htm (4 de 4)12/06/2006 08:41:10 p.m.
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Precálculo21
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
Resta
Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios
Procedimiento
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo
cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada
término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.
3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la
cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el
mismos exponente.
Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común
denominador (m.c.d.)
De:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id50.htm (1 de 5)12/06/2006 08:41:27 p.m.
Hosting gratuito
24
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id50.htm (2 de 5)12/06/2006 08:41:27 p.m.
24
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id50.htm (3 de 5)12/06/2006 08:41:27 p.m.
24
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id50.htm (4 de 5)12/06/2006 08:41:27 p.m.
24
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id50.htm (5 de 5)12/06/2006 08:41:27 p.m.
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Resta
Resta de polinomios con coeficientes fraccionarios
Procedimiento
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo
cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada
término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.
3. Se reduce la expresión resultante
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la
cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el
mismos exponente.
Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común
denominador (m.c.d.)
Restar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id51.htm (1 de 5)12/06/2006 08:41:50 p.m.
25
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id51.htm (2 de 5)12/06/2006 08:41:50 p.m.
25
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id51.htm (3 de 5)12/06/2006 08:41:50 p.m.
25
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id51.htm (4 de 5)12/06/2006 08:41:50 p.m.
25
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id51.htm (5 de 5)12/06/2006 08:41:50 p.m.
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
Resta
Resta de polinomios y valor numérico
Procedimiento
1. Se identifican tanto el minuendo como sustraendo
2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo
cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada
término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante.
3. Se reduce la expresión resultante
4. En el resultado cada letra se sustituye por su respectivo valor numérico
5. Se simplifica aritméticamente el resultado
Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la
cantidad que se resta de otra.
Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el
mismos exponente.
Nota3: los fraccionarios se van a sumar hallando previamente el mínimo común
denominador (m.c.d.)
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id52.htm (1 de 4)12/06/2006 08:42:08 p.m.
Hosting gratuito
26
Efectuar las restas siguientes y hallar el valor numérico del resultado para a = 1, b = 2, c = 3, x = 4, y = 5, m = 3/2, n = 2/5:
De:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id52.htm (2 de 4)12/06/2006 08:42:08 p.m.
26
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id52.htm (3 de 4)12/06/2006 08:42:08 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id52.htm (4 de 4)12/06/2006 08:42:08 p.m.
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Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo
3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del
sustraendo, según el caso
4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y,
los términos semejantes compartiendo columna
5. Se efectúa la suma indicada
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (1 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (2 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (3 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (4 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (5 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (6 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (7 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (8 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (9 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (10 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (11 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (12 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (13 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (14 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (15 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (16 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (17 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
27
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id53.htm (18 de 18)12/06/2006 08:42:27 p.m.
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes enteros
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo
3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo o del
sustraendo, según el caso
4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, debajo del minuendo y,
los términos semejantes compartiendo columna
5. Se efectúa la suma indicada
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id54.htm (1 de 9)12/06/2006 08:43:04 p.m.
Hosting gratuito
28
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id54.htm (2 de 9)12/06/2006 08:43:04 p.m.
28
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id54.htm (3 de 9)12/06/2006 08:43:04 p.m.
28
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id54.htm (4 de 9)12/06/2006 08:43:04 p.m.
28
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id54.htm (5 de 9)12/06/2006 08:43:04 p.m.
28
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id54.htm (6 de 9)12/06/2006 08:43:04 p.m.
28
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id54.htm (7 de 9)12/06/2006 08:43:04 p.m.
28
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id54.htm (8 de 9)12/06/2006 08:43:04 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id54.htm (9 de 9)12/06/2006 08:43:04 p.m.
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Suma y resta combinadas de polinomios con coeficientes fraccionarios
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se identifican los polinomios tanto del minuendo como del sustraendo
3. Se efectúa la suma de los polinomios que hacen parte del minuendo y los del
sustraendo
4. Se escribe el sustraendo, cada término con signo cambiado, a la derecha del
minuendo
5. Se efectúa la suma indicada
Nota: las sumas las realizamos por el método de agrupar los términos semejantes. Las
fracciones las sumamos hallando el m.c.d.
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id55.htm (1 de 8)12/06/2006 08:43:20 p.m.
29
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id55.htm (2 de 8)12/06/2006 08:43:20 p.m.
29
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id55.htm (3 de 8)12/06/2006 08:43:20 p.m.
29
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id55.htm (4 de 8)12/06/2006 08:43:20 p.m.
29
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id55.htm (5 de 8)12/06/2006 08:43:20 p.m.
29
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id55.htm (6 de 8)12/06/2006 08:43:20 p.m.
29
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id55.htm (7 de 8)12/06/2006 08:43:20 p.m.
29
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id55.htm (8 de 8)12/06/2006 08:43:20 p.m.
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Suma y resta combinadas
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id56.htm (1 de 5)12/06/2006 08:43:51 p.m.
Ver anuncio
30
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id56.htm (2 de 5)12/06/2006 08:43:51 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id56.htm (3 de 5)12/06/2006 08:43:51 p.m.
30
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id56.htm (4 de 5)12/06/2006 08:43:51 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id56.htm (5 de 5)12/06/2006 08:43:51 p.m.
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Precálculo21
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Signos de agrupación
Supresión de signos de agrupación
Procedimiento
Para suprimir signos de agrupación se procede de la siguiente manera:
1. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo +, los términos que
estaban agrupados por él no cambian de signo
2. Cuando se suprime un signo de agrupación precedido del signo -, los términos que
estaban agrupados por él cambian de signo
3. Cada vez que se suprime un signo de agrupación, se procede a reducir los términos
semejantes
Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id57.htm (1 de 4)12/06/2006 08:44:13 p.m.
Hosting gratuito
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id57.htm (2 de 4)12/06/2006 08:44:13 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id57.htm (3 de 4)12/06/2006 08:44:13 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id57.htm (4 de 4)12/06/2006 08:44:13 p.m.
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Signos de agrupación
Supresión de signos de agrupación
Procedimiento
1. El secreto radica en ir suprimiendo, sucesivamente, los signos de agrupación más
interiores
2. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo +, no se cambian los signos
de los términos una vez "destruidos los paréntes"
3. Cuando el signo de agrupación está precedido del signo menos, se cambian los
signos de los términos una vez "destruidos los paréntes"
4. Se reducen los términos semejantes
Simplificar, suprimiendo los signos de agrupación y reduciendo términos semejantes:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id58.htm (1 de 3)12/06/2006 08:44:28 p.m.
32
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id58.htm (2 de 3)12/06/2006 08:44:28 p.m.
32
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id58.htm (3 de 3)12/06/2006 08:44:28 p.m.
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Signos de agrupación
Introducción de signos de agrupación
Procedimiento
Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente
manera:
1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del
signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original
2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del
signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia
Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo +:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id59.htm (1 de 2)12/06/2006 08:45:18 p.m.
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Introducir los tres últimos términos de las expresiones siguientes dentro de un paréntesis precedido del signo -:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id59.htm (2 de 2)12/06/2006 08:45:18 p.m.
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Signos de agrupación
Introducción de signos de agrupación
Procedimiento
Para introducir cantidades en signos de agrupación se procede de la siguiente
manera:
1. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del
signo +, dichas cantidades permanecen con el signo original
2. Cuando se introducen cantidades dentro de un signo de agrupación precedido del
signo -, el signo de cada una de estas cantidades cambia
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id60.htm12/06/2006 08:45:44 p.m.
Hosting gratuito
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Multiplicación
Multiplicación de monomios
Procedimiento
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos")
2. Se multiplican los coeficientes numéricos
3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe
la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los
factores"
Multiplicar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id61.htm (1 de 3)12/06/2006 08:45:59 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id61.htm (2 de 3)12/06/2006 08:45:59 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id61.htm (3 de 3)12/06/2006 08:45:59 p.m.
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Multiplicación
Multiplicación de monomios
Procedimiento
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos")
2. Se multiplican los coeficientes numéricos
3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe
la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los
factores"
Multiplicar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id62.htm (1 de 2)12/06/2006 08:46:13 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id62.htm (2 de 2)12/06/2006 08:46:13 p.m.
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Multiplicación
Multiplicación de monomios
Procedimiento
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos")
2. Se multiplican los coeficientes numéricos, en este caso, fraccionarios: "Para
multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si para hallar el
numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el denominador del
producto"
3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe
la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los
factores"
Efectuar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id63.htm (1 de 3)12/06/2006 08:46:32 p.m.
Hosting gratuito
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id63.htm (2 de 3)12/06/2006 08:46:32 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id63.htm (3 de 3)12/06/2006 08:46:32 p.m.
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Multiplicación
Multiplicación de monomios
Producto continuado de monomios
Procedimiento
1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos"). Si el número de
signos menos es impar el producto es negativo; en cambio, si el número de signos
menos es par el producto es positivo
2. Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí. En el caso de fraccionarios se
efectúa así: "Para multiplicar dos fraccionarios, se multiplican los numeradores entre si
para hallar el numerador del producto; y, los denominadores entre sí para hallar el
denominador del producto"
3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe
la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los
factores"
Multilplicar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id64.htm (1 de 3)12/06/2006 08:46:50 p.m.
38
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id64.htm (2 de 3)12/06/2006 08:46:50 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id64.htm (3 de 3)12/06/2006 08:46:50 p.m.
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Multiplicación
Multiplicación de polinomios por monomios
Procedimiento
1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el
siguiente orden:
a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos"
b. se multiplican los numeros entre si.
c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el
producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base común y,
sumando los exponentes respectivos ...
2. Se ordena el polinomio resultante
Multilplicar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id65.htm (1 de 3)12/06/2006 08:47:06 p.m.
Hosting gratuito
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id65.htm (2 de 3)12/06/2006 08:47:06 p.m.
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Multiplicación
Multiplicación de polinomios por monomios
Procedimiento
1. Se multiplica el monomio por cada uno de los terminos del polinomio, en el
siguiente orden:
a. se multiplican los signos, teniendo presente la "Ley de los signos"
b. se multiplican los numeros entre si. Recuerdese que el producto de dos
fracciones se obtiene del siguiente modo: numerador, producto de los numeradores;
denominador, producto de los denominadores
c. se multiplica la parte literal. Cada letra particular representa una base; y, "el
producto de varias potencias con igual base se obtiene escribiendo la base comun y,
sumando los exponentes respectivos ...
2. Se ordena el polinomio resultante
Multilplicar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id66.htm (1 de 4)12/06/2006 08:47:24 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id66.htm (2 de 4)12/06/2006 08:47:24 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id66.htm (3 de 4)12/06/2006 08:47:24 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id66.htm (4 de 4)12/06/2006 08:47:24 p.m.
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Multiplicación
Multiplicación de polinomios por polinonomios
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la
fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de
estas dos filas
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del
multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal
y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el
producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la
segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del
mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos
los del mutiplicando; ...
5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna
6. Se reducen los términos semejantes
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id67.htm (1 de 3)12/06/2006 08:47:54 p.m.
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Ley de los signos
+ por + da +
+ por - da - por + da - por - da +
Multilplicar:
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Propiedad en el producto de potencias
Para hallar el producto de dos o más
potencias con la misma base, basta con
escribir la base común y sumar los
exponentes respectivos.
41
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Precálculo21
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Multiplicación
Multiplicación de polinomios por polinomios
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la
fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de
estas dos filas
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del
multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la línea horizontal
y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el
producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la
segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del
mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos
los del mutiplicando; ...
5. Los términos semejantes se escriben en la misma columna
6. Se reducen los términos semejantes
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id68.htm (1 de 9)12/06/2006 08:51:10 p.m.
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Ley de los signos
+ por + da +
+ por - da - por + da - por - da +
Multiplicar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id68.htm (2 de 9)12/06/2006 08:51:10 p.m.
Propiedad en el producto de potencias
Para hallar el producto de dos o más
potencias con la misma base, basta con
escribir la base común y sumar los
exponentes respectivos.
42
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id68.htm (3 de 9)12/06/2006 08:51:10 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id68.htm (4 de 9)12/06/2006 08:51:10 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id68.htm (5 de 9)12/06/2006 08:51:10 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id68.htm (6 de 9)12/06/2006 08:51:10 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id68.htm (7 de 9)12/06/2006 08:51:10 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id68.htm (8 de 9)12/06/2006 08:51:10 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id68.htm (9 de 9)12/06/2006 08:51:10 p.m.
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Precálculo21
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Multiplicación
Multiplicación de polinomios por polinomios
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la
fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de
estas dos filas
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del
multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal
y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el
producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la
segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del
mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos
los del mutiplicando; ...
5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna
6. Se reducen los términos semejantes
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id69.htm (1 de 7)12/06/2006 08:51:26 p.m.
43
Ley de los signos
+ por + da +
+ por - da - por + da - por - da +
Multiplicar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id69.htm (2 de 7)12/06/2006 08:51:26 p.m.
Propiedad en el producto de potencias
Para hallar el producto de dos o más
potencias con la misma base, basta con
escribir la base común y sumar los
exponentes respectivos.
43
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id69.htm (3 de 7)12/06/2006 08:51:26 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id69.htm (4 de 7)12/06/2006 08:51:26 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id69.htm (5 de 7)12/06/2006 08:51:26 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id69.htm (6 de 7)12/06/2006 08:51:26 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id69.htm (7 de 7)12/06/2006 08:51:26 p.m.
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Precálculo21
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
Multiplicación
Multiplicación de polinomios con coeficientes separados
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la
fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de
estas dos filas
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del
multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal
y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el
producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la
segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del
mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos
los del mutiplicando; ...
5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna
6. Se reducen los términos semejantes
Nota1: recuerda que el producto de dos fraccionarios es una fracción cuyo numerador
es igual al producto de los numeradores y cuyo denominador es igual al producto de
los denominadores
Nota2: para sumar los denominadores vamos a utilizar el método de hallar el mínimo
común múltiplo de los denominadores (m.c.d.)
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id70.htm (1 de 4)12/06/2006 08:51:51 p.m.
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Ley de los signos
+ por + da +
+ por - da - por + da - por - da +
Multiplicar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id70.htm (2 de 4)12/06/2006 08:51:51 p.m.
Propiedad en el producto de potencias
Para hallar el producto de dos o más
potencias con la misma base, basta con
escribir la base común y sumar los
exponentes respectivos.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id70.htm (3 de 4)12/06/2006 08:51:51 p.m.
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Multiplicación
Multiplicación por coeficientes separados
Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
2. Se escriben solo los coeficientes, escribiendo 0 en el lugar donde falte un término
3. La parte literal del primer término del producto será igual al producto de las letras de
los primeros términos, el del multiplicando y el del multiplicador
Multiplicar por coeficientes separados:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id71.htm (1 de 3)12/06/2006 08:52:11 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id71.htm (2 de 3)12/06/2006 08:52:11 p.m.
45
To be continue ...
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id71.htm (3 de 3)12/06/2006 08:52:11 p.m.
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Multiplicación
Producto continuado de polinomios
Procedimiento
1. Se multiplica el primer factor por el segundo; luego, el producto obtenido se
multiplica por el tercer factor y así sucesivamente hasta que no quede ningún factor
2. Se escriben el multiplicando y el multiplicador en dos filas: el multiplicando en la
fila superior y el multiplicador en la inferior. Se traza una linea horizontal debajo de
estas dos filas
3. Se multiplica cada termino del multiplicador por todos los terminos del
multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos y la ley de los exponentes)
4. Cada producto particular se escribe en su respectiva fila debajo de la linea horizontal
y en el orden en que se efectuaron los productos parciales: en la primera fila, el
producto del primer termino del multiplicador y todos los del mutiplicando; en la
segunda fila, el producto del segundo termino del multiplicador y todos los del
mutiplicando; en la tercera fila, el producto del tercer termino del multiplicador y todos
los del mutiplicando; ...
5. Los términos smejantes se escriben en la misma columna
6. Se reducen los términos semejantes
Nota1: cuando uno de los factores es un monomio, multiplicamos
primeramente
dicho monomio por uno de los paréntesis
Nota2: para multiplicar un monomio por un paréntesis, se multiplica el monomio por
cada uno de los términos dentro del paréntesis, y teniendo en cuenta la "ley de los
signos"
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id72.htm (1 de 5)12/06/2006 08:52:30 p.m.
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Ley de los signos
+ por + da +
+ por - da - por + da - por - da +
Simplificar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id72.htm (2 de 5)12/06/2006 08:52:30 p.m.
Propiedad en el producto de potencias
Para hallar el producto de dos o más
potencias con la misma base, basta con
escribir la base común y sumar los
exponentes respectivos.
46
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id72.htm (3 de 5)12/06/2006 08:52:30 p.m.
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Multiplicación
Multiplicación combinada con suma y resta
Procedimiento
1. Se efectúan los productos indicados: multiplicando cada término del multiplicador
por cada uno de los terminos del multiplicando (teniendo en cuenta la ley de los signos)
2. Se reducen los términos semejantes
Nota1: Deducción de la fórmula general para el "cuadrado de un binomio":
Nota2: Deducción de la fórmula general para el "producto de la suma por la diferencia
de dos cantidades":
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id73.htm (1 de 4)12/06/2006 08:52:45 p.m.
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Ley de los signos
+ por + da +
+ por - da - por + da - por - da +
Simplificar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id73.htm (2 de 4)12/06/2006 08:52:45 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id73.htm (3 de 4)12/06/2006 08:52:45 p.m.
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Supresión de signos de agrupación con productos indicados
Procedi miento
1. Se suprimen los signos de agrupación más internos
2. Se reduce
3. Se suprimen los signos de agrupación que quedaron como más internos, se reduce; y
así sucecivamente hasta suprimir todos los signos de agrupación
Simplificar:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id74.htm (1 de 4)12/06/2006 08:53:29 p.m.
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División
División de monomios
Procedimiento
1. Se aplica la ley de los signos
2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en
cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la
base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el
exponente del divisor"
4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por
último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id75.htm (1 de 5)12/06/2006 08:53:45 p.m.
49
Dividir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id75.htm (2 de 5)12/06/2006 08:53:45 p.m.
49
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id75.htm (3 de 5)12/06/2006 08:53:45 p.m.
49
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id75.htm (4 de 5)12/06/2006 08:53:45 p.m.
49
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id75.htm (5 de 5)12/06/2006 08:53:45 p.m.
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
División
División de monomios
Procedimiento
1. Se aplica la ley de los signos
2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor
3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en
cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la
base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el
exponente del divisor"
4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por
último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id76.htm (1 de 3)12/06/2006 08:54:02 p.m.
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
División
División de monomios
Procedimiento
1. Se aplica la ley de los signos
2. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso
los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción
cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el
denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del
dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una
fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo
numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los
medios":
3. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en
cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la
base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el
exponente del divisor"
4. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por
último, la parte literal en orden alfabético
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id77.htm (1 de 4)12/06/2006 08:54:40 p.m.
Hosting gratuito
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Ley de los signos
Dividir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id77.htm (2 de 4)12/06/2006 08:54:40 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id77.htm (3 de 4)12/06/2006 08:54:40 p.m.
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División
División de polinomios por monomios
Procedimiento
1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo.
2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente
manera:
3. Se aplica la ley de los signos
4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor.
5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en
cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la
base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el
exponente del divisor"
6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por
último, la parte literal en orden alfabético
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id78.htm (1 de 4)12/06/2006 08:55:02 p.m.
52
Ley de los signos
Dividir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id78.htm (2 de 4)12/06/2006 08:55:02 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id78.htm (3 de 4)12/06/2006 08:55:02 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id78.htm (4 de 4)12/06/2006 08:55:02 p.m.
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
División
División de polinomios por monomios
Procedimiento
1. Se hace una separación de cocientes, cada uno con su propio signo.
2. Cada término del dividendo se divide por el divisor, y procediendo de la siguiente
manera:
3. Se aplica la ley de los signos
4. Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor. En este caso
los coeficientes son fraccionarios: "el cociente de dos fraccionarios es una fracción
cuyo numerador es el resultado de multiplicar el numerador del dividendo por el
denominador del divisor y cuyo denominador es el producto entre el denominador del
dividendo y el numerador del divisor". Si, para indicar la división, se escribe una
fracción sobre otra fracción, se dice, entonces, que "el cociente es una fracción cuyo
numerador es el producto de los extremos y cuyo denominador es el producto de los
medios":
5. Se divide la parte literal del dividendo entre la parte literal del divisor, teniendo en
cuenta la ley de los exponentes "para dividir potencias de la misma base se escribe la
base común con exponente igual a la diferencia entre el exponente del dividendo y el
exponente del divisor"
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id79.htm (1 de 5)12/06/2006 08:55:21 p.m.
Hosting gratuito
53
6. En el cociente se escribe primero el signo, seguido del coeficiente numérico y, por
último, la parte literal en orden alfabético
Ley de los signos
Dividir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id79.htm (2 de 5)12/06/2006 08:55:21 p.m.
53
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id79.htm (3 de 5)12/06/2006 08:55:21 p.m.
53
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id79.htm (4 de 5)12/06/2006 08:55:21 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id79.htm (5 de 5)12/06/2006 08:55:21 p.m.
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División
División de dos polinomios
Procedimiento
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste
será el primer término del cociente
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor
y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y
escribiendo cada término debajo de su semejante
4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el
segundo término del cociente
5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del
divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos
y escribiendo cada término debajo de su semejante
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se
efectúan las operaciones anteriores ...
7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
Dividir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id80.htm (1 de 4)12/06/2006 08:55:36 p.m.
54
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id80.htm (2 de 4)12/06/2006 08:55:36 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id80.htm (3 de 4)12/06/2006 08:55:36 p.m.
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| 102
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
División
División de dos polinomios
Procedimiento
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste
será el primer término del cociente
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor
y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y
escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término
del dividendo que no entró en la resta
4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el
segundo término del cociente
5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del
divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos
y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente
término del dividendo que no entró en la resta
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se
efectúan las operaciones anteriores ...
7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los
polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no aparece
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id81.htm (1 de 3)12/06/2006 08:55:58 p.m.
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55
Dividir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id81.htm (2 de 3)12/06/2006 08:55:58 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id81.htm (3 de 3)12/06/2006 08:55:58 p.m.
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División
División de dos polinomios
Procedimiento
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra
2. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, éste
será el primer término del cociente
3. El primer término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del divisor
y el producto obtenido se resta del dividendo, para lo cual se cambia el signo, y
escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente término
del dividendo que no entró en la resta
4. Se divide el primer término del resto entre el primer término del divisor, éste será el
segundo término del cociente
5. El segundo término del cociente se multiplica por cada uno de los términos del
divisor y el producto se resta del resto que quedó en el dividendo, cambiando los signos
y escribiendo cada término debajo de su semejante. Y se baja el (o los) siguiente
término del dividendo que no entró en la resta
6. Se divide el primer término del segundo resto entre el primero del divisor y se
efectúan las operaciones anteriores ...
7. Se continúa así sucesivamente hasta que el residuo sea cero.
Nota1: cuando nos preparamos para efectuar la división, una vez ordenados los
polinomios, debemos dejar un espacio (en el dividendo) por cada término que no
aparece
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id82.htm (1 de 2)12/06/2006 08:56:14 p.m.
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Dividir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id82.htm (2 de 2)12/06/2006 08:56:14 p.m.
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División de polinomios con coeficientes fraccionarios
Dividir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id129.htm (1 de 5)12/06/2006 08:56:32 p.m.
Hosting gratuito
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id129.htm (2 de 5)12/06/2006 08:56:32 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id129.htm (3 de 5)12/06/2006 08:56:32 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id129.htm (4 de 5)12/06/2006 08:56:32 p.m.
57
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id129.htm (5 de 5)12/06/2006 08:56:32 p.m.
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División
División de polinomios por el método de coeficientes separados
Procedimiento
1. Se ordenan los dos polinomios respecto a una misma letra
2. Se escriben solamente los coeficientes con sus respectivos signos, escribiendo 0
donde falte algún término
3. Se efectúa la división con los coeficientes
4. El exponente del primer término del cociente se calcula restando el exponente del
primer término del divisor del exponente del primer término del dividendo. Los
exponentes de los demás términos irán disminuyendo de 1 en 1. Donde aparece 0 en el
cociente no se escribe el término correspondiente
Dividir por coeficientes separados:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id130.htm (1 de 2)12/06/2006 08:56:48 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id130.htm (2 de 2)12/06/2006 08:56:48 p.m.
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Procedimiento
1. Se ordenan los polinomios
respecto a una misma letra; dejando
un espacio para aquellos términos
que no aparecen, de acuerdo a la
ordenación
2. Se divide el primer término del
dividendo entre el primer término del
divisor (este resultado será el primer
término del cociente)
3. Se multiplica el término hallado en
el paso anterior por cada uno de los
términos en el divisor
4. Los productos hallados en el paso
3 se ubican, con signo cambiado,
debajo de su semejante en el
dividendo (si alguno no tiene
semejante, se ubica debajo del
espacio correspondiente)
5. Se efectúa la suma indicada para
hallar el primer resto
6. Se divide el primer término del
resto entre el primer término del
divisor, el resultado será el segundo
término del cociente
7. Este segundo término del cociente
se multiplica por cada uno de los
términos del divisor y el producto se
ubica debajo de los términos del
primer resto, con signo cambiado
(cada uno debajo de su semejante); y
se efectúa la suma indicada
8. Y así sucesivamente, hasta
encontrarnos con un resto cuyo
primer término no es divisible por el
primer término del divisor
9. El resultado será la suma de los
términos en el cocciente y la fracción
cuyo numeradordor es el último resto
y cuyo denominador es todo el divisor
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Cociente mixto
Hallar el cociente mixto de:
"La práctica hace al maestro": realiza los 14 numerales de esta tanda de ejercicios.
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Precálculo21
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Valor numérico de expresiones algebraicas con exponentes enteros para valores positivos y negativos
Procedimiento
1. Se sustituye cada letra por su respectivo valor numérico
2. Se efectúan las operciones indicadas
3. Se simplifica
Nota1: Toda potencia par de una cantidad negativa es positiva
Nota2: Toda potencia impar de una cantidad negativa es negativa
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Precálculo21
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Miscelánea
Suma, resta, multiplicación y división
1. A las 7 a.m. el termómetro marca +5° y de las 7 a.m. a las 10 a.m. baja a razón de 3° por hora. Expresar la temperatura a las 8 a.m., 9 a.m. y 10 a.m.
Solución:
5 - 3 = 2: a las 8 a.m. la temperatura es de +2°
2 - 3 = -1: a las 9 a.m. la temperatura es de -1°
-1 - 3 = -4: a las 10 a.m. la temperatura es de -4°.
2. Tomando como escala 1 cm: 10 m, representar gráficamente que un punto B está situado a + 40 m de A y otro punto C está situado a -35 m de B.
Solución:
Tomamos el sentido positivo el hecho de que un punto esté a la derecha de otro punto y como negativo que esté a la izquierda:
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Productos y cocientes notables
Productos notables
Cuadrado de la suma de dos cantidades
Procedimiento
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio
2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera
cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado
de la segunda cantidad"
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se
multiplica el exponente de cada letra por 2
Escribir por simple inspección, el resultado de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id134.htm (1 de 3)12/06/2006 08:58:33 p.m.
Hosting gratuito
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Productos y cocientes notables
Productos notables
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Procedimiento
1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio
2. "El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera
cantidad, menos el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el
cuadrado de la segunda cantidad"
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se
multiplica el exponente de cada letra por 2
Escribir por simple inspección, el resultado de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id135.htm (1 de 3)12/06/2006 08:58:49 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id135.htm (2 de 3)12/06/2006 08:58:49 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id135.htm (3 de 3)12/06/2006 08:58:49 p.m.
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Productos y cocientes notables
Productos notables
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
Procedimiento
1. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del
minuendo menos el cuadrado del sustraendo"
2. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se
multiplica el exponente de cada letra por 2.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id136.htm (1 de 3)12/06/2006 08:59:05 p.m.
Hosting gratuito
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id136.htm (2 de 3)12/06/2006 08:59:05 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id136.htm (3 de 3)12/06/2006 08:59:05 p.m.
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Productos y cocientes notables
Productos notables
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
Procedimiento
1. Se agrupa convenientemente (si es necesario, se factoriza por -1)
2. "El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado del
minuendo menos el cuadrado del sustraendo"
3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se
multiplica el exponente de cada letra por 2.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id137.htm (1 de 3)12/06/2006 08:59:23 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id137.htm (2 de 3)12/06/2006 08:59:23 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id137.htm (3 de 3)12/06/2006 08:59:23 p.m.
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Precálculo21
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Productos y cocientes notables
Productos notables
Cubo de un binomio
Procedimiento
1. Se desarrolla el paréntesis, observando si se trata del cubo, de la suma o la diferencia
de dos cantidades; en el primer caso se procede como indica el paso 2, en el segundo
caso se aplica el enunciado del paso 3:
2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad más el
triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera por el
cuadrado de la segunda, más el cubo de la segunda"
3. "El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de la primera cantidad
menos el triplo del cuadrado de la primera por la segunda, más el triplo de la primera
por el cuadrado de la segunda, menos el cubo de la segunda"
4. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se
multiplica el exponente de cada letra por 2.
Escribir por simple inspección, el resultado de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id138.htm (1 de 3)12/06/2006 08:59:39 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id138.htm (2 de 3)12/06/2006 08:59:39 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id138.htm (3 de 3)12/06/2006 08:59:39 p.m.
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Productos y cocientes notables
Productos notables
Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b)
Procedimiento
1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio
2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en
ambos)
3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por
el primer término común de los paréntesis
4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes
Escribir por simple inspección, el resultado de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id93.htm (1 de 3)12/06/2006 09:00:41 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id93.htm (2 de 3)12/06/2006 09:00:41 p.m.
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Precálculo21
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Productos y cocientes notables
Productos notables
Miscelánea
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id94.htm (1 de 4)12/06/2006 09:00:57 p.m.
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Precálculo21
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Productos y cocientes notables
Cocientes notables
Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades
Procedimiento
1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador
2. Simplificamos.
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id95.htm (1 de 3)12/06/2006 09:01:15 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id95.htm (2 de 3)12/06/2006 09:01:15 p.m.
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Productos y cocientes notables
Cocientes notables
Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades
Procedimiento
1. Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador
2. Simplificamos.
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id96.htm (1 de 4)12/06/2006 09:01:29 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id96.htm (2 de 4)12/06/2006 09:01:29 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id96.htm (3 de 4)12/06/2006 09:01:29 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id96.htm (4 de 4)12/06/2006 09:01:29 p.m.
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Precálculo21
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Productos y cocientes notables
Cocientes notables
Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades
Procedimiento
Criterios de divisibilidad
Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias iguales, pares o impares, es
divisible por la diferencia de las cantidades. Y, la forma general de su solución está
dada por :
Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual potencia par, es divisible por la
suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por:
Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia impar, es divisible por la
suma de las cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por :
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id97.htm (1 de 4)12/06/2006 09:01:50 p.m.
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Criterio 4 :
A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es divisible ni por la suma ni
por la diferencia de las cantidades. Esto es, cocientes de la forma :
B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar, no es divisible por la suma
de las cantidades. Es decir, cocientes de la forma :
Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son divisibles, cuando su división es
exacta, esto es, cuando al dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo
es cero.
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id97.htm (2 de 4)12/06/2006 09:01:50 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id97.htm (3 de 4)12/06/2006 09:01:50 p.m.
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Productos y cocientes notables
Cocientes notables
Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades (los exponentes del divisor son diferentes de 1)
Procedimiento
Criterios de divisibilidad
Cuando los exponentes del divisor son diferentes de 1, esto es, si son 2, 3, 4, 5,
etc., sucede que el exponente de a disminuye, sucesivamente, en cada término 2, 3,
Criterio 1 : La diferencia de dos cantidades con potencias
4, 5, etc.; la b aparece en el segundo término del cociente elevada a un exponente
iguales, pares o impares, es divisible por la diferencia de las igual al que tiene en el divisor, y aumentará este exponente en 2, 3, 4, 5, etc. en los
cantidades. Y, la forma general de su solución está dada por : siguientes términos.
Las soluciones de estos cocientes tendrán las tres formas siguientes (dependiendo
del criterio de divisibilidad que se aplique) :
Criterio 2 : La diferencia de dos cantidades con igual
potencia par, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la
forma general de su solución está dada por:
Criterio 3 : La suma de dos cantidades con igual potencia
impar, es divisible por la suma de las cantidades. Y, la forma
general de su solución está dada por :
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id98.htm (1 de 4)12/06/2006 09:02:08 p.m.
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Criterio 4 :
A) La suma de dos cantidades con igual potencia par, no es
divisible ni por la suma ni por la diferencia de las cantidades.
Esto es, cocientes de la forma :
B) La diferencia de dos cantidades con igual potencia impar,
no es divisible por la suma de las cantidades. Es decir,
cocientes de la forma :
Nota : El número de términos en el cociente es igual al resultado de dividir m
entre n.
Nota : Se dice que dos expresiones determinadas son
divisibles, cuando su división es exacta, esto es, cuando al
dividir a una (el dividendo) por la otra (el divisor), el residuo
es cero.
Hallar, por simple inspección, el cociente de:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id98.htm (2 de 4)12/06/2006 09:02:08 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id98.htm (3 de 4)12/06/2006 09:02:08 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id98.htm (4 de 4)12/06/2006 09:02:08 p.m.
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Productos y cocientes notables
Cocientes notables
Miscelánea
Escribir el cociente sin efectuar la división:
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id99.htm (2 de 3)12/06/2006 09:03:44 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id99.htm (3 de 3)12/06/2006 09:03:44 p.m.
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Teorema del residuo
Procedimiento
1. Se aplica el Teorema del Residuo: "El residuo de dividir un polinomio entero y
racional en x por un binomio de la forma bx - a se obtiene sustituyendo, en el polinomio
dado, la x por a/b".
Nota1: un polinomio entero y racional es de la forma:
Nota2: Si en el divisor, el coeficiente de x es 1, esto es, si b = 1, el residuo se obtiene,
simplemente, sustituyendo, en el polinomio, la x por a.
Hallar, sin efectuar la división, el residuo de dividir:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id100.htm (1 de 3)12/06/2006 09:03:59 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id100.htm (2 de 3)12/06/2006 09:03:59 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id100.htm (3 de 3)12/06/2006 09:03:59 p.m.
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División sintética
Procedimiento
Para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio entero en x por un
binomio de la forma x - a, se procede de la siguiente manera:
1. Se ubican en una misma fila los coeficientes de los términos del dividendo (si el
polinomio carece de alguna de las potencias se escribe allí 0) y, separada por una
línea vertical, la a.
2. HALLAR EL COCIENTE :
Grado del cociente : El cociente será de un grado menor que el dividendo.
Coeficiente del primer término: El primer término del cociente tendrá el mismo
coeficiente que el primer término del dividendo.
Demás coeficientes : Los coeficientes de los otros términos del cociente se obtienen
multiplicando el coeficiente del término anterior (previamente hallado) por la a y,
seguidamente, sumando este producto con el coeficiente que sigue en el dividendo.
2. OBTENCIÓN DEL RESIDUO :
El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del cociente
(previamente hallado) por a y, sumando este producto con el término
independiente del dividendo.
NOTA: Si el binomio (el divisor) es de la forma bx - a, en vez de la a se pone a/b y,
consecuentemente, se multiplican los coeficientes por a/b. Además, cada número debe
dividirse por b antes de pasar a ser un coeficiente de un término del cociente.
Explicación: Para aplicar apropiadamente el método de la división sintética, en los
casos en los que el divisor es de la forma bx - a, debemos hacer que el divisor tome la
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id101.htm (1 de 4)12/06/2006 09:04:31 p.m.
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forma x - a; y, para ello hay que dividir al divisor por b, con lo que el dividendo queda
multiplicado por b. Para deshacer esta operación es por lo que se divide cada número,
que está destinado a convertirse en coeficiente de un término del cociente, por b.
Hallar, por división sintética, el cociente y el resto de las divisiones siguientes:
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Corolario del Teorema del residuo
Procedimiento
Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula
para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto
es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a.
Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera
por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el
resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin
efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos
anteriores se deduce la veracidad del Corolario.
Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a)
y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a.
Hallar, sin efectuar la división, si son exactas o no las divisiones siguientes:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id102.htm (1 de 4)12/06/2006 09:04:54 p.m.
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Sin efectuar la división, probar que:
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Sin efectuar la división, hallar si las divisiones siguientes son o no exactas, y determinar el cociente en cada caso y el residuo, si lo hay:
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Teorema del residuo
Procedimiento
Corolario del Teorema del Residuo: Un polinomio entero en x, P(x), que se anula
para x = a/b, o sea que al sustituir la x por a/b en el polinomio el resultado es cero, esto
es P(a/b) = 0, es divisible por bx - a.
Nota1: Se dice que una cantidad es divisible por otra cantidad si al dividir a la primera
por la segunda el residuo es cero. El teorema del residuo establece que para hallar el
resto de la división de un polinomio entero en x por un binomio de la forma bx - a, sin
efectuar la división, basta con sustituir la x por a/b. Conjugando los dos conceptos
anteriores se deduce la veracidad del Corolario.
Nota2: Si el divisor tiene la forma x - a, entonces para aplicar el Corolario se halla P(a)
y, si P(a) = 0, se concluye que P(x) es divisible por x - a.
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Diga, por simple inspección, si son exactas las divisiones siguientes y en caso negativo, diga cuál es el residuo:
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Ecuaciones enteras de primer grado
Resolución de ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
Procedimiento
1. Se reducen términos semejantes
2. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el
miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho
3. Se reducen téminos semejantes
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita, y se simplifica.
Resolver las ecuaciones:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id104.htm (1 de 3)12/06/2006 09:05:28 p.m.
Hosting gratuito
78
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id104.htm (2 de 3)12/06/2006 09:05:28 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id104.htm (3 de 3)12/06/2006 09:05:28 p.m.
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Precálculo21
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Ecuaciones enteras de primer grado
Resolución de ecuaciones de primer grado con signos de agrupación
Procedimiento
1. Se suprimen ("destruyen") los signos de agrupación, comenzando por los más
internos
2. Se reducen términos semejantes
3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el
miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho
4. Se reducen téminos semejantes
5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita, y se simplifica.
Resolver las siguientes ecuaciones:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id105.htm (1 de 4)12/06/2006 09:05:44 p.m.
79
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id105.htm (2 de 4)12/06/2006 09:05:44 p.m.
79
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id105.htm (3 de 4)12/06/2006 09:05:44 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id105.htm (4 de 4)12/06/2006 09:05:44 p.m.
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Precálculo21
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Ecuaciones enteras de primer grado
Resolución de ecuaciones de primer grado con productos indicados
Procedimiento
1. Se efectúan los productos indicados
2. Se reducen términos semejantes
3. Se hace la transposición de términos, los que conengan la incógnita se ubican en el
miembro izquierdo, y los que carezcan de letras en el derecho
4. Se reducen téminos semejantes
5. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el
coeficiente de la incógnita, y se simplifica.
Resolver las siguientes ecuaciones:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id106.htm (1 de 4)12/06/2006 09:05:59 p.m.
Hosting gratuito
80
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id106.htm (2 de 4)12/06/2006 09:05:59 p.m.
80
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id106.htm (3 de 4)12/06/2006 09:05:59 p.m.
80
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id106.htm (4 de 4)12/06/2006 09:05:59 p.m.
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Precálculo21
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Ecuaciones enteras de primer grado
Miscelánea
Resolver las siguientes ecuaciones:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id107.htm (1 de 2)12/06/2006 09:06:13 p.m.
81
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id107.htm (2 de 2)12/06/2006 09:06:13 p.m.
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Precálculo21
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Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id108.htm (1 de 5)12/06/2006 09:06:31 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id108.htm (2 de 5)12/06/2006 09:06:31 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id108.htm (3 de 5)12/06/2006 09:06:31 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id108.htm (4 de 5)12/06/2006 09:06:31 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id108.htm (5 de 5)12/06/2006 09:06:31 p.m.
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Precálculo21
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id109.htm (1 de 5)12/06/2006 09:06:49 p.m.
Hosting gratuito
83
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id109.htm (2 de 5)12/06/2006 09:06:49 p.m.
83
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id109.htm (3 de 5)12/06/2006 09:06:49 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id109.htm (4 de 5)12/06/2006 09:06:49 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id109.htm (5 de 5)12/06/2006 09:06:49 p.m.
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Precálculo21
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Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id110.htm (1 de 5)12/06/2006 09:07:13 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id110.htm (2 de 5)12/06/2006 09:07:13 p.m.
84
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id110.htm (3 de 5)12/06/2006 09:07:13 p.m.
84
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id110.htm (4 de 5)12/06/2006 09:07:13 p.m.
84
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id110.htm (5 de 5)12/06/2006 09:07:13 p.m.
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Precálculo21
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
Problemas sobre ecuaciones enteras
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id111.htm (1 de 4)12/06/2006 09:07:30 p.m.
Hosting gratuito
85
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id111.htm (2 de 4)12/06/2006 09:07:30 p.m.
85
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id111.htm (3 de 4)12/06/2006 09:07:30 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id111.htm (4 de 4)12/06/2006 09:07:30 p.m.
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Precálculo21
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Problemas sobre ecuaciones enteras
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id112.htm (1 de 5)12/06/2006 09:10:59 p.m.
Hosting gratuito
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id112.htm (2 de 5)12/06/2006 09:10:59 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id112.htm (3 de 5)12/06/2006 09:10:59 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id112.htm (4 de 5)12/06/2006 09:10:59 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id112.htm (5 de 5)12/06/2006 09:10:59 p.m.
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Precálculo21
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Problemas sobre ecuaciones enteras
1. Compré doble número de sombreros que de trajes por 702 balboas. Cada sombrero costó 2 y cada traje 50. ¿Cuántos sombreros y cuántos trajes compré?
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id113.htm (1 de 5)12/06/2006 09:11:18 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id113.htm (2 de 5)12/06/2006 09:11:18 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id113.htm (3 de 5)12/06/2006 09:11:18 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id113.htm (4 de 5)12/06/2006 09:11:18 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id113.htm (5 de 5)12/06/2006 09:11:18 p.m.
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Precálculo21
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->Consigue tu propio nombre de dominio antes de que sea demasiado tarde!
M i s ce l á n e a d e p r o b l e m a s
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id114.htm (1 de 10)12/06/2006 09:11:37 p.m.
sobre ecuaciones enteras
Hosting gratuito
88
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id114.htm (2 de 10)12/06/2006 09:11:37 p.m.
88
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id114.htm (3 de 10)12/06/2006 09:11:37 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id114.htm (4 de 10)12/06/2006 09:11:37 p.m.
88
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id114.htm (5 de 10)12/06/2006 09:11:37 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id114.htm (6 de 10)12/06/2006 09:11:37 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id114.htm (7 de 10)12/06/2006 09:11:37 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id114.htm (8 de 10)12/06/2006 09:11:37 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id114.htm (9 de 10)12/06/2006 09:11:37 p.m.
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Arriba
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id114.htm (10 de 10)12/06/2006 09:11:37 p.m.
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Precálculo21
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Descomposición factorial
Factor común
Procedimiento
1. Se identifica el factor común
2. Se divide cada término del polinomio por el factor común
3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes
hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)
Factorar o descomponer en dos factores:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id115.htm (1 de 5)12/06/2006 09:11:53 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id115.htm (2 de 5)12/06/2006 09:11:53 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id115.htm (3 de 5)12/06/2006 09:11:53 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id115.htm (4 de 5)12/06/2006 09:11:53 p.m.
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Precálculo21
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| 102
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Descomposición factorial
Factor común
Procedimiento
1. Se identifica el factor común
2. Se divide cada término del polinomio por el factor común
3. Se abren dos paréntesis, en el primero se escribe el factor común y en el segundo los
cocientes hallados en el paso anterior (cada uno con su respectivo signo)
Factorar o descomponer en dos factores:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id116.htm (1 de 4)12/06/2006 09:12:29 p.m.
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Descomposición factorial
Factor común por agrupación de términos
Procedimiento
1. Se agrupan los términos convenientemente, utilizando paréntesis
2. Se saca factor común de cada uno de los paréntesis
3. Se realiza una segunda factorización (el factor común será, en este caso, el paréntesis
Factorar o descomponer en dos factores:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id117.htm (1 de 3)12/06/2006 09:12:48 p.m.
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Descomposición factorial
Trinomio cuadrado perfecto
Definición : Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos factores iguales.
Procedimiento
1. Se ordena el trinomio
2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos
3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior
4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo téermino del trinomio y
si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado
perfecto y se factoriza como tal.
5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer términos,
separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al cuadrado.
Factorar o descomponer en dos factores:
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Descomposición factorial
Diferencia de cuadrados perfectos
Procedimiento
1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo
2. Se abren dos paréntesis
3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las
raíces halladas en el paso 1.
Factorar o descomponer en dos factores:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id119.htm (1 de 4)12/06/2006 09:14:22 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id119.htm (2 de 4)12/06/2006 09:14:22 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id119.htm (3 de 4)12/06/2006 09:14:22 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id119.htm (4 de 4)12/06/2006 09:14:22 p.m.
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Precálculo21
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Descomposición factorial
Diferencia de cuadrados perfectos (caso especial)
Procedimiento
1. Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo
2. Se abren dos paréntesis
3. En el primer paréntesis se escribe la suma, y en el segundo la diferencia, de las
raíces halladas en el paso 1.
4. Se reduce, si es el caso
Descomponer en dos factores y simplificar, si es posible:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id120.htm (1 de 4)12/06/2006 09:14:44 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id120.htm (2 de 4)12/06/2006 09:14:44 p.m.
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Descomposición factorial
Trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados perfectos (combinación de estos dos casos)
Procedimiento
1. Se identifica el trinomio cuadrado perfecto (o los ...)
2. Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto (como en el Ejercicio 92)
3. Se factoriza la diferencia de cuadrados resultante (como en el Ejercicio 94).
4. Se reduce, si es el caso
Factorar o descomponer en dos factores:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id121.htm (1 de 3)12/06/2006 09:15:00 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id121.htm (2 de 3)12/06/2006 09:15:00 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id121.htm (3 de 3)12/06/2006 09:15:00 p.m.
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Precálculo21
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Descomposición factorial
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Procedimiento
1. Se ordena el trinomio
2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos
3. Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior
4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundo término del
trinomio
5. Se suma o resta, según el caso, la cantidad necesaria para crear el segundo término
del trinomio cuadrado perfecto
6. Se resta o se suma la misma cantidad que se sumo o resto en el paso anterior, para
que el valor de la expresión no se altere
Factorar o descomponer en dos factores:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id122.htm (1 de 4)12/06/2006 09:15:18 p.m.
Hosting gratuito
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id122.htm (2 de 4)12/06/2006 09:15:18 p.m.
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Descomposición factorial
Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción
Factorar una suma de dos cuadrados
Procedimiento
1.
2.
3.
4.
5.
Factorar o descomponer en dos factores:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id123.htm (1 de 4)12/06/2006 09:15:34 p.m.
Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos
Se halla el doble producto de las raíces halladas en el paso anterior
Se suma y se resta el producto hallado en el paso anterior
Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto así formado
Se factoriza la diferencia de cuadrados
97
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id123.htm (2 de 4)12/06/2006 09:15:34 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id123.htm (3 de 4)12/06/2006 09:15:34 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id123.htm (4 de 4)12/06/2006 09:15:34 p.m.
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Descomposición factorial
Procedimiento
1. Se ordena el trinomio
2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio
3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer
término de cada uno de los paréntesis
4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del
trinomio
5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer
términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis
6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente
del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del
trinomio
7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al
coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer
término del trinomio
8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo
término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del
segundo paréntesis
9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos
para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id124.htm (1 de 9)12/06/2006 09:16:05 p.m.
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Factorar o descomponer en dos factores:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id124.htm (2 de 9)12/06/2006 09:16:05 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id124.htm (3 de 9)12/06/2006 09:16:05 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id124.htm (4 de 9)12/06/2006 09:16:05 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id124.htm (5 de 9)12/06/2006 09:16:05 p.m.
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Descomposición factorial
Casos especiales
Procedimiento
1. Se ordena el trinomio
2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio
3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer
término de cada uno de los paréntesis
4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del
trinomio
5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer
términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis
6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente
del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del
trinomio
7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al
coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer
término del trinomio
8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo
término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del
segundo paréntesis
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id125.htm (1 de 5)12/06/2006 09:16:32 p.m.
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9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos
para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8.
Nota: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo
término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término.
Factorar o descomponer en dos factores:
http://usuarios.lycos.es/calculo21/id125.htm (2 de 5)12/06/2006 09:16:32 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id125.htm (3 de 5)12/06/2006 09:16:32 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id125.htm (4 de 5)12/06/2006 09:16:32 p.m.
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Descomposición factorial
Procedimiento
Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma
y se factoriza como en el Ejercicio 98:
1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a
2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c)
3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio
4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer
término de cada uno de los paréntesis
5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del
trinomio
6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer
términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis
7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente
del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del
trinomio
8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al
coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer
término del trinomio
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Hosting gratuito
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9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo
término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del
segundo paréntesis
10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores
primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8
11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común
12. Se simplifica
Nota: siempre es posible eliminar el denominador .
Factorar o descomponer en dos factores:
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id126.htm (3 de 6)12/06/2006 09:16:52 p.m.
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http://usuarios.lycos.es/calculo21/id126.htm (4 de 6)12/06/2006 09:16:52 p.m.
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Descomposición factorial
Casos especiales
Procedimiento
Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma
y se factoriza como en el Ejercicio 99:
1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a
2. Se escribe el trrinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c)
3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio
4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer
término de cada uno de los paréntesis
5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del
trinomio
6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer
términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo parénteis
7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente
del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del
trinomio
8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al
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coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer
término del trinomio
9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo
término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del
segundo paréntesis
10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores
primos para facilitar la busqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8
11. Se factorizan los paréntesis que tengan factor común
12. Se simplifica
Nota1: para factorizar de esta forma es necesario que la parte literal del segundo
término sea la raíz cuadrada de su correspondiente parte literal en el primer término.
Nota2: siempre es posible eliminar el denominador .
Factorar o descomponer en dos factores:
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Descomposición factorial
Factorar una expresión que es el cubo de un binomio
Procedimiento
El desarrollo del cubo de un binomio es:
En esta clase de ejercicios se nos da una expresión como el miembro derecho de las
identidades anteriores, es decir un cuadrinomio; y debemos constatar si se trata de un
cubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresiones
anteriores); para lo cual debemos proceder de la siguiente manera:
1. Se ordena el cuadrinomio en forma descendente o ascendente respecto a una letra
2. Se extrae la raíz cúbica del primero y cuarto términos del cuadrinomio
3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivo-negativopositivo-negativo
4. Se triplica el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del
cuarto término y se compara con el segundo término del cuadrinomio dado
5. Se triplica la raíz cúbica del primer término por el cuadrado de la raíz cúbica del
cuarto término y se compara con el tercer término del cuadrinomio dado
6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata del
desarrollo del cubo de un binomio y se factoriza como tal: dentro de un paréntesis se
escriben las raíces cúbicas del primero y cuarto términos del cuadrinomio y separadas
por el signo más o por el signo menos, según el caso; y se eleva al cubo el paréntesis
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7. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son negativas, no se trata del
desarrollo del cubo de un binomio y no se puede factorizar como tal
Factorar:
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