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Desigualdades e
Inecuaciones
Prof. Isaías Correa M.
Desigualdades
Los enunciados a > b y a < b, junto con las
expresiones a ≤ b (a < b o a = b) y a ≥ b
(a > b o a = b) se conocen como
desigualdades.
Las primeras se llaman desigualdades
estrictas y las segundas, desigualdades no
estrictas o amplias.
Las desigualdades se comportan muy bien con respecto
a la suma pero se debe tener cuidado en el caso de la
división y la multiplicación.
Ejemplos.
• Como 2 < 5 entonces 2 + 4 < 5 + 4, es decir, 6 < 9.
• Como 8 > 3 entonces 8 - 4 > 3 - 4, esto es, 4 > - 1
• Como 7 < 10 entonces 7.3 < 10.3, es decir, 21 < 30
• Como 7 < 10 entonces 7. (- 3) > 10. (- 3), esto es
- 21 > - 30
En los diferentes ejemplos se observa que:
• Al sumar un mismo número a ambos miembros de
una desigualdad, el sentido de la misma se
mantiene
• Al restar un mismo número a ambos miembros de
una desigualdad, el sentido de la misma se
mantiene
• La multiplicación por un número positivo mantiene el
sentido de la desigualdad.
• La multiplicación por un número negativo invierte el
sentido de la desigualdad.
Inecuaciones
• Una inecuación es una desigualdad en la
que aparecen uno o más valores
desconocidos.
• Resolverla es encontrar el conjunto de
todos los números reales para los cuales
es verdadera.
Una inecuación es una desigualdad en la que
hay uno o más cantidades desconocidas
(incógnitas)
y que solo se verifica (o
demuestra) para determinados valores de las
incógnitas.
Pero esta desigualdad o inecuación puede tener
variables o incógnitas como las ecuaciones.
Por ejemplo:
Los signos > o < determinan dos sentidos
opuestos o contrarios en las desigualdades,
según que el primer miembro sea mayor o
menor que el segundo. Una desigualdad cambia
de sentido, cuando el miembro mayor se
convierte en menor o viceversa.
1. Una desigualdad no cambia de sentido cuando
se añade o se resta un mismo número a cada
miembro.
Ejemplo:
-2 > -6
-2 -3 > -6 -3
-5 > -9
9>5
9+2>5+2
11 > 7
2. Una desigualdad no cambia de sentido cuando se
multiplican sus dos miembros por un mismo factor
positivo, o se dividen entre un mismo divisor,
también positivo.
Ejemplo:
12 > 7
12 X 3 > 7 X 3
36 > 21
15 > -25
15 ÷ 5 >(-25) ÷ 5
3 > -5
3. Una desigualdad cambia de sentido cuando se
multiplican sus dos miembros por un mismo
factor negativo, o se dividen entre un mismo
divisor, también negativo.
Ejemplo:
3 > -15
3(-4) < (-15)(-4)
-12 < 60
64 < 80
64 ÷ (-4) >80 ÷ (-4)
-16 > -20
4. Si los dos miembros de una desigualdad son
positivos y se elevan a la misma potencia, la
desigualdad no cambia de sentido.
Ejemplo:
5. Si los dos miembros de una desigualdad son
negativos y se elevan a una potencia de grado
impar, no cambia el sentido d la desigualdad;
pero hay cambio de sentido si el grado de
potencia es par.
Ejemplo:
6. Si se suman miembro a miembro varias
desigualdades de mismo sentido, resulta una
desigualdad de mismo sentido que aquellas.
Ejemplo:
Dado:
2x > 10 y 7x > 26
se obtiene:
9x > 36
7. Si se restan miembro a miembro dos
desigualdades de signo contrario, resulta una
desigualdad de igual sentido que el minuendo
Ejemplo:
Dado:
7x < 12 y 5x > 16,
se obtiene:
2x < -4
Para resolver una inecuación deben
encontrarse los valores de las incógnitas que
satisfagan la inecuación. Y para esto se tiene
que tener en cuenta las propiedades de las
desigualdades.
Para resolver una inecuación se utilizan las
propiedades de las desigualdades y de los
números reales que conducen a una
desigualdad equivalente.
Todos los números que satisfacen la
desigualdad constituyen el conjunto solución
y se denota con S
Ejemplo:
Resolver la inecuación 4x + 6 > 2x -7
Se resta 2x de cada miembro: 4x -2x + 6 > 2x -2x -7
Se resta 6 de cada miembro:
2x +6 -6 > -7 -6
Finalmente:
x > (-13 ÷ 2)
x >-7.5
Inecuación lineal
Son aquellas en las cuales la variable tiene grado uno.
Corresponde a una desigualdad condicionada, es decir, se busca el
conjunto de valores que al reemplazarlos en la variable, cumpla con la
desigualdad.
Ejemplos:
a) La expresión
7
representa un número real si:
√5-x
5-x>0
5>x
x es un número real menor que 5,
o bien,
x Є ] -∞, 5 [
Gráficamente:
-∞
+∞
5
b)
6x -2
5
10 ∙ 6x -2
5
≥
x - 1
2
≥ 10 ∙ x - 1
2
2(6x – 2) ≥ 5x - 10
12x – 4 ≥ 5x - 10
12x – 5x ≥ 4 - 10
7x ≥ -6
x ≥ -6
7
(Multiplicando por 10)
(Simplificando)
(Desarrollando)
Se cumple para todo x mayor o igual que -6 ,
7
o bien,
xЄ
-6 ,+∞
7
Gráficamente:
-∞
+∞
-6
7
c)
7x – 8 ≥ 4x – 16 + 3x + 4
7x – 8 ≥ 7x - 12
– 8 ≥ - 12
En este caso, la incógnita se ha eliminado. Sin embargo,
la desigualdad resultante es verdadera. Esto significa
que la inecuación se cumple para cualquier x en los
reales.
Gráficamente:
+∞
-∞
IR
d)
6x + 11 <
2
3x / ∙ 2
6x + 11 < 6x
11 < 0
En este caso, la incógnita también se ha eliminado; pero
la desigualdad resultante es FALSA.
Esto significa que la desigualdad no se cumple, ya que NO
existe un x real que satisfaga la inecuación.
El conjunto solución de la inecuación es el conjunto vacío:
1. x+7>9
2. 2x+3 ≤ x+6
3. -6x+7 ≥ x+9
4. -6x ≤ -72
5. ⅓x-9>⅔x+6
6. -6x+9<-2x+8
7. -2x+8 12
Inecuaciones simultáneas
• Son aquellas en las cuales la variable está
entre dos valores “a” y “b”
• Ejemplo
4  x  7
S  4,7
-4
7
Representación gráfica de
la solución
EJEMPLOS:
x 12  3x  20  x
x 12  3x
12  3x  x
12  2x
6 x
S  6,10
Para obtener el intervalo de
solución se hace la intersección
de las dos soluciones
Se deben
resolver cada una
de las
inecuaciones
aparte
3x < 20 + x
3x – x < 20
2x < 20
x < 10
6
10
Representación gráfica de
la solución
3x  2  2x 1  x  6
3x+2 > 2x + 1
3x – 2x > 1 – 2
x > –1
2x 1  x  6
2x  x  6 1
x  7
S  1, 
-7
-1
Representación gráfica de
la solución
Intervalo de la
solución
Sistemas de Inecuaciones
Cada inecuación del sistema se resuelve por separado,
obteniéndose como solución un subconjunto de la recta real.
La solución del sistema es la intersección de estos
subconjuntos.
Ejemplo:
a)
2x + 3 ≤ 5
-x - 2 ≥ -4
2x + 3 ≤ 5
2x ≤ 5 - 3
Resolviendo cada inecuación en
forma independiente:
-x - 2 ≥ -4
x+2≤4
x≤1
o bien,
x Є ] -∞, 1 ]
/ ∙ (-1 )
x≤2
o bien,
x Є ] -∞, 2]
La solución del sistema será la intersección de los subconjuntos:
S1 = ] -∞, 1 ]
y
S2 = ] -∞, 2]
+∞
-∞
1
2
S = S1 S2
S = ] -∞, 1 ] o bien, x ≤ 1
http://es.wikipedia.org/wiki/Desigualdad_matem%C3%A1tica
http://matematicasies.com/spip.php?rubrique70
http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/cap2.html
http://personal.redestb.es/javfuetub/algebra/inecua.htm
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http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/20/matematicas-20.html
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http://valle.fciencias.unam.mx/~lugo/bach2/DesigCuad/index.html
http://cremc.ponce.inter.edu/topicos/desigualdades.htm