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Capítulo 1
Transmisión por guía-ondas
1.1 Introducción
La posibilidad de la conducción guiada de la luz es algo que se demostró ya el siglo pasado, el método
usado fue bastante rudimentario aunque explicativo. Como fuente de luz se utilizó una lámpara de aceite
y como guía un chorro de agua: para conseguir que la luz fuese guiada en el interior del chorro de agua
se coloco la lámpara en el interior de un barril lleno y se hizo un agujero en un lateral cercano a la base
del barril de forma que el agua que sale forma una trayectoria parabólica y a su vez la luz sale por el
agujero. Se pudo apreciar como la luz seguía la trayectoria del agua.
Ya a principios de siglo se realizaron los primeros intentos de fabricación una guía de onda estable
para la luz mediante una barra de material dieléctrico transparente (vídrio), aunque se vió que la estructura era muy fragil y que además las pérdidas de potencia óptica eran muy altas. Siguió el interés por este
fenómeno empujado por sus posibles aplicaciones en el campo de la medicina (endoscopios) y se llego a
la conclusión de que la estructura adecuada para servir como guía de onda para la luz era la que podemos
ver en la figura 1.1. Esta es una estructura donde un material dieléctrico con índice de refracción n1 está
rodeado de una sustancia de menor índice de refracción n2 . La envoltura realiza una función estructural
(que no se rompa el núcleo) y de reducción de las perdidas radiativas de la onda guiada.
Para seguir un poco con la evolución de la fibra podemos citar que la estructura de la figura 1.1 dio
lugar en 1966 a las primeras propuestas para utilizar la fibra óptica como medio de comunicación. En
aquel momento era algo puramente teórico ya que las pérdidas de las primeras fibras eran del orden de
1000dB/Km, la fabricación de fibras cada vez mejores ha permitido que actualmente se pueda transmitir
en un cable óptico hasta 1 Terabit/sg en distancias de cientos de Km. En este capítulo entenderemos
como se trasmite la luz a través de la fibra y cuales son sus parámetros característicos.
Figura 1.1: Guía de onda para luz en la que se puede ver el núcleo con índice de refracción n1 rodeado
de la envoltura con índice de refracción n2 . La condición es que n1 >n2 .
4
1.2. TEORÍA DE TRANSMISIÓN GEOMÉTRICA O POR RAYOS
5
n2
Frente de onda refractada
φ
2
d2
Rayo refractado
D
φ1
φ
Rayo incidente
1
d1
Rayo reflejado
n
1
Frente de onda reflejada
Frente de onda incidente
Figura 1.2: Cambio de dirección de un frente de onda plano al cambiar el índice de refracción
1.2 Teoría de transmisión geométrica o por rayos
En este apartado veremos los conceptos de transmisión por fibra sin tener en cuenta que la luz es una
onda electromagnética, sólo utilizaremos las leyes de la óptica geométrica.
1.2.1 Reflexión interna total
Para entender el mecanismo de la propagación en una fibra óptica es necesario comprender el significado
del índice de refracción: el índice de refracción n de un medio es la relación entre la velocidad de la luz
en el vacio y en ese medio
n=
c
v
(1.1)
es decir, que cuanto más alto es el índice de refracción menor es la velocidad de la luz en dicho medio,
es como si el medio fuese más espeso.
Una vez hemos recordado que es el el índice de refracción vamos a recordar también la ley de Snell.
£Cómo cambia su dirección un rayo de luz cuando pasa a través de la intercara entre dos medios de
distinto índice de refracción? Para deducir lo que pasa nos basaremos en la figura 1.2.
En esta figura se aprecian tres rayos: el incidente, el reflejado y el refractado (los dos primeros en
un medio de índice n1 y el último en un medio de índice n2 ), a su vez también están representados los
frentes de onda, que son perpendiculares a cada uno de los rayos. Podemos apreciar que los frentes de
onda reflejado y refractado tienen un punto común, debemos darnos cuenta que también en este punto
debería haber un frente de onda incidente, lo que esto implica es, pasándonos ahora a los rayos, que las
distancias d1 y d2 han sido recorridas en el mismo tiempo, ya que son parte del mismo rayo incidente,
por tanto podemos escribir la siguiente fórmula,
1.2. TEORÍA DE TRANSMISIÓN GEOMÉTRICA O POR RAYOS
6
Figura 1.3: Transmisión de un rayo de luz en una fibra óptica perfecta.
t = dv11
= dv ) D cos(nc ) = D cos(nc
n1 sin(1 ) = n2 sin(2 )
2
2
2
2
2
1
1
2
)
(1.2)
lo que acabamos de deducir es la ya conocida ley de Snell. Igualmente si estudiamos la fórmula 1.2
no puede ser >1, cuando 2 2 ya no hay refracción sino reflexión total,
vemos que como el
tenemos entonces que el ángulo crítico c que es aquel para el que ya no hay refracción cumplirá la
siguiente relación,
n2
c
(1.3)
sin( )
( )
sin( ) = n
1
para ángulos de incidencia superiores al crítico la eficiencia de la reflexión es superior al 99.9%1 .
Una vez hemos hecho un breve recordatorio de la ley de Snell vamos a aplicarla a la transmisión
por fibra óptica. Si deseamos un medio de transmisión en el cual quede confinado un rayo de luz parece
evidente que este deberá estar compuesto por dos materiales de índice de refracción distinto de forma
que el medio por el que se transmite la luz tenga el índice de refracción mayor (el cociente de la ecuación
1.3 ha de ser menor que uno) y además este medio debe estar emparedado por el de índice de refracción
menor. El rayo que se muestra en la figura 1.3 se conoce como rayo meridional ya que pasa a través
del eje de la fibra. Este el el rayo de descripción más simple y se usa para ilustrar las características de
transmisión fundamentales de las fibras ópticas. Hay que tener en cuenta que la figura 1.3 asume una guía
perfecta, sin irregularidades ni discontinuidades que modificarían el ángulo de incidencia provocando
posibles escapes de la luz fuera de la fibra.
1.2.2 Ángulo de aceptación
Una vez hemos visto como se produce el guiado en una fibra perfecta debido a la reflexión total entre el
nucleo y la envoltura, vamos a ir un poco más allá (aunque seguiremos considerando una fibra perfecta)
en nuestro análisis y vamos a incluir un tercer medio, ya que la luz que hemos supuesto en el interior de
la fibra ha entrado desde el exterior, desde un medio con un índice de refracción distinto an1 y n2 .
No todos los rayos emitidos por una fuente luminosa se transmitirán en el interior de la fibra, en la
figura 1.4 podemos ver un esquema en el que se aprecia que dos rayos distintos A y B seguirán distintas
trayectorias en el interior de la fibra, el rayo será transmitido porque una vez en el interior su ángulo es
menor que el crítico mientras que el B tiene un ángulo superior y llega a la envoltura y se pierde por
radiación al exterior2 . Todo rayo cuyo ángulo de entrada sea menor o igual que a será guiado, mientras
que si es mayor el rayo será radiado al exterior de la fibra, perdiendose su energía.
1
2
Recordemos que la aproximación geométrica no es más que eso, una aproximación.
Entenderemos esto más adelante
1.2. TEORÍA DE TRANSMISIÓN GEOMÉTRICA O POR RAYOS
7
Figura 1.4: Visión esquemática del ángulo de aceptación a cuando la luz entra en la fibra óptica.
Por tanto el ángulo de aceptación a será aquel que haga que cuando el rayo esté en el interior de la
fibra su ángulo de incidencia con la intercara núcleo/envoltura sea el ángulo crítico.
Si la fibra tiene una sección regular (es decir, no hay irregularidades en la intercara) todo rayo meridional3 cuyo ángulo de entrada en la fibra sea menor o igual que el ángulo de aceptación se reflejará
totalmente en la intercara núcleo/envoltura y se transmitirá hasta el final de la fibra. Igualmente y por
consideraciones de simetría a la salida de la fibra los rayos emergentes tendrán el mismo ángulo que a la
entrada y por tanto todos los rayos a la salida tendrán un ángulo menor o igual que a . Como aclaración
final hay que decir que no es necesario que los rayos incidentes entren por el eje de la fibra, cualquier
punto de la intercara entre el núcleo y el exterior será válido si durante la trayectoria en el interior de la
fibra el rayo pasa por el eje4 .
1.2.3 Apertura numérica
Es posible, a partir de los índices de refracción del núcleo de la fibra, de la envoltura y del exterior, definir
un término (que es el más más aceptado para definir la facilidad para acoplar luz en la fibra) que es la
apertura numérica (NA). Aunque pueda parecer pesado, volvemos a recordar que esto es sólo para rayos
meridionales.
Si volvemos a mirar a la figura 1.4 y en ella al rayo A que es el que entra con un ángulo igual
al de aceptación (a ) veremos que, el rayo inicialmente está en un medio de índice de refracción n0 ,
considerando la ley de Snell llegamos a
n0 sin(a ) = n1 sin
2
c
(1.4)
ya que el ángulo entre el eje de la fibra y la intercara es de 2 aplicando las leyes básicas de la trigonometría
podemos deducir que
a
n1
c
n0
(1.5)
sin( ) = cos ( )
si usamos la relación sin () + cos () = 1 la ecuación anterior puede escribirse como
2
2
n0 sin(a ) = n1
3
4
q
1 sin2 (c)
Es importante recalcar el hecho de que estamos hablando de rayos meridionales.
Para rayos meridionales.
(1.6)
1.2. TEORÍA DE TRANSMISIÓN GEOMÉTRICA O POR RAYOS
si sustituimos
8
sin(c) según la ecuación 1.3
NA = n0 sin(c ) =
q
n21
n22
(1.7)
obtendremos la definición de la apertura numérica. Cuando el medio desde el que entra la luz sea el aire
c .
n0
y la NA se reducirá a
La NA también puede calcularse a partir de la diferencia relativa de índices de refracción entre el
núcleo y la envoltura de la fibra. se define como
=1
sin( )
=
n21
n22
n1
n2
2n21
n2
(1.8)
si 1
tendremos que
p
NA = n1 2
(1.9)
si ahora reunimos las definiciones de NA y de
(1.10)
Las ecuaciones 1.7 y 1.10 nos serán muy útiles para conocer la capacidad que tiene una fibra para
aceptar luz. Este factor es independiente del diámetro hasta valores de aproximadamente 8m, por
debajo de este valor la aproximación geométrica deja de ser válida, por qué motivo, por que para tener
una visión realista habría que utilizar calculos a partir de teoría electromagnética.
1.2.4 Rayos no meridionales (Skew rays)
Hasta ahora hemos considerado rayos meridionales, pero hay rayos que no pasan por el eje de la fibra,
de hecho es mucho mayor el número de rayos no meridionales. Estos rayos siguen una trayectoria
helicoidal, no son fáciles de visualizar, para hacernos una idea podemos ver la figura 1.5. Al contrario
que los rayos meridionales en este caso no es posible predecir el punto de salida por el otro extremo de
la fibra, este dependerá del número de reflexiones en el interior de la fibra más que de las condiciones
de entrada. Este tipo de rayos tiende a uniformizar la distribución de la luz en el interior de la fibra,
consiguiendo una salida uniforme.
Una ventaja clara de los rayos no meridionales en que sus condiciones de aceptación son menos
exigentes que para el caso de los rayos meridionales. Aunque la geometría es compleja vamos a deducir
el ángulo de aceptación de estos rayos. Para ello veamos la figura 1.6, en ella tenemos los siguientes
datos: s es el ángulo de entrada, es el ángulo del rayo refractado, el ángulo entre:
el plano en que está el rayo AB y la perpendicular al eje de la fibra que pasa por el punto A
y el plano que contiene al eje de la fibra y al punto B
es el ángulo de reflexión del rayo AB (la perpendicular al plano de incidencia es el radio de la fibra
RB ). Cada uno de los ángulos está en un plano distinto y la relación que se cumple entre ellos es
y
q
cos sin = cos = 1 sin2 (1.11)
1.2. TEORÍA DE TRANSMISIÓN GEOMÉTRICA O POR RAYOS
9
Figura 1.5: Camino helicoidal tomado no rayos no meridionales en el interior de una fibra óptica: (a)
vista lateral; (b) vista frontal
Figura 1.6: Esquema de las refracciones y reflexiones de un rayo no meridional.
1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA
si consideramos el caso límite en la reflexión entonces
ángulo crítico (fórmula 1.3) resultando entonces que
será c y podremos sustituir por la fórmula del
s
n22
n21
cos sin 1
si ahora sustituimos
10
(1.12)
sin por su valor utilizando la ley de Snell (fórmula 1.2)
cos nn01 sin as =
n0 sin as cos q
=
s
n21
1
n22
n21
(1.13)
n22 = NA
(1.14)
=0
donde as es el máximo ángulo de aceptación para rayos no meridionales (podemos apreciar que si relaja las condiciones
nos queda la fórmula para rayos meridionales5 ). La inclusión en la fórmula de
de entrada y permite que el ángulo de entrada sea mayor. Como puede observarse en la figura 1.5, estos
rayos tienden a propagarse usando una región anular y por tanto no utilizar completamente toda la fibra,
desperdiciando parte del medio de transmisión, sin embargo se complementan con los rayos meridionales
e incrementan la capacidad de transporte de luz de la fibra. Este incremento de capacidad de la fibra es
particularmente cierto para fibras de gran apertura numérica (NA), aunque para fibras comerciales (baja
NA) el a calculado para los rayos meridionales es una aproximación suficientemente válida.
cos
1.3 Teoría electromagnética para propagación óptica
Para entender mejor los fenómenos que se producen en una fibra óptica es necesario tener en cuenta la
teoría de campos electromagnéticas, de todas formas como el interés del curso no radica en el análisis
fundamental de la transmisión sino en la compresión de sus conceptos vamos a tratar sólo los puntos más
relevantes aunque en algunos casos habrá partes que tendremos que aceptar como axiomas sin serlo.
Partiremos de la ecuación de onda, la notación más usada de la cual es
= 0 exp j
wt
!k !r
(1.15)
!
donde w es la frecuencia angular o pulsación de la onda, t es el tiempo, k es el vector de propagación y
!r es el punto espacial donde se observa la onda. Siendo la longitud de onda en el vacio,
la magnitud
!
del vector de propagación o constante de propagación de fase en el vacio k (donde k k ) viene dada
por
=
k=
2
k en este caso también se conoce como número de onda.
Esta será nuestra base de partida.
5
Porque de hecho tendríamos un rayo meridional
(1.16)
1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA
11
Figura 1.7: Onda plana y monocromática desplazándose en el interior de la guía, la línea oscura muestra
su vector de onda o rayo equivalente.
1.3.1 Modos en una guía-onda plana
No todos los rayos que entran en una fibra se transmiten, aunque su ángulo sea menor que el de
aceptación, esto es debido a que no son rayos sino ondas. El análisis de una guía-onda cilíndrica es
bastante complejo, es preferible entender lo que son los modos de propagación en una guía-onda plana.
Vamos a pasar del concepto de rayo al de onda considerando el desplazamiento de una onda plana
y monocromática por el camino en que antes consideramos que se desplazaba el rayo en el interior de
la guía, para ayudarnos veamos la figura 1.7. Como el índice de refracción es n1 , la longitud de onda
disminuye respecto a la del vacio quedando como =n1 , incrementando el número de onda hasta n1 k . El
vector de propagación o rayo equivalente se puede dividir en dos componentes, una en la dirección de la
fibra (z ) y otra perpendicular a ella (x). La componente de la constante de propagación de fase o número
de onda en ambas direcciones quedará como sigue
= n1k cos x = n1 k sin z
(1.17)
(1.18)
La componente en la dirección x es reflejada en la intercara entre el núcleo y la envoltura, si cuando
volvemos al mismo punto tras dos reflexiones (un camino completo) la fase ha cambiado m radianes
tendremos interferencia constructiva, si no será destructiva. Ahora ya podemos entender lo que significa
un modo de propagación, sólo podrán propagarse aquellas ondas que tengan una interferencia constructiva, cada una tendrá un ángulo y una m y será llamada modo de propagación (en adelante modo).
La forma en la hemos definido modo implica que el espesor de la guía-onda determinará el número
de modos que pueden ser transmitidos ya que en una primera aproximación el número de modos que
caben en una fibra se calcularía igual que el número de modos que cabían en una cavidad láser, si nos
fijamos la definición es la misma, por tanto ese número de modos vendría definido por:
2
no modos =
2l
(1.19)
donde l es el espesor de la guía-onda y la longitud de onda del rayo transmitido.
Cada modo formará una onda estacionaria en el eje x y tendrá una componente variable en el eje z ,
en la figura 1.8 pueden verse las ondas estacionarias de los cuatro primeros modos, cabe señalar que el
campo está confinado en la guía pero no sólo en el nucleo sino también en la envoltura, a la parte que
está en la envoltura se la llama onda evanescente.
Como la componente variable está sólo en el eje z se simplifica la notación y se llamará a la componente en el eje variable, es decir, z . Si asumimos una dependencia temporal para la propagación
=
1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA
12
Figura 1.8: Los cuatro primeros modos de propagación y la componente estacionaria que generan en el
eje x.
1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA
13
Figura 1.9: Formación de una paquete de ondas a partir de dos ondas de frecuencias similares. La
envolvente del paquete de ondas viaja a la velocidad de grupo vg .
exp (
)
j wt z , siendo z la distancia recorrida
de la onda electromagnética la parte variable resultará
en el eje z .
La luz se define como una onda electromagnética y por tanto consiste en un campo eléctrico E y
magnético H ambos variables y orientados de forma ortogonal. En la figura 1.8 se ha supuesto que H
estaba en la dirección de propagación y E en el eje x, cuando esto ocurre tenemos modos transversales
eléctricos o T E (como puede verse en la figura 1.8), si cambiamos la dirección de los campos E y
H tendríamos modos transversales magnéticos, en el caso de que el campo estviese confinado en dos
direcciones (un cable de cobre, por ejemplo) podríamos tener modos transversales electromagnéticos o
T EM (estos no ocurren en la transmisión por fibra).
1.3.2 Velocidad de fase y de grupo 6 .
Ya hemos hablado de los frentes de onda en el apartado 1.2.1, pues bueno una frente de onda es una
superficie formada por puntos de fase constante. Cuando una onda monocromática se propaga en una
guía-onda en el eje z el frente de onda se mueve a una velocidad llamada de fase que viene dada por:
vp =
w
(1.20)
donde w es la pulsación o frecuencia angular y el número de onda. El problema es que en la práctica
es imposible tener ondas monocromáticas y las ondas luminosas están compuestas de la suma de ondas
planas de distintas frecuencias. A menudo nos encontramos con la situación de que un grupo de ondas de
frecuencia muy similares se propagan formando lo que se ha dado en llamar paquete de ondas. Para tener
una idea de a que nos referimos en la figura 1.9 está representado un paquete de ondas. Este paquete no
viaja a la velocidad de fase de ninguna de sus componentes sino a la velocidad de grupo vg que viene
6
Estos dos términos van a ser muy importantes cuando analicemos las características de las fibras, asi que aunque parezca
que estas definiciones están de más a posteriori serán muy usadas.
1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA
dada por:
vg
= w
14
(1.21)
Esta velocidad de grupo será de gran importancia para el estudio de las características de transmisión en
la fibra óptica.
Si la propagación fuera en un medio infinito (sin bordes) con índice de refracción n1 la constante de
propagación se hubiese escrito como:
= n1k = n1 2 = n1cw
(1.22)
donde c es la velocidad de la luz en el vacio, utilizando ahora la ecuación 1.20 tenemos la siguiente
ecuación que nos da también la velocidad de fase y que ya conociamos
vp =
c
n1
(1.23)
De la misma forma la ecuación 1.21 puede desarrollarse si convertimos la ecuación en derivadas parciales
en derivadas totales (una aproximación)
vg
d
d dw
= d
d = d
n1
2
1
w
n1 1
1
= 2w 1 dn
d 2
= c dn1 = Ncg
n1 d
(1.24)
El parámetro Ng se conoce como índice de refracción de grupo.
1.3.3 Campo evanescente
Una de las cosas que más sorprende cuando se empieza a estudiar temas relacionados con trnasmisión
por fibra óptica es la existencia del campo evanescente. Como ya vimos en el apartado 1.3.1 en la figura
1.8 la onda estacionaria que se genera en cada uno de los modos no está totalmente confinada en el núcleo
de la fibra, a pesar de que cuando estudiamos la transmisión desde el punto de vista geométrico dijimos
que por debajo del ángulo crítico la reflexión era total. Hay una parte del campo para cada modo que
está situado en la envoltura de la fibra, este campo tiene la misma forma funcional en todos los modos,
es un campo exponencial decreciente.
El campo evanescente tiene una justificación matemática que vamos a saltarnos7 , pero si podemos
intentar entender otro tipo de justificación. Nosotros ya sabemos que cuando una onda, que se desplaza
en un medio de índice de refracción n1 , se encuentra con otro medio de índice de refracción menor siendo
el ángulo de incidencia mayor o igual que el crítico se produce reflexión total. Esto no impide que haya
un determinado campo distinto de cero en la intercara (la onda no sabía que allí iba a encontrarse con
un cambio de índice de refracción). Las leyes del electromagnetísmo impiden las discontinuidades de
campo, por tanto el campo no puede ser cero al otro lado de la intercara, pero támpoco puede transmitirse.
La única solución que queda es que el campo se atenue en el segundo medio y como la funcion de onda
7
Puede consultarse en el apartado 2.3.4 del libro Optical Fiber Communications
1.3. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA PARA PROPAGACIÓN ÓPTICA
15
tiene una forma exponencial el exponente que antes era un número complejo ahora deberá ser un número
negativo.
La existencia de este campo evanescente implica que ya no sólo es el núcleo de la fibra el que
transmite la señal sino también la envoltura, por lo tanto será el conjunto el que tendrá que ser diseñado
para el correcto funcionamiento como sistema de transmisión. Deberemos exigir buenas características
a ambos componentes de la fibra.