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RESUMEN
COMBINATORIA
La Combinatoria surge al intentar resolver problemas de recuento tales como:
¿de cuántas maneras se pueden mezclar 4 colores? o ¿cuántos números de 3
cifras se pueden escribir con los dígitos 1, 2, 3 y 4? La Combinatoria estudia las
diferentes formas en que se puede ordenar o agrupar una serie de objetos
siguiendo unas determinadas reglas o condiciones.
Definimos: Factorial de un número natural m, es
s el producto de los ““m”
factores consecutivos desde “m”
“
hasta 1. El factorial de un número se denota
por m!.
•
m! = m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2) ⋅ ⋅ ⋅ ⋅3 ⋅ 2 ⋅ 1
Teniendo en cuenta que : 0!=1 y 1!=1
Ejemplo: 5!=5∙4∙3∙2∙1=120
Número combinatorio:
combinatorio Se llama número combinatorio de índice m y
orden n al número de combinaciones de m elementos tomados de n en n
tales que n
m.
Se denota
 m
 
n
y se calcula:
calcula
 m
m!
  =
 n  n!(m − n)!
siendo: m los elementos disponibles y n los elementos que tomamos en cada grupo.
Propiedades de los Números
s combinatorios :
1º)
2º)
3º)
 m  m
  =   = 1
 0   m
 m  m 
  = 

n
m
−
n
  

 m   m   m + 1
  = 
 = 

 n   m + 1  n + 1 
De esta manera,, los diferentes problemas de recuentos se pueden resumir en
VARIACIONES: Se llaman variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en
n (m ≥ n) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que:
- No entran todos los elementos.
- Sí importa el orden.
- No se repiten los elementos.
Se calcula: Vmn =
m!
(m − n)!
COMBINACIONES: Se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (
m ≥ n)a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de
forma que:
- No entran todos los elementos.
- No importa el orden.
Se calcula: Cnm =
m
m!
=  
n!⋅(m − n)!  n 
- No se repiten los elementos.
PERMUTACIONES: Se llama permutaciones de m elementos (m = n) a las
diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que:
- Sí entran todos los elementos.
- Sí importa el orden.
- No se repiten los elementos.
Se calcula: Pm = m!
VARIACIONES CON REPETICIÓN Se llaman variaciones con repetición de m
elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de
manera que:
-
No entran todos los elementos si m > n.
Sí pueden entrar todos los elementos si m ≤ n
Sí importa el orden.
Se calcula: VR nm = mn
Sí se repiten los elementos.
PERMUTACIONES CON REPETICIÓN: Permutaciones con repetición de n
elementos donde el primer elemento se repite “a” veces , el segundo “b” veces ,
el tercero “c” veces, ... n = a + b + c + ... Son los distintos grupos que pueden
formarse con esos n elementos de forma que :
- Sí entran todos los elementos.
- Sí importa el orden.
calcula:
- Sí se repiten los elementos.
Se
EJEMPLOS:
1º) ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris
tomándolos de tres en tres? V73
2º) A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre
2
todos. ¿Cuántos saludos se han intercambiado? C10
3º) ¿De cuántas formas distintas se puede formar el pódium de la final de
los 100 m lisos en la que corren 8 atletas? V83
3º) ¿De cuántos partidos consta una liguilla formada por cuatro equipos?
V42
4º) Un grupo, compuesto por cinco hombres y siete mujeres, forma un
comité de 2 hombres y 3 mujeres. De cuántas formas puede formarse, si:
2
3
a) Puede pertenecer a él cualquier hombre o mujer. C5 ⋅ C7
b)
2
2
Una mujer determinada debe pertenecer al comité. C5 ⋅ C6
c)
Dos hombres determinados no pueden estar en el comité. C32 ⋅ C73
5º) ¿Cuántos números de tres cifras se puede formar con los dígitos: 1, 2,
3, 4, 5 ?. VR53
6º) ¿De cuántas formas pueden colocarse los 11 jugadores de un equipo
de fútbol teniendo en cuenta que el portero no puede ocupar otra posición
distinta de la portería? P10
7º) ¿Cuántas apuestas distintas de Lotería Primitiva han de rellenarse
6
para asegurarse el acierto de los seis resultados? C49
8º) Con las cifras 1, 2 y 3, ¿cuántos números de cinco cifras pueden
5
4
formarse? VR3 ¿Cuántos son pares? VR3
9º) En una prueba de atletismo en la que participan 8 atletas se pueden clasificar
sólo 3 para la final. ¿Cuantos grupos distintos de finalistas se pueden formar? C83
10º) ¿De cuántas formas se pueden extraer dos bastos de una baraja
2
española? C10
11º) ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la
palabra JUAN? P4 ; ¿Cuántas ordenaciones distintas empezarán por vocal?
P3 + P3
12º) Una empresa produce cerraduras de combinación. Cada combinación
consta de tres números enteros del 0 al 99, ambos inclusive. Por el proceso
de construcción de las cerraduras cada número no puede aparecer más de
una sola vez en la combinación de la cerradura. ¿Cuántas cerraduras
3
diferentes pueden construirse? V100
13º) Una mano de bridge consta de 13 cartas del conjunto de 52 de la
baraja francesa. (cada palo tiene 13 cartas, del 1 al 10 más las tres figuras)
13
a) ¿Cuántas manos de bridge son posibles? C52
b) ¿De cuántas formas se le puede dar a una persona 6 picas y 5
6
2
⋅ C135 ⋅ C26
corazones? C13
14º) ¿De cuántas formas se pueden sacar dos bolas azules y tres blancas
de una urna que contiene 6 bolas azules, 5 blancas y 4 verdes? C62 ⋅ C53
15º) En un lote de 100 ordenadores se sabe que 10 de ellos contienen
circuitos
integrados defectuosos. Se selecciona una muestra de 7
ordenadores de forma
aleatoria para realizar un chequeo. ¿Cuántas
muestras contienen?:
3
⋅ C904
a) Tres circuitos defectuosos? C10
7
− C907
b) Al menos un circuito defectuoso? C100
16º) ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos del 1
al 9?
a) Sin que se repitan los dígitos. V93
b) Pudiendo repetir los dígitos. VR93
c) ¿Cuántos son impares? 5· VR82
17º) Con las letras de la palabra DISCO, ¿cuántas palabras distintas se
pueden formar? P5
18º) Se extraen 5 cartas de una baraja española, ¿de cuantas formas se
pueden sacar?:
2
a) tres ases. C43 ⋅ C36
1
b) Dos cincos y dos sotas. C42 ⋅ C42 ⋅ C32
CUADRO RESUMEN