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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE CIENCIAS DE LA TIERRA
MANUAL PARA EL CURSO PROPEDÉUTICO DE
MATEMÁTICAS
Elaborado por:
Roberto Soto Villalobos
15/07/2015
Curso Propedéutico
Verano 2015
Trigonometría
Definición (ángulo)
Un ángulo se forma al girar un rayo alrededor de su punto final. El rayo en su
posición inicial se llama lado inicial del ángulo, mientras que el rayo en su posición
después del giro está en el lado terminal del ángulo. El punto final del rayo es el
vértice del ángulo.
Definición (ángulo positivo-negativo)
Si la rotación del lado terminal es en el sentido levógiro (en contra de las manecillas
del reloj) el ángulo es positivo. Si la rotación del lado terminal es en el sentido
dextrógiro (a favor de las manecillas del reloj) el ángulo se negativo.
Definición (medida del ángulo)
Un grado es la magnitud de un ángulo cuyo vértice esta en el centro de un circulo y
cuyos lados interceptan un arco de longitud igual a 1/360 de la circunferencia. Un
ángulo de un grado puede ser subdividido en 60 partes iguales cada una de las
cuales recibe el nombre de minuto; cada minuto puede ser subdividido en 60 partes
iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de segundo. Los símbolos °, ´, ´´
sirven para designar, grados, minutos y segundos.
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Ex-Hacienda de Guadalupe
Universidad Autónoma de Nuevo León
Curso Propedéutico
Verano 2015
Definición (ángulo agudo)
Un ángulo agudo es aquél ángulo que mide entre 0° y 90°.
Definición (ángulo recto)
Un ángulo recto es aquél ángulo que mide exactamente 90°.
Definición (ángulo obtuso)
Un ángulo obtuso es aquél ángulo que mide entre 90° y 180°.
Definición (ángulo llano)
Un ángulo llano es aquél ángulo que mide exactamente 180°.
Definición (ángulos complementarios)
Si la suma de las medidas de dos ángulos positivos es igual a 90° los ángulos se
llaman complementarios.
Definición (ángulos suplementarios)
Si la suma de las medidas de dos ángulos positivos es igual a 180° los ángulos se
llaman suplementarios.
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Verano 2015
Ejemplo I (suma de ángulos)
Realizar la suma de las siguientes medidas de ángulos:
30°20’17’’
15°47’25’’
65°38’34’’
Ejemplo II (resta de ángulos)
Realizar la suma de las siguientes medidas de ángulos:
30°20’17’’-15°16’13’’
65°38’34’’-15°47’25’’
Ejemplo III (ángulos complementarios y suplementarios)
Encuentra los ángulos complementarios y suplementarios de los siguientes ángulos
positivos.
70°31’42’’
35°43’31’’
14°37’44’’
Ejemplo IV (conversión de grados minutos y segundos a grados decimales)
Convertir los ángulos dados en ángulos decimales.
43°22’35’’
102°17’45’’
34°45’57’’
Ejemplo V (conversión de grados decimales agrados minutos y segundos)
Convertir los ángulos dados en decimal a ángulos en grados minutos y segundos.
65.3452
87.4596
105.3333
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Definición (ángulos coterminales)
Los ángulos que tienen los mismos lados inicial y terminal, se llaman ángulos
coterminales.
Definición (posición normal de un ángulo)
Un ángulo está en su posición normal o estándar si su vértice se ubica en el origen y
su lado inicial está a lo largo del eje positivo del eje de las x. Si el lado terminal
está en el primer cuadrante
se denomina ángulo del primer cuadrante, si se
encuentra en el segundo se llamará ángulo del segundo cuadrante, y análogamente
para los otros cuadrantes. Si los lados terminales coinciden con el eje de las x o el
eje de las y se llaman ángulos cuadrantales.
Definición (radián)
Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de un circulo y cuyos
lados interceptan un arco de circunferencia de longitud igual al radio.
Relación entre grados y radianes
Π radianes=180°
1 radian es aproximadamente 57.3°
1° es aproximadamente 0.0175 radianes
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Ejemplo VI (suma de ángulos)
Encuentra por los menos dos ángulos coterminales para lo siguientes ángulos:
27°
105°
-35°
Ejemplo VII (resta de ángulos)
Encuentra por los menos dos ángulos positivos coterminales para lo siguientes ángulos
30°20’17’’
-15°16’13’’
65°38’34’’
Ejemplo VIII (conversión de grados a radianes)
Convertir la medida de los ángulos grados a radianes.
180°
122.5°
60°
200°10’
45°
326°41’
240°
425.2°
Ejemplo IX (conversión de radianes a grados )
Convertir la medida de los ángulos radianes a grados.
0.028
2.3
30
2.12
1

2
3
2
3
1.9
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Ejemplo X
Determinar la medida de cada uno de los ángulos en la siguientes figuras:
(7 x)
(11x)
(2 y)
(4 y)
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Funciones Trigonométricas
Definición (Funciones trigonométricas)
Sea (x,y) un punto diferente del origen en el lado terminal de un ángulo θ en su
posición normal. La distancia del punto al origen es r  x 2  y 2 Las seis funciones
trigonométricas se definen como sigue:
y
r
r
csc
y
sen
x
r
r
( y  0) sec
x
cos
y
x
x
( x  0) cot
y
tan
( x  0)
( x  0)
Ejemplo XI (Funciones trigonométricas)
El lado terminal de un ángulo θ pasa a través del punto (8,15) determinar los
valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ
Ejemplo XII (Funciones trigonométricas)
El lado terminal de un ángulo θ pasa a través del punto (-3,-4) determinar los
valores de las seis funciones trigonométricas del ángulo θ
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Ejemplo XIII (Funciones trigonométricas de los ángulos cuadrantales)
Determinar los valores de las funciones trigonométricas en los ángulos cuadrantales
senθ
cosθ
tanθ
cotθ
secθ
cscθ
0°
90°
180°
270°
Ejemplo XIV (simplificación de expresiones)
Evalúa cada una de las expresiones:
Cos90°+3sen270°
Tan0°-6sen90°
2sec0°+4cot290°+cos360°
sen2180°+cos2180°
3sec180°-5tan360°
sen2360°+cos2360°
4csc270°+3cos180°
sec2180°-3sen2360°+2cos180°
5sen290°+2cos2270°-7tan360°
Tan360°+4sen180°+5cos2180°
Si n es un número entero encontrar el valor de las siguientes expresiones:
cos[(2n  1)  90], sen[n 180], tan[n 180], tan[(2n  1)  90]
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Identidades recíprocas
1
csc 
1
csc  
sen
sen csc   1
sen 
1
sec 
1
sec  
cos 
cos  sec   1
cos  
1
cot 
1
cot  
tan 
tan  cot   1
tan  
Signos de los valores de las funciones trigonométricas
I
II
III
IV
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senθ
cosθ
tanθ
cotθ
secθ
cscθ
+
+
-
+
+
+
+
-
+
+
-
+
+
+
+
-
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Rangos de las funciones trigonométricas
Para cualquier ángulo θ para los cuales la función indicada existe:
1).- 1  sen  1 y 1  cos   1
2).- tanθ y cotθ pueden ser iguales a cualquier numero real
3).- 1  sec  1 y 1  csc  1
Identidades Cociente
sen
 tan 
cos 
cos 
 cot 
sen
Identidades Pitagóricas
sen2  cos2   1 tan 2   1  sec2  1  cot 2   csc2 
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Ejemplo XV (Dada una función trigonométrica encontrar las restantes)
Si cos    3 / 4
trigonométricas.
está en el II cuadrante encontrar las restantes funciones
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Ejemplo XVI (Dada una función trigonométrica encontrar las restantes)
tan   1.5
Si
trigonométricas.
está en el IV cuadrante encontrar las restantes funciones
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Ejemplo XVII (Valores exactos de las funciones trigonométricas de 30°, 45° y 60 °)
sen
cos 
tan 
cot 
sec 
csc 
30
45
60
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Ejemplo XVIII (funciones trigonométricas de ángulos agudos positivos)
Encontrar las funciones trigonométricas
trigonométricas en el I cuadrante.
sen   
cos   1 
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de
sen(0.2)
3 5 7
3!

2
2!


5!

4
4!


7!

6
6!
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

y
9
9!

8
8!
las
demás
funciones


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Identidades Trigonométricas
Identidades de recípro cos
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
Identidades de cocientes
sen
cos 
cos 
cot  
tan 
tan  
Identidades pitagóricas
sen 2  cos 2   1
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XVII (Identidades Trigonométricas)
cos  (1  tan  )  1
2
2
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
tan 
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XVIII (Identidades Trigonométricas)
2 cos  (1  cos 2  )
1
2sen cos 
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
tan 
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XIX (Identidades Trigonométricas)
cos 
 sec   tan 
1  sen
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
tan 
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XX (Identidades Trigonométricas)
tan   sec  cot   csc

cot   csc  tan   sec
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
tan 
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXI (Identidades Trigonométricas)
sen
1  cos 

1  cos 
sen
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
tan 
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXII (Identidades Trigonométricas)
cos 
 tan   sec 
1  sen
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
tan 
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXIII (Identidades Trigonométricas)
1
1
2

 2sec 
1  sen 1  sen
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
tan 
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXIV (Identidades Trigonométricas)
2cos  (cot   1)  csc   cot   1
2
2
2
2
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXV (Identidades Trigonométricas)
sec2  tan 2 
sen2

4
4
sec   tan  cos 4   2sen2
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXVI (Identidades Trigonométricas)
sec4   tan 4  cos 4 

2
2
2
2
sec  tan 
sen 
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXVII (Identidades Trigonométricas)
sec4   tan 4  cos 4 

2
2
2
2
sec  tan 
sen 
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXVIII (Identidades Trigonométricas)
sen  sen tan   cos cot   cos  csc  sec
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXIX (Identidades Trigonométricas)
cot 2  sec2   1  cot 2 
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXX (Identidades Trigonométricas)
1
cot   tan  
sen cos 
2
2
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXXI (Identidades Trigonométricas)
cot   cot 
tan   tan 

1  cot  cot  tan  tan   1
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXXII (Identidades Trigonométricas)
cot   cot  1  cot  cot 

0
tan   tan  1  tan  tan 
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXXIII (Identidades Trigonométricas)
sen3
sen2 cos 

tan   sen
1  cos 
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXXIV (Identidades Trigonométricas)
cot   tan   sec csc (1  2sen2 )
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXXV (Identidades Trigonométricas)
cos3 x  sec3 x
 sec2 x  sen 2 x
cos x  sec x
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXXVI (Identidades Trigonométricas)
sec2 x cot 2 x  cos2 x csc2 x  1
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXXVII (Identidades Trigonométricas)
sen6  cos6   1  3sen2 cos2 
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXXVIII (Identidades Trigonométricas)
sen2 tan 2   cos2  cot 2   tan 2   cot 2   1
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Verano 2015
Ejemplo XXXVIII (Identidades Trigonométricas)
sen
sen

2
cot   csc  cot   csc 
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XXXIX (Identidades Trigonométricas)
cot 
cos 

 csc   sen
sec   tan  sec   tan 
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Ejemplo XL (Identidades Trigonométricas)
sen2  2cos2   cos2  cot 2   csc2 
sen csc   1
cos  sec   1
tan  cot   1
sen
cos 
cos 
cot  
sen
sen 2  cos 2   1
tan  
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
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Gráficas de funciones
trigonométricas
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Aplicaciones del triangulo rectángulo
Problema
La base de un triángulo rectángulo isósceles mide 20.4 unidades, y los ángulos de la base
miden 48°40’. Encontrar los lados iguales y la altura del triángulo
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Verano 2015
Problema
Considérese la Tierra como una esfera de radio 6378.4 metros, encontrar el radio
correspondiente al paralelo cuya latitud es de 40 grados
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Verano 2015
Problema
Encontrar el perímetro de un octágono regular inscrito en una circunferencia de un metro de
radio. ¿y de un n-ágono?
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Verano 2015
Problema
Demostrar que el perímetro P de un polígono regular de n lados inscritos en una
circunferencia de radio r está dado por P  2 rsen  180 


 n 
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Verano 2015
Problema
Desde lo alto de un faro, a 175 pies sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un barco
situado directamente al sur, es de 18°50’. Dos minutos después el ángulo de depresión es de
14°20’. Calcular la velocidad del barco si se observa que navega directamente hacia el oeste.
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Verano 2015
Problema (diámetro del Sol)
Para determinar el diámetro del sol, un astrónomo podría ver con un teodolito primero un
extremo del Sol y después el otro y hallar un ángulo de 32´. Suponer que la distancia d desde
la tierra al Sol es de 149,597,870.691 Km (Wikipedia). Calcular el diámetro del Sol.
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Verano 2015
Problema (la gran pirámide)
Las dimensiones de la gran pirámide en Egipto son, altura 146. 61 metros originalmente y los
lados de la base una longitud medio de 234.347 metros. Encontrar el ángulo de elevación de
sus caras, el ángulo de elevación de sus aristas.
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Verano 2015
Problema (Estaciones de radar)
Las estaciones de Radar A y B están en una línea recta este-oeste, a una distancia de 3.7
kilómetros . La estación A detecta un avión en C con un rumbo de 61° la estación B detecta
simultáneamente el mismo avión en un rumbo de 331°. Determinar las distancias en que se
encuentra el avión de las estaciones de Radar en el momento de la medición.
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Verano 2015
Problema (Rumbos)
El rumbo de A a C es S52°E. El rumbo de A a B es N84°E. El rumbo de B a C es S38°O. Un
avión que vuela a 400 km/h invierte 2.4 horas en ir de A a B, Determinar la distancia de A a C.
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Verano 2015
Problema (ángulos de elevación)
Chanklón Van Dam necesita saber la altura de un árbol. Desde cierto puno en el suelo,
encuentra que el ángulo de elevación a la parte superior del árbol es de 37.7°. Después se
mueve 16 pies hacia atrás. A partir del segundo punto, el ángulo de elevación a la parte
superior del árbol es de 22.2°. ¿Cuál es la altura del árbol?, Chanklón además quiere determinar
la distancia que hay desde el primer árbol hasta la primera medición.
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Verano 2015
Problema (distancia entre dos naves)
Una nave deja su puerto de origen y navega con un rumbo de N28°10’E. Otra nave abandona el
mismo puerto al mismo tiempo y navega con rumbo de S61°50’E, Si la primera nave navega a 38
km/h y la segunda a 45 km/h, determinar la distancia entre las dos naves después de 4 horas.
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Verano 2015
Problema (distancia entre una ballena y un faro)
Chanklón Van Dam detecta una ballena que se aproxima directamente hacia el faro desde cuya
parte alta observa. Cuando descubre por primera vez a una ballena su ángulo de depresión es
de 15°50’, Justo en el momento en que la ballena se sumerge, el ángulo de depresión es de
35°40’. Si la altura del faro es de 68.7 metros, determinar la distancia que la ballena he
recorrido conforme se aproxima al faro.
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Verano 2015
Demostrar que: cos( A  B)  cos A cos B  senAsenB
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Demostrar que: cos( A  B)  cos A cos B  senAsenB
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Demostrar que: sen( A  B)  senA cos B  cos AsenB
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Verano 2015
Demostrar que: sen( A  B)  senA cos B  cos AsenB
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Demostrar que:
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tan A  tan B
tan( A  B) 
1  tan A tan B
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Demostrar que:
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Verano 2015
tan A  tan B
tan( A  B) 
1  tan A tan B
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Demostrar que:
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Verano 2015
cos 2 A  cos2 A  sen2 B
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Demostrar que:
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cos 2 A  1  2sen2 A
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Demostrar que:
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Verano 2015
cos 2 A  2cos2 A  1
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Demostrar que:
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sen2 A  2senA cos B
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Demostrar que:
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2 tan A
tan 2 A 
1  tan 2 A
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Verano 2015
Solución de Triángulos Oblicuángulos
Un triángulo que no es un triángulo rectángulo se llama rectángulo. Las medidas de
los tres lados y los tres ángulos se pueden encontrar si se conocen al menos un lado
y otras dos medidas. Hay cuatro casos posibles.
Caso I.- se conocen un lado y los dos ángulos (LAA o ALA)
Caso II.- se conocen dos lados y un ángulo no incluido entre los dos lados (LLA).
Este caso puede conducir a más de un triángulo.
Caso III.- se conocen dos lados y el ángulo entre los dos lados (LAL)
Caso IV.- se conocen tres lados (LLL)
Ley de los senos
Ley de los cosenos
a
a
c


senA senB senC
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a 2  b 2  c 2  2bc cos A
b 2  a 2  c 2  2ac cos B
c 2  a 2  b 2  2ab cos C
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Verano 2015
Deducción de la ley de los senos
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Verano 2015
Deducción de la ley de los cosenos
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Verano 2015
Problema
Resolver el triángulo ABC si A=32.0°, B=81.8°, y a=42.9 cm
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Verano 2015
Problema
Chanklón Van Dam desea medir la distancia a través de del río Santa Catarina el determina
que C = 112.90°, A=31.10° y b=347.6 pies. Determinar la distancia a través del río
B
C
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A
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Verano 2015
Problema
Dos estaciones de bomberos están en una recta este-oeste separadas una distancia de 177 km.
Un incendio forestal esta ubicado en un rumbo de N42°E desde la estación occidental en A y en
un rumbo de N15°E desde la estación oriental en B. ¿A que distancia de la estación occidental
se encuentra el incendio?
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Verano 2015
Problema
Encontrar el área de un triángulo
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Verano 2015
Problema
Tres átomos con radios atómicos de 2.0, 3.0 y 4.5 están colocados como se muestra en la
figura. Determinar la distancia entre los centros de los átomos
C
B
18°
A
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Verano 2015
Problema
Chanklón Van Dam está sobre un globo aerostático directamente por arriba de una carretera
de 2400 metros de longitud que una a dos pueblos el pueblo más cercano está a un ángulo de
depresión de 35° y el más lejano a un ángulo de depresión de 31°, ¿A qué altura arriba del
suelo está el globo?
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Verano 2015
Problema
Chanklón Van Dam está por medir la distancia de la tierra a la luna. Puesto que la luna es un
cuerpo celeste, su distancia se puede medir de manera directa al tomar dos diferentes
posiciones . La luna tendrá un ángulo diferente de elevación en cada posición. El 29 de abril de
1976 a las 11:35 a.m. los ángulos de elevación de la Luna durante un eclipse parcial de Sol en
Bochum, en la alta Alemania y en Donaueschingen, en la Baja Alemania se midieron de
52.6997° y 52.7430°, respectivamente. Las dos ciudades tienen 398 km de separación. Calcular
la distancia a la Luna desde Bochum en este día y compararla con el valor real de 406,000 km.
No considerar la curvatura de la Tierra.
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Verano 2015
Problema
Ahora Chanklón Van Dam de topógrafo y desea medir la distancia entre dos puntos
inaccesibles A y B en los lados opuestos de un lago. Mientras se encuentra en el punto C,
encuentra que AC=29 m, BC=423 m y que el ángulo ACB mide 132°20’, Determinar la distancia
entre los puntos A y B.
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Verano 2011
Problema
Resolver el triángulo ABC si A=42.3°, b=12.9 m y a=15.4 m
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Verano 2015
Problema
Resolver el triángulo ABC si a=9.47 m, b=15.9 m y c=21.1 m
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Curso Propedéutico
Verano 2015
Área de un polígono
P1(0,0)
P2(2,5)
P3(5,13)
P4(8,7)
P5(11,12)
P6(15,12)
P7(18,15)
P8(20,12)
P9(24,10)
P10(28,12)
P11(28,8)
P12(23,-1)
P13(22,5)
P14(20,2)
P15(17,-1)
P16(14,4)
P17(11,0)
P18(6,-3)
P1(0,0)
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Verano 2015
Ecuaciones Trigonométricas
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