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Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce ¿Qué tipo de triángulo es? Prof. Enrique Díaz González Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce En algunas situaciones de tipo práctico, se necesita conocer si un determinado triángulo con lados de longitudes a, b, c es acutángulo, rectángulo u obtusángulo. Para decidir esta condición, se puede emplear el teorema del coseno, conjuntamente con otras propiedades de los triángulos. Recordemos, en primer lugar, el teorema del coseno. Teorema del coseno. En todo triángulo con lados de longitudes a, b, c y ángulos opuestos , y , respectivamente, se tiene: a 2 b 2 c 2 2 b c cos b 2 a 2 c 2 2 a c cos c 2 a 2 b 2 2 a b cos Demostración. Probaremos solamente la primera afirmación ya que las restantes se prueban en forma análoga. Hay varias formas de probar este teorema. Una de ellas es la siguiente. Figura 1 En la figura se tiene: a 2 h 2 n 2 , h 2 b 2 m 2 , por el teorema de Pitágoras. cos m m b cos b a 2 b2 m2 n2 b 2 b 2 cos 2 c 2 2 m c m 2 b 2 c 2 b 2 cos 2 2 b c cos b 2 cos 2 b 2 c 2 2 b c cos Esto termina la demostración. Revista 360/ No.6/ 2011 1 Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce 2 Se necesita también el siguiente teorema acerca de los lados de un triángulo. Teorema. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo y, recíprocamente, a mayor ángulo se opone mayor lado. Antes de hacer la demostración se probará el siguiente lema. Lema. En todo triángulo, la medida de un ángulo exterior es mayor que la medida de cualquier ángulo interior no adyacente. (Figura 2) Figura 2 Demostración. Consideremos un triángulo ABC como el de la figura. Sea E el punto medio de BC y prolonguemos AE de modo que AE ED . Resulta que ACE DBE por teorema LAL de congruencia. Luego ACE DBE . Como D está en el interior del CBF resulta que mDBE mCBF . Luego mACE mCBF . Para probar que mCAB mCBF , se procede en forma análoga considerando el otro ángulo exterior ABG y usando el hecho que los ángulos exteriores ABG y CBF son congruentes, por ser opuestos por el vértice. Revista 360/ No.6/ 2011 Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce 3 Demostración del teorema. Supongamos que en el triángulo siguiente se tenga a b . (Figura 3) Figura 3 Queremos probar que . Se traza la bisectriz del ángulo ACB que intersecta el lado AB en un punto D. Sobre el lado CB se copia CE = CA. Los triángulos CDA y CDE son congruentes por el caso LAL de congruencia. Por lo tanto mCAD mCED . Como CED es exterior del triángulo DBE se tiene, de acuerdo al lema anterior, que mCED mDBE , es decir, y como , resulta que es lo que se quería probar. Para probar el recíproco, es decir, si entonces BC AC , se razona en forma indirecta. Si BC AC entonces , lo cual contradice la hipótesis. Si BC AC entonces , lo cual también contradice la hipótesis .La única posibilidad es que BC AC. Ahora estamos en condiciones de responder a la pregunta: ¿Qué tipo de triángulo es? Consideremos los siguientes casos. 1) Supongamos que en un triángulo ABC se tiene a b , a c , b c . Podemos ordenar a, b y c en orden decreciente y supongamos que a b c . Por lo tanto, el ángulo es el ángulo mayor en el triángulo ABC. Se presentan las siguientes posibilidades: i) a 2 b 2 c 2 . Por el teorema del coseno a 2 b 2 c 2 2 b c cos de donde resulta 2 b c cos b 2 c 2 a 2 0 cos 0 está en el segundo Revista 360/ No.6/ 2011 Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce cuadrante es obtuso el ABC es obtusángulo. Por ejemplo, un triángulo de lados 3, 5 y 7 es obtusángulo pues 7 2 5 2 32 . ii) a 2 b 2 c 2 . En este caso 2 b c cos b 2 c 2 a 2 0 cos 0 está en el primer cuadrante es agudo y son también agudos porque es el ángulo mayor el triángulo es acutángulo. Por ejemplo, un triángulo de lados 10, 8 y 7 es acutángulo pues 10 2 8 2 7 2 . iii) a 2 b 2 c 2 . En este caso, a 2 b 2 c 2 2 b c cos cos 0 90 y el triángulo es rectángulo. 2) Supongamos ahora un triángulo ABC con lados a, b y c de modo que, por ejemplo, a b . Entonces se presentan las siguientes posibilidades. Supongamos que a c . Entonces a 2 b 2 c 2 2 b c cos i) 2 b c cos c 2 cos c 0 es agudo ABC es 2b acutángulo. Por ejemplo, un triángulo de lados 8, 8 y 5 es acutángulo. ii) Supongamos que c a . En este caso c 2 a 2 b 2 2 a b cos c 2 2 a 2 2 a 2 cos , ya que a b c2 c2 cos 1 c 2 a (1 cos ) 1 cos 2 a2 2 a2 2 2 2 a2 c2 . Se presentan las siguientes posibilidades. cos 2 a2 a) Si 2 a 2 c 2 0 , entonces 2 a c y como c a se tiene a c 2 a . En este caso es agudo y el triángulo es acutángulo. Por ejemplo, un triángulo de lados 8, 8 y 10 es acutángulo ya que 8 10 2 8 11.28 . Pero un triángulo de lados 8, 8 y 12 no es acutángulo ya que 12 2 8 . Revista 360/ No.6/ 2011 4 Universidad Interamericana de Puerto Rico – Recinto de Ponce b) Si 2 a 2 c 2 0 entonces 2 a c , el ángulo es obtuso y el triángulo es obtusángulo. Por ejemplo, un triángulo de lados 8, 8 y 12 es obtusángulo ya que 2 8 12 . c) Si 2 a 2 c 2 0 entonces 2 a c , cos 0 y el triángulo es rectángulo. Por ejemplo, un triángulo de lados 8 , 8 y 2 8 es rectángulo ya que ( 2 8) 2 8 2 8 2 3) Finalmente si un triángulo tiene sus tres lados iguales a b c , entonces el triángulo es equilátero y por lo tanto es acutángulo. Bibliografía. 1) Moise, Edwin Elementary Geometry from an Advanced Standpoint Addison Wesley, 1992. 2) Poenish, Ricardo Curso de Matemáticas elementales. Geometría Santiago de Chile, 1971. Enrique Díaz González, [email protected] Catedrático Auxiliar de Matemáticas de la Universidad Interamericana de Puerto Rico –Recinto de Ponce. M.S. University of Illinois. Revista 360/ No.6/ 2011 5
