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INTRODUCCIÓN
El desarrollo de este curso dará a los estudiantes de la Licenciatura en Educación
Secundaria la posibilidad de profundizar en dos sistemas fundamentales de la geometría:
escalas y semejanza, mismos que se vinculan ampliamente con aritmética por las relaciones
de proporcionalidad que se establecen. El estudio de la noción de escala y semejanza se inicia
desde cuarto grado de primaria, pero dada su complejidad y extensión es indudable que
muchos problemas ofrecerán retos interesantes a los estudiantes normalistas.
Se pretende que a partir del descubrimiento y manejo de los problemas de semejanza entre
figuras planas, y en particular de los triángulos, los alumnos se adentren en el objeto de la
geometría como ciencia deductiva.
Las actividades que se proponen en este curso permitirán al profesor-alumno no perder de
vista estos objetivos y a través de la implementación de estrategias adecuadas, analizar el
método euclidiano; los axiomas, teoremas, problemas y demostraciones sobre semejanza de
triángulos le brinda una excelente oportunidad para desarrollar habilidades matemáticas
fundamentales en la enseñanza de estos temas.
El programa está dividido en cuatro bloques y se inicia con la resolución de problemas en
los que se requiere el uso de escalas numéricas o gráficas, así como el análisis de los efectos
que se producen en las longitudes, en las superficies y en los volúmenes.
Es probable que muchos estudiantes de este nivel todavía no adquieran el dominio
suficiente con los números fraccionarios vistos a la vez como razones de magnitudes y como
operadores multiplicativos; en tal caso, es la oportunidad para familiarizarse con estas
herramientas matemáticas y con la gran variedad de problemas que se pueden resolver con
ellas.
El segundo bloque trata sobre las relaciones que se pueden establecer entre figuras o
cuerpos semejantes. El estudio de este bloque temático dará a los estudiantes la posibilidad de
consolidar sus conocimientos sobre la semejanza de triángulos y extenderlos hacia otras
figuras planas y sólidos geométricos.
El teorema de Pitágoras y algunas de sus demostraciones se presentan en el tercer bloque,
manejando, además de sus relaciones métricas con triángulos no rectángulos, otros teoremas
como el teorema del cateto y el teorema de la altura.
Este bloque temático también podría corresponder al programa de la asignatura Medición y
Cálculo Geométrico; sin embargo, también es un antecedente importante al uso de las
funciones trigonométricas en el caso particular de los triángulos pitagóricos están presentes los
conceptos de escala y semejanza.
El cuatro bloque maneja la trigonometría y su vinculación con la medición y el cálculo
geométrico. Las funciones trigonométricas en el círculo y en coordenadas cuadrangulares se
presentan a través de ejercicios y problemas de aplicación en los que el alumno implementará
estrategias de solución.
1
PROPÓSITOS GENERALES
Los temas que se tratan son propios del nivel secundaria, sin embargo, el acercamiento a la
temática propuesta presenta una serie de actividades y sugerencias para apoyar al profesoralumno en el desarrollo de métodos de enseñanza que favorezcan su labor dentro del aula.
El objetivo general del curso es profundizar y compartir el conocimiento sobre los temas de
Escalas y Semejanza y los relacionados con éstos, a fin de desarrollar el pensamiento
matemático del profesor y facilitar, por consecuencia el planteamiento y análisis de situaciones
didácticas dentro del aula para desarrollar habilidades matemáticas en los educandos.
El planteamiento de problemas y las actividades organizadas pretenden influir directamente
en la actitud del profesor-alumno dándole la oportunidad de reconocer el potencial de su propio
quehacer y de manejar las matemáticas como un actividad intelectual en la que puedan
participar y avanzar en una búsqueda reflexiva, compartiendo los resultados de sus
exploraciones y presentando las justificaciones de los procedimientos empleados.
Este programa se propone establecer una relación didáctica entre el contenido matemático
que el profesor pretende enseñar, con aquello que los alumnos son susceptibles de aprender
significativamente en el transcurso del proceso enseñanza aprendizaje.
SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
Las actividades propuestas se desarrollan en base a información previa y ejemplos que
pretenden hacer más accesible el manejo de los contenidos de cada bloque.
Para el manejo de los temas se presentan actividades preliminares con la intención de
motivar el interés del alumno y se sugiere que los ejercicios y problemas que conforman las
actividades se manejen a través de dinámicas que permitan al alumno desarrollar sus
habilidades y reflexionar sobre las estrategias empleadas, considerando que las matemáticas
no son una materia de contenido fijo o terminado, sino una disciplina en cuya construcción
deberá participar siempre el alumno.
A través de las actividades propuestas se pretende que el alumno reflexione acerca de los
conceptos, los analice en grupos de trabajo colaborativo y a través de dinámicas planeadas por
el profesor se logren conocimientos significativos que el alumno promoverá, a su vez, en sus
educandos.
De la misma manera habrá de enfrentarse activamente a situaciones problemáticas cuyos
contenidos adoptarán el enfoque que requiere la enseñanza actualizada de las Matemáticas,
explorando junto con el profesor, las técnicas más adecuadas para resolverlos.
En cada bloque se ha incorporado una serie de actividades acordes a los temas, las cuales
se sugiere desarrollar de manera interactiva con el profesor para que sean enriquecidas con las
experiencias de ambos actores de este proceso educativo.
Queda a cargo del profesor la aplicación de estrategias que generen en el alumno críticas
constructivas, aportaciones importantes, creatividad y cambios positivos en su actitud como
docente profesional.
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EVALUACIÓN DEL CURSO
Con respecto a la evaluación, se sugiere que ésta sea formativa y se apoye en actividades
directamente relacionadas con el logro de los propósitos del curso. Es recomendable que
durante el desarrollo de las actividades se ponga en práctica la técnica de evaluación de
portafolio, considerando: el desempeño del alumno, la realización de las actividades,
aportaciones, tareas y participación en los grupos de trabajo, desarrollo de habilidades como:
creatividad, análisis, síntesis, comunicación y dominio de los contenidos, entre otras.
Para la aplicación de estos criterios se propone agruparlos:
1. El desempeño actitudinal del alumno en la realización de las actividades considerando
aquellas que se interrelacionen con los contenidos manejados en otras asignaturas,
su disposición para integrarse al grupo, su apertura hacia compartir ideas, hacia la
realización de tareas y ejercicios de aprendizaje, su participación individual y en
grupos de trabajo colaborativo.
2. Realización de las actividades de exploración y propuesta de procedimientos en la
solución de problemas que pongan de manifiesto su capacidad de análisis, de síntesis
y el desarrollo de sus habilidades.
3. Diseño del curso. En este apartado se valora el dominio de los contenidos
programáticos y el desempeño del alumno como parte de su propio proceso de
aprendizaje, así como la reorientación y planificación de las actividades.
4. Desempeño del profesor-estudiante durante las clases presenciales. Esta categoría
incluye la participación, exposición de opiniones, aportaciones relevantes, tareas
presentadas en tiempo y forma y el dominio de la información que maneje.
Cabe mencionar, como aspecto importante en esta técnica de evaluación, el desempeño
del profesor, sugiriendo o diseñando mecanismos especiales que lo involucren como parte
activa de este proceso y permitan la reestructuración de estrategias, planeación y logro de los
objetivos del curso.
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ORGANIZACIÓN DE CONTENIDOS
Bloque I. Escalas
Temas
1. Escalas Numéricas y Gráficas.
2. Dibujo a escala. Efecto de una reducción o una ampliación a escala sobre las
dimensiones lineales, el área o el volumen.
3. Teorema de Tales.
Bloque II. Semejanza
Temas
1. Semejanza en el plano. Homotecia y Semejanza. Segmentos homotéticos. Homotecia
concéntrica.
2. Triángulos semejantes. Criterios de semejanza de triángulos.
3. Semejanza de polígonos y circunferencias. Razón de los perímetros de dos polígonos
semejantes.
4. Semejanzas en el espacio. Razones de áreas y volúmenes de dos cuerpos
semejantes.
Bloque III. El Teorema de Pitágoras y otras relaciones en los triángulos.
Temas
1. Demostraciones del teorema de Pitágoras Por descomposición y equivalencia de áreas.
2. Teorema de Pitágoras y cálculo geométrico.
3. Otros teoremas sobre triángulos rectángulos. Teorema de la altura. Teorema del
cateto.
4. Relaciones métricas en triángulos no rectángulos.
5. Cálculo de distancias inaccesibles.
Bloque IV. Trigonometría
Temas
1. Razones trigonométricas.
2. Trigonometría y polígonos regulares.
3. Cálculo de distancias inaccesibles.
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BLOQUE I ESCALAS
TEMAS:
1. Escalas numéricas y gráficas.
2. Dibujo a escala. Efecto de una reducción o una ampliación a escala sobre dimensiones
lineales, el área o el volumen.
3. Teorema de Tales.
PROPÓSITO:
Lograr desarrollar una mejor habilidad en la exposición de un tema sencillo que muchas veces
se descuida dándole poca importancia. Retomar este tema comprendiendo su concepto,
mostrarlo y medirlo nos permitirá tener un elemento de aplicación en la vida cotidiana. Ya que
el efecto de reducción-amplificación sobre dimensiones lineales, de áreas o volumétricas lo
encontramos continuamente reflejado en cualquier parte de nuestro medio.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:
• Proporcionalidad Geométrica y Semejanza #14, Editorial Síntesis.
• Descubre y aprende matemáticas 3, (Martínez 2001), Prentice Hall.
• Lecciones de Matemáticas, (Robles 2001), Fernández.
• Estrategias Matemáticas 3, (Marco A. García 2000), Esfinge.
• Matemáticas 3, (Fidel Sánchez 2001), Esfinge.
• Matemáticas 3, (Arquímedes Caballero 2001), Esfinge.
• Matemáticas en contexto 3, (Guillermo Woldegg 1998), Grupo editorial Iberoamericano.
• Matemáticas 3, (Marco A. García 2000), Limusa.
ACTIVIDADES SUGERIDAS:
1.- Recordar el concepto de razón geométrica vista en el curso anterior. Proceso de cambio o
variación, definirlo y demostrarlo.
Razón geométrica es el cociente de dichas cantidades, se puede escribir de dos modos:
forma de quebrado o separadas las cantidades (antecedente y consecuente) por el signo de
división.
Investigar las tres propiedades de la razón geométrica.
Actividad # 1
• Dibujar la figura que quieras y preséntala en el retroproyector (será más fácil si son
figuras con lados rectos y no muy complicadas).
• Mide los lados de la figura que has dibujado sobre el acetato.
• Mide ahora sobre la pantalla.
• ¿Qué observas? Anótalo.
• Repetir el proceso con otras figuras.
• Prueba que ocurre si alejamos el retroproyector de la pantalla o si se proyecta
perpendicularmente.
• ¿Sigue ocurriendo igual que antes o varia algo? Resumir en grupo las
observaciones.
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Actividad # 2
• Con tiras de papel de diferente ancho, construye figuras geométricas, triangulo
equilátero, cuadrado, pentágono.
• Comprueba las medidas de las figuras que has obtenido y calcula la razón de
semejanza entre los diferentes triángulos, cuadrados, pentágonos.
Resumir en grupo las observaciones y proponer algunas actividades que lleven a
encontrar la razón geométrica.
Traer mapas diversos próxima reunión.
2.- Encontrar la relación de la escala a partir de mapas o dibujos a escalas distintas
permitiendo trabajar en equipos de 3 y concluir en la interpretación.
Actividad # 3
• Definir que es escala y su representación.
•
•
En equipos de tres trabajar con los mapas calculando distancias entre distintos
lugares.
Pasar al frente y dar una explicación de su interpretación del plano.
Actividad # 4
• Desarrollar el siguiente ejercicio y diseñar uno similar u otro con esquema diferente. Copia
Pág. 167 del libro de Matemáticas 3 (Almaguer, Bazaldua), Limusa
SEMEJANZA Y EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Instrucciones. Resuelve los siguientes problemas.
1. En el plano de una bodega el ancho y el largo miden 15 cm. y 50 cm.,
respectivamente. Si el plano tiene una escala de 1:150. encuentra las longitudes
reales del largo y el ancho de la bodega (en metros).
Largo ____________________
Ancho ____________________
2. En un mapa que tiene una escala de 1: 5,000,000, la distancia entre las ciudades de
Puebla y Oaxaca es de 7.9 cm. Determina la distancia real que hay entre estas
ciudades (en kilómetros).
Distancia ____________________
3. Dibuja en tu cuaderno una figura que esté con la escala indicada con respecto a la
figura dada.
a) con escala de 1:2
b) con escala de 3:1
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TAREA
CALIFICACIÓN
I. Contesta las siguientes preguntas.
1. ¿Cuál es la escala que hay entre las dos
figuras dadas? ____________________
2. ¿Cuál es la razón de las áreas de estas
figuras? __________________________
3. ¿Cual es la escala que hay entre estos
dos vasos? _______________________
4. ¿Cuál es la razón de los volúmenes de
estos sólidos? _____________________
II. Resuelve los problemas siguientes.
1. En la maqueta (modelo reducido) de una escuela que será construida, un
salón mide de largo 3 cm., de ancho 2 cm. y de altura 1.5 cm. Si la escala
de la maqueta es de 1:200, encuentra las dimensiones reales del salón.
Operaciones:
Largo ___________
Ancho ___________
Altura ___________
2. Dibuja una figura que esté con la escala indicada con respecto a la figura
dada.
Con una escala de 5 a 1
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RECÍPROCO DEL TEOREMA
DE TALES
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• ¿Cómo calcularías la altura del asta bandera si se conocen los datos indicados?
Altura del asta =
Éste es un problema similar al que
resolvió Tales de Mileto. Continúa
estudiando esta lección y conocerás otras
aplicaciones de la semejanza de
triángulos.
Sombra
= 5.40 m
Sombra
= 1.80 m
El teorema de Tales y la semejanza de triángulos tienen múltiples aplicaciones,
algunas de las cuales estudiaremos en esta lección.
Cálculo de distancias inaccesibles
Ejemplo:
Un árbol proyecta una sombra de 5 m, en ese mismo instante una persona de 1.80
m de altura proyecta una sombra de 1.25 m; ¿cuál es la altura del árbol?
División de un segmento en partes iguales
Aquí se aplican los triángulos semejantes y el teorema de Tales.
Divide el
en 7 partes iguales.
1. Traza una semirrecta que inicie en A y
forme un ángulo cualquiera con AR.
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2. Sobre esa semirrecta y a partir de A, haz
siete marcas a distancias iguales con el
compás. Llamemos P a la última marca.
3. Une P con R.
4, Traza rectas paralelas a PR sobre cada
marca de AP.
Observa que forman triángulos semejantes.
Al marcar los puntos donde estas paralelas cortan al segmento AR, éste queda
dividido en siete partes iguales, ya que como los segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG
y GP son iguales, por teorema de Tales, los segmentos AB’. B’C’. C’D’. D’E’, E’F’. F’G’
y G’R’ también son iguales.
División de un segmento en una razón dada
Ejemplo:
Divide el segmento MN en la razón
.
1. Divide el segmento en 5 partes ¡guales
(siguiendo el procedimiento anterior).
2. De las cinco partes, toma tres. Llama P al
punto de la tercera marca.
3. El punto P divide al segmento MN en la
razón
.
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Construcción de la cuarta proporcional
Cuarta Proporcional. Cuando los cuatro miembros de una proporción son diferentes,
cada uno de ellos es cuarta proporcional con relación a los otros tres.
Ejemplo:
a es cuarta proporcional en relación con b, c y d.
b es cuarta proporcional en relación con a, c y d.
c es cuarta proporcional en relación con a, b y d.
d es cuarta proporcional en relación con a, b y c.
Aplicando el teorema de Tales. Para encontrar la cuarta proporcional a tres
segmentos dados, se traza un ángulo cualquiera; sobre uno de los lados se llevan dos
de los segmentos; en el otro lado se localiza el tercer segmento y se trazan dos
paralelas en los límites de los segmentos, uniendo los lados del ángulo.
Ejemplo:
Construcción da la media proporcional
Media proporcional. Cuando los extremos o los medios de una proporción son
iguales, son media proporcional de los términos diferentes.
x es media proporcional en relación con a y b.
n es media proporcional en relación con a y b.
Para localizar la media proporcional a dos segmentos dados, éstos se unen
formando una misma recta; se encuentra el punto medio de dicha recta, el cual servirá
de centro para trazar un circulo que pase por los extremos de la línea que contiene
ambos segmentos; después, sobre el punto de unión de los segmentos, se levanta
una perpendicular que interseque la circunferencia por un punto. Esa perpendicular es
la media proporcional buscada, ya que los ∆s ABD y DBC son semejantes por
teorema de Tales.
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Ejemplo:
Ejercicios
Realiza en cada caso lo que se te indica.
Trabajar en equipos de 3 para investigar y preparar un mínimo de 15
problemas de aplicación del tema de escalas, intercambiarlos y resolver por equipo.
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BLOQUE II SEMEJANZA
TEMAS:
1. Semejanza en el plano. Homotecia y semejanza. Segmentos nomotéticos.
Homotecia concéntrica.
2. Triángulos semejantes. Criterios de semejanza de triángulos.
3. Semejanza de polígonos y circunferencia. Razón de los perímetros de dos
polígonos semejantes.
4. Semejanza en el espacio. Razón de áreas y volúmenes de dos cuerpos
semejantes.
PROPÓSITO:
Lograr diferenciar el concepto de semejanza sobre la base de criterios de igualdad
y proporcionalidad permitiéndonos desarrollar una serie de actividades que nos lleve a
lograr este objetivo.
BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:
• Proporcionalidad Geométrica y Semejanza #14, Editorial Síntesis.
• Descubre y aprende matemáticas 3, (Martínez 2001), Prentice Hall.
• Lecciones de Matemáticas, (Robles 2001), Fernández.
• Estrategias Matemáticas 3, (Marco A. García 2000), Esfinge.
• Matemáticas 3, (Fidel Sánchez 2001), Esfinge.
• Matemáticas 3, (Arquímedes Caballero 2001), Esfinge.
• Matemáticas en contexto 3, (Guillermo Woldegg 1998), Grupo editorial
Iberoamericano.
• Matemáticas 3, (Marco A. García 2000), Limusa.
ACTIVIDADES SUGERIDAS:
TEMA 1. Semejanza en el plano. Homotecia y Semejanza. Segmentos
homotéticos. Homotecia concéntrica.
Actividad # 1
• ¿Has jugado a hacer figuras con sombras?
• Estrategias matemáticas (Marco A. García) Esfinge, Pág. 138-139. Investigar y
presentar por equipo lo que es homotecia directa, homotecia inversa. Realice
una serie de ejercicios con figuras diferentes a distintas escalas.
Actividad # 2
• Cuando el centro de homotecia se ubica dentro de cualquier polígono, los
polígonos son homotéticos.
Para determinar el centro de homotecia, se trazan rectas que pasen por todos
los vértices de la figura. Si todas las rectas se cortan en un punto, éstas son
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semejantes; dicho punto es el centro de homotecia.
• Hacer varios ejercicios para localizar el centro de homotecia.
• Matemáticas 3, (Almaguer, Bazaldua ) Limusa Pág. 163- 165
I. Instrucciones. Determina el valor de cada afirmación (verdadera o falsa),
con respecto a la figura, cruzando la letra correspondiente.
1. El centro de la homotecia es el punto 0.
2. La razón de la homotecia es Igual a
.
3. El segmento HE es paralelo al segmento UO.
4. El segmento PH es congruente con el segmento VU.
5. El ángulo PEH es congruente con el ángulo VOU.
6. Los lados OV y OU son proporcionales a los lados EP
y EH, respectivamente.
7. La distancia PV es Igual a la distancia EO.
F
F
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
V
II. Instrucciones. Observa esta figura y completa lo que se te pide.
1. A la clase de proyección representada por este dibujo se llama
_____________.
2. Su centro es el punto _____________.
3. Si AB = _____________ y JI = _____________, entonces la razón de
homotecia es igual a _____________.
4. La razón de homotecia también se puede obtener dividiendo
_____________ entre _____________.
5. El segmento JK es paralelo al segmento _____________ y el segmento
CD es paralelo a _____________.
6. El ángulo ABC es congruente con el ángulo _____________.
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Actividad # 3
• Realizar las actividades del anexo I (Proporcionalidad geométrica y semejanza
#14 Editorial Síntesis Pág. 198).
☼ Actividad 1. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis Pág. 198
☼ Actividad 2. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
☼ Actividad 3. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
☼ Actividad 4. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
☼ Actividad 5. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
☼ Actividad 6. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
TEMA 2. Triángulos semejantes. Criterios de semejanza de triángulos.
En el tema de triángulos semejantes, construir material visual que permita
demostrar los criterios de semejanza. (ALA), (LAL), (LLL), y presentarlos en forma
individual o por equipos de máximo 3 alumnos
Actividad # 4
• Realizar las actividades del anexo 1 (Proporcionalidad geométrica y semejanza
#14 Editorial Síntesis Pág. 161).
☼ Actividad 1. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis Pág. 161
☼ Actividad 2. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
☼ Actividad 3. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
☼ Actividad 4. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
☼ Actividad 5. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
☼ Actividad 6. Proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
Actividad # 5
• Tomando en cuenta. Lecciones de matemáticas (Robles) Fernández Pág. 136. u
otro texto. Comentar en grupo, ¿cuáles son los datos mínimos que necesitamos
saber para afirmar que dos triángulos son semejantes?
El tema que estudiarás ahora es muy importante no sólo en matemáticas, sino
también en otras áreas.
Un ejemplo claro es cómo, por medio de triángulos semejantes, el matemático
griego Tales de Mileto calculó la altura de la pirámide de Keops basándose en la
sombra que produce.
Esto lo hizo clavando una estaca vertical en el extremo de la sombra de la
pirámide, midió ambas sombras y la estaca, y luego con cálculos de triángulos
semejantes resolvió su problema. Los triángulos semejantes que usó son: el que
se forma con la estaca (∆ABC) y el que se forma con la altura (desconocida) de la
pirámide, la sombra y la línea que trazó (∆XCY).
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Dos triángulos son semejantes si la medida de sus ángulos homólogos son
congruentes y la longitud de sus lados respectivos es proporcional (son homólogos
los lados o los ángulos correspondientes; por ejemplo, el homólogo del A es A’;
el homólogo de
es
).
Ejemplo:
Los ángulos homólogos son congruentes.
Los lados homólogos son proporcionales.
Los triángulos ∆α y ∆β son semejantes y se indica:
∆α ~ ∆β
Actividad # 6
• Considerando el cuadro de Estrategias Matemáticas (Marco A. García) Esfinge
Pág. 146.
¿Cómo saber si dos triángulos son semejantes? Para saber si dos triángulos
son semejantes debe aplicarse alguno de los siguientes criterios:
1. Dos
ángulos
respectivos son iguales
(A.A.)
2. Un ángulo es igual y los
lados que lo forman son
proporcionales (L.A.L.)
3. Los lados respectivos
son
proporcionales
(L.L.L.)
• Trazar y demostrar los siguientes criterios.
a) Dos triángulos son semejantes cuando los ángulos denominados homólogos
son congruentes con los ángulos del otro.
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b) Dos triángulos son semejantes si cada uno de los lados de un triangulo son
proporcionales a los lados del otro.
c) Dos triángulos son semejantes si dos pares de lados homólogos son
proporcionales y los ángulos comprendidos entre cada par de lados son
congruentes.
d) Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos son
congruentes, uno a uno, a los lados del otro.
e) Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un Ángulo agudo
congruente.
f) Dos triángulos son semejantes si los lados de uno de los triángulos son
paralelos a los lados del otro.
g) Dos triángulos son semejantes si los lados de uno de los triángulos son
perpendiculares a los lados del otro.
Actividad # 7
• Considerando el ejercicio de Matemáticas 3 (Almaguer, Bazaldua) Limusa Pág.
157-159. Preparar y proponer una evaluación de tema.
I. Instrucciones. Anota sobre la línea la letra que representa la expresión correcta de
cada cuestión.
____ 1. Es la suma de las medidas de los tres ángulos de cualquier triángulo.
A) 60°
B) 90°
C) 180°
D) 360°
____ 2. Es el significado del criterio LLL de semejanza entre dos triángulos.
a) Los 3 lados de uno son congruentes con los 3 lados del otro triángulo.
b) Los 3 lados de uno son semejantes con los 3 lados del otro triángulo.
c) Los 3 lados de uno son proporcionales con los 3 lados del otro triángulo.
d) Los 3 lados de uno son iguales con los 3 lados del otro triángulo.
____ 3. Son símbolos que se utilizan para representar los tres criterios de semejanza
de triángulos.
A) AA. ALA, LLL
B) LL, LAL, LLL
C) LL, ALA, LLL
D) AA, LAL. LLL
____ 4. Es el criterio de semejanza que se aplica para justificar la semejanza entre
los triángulos dados.
____ 5. Es el criterio de semejanza que se aplica para Justificar la semejanza entre
los triángulos dados.
____ 6. Es el criterio de semejanza que se aplica para justificar la semejanza entre
los triángulos dados.
____ 7. Son las medidas que deben tener dos ángulos de un triángulo para que sea
semejante con el triángulo dado.
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II. Instrucciones. Anota debajo de cada pareja de triángulos las tetras correspondiente»
al criterio de semejanza que permite afirmar que los triángulos son semejantes.
III. Instrucciones. Lee cada afirmación y luego determina su valor (verdadera o falsa)
cruzando la letra correspondiente.
F
V
es una proporción.
1. La igualdad de razones
2. Si dos ángulos de un triángulo miden 46° y 19°, entonces el tercer
F
V
triángulo mide 105°.
3. Todos los triángulos isósceles son semejantes entre sí.
F
V
4. Uno de los criterios de semejanza de triángulos es el “ALA”.
F
V
5. Si los tres lados de un triángulo miden 40, 60 y 90 mm y los tres
F
V
lados del otro triángulo miden 20, 30 y 45 mm, entonces son
triángulos semejantes.
IV. Instrucciones. Resuelve cada problema.
1. Determina si los triángulos de cada pareja son semejantes. De ser así, justifica tu
respuesta.
2. Encuentra, sin medir, los valores de las Incógnitas en cada pareja de triángulos
semejantes.
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TEMA 3. Semejanza de polígonos y circunferencia. Razón de los perímetros de
dos polígonos semejantes.
Formar equipos de máximo 4 alumnos para trabajar en la construcción de material
visual o didáctico con el tema de semejanza de rectángulos.
Actividad # 8
• Realizar las actividades del anexo 1 (Proporcionalidad geométrica y semejanza
#14, Editorial Síntesis Pág. 154).
o
o
o
o
o
o
Actividad 1. proporcionalidad #14 Editorial Síntesis Pág. 154
Actividad 2. proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
Actividad 3. proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
Actividad 5. proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
Actividad 6. proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
Actividad 9. proporcionalidad #14 Editorial Síntesis
Actividad # 9
• Presentar por equipo material visual o didáctico de semejanza de rectángulos.
TEMA 4. Semejanza en el espacio. Razón de áreas y volúmenes de dos cuerpos
semejantes.
Con el tema de polígonos semejantes y usando material didáctico hacer la
demostración de condiciones de semejanza.
Actividad #10
• Trabajar en equipos de 5 alumnos máximo y presentar material visual o didáctico
de semejanza de polígonos.
1. Los ángulos que se corresponden deben de ser iguales
2. Los lados que se corresponden deben ser proporcionales
3. Las áreas son proporcionales a los cuadrados de sus lados homólogos
Evaluación:
Preparar un examen de mínimo 20 reactivos con variedad, e intercambiarlos, de tal
manera que permita medir el avance logrado en el curso.
Bibliografía
• Anexo 1 Proporcionalidad Geométrica y Semejanza #14, Editorial Síntesis.
• Anexo 2 Curso de Geometría, (F. J. Landaverde), Editorial Progreso.
• Descubre y Aprende Matemáticas 3, (Martínez 2001), Prentice Hall, Pág. 21-41,
51-58.
• Lecciones de matemáticas, (Robles 2001), Fernández, Pág. 136-154.
• Estrategias matemáticas 3, (Marco A. García 2000), Esfinge, Pág. 134-155.
• Matemáticas 3, (Fidel Sánchez 2001), Esfinge, Pág. 129, 153-173.
• Matemáticas 3, (Arquímides Caballero 2001), Esfinge, Pág.185-210.
• Matemáticas en contexto 3, (Guillermo Woldegg 1998), Grupo editorial
Iberoamericano Pág. 116-138.
• Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, SEP.
• Matemáticas 3, (Marco A. García 2000), Limusa, Pág. 154-169, 188-199.
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BLOQUE III EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Y OTRAS RELACIONES EN LOS TRIÁNGULOS
Temas:
1. Antecedentes históricos de la geometría. Ángulos: Sistemas de medición.
Triángulos: Definición, notación y clasificación.
2. Demostraciones del Teorema de Pitágoras por descomposición y equivalencia
de áreas.
3. Teorema de Pitágoras y cálculo geométrico.
4. Otros teoremas sobre triángulos rectángulos. Teorema de la altura. Teorema del
Cateto.
5. Relaciones métricas en triángulos no rectángulos.
6. Cálculo de áreas inaccesibles.
Propósitos:
A través del reconocimiento y exploración del triángulo rectángulo y sus relaciones,
el profesor-alumno: manejará problemas que incluyan la aplicación de contenidos
programáticos de ángulos, triángulos, trazos y teorema de Pitágoras para sus
habilidades en la implementación de estrategias didácticas en el aula.
Bibliografía básica:
• Benjamín Garza Olvera. Geometría y Trigonometría Plana. Interamericana de
Servicios. México, D.F. Carlos Bosch Giral, Claudia Gómez W. Editorial Nuevo
México. México, D. F.
• Fichero de Actividades Didácticas. Matemáticas. SEP. México, D.F. José Luis
Moreno. Álgebra. McGraw Hill. México, D. F.
• Libro para el Maestro. SEP. México, D. F.
TEMA 1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA
Para que la geometría fuera considerada como ciencia, hubo de pasar muchos
siglos, hasta que la cultura griega ordenara los conocimientos empíricos adquiridos
por el hombre desde tiempos muy remotos, reemplazando la observación y
experimentación por deducciones racionales o lógicas, permitiendo con ello, que la
geometría se elevara al carácter de ciencia.
SUMERIOS Y BABILONIOS.- La rueda inventada por los sumerios 3500 años
a.C., marca en la historia el inicio de la civilización; inventaron la escritura, crearon la
aritmética y las construcciones de sus ciudades revelan la aceptación de la figuras
geométricas.
En la antigua Mesopotamia florece la cultura de los babilonios, herederos de los
sumerios; adaptaron la rueda a sus carros de guerra, descubriendo las propiedades de
la circunferencia, deduciendo el valor de “3” como relación entre la circunferencia y el
diámetro de un círculo.
De acuerdo a sus estudios astronómicos, conocieron que el año tiene
aproximadamente 360 días, motivo por el cual dividieron la circunferencia en 360
partes iguales, obteniéndose así el grado sexagesimal.
También tenían el conocimiento de cómo trazar su hexágono regular inscrito en el
círculo; conocían una fórmula para hallar el área del trapecio rectángulo.
EGIPTO.- Los egipcios obligados por las constantes avenidas (crecidas) del Río
Nilo que año con año inundaba sus tierras de cultivo, por lo cual tenían que rehacer
las divisiones de tierra para calcular los impuestos para cada dueño de la superficie
cultivada; la aplicación de sus conocimientos geométricos se hicieron sobre la medida
26
de la tierra de lo cual se deduce el significado de GEOMETRÍA (medidas de la tierra)
suyas raíces griegas son: GEO-Tierra y METRE-Medida.
También aplicaron sus conocimientos de geometría en la construcción de
pirámides como la de KEOPS, KEFREN y MEKERINOS, que son cuadrangulares y
sus caras laterales son triangulares equiláteros, la de KEOPS es una de las siete
maravillas del mundo antiguo donde se ha comprobado que además de la precisión en
sus dimensiones está perfectamente orientada.
Los conocimientos de los egipcios están contenidos en cinco papiros, siendo el de
mayor interés el de RHIND donde se establecen las reglas para calcular el área del
triángulo isósceles y el área del círculo; determinaron el valor de 3.1604 como relación
entre la circunferencia y el diámetro de un círculo, valor mucho más aproximado que el
de los Babilonios para π.
Los egipcios empleaban el cordel (TENDEDORES DE CUERDA) para sus
operaciones de construcción y diseño, siendo regla, compás y escuadra al mismo
tiempo.
GRIEGOS.- Los conocimientos egipcios sobre la geometría eran netamente
empíricos, ya que no se cimentaban en una sistematización lógica deducida a partir de
axiomas y postulados.
En Grecia, comienza la geometría como ciencia deductiva, con los matemáticos,
Tales De Mileto, Herodoto, Pitágoras De Samos y Euclides De Alejandría; quienes
fueron a Egipto a iniciarse en los conocimientos de la geometría.
TALES DE MILETO.- (Siglo VII a.C.) fue uno de los siete sabios y fundador de la
escuela “JÓNICA”, se inicia en la filosofía y las ciencias, especialmente en la
geometría.
Resolvió algunas dudas como la altura de las pirámides, conociendo la sombra
que proyectan; la igualdad de los ángulos de la base en el triángulo isósceles; el valor
del ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto; demostró algunos teoremas
relativos a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por
un sistema de paralelos.
TEOREMAS DE TALES DE MILETO:
1. “Los ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales”.
2. “Todo diámetro biseca a la circunferencia”.
3. “Los ángulos inscritos en una semicircunferencia son iguales”.
PITÁGORAS DE SAMOS.- (Siglo VI a.C.) fue discípulo de Tales de Mileto, fundó
en Crotona, Italia, la escuela pitagórica, atribuyéndosele el Teorema que lleva su
nombre y que se enuncia:
“El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a
la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos”.
Otros de sus teoremas expresa: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo
cualquiera es igual a dos rectos”.
También demostró la construcción del pentágono y poliedros regulares como:
tetraedro, exaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.
EUCLIDES DE ALEJANDRÍA.- (Siglo IV a.C.) uno de los más distinguidos
maestros de la universidad de Alejandría y quién, por encargo de Ptolomeo Rey de
Egipto, reunió y ordenó los teoremas y demás proporciones geométricas en su obra
llamada “ELEMENTOS” que ha sobrevivido hasta el presente, por lo que se le
considera el “padre de la geometría”; sus 13 libros contienen:
• LIBRO I.- Relación de igualdad de triángulos; Teoremas sobre paralelas; suma
de las áreas de triángulos de un polígono; igualdad de las áreas de triángulos o
paralelogramos de igual base y altura; teorema de Pitágoras.
27
• LIBRO II.- Conjunto de relaciones de igualdad entre áreas de rectángulos que
conducen a la resolución geométrica de la ecuación de segundo grado.
• LIBRO III.- Circunferencia, ángulo inscrito.
• LIBRO IV.- Construcción de polígonos regulares inscritos a una circunferencia.
• LIBRO V.- Teorema general de la medida de magnitudes bajo la forma
geométrica, hasta los números irracionales.
• LIBRO VI.- Proporciones triangulares semejantes.
• LIBRO VII, VIII y IX.- Aritmética: proporciones, máximo común divisor y números
primos.
• LIBRO X.- Números inconmensurables (no se puede comparar) bajo forma
geométrica a partir de los radicales cuadráticos.
• LIBROS XI y XII.- Geometría del espacio y en particular, relación entre
volúmenes de prismas y pirámides, cilindro y como proporcionalidad del volumen
de una esfera al cubo del diámetro.
• LIBRO XIII.- Construcción de los cinco poliedros regulares.
PLATÓN.- (Siglo IV a.C.) En la primera mitad de este siglo, se inició en Atenas un
movimiento científico a través de la academia de Platón; su filosofía establece que la
matemática no tiene una finalidad práctica, sino simplemente se cultiva con el único fin
de conocer; por esta razón se opuso a las aplicaciones de la geometría. Dividió la
geometría en: ELEMENTAL y SUPERIOR. La elemental comprende todos los
problemas que se pueden resolver con regla y compás; la superior estudia los tres
problemas más famosos de la geometría antigua, no resueltos con regla y compás.
LOS TRES PROBLEMAS MÁS FAMOSOS DE LA GEOMETRÍA ANTIGUA
1. LA CUADRATURA DEL CÍRCULO.- Se trata de construir, utilizando solamente
la regla y el compás, el lado de un cuadrado que tenga la misma área que un
círculo dado.
2. LA TRISECCIÓN DEL ÁNGULO.- El problema de dividir un ángulo en tres
partes iguales utilizando como apoyo solamente la regla y el compás.
3. LA DUPLICACIÓN DEL CUBO.- Consiste en hallar, mediante una construcción
geométrica, un cubo que tenga un volumen doble del de un cubo dado.
“No se trata de problemas que en la actualidad no se hayan resuelto
prácticamente, sino de problemas que tienen una importancia totalmente teórica”.
ARQUÍMEDES DE SIRACUSA.- (287-212 a.C.) Estudió en la Universidad de
Alejandría y sin duda una de las máximas figuras de las matemáticas griegas, después
de grandes disputas con Euclides, se retiró a Siracusa donde cultivó todos los campos
de las matemáticas (geometría y aritmética principalmente), la astronomía y la física.
Calculó un valor más aproximado del “área de la elipse”, el volumen del cono, de la
esfera; estudió la llamada “ESPIRAL DE ARQUIMEDES” que se aplicó para la
solución de la trisección del ángulo.
APOLONIO DE PERGAMO.- (260-200 a.C.) Estudió ampliamente las secciones
cónicas que 18 siglos después sirvieron a Kepler en sus investigaciones de
astronomía, logrando determinar casi todas sus propiedades.
En su obra se encuentran también las ideas que coadyuvaron a René Descartes a
crear la geometría analítica, veinte siglos después.
HERON DE ALEJANDRÍA.- (Siglo II d.C.) su obra destaca la demostración de la
fórmula que lleva su nombre, y que se emplea para calcular el área de un triángulo en
función de sus lados.
Benjamín Garza Olvera.
28
ACTIVIDADES
1. En grupos de trabajo colaborativo analizar las lecturas Antecedentes Históricos
de la Geometría (Benjamín Garza Olvera) y Orígenes de la Geometría (Libro
para el maestro, Pág. 211 a 225), haciendo énfasis en:
a) Las aportaciones de Pitágoras y Tales de Mileto.
b) Le enseñanza de la geometría.
c) Qué problemas presenta la enseñanza de la geometría.
2. En grupos pequeños los alumnos comentarán los problemas a los que se
enfrentan al manejar estos temas dentro del aula.
3. Cada equipo hará propuestas para la solución de los problemas presentados,
mismas que serán comentadas por el resto del grupo, argumentando sobre las
estrategias señaladas por cada equipo.
Como antecedente en geometría, también es necesario revisar algunos elementos,
cuyo conocimiento será necesario para la posterior comprensión de conceptos como:
razón, función trigonométrica, identidades, entre otros. Entre los elementos que se
consideran indispensables cabe señalar lo que es ángulo, sus sistemas de medición y
sus clasificaciones.
Ángulos
Definimos un ángulo como la abertura entre dos rectas que se interceptan, cada
recta es un lado del ángulo, dependiendo de dónde se comience a medir se llaman
respectivamente lado inicial y lado final.
B
O
B
Así en la figura OA es el lado inicial OB es el lado final y O es el vértice del ángulo
AOB; es preciso señalar que la flecha nos indica el sentido de medición del ángulo.
Un ángulo se mide tomando su abertura y para ello existen aparatos que auxilian
para tal efecto, como el transportador, el cual no es otra cosa más que una mitad de
circunferencia o una circunferencia completa, la cual está dividida en partes iguales.
180 o 360 partes, cada una de estas partes se llama grado.
Para medir las aberturas entre rectas (ángulos) vamos a considerar dos sistemas:
• Sistema sexagesimal: Considera a la circunferencia dividida en 360 partes iguales
cada una llamada grado sexagesimal, cada grado se divide en sesenta partes
llamada minuto y a su vez éste en sesenta partes cada una denominada segundo, y
se simboliza por: 1º, 1’, 1” respectivamente. Este sistema es el que se usa en los
transportadores.
• Sistema circular: Considera como unidad de medida el radián que es un arco de
circunferencia de longitud igual a un radio; así se tiene que una semicircunferencia
tiene
radianes; i.e. 3.1415… radios.
B
r
O
1 Radián
A
r
De acuerdo con este sistema de medida se ve que una semicircunferencia que
describe un ángulo de 180º es equivalente a π radianes.
29
RELACION ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES Y RADIANES:
Consideremos ahora el siguiente razonamiento en la figura anterior. Si AB es un
radian en la circunferencia de radio r y centro en la O la cual tiene como perímetro:
P=2
π
r y además como el radio cabe
π
veces en una semicircunferencia:
2 radianes
1 radian
3 radianes
.14159 radianes
180
O
Entonces se establece la proporción siguiente:
π radianes = 1 radian
180º
x grados
Despejando x° se tiene:
X =180 (1 radian)
π radianes
de donde haciendo operaciones se tiene el siguiente resultado aproximado:
1 radian ≈ 57.29577.951….°
1 radian ≈ 57º 17’ 44”
Aunque esto la mayoría de las veces no es muy útil si permite realizar
transformaciones de grados a radianes y viceversa; sin embargo para efectos
prácticos es mejor recurrir a la interpretación geométrica entre grados y radianes, al
considerar que en una semicircunferencia caben π radianes. De esta manera se puede
deducir que un ángulo de 90º describe un arco radianes, un ángulo de 60º describe
un arco de radianes; un ángulo de 45º describe un arco de radianes; un ángulo de
30º describe un arco de radianes:
GRADOS
0
RADIANES
0
30
45
60
B
r
90
120
2
135
3
150
5
180
π
210
7
225
5
240
4
0
θ
r
A
30
ALGUNOS USOS DE LA MEDIDA EN RADIANES:
Longitud de un arco de circunferencia y medida de un sector circular: Por los
cursos de la geometría elemental se sabe que la longitud de una circunferencia de
radio r está dada por su perímetro:
Longitud de la circunferencia = Perímetro = 2
π
r
Y por otro lado el área de un círculo está dada por: Área del círculo =
π
r2
Sin embargo, muchos de los problemas que aparecen en la matemática y en otros
campos, necesitan calcular o un segmento de circunferencia (longitud de arco) o el
área de un segmento de círculo (área de un sector circular). En este párrafo
deducimos expresiones para tal efecto:
Consideremos una circunferencia de radio, r definimos un arco de circunferencia
como el segmento AB (longitud de arco): determinado por un ángulo central.
De esta manera la longitud total de la circunferencia es su perímetro: En esta
misma circunferencia designamos por la letra l la longitud de este arco, con esto,
formamos la proposición siguiente:
Longitud de la circunferencia = medida del ángulo total
l
ángulo central
pero: longitud de la circunferencia = 2 π r; medida del ángulo total = 2 π ; y el ángulo
central que subtiende el arco de longitud l = θ ; entonces sustituyendo tenemos:
despejando l y simplificando la expresión se obtiene:
l = rθ
ésta nos da la longitud del arco subtendido, basta conocer el radio r y el valor del
ángulo θ dado en radianes. Por ejemplo, para calcular la longitud del arco de un
cuarto de circunferencia de radio r es preciso tomar el ángulo central θ = 45º como
este ángulo debe estar dado en radianes, entonces θ = , ahora sustituyendo en la
expresión anterior se obtiene:
= r
π
4
=
πr
4
lo cual significa que es la octava parte de la circunferencia.
Planteamos el problema de calcular la longitud de un arco de circunferencia de
radio 2, subtendido por un ángulo de 264º, en este caso lo único que se requiere es
transformar este ángulo a radianes, para lo cual establecemos la siguiente proporción:
π
180
=
x
264
Despejando x y tomando el valor de
x=
π
tenemos:
(3.14159.....)(264)
180
Haciendo operaciones se obtiene:
x = 4.6 rad.
31
Tomando este valor y sustituyendo en la expresión de la longitud de arco:
= 2(4.6)
= 9.2
Ahora, viendo la siguiente figura:
r
O
θ
r
el sector circular definido por el ángulo θ sin ser muy estricto pareciera ser un
triángulo con base curvilínea, con este acercamiento muy intuitivo y tomándolo
como primera aproximación de nuestro pensamiento, podemos pensar que el
área de este sector circular, que llamaremos S es muy semejante al área de un
triángulo; i.e.
S≈
en este caso la base sería
expresión puede ser:
1
base • altura
2
y la altura muy semejante al radio r: entonces la
para no quedarnos con la idea intuitiva dejamos como problema demostrar la
veracidad de esta expresión, lo cual sustituye el signo ≈ por el signo =.
ACTIVIDADES
Los problemas de equivalencia y conversión presentan, por lo general, grandes
dificultades para los alumnos en el nivel secundaria, por lo tanto es importante que el
profesor-alumno domine estos temas y se apropie de estrategias que permitan la
comprensión y aplicación de los mismos.
Se sugiere, que se planteen y resuelvan ejercicios sobre estos contenidos y ante el
grupo se expongan y comenten las estrategias y patrones que se siguieron en su
desarrollo.
I. PROBLEMAS DE EQUIVALENCIA:
Resolver los problemas que se plantean y mostrar al grupo las estrategias
utilizadas.
1) Si un grado sexagesimal es igual a 60 minutos, ¿13º cuántos minutos son?
2) Si un minuto sexagesimal es igual a 60 segundos, ¿27’ ¿Cuántos segundos
son?
3) ¿A cuántos segundos sexagesimales equivalen 48º 59’?
4) ¿A cuántos grados y minutos sexagesimales equivalen 94380”?
5) La longitud de cualquier circunferencia, ¿a cuántos radianes equivale? Presentar
ejemplos.
32
II. PROBLEMAS SOBRE LA CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES Y
VICEVERSA
El profesor-alumno resolverá los ejercicios comparando resultados en el grupo.
1. Expresar en grados sexagesimales los siguientes ángulos:
a) 5.63 radianes_____________
c) 7.81 radianes_____________
b) 2.49 radianes_____________
d) 9.4248 radianes___________
2. Expresar los siguientes ángulos en radianes:
a) 38º ____________________
c) 225º____________________
b) 147º____________________
d) 660º____________________
3. Expresar en grados, minutos y segundos sexagesimales los siguientes ángulos:
a) 0.79483 radianes__________
c) 2.96571 radianes__________
b) 1,25869 radianes__________
d) 9.4248 radianes___________
4. Expresar en radianes los siguientes ángulos:
a) 41º 20’ 54”____________
c) 219º 05’ 36”___________
b) 171º 29’ 43”___________
d) 327º 53’ 12”___________
5. Si ∢KOL = 2x, ∢LOM = 6X y ∢MON = x, ¿Cuánto mide cada ángulo?
L
M
6x
2x
K
III.
x
N
0
PROBLEMAS GRÁFICOS
a) En equipos de trabajo colaborativo elaborar gráficamente diferentes
clasificaciones de ángulos, considerando: sus medidas o su relación con otros,
etc.
b) Con auxilio de regla y transportador, trazar ángulos sexagesimales de diferentes
medidas como: 35º, 120º, 225º, 260º, 315º 335º.
c) Los alumnos realizarán de manera individual las actividades del Libro para el
Maestro, página 252 y en equipos de la página 253 a la 257, exponiendo y
comentando en grupo las estrategias seguidas para la realización de estos
problemas.
d) Considerando los ejercicios anteriores se elaborarán modelos de planeación de
actividades para los alumnos de secundaria.
NOCIONES FUNDAMENTALES SOBRE TRIÁNGULOS.
Otro de los elementos importantes en el tema que nos ocupa, es el triángulo, sus
propiedades y relaciones, de ahí que se sugiera que se realicen algunas actividades
preliminares como las siguientes. Queda a elección del profesor utilizar dinámicas
variadas que permitan al alumno poner de manifiesto su dominio sobre el tema y a la
vez surjan del grupo propuestas variadas.
Ejemplo: utilizando una dinámica de pregunta y respuesta, un alumno lanza una
pregunta a otro, quien la contesta y después de ser comentada y aprobada por el
grupo, él dirige otra pregunta a un compañero distinto, quien a su vez hará lo propio y
así sucesivamente hasta lograr la participación general.
1. ¿Qué es triángulo?
2. ¿Qué elementos forman el triángulo?
33
3. ¿Cuál es la notación de un triángulo?
4. Cite la clasificación de los triángulos de acuerdo a sus lados y ángulos.
5. Mencione las características del triángulo isósceles.
6. Mencione las características de los triángulos acutángulo y obtusángulo.
7. ¿Cómo identificamos un triángulo escaleno?
8. ¿Qué otro nombre identifica a los triángulos acutángulos y obtusángulos?
9. ¿Qué características tiene un triángulo rectángulo?
10. Dado el siguiente triángulo identificar sus elementos y dar su notación.
DEFINICIÓN, NOTACIÓN Y CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
DEFINICIÓN DE TRIÁNGULOS.
Es una figura cerrada, formada por tres rectas que se cortan dos a dos; es el
polígono o figura geométrica formada por tres lados que forman, a su vez, entre sí
ángulos; por tal razón el triángulo es un subconjunto de los polígonos.
B
b
VERTICES: A, B y C.
LADOS: AB, BC y AC ó c, a
y b, respectivamente.
c
A
ÁNGULOS
INTERIORES.
∢A, ∢B, ∢ C, ∢ o
a
c
a
∢ a,∢ b, ∢c,
NOTACIÓN: Ì ABC
C
b
Los puntos de intersección son los vértices del triángulo A, B y C.
,
y
son los lados del triángulo, que
Cada uno de los segmentos
normalmente se designa por una letra minúscula e igual a la del vértice opuesto; así,
el lado AB se denomina “c”, ya que el vértice C es el opuesto a dicho lado (BC = a y
AC = b).
Los lados forman los ángulos interiores que se designan por las letras de los
vértices o por minúsculas de los mismos ∴ Un triángulo tiene 3 ángulos, 3 lados y 3
vértices.
NOTACIÓN DE TRIÁNGULOS.
La manera más común de nombrar a los triángulos es colocando las letras de los
vértices (mayúsculas) en seguida del símbolo Ì, así de acuerdo a la figura tenemos:
ÌABC
CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS.
Los triángulos se clasifican, de acuerdo a sus lados y de acuerdo a sus ángulos.
34
a) Clasificación de acuerdo a sus lados:
1. EQUILÁTEROS: Son los que tienen sus tres lados iguales.
C
b
__ ___ ___
AB = BC = AC
c=a=b
∴ Ì ABC, ES UN TRIÁNGULO
EQUILÁTERO
a
A
c
B
2. ISÓSCELES: Son los que tienen dos lados iguales.
B
c
A
___ ___ __
AB = BC ≠ AC
c=a ≠ b
∴ Ì ABC, ES UN
TRIÁNGULO ISÓSCELES
a
b
C
3. ESCALENOS: Son los que tienen sus lados desiguales.
___ ___ __
AB ≠ BC ≠ AC
c ≠ a ≠ b
∴ Ì ABC, ES UN
TRIÁNGULO ESCALENO
B
c
a
A
C
b
b) Clasificación de acuerdo a sus ángulos:
1. ACUTÁNGULOS: Son los que tienen sus tres ángulos interiores agudos.
B
∢A, ∢ B y ∢ C <90º
c
∴ ∢ A, ∢B y ∢C, SON
a
ÁNGULOS AGUDOS
A
b
C
2. RECTÁNGULOS: Son los que tienen un ángulo recto; los lados que forman el
ángulo recto se denominan “catetos” y el lado opuesto se llama “hipotenusa”.
∢A = 90º
B
∴ ∢ A ES UN ÁNGULO RECTO
∢B y ∢ C < 90º
∴ ∢ B y ∢ C SON ÁNGULOS AGUDOS
AB Y AC SON LOS CATETOS BC ES LA
HIPOTENUSA.
A
C
35
3. OBTUSÁNGULOS: Son los que tienen un ángulo obtuso.
∢A> 90º
B
∴ ∢ A ES UN ÁNGULO OBTUSO
∢B y ∢ C < 90º
∴ ∢ B y ∢ C SON ÁNGULOS
C AGUDOS
A
Los triángulos acutángulos y obtusángulos se denominan también “triángulos
oblicuángulos” debido a que ninguno de sus ángulos interiores es un ángulo recto.
El ángulo recto se señala por medio de un cuadro en el vértice, con el fin de hacer
notar su identificación.
B
A
C
ACTIVIDADES:
•
El profesor-alumno expondrá diversas estrategias para el manejo del trazo de
triángulos y otras figuras planas, utilizando el juego geométrico en el pizarrón y
enriqueciéndolas con las aportaciones del grupo.
•
Cada equipo elaborará un instructivo sobre el trazo de una figura plana.
Presentándolo al grupo para su comentario.
TEMA 2. DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
El teorema de Pitágoras es uno de los descubrimientos geométricos más antiguos
e importantes en el desarrollo del pensamiento matemático. Es necesario que nos
familiaricemos con este teorema, ya que sus aplicaciones son muchas. Por ejemplo,
hemos desarrollado fórmulas para calcular el perímetro y el área de un rectángulo,
pero encontrar la diagonal del rectángulo requiere de otros elementos.
Diagonal
Al trazar la diagonal dividimos el rectángulo en
dos triángulos que les llamamos rectángulos
porque proceden de un rectángulo. Dibujemos el
triángulo rectángulo.
b
Hipotenusa
Cateto
Cateto
ENUNCIADO DEL TEOREMA.
Una forma de enunciar el teorema es: “La suma de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa” En lenguaje matemático esto lo describimos de la
siguiente manera:
a2 + b2 = c2
Sabemos que a 2 es el área de un cuadrado cuyos lados miden a, que b2 es el área
de otro cuadrado de lados igual a b y c2, es el otro lado cuya longitud de sus lados es
c.
36
Tomando en cuenta estas áreas podemos dibujar el triángulo de la siguiente
manera:
2
a
C2
a
c
b
b2
DEMOSTRACIÓN
Considera un triángulo rectángulo cualquiera y denota sus vértices con A, B, C y a
la longitud de sus lados con a, b, c, como se indica en la figura.
Luego, se forma la siguiente figura, con cuatro triángulos iguales al ABC:
R
b T
a
S
a
A
b
c
W
c
B
C
c
a
B
V
c
b
a
c
X
a
Y
b Z
¿Qué tipo de triángulo es UXY?____________________________________________
¿Cuál es el ángulo recto?________________________________________________
¿Cuánto vale la suma de los ángulos U mas Y? ______________________________
¿Cómo son los triángulos UXY y YZW? (usa LLL) _____________________________
¿Cómo son los ángulos YUX y WYZ? ______________________________________
UYX +
WYZ = 90º, pues ∠ UYX + ∠ YUX = 90º?
De manera que ∠ UYW = 90º, pues:
∠ XYZ – ( ∠ UYX + ∠ WYZ) = 180º - 90º
Análogamente, se puede ver que los otros ángulos de TUYW son rectos y, por lo
tanto, TUYW es un cuadrado de lado c.
¿Cuál es el área de TUYW? ______________________________________________
¿Cuál es el área del triángulo UYX? ________________________________________
El área del cuadrado RSZX se puede calcular como la suma del área del cuadrado
TUYW y cuatro veces el área del triángulo UXY. ¿Cuánto se obtiene calculando el
área de ésta manera? ___________________________________________________
Otra forma de calcular el área del cuadrado RSZX es observando que su lado es a+b.
¿Cuánto se obtiene calculando el área así? __________________________________
Iguala ambos resultados:
⎛ ab ⎞
⎟ = ________
⎝ 2 ⎠
(a + b)2 = ____________ = c2 + 4 ⎜
Cancela los términos semejantes y escribe el resultado:
______ + ______ = _____
¡Acabas de demostrar el teorema de Pitágoras!
37
Primera demostración del Teorema de Pitágoras
La forma más sencilla de verificar que el teorema de Pitágoras es correcto, es
utilizando un triángulo cuya longitud de sus lados conocemos. Para hacer la
demostración utilizamos el material didáctico para formar las áreas de los catetos y la
hipotenusa.
Ejemplo:
Utilizando el material didáctico verificar que el teorema de Pitágoras es correcto si
tenemos un triángulo rectángulo cuyos lados miden 3,4, y 5
c5
b
3
c5
3a
c2 = Área de la hipotenusa c = 25
a2 = Área del cateto a = 9
b2 = Área del cateto b = 16
4b
a2 +b2 = c2
9 + 16 = 25
4
b
En lenguaje matemático hemos enunciado el teorema de Pitágoras como:
c2 = a2 + b2
Si sacamos raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad, tenemos que:
c2 = a2 + b2
Sabemos que c 2 =c por lo cual:
momento que:
c = a 2 + b 2 es importante mencionar en ese
a2 + b2 ≠ a2 + b2
es decir a 2 + b 2 sólo se puede obtener hasta que hayamos sustituido los valores de
a2 y b2.
c2 = a2 + b2 ⇒ a2 = c2 − b2 ⇒ b2 = c2 − a2
2
c = a2 + b2 ⇒ a = c2 − b2 ⇒ b = c2 − a2
Recordemos nuevamente que: c 2 − b 2 y c 2 − a 2 sólo se pueden obtener
hasta que hayamos sustituido los valores numéricos como se muestra en el siguiente
ejemplo:
Utilizando el teorema de Pitágoras podemos encontrar la longitud de cualquier lado
de un triángulo rectángulo conociendo la longitud de los otros dos lados.
38
Ejemplo:
Utilizando el teorema de Pitágoras resolver los siguientes triángulos:
a
1.
2. b =
c 2 − a 2 = (10) 2 − (8) 2 = 100 − 64 = 36 = 6
3. a =
c 2 − b 2 = (13) 2 − (12) 2 = 169 + 144 = 25 = 5
Existen otras formas de demostrar el teorema de Pitágoras. A continuación se
analizarán algunas.
Segunda demostración del Teorema de Pitágoras.
Acomodamos 4 triángulos abc como se muestra en la figura.
a
a
b
a2 a
c
a
a
b
b
b2
b
b
c
a
b
2
En el dibujo anterior tenemos 6 áreas: a , b2 y 4 veces el área que forma el
triángulo abc. Tenemos que encontrar otro reacomodo de los cuatro triángulos de tal
forma que demostremos que:
a2 + b2 = c2
a
b
a
b
c
c
c2
c
c
b
a
39
b
a
Hemos demostrado que el área formada por los catetos es igual al área formada
por la hipotenusa.
Tercera demostración del Teorema de Pitágoras.
Acomodamos 4 triángulos abc como se muestra en la figura.
c
a
b
b–a
b
c
b–a
c
b–a
b–a
b
b
El área que este cuadrado forma es c2 y consta de 5 áreas: 4 triángulos abc y el
área formada por b – a. Tenemos que reacomodar estas 5 áreas de tal forma que
demostremos que:
a2 + b 2 = c 2
En el dibujo es evidente que: a2 + b2 = c2
Cuarta demostración del Teorema de Pitágoras.
Acomodamos 2 triángulos abc como se muestra en la figura.
40
La figura que hemos formado consta de 4 áreas: a2, b2 y 2 veces el área que forma
el triángulo abc. Tenemos que reacomodar el área completa para demostrar que esta
área contiene a c2 y 2 veces el área que forma el triángulo abc, con lo que habremos
demostrado que: a2 + b2 = c2. La línea que aparece en el dibujo nos indica que
debemos dividir el área total en dos áreas para poder hacer la demostración. Una vez
dividida el área damos la vuelta a la parte izquierda y la acomodamos como se
muestra en la siguiente figura.
Hemos demostrado que a2 + b2 = c2
Actividades
Considerando de suma importancia el dominio de contenidos relacionados con el
teorema de Pitágoras y sus demostraciones, se sugiere que: a).- Los alumnos
organizados en grupos pequeños, resuelvan y comparen ejercicios como los que se
proponen a continuación:
a) Si a y b son los catetos de un triángulo rectángulo y c su hipotenusa, utilizando el
teorema de Pitágoras calcular la dimensión del lado que se indica:
a
c
1. a = 3;b = 6; c = ?
b
2. a = 9;c = 12; b = ?
3. b = 5;c = 15; a = ?
4. a = 4;b = 9; c = ?
5. a = 12;b = 20; b = ?
6. b = 7;c = 12; a = ?
7. b = 10;c = 21; a = ?
8. a = 7;b = 13; c = ?
9. a = 10;b = 12; c = ?
10. a = 6;b = 9; c = ?
11. b = 2.4;c = 4.2;a = ?
12. b = 6.3;c = 10.6; a = ?
1. a = 5.6;c = 10; b = ?
14. a = 1.1;c = 3.1; b = ?
1. a = 7.1;b = 12; c = ?
c) Los alumnos harán una demostración diferente del teorema de Pitágoras al resto
del grupo.
d) A manera de plenaria se analizarán los trabajos presentados, concluyendo sobre
las estrategias y material presentados.
41
Otras demostraciones
Existen diferentes demostraciones del teorema de Pitágoras. Tal vez la más corta
sea la basada en semejanza. Sea ABC el triángulo con ∠ C =90º y CH la altura con
respecto al lado AB. Se denotan por a, b, c, las longitudes de los lados del triángulo
como se indica en la figura y por h a la longitud de la altura.
C
Se sabe que ÌABC~ÌACH~ÌCBH, de modo que
a
b
h
m
B
decir,
BC AB
=
es
BH BC
a c
= de donde a2=cm
m a
n
H
c
BC
A
m a
donde a2 = cm.
Además
AC AB
b c
, es decir,
=
= , de donde b2 = cn.
HA AC
n b
Así que se tiene que: a2 + b2 = cm + cn = c (m + n) = cc = c2
Otra demostración es la que encontró en 1880 James Abraham Garfield (18311881), presidente de los Estados Unidos de América. Gardfield también era general
de división y amante de las Matemáticas.
La figura sobre la que basó su demostración fue la siguiente:
Observa que:
Ì XYZ ≅ Ì UXV
y que ∠ YXU = 90º
¿Por qué?
Recuerda que…
área = ⎛ a + b ⎞
⎜
⎟h
trapecio ⎝ 2 ⎠
El área del trapecio se puede calcular de dos formas distintas:
⎛a+b⎞
⎜
⎟ x altura =
⎝ 2 ⎠
+ b+⎞b)
⎛ a (a
⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
o bien, sumando las áreas de los tres triángulos que aparecen en la figura:
ab + c2 + ab
2
2
2
de modo que:
⎛a+b⎞
⎜
⎟ ( a+ b) =
⎝ 2 ⎠
ab c 2 ab
+
+
2
2
2
a2 +2 ab+ b2 = ab + ab + c2 de donde a2 +b2 = c2
42
TEMA 3. TEOREMA DE PITÁGORAS Y CÁLCULO GEOMÉTRICO
Observando cuidadosamente la figura podemos enunciar el teorema de la forma
anteriormente señalada.
“La suma de las áreas que forman los catetos es igual al área que forma la
hipotenusa”
ACTIVIDADES
A continuación se presentan algunos trazos que el profesor- alumno, poniendo en
práctica el cálculo y la medición analizará, presentando al grupo sus conclusiones y la
estrategia que puso en práctica.
a2 + b2 = c2
a
a
c
c
b
b
cuanto vale:
cuanto vale:
a2 + b2 =________________________
a2 + b2 = _____________________________
c2=____________________________
c2 = ________________________________
¿Se cumple que a2 + b2 = c2?
¿Se cumple que a2 + b2 = c2?
Recordemos que el teorema de Pitágoras dice: “En un triángulo el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos:
a2 + b2 = c2
¿Será cierto el teorema de Pitágoras para otros triángulos que no sean
rectángulos? Experimente con un triángulo acutángulo, es decir, uno que tiene todos
sus ángulos menores de 90º, o en un triángulo obtusángulo, que tiene un ángulo
mayor de 90º.
Complete la siguiente tabla usando los triángulos que se muestran a continuación.
Primero determine qué tipo de triángulo es y luego verifique si se cumple o no el
teorema de Pitágoras.
43
Triángulo
Tipo de
triángulo
Valor de
Valor de
Se cumple que
a2 + b2 = c2
Se cumple que
a2 + b2 = c2
Se cumple que
a2 + b2 = c2
I
II
III
IV
V
I
II
III
a c
b
a c
b
IV
V
a c
b
a c
b
a c
b
Si un triángulo es acutángulo, entonces sucede que se da la siguiente desigualdad:
_____________________, donde c es el lado más grande.
Si un triángulo es obtusángulo, entonces sucede que se da la siguiente
desigualdad: _________________, donde c es el lado más grande.
El teorema de Pitágoras es verdadero para triángulos rectángulos. Además, si
a2+b2=c2, entonces el triángulo es rectángulo y c es la hipotenusa, es decir, el
recíproco del teorema de Pitágoras también es cierto. Aquí no se demostrará esta
propiedad, pero es importante, pues permite afirmar, por ejemplo, que un triángulo
con medidas 3, 4, 5, es un triángulo rectángulo.
OTROS TEOREMAS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
TEOREMA DEL CATETO
Sea el triángulo rectángulo ABC (rectángulo en Â); se cumple que cualquier cateto
es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Es decir,
A
b
c
a b a c
= y =
b m c n
h
B
m
a
n
H
C
DEMOSTRACIÓN
Los triángulos ABH, AHC Y ABC, son proporcionales, ya que tienen los tres
ángulos iguales. ABC y ABH tienen un ángulo recto, ABH = ABC (por construcción)
BAH = ACB (por ser complementarios de los anteriores). Análogamente sucede en
ABC y ACH. Luego tienen los lados homólogos proporcionales.
TEOREMA DE LA ALTURA
La altura de un triángulo rectángulo es media proporcional entre las dos partes en
las que se divide a la hipotenusa.
m h
=
h n
44
DEMOSTRACIÓN
Basta tener en cuenta la proporcionalidad de los triángulos ABH y ACH de la figura
anterior.
TEMA 5.- RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS.
Los alumnos organizados, en equipo, analizarán estos problemas,
complementando la solución con el trazo de los triángulos correspondientes para
demostrarlos y comentar en plenaria.
TRIANGULOS ACUTÁNGULOS.
1) Dado el triángulo ABC, siendo < A = 35º 18‘ 45” y <B = 78º 32‘ 6”, calcular <C.
SOLUCIÓN:
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 2 ángulos
rectos..
(<A+<B) + <C = 180º
⊀C =180º - (A+B)
<A = 35º 18’45”
+ < B = 78º 32’6”
< A + <B = 113º 50’ 51”
180º
-
<A + <B+ <C = 179 º59’ 60”
<A + <B = 113º.50’51”
<C = 66º9’9”
<C = 66º9’9”
2) Dado Ì MNP, donde MP = NP y P = 35º48’16, hallar M y N.
SOLUCIÓN
Como MNP es isósceles, pues MP = NP ⇒ <M = <N.
179º
M + N + P = 180º59’60”
P = 35º48’16”
M + N = 144º11’44”
Como M = N
M = 144º 11’44” : 2
M = 72º 5’52”
N = 72º 5’52”
P
M
N
3) <A= 28º15’36” < α = 128º 13’24” Hallar ⊀B y ⊀C.
SOLUCIÓN
< α + C = 180º por ser suplementarios y adyacentes.
<C = 180º - α
<C = 180º - 128º 13’24”
<C = 51º46’36”
A + B + C = 180º= ⇒ <B = 180¨- (A + C)
B = 180º - 80º2’12” = 99º57’48”
A
B
5
α
C
45
B
4) α = 38º 17’ 42”
Є =137º 43’16”
MN //AB Hallar A, B y C
N
α
SOLUCIÓN
B = α por ser correspondientes entre AB // MN.
∴ B = 38º 17’ 42”
A
∈
M
C
<A + Є = 180º por ser conjugados interiores entre AB//MN
<A = 180º - Є
<A = 180º - 137º 43’16”
<A = 42º 16’44”
Para hallar C
Como Є es un ángulo exterior al MNC ⇒ ⇒ Є = α + C por la propiedad
del ángulo exterior al triángulo ∴ <C = Є - α
<C = 99º 25’ 34”
5) Calcular la altura de un árbol que proyecta una sombra de 9m en el instante en que
una estaca de 1.20 m de longitud, colocada verticalmente, proyecta una sombra de
0.80 m.
H = altura del árbol
h = altura de la estaca
S = sombra del árbol
s = sombra de la estaca
SOLUCIÓN
Aplicando proporciones:
H=h
S s
Reemplazado por los datos
H = 1,20 m ⇒
9m 0.80m
⇒ H = 9 X1,20 = 13,5 m
0,80
6) Resolver, aplicando la propiedad de la bisectriz del ángulo exterior de un triángulo.
MAR; AL bisectriz de CAR
MA = 18 cm
AR = 11 cm
ML = 27 cm
Hallar MR
SOLUCIÓN
Primero debemos hallar RL, para poder aplicar la propiedad, luego al segmento ML
se le resta RL y se obtiene el segmento pedido MR.
MA = ML
AR RL
Se reemplaza por los valores:
18 =27
11 RL
RL = (11) ( 27) = 33 = 16.5 cm
18
2
RL = 16.5cm
ML – RL = MR
27 – 16.5 = 10.5 cm ⇒
⇒ MR = 10,5 cm
46
7) Dados los triángulos MAR~SOL, en el primero el lado r = 3.5 cm y el m = 2.5 cm; en
el segundo el lado I = 1,5 cm, calcular el lado s.
SOLUCIÓN
Como los triángulos son semejantes, de acuerdo con su definición sus lados
homólogos son proporcionales.
A
r = s ⇒ 3.5 = s ⇒
m l
2.5 1.5
s=
r
(3.5) • (1,5)
= 2.1cm
2.5
M
m
a
R
O
I
S
ACTIVIDADES
1.
2.
3.
4.
s
O
L
En grupos de trabajo colaborativo.
Analizarán diferentes teoremas y la problemática que presentan, planteando una
propuesta para su manejo dentro del aula.
Dramatizar dos situaciones de aprendizaje, una correcta y una incorrecta,
recomendando al resto del grupo, registrar los aciertos y las dificultades que se
presentarían al alumno dentro del aula.
Presentar al grupo las conclusiones y registro elaborado por cada equipo para que
en plenaria se propongan estrategias de enseñanza.
Analizar en el grupo los ejemplos presentados en el tema cinco y elaborar un
problemario en donde se apliquen estas relaciones.
TEMA 6. CÁLCULO DE DISTANCIAS INACCESIBLES
APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
ACTIVIDADES:
Los profesores-alumnos analizarán en equipos de trabajo colaborativo, la forma de
resolver los siguientes problemas. Comentar al grupo destacando estrategias de
enseñanza.
1. Para apoyar una escalera de 10 m y que
no se caiga, se debe dejar un espacio de 6
m entre ella y la pared, como se indica en
la figura. ¿Qué altura se puede alcanzar
con esa escalera?
Observa primero que se tiene un triángulo
rectángulo, debido a que la pared y el piso
forman un ángulo recto.
Entonces, nuevamente se puede aplicar el
teorema de Pitágoras para encontrar la
10 m
altura.
¿
6m
10
c
a
b
6
a2 + b2= c2
a2 = cc-b2
a2 = ___ - ____
a2= ___
a = ___
47
2. En los siguientes ejercicios los triángulos que aparecen son
rectángulos. Calcular la medida que falta utilizando el teorema
de Pitágoras.
a)
8
a
b)
34 m
b
30 m
¿Qué tan larga es la escalera? a = _______
¿Qué tan alto está el papalote? b = _______
d) Encuentra la medida de la diagonal de este
cascanueces.
c) Encuentra la longitud del travesaño
d = ___
1.5 m
8 cm
d = ___
8 cm
2m
4. El barco del dibujo está a 150 m de la playa y el ángulo desde el borde de la playa
hasta la parte de arriba de la ola es de 6º ¿Qué altura tiene la ola?
Se puede usar la tangente de 6º para calcular la altura de la ola. La tabla que está
al final de este tema proporciona la tangente de los ángulos agudos. En la tabla hay
que buscar en la columna correspondiente a tan (que indica tangente) la
correspondiente al numero 6 (que es el ángulo). Aquí se reproduce una porción de esa
tabla.
Usa la tabla para encontrar tan 6º=______________________
En la figura de la Ola, la tangente de 6º es
h
6º.
10º.
150 m
70 m
Si se sustituyen los valores aproximados para tan 6º, se tiene que o.1 = h, de
donde se obtienen que h = 15 m.
¿Cuál es la profundidad a la que se encuentra el tiburón?
48
Entonces:
tan 10º = _____ = P Por lo tanto, p = ______m.
70
A en grados
…
4
5
6
7
8
9
10
11
…
tan A
…
0.0699
0.0875
0.1051
0.1228
0.1405
0.1584
0.1763
0.1944
…
5. Ahora se tiene que un observador ve a su amigo pasar en un velero que sabe tiene
una vela de 8 m de alto. Desde la playa, el ángulo entre la superficie del agua y la
parte de arriba de la vela es de 9º
¿A qué distancia de la playa está el velero? Completa y resuelve: tan 9º = que es
aproximadamente 0.16
Así que:
tan 9º = _____ , de donde X ______
X
x
A
9º.
8m
49
BLOQUE IV TRIGONOMETRÍA
Temas:
1. Razones Trigonométricas.
2. Trigonometría y Polígonos Regulares.
3. Cálculo de Distancias Inaccesibles.
Propósitos:
Se pretende que al término de este curso los profesores-alumnos:
a) adquieran elementos para manejar la trigonometría a través del uso de sus
principios, teoremas y leyes en la resolución de problemas de la vida diaria, de
manera significativa para los alumnos de secundaria.
b) Adquieran bases sólidas para la aplicación de diversas estrategias para la
solución de problemas relacionados con la trigonometría.
Bibliografía Básica:
• Benjamín Garza Olvera. Geometría y Trigonometría Plana. Interamericana de
Servicios. México, D.F.
• Carlos Bosch Giral-Claudia Gómez W. Edit. Nuevo México, D.F.
• Earl W. Swokowski. Álgebra y Trigonometría. Edit. Esfinge. México, D.F.
• Editorial Iberoamericana, México, D.F.
• Fichero de Actividades Didácticas Matemáticas. SEP México, D.F.
• José Luis Moreno. Álgebra.- McGraw Hill. México, D.F.
• Libro para el Maestro. SEP México, D.F.
• Ma. del Rocío Nava A.- Miguel Díaz Chávez, Introducción a la Trigonometría.
• Mario Rivera Álvarez. Estrategias Matemáticas. Edit. Esfinge. M.
TRIGONOMETRÍA
Lo que en la actualidad se conoce como Trigonometría Plana y que generalmente
asociamos a ángulos y lados de un triángulo recto, nace hace mucho tiempo y se
nutre de las aportaciones de la matemática egipcia y babilónica, en lo que respecta a
las razones entre los lados de triángulos semejantes y de la sistematización de la
matemática griega sobre las relaciones entre ángulos de un círculo y las longitudes de
los arcos subtendidos por ellos.
Aunque la matemática prehelénica no contaba con el concepto de medida de un
ángulo, usan de manera equivalente los arcos de circunferencia.
Se introduce posteriormente la noción de medida de un ángulo (la unidad resulta
de dividir el círculo de 360 partes) y junto con las propiedades de los arcos y los
ángulos centrales e inscritos, son material de uso común de los matemáticas de la
época de 400 años antes de nuestra era; así es como Eudoxo determina el tamaño de
la tierra y la distancia relativa del sol a la luna.
En los elementos de Euclides encontramos proposiciones que sin ser trigonometría
en un sentido estricto, representan usando un lenguaje actual, por ejemplo, las leyes
de los cosenos para ángulos agudos y obtusos, los teoremas sobre longitudes de
cuerdas son esencialmente aplicaciones de las actuales leyes de senos.
50
EL DESARROLLO DE LA TRIGONOMETRÍA A TRAVÉS DE LA HISTORIA
¿Por qué Trigonometría?
Los textos actuales de trigonometría inician con razones trigonométricas, continúan
a través de la solución de triángulos rectángulos y otros triángulos y se dirige a la
aplicación de problemas “familiares”, la altura de un árbol o la distancia a través de un
lago. La presentación conduce a creer que la trigonometría se desarrolla fuera de lo
deseable para resolver problemas semejantes o, más generalmente, para hacer
mediciones indirectas sin embargo la historia de la trigonometría nos presenta un
panorama un poco distinto respecto a los problemas que enfrenta, ha aquí un poco de
su historia.
Entre los griegos este estudio se inicia con la medición de los arcos en el espacio,
calculando relaciones entre las cuerdas y el arco de círculo que cortan.
Hiparco en el siglo II a. C. fue el primero en recopilar una tabla que relaciona la
cuerda con los arcos correspondientes, usa el valor de 3.1416 como una aproximación
al valor de π y también el radian, desde luego, no bajo las características que
actualmente conocemos, pero aún con este hecho y usar medidas arbitrarias para sus
círculos estableció relaciones que llevan a los valores de π y también el radian, desde
luego, no bajo las características que actualmente conocemos, pero aún con este
hecho y usar medidas arbitrarias para sus círculos estableció relaciones que llevan a
los valores de π y de un radian.
Posteriormente Ptolomeo de Alejandría desarrolla tres siglos después un método
más sofisticado y elabora una tabla con intervalos de 0.5 grados e interpola estos
valores para su elaboración. Emplea una tabla para medir triángulos en la bóveda
celeste. Hipárco centró su interés en la solución de triángulos esféricos formados en el
espacio por actos de grandes círculos y empleando lo que anteriormente había
trabajado Menelao, también desarrolló trabajos sobre la solución de triángulos planos.
Un ejemplo de los cálculos de Ptolomeo es el siguiente: calcular la longitud de la
sombra de un gnomon (poste) de longitud 60 al medio día sobre el equinoccio de
primavera en latitud 36º (Ptolomeo 1952).
B
36º
E
36º
108º 60
C
F
72º
Ptolomeo fue el primero en calcular la cuerda del doble del ángulo original,
generalmente empleó la división de un triángulo en otros triángulos rectángulos y
circunscribiendo círculos; así Ptolomeo empleó el procedimiento correcto para resolver
cualquier triángulo plano, además de tener métodos para resolver triángulos esféricos.
En Roma, en los manuales de agrimensura se puede ver que utilizaban triángulos
congruentes y Heron empleó también triángulos semejantes; estos métodos fueron
empleados para la resolución de triángulos reemplazando a la trigonometría en esos
fines; aún cuando Heron hace una referencia para el cálculo de áreas de ciertos
polígonos regulares.
En el siglo V, la geometría griega de Hipárco llegó a la India y en el compendio
astronómico Hindú Surya Sidhanta aparece una tabla de seno, en la cual el radio es el
51
mismo que utilizó Hiparco. Este libro también contiene cantidades del método de
Ptolomeo para calcular longitudes de sombras, sin embargo a pesar de que los hindús
estaban familiarizados con los métodos básicos de la trigonometría griega no se
puede decidir que la emplearan para resolver problemas en la superficie terrestre. En
el cálculo de la altura de un poste Aryabatha a finales del siglo emplea un método que
hace ver que conocían la trigonometría del Surya Sidhanta.
x
g
g s2
s
1
t
y
El método de Aryabhata para determinar la altura y la distancia de un poste
iluminado desde arriba por una luz:
( s + t ) s1
y= 1
,
s 2 − s1
x=
yg
s1
En método, es casi el mismo que el chino Liu Hui emplea en el manual de
matemáticas de islas en el siglo tercero para determinar la altura de una isleta; aun
con este hecho, no se puede decir que en la cultura china en esta época se conociera
la trigonometría como tal; sin embargo, alrededor del siglo III en que algunos
astrónomos hindúes participaron en la elaboración del calendario chino y el astrónomo
chino I-hsing tomó el método del Surya Sidhanta para calcular sombras, cálculos que
permitieron marcar las distintas fechas importantes del calendario chino; este hecho
origina la primera tabla de tangentes en el mundo, la cual aparece en China en el año
724. Es claro que el único uso que se le da a la trigonometría en esta época en el
pueblo Chino es en la astronomía y aún en los textos “mas recientes” del siglo XII que
tienen contenidos de agrimensura muestran que los métodos trigonométricos no se
utilizaban en estas obras.
En la cultura islámica reciben en el siglo VII la trigonometría Hindú; mientras los
trabajos de Ptolomeo fueron traducidos en el siglo XIX junto con otros aspectos de la
matemática griega e hindú. Por el siglo X habían tabulado no solamente las funciones
seno coseno (generalmente usando el radio de 60), sino todas las demás, modificaron
y perfeccionaron la trigonometría y aplicaron estas funciones en la solución de
triángulos esféricos y planos.
En el mundo del Islam se distinguen grandes matemáticos que contribuyeron o
realizaron trabajos relacionados con la trigonometría, entre los que destacan: Abu
Rayhan Muhammad Ibn Ah Mad Al-Biruni (973-1055).
gnomon = g
α
gsec α
gtan α
En el mundo del Islam se tabularon tangentes como la longitud de una sombra de
un gnomon de una longitud particular.
Al Biruni en otro trabajo dedicado a la astronomía mostró cómo usar la
trigonometría plana en trabajos geodésicos, en su cálculo del radio de la tierra
vendiendo el horizonte desde la cima en una montaña [Al Biruni 1967]. Su método
esta ilustrado en la siguiente figura:
52
α
h
α
r
Determinación del radio de la Tierra: r (r+h) = cos α , r =h cos α / ( 1 -cos α ), donde
h es la altura de la montaña.
Hacía mediados del siglo XII Maimonides, que vivió la mayor parte de su vida en
Egipto y experto en métodos trigonométricos, escribió el tratado sobre el calendario
judío, en el que emplea la trigonometría de Ptolomeo para calcular las distintas
posiciones del Sol y la Luna.
En 1193 en Paris aparece un libro sobre geometría práctica, en el que el autor
tiene familiaridad con la trigonometría, sin embargo aunque aparecen soluciones con
trigonometría, él resuelve otros semejantes sin ella. En general la trigonometría
materialmente apareció como parte de los trabajos dedicados a la astronomía y
problemas astronómicos. Y por fin la trigonometría se usa en la superficie terrestre.
En 1116, Abraham bar Hiyya Sacasorda, escribió un trabajo de prácticas geométricas
el cual fue traducido del latín en 1145 bajo el título Liber Embadorum o libro de áreas.
En ese trabajo aparece una tabla de arcosenos; él usó un radio de 14 para su círculo.
Así la semicircunferencia pudo obtenerse en forma integral como 44 (usando π = 22/7).
El se interesó en mostrar cómo medir los terrenos. Algo interesante es cómo calcula el
área de un sector circular como el producto del radio con la mitad de la longitud del
arco. El área de un segmento circular puede entonces encontrarse sustrayendo el
triángulo del sector.
h
s
r
-h
El cálculo de Abraham bar Hiyya Savasorda del área de un segmento circular:
⎞
1 ⎛ s2
r = ⎜⎜ + h⎟⎟, el área del sector =
2 ⎝ 4h ⎠
⎛ long .dearco ⎞ s
r⎜
⎟ − (r − h)
2
⎝
⎠ 2
⎛ long .de .arco ⎞
r⎜
⎟ ,así, el área del segmento =
2
⎝
⎠
Cien años después Leonardo de Pisa (Fibonacci) usó una tabla de cuerdas para
propósitos similares la tabla de Leonardo de Pisa usó un radio de 21, debe hacerse
hincapié en que ni Leonardo ni Abraham midieron arcos en grados; los arcos y los
radios fueron medidos en la misma medida de longitud; sin embargo él usó la tabla
únicamente para determinar las longitudes de arco dados directamente de las
cuerdas, para usarlo en cálculos de áreas. Cuando él trató en otra parte del texto con
cálculo de alturas, para usarlo en cálculos de áreas. Cuando él trato en otra parte del
texto con cálculo de alturas, regresó a los mismos métodos elementales usados por
todos sus predecesores. Y cuando dio una discusión detallada de la geometría del
pentágono, no usó trigonometría para determinar la longitud de un lado, sino que usó
los argumentos geométricos de Euclides.
Por otra parte ni Abraham ni Leonardo escribieron un trabajo sobre trigonometría;
sino que elaboraron justo las tablas básicas. Los primeros trabajos de trigonometría
pura no se escribieron sino como prefacio para trabajos astronómicos, por el persa
Nasir al’Din al-Tusi, a mediados del siglo XIII y por el alemán Regiomontanus, a
53
mediados del siglo XV. Ambos trabajos tienen descripciones detalladas de cómo
resolver triángulos, tanto planos como esféricos. Regiomontanus como Al-Tusi,
todavía dan ejemplos numéricos en muchos casos. Pero ninguno de ellos menciona la
posibilidad de usar esos métodos para resolver triángulos terrestres.
¿Cuándo realmente se usaron los métodos trigonométricos para resolver
triángulos sobre la superficie de la Tierra? La primera aparición de estos métodos
parecen estar en el trabajo de Bartolomé Pitisco, en 1600, ese texto fue el primero en
usar el término “Trigonometría”: Trigonometría es la doctrina de la medición de
triángulos [Pitisco 1600]. Los primeros trabajos se refieren o hacen referencia a
triángulos. En el segundo apéndice del trabajo principal titulado “problemas de
altimetría”, Pitisco usó métodos trigonométricos para resolver problemas de alturas y
problemas de distancia. Por ejemplo el seno y coseno, el otro incluyendo la tangente,
todas las funciones que tabuló fueron con un radio de 100 000.
Ma. del Rocío Nava Álvarez
Miguel Díaz Chávez
ACTIVIDADES
1. Analizarán, en grupos de trabajo colaborativo a los antecedentes históricos de la
trigonometría.
2. Discutirán propuestas sobre el diseño de secuencias didácticas para el tratamiento
de la trigonometría dentro del aula.
3. A manera de puesta en común se discutirán las respuestas de preguntas como las
siguientes, una vez que hayan comentado en equipo:
a) ¿Qué estudia la trigonometría?
b) ¿Etimológicamente qué significa trigonometría?
c) ¿Qué es la trigonometría plana?
d) ¿Cuál es el objetivo de la trigonometría esférica?
e) Escriba dos diferencias entre la geometría y la trigonometría.
f) Nombre de las funciones trigonométricas.
g) Defina las funciones trigonométricas.
h) Defina las funciones trigonométricas para un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo.
i) Defina las funciones trigonométricas en coordenadas rectangulares, aplicables a
un ángulo cualquiera.
j) ¿Qué son las cofunciones trigonométricas?
4. De manera individual los alumnos realizarán algunas indagatorias sobre el
desarrollo de la trigonometría y su importancia en el nivel secundaria para discutir
en el grupo las distintas posturas.
TEMA 1.- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS:
B
Sea el triángulo rectángulo ABC con ángulo recto en A.
c
En este caso tiene los lados:
A
a
b
C
a, b y c
54
Considerando uno de los ángulos agudos los catetos ya sabemos que reciben su
nombre de acuerdo a la posición que ocupan, por ejemplo tomando el ángulo agudo B,
AB se llama cateto adyacente y AC se denomina cateto opuesto. Si se considera el
ángulo agudo C los nombres de los catetos se invierten. Tomando en cuenta esta
notación se definen las siguientes razones trigonométricas:
cateto..opuesto AC
=
= sen o de B = coseno de C
hipotenusa
BC
cateto..adyacente AB
=
= coseno de B = sen o de C
hipotenusa
BC
cateto..opuesto
AC
=
= tangente de B = cotangente de C
cateto..adyacente AB
cateto..adyacente AB
=
= cotangente de B = tangente de C
cateto.opuesto
AC
hipotenusa
BC
=
= secante de B = cosecante de C
cateto..adyacente AB
hipotenusa
BC
=
= cosecante de B = secante de C
cateto..adyacente AC
las razones anteriores se abrevian respectivamente:
sen, cos, tan, cot, sec y csc
ACTIVIDADES
1. Obtener las razones trigonométricas del ángulo X en los siguientes rectángulos:
(i)
(ii)
(iii)
X
y=2
x= 1
x= 1
z =2
X
z=6
y=2
(v)
X
x=3
(iv)
y=2
x=5
y=3
X
X
2. En los triángulos del ejercicio anterior calcula el valor de cada uno de los ángulos
internos.
3. En los triángulos anteriores calcula respectivamente su área y su perímetro.
4. Sea el triángulo oblicuángulo ABC, calcular las razones trigonométricas de sus
ángulos agudos en función de su altura.
C
B
A
h
c
a
B
55
VALORES EXACTOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EN LA GEOMETRÍA
Considérese el cuadrado de lado a, trazando la diagonal DB se tiene dos
triángulos rectángulos isósceles cuya hipotenusa es:
A
B
2
DB a 2 + a 2 = 2a 2 = a 2 considerando a = 1dado
que los triángulos son rectángulos isósceles entonces:
1
<D = <B =
π
4
D
C
Considerando el triángulo BCD se tiene:
π = 45 o
4
sen
1
2
cos
1
2
tan
cot
sec
= 2
= 2
estos valores se les llama exactos por su
desarrollo, como es el caso donde interviene la
2
2
2
1/1 = 1
1/1 = 1
2
2
cos
Ahora consideremos el triángulo equilátero ABC de lado trazando la altura
C
correspondiente al vértice C (que también es bisectriz y
mediatriz). Dividiendo el triángulo inicial en dos congruentes.
Tomando el triángulo ADC, por definición del triángulo
a
a
equilátero se tiene que:
⊀ A = 60 =
A
D
a
B
π
3
π
; < C= 30 =
6
;
Y por construcción: D = 90º π
2
2
2
⎛a⎞
DC = a 2 − ⎜ ⎟ =
⎝2⎠
Por teorema de Pitágoras:
comodidad tomamos a = 2 entonces: DC =
AD = a
2
4a 2 − a 2 a
=
3 , si por
4
2
3 ; AC = 2; AD = 1.
De aquí tenemos por la definición de las razones trigonométricas la siguiente tabla:
θ
π
sen
1
cos
3
tan
1
3
cot
π
6
3
2
1
2
= 3
1
3
sec
2
3
csc
=2 3
2
2
2
2
= 3
2
2
2
2
1
3
3
3
π
3
1
3
2
2
3
2
3
=2 3
3
2
56
De la tabla anterior se obtienen “igualdades” como las siguientes:
cos
tan
π
6
π
3
+ cos
= cot
π
3
=1
π
2π ⎞
⎛
= cot⎜ π −
⎟
6
3 ⎠
⎝
En este caso estamos tomando valores específicos para el arco, pero en el caso
de que este sea arbitrario las “igualdades” anteriores se llaman identidades.
LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS CIRCULARES
Las funciones trigonométricas se definen de la siguiente manera:
y = f (x) = sen x
y = f (x) = cos x
y = f (x) = tan x
y = f (x) = cot x
y = f (x) = sec x
y = f (x) = csc x
En este caso las “palabras”: sen, cos, etc. desempeñan el papel de nombre de la
función en tanto que X desempeña el papel de la variable independiente y también se
le llama argumento de la función, podemos decir que en general una función se
compone de su nombre y de su argumento, en algunos casos este nombre está
representado por un símbolo. En ningún caso la expresión: sen x representa una
multiplicación.
Así por ejemplo en las funciones:
f (x) = sen
θ;
f (x) = cos
θ
Los nombres respectivos de las funciones son: seno y coseno; y sus argumentos
correspondientes son:
θ yφ
El argumento de la función puede estar dado en cualesquier sistema de medición
de ángulos; a saber: grados centesimales, grados sexagesimales o radianes, en el
texto se hará uso de los dos últimos leyendo el argumento como ángulo en el primer
caso y como arco si se está haciendo uso del sistema circular, i.e. si la unidad de
medida es el radian.
EL CÍRCULO UNITARIO
y
El círculo unitario cuyo radio es la unidad se llama círculo unitario.
r =1
θ
x
O A
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS EN EL CÍRCULO UNITARIO
La función seno se define como la razón que existe entre el cateto opuesto a un
ángulo agudo y la hipotenusa de un triángulo rectángulo; en el círculo unitario se tiene
que:
y
B
Sen θ =
AB AB
=
= AB
OB
1
r =1
θ
x
o
A
57
Es decir el seno de un ángulo está dado por el cateto opuesto del triángulo
rectángulo formado por la proyección horizontal del mismo sobre el eje X y el radio del
círculo unitario, lo cual se ve claramente en la figura anterior, en ella se observa que la
representación geométrica de la función seno, es el cateto opuesto del triángulo
rectángulo subtendido por la proyección del ángulo θ; de manera que si consideramos
un ángulo de cero grados entonces el valor del seno es evidentemente cero; con la
asociación del cateto opuesto con el valor del seno se observa que el valor del seno
alcanza el valor de uno, pasando este ángulo el valor del seno comienza a disminuir
hasta llegar al ángulo de 180 grados donde el valor del seno toma otra vez el valor de
cero, siguiendo este proceso es fácil ver que a partir de éste ángulo el valor del seno
es negativo tomando los valores entre cero y menos uno. Esto lo podemos ilustrar en
la siguiente tabla:
ángulo
θ
0
π
valor de la función
y = sen
0
1
θ
2
π
3π
2
2π
0
-1
0
O más detalladamente:
intervalo del ángulo
θ
0
〈 0, π 〉
2
〈π , π 〉
2
〈π , 3π
2
〈3π ,2π 〉
2
2π
variación de la función
y = sen
0
θ
〈0,1〉
〈1,0〉
〈0,−1〉
〈−1,0〉
0
Es claro que esta tabla se continúa indefinidamente hacia ambos lados.
Este proceso también muestra que está y posteriormente se verá con las otras
“razones” son funciones, en este caso de θ y sus valores son valores reales entre -1 y
1. Todo esto lo resumimos en lo siguiente:
sen θ: f: R
R
- 1 ≤ sen θ ≤ 1
Donde: θ toma valores reales. También de la representación en el círculo unitario
se desprende que:
sen θ = - sen(-θ)
Esta igualdad especial se le llama “identidad trigonométrica”, posteriormente
daremos una lista amplia de ellas así como una conceptualización de las mismas, por
ahora basta decir que una identidad es cierta para cualesquier valor de la variable.
58
INTERPRETACIÓN EN EL CÍRCULO UNITARIO DE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS: COSENO, TANGENTE
LA FUNCIÓN COSENO
Consideramos nuevamente el círculo unitario y recordemos un poco la definición
y
de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo:
B
r =1
θ
o A
En este mismo círculo unitario tenemos que:
Cos
θ
=
x
OA
= OA
1
Entonces el coseno de θ ésta representado por el cateto adyacente del triángulo
AOB, esto lo vemos en la siguiente figura:
y
B
r =1
θ
x
o
A
Con esta representación se puede hacer un análisis análogo al de la función seno
y llegar a la siguiente tabla:
ángulo
valor de la función
θ
y = cos
1
0
0
π
θ
2
π
3π
-1
0
2
2π
1
o más detalladamente:
variación de la función
intervalo del ángulo
θ
y = cos
1
0
θ
〈1,0〉
〈 0, π 〉
2
〈 0,−1〉
〈π , π 〉
2
〈π , 3π
2
3
π
〈
,2π 〉
2
2π
〈−1,0〉
〈 0,1〉
1
Estas tablas muestran que también esta función tiene valores reales entre -1 y 1.
Todo esto lo resumimos en lo siguiente:
θ : f: R
- 1 ≤ cos θ ≤ 1
cos
R
59
donde: θ toma valores reales, También de la representación en el círculo unitario
se desprende que:
cos θ = cos (- θ )
LA FUNCIÓN TANGENTE
En el mismo círculo unitario tenemos que:
Tan θ =
PC
= PC
1
Entonces la tangente de θ está representado por el cateto opuesto del triángulo
POC, esto lo vemos en la siguiente figura:
c
Y
θ
O
P
con esta representación se puede hacer un análisis análogo al de la función seno y
coseno y llegar a la siguiente tabla:
valor de la función
ángulo
θ
y = tan
0
0
θ
∞
π
2
π
0
3π
-
2
2π
∞
0
o más detalladamente:
intervalo del ángulo
variación de la función
θ
y = tan
0
0
θ
〈1, ∞〉
〈 0, π 〉
2
〈 ∞,0〉
〈, π , π
2
3
〈π , π 〉
2
3
π
〈
,2π 〉
2
2π
〈0,−∞〉
〈−∞,0〉
0
Estas tablas muestran que también esta función tiene valores reales entre -∞e
∞. Todo esto lo resumimos en lo siguiente:
θ : f: R
- ∞ ≤ tan θ
tan
R
≤∞
donde: θ toma valores reales, También de la representación en el círculo unitario
se desprende que:
tan θ = tan (- θ )
60
ACTIVIDADES:
Cada equipo elaborará y expondrá al grupo problemas de aplicación, comentando
sobre estrategias de solución.
1. Dado el siguiente triángulo rectángulo, determine las funciones trigonométricas
para cada uno de los ángulos agudos indicados.
X
B
z
y
α
a. Con el auxilio de los triángulos rectángulos, determine las funciones
trigonométricas de ángulos del primer cuadrante de un sistema coordenado:
a) Para el ≮de 30º
b) para el ≮ de 45º
c) Para el ≮ de 60º
b. Graficar y determinar el seno, coseno y tangente para cada uno de los
siguientes ángulos:
a) 120º
b) 150º
c) 300º
c. Graficar y determinar la cotangente, secante y cosecante para cada uno de los
siguientes ángulos.
a) 135º
b) 210º
c) 315º
d) 330º
d. Escriba los valores de las siguientes funciones trigonométricas de los ángulos
que limitan los cuadrantes.
a) Sen 90º =
d) Ctg 180º =
g) Sen 0º =
b) Cos 270º =
e) Sec 360º =
h) Tg 90º =
c) Tg 360º =
f) Csc 90º =
i) Sec 270º =
El material de apoyo que se presenta en cada bloque permite al alumno normalista
adentrarse en las funciones trigonométricas en coordenadas rectangulares y a través
de la solución de ejercicios similares al siguiente logren crear estrategias para la
enseñanza efectiva de los temas.
2. Determine las funciones trigonométricas en coordenadas rectangulares para el
ángulo señalado en la gráfica.
Y
X1
θ
-x
-y
x
r
y1
Reunidos en grupos de trabajo colaborativo desarrolle las actividades comparando
sus respuestas con los demás equipos.
61
En las siguientes figuras, ¿Cuál es la medida del ángulo marcado con 1 en cada
uno de los triángulos rectángulos? _________________________________________
¿Cuál es la medida del ángulo 2? _________________________________________
¿Son los triángulos semejantes? _________________________________________
¿Cómo son TS y W? ____________________________________________________
RS UV
Explica por qué: ________________________________________________________
¿Por qué son iguales las tangentes del ángulo 1 en cada triángulo?
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
Mide los lados opuesto y adyacente de cada uno de los triángulos y completa la
siguiente tabla.
Triángulo Longitud del lado Longitud del lado Tangente de < 1 = opuesto
opuesto a <1
adyacente a <1
adyacente
a
3
5
3
5
b
c
d
¿Son
parecidos
los
números
decimales
de
la
última
______________________
¿Son cercanos a 0.58?__________________________
número
decimal
.6
columna?
Ahora completa la siguiente tabla para el ángulo 2 y para cada triángulo.
Triángulo Longitud del lado Longitud del lado Tangente de < 2 = opuesto
número
opuesto a <2
adyacente a <2
adyacente
decimal
a
3
5
3
.6
5
b
c
d
¿Son los decimales de la última columna aproximadamente iguales?______________
¿Cómo es la tangente de ángulos iguales en triángulos rectángulos
semejantes? ¿Por qué?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
lado
opuesto al
ángulo x
62
TEMA 2. TRIGONOMETRÍA Y POLÍGONOS REGULARES.
Considerando que la enseñanza de la geometría en el nivel secundaria desarrolla
habilidades como la imaginación espacial y capacidades para explorar y resolver
problemáticas no solo en el ámbito escolar, es importante que el estudiante normalista
maneje estos contenidos de manera efectiva proporcionando al alumno de secundaria
las herramientas que le permitan un aprendizaje significativo; se sugieren por tanto,
desarrollar actividades de aplicación de la trigonometría a polígonos regulares, como
las propuestas en el Libro del Maestro (Pág. 272 a 282).
ACTIVIDADES:
a) De manera individual se analizarán y resolverán los problemas de la página
272 del Libro del Maestro.
b) En grupos de trabajo colaborativo se compartirán estrategias de solución, para
exponer las que se consideren más adecuadas.
c) Cada equipo construirá problemas semejantes, a los presentados en el Libro
del Maestro exponiéndolos ante el grupo.
TRIANGULOS RECTÁGULOS Y TANGENTE
Para un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, la
razón entre la longitud del lado opuesto al ángulo (cateto
opuesto) y el lado adyacente (cateto adyacente) es la
tangente del ángulo.
En el triángulo XYZ, la tangente del ángulo X está
dada por el cociente:
lado opuesto al ángulo X = ZY
lado adyacente al ángulo x XY
lado adyacente
al ángulo x
En el triángulo siguiente están indicadas las longitudes
de los lados.
¿Cuál es la tangente del ángulo B? _______________
¿Cuál es la tangente del ángulo A? _______________
La tangente de un ángulo A se denota con tan A, de manera que usando los
resultados de la primera tabla tan 30º es, aproximadamente, 0.58, y de los resultados
de la segunda tabla se tiene que tan 60º es 1.73, aproximadamente.
Si un ángulo de un triángulo rectángulo es de 45º, ¿cuál es la medida del otro
ángulo? ______________________________________
¿Cómo son los catetos de ese triángulo? __________________
Entonces, tan 45º = ___________________________________
Encuentra la tangente de cada uno de los ángulos que se indican a continuación.
4. OTROS TEOREMAS SOBRE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
63
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Y PROBLEMAS RELACIONADOS:
Resolver un triángulo significa obtener todos sus elementos (ángulos, lados
perímetros y área). Para ello basta conocer tres de sus elementos entre lados y
ángulos, y entre la aplicación del Teorema de Pitágoras y el buen conocimiento de las
razones trigonométricas es suficiente para resolverlos; bueno es claro que debe
conocer las fórmulas básicas que intervienen para hallar el perímetro y el área. He
aquí un ejemplo:
Resolver el siguiente triangulo rectángulo:
A
c
b
C
a=5
Puesto que conocemos dos ángulos, el ángulo recto y el de 30º se deduce por la
propiedad de la suma de los ángulos internos en un triángulo igual a 180º, que el
ángulo en B mide 60”; de esta manera conocemos el valor de cada uno de sus
ángulos. Ahora para conocer las medidas de sus lados hacemos uso de las razones
trigonométricas, en este caso ya cualquiera nos sirve, pero por comodidad tomamos
la función tangente para el ángulo B = 60º; así tenemos que:
Tan 60º = cateto opuesto = cateto opuesto = b
cateto adyacente
5
5
despejando el cateto opuesto, o sea, b, se tiene: b = 5tan60°
como sabemos por la tabla de valores exactos:
tan60° = 3
entonces:
b=5
3
finalmente para obtener el valor del lado c, usamos el Teorema de Pitágoras:
c= b 2 + a 2
sustituyendo los valores de a y b, se tiene:
( )
c= 5 3
2
+ 5 2 ⇒ c = 75 + 25 por lo tanto c = 10
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS Y
PROBLEMAS RELACIONADOS
Llamamos triángulo no rectángulo a aquel que no tiene un ángulo recto, este tipo
de triángulos también en un inicio del texto los llamamos triángulos oblicuángulos. En
este tipo de triángulos puede suceder dos casos: uno, cuando se da un ángulo y los
lados que lo forman y dos, cuando el lado comprendido entre ellos y otro cuando se
conocen dos ángulos y el lado común a ellos; para resolver cada caso existen las
siguientes relaciones:
LEY DE COSENOS:
Sea el triángulo ABC donde conocemos los lados BC Y AB y el ángulo formado por
ellos llamémosla CD aquí tenemos por Teorema de Pitágoras:
C
BC2 = CD2 + DB2
pero: DB = DA + AB; entonces:
D
BC2=CD2 +(DA + AB)2
BC2 = DA + CD2 + 2DAAB + AB2
CD2 = DA2 = BC2 – AB2 – 2DA AB
b
A
C
B
AC2 = BC 2 - AB2 – 2 (BCCOSB – AB) AB
AC2 = BC - AB2 – 2ABBCCOSB + 2AB2
64
COSB = DB
BC
pero: DB = AD + AB
AD
⇒: COSB = AB
BC
⇒ AD = BCCOSB - AB
Simplificando se tiene finalmente: AC2 = BC + AB2 – 2AB٠BCCOSB, como: BC = a;
2
2
2
AB =c y AC = b esta expresión toma la forma:
b = a + c – 2accosB
en forma análoga se obtienen expresiones cuando:
a) Se conocen los lados BC y AC, y el ángulo comprendido entre ellos G.
c2 = a2 + b2 + 2ab cos
C lados AC Y AB, y el ángulo comprendido entre ellos A.
b) Se conocen los
a2 = b2 + c2 – 2bc cosA.
Estas expresiones son de evidente utilidad en la solución de cualesquier tipo de
triángulos donde generalmente se conocen dos de sus lados y el ángulo comprendido
entre ellos.
Por ejemplo:
Si en cualquier caso el ángulo conocido es de 90º las expresiones se reducen al
Teorema de Pitágoras.
LEY DE SENOS.
Sea ahora el triángulo AB en el cual se conocen dos ángulos sean estos a y b y el
lado común G., nuevamente trazando la altura correspondiente al vértice C formamos
los triángulos rectángulos CDB y CDA, como son conocidos los ángulos en A y B
tenemos:
C
Sen B =CD; sen A = DC
D
BC
AC
Entonces:
CD = BC sen B = AC sen A …(1)
D
A
C
B
Es fácil deducir que si los ángulos que se conocen son B y C; y el lado es a ó los
ángulos conocidos son A y G y el lado es b la igualdad completa es tomando (1).
BC sen B = AC sen A = AB sen C
otra forma de escribir esto, o más bien de describirlo es ∴ “los productos de los senos
de los ángulos con su lado opuesto son iguales entre si.
EJEMPLO: La distancia entre dos hombres que miran un globo aerostatito es de 600
metros, si los ángulos de elevación con los que lo miran respectivamente son de 60” y
35º respectivamente. ¿A qué altura del piso se encuentra el globo y a que distancia
de la perpendicular del globo con el piso se encuentra cada una de las personas?.
65
SOLUCIÓN: En la figura A representa el punto donde está situado uno de los
hombres, B. el otro y C la posición del globo:
C
d
d
600m
60
°
35
°
S
60
O
Como A + B + C = 180 porque los ángulos internos de un triángulo suman 180º
entonces A= 180º - 35-60º es decir c= 85º por la ley de los senos tenemos:
sen 85º = sen 60º de donde a = 600 sen sen 60º del mismo modo sen 85º = sen 35º
600
a
sen 85º.
600
b
por tanto b = 600 sen 35º pero como nos interesa calcular la altura, es decir la
pppppppp
sen 85º
perpendicular que va del vértice C al lado c y esto lo obtener a partir de cualquiera de
los dos triángulos que se forman ACS o CSB, partamos del triángulo ACS, tenemos
que sen 60º = CS de donde CS= b sen 60º, lo cual es la altura del globo para
PPPPppp
b
encontrar la distancia, basta calcular con el mismo procedimiento AS y restarlo de 600.
AS = bcos 60º y de que un hombre se encuentra a la distancia AS y el otro a 600-AS
ACTIVIDADES DE RECAPITULACIÓN:
En grupos de trabajo colaborativo conteste las cuestiones y compara las
respuestas con los otros equipos.
1. Aplicando las leyes de los senos, cosenos y de los tangentes, resolver los
siguientes triángulos oblicuángulos:
d) a = 33 cm
c) a = 45 cm
b) a = 5,3 cm
a) a = 22 cm
b = 46 cm
b = 52 cm
b = 10.9 cm
b = 10 cm
c = 51 cm.
c = 50 cm
c = 13 cm
c = 17 cm
e) a = 3 cm
b = 5 cm
c = 7 cm
f) a = 84 cm
b = 53cm
c = 62 cm
g) a = 23.77 cm
b = 29.74 cm
c = 24.69 cm
h) a = 14 cm
b = 15 cm
c = 16 cm.
2. Hallar los demás elementos del triángulo, conocidos dos lados y el ángulo
comprendido.
d) b = 25.61 cm
c) b = 50 cm
b) a = 50 cm
a) a = 32 cm
c = 31.8 cm
c = 78 cm
b = 78 cm
b = 28 cm
≮c =56° 48’
e) a = 20 cm
c = 13 cm
≮B = 106°58’
≮c = 78° 22’
f) a = 75.45 cm
c = 81.3 cm
≮B =89°11’
≮A = 69°15’
g) a = 11 cm
b = 21 cm
≮C = 98°
≮A= 37°41’
h) b = 80cm
c = 49 cm
≮A = 101°22’
3. Hallar los demás elementos del triángulo, conocidos un lado y los dos ángulos
adyacentes:
a) ≮A = 51°
≮B = 28°
c =39 cm
e) ≮B =113°47’
≮ c = 34°15’
a= 34.82 cm
b) ≮B= 39°
≮C =84°39’
b = 32 cm
f) ≮C = 48°
≮A = 61°
b =42 cm
c) ≮C = 14°29’
d) ≮A = 80°
≮A = 46°51’
b = 32 cm
≮B = 35°
c = 12m
g) ≮A = 29°44’
h) ≮B = 25°
≮B = 45° 38’
C = 23.86 cm
≮C = 43°
a = 30m
66
4. Hallar los demás elementos del triángulo, conocidos dos lados y el ángulo opuesto
a uno de ellos.
c) b = 374 cm
b) b= 11.36cm
a) a = 68.7 cm
a= 318 cm
c =6,77 cm
b = 28°
≮C = 53°40’
≮B =39 cm
d) a = 42.3 m
c = 83.44 m
e) b = 4m
a = 13m
≮C= 105°30’
≮ B =15°14’
≮A = 34°15’
f) a = 50 cm
b = 40 cm
≮ A= 99°
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
El triángulo rectángulo isósceles y el triángulo
equilátero tienen propiedades que permiten calcular
las funciones trigonométricas de los ángulos de 30°,
45° y 60°.
1. Cuánto mide la altura QS en el triángulo PQR?
___________________
2. En el triángulo rectángulo QRS, ¿cuál es el
cateto opuesto al ángulo de 30°?_____________
3. ¿Cuál es el valor del seno de 30°?____________
C
1
B
Q
1 x
2
A
2
60º
p
s
2
1
R
¿Cómo calcular las funciones trigonométricas del ángulo de 45º?
1. Considerar un triángulo rectángulo isósceles
cuyos catetos valgan 1.
1
x
2. Usar el teorema de Pitágoras para obtener la
medida de la hipotenusa.
1
x = 1 +1 = 2
2
2
x=
2
2
45º
1 45º
1
2
sen 45° = c. opuesto =
hipotenusa
cos 45° = c. adyacente
hipotenusa
tan 45° = c. opuesto =
c. adyacente
3. Aplicar las definiciones del seno, coseno y
tangente para obtener el valor de cada
función.
1
2
= 1
2
1=1
1
ACTIVIDADES:
De acuerdo con la ilustración de la parte superior, encuentre los valores del seno,
coseno y la tangente de los ángulos de 30° y 60° y proponga al grupo estrategias de
solución. Construya ejemplos similares.
Q
3
2
S
1
R
TEMA 3. CÁLCULO DE DISTANCIAS INACCESIBLES
APLICACIONES:
1. ¿Cómo resolver el problema?, ¿Puede aplicar el seno de un ángulo para
resolverlo?
67
La ilustración derecha muestra un
papalote volando con el hilo a su máxima
extensión, que es de 20 m. la altura a la que
está la mano que sostiene el hilo del papalote
es de 1.50 m.
a) ¿La altura a la que vuela el papalote
podría ser mayor de 21.50 m? _______
_________________________________
¿ Por qué?___________________
_________________________________
b) ¿A qué altura vuela el papalote si el hilo
que lo sujeta mide 20 m? _____________
x
20m
130m
1.50m
¿Cómo usar el seno de un ángulo para resolver un problema?
1. Identificar cómo se relacionan el cateto opuesto y la hipotenusa.
2. Buscar en la tabla el valor del seno del ángulo relacionado.
3. Resolver la ecuación resultante.
4. Usar el valor obtenido.
5. Interpretar la solución del problema.
El papalote vuela a una altura de :______________
De acuerdo con la ilustración superior
c) Si el ángulo de elevación fuera de 60° d) Si el papalote volara a 13.50 m de
altura, ¿cuánto mediría el ángulo de
¿a qué altura volaría el papalote?
elevación?
_____ m
20m
x
60°
≮θ=
20m
12m
θ
1.50m
1.5m
2. Después de resolver estas cuestiones los profesores-alumnos podrán discutir y
condensar las respuestas para definir entre todos estrategias de trabajo en el aula.
3. Cada alumno elaborará un problemario indicando estrategias generales para
resolverlos.
a) Un albañil tiene que construir una escalera de 18 m; ¿Qué ángulo debe hacerle
formar con el piso, si tiene que alcanzar una altura de 8m?
b) El pie de una escalera de 13m, apoyada contra una pared, queda a 5 m de
esta, suponiendo que el suelo es horizontal, ¿Qué ángulo forma la escalera y el
suelo?
c) El ángulo en la base de un triángulo isósceles es 40°, y la altura mide 22 cm;
calcúlese la longitud de sus lados iguales.
d) Una cuerda subtiende un arco de 52°, ¿cuál es la longitud de su flecha, si el
radio es de 5 2cm ?
e) Un buque navega de un punto “p” hacia el noroeste llega a un punto “A”
distante 125 millas de P; ¿A qué distancia AB se halla de la dirección norte sur
del punto de partida?
68
4. Los alumnos, de manera individual, elaborarán un escrito en donde propongan:
a) De que manera se podría determinar el valor natural para las funciones
trigonométricas de la “secante” y la “cosecante”.
b) ¿Cómo se determina el ángulo de la función “secante” y “cosecante”, cuando
se conoce su valor natural.
APLICACIONES:
En grupos de trabajo colaborativo conteste las cuestiones y compare las
respuestas con los otros equipos, elabora un problemario.
1. El ángulo de elevación de una torre medido de una montaña a la cima de otra es
de 19°, la distancia horizontal entre la cima y la torre es de 5 Km. ¿Qué tanto más
alta es la torre de la cima?
2. Miguel compró una tienda de campaña cuyo poste central mide 1.6 de altura. Si los
lados de la tienda forman un ángulo de 55° con el suelo, ¿cuál es el ancho de la
tienda?
3. Se coloca un alambre estirado desde la punta de un poste vertical parado sobre
terreno nivelado. El alambre llega hasta un punto situado a 4 mts. del pie del poste
y forma un ángulo de 65° con la horizontal, ¿cuál es la altura del poste?
B
A
34º.
C
4. Desde el periscopio de un submarino el punto de un barco se observa a 3°40’
sobre la horizontal. Si el punto está 5.4 m sobre la horizontal, ¿a qué distancia está
el barco del submarino?
5. Hallar el ancho de un estanque tomando como base la siguiente figura si AC, mide
40 mts. y el ángulo A 48°
48mts
c
48°
B
6. El diamante de una cancha de béisbol es un cuadrado de 30 m de lado. Si un
lanzador está a 20.5 m del plato, ¿qué distancia hay del lanzador a la segunda
base?
7. Un rayo de luz de una lámpara recorre 3 mts. de esta a una superficie horizontal.
¿A qué distancia está la superficie de la lámpara si el rayo de luz incide sobre ella
con un ángulo de 35°?
8. Desde la cumbre de una montaña de 2500 m de altura, los ángulos de depresión
de dos barcos que está en el mismo plano vertical con la cumbre son 17°55’ y
15°17’ respectivamente, ¿a qué distancia se encuentran estos de los barcos?
69
9. Un tractor transporta heno desde el suelo al piso de un granero. Si la banda que
realiza este trabajo forma un ángulo de 53° con la pared vertical del granero y el
piso de éste está a 7 m del suelo, ¿qué distancia recorre la banda del suelo al
granero?
10. El lente de una cámara forma en la película una imagen invertida del objeto, como
se indica en la figura. El objeto está a 3 m de la lente y ésta se encuentra a 15 m
de la película el ángulo θ mide 26°17’, ¿cuál es la altura de la imagen de la
película?
objeto
Imagen
4.9
10.3’
11. Dos barcos se encuentran en el punto A, uno de ellos navega 15 km al este y
después 10 kilómetros al sur para llegar al punto B. ¿Cuántos Km. debe recorrer
en diagonal otro barco que está en a para llegar a B?
12. El papalote de Paty está sujeto por una cuerda de 12m de longitud y vuela a 10 m
de altura sobre el nivel de sus ojos. ¿Cuál es el ángulo de elevación del papalote?
13. La marquesina de un teatro está sostenida por dos cables iguales de acero que
forman un ángulo de 37° con el edificio. Si la marquesina pesa 500 Kg. ¿Qué
tensión tiene cada cable?
14. Un globo está anclado con una cuerda de 570 metros de longitud. Si el ángulo de
elevación del globo es de 37° hallar la altura en que se encuentra el globo.
15. Rosa está a 15 metros del pie de una asta de bandera que queda a la altura de
sus ojos y el ángulo de elevación entre sus ojos y el extremo superior del asta es
de 46°17’, ¿cuál es la altura del asta?
16. Raúl camina una cuadra hacia el este y después dos cuadras hacia el norte para
llegar a la casa de Pablo, Rodolfo parte del mismo punto y camina diagonalmente
por un lote vacío llegando al mismo punto que Raúl. Si Raúl caminó 67m al este y
122 al norte, ¿qué distancia caminó Rodolfo?
17. ¿A que distancia de la pared vertical de un edificio está la base de una escalera de
8 m de longitud si ésta forma un ángulo de 60° con el suelo?
18. Un topógrafo que está en el fondo de una barranca observa que el ángulo de
elevación de uno de los lados de la barranca es de 16°15’. Si el topógrafo está a 6
m de la base, ¿cuál es la profundidad de la barranca?
19. Si el ángulo de depresión de un avión a un portaviones que se aproxima es de
53°15’. Si el avión a 210 m arriba del nivel de la cubierta del portaviones, ¿a qué
distancia está el avión del portaviones?
20. ¿Cuál es la distancia entre dos edificios, si el ángulo de depresión de la cornisa de
uno a la terraza del otro (en el mismo plano vertical) es de 32°55’ y desde el 10°
piso a la terraza hay 50 m?
70
21. Un péndulo de 90 cm de longitud al moverse forma un ángulo de 25° con la vertical
¿Cuánto sube el extremo inferior respecto al suelo?
90
90
25º
22. Calcular la longitud del asta bandera, si desde 18m de distancia de la base de un
edificio, el ángulo de elevación del extremo superior del asta bandera es de 43º 15’
y el ángulo de elevación del extremo inferior es de 37º 35’.
23. Uno de los lingotes de oro es de forma prismática y los extremos son triángulos
isósceles. La base del triángulo mide 2.5 cm y los lados forma un ángulo de 37º 50’
con la base. La recta que une el vértice superior de un extremo triangular con el
punto medio de la base del otro extremo, forma un ángulo de 18º 50’ con la recta
que uno los puntos medios de las bases de los extremos, encontrar el volumen del
lingote. (volumen = área de la sección transversal X largo)
37º50’
18º50’
24. Un avión enfila hacia el oeste con velocidad de 637 kph. Si un viento del norte
sopla con velocidad 25 kph, ¿cuál es la velocidad del avión respecto a tierra y cuál
es su curso?
25. El cable de una grúa puede resistir una tensión de 20 toneladas, si la cuerda se
rompe cuándo está sujeta a una fuerza de 12 Kg. Máxima, ¿se puede levantar si
de deja un margen de seguridad de 2 toneladas?
26. Un espejo que pesa 15 Kg. está sostenido en sus esquinas superiores por un
alambre que pasa por un clavo empotrado en la pared. Si las esquinas y el clavo
forman un ángulo de 120° ¿Cuál es la tensión total en el alambre?
27. Rafael jala el trineo que transporta a Raúl. La cuerda forma un ángulo de 36º con
el trineo. Si jala la cuerda con una fuerza de 28 Kg. ¿Qué fuerza se ejerce sobre el
trineo?
28. Hallar la longitud de la sombra de un poste cuando el ángulo de elevación del sol
es de 43º y el poste mide 1.90 mts.
29. Desde la cima de un acantilado vertical de 70 mts. de alto el ángulo de depresión
de un barco de 30º ¿Cuál es la distancia entre el barco y pie del acantilado?
30. ¿Cuál es el ángulo de elevación del sol, cuando la sombra de un poste de 10 m es
de 4 mts?
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