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DINÁMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTÍCULAS
1.
2.
3.
4.
5.
Sistemas de puntos. Fuerzas internas y externas.
El centro de masa. Cálculo de la posición, velocidad y aceleración.
Teorema del movimiento del centro de masa para un sistema de puntos materiales.
Cantidad de movimiento de un sistema de puntos materiales. Teorema de conservación.
Momento cinético de un sistema de puntos materiales. Teorema de conservación.
a. Momento cinético del centro de masa.
b. Momento cinético interno o spin.
6. Energía de un sistema de puntos materiales.
a. Energía cinética del centro de masa.
b. Energía cinética interna.
c. Energía potencial interna.
d. Energía interna y energía propia.
Sistemas de puntos materiales
Fuerzas internas: aquellas que son ejercidas por partículas que se hallan dentro del sistema.
Fuerzas externas: aquellas que son ejercidas por partículas que se hallan fuera del sistema.
Centro de masa
Ente matemático localizado en
con la velocidad de
y la aceleración
Si se trata de una distribución continua de masa usaremos las expresiones:
Teorema del movimiento del centro de masa para un sistema de puntos materiales
De la expresión de la aceleración del centro de masas, podemos obtener que
, ya que
; es decir la suma de todas las fuerzas
externas que actúan sobre un sistema es la masa del sistema por la aceleración de su centro de masa,
comportándose el sistema como si de una única partícula se tratara, cuyo movimiento solo se verá afectado
por las fuerzas externas.
Sistema de referencia de centro de masa
Es útil en muchas ocasiones tomar el centro de masa como origen de coordenadas, quedando las posiciones
transformadas. Si el centro de masa se mueve, también las velocidades se transforman.
Cantidad de movimiento de un sistema de puntos materiales. Teorema de conservación
Sea un sistema de puntos, cuya cantidad de movimiento total es:
=
su variación con el tiempo es
Por tanto la variación de la cantidad de movimiento del sistema, es consecuencia de las fuerzas
exclusivamente externas que actúan sobre éste.
Si la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre un sistema es nula, la cantidad de
movimiento del sistema no varía.
Momento cinético de un sistema de puntos materiales. Teorema de conservación
Del mismo modo que antes,
su variación con el tiempo es
Si el momento resultante sobre un sistema es nulo, su momento cinético no varía.
Para una mejor comprensión de muchos sistemas, se puede desglosar el momento cinético en dos
contribuciones:
=
; los términos 2º y 3º se puede demostrar que
valen cero, quedando:
Al primer término se le llama momento cinético interno o spin, y al segundo, momento cinético del centro de
masa.
Energía cinética de un sistema de partículas
La energía cinética total de un sistema es la suma de las energías cinéticas de las partículas del sistema:
Al igual que se hizo con el momento cinético, se puede descomponer en dos contribuciones: la energía
cinética respecto del centro de masa y la energía cinética del centro de masa:
el último término es cero, por lo que
al primer término se le llama energía cinética interna o energía cinética respecto del centro de masa; el
segundo término es la energía cinética del centro de masa.
Ec = Ecrcm + Eccm
Energía interna y energía propia
La energía interna de un sistema es la suma de su energía cinética interna más su energía potencial interna (es
decir, la debida a fuerzas internas). La energía propia es la suma de la interna más la energía cinética del
centro de masa.
U = Ecrcm + EPinterna K = U + Eccm
1. Hallar la posición del centro de masa de una varilla cuya densidad lineal (masa por unidad de longitud)
varía del modo λ = λ o(1+x/L).
La expresión dada significa que la densidad varía desde λ o (izquierda) hasta 2λ
o (derecha) de modo uniforme. Para calcular el centro de masa aplicaremos la
expresión:
, ya que partimos de que ycm = 0 por simetría.
dm = λ dx =
, por lo que la masa de la varilla
valdrá:
El numerador
Por tanto, ligeramente a la derecha del punto medio.
2. Hallar las coordenadas del centro de masa de una semicircunferencia de radio R.
Por simetría yCM = 0
Consideraremos la semicircunferencia homogénea de densidad uniforme λ =
.
. Haciendo dm = λ dl = λ Rdθ , y x = Rcosθ :
=
3. Calcular la posición del centro de masa del triángulo isósceles de la figura.
Considerando el triángulo homogéneo de densidad:
σ=
por ser homogéneo:
→ dm = σ dS = σ ydx
Aplicaremos la expresión
y varía con x de la forma y = L - x
ycm valdrá lo mismo por razón de simetría. (xcm, ycm) = (L/3,L/3)
4. Una pelota de 200 g rebota en una pared tal como muestra la figura. ¿Cuál es la variación de la
cantidad de movimiento de la pelota si el módulo de la velocidad no
cambia? Si el choque duró 20 ms, ¿cuál es la fuerza media ejercida sobre la
pelota? ¿y la ejercida sobre la pared?
= 4.33 kgm/s
= 217 N media -pared = - media-pelota = -217 N
5. Un bombero sujeta una manguera en ángulo recto tal como indica la figura. Si por
ésta circulan 600 litros de agua por minuto con una velocidad de 8 m/s ¿qué fuerza ha de
hacer el bombero para sujetar la manguera?
600 L/min → 600 kg/min
Comencemos hallando la variación de la cantidad de movimiento experimentada por el
agua en un minuto:
La fuerza ejercida sobre el agua por la manguera es por tanto:
Y la fuerza ejercida sobre la manguera por el agua es:
6. Un coche de 2000 kg y 2 m de longitud que viaja a 108 km/h choca contra una pared de hormigón
que no cede.
a. Calcular el tiempo de choque, suponiendo que el centro del coche recorre la mitad del camino hasta la
pared con desaceleración constante.
b. Calcular la fuerza media ejercida por la pared sobre el coche.
El centro del coche recorre 0.5 m y la velocidad varía desde 30 m/s a
0.
0.5 = 30 t + ½ at2
0 = 30 + at at = -30; 0.5 = 30t - 15t
t = 1/30 s es el tiempo que dura el choque.
b) La fuerza ejercida por la pared es
= 2000⋅ 30⋅ 30
= 1.8 MN
7. Se lanza una carcasa con una velocidad inicial de
m/s explotando tras 10 s de vuelo en
tres fragmentos iguales. Uno de ellos sale lanzado a
m/s , y otro a 120 m/s. Calcular:
a. Posición de la carcasa en el momento en que explota y 22 s después del lanzamiento si no hubiera
explotado.
b. La velocidad inicial del tercer fragmento.
c. Posición de cada fragmento y del centro de masa de éstos a los 22 s del lanzamiento.
a) Situando el origen en el punto de lanzamiento:
;
m;
m
b) La velocidad de la carcasa en el momento de explotar es:
m/s.
En la explosión se liberan fuerzas exclusivamente internas, por lo que la cantidad de movimiento se conserva.
kg⋅ m/s
m/s
c) La ecuación del movimiento de cada fragmento será:
m
m
m
=
m
que es la posición que
tendría la carcasa en el
instante t = 22 s si no hubiera
explotado. Se verifica así la
independencia del
movimiento del centro de
masa de las fuerzas internas.
La figura muestra la
trayectoria de cada
fragmento y su posición en el
instante t = 22 s.
8. Se dispara verticalmente una bala de mortero con una velocidad inicial de 280 m/s. En el punto más
alto de su trayectoria explota en tres fragmentos iguales, uno de los cuales sigue subiendo con una velocidad
de 70 m/s; otro sube formando inicialmente un ángulo de 45º con la vertical, con una velocidad de 140 m/s.
Determinar:
a. La altura alcanzada por la bala antes de explotar y el tiempo empleado en ello.
b. La velocidad inicial del tercer fragmento.
c. El tiempo transcurrido desde que se disparó el mortero hasta que el tercer fragmento llega al suelo.
a) Situando el origen en el punto de lanzamiento:
;
La velocidad se anula para t = 28 s, por lo que la altura alcanzada será
b) En la explosión se liberan fuerzas exclusivamente internas, por lo que la cantidad de movimiento se
conserva.
, ya que explota en el punto más alto y está parado.
;
m/s
c) La ecuación del movimiento del tercer fragmento será:
La componente y se anula para t = 16.1 s, por lo que el tiempo total será 28 + 16.1 = 44.1 s.
9. Mientras un barquero de 90 kg se desplaza los 4 m de proa a popa que mide su barca de 200 kg, ¿qué
distancia recorre la barca? Considérese la barca y el barquero inicialmente en reposo.
La posición inicial del centro de masa es, colocando al
barquero en el origen:
Al desplazarse por la barca, únicamente actúan fuerzas
internas en el sistema barquero-barca, por tanto el
centro de masa no se mueve.
La posición final del centro de masa:
Igualando:
; x(M + m) = mL
=
= 1.24 m
10. Tenemos dos bloques de masas 5 g y 15 g, que se mueven en la misma dirección con velocidades
respectivas de 10 cm/s y 5 cm/s. Calcular:
a. Sus velocidades después del choque, en el caso de que se muevan en sentidos contrarios.
b. Lo mismo, en el caso que lleven igual sentido y el de mayor velocidad alcanza al otro.
En ambos casos en el choque se conserva la energía cinética del sistema.
c. Si en el caso a) después del choque ambos bloques se mueven unidos, calcular la pérdida de energía
mecánica.
En los dos primeros apartados la energía cinética del sistema es ½ 5 100 + ½ 15 25 = 875/2 erg.
a) La cantidad de movimiento inicial es
La cantidad de movimiento final es
La energía cinética final es ½ mAv’A2 + ½ mBv’B2 = 875/2
Considerando que
y ECi = ECf tendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:
que resuelto nos da como solución:
v’A = -12.5 cm/s; v’B = 2.5 cm/s. Los dos bloques invierten por tanto el sentido de su vector velocidad.
b) La cantidad de movimiento inicial es
La cantidad de movimiento final es
El sistema de dos ecuaciones es ahora:
que resuelto nos da como solución:
v’A = 2.5 cm/s; v’B = 7.5 cm/s. No habiendo en este caso cambio de sentido del vector velocidad
c) Si permanecen unidos, habrá pérdida de energía cinética y la velocidad del conjunto la calculamos
considerando solo la conservación de la cantidad de movimiento:
-25 = (mA+mB) V’; V’ = -25/20 = 1.25 cm/s.
La energía cinética del conjunto es ½ (mA+mB) V’2 = 125/8 erg, luego la pérdida de energía mecánica es ∆
EC = ECF - ECI = 125/8 - 875/2 = -3375/8 erg = -3375/8⋅ 10-7 J = -4.22⋅ 10-5 J.
11. Un patinador que tiene una masa de 70 kg con los patines puestos, está en reposo sobre una pista
de hielo y tira una piedra de 3 kg en dirección horizontal con una
velocidad de 8 m/s. Sabiendo que el coeficiente de rozamiento entre
los patines y el hielo es de 0.02, calcular la distancia retrocedida por
el patinador después de lanzar la piedra y el tiempo transcurrido
hasta que queda otra vez en reposo.
Durante el intervalo de tiempo que el patinador impulsa la piedra, las
fuerzas externas no modifican el movimiento, por lo que podemos
suponer constante la cantidad de movimiento en ese cortísimo intervalo.
Esta va a ser la velocidad inicial de retroceso del patinador. A partir de aquí, el rozamiento de los patines con
el suelo va a producirle una aceleración:
Y las ecuaciones de la velocidad y de la posición serán:
Obsérvese el signo de las magnitudes: la velocidad inicial se ha tomado negativa, por lo que la aceleración,
aunque es deceleración ha salido con signo positivo. La posición final con signo negativo es compatible con el
sentido del movimiento adoptado.
12. Dos bolas de 6 y 4 kg se mueven sobre una misma recta en sentidos opuestos a 5 y 7 m/s. Hallar las
velocidades de ambas bolas después del choque, si la primera se desvía 37º de la dirección original, y el
choque es elástico.
Planteando el teorema de conservación
de la cantidad de movimiento:
de donde extraemos 2 ecuaciones:
Por otra parte, el choque al ser elástico, conserva la energía cinética:
173 = 3v’A2 + 2 v’B2
En resumen, tenemos 3 ecuaciones y tres incógnitas:
Sistema de ecuaciones que resuelto conduce a las soluciones:
v’A= 4.96 m/s
v’B= 7.04 m/s
β = -140.55º la bola B se desvía por tanto 180 - 140.55 = 39.45º = 39º27’.
13. Una partícula α choca con un núcleo de carbono y se desvía de manera que su trayectoria después
del choque forma un ángulo de 42º con la anterior al choque según
indica la figura. Por su parte el núcleo de carbono se pone en
movimiento siguiendo una trayectoria que forma 68º con la
trayectoria original de la partícula α . Calcular la relación de
velocidades entre las dos partículas (Masas atómicas en u: C =12; α =
4)
La partícula α aporta toda la cantidad de movimiento que únicamente
tiene componente horizontal. Es decir no debe haber cantidad de movimiento en el eje vertical.
pY = 0 = pα sen(-42) + pCsen68. mCVCsen68 = mα Vα sen42
= 4.16
14. Un proyectil de 10 g incide horizontalmente sobre un bloque de madera de 5 kg que se encuentra en
reposo sobre una mesa de madera. Si la velocidad del proyectil en el momento de la incidencia es de 500 m/s
y el coeficiente de rozamiento madera-madera es de 0.3, ¿qué espacio recorrerá el sistema formado por el
bloque y el proyectil sobre la mesa?
Cuando el bloque sea alcanzado por el proyectil se pondrán en movimiento ambos a la velocidad v’, y
conservándose la cantidad de movimiento, por tanto:
pI = pF;
mv = (m + M)v’;
Como consecuencia de la fuerza de rozamiento
aparecerá una deceleración:
a = fr/m= -µ g = -2.94 m/s2
El tiempo que tardará en pararse será v = 0 = v’+at; t = -v’/a = 0.34 s.
Y el espacio recorrido hasta pararse será: x = v’t+ ½ at2 = 0.17 m
15. Una cuerda de longitud L y peso por unidad de longitud ρ está situada sobre una mesa horizontal.
Si entre la cuerda y el suelo hay un coeficiente de rozamiento estático µ, hallar la mínima longitud colgante x
que consigue que se inicie el movimiento. Aplicar al caso de una cuerda de 3 m y µ = 0.6.
En el instante en que la cuerda inicia el movimiento:
T=ρx
T = µ ρ (L-x)
ρ x = µ ρ (L-x)
x = µ (L-x); x + µ x = µ L;
= 1.125 m
16. Dos puntos materiales de masas m1 = 4 kg y m2
= 6 kg se encuentran en los puntos P(0,3,0) m y Q(4,0,0) m, siendo sus velocidades
, respectivamente. Determinar:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a)
Momento angular del sistema con respecto a O.
Momento angular del centro de masa.
Momento angular del sistema con respecto a su centro de masa.
Energía cinética respecto del sistema fijo OXYZ.
Energía cinética del centro de masa.
Energía cinética respecto del centro de masa.
= (3 × 8 )+(4 × 18 ) = 48 kgm2/s
b) Hallemos, en primer lugar, la posición y velocidad del centro de masa:
kg m2/s
c)
y
kg m2/s
=
Queda comprobada la relación:
d) Ec =
= 35 J
e) ECCM = ½ vcm2
f) ERCCM =
= (0.82 + 1.82)5 = 19.4 J
= 2(1.22+1.82) + 3(0.82+1.22) = 15.6 J
Con lo que se comprueba la relación: EC = ECCM + ECRCM
17. Un bloque de masa m se desliza sin rozamiento por la superficie curva de una rampa de masa M
que está colocada sobre una mesa que no ejerce ninguna fuerza
sobre la rampa. Si el bloque comienza a deslizarse desde una altura
h, demostrar que cuando el bloque sale de la rampa el módulo de la
velocidad de ésta vale
. ¿Cuál es el módulo de la
velocidad del bloque en ese instante?
En el punto más alto la energía es mgh y la cantidad de movimiento
del sistema es cero.
Cuando llegue al punto más bajo, la cantidad de movimiento total seguirá siendo cero (no hay rozamiento
entre la rampa y la mesa, y por tanto no hay fuerzas externas) y la energía del sistema será la suma de la
energía del bloque y la de la rampa:
pi = pf = 0; 0 = pbloque + prampa; pbloque = -prampa
Ei = Ef; mgh =
la velocidad del bloque será:
18. Una masa 2m está unida a un hilo de longitud L y cuelga a modo de plomada. Se separa un ángulo
θ 0 de la vertical y se suelta, chocando elásticamente con una masa m que está en reposo
unida a otro hilo de longitud L. Hallar el ángulo máximo que ambas masas se apartan de la
vertical después de chocar para el caso en que θ 0 = arcos3/5. Comprobar el resultado
comparando la energía potencial inicial y final.
Calculemos en primer lugar la altura de la masa 2m sobre el punto más bajo de la
trayectoria en función del ángulo:
h0 = L(1-cosθ 0)
Ahora podemos hallar la velocidad con que 2m golpea a m: v0 =
Planteando ahora las ecuaciones del choque elástico tendremos:
2mv0 = 2mv1 + mv2 → 2v0 = 2v1 + v2
½ 2mv02 = ½ 2mv12 + ½ mv22 → 2v02 = 2v12 + v22
Sistema de 2 ecuaciones y dos incógnitas (v1 y v2) que resuelto conduce a:
Ahora hallaremos las alturas que alcanzan como consecuencia de las nuevas velocidades:
pero como h = L(1-cosθ ):
; θ 1 = 17.15º
=
; θ 2 = 73.21º
=
Comprobación:
Einicial = 2mgh0 = 2mgL(1-cosθ 0) =
Efinal = 2mgh1 + mgh2=
+
=
19. Demostrar que como consecuencia de la colisión elástica entre dos partículas iguales, estando
inicialmente una de ellas parada, éstas salen en dirección perpendicular.
Planteando las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía cinética:
p2 = p’12 + p’22
Elevando al cuadrado la primera ecuación e igualando a la segunda:
p’12 + p’22 +
= p’12 + p’22
=0
Luego
son perpendiculares.