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UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PUERTO RICO
Decanato de Artes y Ciencias
Departamento de Ciencias y Matemáticas
Módulo #3
MATH 102
Geometría
Dr. Manuel Capella-Casellas, Ed.D.
juilio 2010
RTANCIA DE LA GEOMETRIA EN LA VIDA COTIDIANA
La necesidad de la enseñanza de la geometría responde,
en primer lugar, al papel que ella desempeña en la vida
cotidiana. Un conocimiento geométrico básico es indispensable
para desenvolverse en la vida cotidiana: para orientarse
reflexivamente o para hacer apreciaciones y cálculos relativos a
la distribución de los objetos en el espacio; para hacer
estimaciones sobre formas y distancias, entre otras utilidades.
También está presente en múltiples ámbitos profesionales
contemporáneos, por ejemplo, en la producción industrial, el
diseño, la arquitectura, la topografía, entre otras. La forma
geométrica es un componente esencial del arte, por ejemplo, en
las artes plásticas, y representa un aspecto importante en el
estudio de los elementos de la naturaleza.
Conceptos generales1:

Los elementos geométricos y sus relaciones. Por ejemplo, para
definir los conceptos paralelismo, perpendicularidad y congruencia.
Las formas planas y sus atributos para explicar los conceptos de
perímetro y área.
Las formas espaciales o los cuerpos geométricos y sus elementos
para comprender el concepto de volumen.
La representación elemental del Teorema de Pitágoras y su utilidad
para resolver situaciones verbales.



Procedimientos:



Utilización adecuada del vocabulario geométrico básico en la
descripción de objetos familiares.
Comparación y clasificación de figuras planas y cuerpos geométricos
utilizando diversos criterios.
Elaboración y utilización de estrategias personales para llevar a cabo
mediciones y estimaciones de perímetros, áreas y volúmenes.
Actitudes:

Gusto por la precisión en la descripción y representación de las formas geométricas y
sus aplicaciones en la vida real.
1
Al final de cada capítulo del libro de texto, existe un resumen de los conceptos y fórmulas más importantes
discutidos durante cada ciclo. Utiliza este resumen para desarrollar uno personal basado en tus anotaciones en clase
y en las tutorías. Además, hay una prueba que puedes utilizar como práctica antes de tu examen del curso.
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INTRODUCCIÓN
El concepto geometría se deriva del griego geo (tierra) y metrón (medida). En su
sentido más amplio, es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las
figuras geométricas en el plano o en el espacio. Sus orígenes se remontan a la solución de
problemas concretos relativos a medidas y es la justificación teórica de muchos instrumentos,
por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo. Tiene su aplicación práctica en física,
mecánica, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, entre otras ramas del saber.
También da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (GPS)
al correlacionarse con el análisis matemático y las ecuaciones diferenciales. Además, es útil
en la preparación de diseños a través del dibujo técnico y en la fabricación de artesanías.
Inicialmente, el conocimiento geométrico constituía un cuerpo de
conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y
volúmenes, comúnmente utilizado en el Antiguo Egipto, según los
textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Fue Euclides, en el
siglo III a. C., quien configuró la geometría en forma axiomática,
tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos.
El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de
determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste,
Imagen de Euclides
sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos
durante más de un milenio. René Descartes desarrolló
simultáneamente, el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, en la cual las figuras
geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es
decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura
intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de
la topología y la geometría diferencial.
Axiomas, teoremas y definiciones
Aunque a Euclides se le pueda considerar patriarca de la geometría por establecer el
primer sistema axiomático, es David Hilbert quien propuso, a principios del siglo XX, otro
sistema axiomático más completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo
pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza
algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan
modelos. Esto significa que las palabras punto, recta y plano deben de perder todo
significado material, esto es, no existen por virtud concreta o real.
El saber geométrico es el conocimiento de las propiedades del espacio geométrico.
Desde el punto de vista educativo, es importante diferenciarlo del conocimiento de las
propiedades del espacio físico. El espacio geométrico se constituye como una modelización
del espacio físico; nos permite comprender o prever ciertos fenómenos del espacio físico,
pero no coincide con él.
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Las figuras que manejamos en geometría son idealizaciones de objetos de la
realidad material. No existe, por ejemplo, la línea recta ideal, pues cualquier línea recta
material mirada al microscopio resultaría curva. De igual forma, no existe el punto ideal,
carente de dimensiones. Tampoco existe la superficie ideal, carente de grosor. Aunque las
figuras ideales no existen, se pueden estudiar con ayuda de sus representaciones materiales.
Desde los griegos, la regla y el compás contribuyeron a materializar las ideas geométricas.
Las construcciones que se realizan con estos instrumentos ayudan a comprender mejor las
propiedades geométricas.
La validación de los teoremas geométricos utiliza al dibujo, pero ocurre sólo
mediante razonamientos lógicos. Los dibujos ayudan a establecer relaciones lógicas entre las
figuras. No sustituyen, sino que auxilian, al razonamiento lógico. La geometría, a partir de la
antigua geometría griega, se ha desarrollado como un sistema deductivo, construido a partir
de axiomas, cuya validez se obtiene por procedimientos lógicos.
DESARROLLO HISTÓRICO
IMPORTANTES.
Geo, Diosa de la geometría. Cuarta
diosa de Fibonacci.
DE
LA
GEOMETRÍA.
ALGUNAS
APORTACIONES
El sabio griego Eudemo de Rodas, atribuyó a los egipcios
el descubrimiento de la geometría, ya que, según él, necesitaban
medir constantemente sus tierras debido a que las inundaciones
del Nilo borraban continuamente sus fronteras. Recordemos que,
precisamente, la palabra geometría significa medida de
tierras. A través de sus observaciones, definieron el área de un
círculo unitario y el concepto Pi. Sin embargo, su desarrollo
geométrico adolece de falta de teoremas y demostraciones
formales. También encontramos rudimentos de trigonometría y
nociones básicas de semejanza de triángulos. Por otro lado, en la
civilización mesopotámica se desarrollaron otros conceptos, tales
como: área del cuadrado, del círculo, volúmenes de determinados
cuerpos, semejanza de figuras, e incluso hay autores que afirman
que esta civilización conocía el teorema de Pitágoras aplicado a
problemas particulares, aunque no, obviamente, como principio
general.
En la escuela de Pitágoras, se advierte un proceso de
recopilación de hechos matemáticos abstractos y la unión de ellos
en sistemas teóricos. Junto a la demostración geométrica del
teorema de Pitágoras, fue encontrado el método de hallazgo de la serie ilimitada de las ternas
de números pitagóricos, esto es, ternas de números que satisfacen la ecuación a2 + b2 = c2.
Asimismo, el surgimiento de la irracionalidad condicionó la necesidad de creación de
una teoría general de las relaciones, teoría cuyo fundamento inicial lo constituyó el algoritmo
de Euclides. Las primeras teorías matemáticas que se abstrajeron de los problemas concretos
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o de un conjunto de problemas de un mismo tipo, crearon las condiciones necesarias y
suficientes para el reconocimiento de la autonomía y especificidad de las matemáticas. El
carácter abstracto del objeto de las matemáticas y los métodos de demostración matemática
establecidos, fueron las principales causas para que esta ciencia se comenzara a exponer
como una ciencia deductiva, que a partir de unos axiomas, presenta una sucesión lógica de
teoremas.
En Los Elementos de Euclides se recogen una serie de axiomas o postulados que
sirvieron de base para el posterior desarrollo de la geometría. Es de especial interés, por la
controversia que originó en épocas posteriores el quinto axioma, denominado "el de las
paralelas", según el cual dos rectas paralelas no se cortan nunca. Durante siglos, se asumió
este axioma como irrebatible, hasta que en el siglo XIX surgieron las llamadas geometrías no
euclídeas, que rebatieron este postulado.
En la época del dominio romano, destacan algunos recetarios en forma de reglas que
permitían el cálculo de algunas áreas y volúmenes; y, en especial, la conocida fórmula de
Herón para calcular el área del triángulo si se conocen las medidas de los tres lados.
Podemos considerar la obra de Fibonacci Practica Geometriae como el punto de
arranque de la geometría renacentista. Esta obra está dedicada a resolver determinados
problemas geométricos, especialmente medida de áreas de polígonos y volúmenes de
cuerpos. Para hacer más fáciles los cálculos, los matemáticos desarrollaron ciertos
procedimientos en los que, el papel fundamental lo jugaban determinadas relaciones
trigonométricas, lo que llevó a la confección de numerosas tablas trigonométricas. En la
elaboración de tablas trabajaron, por ejemplo, Copérnico (1473-1543) y Kepler (1571-1630).
Durante el siglo XVII, conocido como la Ilustración,
surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose
en lo que a la geometría se refiere el nacimiento de la geometría
analítica. Sin duda, los dos grandes en esta materia y época
fueron René Descartes (1596-1650) y Pierre Fermat (16011655).
La última parte de la famosa obra de Descartes, el
Discurso del Método, denominada Géometrie, detalla en su
comienzo, instrucciones geométricas para resolver ecuaciones
cuadráticas, centrándose seguidamente en la aplicación del
álgebra a ciertos problemas geométricos. Analiza también curvas
de distintos órdenes, para terminar en el tercer y último libro que
compone la obra, con la construcción de la teoría general de
ecuaciones, llegando a la conclusión de que el número de raíces
de una ecuación es igual al grado de la misma, aunque no pudo
demostrarlo. Prácticamente la totalidad de la Géometrie está
dedicada a la interrelación entre el álgebra y la geometría con
ayuda del sistema de coordenadas.
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Simultáneamente con Descartes, Pierre de Fermat
desarrolló un sistema análogo al de aquél. Las ideas de la
geometría analítica, esto es, la introducción de
coordenadas rectangulares y la aplicación a la geometría
de los métodos algebraicos, se concentran en una pequeña
obra: "Introducción a la teoría de los lugares planos y
espaciales". Aquellos lugares geométricos representados
por rectas o circunferencias se denominaban planos y los
representados por cónicas, espaciales. Fermat abordó la
tarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio,
describiendo, alrededor de 1636, el principio fundamental
de la geometría analítica: "siempre que en una ecuación
final aparezcan dos incógnitas, tenemos un lugar
geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una línea, recta o curva". La extensión de
la geometría analítica al estudio de los lugares geométricos espaciales, la realizó por la vía del
estudio de la intersección de las superficies espaciales por planos. Sin embargo, las
coordenadas espaciales también en él están ausentes y la geometría analítica del espacio
quedó sin culminar.
En el siglo XVIII, además de la consolidación de la geometría analítica, surgieron la
geometría diferencial, la geometría descriptiva y proyectiva, así como numerosos trabajos
sobre los fundamentos de la geometría. Fue Euler quien, en 1748, sistematizó la geometría
analítica de una manera formal. En primer lugar, expuso el sistema de la geometría analítica
en el plano, introduciendo, además de las coordenadas rectangulares en el espacio, las
oblicuas y polares. En segundo lugar, estudió las transformaciones de los sistemas de
coordenadas. También clasificó las curvas según el grado de sus ecuaciones, estudiando sus
propiedades generales. En otros apartados de sus obras, trató las secciones cónicas, las
formas canónicas de las ecuaciones de segundo grado, las ramas infinitas y asintóticas de las
secciones cónicas y clasificó las curvas de tercer y cuarto orden, demostrando la inexactitud
de la clasificación newtoniana. También estudió las tangentes, problemas de curvaturas,
diámetros y simetrías, semejanzas y propiedades afines, intersección de curvas, composición
de ecuaciones de curvas complejas, curvas trascendentes y la resolución general de
ecuaciones trigonométricas. Todos estos aspectos se recogen en el segundo tomo de la obra
que Euler dedicó exclusivamente a la geometría analítica.
El año 1826 puede considerarse como la fecha de nacimiento de esta geometría no
euclideana o lobachevskiana, siendo en ese año cuando Lobachevski presentó muchos de
los trabajos que avalaban la nueva teoría. La geometría no euclideana continuó siendo
durante varias décadas un aspecto marginal de la matemática, hasta que se integró en ella
completamente gracias a las concepciones extraordinariamente generales de Rieman.
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ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA COMO MATERIA O SABER
De acuerdo con la teoría de Pierre y Dina Van Hiele, los
estudiantes progresan a través de niveles de pensamiento
geométrico (van Hiele, 1959; van Hiele, 1986; van Hiele-Geldof,
1984), desde un nivel visual, seguido de niveles crecientemente
sofisticados de descripción, análisis, abstracción y prueba. Los
niveles son, según la teoría, secuenciales y jerárquicos, de
manera que, para que los estudiantes operen adecuadamente en
uno de los niveles, deben haber dominado amplias partes de los
niveles más inferiores (Noffer, 1981). El progreso de un nivel al
siguiente, según los Van Hiele, es más dependiente de la
instrucción que de la edad o maduración biológica. El profesor
deberá adecuar sus enseñanzas a los niveles reales de sus
alumnos para que el aprendizaje sea uno significativo y no uno
meramente memorístico, rutinario.
Este módulo está elaborado emulando la teoría educativa de los Van Hiele. Completar
el mismo en todas sus partes superará el conocimiento esperado, por ejemplo, aquél que
fuese a ser evaluado, basado en el prontuario del curso MATH 0102, Matemáticas Básicas.
Por tal razón, un estudiante que siga las recomendaciones contenidas aquí aumentará sus
destrezas de estudio, aprestándolo “a ver dónde otros no necesariamente ven”. Esta destreza
es de suma importancia para el dominio de las destrezas de deducción y lógica necesarias en
las carreras profesionales que se enseñan en la Poli.
NIVEL 1. VISUAL.
En este primer nivel, los estudiantes deben operar sobre las formas y configuraciones
geométricas de acuerdo con su apariencia. Te recomiendo que reconozcas y representes
mentalmente las figuras como patrones visuales. Por ejemplo, algo "es un rectángulo,
porque parece como una puerta". En este nivel, no se es consciente de las propiedades de las
figuras. El razonamiento es dominado por la percepción: "no hay por qué, uno simplemente lo
dice" (Van Hiele, 1986, p.83). Durante la transición al nivel descriptivo, las clases de figuras
comienzan
a
ser
asociadas
con
sus
propiedades
características.
NIVEL 2. DESCRIPTIVO-ANALÍTICO.
Los estudiantes deben reconocer y caracterizar las formas por sus
propiedades. Un rombo, por ejemplo, puede ser considerado como un
cuadrilátero con sus cuatro lados iguales. Las figuras pasan a ser, así,
colecciones de propiedades más que patrones visuales. La imagen empieza
a quedar de fondo. Los estudiantes descubren que algunas combinaciones
de propiedades señalan una clase de figuras y otras no. Surgen, así, las semillas de las
implicaciones geométricas. Te recomiendo la construcción de tablas para resumir los
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atributos de las figuras geométricas planas en relación con el número de lados, su
perímetro y área. Como caso aparte, el estudio del círculo en función de la circunferencia, el
diámetro y el radio. En este nivel, los objetos sobre los cuales se razona son clases de
figuras, pensadas en términos de conjuntos de propiedades que asocian a esas figuras.
NIVEL 3. ABSTRACTO-RELACIONAL
En este nivel, te recomiendo que trabajes la
formulación
de
definiciones
abstractas,
distinguiendo entre la necesidad y la suficiencia
del conjunto de condiciones para un concepto.
Puedes clasificar figuras jerárquicamente y dar
argumentos
informales
para
justificar
esas
clasificaciones. Un cuadrado, por ejemplo, puede ser
identificado como un rombo, porque puede ser
pensado como "uno con algunas propiedades
adicionales". Debes descubrir propiedades de clases
de figuras por deducción informal. Por ejemplo,
deducir que la suma de los ángulos de un cuadrilátero
cualquiera es 360°, porque cualquier cuadrilátero
puede ser descompuesto en dos triángulos, en cada
uno de los cuales los ángulos suman 180º.
Como las figuras pueden aparecer como conjuntos de propiedades de diversas
maneras, las definiciones pueden ser vistas no como descripciones, sino como un método de
organización lógica. En este nivel, los objetos sobre los cuales han de razonar los estudiantes
son propiedades de clases de figuras.
NIVEL 4 (DEDUCCIÓN FORMAL) y el NIVEL 5 (RIGOR METAMATEMÁTICO) no se
describirán en este tratado.
Comentario tecnológico.com
 Excelente página que resumen los conceptos fundamentales de la geometría. Incluye
diccionario. http://www.geoka.net/
 Excelente página que resumen los conceptos fundamentales de la geometría. Se
encuentran todos los temas del segmento de estudio.
http://tutormatematicas.com/Geometria.html (NOTA: requiere Adore Flash Player 10.1)
 Excelente página que resumen los conceptos fundamentales de la geometría.
http://www.salonhogar.com/matemat/geometria/index.htm;
o tiene exámenes, necesita registrarse:
http://www.salonhogar.net/Diversos_Temas/geometria.htm;
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o definiciones en orden alfabético:
http://www.proyectosalonhogar.com/Diversos_Temas/geo_AB.htm
 Excelente página para conceptualizar la geometría utilizando el recurso didáctico
GeoGebra. http://geometriadinamica.es/
 Excelente página que resumen los conceptos fundamentales dela geometría. Incluye
autoevaluación. http://www.portalplanetasedna.com.ar/geometria1.htm
 Resumen de algunos conceptos fundamentales. Frank Alejandro Zapata Mesa.
Geometría. http://www.monografias.com/trabajos10/geom/geom.shtml
 Buena página que resume los mecanismos para determinar el perímetro o
circunferencia, el área de superficie de figuras geométricas planas, y los volúmenes de
los sólidos. Incluye otros conceptos y lecciones de estudio afines.
http://www.aaamatematicas.com/geo.htm#topic12
 Buena página para repasar los conceptos fundamentales de la geometría primaria a
través de juegos y preguntas de alternativas. http://platea.pntic.mec.es/jmigue1/
 Buena página de los conceptos básicos de la geometría por sus recursos didácticos y
visuales. Uso del Tangrama para dominar el concepto visual del área de superficie.
http://www.xtec.cat/~epuig124/mates/geometria/castella/index.htm
 Buena página de los conceptos básicos de la geometría por sus recursos didácticos y
visuales. http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometria.htm
 Buena página que ilustra un resumen de las figuras geométricas en tablas.
http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/geometria/geomet6.html
 Buen resumen de las figuras geométricas planas y cuerpos con volumen.
http://www.bbo.arrakis.es/geom/
 Buena página de contenido de materias por nivel educativo.
http://www.profesorenlinea.cl/
 Otras buenas páginas de recurso sobre geometría:
o http://geometriadinamica.es/;
o http://www.vitutor.com/geometria.html
 Taller de geometría en la página de la UPPR:
http://www.pupr.edu/cpu/pdf/tallerdegeometria.pdf
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Módulo de estudio y ejercicios relacionados a la geometría
A principio de este curso te recomendamos el uso de los mapas conceptuales y
las flash cards. En este segmento de estudio, el
uso de las tarjetas de estudio resultan ser
altamente útiles para la conceptualización de
conceptos geométricos y el entendimiento de
las figuras planas y espaciales. Por ello, te
sugerimos hagas otra lectura de los apéndices
y comiences a utilizarlas para facilitar la
memorización de las ideas geométricas que
utilizarás en el análisis de las situaciones verbales que se discutirán y de los
ejercicios relacionados con el perímetro, el área, el volumen y el Teorema de
Pitágoras. A continuación se establece una guía de estudio que te servirá para
la construcción de tus tarjetas. Recuerda usar el color para resaltar los
conceptos y las imágenes a aprender.
I. Conceptualiza la geometría. Utiliza un diccionario y define los siguientes conceptos
para comprender los fundamentos que se utilizan para definir la geometría. Por
ejemplo, puedes utilizar el Diccionario de la Lengua Española de la Real Academia
Española (RAE) en su versión en línea: http://www.rae.es/rae.html. Por otro lado,
puedes utilizar un libro de referencia sobre geometría básica.
a. Enunciado
b. Proposición
i. Axioma
ii. Postulado
iii. Teorema
1. Hipótesis
2. Tesis
iv. Corolario
c. Razonamiento lógico
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II. Preguntas guías.
Las ideas intuitivas de los cuerpos, superficies, líneas y puntos, las imaginamos
representadas en las aristas, agujas o la propia mole de un edificio (rectas, puntos y cuerpos).
Por ejemplo, las tranquilas aguas de una laguna son una representación de una superficie
plana. Basado en estas imágenes sensoriales completa las siguientes interrogantes
1. ¿Qué son los elementos geométricos?
a. Describe su notación (modo en que la geometría lo representa).
b. ¿Cuál es la relación que existe entre los conceptos punto, segmento de línea y
el plano?
c. Identifica postulados y teoremas que ilustren tu respuesta.
POR EJEMPLO:
Postulado 1. A través de dos puntos cualesquiera existe solamente una línea.
Teorema 3. Si un segmento es dado, entonces éste tiene exactamente un punto
medio.
2. Define qué es el grado de un ángulo.
a. Elabora una clasificación de los ángulos (recto, obtuso, agudo, llano,
adyacentes, opuestos por el vértice o verticales, congruentes, entre otros).
b. Ilustra los diferentes tipos de ángulos a base de los teoremas que los definen.
c. Dada una bisectriz, establece la definición de los ángulos complementarios y
suplementarios.
POR EJEMPLO:
Teorema 12. Si dos ángulos son ángulos rectos, entonces son ángulos
congruentes.
3. Define el concepto PARALELISMO y PERPENDICULARIDAD de las líneas rectas.
a. Establece los teoremas que justifican cuándo dos líneas son consideradas
paralelas entre sí.
b. Utiliza los teoremas sobre ángulos para definir los conceptos (correspondientes,
alternos internos, alternos externos, conjugados internos y externos).
c. Ilustra tu explicación con diagramas.
POR EJEMPLO:
Postulado de la línea paralela. Si existe una línea y un punto que no se
encuentra en la línea, entonces existe exactamente una línea a través del punto
que es paralelo a la línea dada.
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4. Define qué es un Polígono.
a. Establece sus elementos básicos (lados, vértices, diagonales, perímetro).
b. Polígono regular. Ilustra con ejemplos.
c. Polígono irregular. Ilustra con ejemplos (escaleno, romboide, trapezoide)
5. Construye una tabla que resuma las formas geométricas planas (cuadriláteros y
triángulos) y contenga los siguientes encabezados:
a. NOMBRE o CONCEPTO de la figura geométrica (Triángulos escaleno,
isósceles, equilátero, acutángulo, obtusángulo, rectángulo; Cuadriláteros:
paralelogramo, cuadrado, rectángulo, rombo, trapecio; Pentágono, Hexágono…)
b. FORMA (dibujo de la figura geométrica según es explicada por ésta).
c. DEFINICIÓN (explicación verbal del concepto y de la forma utilizando el
vocabulario geométrico).
d. ELEMENTOS (las variables designadas para describir la figura según la fórmula
literal y los significados correspondientes).
e. PERÍMETRO.
f. ÁREA DE SUPERFICIE.
NOTA: Construye otra tabla similar para estudiar las
figuras geométricas sólidas y el concepto VOLUMEN.
Define qué es un poliedro y sus elementos geométricos
(caras, aristas, vértices). Poliedros importantes: prismas,
pirámide y paralelepípedos (cubo, volumen cuadrangular).
No poliedros importantes: esferas, hemisferio, cilindro,
cono. ¿Cómo se determinar el área de superficie de un
sólido?
6. ¿Por qué la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°?
a. Establece la definición geométrica e ilustra tu respuesta con un diagrama.
7. Describe la relación que existe entre distancia, perímetro, área y volumen.
a. Utiliza diagramas que permitan visualizar tu descripción.
POR EJEMPLO: Si es dado como conocido que a, b y c son tres distancias
equidistantes desarrolla una fórmula que describa los tres conceptos y te sirva para
ilustrar tus diagramas.
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8. ¿Cuál es la relación que existe entre la circunferencia y el diámetro de un
círculo?
a. Expresa esta relación como una razón (fracción).
b. ¿Qué símbolo se utiliza para representar esa razón? ¿Cuál es su valor?
c. Define los elementos geométricos del círculo (radio, diámetro, cuerda, arco,
secante, tangente, entre otros). Realiza un dibujo en el cual ilustres los
conceptos.
IV.
Vocabulario y definiciones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
V.
Recta y Semi recta o media línea.
Rectas oblícuas, concurrentes, alabeadas.
Rayo.
Segmento.
Semi plano.
Puntos: colineales, coplanarios
Construye una tabla con los prefijos y sufijos latinos que se utilizan en la
nomenclatura geométrica.
i.
Por ejemplo: mono, bi o di, tri, tetra, penta, hexa, hepta, octa, nona, deca,
endeca, -gono, -oide.
A mayor dedicación, más aprendes. Otros conceptos generales importantes y útiles.
1. ¿Cómo se aplican los conceptos congruencia y semejanza a los triángulos?
a. Describe e ilustra los conceptos entre dos triángulos dados, a base de sus lados
y ángulos.
VI. Halle el perímetro o circunferencia y el área no sombreada.
1.
3 cm
7cm
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10 in
2.
12 in
3.
3.5 ft
4.
5 Km
cm
15 Km
20 Km
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VII.
Aplique el Teorema de Pitágoras para determinar las medidas desconocidas.
1.
?
3 u
4u
2.
13 cm
?
12 cm
3.
6 in
20 in
?
VIII.
.
Justifique
su
proceso
basado en la teoría de ángulos.
E
Determine:
1.
C
D
2.
3.
A
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B
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4.
IX.
Escribe C (cierto) o F (falso) según sea el caso en el espacio provisto a la izquierda de
la premisa. Justifica tu contestación.
____1. Todo cuadrado es un paralelogramo.
____2. Endecágono es un polígono de quince lados.
____3. El área de un círculo está determinado por 2 π r.
____4. Al simplificar
el resultado es -2.
____5. Dos ángulos son suplementarios cuando al sumar sus medidas se obtiene 90°.
____6. Dos lados adyacentes de un cuadrado son líneas paralelas.
____7. El área de un marco rectangular que mide 7 cm de ancho y 12 cm de largo es igual a
dos veces el ancho y dos veces el largo.
____8. El rayo AB se simboliza como
.
____9. Dos ángulos con la misma medida son congruentes.
___10. El ángulo recto es aquél cuyas medidas son menores de 90°.
X.
Opción múltiple. Seleccione la mejor contestación. Justifique su respuesta.
1. Paralelogramo que es únicamente equilátero:
a.
b.
c.
d.
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
2. Paralelogramo que no es ni equilátero ni equiángulo:
a.
b.
c.
d.
Rectángulo
Rombo
Romboide
Trapecio
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3. Cuadrilátero que posee sólo un par de lados paralelos:
a.
b.
c.
d.
Trapecio
Trapezoide
Paralelogramo
Cuadrado
4. ¿Cuál es el tipo de triángulo que tiene tres ángulos agudos?
a. Rectángulo
b. Acutángulo
c. Obtusángulo
5. ¿Qué es un paralelogramo?
a. Polígono de cuatro lados iguales, dos a dos
b. Polígono de cuatro lados paralelos, dos a dos
c. Polígono que tiene dos pares de lados consecutivos
6. Triángulo que no posee ángulos iguales:
a.
b.
c.
d.
Equiángulo
Equilátero
Escaleno
Isósceles
7. No es posible la construcción de este triángulo:
a.
b.
c.
d.
Equilátero acutángulo
Rectángulo isósceles
Isósceles escaleno
Equilátero obtusángulo
8. ¿Qué es el diámetro?
a. Trazo que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro
b. Segmento que une dos puntos de la circunferencia
c. Segmento que une el punto centro con cualquier punto de la circunferencia
9. Es la cuerda de mayor tamaño en la circunferencia:
a. Diámetro
b. Flecha o ságita
c. Radio
d. Tangente
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10. Recta que toca a la circunferencia en un solo punto:
a.
b.
c.
d.
Cuerda
Radio
Secante
Tangente
11. Los ángulos opuestos por el vértice son:
a.
b.
c.
d.
Complementarios
Iguales
Independientes
Suplementarios
12. Se calcula sumando las medidas de las longitudes de los lados en una figura plana:
a.
b.
c.
d.
Volumen
Superficie
Perímetro
Área
13. Calcule en un triángulo el ángulo x teniendo en cuenta que los otros miden 43º y 105º.
Dibuje la figura.
a. 60º
b. 42º
c. 32º
14. Calcule el perímetro de una circunferencia tomando como referencia que la medida del
radio es 22.6 cm. Dibuje la figura.
a. 141.928 cm
b. 140.753 cm
c. 137.053 cm
15. Un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 y 4 unidades de longitud. Calcule la longitud
de la hipotenusa. Dibuje la figura.
a. 7
b. 6
c. 5
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16. Calcule la circunferencia de un círculo de 8.74 cm de radio. Dibuje la figura.
a. 60.3
b. 54.9
c. 44.8
17. Calcule el área del círculo del ejercicio #16 tomando como referencia la medida de su
radio.
a. 300 cm2
b. 240 cm2
c. 205 cm2
18. Calcule el área de un rectángulo con ancho de 3 cm y largo de 7 cm. Dibuje la figura.
a. 32
b. 21
c. 18
19. Calcule el área de un cuadrado cuyo lado mide 2 cm. Dibuje la figura.
a. 3
b. 4
c. 6
NOTA: Utiliza regla, transportador y papel cuadriculado milimetrado para evidenciar las
respuestas de los ejercicios #20 y #21.
20. No se puede construir un triángulo con el siguiente grupo de medidas:
a.
b.
c.
d.
2 cm, 3 cm y 4 cm
4 cm, 6 cm y 5 cm
5 cm, 9 cm y 4 cm
7 cm, 6 cm y 8 cm
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21. Con las siguientes medidas es posible construir un triángulo:
a.
b.
c.
d.
5 cm, 3 cm y 9 cm
9 cm, 6 cm y 3 cm
10 cm, 5cm y 4 cm
8 cm, 5 cm y 4 cm
22. Son las medidas de un triángulo rectángulo:
a.
b.
c.
d.
9 cm, 6 cm y 3 cm
13 cm, 12 cm y 5 cm
10 cm, 5 cm y 4 cm
8 cm, 5 cm y 4 cm
23. El suplemento del complemento de 15o:
a.
b.
c.
d.
165°
105°
75°
15°
24. La suma de los ángulos interiores de un pentágono es:
a.
b.
c.
d.
180°
360°
540°
720°
25. El ángulo interior de un hexágono regular mide:
a.
b.
c.
d.
60°
90°
108°
120°
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XI.
Pareo. Línea, ángulo y triángulos. Parea las letras de la Columna B con los conceptos
de la Columna A.
COLUMNA A
COLUMNA B
__ 1. Triángulo rectángulo
__ 2. Triángulo acutángulo
__ 3. Ángulo agudo
__ 4. Ángulos con lado común
__ 5. Mide 90o
__ 6. Opuestos por el vértice.
__ 7. Isósceles
__ 8. Rectas perpendiculares
__ 9. Triángulo con tres lados iguales
__ 10. Mide 180o
__ 11. Ángulo igual a su complemento
__ 12. Rectas secantes
__ 13. Segmento
__ 14. Rectas paralelas
__ 15. Escaleno
__ 16. Suplemento de 140o
__ 17. Dos ángulos que suman 180o
__ 18. Semirrecta
__ 19. Complemento de 60o
__ 20. Ángulo obtuso
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a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o
p.
q.
r.
s.
t
30o
40o
45o
Ángulo llano
Ángulo recto
Ángulos congruentes.
Consecutivos
Dividen al plano en cuadrantes
Equilátero
Más de 90o
Mide menos de 90o
No tienen ningún punto común
Parte de una recta
Se cortan en un punto.
Suplementarios
Tiene ángulos agudos
Tiene lados desiguales
Tiene principio y no fin
Tiene un ángulo recto
Triángulo con dos lados iguales
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XII.
Actividad de desarrollo. Desarrollo de otros poliedros.
Prisma Cuadrangular
Pirámide
cuadrangular
1.
2.
3.
4.
Prisma hexagonal
Pirámide hexagonal
Ortoedro
Cilindro
Cono
Amplia las imágenes utilizando una fotocopiadora. Mide el área de superficie.
Corta la figura por su perímetro. Calcula su perímetro.
Dobla el papel por las líneas para formar el sólido. Cierra la figura con cinta adhesiva.
Calcula su volumen.
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