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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
Programa de Perfeccionamiento para Profesores de Matemáticas del
Nivel Secundario
Curso Piloto-Etapa a distancia
1.
Ejercicios
1.1.
Primera parte
1. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):
a) Por un punto pasan infinitas rectas.
b) Por dos puntos distintos pasa una recta.
c) Una reta contiene dos puntos distintos.
d ) Dos puntos distintos determinan una solo una recta.
e) Por tres puntos dados pasa una sola recta.
2. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):
a) Tres puntos distintos son siempre colineales.
b) Tres puntos distintos son siempre coplanares.
c) cuatro puntos todos distintos determinan dos rectas.
d ) Por cuatro puntos todos distintos pode pasar una sola reta.
e) Tres puntos pertenecientes a un plano son siempre colineales.
3. Usando cuatro puntos todos distintos, siendo tres de ellos colineales, cuantas rectas que pasen al
menos por dos puntos podemos construir?
4. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):
a) Si dos ángulos son complementarios, entonces ambos son agudos.
b) Todo ángulo es congruente a si mismo.
c) Dos ángulos rectos cualesquiera son congruentes.
5. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):
a) Todo triángulo isósceles es equilátero.
b) Todo triángulo equilátero es isósceles.
c) Un triángulo escaleno pode ser isósceles.
d ) Todo triángulo isósceles es triángulo acutángulo.
e) Todo triángulo rectángulo es triángulo escaleno.
f ) Existe triángulo rectángulo e isósceles.
g) Existe triángulo isósceles obtusángulo.
h) Todo triángulo acutángulo o es isósceles o es equilátero
6. Clasifique en verdadero (V) o falso (F):
a) Todos los triángulos isósceles son congruentes.
b) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.
c) Todos los triángulos rectángulos son congruentes.
d ) Todos los triángulos rectángulos isósceles son congruentes.
e) Todos los triángulos acutángulos son congruentes.
7. Si el ∆ABC es isósceles de base BC, determine x e y.
2x-40°
y
x+45°
8. El teorema del triángulo isósceles.
Si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los
ángulos opuestos a estos lados son congruentes,
O de otro modo: Se da el ∆ABC. Si AB ∼
= AC, entonces
∼
∠LB = ∠LC.
/
/
/
9. Todo triángulo equilátero es equiángulo.
10. Si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos son
congruentes
O de otro modo: Se da el ∆ABC. Si ∠LB ∼
= ∠LC, entonces
AB ∼
= AC.
/
/
/
11. Todo triángulo equiángulo es equilátero.
12. Con segmentos de 8 cm, 5 cm y 18 cm se puede construir un triángulo? Porqué?
13. Dos lados, AB y BC, de un triángulo ABC miden respectivamente 8cm y 21 cm. Cuanto puede
medir el tercero lado, sabiendo que es múltiplo de 6?
14. El lado AB de un triángulo ABC es expresado por un número entero. Determine su valor máximo,
sabiendo que los lados AC y BC miden respectivamente 27 cm y 16 cm y que ∠C < ∠A < ∠B.
15. Demuestre que todo triángulo posee por lo menos dos ángulos internos agudos.
16. Si dos rectas distintas son perpendiculares a una tercera, entonces no se interceptan.
Triángulos 1
17. Demuestre que en todo triángulo equilátero cada ángulo mide 60◦ .
Roy Wil Sánchez G.
18. Usando
teorema
En elelvértice
P : sdel
= ángulo
w + v. externo muestre que el triángulo rectángulo tiene dos ángulos agudos.
En consecuencia,
de t = v de
+ 2w
t > v. rectángulo es mayor que cada uno de los catetos.
19. Muestre
que la hipotenusa
un⇒triángulo
1.12. En
todo triángulo,
la suma de
un punto aque
a la hacia
20. En Teorema
todo triángulo,
la suma
de las distancias
de las
un distancias
punto quedepertenece
la pertenece
región interior
los región
vértices
de dicho
es de
menor
la longitud
del que
perímetro
y mayor
que la ymitad de
interior
haciatriángulo
los vértices
dichoque
triángulo
es menor
la longitud
del perímetro
este.mayor
Sea el
∆ABC,
figura
1,
el
teorema
afirma:
que la mitad de este. Sea el ∆ABC, figura 1.10, el teorema afirma:
aa++b b++c c < m + n + l < a + b + c
<m+n+l <a+b+c
22
B
a
n
c
m
A
P
l
C
b
Figura
Distancias
de de
unun
punto
vértices
Figura1:1.10:
Distancias
puntointerior
interior aa los
los vértices
Prueba. Sea P un punto en la región triangular. Se cumple las desigualdades
21. Demuestre que la suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.
m +en
n<
b, mplano
+l <y
a+
c n + l a< una
b + ctercera recta L3 , son paralelas
22. Dos rectas L1 y L2 situadas
una +
mismo
paralelas
entre sí.
Entonces
9. Sea la siguiente figura
(1.7.1)
m+n+l <a+b+c
Por el teorema 1.11
a
∆AP C : b < m + l,
Sumado
m
b
∆AP B : c < m + n,
∆BP C : a < n + l
a+b+c
nl
<m+n+
2
De las ecuaciones (1.7.1) y (1.7.2), se obtiene
Demuestre que m + n < a + b
a+b+c
<m+n+l <a+b+c
2
13
(1.7.2)
23. Demostrar que la suma de distancias desde un punto de la base de un triángulo isósceles a los otros
dos lados, es constante.
24. Dado un triángulo ABC, hallar un punto X sobre AB y otro Y sobre AC, de modo que XY =
BX + CY, siendo XY paralela a BC.
25. En la siguiente figura halle el valor de x
a
60-u
a
x
u
2u
26. En la siguiente figura halle el valor de v
v
2u
60
u
-u
27. En la siguiente figura halle el valor de Y en términos de u.
90+u
a
a
u
u
28. En la siguiente figura halle el valor de u
Y
3u
7u
a
4u
a
29. En la siguiente figura halle el valor de x
4x
2x x
1.2.
Segunda parte
1. Demuestra que cada punto de la bisectriz de un ángulo está a la misma distancia de cada uno de
los lados del ángulo.
2. Demuestra que las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un mismo punto.
3. Demuestra que las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un solo punto.
4. Demuestra que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo equidista de los tres
vértices del triángulo.
5. Demuestra que las tres alturas de un triángulo se cortan en un mismo punto.
6. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de las
longitudes de la hipotenusa y la proyección ortogonal de dicho cateto respecto a la hipotenusa. En
el triángulo rectángulo ABC, c2 = bm, a2 = bn.
1.10.
Relaciones métricas en el triángulo rectángulo
En el triángulo rectángulo ABC recto en B, figura 1.16, se dan importantes resultados.
B
a
v
c
h
A
m
n
H
v
C
b
Figura 2: Relaciones métricas en un triángulo rectángulo
Figura 1.16: Relaciones métricas en un triángulo rectángulo
7. En el triángulo rectángulo ABC, b2 = a2 + c2 .
Teorema
1.14. rectángulo,
En todo triángulo
rectángulo,
el cuadrado
de de
la longitud
de un
igual
8. En todo
triángulo
el producto
de las
longitudes
sus catetos
es cateto
igual es
al producto
de
al producto de
longitudes deylalahipotenusa
y la proyección
ortogonal de En
dicho
respecto
las longitudes
de las
la hipotenusa
altura relativa
a dicha hipotenusa.
el cateto
triángulo
rectángulo
ABC,
2, ca En
= bh.
a lafigura
hipotenusa.
el triángulo rectángulo ABC, c2 = bm, a2 = bn.
Por semejanza
de losla
triángulos
∼ ∆AHB
9. En Prueba.
todo triángulo
rectángulo,
inversa ∆ABC
del cuadrado
de la longitud de la altura relativa a la
hipotenusa es igual a la sumac de las
inversas
de
los
cuadrados
de las longitudes de sus catetos. En
m
a
n
=
⇒ c2 = bm,
= ⇒ a2 = bn
c 2,
b
a
el triángulo rectángulo ABC,b figura
Teorema 1.15 (Teorema de Pitágoras).1 En el1 triángulo
rectángulo ABC, b2 = a2 + c2 .
1
h2
Prueba. Del teorema 1.14,
=
c2
+
a2
10. En un triángulo rectánguloc2ABC
en ⇒
B),a2la+ mediatriz
= bm,(recto
a2 = bn
c2 = b(m +de
n) AC
= b2 intersecta a BC y a AC en los
puntos E y D respectivamente. Si se cumple que AC = 20 y AB = 12, calcule el área de la región
ABED.
Teorema 1.16. En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa
es igual al producto de las longitudes de las proyecciones ortogonales de los catetos respecto de
11. En un
triángulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AM y CN, las cuales se intersectan en I.
2
dicha
EnIM
el triángulo
Si AB
6= hipotenusa.
BC y N I =
, calcule rectángulo
m^ABC.ABC, figura 1.16, h = mn.
Prueba. Por semejanza de los triángulos ∆AHB ∼ ∆BHC
12. En un triángulo ABC de ortocentro H, m^BAC = 70◦ . En la región exterior y relativa al lado
h m^HBC.
m
AC se ubica el punto P. Si m^HP C =
Calcule
m^AP H.
=
⇒ h2 =
mn
n
h
13. En Teorema
un triángulo
ABC isósceles de base AC, se ubica el punto P en la región interior, tal que
1.17. En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus catetos es
m^BCP = 20◦ , m^P CA = 50◦ y m^AP C = 100◦ . Calcule m^AOP si O es circuncentro del
igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa. En el
triángulo ABP.
triángulo rectángulo ABC, figura 1.16, ca = bh.
14. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior AM , luego se ubican los puntos L y N en AM y
AC respectivamente, M N ∩ LC = {T }, tal que17m]ABM = m]AM N , BM = N C, AB = M C,
m]M LC = m]M T L. Indique que punto notable es L para el triángulo ABC.
15. En un triángulo isósceles ABC de base AC se traza la ceviana interior AM, tal que MC=2(MB),
en AM se ubica el punto L, tal que m]BLC = 90◦ , calcule m]LBC, si m]M AC = 42◦ .
Referencias
[1] MOISE-DOWNS: Geometría Moderna. ADISSON WESLESY IBEROAMERICANA Única Edición;
1966.
[2] Osvaldo Dolce-José Nicolau Pompeo: Fundamentos de matemática elementar 9 GEOMETRÍA PLANA. ATUAL EDITORA. 7a edición
[3] Araujo, José: Area y Volumen en la geometría elemental. Red Olímpica Argentina; 2000.