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1
POSTULADO 2: ( DE LA DISTANCIA)
I
CONCEPTOS Y CONJUNTOS
FUNDAMENTALES
PUNTO Elemento fundamental, que
representamos con una marca de lápiz en el
papel, o con la tiza en la pizarra. Mientras más
pequeña sea esta marca, mejor será dicha
representación.
Junto a esta marca escribimos una letra
mayúscula, a fin de nombrar el punto, así:
●
●
●
A
B
C
Se lee: “punto A”; “punto B”; “punto C”
O así:
●
●
●
A’
A1
B’
Se lee: “punto A’ (A prima); “punto A1
(A sub uno); “punto B’ (B prima); etc.
RECTA Conjunto infinito de puntos .La
representamos así:
●
A
●
B
Se denota:
AB , Se lee: “recta AB”.
También podemos escribir en un extremo de la
representación una letra latina o griega, y
nombrarla con una sola letra, así:
£
£ Se lee: "Recta £"
PLANO Conjunto infinito de rectas. Lo
representamos así:
Π
Cualquier letra mayúscula o griega se usa para
nombrar un plano. El plano anterior se lee
“plano Π”.
ESPACIO Es el conjunto de: todos los planos,
todas las rectas, TODOS LOS PUNTOS.
POSTULADO 1
Existen infinitos puntos
Existen infinitas rectas
Existen infinitos planos
Es decir:
En una recta existen infinitos puntos.
En un plano existen infinitas rectas.
En el espacio existen infinitos planos.
A cada par de puntos diferentes corresponde un
número positivo único.
POSTULADO 3: (DE LA REGLA)
Podemos establecer una correspondencia entre
los puntos de una recta y los números reales de
manera que:
- A cada punto de la recta le corresponde
exactamente un número real.
- A cada número real le corresponde
exactamente un punto de la recta.
- La DIASTANCIA entre dos puntos
cualesquiera es el valor absoluto de la
diferencia de sus números correspondientes.
- La distancia entre dos puntos cualesquiera es
ÚNICA.
POSTULADO 4: (DE LA COLOCACIÓN DE
LA REGLA)
Dados dos puntos A y B de una recta, se puede
escoger un sistema de coordenadas de tal
manera que la coordenada de A sea cero y la
coordenada de B sea positiva.
Definición.- Si tomamos dos puntos A y B de
una recta. La distancia entre ellos la indicamos
con AB. Además A puede ser igual a B, es decir
pueden ser el nombre del mismo punto (A = B).
En este caso, AB = 0.
Como la distancia se define en valor absoluto,
AB = BA.
Definición.- Una correspondencia como la
indicada en el postulado 2, se llama SISTEMA
DE COORDENADAS. El número
correspondiente a un punto se llama
COORDENADA de él.
En la siguiente figura tenemos:
A B
C
D
E
● ●
●
●
●
x -3
0
2
y
La coordenada de B es -3; la coordenada de C
es 0: la coordenada de D es 2; la coordenada de
A es x; la coordenada de E es y.
La distancia de B a D es: BD = DB = │─3
─2│ = 5
La distancia de A a E es: AE = EA = │x ─ y│=
│y ─│
2
Definición.- El punto B está ENTRE A y C, si:
1) A, B y C pertenecen a la misma recta.
2) AB + BC = AC
POSTULADO 5: (DE LA RECTA)
EJEMPLOS
Dados dos puntos A y B distintos, existe una y
sólo una recta que contiene a ambos.
●
●
A
B
Definición.- Dados dos puntos cualesquiera A y
B, el “SEGMENTO AB”, es el conjunto de los
puntos A, B, y todos los puntos que están entre
A y B. Se denota con AB . Los puntos A y B se
llaman EXTREMOS de AB.
Definición.- Para AB , el número AB es su
LONGITUD.
Definición.- Dados los puntos A y B de una
recta. El RAYO AB es el conjunto de los
puntos que consiste en la reunión de:
1) AB
2) El conjunto de todos los puntos C de la recta,
para los cuales B está ENTRE A y C.
El punto A se llama ORIGEN de AB .
Definición.- Si M está entre A y D, MA y MD
se llaman RAYOS OPUESTOS.
Observación.- Dados P y Q de una recta.
Determinan por lo menos SEIS conjuntos de
puntos y un número:
Como observaremos en la figura los conjuntos
son:
Recta AB ; segmento AB ; rayo AB ; rayo
opuesto a AB ; rayo BA ; rayo opuesto a BA ; y
el número que determina la distancia de A a B,
AB = BA.
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
Definición.- Un punto M se llama PUNTO
MEDIO de un segmento PQ , si M está ENTRE
PyQy
PM = MQ.
Todo segmento tiene un solo punto medio.
El punto medio BISECA al segmento.
1) Hallar la distancia entre los pares de puntos,
cuyas coordenadas son:
5
3
a) 9 y 6 b)
y
c) w y z d) 11n y 4n
5
4
e) 7,45 y  9,18
Solución
a) AB = 9  6
=
3 =3
b) MN =
3 5
12  25 37 37
 


5 4
20
20
20
c) PQ =
w z  z  w
d) TR =
11n  4n  7n
e) DF =
7, 45  (9,18)  7, 45  9,18  16,63  16,63
2) A, B y C son tres puntos de una recta. A y B
están a 3 centímetros de distancia y B y C están
a 5 centímetros de distancia. ¿De cuántas
maneras será posible disponer los tres puntos?
Solución
A 3cm B
B
3cm
5cm
C
A 2cm C
Se pueden disponer de DOS maneras.
3) B y C son tres puntos de una recta.
AC = BC = 5. La coordenada de C es 8 y la
coordenada de A es mayor que la de B. ¿Cuáles
son las coordenadas de A y B?
AB
Solución
AB
AB
BA
B
C
A
3
8
13
4) G, H y K son tres puntos de una recta.
¿Cuántos de los siguientes enunciados pueden
ser ciertos?
a) K está entre G y H, y H está entre G y K.
b) H está entre K y G, y H está entre G y K.
c) G está entre H y K, y K está entre G y H
d) K está entre H y G, y G está entre K y H.
e) G está entre K y H, y G está entre H y K.
3
Solución
a)
G
K
H
b)
c)
G
H
K
H
G
K
H
K
G
K
G
H
NO
SI
NO
d)
NO
e)
SI
Hay DOS enunciados que pueden ser ciertos.
5. Si RS y RT son rayos opuestos. ¿Cuál de
los puntos R, S y T está entre los otros dos?
8) Sobre una recta se toman los puntos A; B; C
y D, consecutivamente de modo que:
AB AD

, ¿Cuál de las siguientes relaciones
BC CD
2
es igual a
?
AC
1
2
2
3
a)
b)


AB AD
AB AD
3
4
1
1
c)
d)


AB AD
AB AD
1
3
e)

AB AD
Solución
A
Solución
Para que RS sea opuesto a RT , deben estar
dispuestos sobre la recta así:
S
R
T
6. ¿Cuál es la intersección de CD y DC ?
Solución
Graficamos una recta y en ella tomamos los
puntos C y D, así:
CD
DC
C
D
C
D
C
D
C
D
B
AB.AD  AB.AC = AD.AC  AD.AB 
2AB.AD = AC.AD + AB.AC
Dividimos a tota la igualdad de la derecha entre
AB.AD.AC, así:
2 AB. AD
AC. AD
AB. AC


AB. AD. AC AB. AD. AC AB. AD. AC
2
1
1


 Rpta: d)
AC AB AD
9) Sobre una recta se toman los puntos A, B, C,
D, E y F, de modo que:
AC + BD + CE + DF = 39.
Y
5
AF Hallar AF.
8
BE 
7) A, B y C son tres puntos de una recta. La
coordenada de A es 0 y la coordenada de C es
Solución
AC . ¿Cuál es la
Solución
Sea x la coordenada de B, entonces:
AB =
D
En la figura: BC = AC  AB
y
CD = AD  AC
AB
AD

En el dato:
, Luego:
AC  AB AD  AC
AB(AD  AC) = AD(AC  AB)
CD  DC  CD
 6. Si B es punto medio de
coordenada de B?
C
0  x ; BC = x  (6) = x  6
Por condición del problema, AB = BC, por lo
que utilizamos una propiedad del valor absoluto,
así:
0  x = x + 6  0  x =  (x + 6)
x = x + 6
 x =  x  6 (absurdo)
 2x = 6
x = 3
Por tanto, la coordenada de B es  3
A
B
C
D
E
F
AC + BD + CE + DF = 39  AB + BC + BC
+ CD + CD + DE + DE + EF = 39
Como: AB + BC + CD + DE + EF = AF y BC
+ CD + DE = BE; tenemos:
AF + BE = 39 Y teniendo además, por dato:
5
BE = AF
8
5
AF + AF = 39
8
8AF +5AF = 39.8
39.8
13AF = 39.8
AF =
= 24
13
4
10) Sobre una recta se toman los puntos A0, A1,
A2, A3, …, An , de modo que:
1
A0A1 = 11m; A1A2 = 1m; A2A3 =
m , y así
11
sucesivamente.
Calcular: A0An.
4. Si A, B y C Son tres puntos de una
circunferencia, ¿puede decirse qué punto está
entre los otros dos? ¿Por qué?
5. A, B y C son tres puntos que NO están en una
recta. Cuántas rectas determinan?
6. ¿Cuál es la intersección de CD y DC ?
Solución
A0
A1
A3
A2
|
|

. . . An
|
|
x
A0A1 = 11 En la figura:
A1A2 = 1
A2A3 = 1/11 = 0,0
A3A4 = 1/121 = 0,008
A4A5 = 1/1321 = 0,0007
An-1ªn = 0
1
1
x = 11 + 1 +
+
+…+0
11 121
Multiplicando ambos miembros por 11
11x = 121 + 11 + 1 + 1/11 + 1/121 + … + 0
11x = 121 + 0
10x = 121
x = 12.1m
1. Halla la distancia entre los pares de puntos,
que tienen las siguientes coordenadas.
 8 c)
e) x e y f) 2a y
0,97i) 2n y  6n
 2a
2 1
y
d) 2 y 5
3
5
g) 0 y a h) 11 y
j) 0,67 y 7,3
2. Completa correctamente: Según el postulado
2, si hay infinitos números reales podemos
concluir que hay………………… puntos en una
recta.
3. Se asignan tres sistemas distintos de
coordenadas a la misma recta. A tres puntos
fijos A; B y C de la recta se le asignan las
siguientes coordenadas:
En el sistema I, la coordenada de A es
de B es  2.
8. Si la distancia de A a B, medida en
centímetros es, es k, ¿cuál será la distancia AB
en metros?
9. Sobre una recta se consideran los puntos
consecutivos A, B y C. Si AB = 8 cm y
BC = 12 cm. Hallar AC.
a) 10 cm b) 20 cm c) 15 cm d) 30 cm e) 5 cm
10. En una recta se ubican los puntos A, B, C y
D, de modo que AB = 2 BC , CD = 3BC
y BC = 1. Calcular AD.
a) 7
b) 5
c) 8
d) 4
e) 6
II
EJERCICIO 01
a) 0 y 8 b) 0 y
7. A, B y C son tres puntos de una recta. Las
coordenadas de A y B son  2 y 8 ,
respectivamente. Si C biseca a AB . ¿Cuál es la
coordenada de C?
 6 y la
En el sistema II, La coordenada de A es
de C es  3.
RECTAS, PLANOS,
ESPACIO Y SEPARACIÓN
Definición.- Los puntos de un conjunto están
ALINEADOS o son COLINEALES, si hay una
recta que los contiene a todos.
Definición.- Los puntos de un conjunto son
COPLANARIOS, si hay un plano que los
contiene a todos.
POSTULADO 6
-Todo plano contiene al menos TRES PUNTOS
no alineados.
- El espacio contiene al menos CUATRO
PUNTOS no coplanarios.
TEOREMA II-1.- Si dos rectas diferentes se
intersecan, su intersección contiene un solo
punto.
L
 4 y la
En el sistema III, las coordenadas de C y B son
7 y 4, respectivamente.
a) ¿Qué punto está entre los otros dos?
b) Hallar AB + AC + BC
P
K
Definición.- Las rectas del Teorema II-1, se
llaman RECTAS SECANTES.
5
POSTULADO 7
Si dos puntos de una recta están contenidos en
un plano, toda la recta está contenida en el
plano.
TEOREMA II-2.- Si una recta interseca a un
plano que no la contiene, entonces la
intersección contiene un solo punto.
Conjuntos no convexos
P
Q
A
P
F
B
G
Q
P

POSTULADO 10: (POSTULADO DE LA
SEPARACIÓN DEL PLANO)
POSTULADO 8
TRES puntos CUALESQUIERA están en un
plano, y tres puntos cualesquiera NO
ALINEADOS están exactamente en un plano.
TEOREMA II-3.- Dada una recta y un punto
fuera de ella, hay exactamente un plano que
contiene a ambos.

L
P
TEOREMA II-4.-Dadas dos rectas diferentes
que se intersecan, hay exactamente un plano
que contiene a ambas.
L2
P
S
L1
Si se da una recta y un plano que la contiene.
Los puntos del plano que no están en la recta
forman dos conjuntos tales que:
1) Cada uno de los conjuntos es CONVEXO.
2) Si P está en uno de los conjuntos y Q está en
el otro, entonces el segmento PQ interseca a la
recta.
Definición.- Dada una recta L y un plano 
que la contiene, los dos conjuntos determinados
por el postulado de la separación del plano, se
llaman SEMIPLANOS o LADOS de L, y L se
llama ARISTA o BORDE de cada uno de ellos.
Si P está en uno de los semiplanos y Q en el
otro, decimos que P y Q están en LADOS
OPUESTOS de L.
Q
En la siguiente figura, H1 y H2 son los
semiplanos generados por la recta L .
POSTULADO 9
Si dos planos se intersecan, su intersección es
exactamente una recta.
L
N
A
I
Definición.- Un conjunto A se llama
CONVEXO, si para cada par de puntos P y Q
del conjunto, el segmento PQ está contenido
en A.
S
R
Q
M
S
Los puntos del espacio que no están en un plano
dado, forman dos conjuntos tales que:
P
1) Cada uno de los conjuntos es CONVEXO.
Q
M
B
POSTULADO 11: (POSTULADO DE LA
SEPARACIÓN DEL ESPACIO)
Conjuntos convexos
P
H1
H2
R
P
N
R
Q P
2) Si P está en uno de los conjuntos y Q está en
el otro, entonces el segmento PQ interseca al
plano.
6
Definición.- Los dos conjuntos determinados
por el postulado de la separación del espacio se
llaman SEMIESPACIOS, y el plano dado se
llama CARA de cada uno de ellos.
En la figura, S1 y S2 son los semiespacios
generados por el plano  .
P
S1
B
A
P
R
N
Q
a) Si están ALINEADOS, existe UNA SOLA
recta que los contiene.
4) En un piso liso, a veces cojeará una mesa de
cuatro patas, mientras que una mesa de tres
patas siempre estará firme. ¿Por qué?
Solución
Como las tres patas de una mesa de TRES,
nunca están alineadas, determinan un SOLO
PLANO.
En la figura:
P
En este caso se dan dos posibilidades:
S2
Definición.- Sea un punto P de una recta. Los
puntos de la recta diferentes de P determinan
dos conjuntos CONVEXOS, llamados
SEMIRRECTAS.
A
Solución
b) Si NO ESTÁN ALINEADOS, a cada par
contiene una sola recta. Es decir, quedan
determinadas TRES rectas.

M
3) ¿Cuántas rectas pueden contener a tres puntos
dados cualesquiera?
B
Los rayos PA y PB que no contienen al punto
P, se llaman respectivamente,
Semirrecta PA y semirrecta PB .
Debemos tener en cuenta que:
PA  PB  P  AB  AP  BP
EJEMPLOS
Cada tres patas de la mesa de CUATRO,
determinan un solo plano; pero los CUATRO
PLANOS así determinados no siempre
coinciden.
5) Completa con las expresiones correctas:
a) Dos rectas diferentes pueden intersecarse
en………………….y dos planos diferentes
pueden intersecarse en…………………………
Solución
1) ¿Cuántas rectas pueden contener un punto
dado?
UN SÓLO PUNTO: UNA SOLA RECTA.
b) La intersección de dos semirrectas opuestas
es……………………
Solución
Solución
Dos rectas diferentes que se intersecan, lo hacen
en un solo punto. Cualquiera de ellas puede
intersecarse con infinitas rectas en el mismo
punto. Lo que nos autoriza a afirmar que
INFINITAS rectas se pueden intersecar en un
punto dado.
Como ninguna de las semirrectas contiene a su
punto EXTREMO, la intersección es VACÍA.
2) ¿Cuántas rectas pueden contener dos puntos
dados?
Solución
Solución
PROFESOR MIGUEL AGIP
MEGO
El postulado 3 indica que a dos puntos dados
contiene UNA SOLA recta.
6) ¿Cuál es el mayor número de conjuntos en
que tres planos diferentes pueden separar al
espacio? ¿Y el menor número?
Mayor número = 8; cuando no son paralelos,
dos a dos.
Menor número = 4; cuando los tres son
paralelos.
7
EJERCICIO 02
III
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS
1. Datos: P y Q son puntos distintos. La recta L
contiene a P y Q. La recta M contiene a P y Q.
¿Qué podemos asegurar de L y M ?
2. Indicar cuantas rectas pueden dibujarse
pasando por cada par de puntos de los distintos
entre sí, A, B, C y D, si:
a) A, B y C están alineados.
b) Cada tres puntos no están alineados.
3. Si la recta L y el plano  tienen los puntos
comunes A y B, ¿que puede concluirse acerca
de la recta y el plano indicados?
Definición.- Si dos rayos tienen el mismo
extremo, entonces su reunión es un ÁNGULO.
Los dos rayos se llaman LADOS del ángulo, y
el extremo común se llama VÉRTICE.
Si los rayos son AB y AE , entonces el ángulo
se indica así:
 BAE, que se lee:”ángulo BAE”; o también
 CAB, que se lee: “ángulo CAE”.
B
A
4. Escribir V si es verdadero y F si es falso:
C
D
a) Una recta es un conjunto convexo ( )
E
b) Un conjunto que contiene sólo dos puntos es
convexo ( )
El único ángulo de la figura, se puede nombrar
de las siguientes maneras:
c) Si le quitamos un punto a una recta sigue
siendo conjunto convexo ( )
 BAD;  DAB;  CAE;  EAC;  BAE;
 EAB;  CAD;  DAC
N
M
d) Un punto separa a un plano ( )
1
a
e) Un punto separa al espacio ( )
T
f) Un punto separa a una recta ( )
Los tresSángulos, podemos nombrarlos así:
g) Un rayo separa a un plano ( )
El ángulo mayor;
h) Tres rectas cualesquiera de un plano lo
separan en tres regiones ( )
i) Tres rectas cualesquiera de un plano lo separa
en cuatro regiones ( )
j) Tres rectas cualesquiera de un plano lo
separan en cinco regiones ( )
k) Tres rectas cualesquiera de un plano lo
separan en seis regiones ( )
 SMN ó  NMS.
El ángulo menor izquierdo;
 SMT.
El ángulo menor derecho;
 NMT.
 1 ó  TMS ó
 a ó  TMN ó
NOTA: Los lados de un ángulo son RAYOS y
no segmentos. La siguiente figura de la
izquierda no es un ángulo; pero DETERMINA
un ángulo, como el de la derecha:
A
l) Tres rectas cualesquiera de un plano lo
separan en siete regiones ( )
C
PROFESOR MIGUEL AGIP
MEGO
B
A
C
B
8
Definición.- Dado el  BAC en el plano E del
papel. Un punto P está en el INTERIOR del
ángulo, si:
1) P y B están del mismo lado de la recta
AC .
2) P y C están del mismo lado de la recta
MEDIDA ANGULAR
Los segmentos los medimos con una regla, los
ángulos los medimos con el GONIÓMETRO,
conocido comúnmente como
TRANSPORTADOR.
En la siguiente figura, mostramos cómo se
miden los ángulos con dicho instrumento.
AB .
El EXTERIOR del  BAC es el conjunto de
todos los puntos del plano E que no están en el
ángulo y tampoco en su interior.
F
G
120º
60º
H
150º
E
90º
90º
60º
30º
30º
B
Exterior
150º
180º 0º
B
Interior
A
Exterior
D
120º
A
180º 0º
C
C
Exterior
SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS
SISTEMA SEXAGESIMAL
Definición.- Si A, B y C son tres puntos
cualesquiera no alineados, de un plano E,
entonces la reunión de los segmentos
UNIDAD: Grado sexagesimal (1º). ÁNGULO
igual a la 360 ava parte del ángulo de una
vuelta (observar el goniómetro).
AB, ACyBC se llama TRIÁNGULO, y se
indica con  ABC.
OBSERVACIÓN: El ángulo de una vuelta
mide 360º.
Los puntos A, B y C se llaman VÉRTICES, y
los segmentos AB, ACyBC se llaman
LADOS.
SUBMÚLTIPLOS DEL GRADO
SEXAGESIMAL:
Minuto sexagesimal (1’)
Segundo sexagesimal (1”)
Todo triángulo ABC determina tres ángulos:
 BAC;  ABC y
 ACB. Son los ÁNGULOS DEL  ABC.
1º = 60’
1’ = 60” ; es decir, 1º = 3600”
Si no hay lugar a confusión, los ángulos de un
triángulo lo podemos nombrar con una sola
letra.
B
 A, en el
triángulo
SISTEMA CENTESIMAL
A
C
Definición.- Un punto P está en el INTERIOR
de un triángulo, si está en el interior de cada uno
de los ángulos del triángulo. Un punto Q está en
el EXTERIOR de un triángulo, si está en el
plano del triángulo, pero no está en el triángulo
y tampoco en su interior.
A
Exterior
Exterior
Interior
B
C
Exterior
UNIDAD: Grado centesimal (1g). ÁNGULO
igual a la 400 ava parte del ángulo de una
vuelta.
OBSERVACIÓN: El ángulo de una vuelta
mide 400g.
SUBMÚLTIPLOS DEL GRADO
CENTESIMAL:
Minuto centesimal (1m)
Segundo centesimal (1s)
1g = 100m
1m = 100s ; es decir, 1g = 10 000s
POSTULADO 12: (DE LA MEDIDA DE LOS
ÁNGULOS)
A cada ángulo le corresponde un número real
entre 0 º y 180 º y viceversa.
9
Definición.- El número dado por el
postulado12, es la medida del ángulo. Se
representa así: m ∡ .
Definición.- Si los ángulos de un par lineal
tienen igual medida, entonces cada uno de ellos
se llama ÁNGULO RECTO.
Entonces, por el postulado 12:
C
B
F
60º
45º
30º
E
A
rº
D
rº
r + r = 180º; y la medida de un ángulo recto es 90º
En la figura anterior: m ∡ CAD = 90º
m ∡ CAF = 60º m ∡ FAD = 30º
m ∡ BAE = 45º m ∡ BAD = 135º
POSTULADO 13(DE LA ADICIÓN DE
ÁNGULOS)
Si un punto D está en el interior del ∡ BAC,
entonces
m ∡ BAC = m ∡ BAD + m ∡DAC
C
D
A
B
Definición.- Si AB y AC forman un ángulo
recto, entonces son RAYOS
PERPENDICULARES, y escribimos: AB 
AC .
Notación que usaremos, también, para las rectas
y los segmentos determinados por dichos rayos:
AB   AC ; AB  AC .
Definición.- Si la suma de las medidas de dos
ángulos es 90, entonces los ángulos se llaman
COMPLEMENTARIOS, y cada uno de ellos es
el COMPLEMENTO DEL OTRO.
También, un ángulo cuya medida es menor que
90 se llama AGUDO. Y un ángulo cuya medida
es mayor de 90, se llama OBTUSO.
Definición.- Si AB y AD son rayos opuestos,
y
AC es otro rayo cualesquiera, entonces
∡ BAC y ∡ CAD formal un PAR LINEAL.
Definición.- Si la suma de las medidas de dos
ángulos es 180, entonces decimos que los
ángulos son SUPLEMENTARIOS y que cada
ángulo es el SUPLEMENTO DEL OTRO.
Definición.- Dos ángulos que tienen igual
medida se llaman CONGRUENTES.
C
rº
S
A
C
rº
B
A
D
M
N
Como m  BAC = m  SMN, entonces los
ángulos son CONGRUENTES y escribimos
 BAC   SMN
sº
rº
rº = m  CAD; sº = m
 CAB
POSTULADO 14: (DEL SUPLEMENTO)
Si dos ángulos forman un par lineal, entonces
son suplementarios.
PROFESOR MIGUEL AGIP
MEGO
El símbolo  se lee “congruente”
La igualdad m  BAC = m  SMN y la
expresión  BAC   SMN, son equivalentes.
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
10
Definición.- Si el punto D está en el interior del
 BAC, y  BAD   DAC, entonces AD
BISECA al  BAC, y AD se llama
BISECTRIZ del  BAC.
Ángulos adyacentes: Tienen un lado común.
A
m  BAD = m  DAC
D
B
 ABC y  CBD son adyacentes.
Ángulos consecutivos: Son adyacentes dos a
dos.
B
A
C
—
D
—
C
B
D
C
E
F
CLASE DE ÁNGULOS
A
 EFD,  DFC,  CFB,
 BFA,  AFE; son consecutivos.
Ángulos opuestos por el vértice: Son
determinados por la intersección de dos rectas
diferentes. Sus lados forman dos pares de rayos
opuestos, así:
POR SU MEDIDA:
Convexos:
Ángulo agudo.
Ángulo recto.
Ángulo obtuso.
Ángulo llano:
Ángulo formado por dos
rayos opuestos, y su medida es 180º.
sº
C
M
A
A
rº
B
D
rº
sº
mAMB = 180º
B
Ángulo no convexo (Cóncavo o entrante): Su
medida está comprendida entre 180 y 360. En la
siguiente figura se muestran ángulos entrantes.
Son ángulos entrantes:  CAB;  TNM; 
SNM; etc.
N
B
T
M
S
Ángulo de una vuelta: En un ángulo entrante,
que completa una vuelta. Su medida es 360º.
A
B
C
m  CAB = 360º
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MEGO
y  DCE son opuestos por el vértice.
 BCE y  ACD son opuestos por el vértice.
Definición.- Dos ángulos apuestos por el vértice
son CONGRUENTES.
Definición.- Sea ABC  DEF una
correspondencia entre los vértices de los
triángulos  ABC y  DEF. Si los pares de
lados correspondientes son congruentes y los
pares de ángulos correspondientes son
congruentes; entonces la correspondencia ABC
 DEF se llama CONGRUENCIA entre los
triángulos, y escribimos:
 ABC   DEF.
Cuando escribimos la expresión anterior,
decimos a la vez SEIS cosas:
AB  DE ó AB = DE
AC  DF ó AC = DF
BC  EF ó BC = EF
POR SU POSICIÓN:

ACB
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
C
A
E
AD ómA=mD
11
BE ómB=mD
CF ómC=mF
Definición.- Un lado de un triángulo se dice que
está COMPRENDIDO entre los dos ángulos
cuyos vértices son extremos del segmento.
Un ángulo de un triángulo se dice que está
COMPRENDIDO entre los lados de un
triángulo, si está determinado por dichos lados.
CLASES DE TRIÁNGULOS
POSTULADOS DE CONGRUENCIA DE
TRIÁNGULOS
TRIÁNGULO ESCALENO.- Sus tres lados
son diferentes dos a dos.
POSTULADO 15:(POSTULADO LAL)
TRIÁNGULO ISÓSCELES.- Tiene dos lados
congruentes. El otro lado es la BASE. Los
ángulos opuestos a los lados congruentes, son
congruentes, y se llaman ÁNGULOS DE LA
BASE. El ángulo opuesto a la base se llama
ÁNGULO EN EL VÉRTICE.
Toda correspondencia LAL es una congruencia.
B
POR SUS LADOS:
—
—
A
‫׀׀‬
TRIÁNGULO EQUILÁTERO.- Tiene sus
tres lados congruentes. Sus tres ángulos también
son congruentes, es decir, también es
EQUIÁNGULO.
C
E
POR SUS ÁNGULOS.
—
—
D
‫׀׀‬
TRIÁNGULO ACUTÁNGULO.- Tiene sus
tres ángulos agudos.
F
POSTULADO 16: (POSTULADO ALA)
ACUTÁNGULO

 
Toda correspondencia ALA es una congruencia.
C
‫׀׀‬
‫׀׀‬
A
‫׀׀‬
E
ISÓSCELES
ESCALENO

E
B
‫׀׀‬
D
 
EQUILÁTERo

O
/
//
‫ ׀׀‬F
TRIÁNGULO RECTÁNGULO.- Tiene un
ángulo recto. El lado opuesto al ángulo recto se
llama HIPOTENUSA, los otros dos lados se
llaman CATETOS.
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MEGO
POSTULADO 17 : (POSTULADO LLL)
Toda correspondencia LLL es una congruencia.
E
‫׀׀‬
D
OBTUSÁNGULO
B
—
—
≡
≡
F
A
RECTÁNGULO
TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO.- Tiene un
ángulo obtuso.
‫׀׀‬
C
LÍNEAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO
12
MEDIANA.- Segmento que une un vértice del
triángulo con el punto medio del lado opuesto.
Las tres medianas de cada triángulo se
intersecan en un punto llamado BARICENTRO.
ORTOCENTRO
Este punto es el centro de gravedad del
triángulo, y tiene la propiedad de dividir a cada
mediana en la relación de 2 a 1.
CEVIANA.- Segmento que une un vértice con
cualquier punto del lado opuesto, a excepción
de sus extremos.
BARICENTRO
ORTOCENTRO
BISECTRIZ INTERNA.- Un SEGMENTO es
BISECTRIZ INTERIOR de un ángulo de un
triángulo, si:
1) Está en el rayo que biseca al ángulo.
2) Sus extremos son, el vértice de ese.
El punto de intersección de las bisectrices
interiores de un triángulo se llama INCENTRO,
y equidista de los lados; además es el centro de
la circunferencia inscrita en el triángulo.
INCENTRO
INCENTRO

BISECTRIZ EXTERNA.- Un RAYO es una
BISECTRIZ EXTERNA del ángulo externo de
un triángulo, si biseca a dicho ángulo.
La intersección de las bisectrices de dos ángulos
externos, con la bisectriz interna del tercer
ángulo, se llama EXENTRO; y siempre es un
punto exterior del triángulo.
ALTURA.- Es el segmento perpendicular desde
un vértice del triángulo a la recta que contiene al
lado opuesto.
El punto de concurrencia de las tres alturas de
un triángulo se llama ORTOCENTRO.
Para un triángulo acutángulo, el triángulo que se
forma al unir los pies de las alturas, se
denomina TRIÁNGULO ÓRTICO O PEDAL,
del triángulo dado. Las alturas del triángulo
mayor son bisectrices de los ángulos del pedal.
MEDIATRIZ.- Es la recta perpendicular en el
punto medio de cada lado de un triángulo.
El punto de concurrencia de las mediatrices se
llama CIRCUNCENTRO, y equidista de los
vértices del triángulo.
El circuncentro es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
CIRCUNCENTRO
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MEGO
ÁNGULOS DETERMINADOS POR
LÍNEAS NOTABLES
I.- ÁNGULO FORMADO POR DOS
BISECTRICES INTERIORES
EXCENTRO
13
Su medida es igual a 90 más la mitad de la
medida del tercer ángulo interior.
B

EJEMPLOS

2
x = 90 +
1) Completar la siguiente definición:
Un ángulo es la………………… de
dos…………… que tienen el
mismo……………, pero no están en la
misma…………………
x
A
C
Solución
II- ÁNGULO FORMADO POR UNA
BISECTRIZ INTERIOR Y UNA
EXTERIOR
Su medida es igual a la mitad del tercer ángulo
interior.
UNIÓN: RAYOS: ORIGEN: RECTA.
2) En la figura, los puntos A, B y C están
alineados. Nombrar cinco ángulos.
R
B

x
x
A
C

S
C
III.- ÁNGULO FORMADO POR DOS
BISECTRICES EXTERIORES
Su medida es igual a 90 menos la mitad de la
medida del tercer ángulo interior.
x  90 
2 B
B
D
x
A

Su medida es igual a la semidiferencia de las
medidas de los ángulos interiores restantes del
triángulo.
A
x
 
2
;

x
 ABC;  ACE;  ABE;  BCE;
 ABD;  DCE;  BDC;  ADE
4) Determinar la medida del complemento del
ángulo cuya medida es:
a) 80º b) 23º 30’c) nº
d) nº + kºe) 90 – nº
Solución
90º
a)
80º
10º

A
V.- ÁNGULO FORMADO POR DOS
ALTURAS
Su medida es igual 180º menos la medida del
ángulo del triángulo, del que no se traza altura.
x  180º 
x
C
b)
89º 60'
23º 30'
66º 30'
c)90º  nº
d)
90º  ( nº + kº) = 90º  nº  kº
e) 90º  ( 90º  nº) = 90º  90º + nº = nº
5) Dos veces la medida de un ángulo es 30º
menos que 5 veces la medida de su suplemento.
¿Cuál es la medida del ángulo?
Solución
B

E
Solución
IV.- ÁNGULO FORMADO POR UNA
ALTURA Y UNA BISECTRIZ INTERIOR
REFERIDAS A UN MISMO LADO
A
3) Nombrar todos los triángulos de la siguiente
figura:
C
C

Solución
 ABR;  RBC;  CBS
 ABS;  RBS

A
A
B
A
2
14
Medida del ángulo = x
5x  2x = 30º
3x = 30º; x = 10º
RPTA: La medida del ángulo es 10º.
6) Calcular el complemento del suplemento del
suplemento del complemento del suplemento de
un ángulo cuya medida es 124º.
Solución
Si observamos bien la redacción del enunciado
del problema, nos damos cuenta que tenemos
que empezar a calcular desde el último
suplemento, hacia delante, así:
(1) suplemento de 124º  180º  124º = 56º
(2) complemento de 56º  90º  56º = 34º
(3) suplemento de 34º  180º  34º = 146º
(4) suplemento de 146º  180º  146º = 34º
(5) complemento de 34º  90º  34º = 50º ®
6) Adición de ángulos
7) m  AGB + m  EGC + 90º = 180º
7) Sustitución de la afirmación 6 en la 3.
8) m  AGB + m  EGC = 90º
8) Reducción en 7
9)  AGB es complemento de  EGC
9) Def. de s complementarios en 8
9) Si el ángulo A mide 36º, ¿cuál es el valor del
ángulo que forman las bisectrices de los ángulos
exteriores B y C del triángulo ABC?
Solución
Construimos un gráfico, según las condiciones
del problema:
B
A
36º
x
C
mA
2
7) ¿Cuál es la medida de un ángulo, si se sabe
que la medida de su suplemento es 39º más que
dos veces la medida de su complemento?
x = 70º
Solución
10) En el gráfico calcular “x”.
Medida del ángulo = x
(180º  x)  39º = 2(90º  x )
Medida del su suplemento = 180º  x
180º  x  39º = 180º  2x
Medida de su complemento = 90º  x
2x  x = 180º  180º + 39º
x = 39º
RPTA: La medida del ángulo es 39º.
x  90 
x  90 
40
2
Q
x
P


U

8) Datos: 1) En la figura, GA es opuesto a GE .
R

x




S
T
2) GB  GC
Demostrar que  AGB es complementario con
 EGC.
Solución
Solución
Para poder utilizar los teoremas conocidos,
prolongamos PT y RS , hasta su intersección
en “H”.
Luego, entonces tendremos la siguiente gráfica:
DEMOSTRACIÓN
AFIRMACIONES/
RAZONES
1) GA opuesto a GE
1) Dato
2)  AGB suplemento de  BGE
2) Postulado 12.
3) m  AGB + m  BGE = 180º
3) Ángulos suplementarios
4) GB  GC
4) Dato
5) m  BGC = 90º
5) Definición de perpendicular y  recto.
6) m  BGE = m  EGC + 90º
x
Q
P



U
x
 

T
H
R

S
15
a) En  PQR: m  PHR = 90º 
Por lo que m  PHR = 90º 
m Q
2
x
2
7. En el  ABC, el  A mide 80º y el  B mide
m H
b) En  TUS: m  TUS = 90º 
2
Por lo que:
1
x
x  90º  (90  )
2
2
x = 60º
60º. Si AM y
de “x”.
A
BN son alturas. Hallar el valor
N
x
C
EJERCICIO 03
B
1. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente
figura?
M
8. En el triángulo siguiente: PR = RQ y QD es
altura. Hallar “x”.
Q
B
C
42º
F
A
D
E
2. ¿Qué palabras completan correctamente las
siguientes proposiciones?
a) Si mA = 63º y mB = 117º, entonces A y
B son ………………………………..
b) En cualquier par lineal, los ángulos
son………………………………………………
..
c) El punto de convergencia de las alturas de un
triángulo se llama……………………...
d) Si uno de los ángulos opuestos por el vértice
mide 46º, los otros tres ángulos determinados
miden…………………………..
3. El complemento del complemento del
suplemento del suplemento del complemento,
de un ángulo es 55º. ¿Cuánto mide el ángulo?
4. La medida del ángulo formado por las
bisectrices de dos ángulos interiores de un
triángulo, es el triple de la medida del tercer
ángulo interior. ¿Cuánto mide el ángulo
determinado por las bisectrices?
5. Hallar “x” en la figura:
B
R
x
P
D
9. Dado el
triángulo ABC, la recta DE es bisectriz del
ángulo exterior B, y la recta CE es bisectriz
del ángulo interior C. Hallar la medida del 
BEC.
C
5 4º
72º
A
B
x
E
IV
POLÍGONOS
Definición.- Dados los puntos P1, P2, P3,…,Pn
Coplanares, donde no hay tres puntos
alineados, y n ≥ 3, la reunión de los segmentos
determinados por los puntos mencionados, se
denomina POLÍGONO.
P1
 + 20º

Dx
A
Pn
P3
Pn-1
C
E
VÉRTICES: P1, P2, P3…,Pn
x
A
P2
C
6. ABCD es un cuadrado. Hallar el valor de x,
en la figura. AE = DE = AB.
B
D
D
P4
A
16
LADOS: P1 P2 , P2 P3 ,... Pn P1
Para un polígono regular:
ANGULOS. P1 , P2 , P3 ,...Pn
Medida del ángulo interior (i)
ANGULOS EXTERNO: P3 P4 A
180 (n  2)
n
Medida del ángulo exterior €:
PERÍMETRO: Suma de longitudes de sus lados.
DIAGONALES: Pn P3 , P2 P4
En todo polígono el número de ángulos es igual
al número de lados.
CLASIFICACIÓN DE LOS POLÓGONOS
POR SU NÚMERO DE LADOS.
TRIÁNGULO: 3 lados
CUADRILÁTERO: 4 lados
PENTÁGONO: 5 lados
HEXÁGONO: 6 lados
DECÁGONO: 10 lados
PÈNTADECÁGONO: 15 lados
ICOSÁGONO: 20 lados
POR SU FORMA:
CONVEXO Y NO CONVEXO
POR LA MEDIDA DE SUS ELEMENTOS:
EQUIÁNGULO: Ángulos congruentes
EQUILÁTERO: Lados congruentes
REGULAR: Equilátero y equiángulo.
MEDIDAS EN UN POLÍGONO.
Suma De las medidas de sus ángulos
interiores (Si)
Si = 180(n-1)
Suma de las medidas de los ángulos
exteriores
Se = 360
Número de diagonales (ND)
ND =
n (n  3)
2
i
360
n
Medida del ángulo central (c):
e
c
360
n
V
CUADRILÁTEROS
ELEMENTOS DE UN CUADRILÁTERO
Un CUADRILÁTERO, es un polígono de
cuatro lados.
LADOS OPUESTOS: No tienen ningún vértice
común.
LADOS CONSECUTIVOS: Tienen un vértice
común.
VÉRTICES O ÁNGULOS OPUESTOS: No
son determinados por un mismo lado.
VÉRTICES O ÁNGULOS CONSECUTIVOS:
Tienen UN lado común.
ÁNGULOS OPUESTOS: Tienen Vértices
opuestos.
DIAGONALES: Segmentos que unen dos
vértices opuestos.
CLASES DE CUADRILÁTEROS
TRAPEZOIDE: No tiene lados paralelos.
También se denomina CUADRILÁTERO
ASIMÉTRICO.
El cuadrilátero donde una diagonal es mediatriz
de la otra se llama TRAPEZOIDE SIMÉTRICO,
TRAPEZOIDE BBISÓSCELES o
CONTRAPARALELOGRAMO.
║
║
TRAPECIO: Tiene Dos lados paralelos
llamados bases.
ALTURA: Distancia entre sus bases.
MEDIANA: Segmento que une puntos medios
de lados no paralelos.
17
La mediana de un trapecio es igual a la mitad
de la suma de las dos bases.
B
C
M
N
D
- Si un cuadrilátero tiene dos lados paralelos y
congruentes es un paralelogramo.
- En un rectángulo las diagonales son
congruentes pero no son perpendiculares.
- Un rombo tiene sus diagonales
perpendiculares y no congruentes.
-El cuadrado es un rectángulo y rombo a la vez.
A
MN=
BC  AD
2
CLASES DE TRAPECIOS:
ESCALENO: Sus lados no paralelos son
diferentes.
ISÓSCELES: Sus lados no paralelos son
iguales.
RECTÁNGULO: Si uno de los lados no
paralelos es perpendicular a las bases.
PROPIEDAD GENERAL DE LOS
CUADRILÁTEROS:
Al unir en forma consecutiva los puntos medios
de los lados de un trapezoide, se forma un
paralelogramo, cuyo perímetro es igual a la
suma de las diagonales del trapezoide.
F
B
C
E
G
A
D
H
EF + FG +GH +HE = AC + BD
═ ═
PARALELOGRAMO: Tiene sus lados
opuestos paralelos y congruentes.
En todo paralelogramo, sus ángulos opuestos
son congruentes y sus diagonales se bisecan.
Todo paralelogramo tiene dos alturas.
PROPIEDADES ESPECIALES
1. La medida del ángulo formado por las
bisectrices de dos ángulos consecutivos de un
trapezoide es igual a la semisuma de las
medidas de los otros dos ángulos.
C
CLASES DE PARALELOGRAMOS
B
z
y
b) RECTÁNGULO: Llamado también
CUADRILONGO, es el paralelogramo
equiángulo.
c) ROMBO: Paralelogramo equilátero.
d) CUADRADO: Paralelogramo equilátero y
equiángulo.
β
α
α
β
a)
─
z
y
a) PARAELOGRAMO PROPIAMENTE
DICHO, se llama ROMBOIDE.
x
a
d
D
A
ad
2
2. La medida del menor ángulo que forman las
bisectrices de dos ángulos opuestos de un
trapezoide es igual a la semidiferencia de la
medida de los otros ángulos.
x
B
─
─
─
b)
x
A
C
D
c)
OBSERVACIONES PARA LOS
PARALELOGRAMOS:
d)
x
mD  mB
2
3. En todo trapezoide los segmentos que unen
los puntos medios de sus lados opuestos se
bisecan mutuamente.
18
C
B
─
║
║
─
A
D
4. La distancia del centro de un trapezoide a una
recta exterior, es igual al promedio de las
distancias de sus vértices a dicha recta.
A
F
G H
Q
N
AE  BF  CH  DI
4
ββ
D
VI
CIRCUNFERENCIA
I
5. Las bisectrices de los ángulos adyacentes a
los lados paralelos de un trapecio son
perpendiculares.
C
90o
α
M
AD  BG
AD  BC
MN 
PQ 
2
2
D
B
P
C
A
O
OG =
B
C
B
E
8. En todo trapecio el segmento que une los
puntos medios de sus diagonales es igual a la
semidiferencia de las bases.
La CIRCUNFERENCIA con centro O y radio R
es el conjunto de todos los puntos del plano que
están a la misma distancia R del punto O.
Los puntos P que están a una distancia de O
menor de R determinan en INTERIOR de la
circunferencia, y los puntos Q que están a una
distancia de O mayor que R determinan su
EXTERIOR.
El CÍRCULO de centro O y radio R es la
reunión de la circunferencia y su interior.
α
A
D
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MEGO
6. Si las bisectrices de los cuatro ángulos de un
trapecio con concurrentes, entonces la suma de
los lados no paralelos será igual a la suma de las
bases.
B
LÍNEAS EN LA CIRCUNFERENCIA
L1
S
R
Q
C
A
M
B
O
A
D
L2 A
AB+CD = BC+AD
L3
T
7. La suma de las distancias de dos vértices
opuestos de un paralelogramo a una recta
exterior es igual a la suma de las distancias de
los otros vértices a dicha recta.
B
RADIO: OB, OA, OR , etc
DIÁMETRO: AB
C
CUERDA: SM
A
D
M N
S
AM+CT = BN+DS
T
19

ARCO: SM
O’
r
d
R
(a)
O
r
FLECHA O SAGITA: QR
RECTA EXTERIOR: L1
RECTA TANGENTE: L3
d
R
r
d
R
r
RECTA SECANTE: L2
(b)
IMPORTANTE
(c)
- La medida de una circunferencia medida en
grados es 360.
- Todo diámetro contiene dos radios.
- Todo diámetro divide a la circunferencia en
dos arcos iguales llamados SEMICIRCUNFERENCIAS
CUYAS MEDIDAS SON DE 180O.
R
d
d
r
r
(e)
(d)
- El punto común entre una circunferencia y una
recta tangente se llama PUNTO DE TANGENCIA.
- Toda recta secante determina en la
circunferencia una cuerda.
R
R
R
r
r
d
(f)
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POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS
CIRCUNFERENCIAS
(g)
IMPORTANTE
-La recta que contiene a los centros de dos
circunferencias tangentes pasa por el punto de
tangencia.
- En circunferencias secantes, el segmento que
une los puntos comunes se llama cuerda común
y “d” es su mediatriz.
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
A
Dadas las circunferencias de radios O y O’,
radios R y r y la distancia “d” entre sus centros,
serán:
O
B
CENTRAL
EXTERIORES: Si d > R + r (a)
m∡AOB = m arcAB
INTERIORES: Si d < R + r (b)
TANGENTES INTERIORES: Si d = R – r (c)
TANGENTES EXTERIORES: Si d = R + r (d)
A
P
SECANTES: Si R – r < d < R + r (e)
ORTOGONALES: Si
d2
=
R2
+
r2
CONCÉNTRICAS: Si d = 0 (g)
(f)
O
B
INSCRITO
m∡APB =
m arcAB
2
20
P
A
O
TEOREMAVI-1
En toda circunferencia, rectas secantes
paralelas intersecan arcos congruentes.
B
SEMI-INSCRITO
m arcPB
2
m∡APB =
B
L1
C
A
P
A
L1//L2 ↔ AB = CD
O
B
EX-INSCRITO
TEOREMA VI-2
En toda circunferencia, a cuerdas congruentes
le corresponden arcos congruentes.
m arcAB
2
m∡APB =
L2
D
A
B
L1
C
A
L2
O
P
D
AB=CD↔arc AB=arc CD
B
EXTERIOR
TEOREMA VI-3
m∡APB = 180 – m arc AB
A
C
Todo radio es perpendicular a una recta
tangente en su punto de tangencia.
P
O
D
B
O
C
EXTERIOR
m arcAB - m arcCD
2
m∡APB =
L
P
L:Tangente ↔OP ⊥ L
TEOREMA VI-4
Si un radio es perpendicular a una cuerda,
entonces dicho radio biseca tanto a la cuerda
como al arco que subtiende
A
C
O
P
B
EXTERIOR
m∡APB =
O
m arcAB - m arcBC
2
A
C
A
O
P
B
D
INTERIOR
m∡APB =
m arcAB  m arcCD
2
H
D
B
OD  AB  AH  HB y
arc AD  arc DB
TEOREMA VI-5
21
Las parejas de tangentes trazadas desde un
mismo punto exterior a una circunferencia son
congruentes.
D
B
A
3ra.- Un ángulo interior de un cuadrilátero
inscrito es congruente con el opuesto exterior.
B
A
DA = DO
TEOREMA VI-6
Los arcos de intersección determinados por dos
circunferencias secantes y congruentes, son
congruentes.
β
∙O
α
D
C
αβ
B
P∙
R
Q∙
CUADRILÁTERO INSCRIPTIBLE
Se llama así cuando puede inscribirse en una
circunferencia. Esto sucede, si dicho
cuadrilátero cumple con cualquiera de las tres
propiedades un cuadrilátero inscrito.
R
A
BPA = BOA
POLIGONO INSCRITO
Un polígono está inscrito en una circunferencia
si todos sus vértices pertenecen a ella.
A
TEOREMA VI-7 TEOREMA DE SIMPSON
Si desde un punto situado en la circunferencia
circunscrita a un triángulo, se trazan las
perpendiculares a los tres lados, entonces los
pies de dichas perpendiculares están en una
misma recta, llamada Recta de Simpson.
∙O
F
P
B
B
Q
∙O
C
A
R
E
C
D
P,Q y R son colineales
CUADRILÁTERO INSCRITO
PROPIEDADES:
1ra.- Los ángulos opuestos son suplementarios.
POLÍGONO CIRCUNSCRITO
Un polígono está circunscrito a una
circunferencia si todos sus lados son tangentes
a ella.
B
C
B
A
α
∙O
D
O
A
β
D
C
F
α + β = 180
2da.- Las diagonales con los lados opuestos
forman ángulos
B
β
A
congruentes.
α
∙O
D
C
αβ
E
TEOREMA VI-8 TEOIREMA DE
PONCELET
22
En todo triángulo rectángulo se cumple que la
suma de los catetos es igual a la suma de los
diámetros de las circunferencias inscrita y
circunscrita.
B
TEOREMA VI-12: TEOREMA DE LAS
CUERDAS
Si en una circunferencia se grafican dos
cuerdas secantes, entonces el producto de las
partes de una de las cuerdas será igual al
producto de las partes de la otra.
R
O’
A
D
r
O’
O
A
P
B
C
AB + BC = 2r + 2R
C
TEOREMA VI -9: TEOREMA DE PITHOT
En todo cuadrilátero circunscrito se cumple que
la suma de dos lados opuestos es igual a la
suma de los otros dos lados.
B
AB+CD = BC+AD
AP.PB = CP.PD
TEOREMA VI-13: TEOREMA DE LAS
SECANTES
Si desde un punto exterior a una circunferencia
se trazan dos secantes, entonces el producto de
la secante por su parte exterior es constante.
A
O
A
C
B
O’
O: Centro de
circunferencia
OA, OB, OC, OD;
bisectrices de
A,B,C,D
D
TEOREMA VI-10: TEOREMA DE
STEINER
En todo cuadrilátero ex-inscrito se cumple que
la diferencia de dos lados opuestos es igual a la
diferencia de los otros dos lados.
O’
D
P
C
PA.PB = PC.PD
TEOREMA VI-14: TEOREMA DE LA
TANGENTE.
Si desde un punto exterior a una circunferencia
se trazan una secante y una tangente, entonces
la tangente será media proporcional entre la
secante y su parte exterior.
C
Q
B
A
O’
D
P
B
AB + CD = BC + AD
A
PQ2 = PA.PB
CIRCUNFERENCIA EX-INSCRITA A UN
TRIÁNGULO: TEOREMA VI-11
Si una circunferencia ex-inscrita es tangente a
las prolongaciones de los lados AB y AC de un
triángulo ABC, con puntos de tangencia P y Q
respectivamente, se cumple que:
P
B
O’
Q
C
AP = AQ = p(ABC)
p: semi-perímetro
A
TEOREMAS VI – 15: TEOREMAS DE
PTOLOMEO
1ro.- En todo cuadrilátero inscrito o
inscriptible, la suma de los productos de los
lados opuestos es igual al producto de las
diagonales.
2do.- En todo cuadrilátero inscrito o
inscriptible, la relación de las diagonales es
igual a la relación entre la suma de los
productos de los lados que concurren en los
extremos de dichas diagonales.
23
C
B
O’
VII
POLÍGONOS REGULARES
D
Definición.- Un polígono regular es aquel que
tiene sus ángulos y sus lados congruentes.
A
AB.CD+BC.AD=AC.BD
APOTEMA DE UN POLÍGONO REGULAR
La apotema (ap) de un polígono regular, es la
perpendicular trazada desde su centro a
cualquiera de sus lados.
AC AB.AD  BC.CD

BD AB.BC  AD.CD
TEOPREMA VI-16
B
C
P
EN el triángulo ABC, inscrito en una
circunferencia de radio R, se cumple que el
producto de dos lados es igual a 2R por la
altura relativa al tercer lado.
R
R
O
A
B
D
Apotema (ap) = OP
O’
A
TRIÁNGULO ELEMENTAL
Se llama TRIÁNGULO ELEMENTAL, al
triángulo isósceles, cuyos lados son
circunradios, su base es el lado del polígono
regular; el ángulo opuesto a la base es el ángulo
central, y la altura referente a la base es el ap.
C
R
A
AB.BC = 2R.AC
TEOREMA VI-17: TEOREMA DE LA
BISECTRIZ INTERIOR
Ln
En todo triángulo, el cuadrado de la bisectriz de
un ángulo interior es igual al producto de los
lados que determinan el ángulo, menos el
producto de los segmentos que la bisectriz
determina en el tercer lado.
B
P
C
R
apn
O
B
α α
C
TRIÁNGULO ELEMENTAL = ∆ BOC
LADO: BC = ln
A
M
ÁNGULO CENTRAL = ∡ BOC
APOTEMA (apn ): OP
2
BM =AB.BC-AM.MC
CÁLCULO DEL APOTEMA DE UN
POLÍGONO REGULAR
TEOREMA VI-18: TEOREMA DE LA
BISECTRIZ EXTERIOR
En un triángulo, el cuadrado de la bisectriz de
un ángulo exterior es igual al producto de los
segmentos que determina la bisectriz exterior
sobre el lado opuesto, menos el producto de los
lados que
intervienen en
B α
la
α
determinación
del ángulo
exterior.
A
M
BC =AC.MC ─ AB.BC
2
C
Ln
B
P
apn
C
R
O
En ∆ POC:
OP2 = OC2 − PC2
24
Como PC 
BC Ln

2
2
360
 72
5
mAM 
2
l2
l 
(ap n ) 2  R 2   n   R 2  n
4
2
1
  4R 2  ln2 
4
1
apn 
4R 2  ln2
2
R
10  2 5
2
R
APOTEMA: OH = ap5 =
5 1
4
LADO: AB = l5 =


d) EXÁGONO REGULAR:
LADO Y APOTEMA DE UN POLÍGONO
REGULAR EN FUNCIÓN DEL CIRCUNRADIO
O
a) TRIÁNGULO EQUILÁTERO:
30 30o
R
B
60o
60o
A
3030o
R
ap6
B
H
R
L3
30o
30o
L3
O
360
 60
6
LADO: AB =l6 = R
mAB 
apn
R
A
60o
H
C
APOTEMA: OH = ap6 =
mAB 
360
 120
3
LADO: AB = l3 = R
R
3
2
3
e) DECÁGONO REGULAR:
R
APOTEMA: OH = ap3 =
2
b) CUADRADO:
O
18o18o
R ap10
O
R
A
45o 45o
ap4
45o
H
72o
A
R
45o
B
360
 90
4
LADO: AB = l4 = R 2
mAB 
mAB 
R
72º
H
B
360
 36
10
LADO: AB = l10 =
R
2
2
c) PENTÁGONO REGULAR:
R
10  2 5
4
APOTEMA: OH  AP6 
APOTEMA: OH = ap4 =
r
3
2
f) DODECÁGONO REGULAR:
360
mAB 
 30
12
O
R 30 30o R
60o
ap5
A
60o
B
LADO: AB = l12 = R 2  3
R
2 3
APOTEMA: OH = ap12 =
2
H
O
15o15o
R ap12
75o
A
R
75º
H
B
25
Definición.- En el triángulo ABC. Si C está
entre A y D, entonces  BCD es ÁNGULO
EXTERNO en C del  ABC.
B
CÁLCULO DEL LADO DEL POLÍGONO
REGULAR DE DOBLE NÚMERO DE
LADOS INSCRITO EN LA MISMA
CIRCUNFERENCIA
Q
C
A
D
B
P
A
B
H
A
O
R
LADO DEL POLÍGONO DE n LADOS:
ln = AB
LADO DEL POLÍGONO DE 2n LADOS:
l2n = AP
APOTEMA ( ln ): apn = OH
APOTEMA (l2n ) : ap2n = OQ
En triángulo rectángulo AHP:
(AP) 2  (AH) 2  (PH) 2
2
l 
(l2n ) 2   n   (ln ) 2
2
l2n  2R 2  R 4R 2  ln2
* Como l4  R 2
l8  2R 2  R 4R 2  (R 2) 2
R 2 2
Y así sucesivamente.
VIII
DESIGUALDADES
GEOMÉTRICAS
Definición.- Un segmento es menor que otro, si
su longitud es menor.
ABCD , si AB  CD.
Definición.-  A   B, si mA  mB
D
C
Definición.- Los ángulos A y B del  ABC, se
llaman ÁNGULOS INTERNOS NO
CONTIGUOS del ángulo externo BCD, o
ángulo externo en C.
De igual modo, los ángulos B y C del  ABC,
se llaman ÁNGULOS INTERNOS NO
CONTIGUOS del ángulo externo en A. Así
como, también, los ángulos A y C, son
INTERNOS NO CONTIGUOS del ángulo
externo en B.
TEOREMA VIII-1
Un ángulo externo de un triángulo es mayor
que cada uno de los ángulos internos no
contiguos.
TEOREMA VIII-2
Si un triángulo tiene un ángulo recto, entonces
los otros dos ángulos son agudos.
TEOREMA VIII-3
Si dos lados de un triángulo no son
congruentes, entonces los ángulos opuestos a
estos lados no son congruentes, y el ángulo
mayor es opuesto al lado mayor.
Si dos ángulos de un triángulo no son
congruentes, entonces los lados opuestos a estos
ángulos no son congruentes, y el lado mayor es
opuesto al ángulo mayor.
Si AB  AC, entonces  C   B.
Si  C   B, entonces AB  AC.
TEOREMA VIII-4
El segmento más corto que une un punto a una
recta, es el segmento perpendicular a la recta,
uno de cuyos extremos es el punto dado.
P
Q
R
PQ  PR
Definición.- La DISTANCIA entre una recta y
un punto, que está fuera de ella, es la longitud
26
del segmento perpendicular, desde el punto a la
recta.
La proyección ortogonal de una recta sobre un
plano, es el conjunto de todos los puntos del
plano que son proyección de cada punto de la
recta.
TEOREMAVIII-5
La suma de las longitudes de dos lados
cualesquiera de un triángulo es mayor que la
longitud del tercer lado.
P
Q
E
P
P’
Q’
S’
T’
Q
R
S
RP + PQ  RQ RP + RQ  PQ
RQ + PQ  RP
T
TEOREMA VIII-8
TEOREMA VIII-6: TEOREMA DE LA
CHARNELA.
Si una recta y un plano no son perpendiculares,
entonces la proyección ortogonal de la recta
sobre el plano, es una recta.
Si dos lados de un triángulo son congruentes,
respectivamente, con dos lados de un segundo
triángulo, y el ángulo comprendido en el primer
triángulo es mayor que el ángulo comprendido
en el segundo, entonces el tercer lado del
primer triángulo es mayor que el tercer lado del
segundo triángulo.
Definición.Si A es un conjunto cualesquiera en el espacio,
y E es un plano, entonces la PROYECCIÓN
ORTOGONAL de A sobre E, es el conjunto de
todos los puntos que son proyección ortogonal
de cada uno de los puntos de A sobre E.
TEOREMA VIII-7: RECÍPROCO DEL
TEOREMA DE LA CHARNELA.
A
Si dos lados de un triángulo son congruentes,
respectivamente, con dos lados de un segundo
triángulo, y el tercer lado del primer triángulo
es mayor que el tercer lado del segundo
triángulo, entonces el ángulo comprendido del
primer triángulo es mayor que el ángulo
comprendido del segundo triángulo.
B
A
B
B’
A’ = B’
E
A’
E
B
E
A
B
═
D
—
A
═
ПI
B
—
Ш
F A
A’
C
A’
P
E
P’
C’
B’
E
RELACIONES MÉTRICAS EN EL
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Definición.-La proyección ortogonal de un
punto sobre un plano, es el pie de la
perpendicular que va del punto al plano.
P’
C’
B’
E
Como, AB = DE y BC = EF:
Si  B   E , entonces AC  DF. Si AC 
DF, entonces  B   E
E
C
C
P
TEOREMA VIII-9
Un cateto es media proporcional entre la
hipotenusa y la proyección de dicho cateto
sobre la hipotenusa.
Para el triángulo rectángulo ABC, recto en B, de
la figura siguiente, tenemos:
B
P  P’
P  P’
a
c
A
h
m
H
n
b
C
27
b c

 c2 = b.m
c m
b a
  a2 = b.n
a n
TEOREMA VIII-10
La altura relativa a la hipotenusa es media
proporcional entre las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa.
m h
  h2 = m.n
h n
TEOREMA VIII-11: TEOREMA DE
PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la
longitud de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de la longitud de los catetos.
TEOREMMA VIII-16: TEOREMA DE
EUCLIDES
En todo triángulo obtusángulo, se cumple que el
cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es
igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados más el doble producto de uno de ellos
por la proyección del otro sobre él.
B
a
c
B
c
a
A
C
b
a2 = b 2 + c 2
De donde
deducimos,
también:
b 2 = a 2 - c2
c2 = a 2 - b 2
TEOREMA VIII-12
El producto de los catetos es igual al producto
de la hipotenusa por su altura respectiva.
a.c = b.h (Fig. α)
TEOREMA VIII-13
El cuadrado de la inversa de la altura es igual a
la suma de los inversos de los cuadrados de los
catetos.
1
1
1
 2 2
2
h
a
c
TEOREMA VIII-14
La razón de los cuadrados de los catetos es
igual a la razón de los segmentos que la altura
determina sobre la hipotenusa.
a2.m = c2.n
RELACIONES MÉTRICAS EN
TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS
(GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE
PITÁGORAS)
TEOREMA VIII-15: TEOREMA DE
EUCLIDES
“En todo triángulo se cumple que el cuadrado
del lado que se opone a un ángulo agudo es
igual a la suma de los cuadrados de los otros
dos lados, menos el doble producto de uno de
ellos por la proyección del otro sobre él.
B
c
A
a2 = b2 + c2 − 2bm
c2 = a2 + b2 − 2bn
a
m
H
b
n
C
H
m
A
C
b
a2 = b2 + c2 + 2bm
TEOREMA VIII-17: TEOREMA DE
STEWARD
En un triángulo ABC, con su ceviana BD, se
cumple la relación:
c2.n + a2 .m = x2.b + bmn
B
c
A
a
m D
n
C
b
PROPIEDADES PARTICULARES DE LOS
TRIÁNGULOS ISÓSCELES Y
EQUILÁTEROS
1ra.- La suma de las distancias de un punto de
la base de un triángulo isósceles a sus lados
congruentes es igual a cualquiera de las alturas
congruentes.
B
AS = PQ + QR
S
P
A
R
Q
C
28
2da.- La diferencia de las distancias de un
punto, tomado en la prolongación de la base de
un triángulo isósceles, a sus lados congruentes,
es igual a cualquiera de las alturas
congruentes.
B
AR = PQ  QS
P
R
A
B
Q
C
S
B
BH + PQ +QR + QS
HC 2  AH 2  BC 2
M
A
3ra.- La suma de las distancias de un punto
interior a un triángulo equilátero hacia sus
lados es igual a cualquiera de sus alturas.
P
Si del punto medio de un cateto, de un
triángulo rectángulo, se baja una perpendicular
sobre la hipotenusa, la diferencia de los
cuadrados de las longitudes de los segmentos
determinados por esta perpendicular sobre la
hipotenusa, es igual al cuadrado del otro cateto.
TEOREMA VIII-20:
La suma de los cuadrados de dos lados
cualesquiera de un triángulo es igual al doble
del cuadrado de la mediana del tercer lado, más
la mitad del cuadrado de este mismo lado.
C
R
Q
C
H
a
b
h
A
C
H S
B
4ta.- Si de un punto situado en el exterior de un
triángulo equilátero, se trazan perpendiculares
a sus tres lasos, la suma de las longitudes de las
perpendiculares extremas menos la longitud de
la perpendicular intermedia es igual a
cualquiera de las alturas.
BH = PQ + QR  QT
P
B
Q
d
H
n
A
D
m
m
c
a 2  b 2  2d 2 
c2
2
TEOREMA VIII-21:
la diferencia de los cuadrados de dos lados de
un triángulo es igual al producto del tercer lado
por la proyección de la mediana sobre el tercer
lado.
b 2  a 2  2cn
T
A
H
S
R
TEOREMA VIII-18: RELATIVO A LA
MENOR MEDIANA DE UN TRIÁNGULO
RECTÁBGULO
“En todo triángulo rectángulo, la mediana
relativa a la hipotenusa, es la menor de las tres
medianas del triángulo. Además su longitud es
la mitad de la longitud de la hipotenusa.
TEOREMA VIII-22: TEOREMA DE
EULER
En todo cuadrilátero se cumple que la suma de
los cuadrados de sus cuatro lados es igual a la
suma de los cuadrados de sus diagonales más
cuatro veces el cuadrado del segmento que une
los puntos medios de dichas diagonales.
B

AM 
M
N
A

A
C
B
BC
2
M
C
D
TEOREMA VIII- 19:
AB2 + BC2 + CD2 + AD2 = AC2 + BD2 + 4MN2
29
se toma un punto O. ¿Cuál de los siguientes
valores puede ser igual a
OA + OB + OC?
a) 20cm b) 21cm c) 20 2 cm d) 42cm e) 46cm
TEOREMA VIII-23: TEOREMA DE
HERÓN
En todo triángulo ABC se cumple que la
altura(h) referente a un lado es igual al doble
de la inversa de dicho lado multiplicado por la
raíz cuadrada de un producto cuyos factores
son el semiperímetro del triángulo y el
semiperímetro menos cada lado.
hb 
Solución
B
12
A
2
p(p  a )( p  b)( p  c)
b
14
O
C
16
Por el Teorema IV-5:
En  COA: OA + OC  16
En  AOB: OA + OB  12
En  BOC: OB + OC  14
______________________
2 OA + 2 OB + 2 OC  42
OA + OB + OC  21 (1)
TEOREMA VIII-24: TEOREMA DE
ARQUÍMIDES
En todo cuadrilátero de diagonales
perpendiculares se cumple que la suma de los
cuadrados de dos lados opuestos es igual a la
suma de los cuadrados de los otros dos lados.
B
B
C
14
12
A
O
C
A
D
12 + 14  OA + OC
AB2 + CD2 = AD2 + BC2
B
TEOREMA VIII-25 (TRIÁNGULO
RECTÁNGULO 30O-60O)
En un triángulo rectángulo 30o –60o , el cateto
60o
adyacente al ángulo de
es igual a la mitad de la
hipotenusa y el cateto adyacente al ángulo de 30o es
igual a la mitad de la hipotenusa por
60o
O
1
4
A
1
6
3.
B
2k
k 3
12
30
O
o
k
TEOR
EMA VIII-26: (TRIÁNGULO
RECTÁNGULO 45O)
En un triángulo rectángulo 45o, la hipotenusa
es igual a un cateto por 2
A
16
k 2
45o
k
EJEMPLOS
1) Los lados de un  ABC miden AB = 12cm,
BC = 14cm y AC = 16 cm. En el interior del 
C
16 + 12 OB + OC
Sumando
miembro a miembro las desigualdades de las
tres gráficas auxiliares tenemos:
84  2 OA + 2 OB + 2 OC; es decir:
42  OA + OB + OC
45o
k
C
14 + 16  OA + OB
(2)
De (1) y (2) tenemos:
21  OA + OB + OC  42
Por lo tanto OA + OB + OC puede ser igual
a 20 2
2) Los lados de una figura de cuatro lados
ABCD miden AB = 10cm; BC = 12cm;
30
CD = 13cm; AD = 15 cm. Si en el interior de la
figura se toma un punto O. Hallar los límites en
que varía la suma OA + OB + OC + OD.
Solución
Trazamos la mediana referente a la hipotenusa
del  rectángulo ABD.
B
10
Como BM es mediana del  rectángulo ABD,
por el Teorema IV-16:
1
BM  AD = 14cm
2
12
A
O
C
15
13
Como m ∡ ABM = 20º;
D
m ∡ MBD = 70º. Como  MBD es isósceles,
Solución
m ∡ MDB = 70º y m ∡ BMD = 40º.
Por Teorema IV-5:
Por consiguiente:  MBC es isósceles, y
AB + BC + CD  OA + OC
x = 14 cm.
BC + CD + AD  OA + OB
4) En la figura AD = 15cm; ED = 17 cm. Hallar
BE.
AB + AD + CD  OB + OC
B
AD + AB + BC  OD + OC
x
150  2( OA + OB + OC + OD)
C


Solución
E
17
A
Además: OA + OB 10
C
B
x
75  OA + OB + OC + OD
D
15


E
17
H
17
De donde:
A
15
Trazamos DH  BC
ECD  CHD; por consiguiente
ED = DH = 17cm
En  rectángulo EAD, por Teorema de
Pitágoras. Tenemos:
EA2  172 152  EA = 8cm
x + EA = 17
x + 8 = 17
2( OC + OB + OA + OD)  50
OA + OD  15; OD + OC  13
OC + OB + OA + OD  25
OC + OB  12
D
Por consiguiente:
x = 9cm
5) En el  ABC, recto en B. La hipotenusa mide
10cm y el cateto mayor mide 8cm. ¿Cuánto
mide la proyección del cateto menor sobre la
hipotenusa?
25  OA + OB + OC + OD  75
3) En la figura: AD = 28cm, hallar BC.
B
B
30º
x
a=8
c=?
20º
A
28cm
D
C
C
B
30º
14
A
M
n
Solución
x
40º
14
H
b = 10
20º
20º
m
40º
14
D
C
b a 10 8
64
 → 
→m 
a m
8 m
19
A
31
m = 6,4cm
6) En el PQR, acutángulo. p = 25 , q = 20.
Hallar “r”.
Si la proyección de q sobre p mide 15.
Solución
POSTULADO 18:
Por un punto dado que no está en una recta,
pasa una y sólo una recta paralela a la recta
dada.
Definición.- Una SECANTE a dos rectas
coplanarias es una recta que las interseca en dos
puntos diferentes.
P
r=?
q = 20
Definición.- En las figuras:
L1
15
Q
R
1
p = 25
5
r 2  p 2  q 2  2 p (15)
7
r 2  252  202  2(25)(15)
r  625  400  750
r 2  16,58 r  275
2
3
L2
4
6
8
L3
2
r =16,58
L1
1
EJERCICIO 04
2
3
1. Dos lados de un  isósceles son 17 y 8. Su
perímetro es:
5
7
L2
4
6
L3
8
2. Los lados del ABC miden: a = 23; b = 40; c
= 50. En el interior del triángulo se toma el
punto P. Entre que límites está AP + BP + CP?
3. Un cateto de un triángulo rectángulo mide
5m. ¿Cuánto miden los otros lados, si adoptan
valores enteros?
4. El producto, de las proyecciones de los
catetos, sobre la hipotenusa de un  rectángulo,
es 300 ¿Cuánto mide la altura referida a la
hipotenusa?
5. Si el producto de las longitudes de los catetos
de un  rectángulo es 48. Hallar la altura
referida a la hipotenusa, si ésta mide 10.
IX
RECTAS PARALELAS Y
SECANTES EN EL PLANO
Definición.- Dos rectas que no están en un
mismo plano y no se intersecan se llaman
RECTAS ALABEADAS.
Definición.- Dos rectas son PARALELAS, si:
1) Son coplanarias.
2) No se intersecan.
Son ALTERNOS INTERNOS, los ángulos 4 y
6; 5 4 y 5; respectivamente.
Son ALTERNOS EXYERNOS, los ángulos 1 y
8; 2 y 7, respectivamente.
Son CORRESPONDIENTES, los ángulos 1 y 5;
2 y 6; 3 y 7; 4 y 8; respectivamente.
Son CONJUGADOS INTERNOS, los ángulos 3
y 5; 4 y 6; respectivamente.
Son CONJUGADOS EXTERNOS, los ángulos
1 y 7; 2 y 8; respectivamente.
TEOREMA IX-1: Si dos rectas paralelas son
intersecadas por una secante:
_ Los ángulos alternos internos y alternos
externos correspondientes son congruentes.
_ Los ángulos conjugados internos y externos
correspondientes son congruentes.
TEOREMA IX-2: Para todo triángulo, la suma
de las medidas de sus ángulos interiores es 180.
B
Su notación es: L1 // L2 . Se lee:
x'
“Recta L1 paralela a recta L2 ”
A
x
z
D
y’
y
C
32
x’ + z + y’ = 180
b) Si un ángulo es obtuso y el otro es agudo, son
suplementarios.
TEWOREMA IX-3: De los puntos medios
Para todo triángulo, el segmento que une los
puntos medios de dos lados es paralelo al tercer
lado y mide la mitad de dicho lado.
a
B
b
M
N
A
C
MN // AC ; M y N puntos medios; entonces:
1
MN  AC
2
a
b
ANGULOS DE LADOS // s y ┴ s:
a  b
I) Dados dos ángulos de lados paralelos:
a) Si los lados correspondientes son opuestos o
del mismo sentido, son congruentes.
b
a
a
a
ma  mb  180
b
a
a
b
a
b
PROFESOR MIGUEL AGIP
MEGO
b
a
a
ma  mb
b) Si un par correspondiente tiene el mismo
sentido y el otro sentido opuesto, son
suplementarios.
a
b
b
ma  mb  180
II) Dados dos ángulos de lados ┴ s:
a) Silos dos son agudos o los dos son obtusos,
son congruentes.
X
SEGMENTOS
PROPORCIONALES Y
SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS
TEOREMA X-1 Tres o más rectas paralelas
que determinan segmentos congruentes en una
secante dada, también determinan segmentos
congruentes en cualquier otra secante.
TEOREMA X-2 TEOREMA DE THALES
Tres o más rectas paralelas determinan en dos
rectas secantes, segmentos proporcionales.
33
A
D
B
PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ DE UN
ÁNGULO INTERIOR DE UN Δ
L1
E
TEOREMA VI-4 La bisectriz de un ángulo
interior de un triángulo divide al lado opuesto
en segmentos proporcionales a los otros dos
lados. En el Δ ABC:
L2
C
F
L3
E
β
S2
S1
A
L1// L2 // L3
AB/BC = DE/EF
αα
γ
COROLARIO 1 Si una recta paralela a un
lado de un triángulo interseca a los otros dos
lados, entonces determina sobre ellos
segmentos proporcionales a dichos lados.
B
M
C
BM/MC = AB/AC
XI
SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS
COROLARIO 2 Si una recta interseca a los
lados de un triángulo y determina segmentos
proporcionales en ellos, entonces es paralela al
tercer lado.
C
D
B
Definición.- Dos triángulos son semejantes si
sus ángulos correspondientes son congruentes y
sus lados correspondientes son proporcionales.
L
E
A
L // AE ;
B
AC/BC = CE/CD
B’
A’
A
C’
C
COROLARIO 3 Si una recta biseca a un lado
de un triángulo y es paralela a otro lado biseca
también al tercer lado.
C
B
D
A  A '; B  B'; C  C'
AB
BC
AC


A ' B ' B 'C ' A 'C '
L
ABC  A ' B ' C '
A
E
L // AE ;
AB=BC ; CD=CD
PROPIEDAD DE LA BISECTRIZ DE UN
ÁNGULO EXTERIOR DE UN Δ
TEOREMA X -3 La bisectriz de un ángulo
exterior de un triángulo divide al lado opuesto
(prolongado) en segmentos proporcionales a los
otros dos lados del triángulo. En el Δ ABC:
F
B
α
α
α
A
CASOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS
CASO A-A-A
B
γ
α
A
β
C
E
γ
α
D
α
C
AB/BC = AD/CD
ABC  DEF
D
CASO L-A-L
β
F
34
TEOREMA XI-7 TEOREMA DEL
INCENTRO.
E
B
─
─
α
║
A
C
En un triángulo PQR, el incentro I divide a la
bisectriz QS del triángulo según la proporción:
α
AB AC

DE DF
Q
║
D
QI PQ  QR

IS
PR
αα
F
I●
ABC  DEF
CASO L-L-L
P
R
S
A
B
C
D
TEOREMA XI-8 REOREMA DEL
INCENTRO Y BARICENTRO
E
F
AB AC BC


DE DF EF
ABC  DEF
TEOREMA XI-5
TEOREMA DE MENELAO
Si una recta interseca a dos lados de un
triángulo (en puntos diferentes) y a la
prolongación del tercero, los puntos de
intersección determinan seis segmentos en los
lados del triángulo para los cuales se cumple
que el producto de tres segmentos no
consecutivos es igual al producto de los tres
restantes.
B
D
L
F
E
A
TEOREMA XI-6 : TEOREMA DE CEVA
Tres cevianas concurrentes trazadas desde los
vértices de un triángulo determinan sobre sus
lados seis segmentos para los que se cumple
que el producto de tres segmentos no
consecutivos es igual al producto de los otros
tres restantes.
A
B
F
P
C
AB.CD.EF = AF.BC.DE
D
M
C
ÁREAS DE REGIONES POLIGONALES
Definición.- Una región poligonal es la reunión
de un polígono y su interior.
A toda región poligonal le corresponde un
número real positivo.
Definición.- El área de una región poligonal es
el número real positivo asignado por el
postulado 20.
AE. BD. CF = AD.BF.CE
D
A
POSTULADO 19: ( DEL ÁREA)
C
E
Si en un triángulo se cumple que el segmento
que une el baricentro con el incentro es
paralelo a uno de sus lados, entonces éste será
igual a la semisuma de los otros dos lados.
B
AB  BC
AC 
2
I
G
POSTULADO20: (DE LA CONGRUENCIA)
Si dos triángulos son semejantes, sus regiones
poligonales tienen la mima área.
POSTULADO 21: (DE ADICIÓN DE
ÁREAS)
El área de una región poligonal R  R1  R 2 ,
tales que la intersección de R1 y R2 es un
número finito de segmentos, es la suma de las
áreas.
POSTULADO 22: (POSTULADO DE LA
UNIDAD)
El área de una región cuadrada es el cuadrado
de la longitud del lado.
35
e
e
U
e
ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN
DEL INRADIO
e
B
Área U = e2
Definición.- La unidad de área U se expresa
como: U = u2, donde u es unidad de longitud.
ÁREA DEL RECTÁNGULO
El área del rectángulo es el producto de las
longitudes de su base por su altura.
A
D
b
a
c
r
A
b
C
B
A = p.r
h
ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN
DEL CIRCUNRADIO
C
A = b.h
A  r(p  c)
B
ÁREA DEL TRIÁNGULO
B
A=
A
r
a
c
b.h
2
A
b
C
h
D
C
ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN
DEL EXRADIO
b
B
a
c
ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN
DE SUS LADOS
A
A  p(p  a)(p  b)(p  c)
Donde : p=
ÁREA DEL TRIÁNGULO EQUILÁTERO
A
h
l
l
A
l2 3
4
C
l
A
h2 3
3
ÁREA DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE
DOS LADOS Y EL ÁNGULO COMPRENDIDO
B
c
A
a
β
b
1
A  b.c.cos 
2
C
R
b
A
a+b+c
2
B
C
a.b.c
4R
RELACIÓN ENTRE LAS ÁREAS DE
TRIÁNGULOS
A) Si dos triángulos tienen igual altura, sus
áreas son proporcionales a sus bases.
Si dos triángulos tienen bases iguales, sus áreas
son proporcionales a sus alturas.
B) Si dos triángulos son semejantes, su áreas
son proporcionales a los cuadrados de sus
elementos homólogos.
36
C) Si dos triángulos tienen ángulos iguales o
suplementarios, entonces sus áreas son
proporcionales a los productos de los lados que
forman dichos ángulos.
B
Q
A
R
E
h1
P
S
B M
T
h2
A
C
D
A∆PQS =QA.AS
F
B
A
AC
h1 = h2 → ABC 
A DEF DF
A1
A∆RTM = TM.TB
C
A4
A3
A2
Q
A
D
T
h1
A1 +A3 =A2 + A4
ÁREA DEL CUADRADO EN FUNCIÓN DE
SU DIAGONAL
h2
P
R
PR = SM →
S
M
A PQR
A STM

B
C
h1
h2
Q
A
T
h1
d2
2
A
d
D
ÁREA DEL PARALELOGRAMO
B
h2
C
h
P
R
S
ΔPQR ≅Δ STM →
A PQR
A STM
M

A
h12 PR 2

 ...
h 22 SM 2
D
A  AD.h
A  b.h
T
Q
ÁREA DEL ROMBO
β
B
D
B
A
P
APQR
AAQB
θ
R
S
φ
C
r
A
M
PQ.QR ASTC
SC.CT


AQ.QB ACDM DC.CM
D) TEOREMA DE BURLET:
El área de un triángulo rectángulo es igual al
producto de los dos segmentos determinados
sobre la hipotenusa, por los puntos de contacto
de la circunferencia inscrita o exinscrita.
E) Si se une cada vértice de un paralelogramo a
un punto de su interior, la suma de las áreas de
los triángulos que tienen por base los lados
opuestos, es igual a la suma de las áreas de los
otros dos triángulos.
C
BD.AC
2
A  2rl
A
D
ÁREA DE UN TRAPECIO
B
C
M
N
h
A
D
 AD  BC 
A
h
2


A  MN.h
37
ÁREA DE UN CUADRILÁTERO
CIRCUSCRITO
b
TEOREMA XI-9
Si se une el punto medio de un lado no paralelo
de un trapecio con los extremos del otro lado no
paralelo, se forma un triángulo cuya área es
igual a la mitad del área del trapecio.
B
C
M
A = p.r
r
a
c
d
p
A1
A
D
A1 
A
abcd
2
ÁREA DE UN CUADRILÁTERO
INSCRITO
ABCD
2
b
c
ÁREA DE UN TRAPEZOIDE
C
a
d
B
h2
h1
A  (p  a)(p  b)(p  c)(p  d)
A
D
TEOREMA XI-11
 h  h2 
A  BD  1

 2 
En el cuadrilátero se cumple:
TEOREMA XI-10
A3
A1
En todo cuadrilátero convexo, se cumple que al
unir los puntos medios de sus lados se forma un
paralelogramo, cuya área es igual a la mitad
del área del cuadrilátero.
C
A1.A2 = A3.A4
TEOREMA XI-12
La mediana de un triángulo divide a la región
triangular en dos regiones triangulares
equivalentes (igual área).
B
A1
A
A2
A4
D
A1 
A
A1
ABCD
2
A2
ǁ
ÁREA DE UN CUADRILÁTERO
CUALQUIERA
C
B
ǁ
A
H
θ
1
BD.AC.sen
2
R
R l
O
D
A
B
ap
l
A
ÁREA DE
A1 = A2
UN
POLÍGONO REGULAR
l
l
l
38
En el triángulo AOB:
AB = l
1
1
A  b.h  .l.ap
2
2
En todo el polígono:
1
A  6( .l6 .ap)
2
En general:
n.l
1
A  n .apn  .p.ap
2
2
A  A1 (sec torAOB)  A2 (AOB)
ÁREA DE LA CORONA CIRCULAR
A
B
O
r
R
(Aquí; p = perímetro del polígono)
360
Como: m AOB 
n
360 
 R.R
A  n(ÁreaAOB)  n 
sen(
)
n 
 2
Luego:
A   (R 2  r 2 ) ó A= (AB) 2
ÁREA DEL TRAPECIO CIRCULAR
A
B
C
A
nR
2
sen(
360
)
n
D
r
O
R
ÁREA DEL CÍRCULO
R
 AB  CD 
A
 (R  r)
2



A
(R 2  r 2 )
360
O
ó
A   R2
LÚNULAS DE HIPÓCRATES
ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR
B
A1 + A2 + S1 + S2
A
S1
R
A1
A
α
O
A
R
C
S2
B
A   R2

360
LR
Si: AB  L ; A 
2
ÁREA DEL SEGMENTO CIRCULAR
A
A = A1 + A2
GE
OMETRÍA CARTESIANA
PLANO CARTESIANO
R
O
A2
β
R
y
B
x
P(x,y)
-2 1
Q(-2,-2)
S(5,1)
-2
x
5
x
39
La distancia de P a Q:
Las rectas perpendiculares se llaman ejes
cartesianos.
Eje X: eje de las abscisas.
Eje Y: eje de las ordenadas.
Para el punto P:
Abscisa → x
Ordenada → y
El par ordenado (x,y) constituye las
coordenadas del punto P.
Las rectas reales perpendiculares en el plano
constituyen un sistema de coordenadas.
Las coordenadas de Q son:
Abscisa: -2
Ordenada: -2
Las coordenadas de S son:
Abscisa: 5
Ordenada: 1
PQ  (x 2  x1 )2  (y2  y1 )2
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA
RAZÓN DADA
y
y2
Q
M
y
y1
P
x
ESPACIO CARTESIANO
Z
x
x2 x
Los triángulos rectángulos sombreados son
semejantes, por tanto:
z
x  x1 y  y1

k
x 2  x y2  y
P(x,y,z)
Y
y
x
Despejando x e y, que son las coordenadas de
M, obtenemos:
M
X
Las
coordenadas de P son: x, y, z.
x
x1  kx 2
1 k
y =
y1  ky 2
1 k
Z
5
P
PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Si M fuera punto medio sus coordenadas serían:
-3
M
Y
x
4
X
x1  x 2
2
y
y1  y2
2
Las coordenadas de P son: 4, -3, 5
PENDIENTE DE UNA RECTA (m)
DISTANCIA EN EL PLANO
y
y2
Q
y2 – y1
y1
P
x1
x2 – x1
x2
x
El ángulo de inclinación de una recta es el que
forma con el eje x positivo.
La pendiente (m) de una recta se define como
la tangente trigonométrica de su ángulo de
inclinación.
40
Y
Y2
Y1
A
α
C
x1
m  tg 
L1 // L2  m1  m2
RECTAS PERPENDICULARES
L
B
X
x2
El producto de sus pendientes es -1.
m  m2
tg900  1
   1  m1.m 2  0
1  m1.m 2
m1.m2  1
ECUACIÓN DE LA RECTA
y 2  y1
x 2  x1
Recta que pasa por el origen
PROPIEDADES DE LA PENDIENTE
1ra. Si los puntos A y B se intercambian, la
pendiente permanece constante.
y 2  y1 y1  y 2

x 2  x1 x1  x 2
y  mx
Ecuación explícita de la recta
y  mx  b
Forma punto pendiente
2da. La pendiente de una recta o de un
segmento es siempre un número real.
y  y1  m(x  x1 )
Ecuación simétrica de la recta
3ra. De acuerdo al valor de m:
Si m = 0 → α = 0 (recta horizontal)
Si m > 0 → α es ángulo agudo
Si m → ∞ α = 90 (recta vertical)
Puntos de intersección con los ejes:
(a,0) y (0,b); entonces
x y
 1
a b
Ecuación general de la recta
y
P1(x1,y1)
Si m < 0 → α es ángulo obtuso
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Y
L1
L1
L2
x
θ
β
α
X
Ax  By  C  0
Distancia de un punto a una recta
tg 
m1  m 2
1  m1 .m 2
L1→Ax+By+C=0
d
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
RECTAS
Ax1  By1  C
A 2  B2
ÁREA DEL TRIÁNGULO
RECTAS PARALELAS
Sus pendientes son iguales.
41
x 2  y2  r 2
y
B(x2,y2)
Forma general de la ecuación de la
circunferencia
En la forma CANÓNICA:
x
A(x1,y1)
C(x3,y3)
(x  h) 2  (y  k) 2  r 2
Al desarrollar tenemos:
x 2  y 2  2hx  2ky  h 2  k 2  r 2  0
A
1
(y1  y3 )x 2  (x1  x 3 )y 2  x1 y3  x 3 y1
2
Y haciendo:
A  2h;
x1 y1 1
1
A  x 2 y2 1
2
x 3 y3 1
Resulta:
x 2  y 2  Ax  By  C  0
Ecuación de la recta que pasa por los puntos
P1(x1,y1); P2(x2,y2)
x
y
B=-2k; C= h 2  k 2  r 2
IMPORTANTE
En la forma canónica de la ecuación de una
circunferencia, podemos decir cuáles son el
centro y el radio de la circunferencia:
1
x1 y1 1  0
Centro = (h,k), Radio = r.
x 2 y2 1
Por ejemplo, si se da la ecuación
LA CIRCUNFERENCIA
( x  1)2  ( y  2)2  9 , sabemos que el centro
ECUACIÓN
es (-1,2) y el radio es 3.
Y
Si la ecuación anterior se diera en la forma:
P(x,y)
x2  y 2  2 x  4 y  4  0
y
Tendremos que convertirla a la forma canónica,
completando cuadrados, así:
r
k
C(h,k)
x2  2 x  1  y 2  4 y  4  4  5
X
0
h
x
Lo que nos da la ecuación canónica anterior.
La ecuación de la circunferencia cuyo centro es
(-3, -5) y radio 7, es:
(x  h) 2  (y  k) 2  r 2
Centro de la circunferencia en el origen
( x  3)2  ( y  5)2  72
Ecuación de la circunferencia que pasa por
tres puntos no colineales.
42
Y
La recta fija , DIRECTRIZ de la parábola (L).
P(x,y)
Recta (e): EJE de la parábola.
Punto (I): intersección del eje y directriz.
r
X
C(0,0)
Punto (V): VÉRTICE.
DE : CUERDA.
BT : CUERDA FOCAL. Si es perpendicular al
eje se llama LADO RECTO.
Sean los puntos:
AF, BF, TF, etc : RADIO FOCAL o RADIO
VECTROR.
P1 (x1 , y1 );P2 (x 2 , y2 );P2 (x 3 , y3 )
x 2 y2
x
x12 y12
x1 y1 1
x
2
2
y
2
2
x 32 y32
y
En general, si P es un punto cualquiera de la
parábola, el segmento FP, se llama RADIO
FOCAL de P, o RADIO VECTOR.
1
x 2 y2 1
0
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE
VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE EN UN
EJE COORDENADO
x 3 y3 1
LA PARÁBOLA
Definición.- Una PARÁBOLA esa el lugar
geométrico de un punto que se mueve en un
plano de tal manera que su distancia de una
recta fija, situada en el plano, es siempre igual a
su distancia de un punto fijo del plano y que no
pertenece a la recta.
L
Y
A
P(x,y)
V
X
F(p,0)
L
C’
C
B’
x=–p
D
y 2  4px
p>0
B
A’
A
L
Y
e
I
S’
T’
U’
V
F
X
S
F(p,0)
V
P(x,y)
T
U
E
A
x=–p
y 2  4px
p< 0
El punto fijo se llama FOCO (F)
43
LA ELEIPSE
La ELIPSE es el lugar geométrico de un punto
que se mueve en un plano de tal manera que la
suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese
plano es siempre igual a una constante, mayor
que la distancia entre los dos puntos
£’
Y
F(0,p)
P(x,y)
y=–p
B
X
A
E
D
V
P
L
L
A
x 2  4py
p>0
Y
V’
F’
£
C
F
B’
A
y=–p
V
L’
L
X
P(x,y)
F(0,p)
V
A’
E’
D’
Los dos puntos fijos F y F’ se llaman FOCOS
de la elipse.
La recta £ que contiene a los focos es el EJE
FOCAL.
x 2  4py
p<0
El eje principal interfecta a la elipse en los
VËRTICES V y V’.
La porción del eje focal, entre V y V’ se llama
EJE MAYOR.
EJEMPLO
El punto C del eje focal se llama CENTRO.
Hallar la ecuación d la parábola, las
coordenadas de su foco, l ecuación de la
directriz y la longitud de su lado recto, si su
vértice está en el origen y cuyo eje coincide con
el eje y, pasando además por el punto (4, -2).
Solución
x2 = 4py
16 = 4p(-2), de donde p = -2
Por lo que la ecuación de la parábola es
x2 =-8y
Como el foco es el punto (0, p), es decir
El foco es (0, -2).
La ecuación de la directriz es
Y = -p; es decir y = 2
La longitud del lado recto es 4 p  8
La recta £’, perpendicular a £, se llama EJE
NORMAL.
El segmento AA’ se llama EJE MENOR.
Un segmento como BB’, que une dos puntos
distintos cualesquiera de la elipse, se llama
CUERDA.
Si una cuerda pasa por unos de los focos, como
EE’, se llama CUERDA FOCAL.
Una cuerda focal, perpendicular al eje focal,
como LL’, se llama LADO RECTO. Toda
elipse tiene dos lados rectos.
Una cuerda que pasa por C, tal como DD’, se
llama DIÁMETRO.
Si P es un punto cualquiera de la elipse, los
segmentos FP y F’P, se llaman RADIOS
VECTORES de P.
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EJEMPLO
ECUACIÓN DE LA ELEIPSE DE CENTRO
EN EL ORIGEN Y EJES DE
COORDENADAS LOS EJES DE LA
ELIPSE
Y
A
P(x,y)
V’
F’(-c,0)
X
0
F(c,0) V
A’
Haciendo
( x  c)2  y 2  ( x  c)2  y 2  2a
Donde a es una constante. Y efectuando las
operaciones indicadas, y reemplazando b2 por
a 2  c 2 , tendremos:
x2 y 2

1
a 2 b2
Que es la ecuación de la elipse de centro en el
origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a
2c y cantidad constante igual a 2 a .
Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y,
por lo que las coordenadas de los focos son (0,c)
y (0,-c), la ecuación de la elipse es:
x2 y 2

1
b2 a 2
Para cada elipse, a es la longitud del semieje
mayor, b la del semieje menor, y a , b y c están
relacionados así:
a 2  b2  c 2
También, para cada elipse, la longitud de cada
LADO RECTO, es
2b 2
.
a
Y la excentricidad está dada por:
e
c
a 2  b2

1
a
a