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Sistemas de ecuaciones - Bruño Sistemas de 1er grado - ECUACIONES DE PRIMER GRADO Ejercicios y problemas hace tres años. ¿Qué edad tiene mi hermano? Resuelve las siguientes ecuaciones: 16 Busca un número al que sumando 1 4x - [5 + 2(3 - 2x) + 4x] - 6 = 8 2 3 sus tres cuartas partes más su quinta parte y quitándole la mitad se convierte en 36. x 8 13x 17 2 3 6 3 17 2x 1 3x 6 x 3 x 5 3 5 18 5 [2x -4(3x + 1)] = 20 - 10x. 4 (x+1)·(x-1)+(x+1) = (x+2)2 + 3 5 5x x 4 3x 3 x 1 19 30 5 4x 5 x 5 x 5 2x 5 3x 5x 9 4 3x 3 6 2 2 20 Un ciclista sale de Madrid a la 6 2 4 8 2x 5x 3 3 3 9 7 3x 2 4x 2 3x 2 7 5 10 8 4 3x 2 x 1 5x 5 9 7x 5( x 9) 8 una de la tarde y marcha a 24 km/h. A las cinco de la tarde sale, por la misma carretera y en el mismo sentido que el primero, otro ciclista que va a 40 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo alcanzará el segundo al primero? 21 La mitad de mi paga, más la 20x tercera parte, más la cuarta parte, más 45 pesetas es igual a 448. ¿Cuánto me dan de paga? 3 2 22 La suma de tres números es 145. 6 Calcúlalos sabiendo que el primero es igual al segundo más 20 unidades y que el mayor es igual al duplo del menor más 5 unidades. 10 (x - 3).(x + 5) = (x - 1)2. 11 Encuentra un número cuyo doble disminuido en su mitad sea igual al mismo número aumentado en una unidad. 23 12 El abuelo de Pedro reparte 200 24 Félix tiene 9 años más que su pesetas a sus tres nietos; el mayor recibe 10 pesetas más que el menor y el mediano recibe tanto como los otros dos juntos. ¿Cuánto recibe cada uno? 13 14 2 3x 4 4 5x 2 3 4 3 9 6 hermana y hace tres años sólo tenía el doble. ¿Cuántos años tienen actualmente cada uno? 2x 2 3x x 2 3 10 2 3x 1 5 x 1 2 4 3 6 3 2 15 La edad actual de mi hermano es igual al doble de la que tiene si se le resta el cuádruplo de la que tenía 25 3 7 1 4 3 x 4x 5 3 3 3 4 4 26 2 x 1 x 1 x 1 27 4 3x 2 x 1 x 1 28 Un perro persigue a un gato y lo alcanza 1 a los 200 m. Si el perro Sistemas de ecuaciones - Bruño 41 corre a 10 m por segundo y el gato a 5 m por segundo, ¿en cuánto tiempo lo habrá alcanzado? 29 En una granja hay palomas y conejos. En total hay 97 cabezas y 302 patas. ¿Cuántos animales hay de cada clase? 5x 2 5 4 5 3x x 4 3 4 3 4 42 30 Halla un número sabiendo que si a 43 Un padre tiene 46 años y su hijo su consecutivo lo dividimos por 4 nos resulta el primero disminuido en 17 unidades. 31 5 4x 2 4 2x 2 3 6 5 3 5 32 3x 3 5x 3 2 x 2 x 4 3x 1 3 3 x 3 4x 4 2 4 8 2 4 12 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será triple que la del hijo? 44 33 En un pentágono irregular cada Las comparsas de dos pueblos distantes 22 km salen al encuentro con sus carrozas. La del pueblo A, recorre a 2,5 km cada media hora y la del pueblo B 6 km por hora. Salen a las 12 del mediodía. ¿En qué punto se encontrarán? ¿Qué hora será? ángulo interior mide 20° más que el anterior. ¿Cuánto mide cada ángulo? 45 Durante un programa de televisión intervienen 77 personas. Sabiendo que participan personas de nacionalidad española y extranjera y que al número de españoles le faltan 10 para ser el doble que el de extranjeros, ¿cuántas personas hay de cada nacionalidad? 34 Un padre deja su herencia a los hijos: a uno la mitad, a otro la tercera parte, a otro la doceava parte, y 6 millones para saldar deudas. ¿Cuántos millones dejó? 35 36 46 5 3 x 7 x 2 x 2 x2 4 2x 4 2 x 1 Halla dos números impares consecutivos tales que la diferencia de ambos sea igual al doble del menor. 5 4 x 1 x 1 47 37 Halla tres números impares consecutivos tales que la quinta parte del segundo más el primero exceda en once al tercero. 48 Una persona gastó el primer día de viaje segundo quedaba pesetas. 38 Se quieren repartir 2 850 pesetas entre tres personas de modo que la primera sea a la segunda como 6 es a 11 y la tercera tenga 300 pesetas más que las dos primeras juntas. ¿Cuánto le toca a cada uno? 39 3 2x 3x 49 5 3 4 3 4 16 1/5 del día la y aún ¿Cuánto dinero que tenia; el mitad de lo que le le sobraron 14400 dinero tenia? 49 Se tiene una lámina cuadrada de chapa y en ella se recorta un circulo inscrito de 28,26 cm2 de área. ¿Cuál será la superficie de chapa sobrante? 5 1 3x 4x 1 4x 8 4x 2 3 2 3 2 3 50 ¿Cuánto mide el circulo sabiendo que equivalente a la de un 5 cm de base y 15,70 cm 40 Un kilogramo de arroz costaba hace años, 15 pesetas más que un kilo de azúcar. Sabiendo que 3 kg de arroz y 5 de azúcar costaban 365 pesetas, halla el precio de un kilogramo de cada producto. radio de un su área es rectángulo de de altura? 51 En una fracción el numerador es 13 unidades menor que el denominador. Si se añade 5 al numerador y se resta 5 al denominador se obtiene la 2 Sistemas de ecuaciones - Bruño fracción 2/3. primitiva. Halla la 62 La suma de dos números es 9 y su fracción cociente también es 9. Halla dichos números. 52 La base y la altura de un rectángulo se diferencian en 6 cm. Si la base aumenta 3 cm y la altura disminuye en 2 cm, el área disminuye en 14 cm2, ¿cuáles eran las dimensiones del rectángulo primitivo? 63 La suma de las edades de un matrimonio es de 75 años. Averigua las edades de los cónyuges sabiendo que la cuarta parte de la edad de la mujer, aumentada en sus cinco sextos es igual a la suma de ambos menos la edad de ella. 53 Divide el número 48 en dos partes, de modo que al dividir una parte entre 6 y la otra entre 8 su diferencia sea igual a 1. 64 Halla tres números consecutivos tales que los 2/5 del primero más los 3/11 del último sea igual a los 2/3 del segundo. 54 Divide 45 en dos partes tales que el cuádruplo de la menor disminuida en 12 unidades sea igual a la mayor aumentada en 18 unidades. 65 Encuentra tres números cuya suma sea 472, sabiendo que el mayor vale los 3/2 del menor y que el valor del mediano es solamente 8 unidades inferior al del mayor. 55 Se compran 22 animales entre gallinas y conejos. ¿Cuántos se han comprado de cada clase si en total se ha pagado 11 600 pesetas y el precio de una gallina es 800 pesetas y el de un conejo 300 pesetas? 66 En un concurso radiofónico, cada pareja participante debe contestar 10 preguntas de cultura general. Por cada respuesta correcta gana 5 puntos; por cada respuesta incorrecta pierde 3 puntos. Si al terminar el concurso una pareja participante tenía 18 puntos, ¿cuántas respuestas acertó? 56 Halla tres números pares consecutivos sabiendo que el doble del primero menos la tercera parte del segundo excede en 34 al tercero. 57 ¿Cuánto tiempo necesitan dos automóviles en separarse 810 km, si parten de un punto común en sentidos opuestos con velocidades de 60 y 75 km/h, respectivamente? ¿Qué distancia ha recorrido cada uno de ellos? 67 Andrés tiene siete años más que su hermana y dentro de 6 años tendrá el doble de la edad de ésta. ¿Cuántos años tiene cada uno? 68 ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, sabiendo que es 2,85 cm mayor que el radio de una circunferencia y que sus perímetros respectivos son iguales? 58 Encuentra dos números que sumen 96 y que escritos en fracción resulta otra equivalente a 3/5. forma de fracción 59 ¿Qué número hay que añadir a los 69 Un vendedor de periódicos vende dos términos de la fracción 3/5 para que sea equivalente a 5/6? en una cafetería los 3/5 de los que tenía; compra entonces 25 ejemplares más y entra en otra cafetería vendiendo 7/9 de los que llevaba. Si todavía le sobran 10 ejemplares, ¿cuántos tenía al principio? 60 ¿Cuáles son las edades de Pedro y Rosa, si Pedro tiene 3 años más que Rosa y la diferencia de los cuadrados de sus edades es 111? 70 El numerador de una fracción es 61 12 unidades mayor que el denominador. Si se añade tres al numerador y se resta tres al denominador la fracción resultante es igual a 10. ¿Cuál es la fracción? Encuentra cuatro múltiplos consecutivos de 5, sabiendo que la suma de los dos primeros dividida por 3 equivale al cuarto más 130 unidades. 3 Sistemas de ecuaciones - Bruño 71 Ana gasta un día la mitad del d) y + 2x = 6. dinero que tenia ahorrado; al día siguiente la mitad de lo que quedaba; el tercer día la mitad del resto; y el cuarto día sólo quedaban 8 pesetas. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado? SITEMAS DE ECUACIONES Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones: ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS 79 x y 5 x 2y 6 80 x 3 y 5 x y 1 81 x 2y 1 2x y 7 grado con dos incógnitas y encuentra a continuación cinco pares de valores que la satisfagan. 82 3x 2 y 5 x y 5 75 83 76 Encuentra dos valores de x y sus Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones: 72 Dada la ecuación 2x + y = 6, encuentra el valor que tomará cuando x valga 1, 2, -1, -2 y 0. y 73 Dada la ecuación 3x - 2y = 4, calcula los valores que tendrá x si y vale 0, -2, -3, 4, 5. 74 Escribe una ecuación de primer Halla cinco soluciones a la ecuación x + y = 9. ¿Es posible? ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de primer grado con dos incógnitas? Dos números enteros suman 9. Hállalos, planteando primeramente una ecuación de dos incógnitas. ¿Cuántas soluciones son posibles? correspondientes de y, que sean números enteros negativos y que satisfagan la ecuación: x - y = 1. 84 x 2y 5 x 3 y 5 los valores que tomen x e y, respectivamente, en las siguientes ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. 85 5x 3 y 1 x 2y 8 a) x + y = -1. d) x - y = 9. 86 2x 3 y 5 3x 2 y 14 b) 2x + y = 3. e) 2x - 2y = 2. 87 4x y 5 3x 2 y 12 77 comprueba si 4 y -5 pueden ser c) 3x + 2y = 22. 78 Busca dos valores de x que sean 88 Dos números enteros positivos suman 9. Hállalos, planteando primero la ecuación correspondiente. ¿Cuántas soluciones son posibles? números enteros impares negativos que resuelvan las ecuaciones siguientes. Luego halla el valor que tendrá y en cada caso: Resuelve sistemas: Valores x: Valores y: a) 3x + 4y = 7. 89 b) x - 2y = -3. c) 2x - y = 1. 4 3x 5 y 2 2x y 6 por sustitución los Sistemas de ecuaciones - Bruño x 3y 6 x 2y 1 90 Resuelve por igualación siguientes sistemas: 91 Comprueba cuáles de las siguientes igualdades son ciertas para x = 4 e y = -3. a) 3x + 4y = 2x + 2y - 2 101 x 4y 9 3x 6 y 9 102 2x 3 y 7 3x 4 y 2 103 5x 3 y 1 5x y 11 104 7x 4 y 1 3x 2 y 12 b) x - y = 8 - x + y c) 2x - 2y = 5x + 2y d) x y 0 4 3 Resuelve sistemas: por sustitución los los 105 92 3z 4 y 1 2z y 1 93 4m 3n 11 5m 2n 8 En las siguientes ecuaciones suma los primeros miembros entre sí y también los segundos miembros entre sí. 3x + 2y = 7 4x - 6y = -6 Suma 1.os miembros = Suma 2.os miembros = 94 Dos números enteros consecutivos 2x - 2y = 2 4x + 2y = -6 Suma 1.os miembros = Suma 2.os miembros = suman 9. Hállalos, planteando la ecuación. ¿Cuántas soluciones son posibles? Compara la respuesta con los ejercicios 83 y 88. Resuelve por igualación siguientes sistemas: Resuelve por el método de igualación los sistemas: 106 5x 3 y 1 4x y 11 95 3x 2 y 4 2x 3 y 1 107 3x 5 2y 4x y 14 96 x y 5 x 3 y 9 108 3x 5 y 20 7x 4 y 39 97 x 2y 6 x 3 y 1 109 7x 3 y 8 5x 3 y 50 98 x 3 y 0 x y 8 Resuelve sistemas: 99 110 Realiza indicadas: por sustitución a) los 4x 6 y 6 c) x 2y 6 3x y 4 100 3x 2y 7 las b) los operaciones 4x y 0 3x 2y 6 3x y 8 2x y 6 111 Resuelve por igualación y por 3x 2 y 5 x 3y 9 sustitución el siguiente sistema: 5 Sistemas de ecuaciones - Bruño x 3y 5 3x 2 y 4 123 Resuelve por el método de reducción los sistemas propuestos en los ejercicios 112 a 115. 112 5x 3 y 16 3x 3 y 0 113 2x y 7 x 3 y 0 114 3x 2 y 7 5x y 3 115 3x 2 y 33 7x y 44 4x 3 y 24 y 5 4 124 x 125 su diferencia números. 118 119 3 x 15 y 3 15 y 4x 120 x 3 y 3 2x 6 6 y 27. Halla dichos Halla dos números cuya diferencia sea 140, sabiendo que los 3/5 más los 2/7 de su suma es 806. Resuelve por el método que quieras, procurando variar, los sistemas: 128 3( x 4) 2(2y 3) 6x 4 4 y 4 y 41 5 129 x 5 y 23 4 5x Resuelve por reducción los sistemas; y 3x 1 5x 3 y 9 es 127 sustitución el sistema: 5x 9 2 y 3x 5 y 12x 7y 36 5x 3 y 16 x 2(11 y ) 2y 4 3( x 2) 126 La suma de dos números es 277 y 116 Resuelve por igualación y por 117 5x 4( y 1) 7 2x y 130 3x 2(3 y 8)) 1 2(3 x) y 2 2 131 x 1 1 y 4 x 1 y 1 5 x y x y 1 2 132 4 2y 3x 13 3 121 Resuelve por los tres métodos el sistema: 2x 3 y 26 2( x 5 y ) 0 5x 2 y 11 133 3 5 x 3 y 2 1 4 3 Resuelve por el método que prefieras los siguientes sistemas: x y 12 122 x y 8 2 3 134 Compro 2 revistas por 270 pesetas. ¿Cuánto me costó cada una si una valía 30 pesetas menos que la otra? Plantea el sistema y resuélvelo. 6 Sistemas de ecuaciones - Bruño Resuelve sistemas: por sustitución 2x 3 y 1 x y 5 los Resuelve los siguientes sistemas de 3 ecuaciones: x 2y 135 3x 2y 5 4 3 136 2x y 4 146 y z 2 z x 1 3 x y 2 y 3x 46 x y z 6 137 La diferencia de dos números es 6 y su cociente también es 6. Halla dichos números. 2x 3y 3z 9 138 Las edades de dos hermanos suman 148 Busca dos números tales que la 53 años. ¿Cuál es la edad de cada uno, sabiendo que el mayor tiene 4/3 de la edad del menor y 4 años más? suma del doble del mayor con la mitad del menor nos dé 150 y sabiendo que cuatro veces el menor supera en 22 unidades al triple del mayor. Resuelve por reducción los sistemas: 139 x 3( y 2) 5 y 4(7 x) 6 140 x 4 3x 7 10 y 2 4 149 En una feria de ganado hemos comprado tres potros y cinco corderos por 265 000 pesetas, mientras un vecino ha adquirido un potro y ocho corderos por 120 000 pesetas. ¿Cuál era el precio de cada animal? y 150 La suma de dos números es 243. ¿Qué números son si uno es el doble del otro? 141 Halla dos números cuya suma sea 151 Un canaricultor vende los canarios a 1 500 pesetas cada uno y las canarias a 600 pesetas, contabilizando una venta de 57 000 pesetas. Si las canarias exceden en 5 al doble de los canarios, ¿cuántos hay de cada sexo? 40 y que estén en razón de 2 es a 3. 142 Divide el número 54 en dos partes de modo que al multiplicar una por 3 y la otra por 2 el resultado sea 128. Resuelve por el método que prefieras los sistemas: x 2y 143 2x y 6 147 3x 2y z 2 152 Los 3/5 de un número es igual a la mitad de otro. Teniendo en cuenta que el doble del primer número supera en 40 unidades al segundo, ¿de qué números se trata? 2 153 Un comerciante compra manzanas 2( x 3) 3( y 2) 1 3 6 144 x 2 2(3 y ) 0 2 145 Escribe el texto de un problema golden y reineta por 7 650 pesetas. El precio de la variedad golden es de 50 pesetas/kg, en tanto que la reineta vale 90 pesetas/kg. Si la cantidad de manzanas golden son las 3/4 partes de la reineta, ¿cuántos kilos de cada clase se han comprado? cuyo planteamiento sea el siguiente sistema y resuélvelo. Resuelve los sistemas siguientes: 7 Sistemas de ecuaciones - Bruño x 2y z 1 154 2x 3y 5z 9 3x 2y 2z 7 2y 6 3 3( x y ) x ( y 4) 4x 164 5 2x 3 y 9 155 x 3z 6 y z 1 165 3( x y ) 2( y x) 5 2( x y ) 3( x y ) 13 166 Dos investigadores tienen 48 ratones blancos para experimentar. Si el primero de ellos le da dos ratones al segundo, éste tendrá el doble de animales que aquél. ¿Cuántos animales tiene cada uno? 156 El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro dan los 44 años de su padre. Y dentro de dos años la edad de Juan será el doble que la de Pedro. ¿Cuántos años tienen ahora? 167 La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace cinco años la edad del padre era triple de la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno? Resuelve los siguientes sistemas por el método que quieras. 157 3x 5 4 y 2x 2 2 2y 158 3 y 4x 11 10 2y 3x y 6 ruedas. Si disminuyera en dos el número de vehículos de 6 ruedas habría doble número de éstos que de cuatro ruedas. ¿Cuántos vehículos hay de cada clase si en total se contabilizan 156 ruedas? x 3y 169 168 En un taller hay vehículos de 4 En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de patas 4280. Si disminuimos en 70 el número de cerdos, el número de gallinas será el triple que éstos. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay? 159 2x y 3 3 160 y 1 2 z y 1 3 x z 1 4 161 x y 4a y x 2a x 162 170 Dos terrenos que tienen forma de polígono regular miden de lado 90 y 60 m, respectivamente, y la suma de sus perímetros es de 1 320 m. ¿Cuántos lados tiene cada terreno si el mayor de ellos tiene 3 lados más? 171 La suma de las edades de un padre, una madre y su hijo es de 142 años. Si sumamos la edad de los padres nos da seis veces la edad del hijo más dos años, mientras que si restamos a la edad del padre la de la madre el resultado es la décima parte de la edad del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno? 5 y 7 4x 3x 9 y 163 Por 7 m de cinta y 5 de tela hemos pagado 3 625 pesetas. Sabiendo que el metro de tela cuesta 425 pesetas más que el metro de cinta, averigua el precio de cada cosa. 172 En un partido de fútbol se recaudan 7 622 500 pesetas. Las mujeres y los niños pagaron a 300 pesetas cada uno, y los hombres a 700 pesetas. Sabiendo que el número de hombres excedía en 1 711 al triple Resuelve los siguientes sistemas por el método que quieras. 8 Sistemas de ecuaciones - Bruño del número de mujeres y niños, ¿cuántos hombres, mujeres y niños había en dicho partido? 180 La suma de dos números con el anterior del mayor es 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor, ¿cuáles son dichos números? 173 Halla dos números en los que la tercera parte del mayor es doble del número anterior al menor y que la diferencia entre el mayor y el cuádruplo del menor sea 8. 181 Halla un número de dos cifras tal que la cifra de las decenas sea el doble más tres de la de las unidades y que cambiando el orden de sus cifras el número resultante es 27 unidades menor que el primero. 174 La razón entre los lados de dos polígonos regulares es 13/5 y el lado de uno de ellos mide 16 cm más que el del otro. ¿Cuánto mide el lado de cada uno de los polígonos? 182 Representa en el mismo sistema de coordenadas las dos funciones siguientes y fíjate dónde se cortan sus gráficas. 175 Halla dos números tales que el mayor supere al doble del menor en 12 unidades y que la suma de ambos números dé el mismo resultado que la mitad de la diferencia entre el décuplo del menor y el mayor. y = 4x - 3 X y 4y = 5x + 10 x y 176 En un aparcamiento hay coches y motos. En la primera planta hay 78 vehículos, y en la segunda hay 64. ¿Cuántos vehículos de cuatro ruedas hay en cada planta, si en la primera hay 40 ruedas más que en la segunda y en total hay 504 ruedas? Punto de corte = ( , ). 183 Resuelve por el algebraico que quieras el siguiente: y 4x 3 4 y 5x 10 Compara el resultado con ejercicio anterior. 177 Dos ciclistas parten de dos ciudades separadas por 256 km. Si los dos ciclistas circulan en el mismo sentido tardan en encontrarse 16 horas, pero si circulan en sentidos opuestos tardan tan sólo 4 horas. ¿Qué velocidad lleva cada uno de ellos? método sistema el del Resuelve por el método de reducción y gráficamente los dos sistemas siguientes: 178 Con una representación teatral se recaudan 64 080 pesetas y asisten 704 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el doble de personas mayores es menor en 20 unidades al quíntuplo de los niños y si las mujeres fueran la mitad estarían el doble que los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños asistieron? 184 1 x 3y 40 y 3 3x 185 4 y 10 x 5 x y 179 En un colegio hay 372 personas 186 entre profesores, chicas y chicos. Si al doble del número de profesores se le añade el número de chicas se tienen cien personas menos que el triple del número de chicos. Si las chicas aumentaran en tres su número sería el doble que el de los chicos. ¿Cuántos hay de cada uno de estos grupos? Luego comprueba la solución mediante el método de sustitución. Resuelve gráficamente 2x 3 y 18 sistema: 2( x 5 y ) 0 9 el Sistemas de ecuaciones - Bruño Resuelve gráficamente los sistemas de ecuaciones: 187 6x 3 y 2 1 3x y 6 188 y x 4 2 y 3x 5 189 3x 5 y 2y 4 x 4 190 Con las dos tablas siguientes forma un sistema de dos ecuaciones. A continuación, resuélvelo gráfica y numéricamente x y 0 -6 1 -5 6 0 -1 -7 x y 0 0 2 1/2 4 1 -3 -3/4 Sistema: 191 Escribe dos ecuaciones de 1.er grado con dos incógnitas cuyas gráficas correspondientes pasen por el punto (0, 0). A continuación resuelve el sistema por el método que prefieras. 192 Resuelve sistema: 3x 2 y 5 6 x 4 y 10 gráficamente ¿Qué observas? Resuelve gráficamente sistemas siguientes: 193 el los dos 2y x 26 x 2y 3 y 2x 5 194 y 2x 17 7 195 A partir de las rectas del gráfico reconstruye el sistema que las ha originado. Después comprueba su solución por el método algebraico que quieras. 10