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1 · Números
y fracciones
VAMOS A CONOCER…
Los números naturales y los enteros
Los números primos
• Descomposición en factores primos
Máximo común divisor y mínimo
común múltiplo
Fracciones
Operaciones con fracciones
Los números decimales
¿QUÉ NECESITAS SABER?
Operar con números enteros
Calcula:
a) –3 – 5
c) –2 + 7
e) –2 + 3(–5) – 3(–4)
b) 3 – 10
d) –2 + 3 – 5 + 6 – 7 + 9 – 8
f) –2 – 3(–3 + 7)
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:
a) 12 y 16
b) 18 y 21
c) 8 y 6
d) 16 y 20
5 1 3
c) − + ⋅
6 2 2
d)
Operar con fracciones
Calcula:
a)
1 2
+
4 3
b)
3 1
−
4 5
1 3 2⎛ 1 ⎞
− + ⎜ − 1⎟
2 4 3⎝ 4 ⎠
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Cuando servimos el café en tazas estamos fraccionando el contenido de la cafetera. Por ejemplo, si
la cafetera es de 9 tazas y llenamos 3, diremos que
3
hemos servido
del café.
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Matemáticas
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1. Los números naturales y los enteros
Utilizamos los números naturales cuando contamos u ordenamos un conjunto de elementos.
d
El conjunto de los números naturales es el siguiente:
= {1, 2, 3, 4, 5…}
El concepto de número cambia con los números enteros. A partir de ahora
los números tienen signo positivo o negativo y se incluye el cero.
Los números positivos se identifican con los números naturales. Por eso
hablamos de 3 en lugar de hablar de +3.
!
1.1. Representación de los números enteros en una recta
RECUERDA…
El opuesto de a es –a.
Representamos los números enteros en una recta de forma que los positivos
estén a la derecha del cero y los negativos a la izquierda.
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
De esta forma, dados dos números enteros a y b, a es menor que b si está
a la izquierda de b en la recta.
!
1.2. Suma de números enteros
RECUERDA…
d
Para sumar dos números enteros seguiremos la siguiente regla:
• a menor que b se escribe a < b.
• Si tienen el mismo signo, se suman y se deja el mismo signo.
• a mayor que b se escribe a > b.
• Si tienen distinto signo, se restan y se pone el signo del que tenga
mayor valor absoluto.
• a menor o igual que b se escribe
a ≤ b.
• a mayor o igual que b se escribe
a ≥ b.
Ejemplos
• –3 – 8 = –11 (mismo signo)
• 2 – 4 = –2 (distinto signo)
• –5 + 2 = –3 (distinto signo)
• –3 + 8 = 5 (distinto signo)
Las sumas de más de dos números enteros las realizaremos por partes, primero los números positivos y luego los negativos.
Ejemplo
−2 + 3 − 4 + 5 − 6 − 7 + 1 = 3
+ 5 +1−
2 − 4 − 6 −
7 = 9 − 19 = −10
Positivos
Negativos
ACTIVIDADES
1. Calcula:
a) –12 – 15
c) 15 – 23
e) 21 – 63
g) 51 + 15
b) –15 + 27
d) –14 + 2
f) –21 + 15
h) –43 – 72
2. Calcula las siguientes operaciones:
a) –2 + 3 – 4 + 5 – 7 + 12 – 3
b) –13 + 5 – 7 + 8 – 9 + 12
3. Ordena de mayor a menor: –4, 6, –1, –2 000, –2 001, 17, –9, 0
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1.3. Multiplicación y división de números enteros
d
Para multiplicar o dividir números enteros, multiplicamos o dividimos
los números y establecemos el signo utilizando la regla de los signos.
Ejemplos
• –5 · (–3) = 15
• 3 · (–2) = –6
• –4 · 5 = –20
• 2·3=6
Regla de los signos
+·+=+
+:+=+
+·–=–
+:–=–
–·+=–
–:+=–
–·–=+
–:–=+
1.4. Potencias de números enteros
d
Definimos a elevado a la n–ésima potencia, an, siendo n un número
natural, como el producto de a por sí mismo repetido n veces:
n veces
an = a ⋅ a ⋅ ... ⋅ a
Signo de las potencias
a es positivo
n impar
a es negativo
n par
an es positivo
n impar
n par
an es negativo
an es positivo
Potencias y paréntesis
(–3)4 es distinto de –34.
Ejemplos
El paréntesis indica que la base de la
potencia es –3.
• (−3) = 3 = 81 (exponente par)
4
4
• (−3)7 = −37 = −2 187 (exponente impar)
• −34 = −81 (el signo no está afectado por la potencia)
En el otro caso, la base de la potencia es 3 y la potencia no afecta al signo negativo.
1.5. Jerarquía de las operaciones
Para realizar operaciones combinadas seguiremos el siguiente orden:
1. Resolvemos los paréntesis, corchetes o llaves.
2. Realizamos las potencias o las raíces que tengamos en la expresión.
3. Multiplicamos y dividimos.
4. Sumamos o restamos.
Signos y paréntesis
Ejemplos
• −2 − ⎡⎣3 − 2(−3)⎤⎦ = −2 − ⎡⎣3 + 6 ⎤⎦ = −2 − ⎡⎣9 ⎤⎦ = −2 − 9 = −11
• 2(3 − 4)3 −
4 = 2(−1)3 −
4 = 2(−1) − 2 = −2 − 2 = −4
Intuitivamente, para utilizar bien los
paréntesis debemos tener en cuenta
que «entre dos signos siempre tiene
que haber un paréntesis».
Mal escrito → –2 + –3
Bien escrito → –2 + (–3)
ACTIVIDADES
4. Calcula las siguientes potencias:
a) −23
b) ( −2)4
c) ( −1)7
d) −26
5. Realiza las siguientes operaciones:
a) − 2( − 5) + ( − 3) ⋅ ( − 4) + 3( − 7)
d) 2 ⋅ ( − 3)2
b) − 2 + 3( − 2) + 2(5 − 7)
e) [3 + 5( − 2) ]
c) − 2 + 3 ⎡⎣5 + 7( − 3) ⎤⎦
f) − ⎡⎣ − 2 + 3( − 5 − 1) − 4( − 8 + 7)11 ⎤⎦
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2. Números primos
Observación
Si a es múltiplo de b entonces b es
un divisor de a.
Dados dos números naturales a y b decimos que:
• a es múltiplo de b si a = n ⋅ b con n natural.
• b es un divisor de a si el resto de dividir a entre b es cero.
⎯⎯⎯
⎯⎯
→b
a←
⎯
Divisor
Múltiplo
d
Un número es primo si los únicos divisores que tiene son el 1 y él mismo.
2.1. Criterios de divisibilidad
• Un número es divisible entre 2 si es par.
• Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3.
• Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó en 5.
• Un número es divisible entre 11 si al restar la suma de las cifras alternas
obtenemos 0 ó un múltiplo de 11.
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
Ejemplos
• El número 350 es divisible entre 2 y 5, pero no es divisible entre 3 ya
que 3 + 5 + 0 = 8, que no es divisible entre 3.
• El número 264 es divisible entre 11, ya que:
⎪⎧ 2 + 4 =
264 → ⎨
⎪⎩6 = 6
a La
criba de Erastótenes es un método para
encontrar los números primos.
6 ⎪⎫
⎬→6−6=0
⎪⎭
• El número 36 451 no es divisible entre 11, ya que:
⎧⎪3 + 4 + 1 =
36 451 → ⎨
⎩⎪6 + 5 = 11
8 ⎫⎪
⎬ → 11 − 8 = 3
⎭⎪
2.2. Descomposición en factores primos
1 008 2
504 2
252 2
126 2
63 3
21 3
77
1
1 008 = 24 ⋅ 32 ⋅ 7
Vamos a descomponer el número 1 008:
1. Como es par, el 2 lo divide, por tanto, empezamos dividiendo entre 2 y
colocamos el resultado a la izquierda de la línea. Mientras se puedan
seguir dividiendo los resultados entre 2, continuamos.
2. Cuando el resultado ya no sea divisible entre 2 pasamos al siguiente
primo, el 3, y así sucesivamente hasta que el resultado sea 1.
3. La descomposición factorial será el producto de los números primos
escritos a la derecha de la línea.
ACTIVIDADES
6. Determina si son primos o no los siguientes números:
a) 3 411
b) 119
c) 91
d) 137
7. Indica si 2, 3, 5 ó 11 dividen a los siguientes números:
a) 325
b) 4710
c) 31 801
d) 24 574
8. Descompón en factores primos los siguientes números:
a) 360
c) 108
e) 728
g) 495
b) 875
d) 1 188
f) 27 720
h) 4 851
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3. Máximo común divisor y mínimo común
múltiplo
3.1. Máximo común divisor
d
El máximo común divisor (MCD) de dos o más números es el mayor
número que los divide a todos.
Para calcular el máximo común divisor de dos o más números seguiremos
los siguientes pasos:
1. Descomponemos los números en factores primos.
2. Tomamos los factores primos comunes elevados al menor exponente de
los que aparecen en las descomposiciones.
3. Multiplicamos los factores seleccionados y obtenemos el MCD.
MCD sin factores
comunes
Si en la descomposición factorial no
hay ningún primo común, el máximo
común divisor es 1.
3.2. Mínimo común múltiplo
d
El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor
múltiplo común a todos ellos.
Para calcular el mínimo común múltiplo de dos o más números seguiremos
los siguientes pasos:
1. Descomponemos los números en factores primos.
2. Tomamos los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor
exponente que aparezca en las descomposiciones.
3. Multiplicamos los factores seleccionados y obtenemos el mcm.
Ejemplo
Calcular el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 45 y 50.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Descomponemos 45 y 50 en factores primos:
45 3
50 2
45 = 32 ⋅ 5
Calcula el máximo común divisor de
140, 63 y 392.
15 3
25 5
55
55
50 = 2 ⋅ 52
MCD (45, 50)) = 5
Descomponemos en factores primos
los números:
1
1
mcm (45, 50) = 2 ⋅ 32 ⋅ 52 = 450
140 = 22 · 5 · 7
63 = 32 · 7
392 = 23 · 72
ACTIVIDADES
9. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:
a) 36 y 45
c) 12 y 16
e) 32 y 36
g) 81 y 54
b) 18 y 24
d) 14 y 21
f) 125 y 35
h) 48 y 72
MCD (140, 63, 392) = 7
mcm (140, 63, 392) = 23 · 32 · 5 · 72 =
= 17 640
10. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:
a) 12, 16 y 18
d) 6, 8 y 18
g) 42, 28 y 21
b) 24, 36 y 12
e) 9, 4 y 12
h) 30, 33 y 18
c) 35, 49 y 21
f) 5, 10 y 21
i) 30, 20 y 50
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4. Fracciones
Una fracción es una división indicada con una línea horizontal donde el
!
dividendo se coloca encima de esta línea (numerador) y el divisor se coloca
RECUERDA…
debajo (denominador):
Los números enteros también son
fracciones:
2=
2
1
−5 = −
5
1
Numerador ⎯⎯
→a
= a:b
Denominador ⎯⎯
→b
4.1. Fracciones equivalentes
d
Diremos que dos fracciones
a
c
son equivalentes si a · d = b · c.
y
b d
Podemos obtener fracciones equivalentes a una fracción dada de dos formas distintas:
• Multiplicando el numerador y el denominador por un mismo número.
• Dividiendo el numerador y el denominador entre un mismo número.
ACTIVIDADES RESUELTAS
Ejemplos
Calcula la fracción irreducible equi72
valente a
.
60
Podemos resolver esta actividad de
dos formas:
• Multiplicando el numerador y el denominador de la fracción
1. Calculando fracciones equivalentes con divisiones sucesivas hasta
que lleguemos a la fracción irreducible:
mismo número obtenemos fracciones equivalentes:
4 4⋅2 4⋅3 4⋅4
4 ⋅ 10
=
=
=
=
=
=
5 5⋅ 2 5⋅3 5⋅4
5 ⋅ 10
4
8
12 16
40
=
=
=
=
=
=
5 10 15 20
50
12
18
tienen divisores comunes, por tanto, podemos obtener fracciones equi-
• Observemos que el numerador y el denominador de la fracción
72 36 18 6
=
=
=
60 30 15 5
valentes dividiéndolos entre un mismo divisor:
2. Descomponiendo en factores primos el numerador y el denominador y simplificando:
72
23 ⋅ 3 2
2⋅3 6
=
=
=
60 22 ⋅ 3 ⋅ 5
5
5
4
por un
5
12 12 : 2 12 : 6
12 6 2
=
=
⇒
= =
8
8 : 2 18 : 6
18 9 3
Fracción irreducible
d
a
es irreducible si el máximo común divisor
b
de a y b es 1, es decir, si a y b no tienen divisores comunes.
Diremos que una fracción
ACTIVIDADES
11. Indica si las siguientes fracciones son equivalentes:
a)
10 6
y
15 9
c)
3 5
y
12 8
b)
9 15
y
21 35
d) 1 y
11
11
e)
7
7
y −
2
2
f)
34 2
y
85 5
12. Simplifica las siguientes fracciones:
a)
54
72
b)
108
172
c)
50
30
d)
18
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4.2. Representación gráfica de fracciones
3
Vamos a representar la fracción
en una recta numérica:
5
1. Dibujamos una recta que pase por el cero y la dividimos en tantas partes
iguales como indique el denominador.
A
2. Trazamos la recta que pasa por A y 1, y las rectas paralelas a ella que
pasan por cada una de las divisiones. Por el teorema de Tales, los puntos
de corte de estas rectas con la recta numérica dividen [0, 1] en cinco par-
0
3
5
1
tes iguales.
3. Finalmente contamos las partes que indique el numerador.
4.3. Reducción de fracciones a común denominador
Dadas dos o más fracciones podemos hallar otras fracciones equivalentes a
ellas que tengan el mismo denominador.
5 7
1
:
,
y
12 18 10
1. Calculamos el mínimo común múltiplo de los denominadores:
Vamos a reducir a común denominador las fracciones
12 = 22 ⋅ 3⎫
⎪⎪
18 = 2 ⋅ 32 ⎬ ⇒ mcm (12, 18, 10)) = 22 ⋅ 32 ⋅ 5 = 180
⎪
10 = 2 ⋅ 5 ⎪⎭
2. El denominador común a las tres fracciones es el mcm, es decir, 180:
5
a
=
12 180
7
b
=
18 180
1
c
=
10 180
3. Para determinar el numerador, dividimos 180 entre el denominador y multiplicamos por el numerador:
5
5 ⋅ 15
75
=
=
12
180
180
7
7 ⋅ 10
70
=
=
18
180
180
18
1
1 ⋅ 18
=
=
180
10
180
4.4. Comparación de fracciones
a
c
Si tenemos dos fracciones
tenemos que:
y
b d
a c
a c
<
si a ⋅ d < b ⋅ c
>
si a ⋅ d > b ⋅ c
b d
b d
Para ordenar más de dos fracciones, reducimos a común denominador y las
ACTIVIDADES RESUELTAS
Ordena de menor a mayor las frac7 3
9
ciones , y
.
5 4 10
Reducimos a común denominador
las tres fracciones:
7 28
=
5 20
3 15
=
4 20
9
18
=
10 20
Nos fijamos en las fracciones que
tienen el denominador común. La
menor fracción será la que tenga el
menor numerador:
15 18 28
3
9
7
<
<
⇒ <
<
20 20 20
4 10 5
ordenamos según sus numeradores.
ACTIVIDADES
13. Representa las fracciones
5 3
y
en una recta.
6 7
14. Ordena de mayor a menor las fracciones
1 3 3
, y .
2 5 7
15. Reduce a común denominador las fracciones
5 3 7
, y
.
6 8 10
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5. Operaciones con fracciones
EJEMPLOS
•
5 3 7 5+3−7 1
+ − =
=
4 4 4
4
4
•
1 3 5
3 18 10 11
+ − =
+
−
=
4 2 6 12 12 12 12
3
3
3⋅5
= 1 =
=3
•
2
2
5 ⋅1
5
5
5.1. Suma de fracciones
d
Para sumar dos fracciones con el mismo denominador se suman los
numeradores y se deja el mismo denominador.
a b a+b
+ =
c c
c
Para calcular sumas de fracciones es necesario que todas ellas tengan el
mismo denominador. En caso contrario, utilizaremos la técnica de reducción a común denominador y después realizaremos la suma.
1
1
6
=
•
3
18
5.2. Multiplicación de fracciones
d
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de
los denominadores.
a c
a⋅c
⋅ =
b d
b⋅d
5.3. División de fracciones
!
RECUERDA…
d
a
b
La inversa de
es .
b
a
EJEMPLOS
5.4. Potencia de una fracción
3
⎛ 2⎞
23
8
• ⎜ ⎟ = 3 =
27
⎝ 3⎠
3
La división de dos fracciones se obtiene multiplicando la primera por
la inversa de la segunda.
a
a c
a d
a⋅d
b = a⋅d
: = ⋅ =
c
b d
b c
b⋅c
b⋅c
d
d
Para elevar una fracción a un exponente elevamos su numerador y su
denominador a dicho exponente.
4
n
⎛ 1⎞
1
• ⎜− ⎟ =
(exponente par)
16
⎝ 2⎠
an
⎛ a⎞
=
⎜⎝ b ⎟⎠
bn
ACTIVIDADES
16. Opera y simplifica:
a)
1 3
+
2 4
c)
2 5 1
+ −
3 6 4
e)
2 4 6
−
+
3 15 5
b)
2 1
−
5 3
d)
3 7 7
−
−
4 10 5
f)
2 1 2
− + −1
5 4 3
17. Opera y simplifica:
2 5
⋅
a)
3 4
b)
2
3
⋅2⋅
3
4
c)
5
6
3
e)
3
⎛ 1⎞
3
d) ⎜ ⎟ −
4
⎝ 2⎠
2
2
5
2
⎛ 2⎞
5
f) 3 ⎜ ⎟ −
4
⎝ 3⎠
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1 · Números y fracciones
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6. Los números decimales
MATEMÁTICAS DE PROFESIÓN
Nuestro sistema de numeración es posicional, esto es, cada dígito tiene un
Las competencias
matemáticas
valor u otro dependiendo de la posición que ocupe en el número.
Unidades
de millón
Centenas
de millar
Decenas
de millar
Unidades
de millar
Centenas
Decenas
Unidades
1 000 000
100 000
10 000
1 000
100
10
1
El número 247 está compuesto por 2 centenas, 4 decenas y 7 unidades:
247 = 2 · 100 + 4 · 10 + 7
De una forma análoga establecemos las cifras decimales, pero en lugar de
ir multiplicando por 10, dividimos entre 10.
Décimas
Centésimas
Milésimas
Diezmilésimas
Cienmilésimas
Millonésimas
1
10
1
100
1
1000
1
10 000
1
100 000
1
1000 000
El número 1’35 significa que 1’35 = 1 +
3
5
.
+
10 100
c
Una competencia es el conjunto de conocimientos, habilidades y actitudes
suficientes para realizar una determinada actividad de forma eficaz.
Podemos clasificar en siete las competencias en Matemáticas:
Ejemplo
Encontrar un número decimal entre 2’18 y 2’181.
Como sabemos, podemos añadir cuantos ceros queramos a la derecha de
• Pensar y razonar. Las Matemáticas
ayudan a desarrollar el razonamiento abstracto.
encontrar un número comprendido entre estos números es más sencillo:
• Argumentar. Utilizar el razonamiento lógico para poder demostrar
las consecuencias de una idea o situación.
21800
’
⎫
’
es un número entre am
mbos números
⎬ ⇒ 21801
21810
’
⎭
• Comunicar. Utilizar el lenguaje de
forma clara y precisa, expresándose
correctamente.
un número decimal sin que varíe.
Si añadimos ceros a ambos números, como se muestra a continuación,
Como sabemos, toda fracción se puede escribir como un número decimal
realizando simplemente la división que indica.
Fracción
Expresión decimal
Clasificación
2
5
0’4
Decimal exacto
8
3
2’6666666... = 2’6
Decimal periódico puro
5
12
0’41666666... = 0’416
Decimal periódico mixto
18. Encuentra dos números decimales comprendidos entre:
a) 0’35 y 0’351
b) 3’457 y 3’458
c) 2’45 y 2’4501
19. Expresa como un número decimal las siguientes fracciones:
1
2
• Plantear y resolver problemas.
Utilizar las herramientas que nos proporcionan las Matemáticas para enfrentarse a distintos problemas.
• Representar. Realizar representaciones matemáticas de situaciones reales
e interpretar dichas representaciones.
• Utilizar avances técnicos. La informática es una herramienta que debe
ser utilizada para desarrollar el resto
de competencias.
ACTIVIDADES
a)
• Modelar. Utilizar los modelos matemáticos para aproximar situaciones
reales.
b)
3
10
c)
7
20
d)
5
6
e)
7
3
c
d
Y
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Matemáticas
16
Y
INFORMÁTICA MATEMÁTICA
Matemáticas de Microsoft
El programa Matemáticas de Microsoft, que acompaña al libro de texto, es una
herramienta muy útil que nos puede ayudar a lo largo del curso. Instalarlo es muy
sencillo y no requiere de unos conocimientos informáticos de alto nivel.
Cuando abrimos el programa vemos una ventana grande, una calculadora a la
izquierda y debajo de la ventana otra ventana más pequeña. Esa ventana
pequeña es la línea de edición donde podemos introducir los datos mediante el
teclado o con la calculadora.
El manejo de este programa es similar al de una calculadora científica:
La calculadora
• Podemos introducir fracciones con el botón
o escribiendo "/" con el teclado.
Si escribimos "16/40" en la línea de edición y pulsamos la tecla
INTRO
, en la salida
de datos obtenemos la fracción simplificada y la expresión decimal de la fracción:
• También podemos obtener la descomposición en factores primos de un número.
Pulsamos la tecla
de la calculadora e introducimos por el teclado "(1008)".
A continuación pulsamos INTRO y obtenemos la factorización de 1008:
• Calculamos el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo con las teclas:
La calculadora nos ayudará a la hora
de introducir las expresiones en la línea de edición.
–
para el mínimo común múltiplo
–
para el máximo común divisor
También podemos introducir las funciones por el teclado. Para calcular el
mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de 56, 42 y 70 escribimos las
expresiones "lcm(56,42,70)" y "lcm(56,42,70)".
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1 · Números y fracciones
17
ACTIVIDADES RESUELTAS
Opera y simplifica la expresión
2 3⎛
5⎞
− 1− ⎟ .
3 2 ⎜⎝
3⎠
Solución
2 3⎛
5 ⎞ 2 3 ⎛ 3 5 ⎞ 2 3 ⎛ 2⎞ 2 6
− 1− ⎟ = − ⎜ − ⎟ = − ⎜ − ⎟ = + =
3 2 ⎜⎝
3⎠ 3 2 ⎝ 3 3⎠ 3 2 ⎝ 3⎠ 3 6
Solución
1
3
Si tenemos
1
3
2 5
−
3 6
1−
.
1
3
1
1⋅ 6
=
= 3 =−
= −2
2 5 4 5
1
3 ⋅1
−
−
−
3 6 6 6
6
Opera y simplifica la expresión
Solución
Solución
3
de materia inorgánica y el resto es materia
7
orgánica, tendremos:
2 3 5
2
= + 1= + =
3 3 3
3
Opera y simplifica la expresión
Del total de basura que genera una familia en un día,
3
los son materia inorgánica y el resto materia orgánica.
7
Si la materia orgánica pesa 2 kg, ¿cuánto pesa la basura
generada por una familia en un día?
3 7 3 4
= − = de materia orgánica
7 7 7 7
Como indica el enunciado, la materia orgánica pesa 2 kg,
4
es decir,
del total son 2 kg. Por tanto:
7
1
2 : 4 = 0’5 kg es el peso de
de basura
7
Finalmente, el total de basura será:
0’5 · 7 = 3’5 kg
5
3 2
−
2 3
.
5
5
5 30
=
= =
=6
3 2 9 4 5
5
−
−
2 3 6 6 6
2 1
−
Opera y simplifica la expresión 3 5 .
3
+1
4
Solución
Tres amigos se reparten una cantidad de dinero. El pri2
3
mero recibe las
partes del total, el segundo
de lo
5
4
que quedaba y el tercero el resto. Si el tercero ha recibido 30 €, ¿cuánto dinero se han repartido los tres
amigos?
Solución
Vamos a ver la fracción que le corresponde al tercer amigo.
2
Como el primero recibe
quedan:
5
2 1
7
−
3 5 = 15 = 7 ⋅ 4 = 4
3
7
7 ⋅ 15 15
+1
4
4
1−
2 5 2 3
= − = partes
5 5 5 5
Al segundo le corresponden los
1
Opera y simplifica la expresión
1−
Solución
1−
1
1
.
1
1
5
3
del resto, por tanto recibirá:
4
3
3 3 3
9
de = ⋅ =
del total
4
5 4 5 20
El tercero se queda con el resto del dinero:
1
1
=
=
=
= −4
1
1
5
1
1−
1−
1−
−
1
4
4
4
1−
5
5
1 3
−
3
4 .
Opera y simplifica la expresión
1
1−
1
Solución
1−
3
1 3
5
5
5
−
−
−
−
3 4 = 12 = 12 = 12 = 10 = 5
3
1 12 6
1
1
1−
−
1−
1−
2
2
2
1
1−
3
3
Recibe
el primero
2
5
1−
Recibe
el segundo
+
9
20
=
8
9
17
+
=
20 20 20
17
3
=
del total recibirá ell tercero
20 20
Ahora calculamos el dinero total que se reparten. Sabemos
3
que
del total son 30 €, de donde deducimos:
20
30 : 3 = 10 € son
1
del total del dinero
20
Por tanto, los tres amigos se reparten:
20 · 10 = 200 €
Y
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Página 18
Matemáticas
18
Y
ACTIVIDADES FINALES
d EJERCICIOS
Los números naturales y los enteros
Los números primos
20. Representa en una recta los siguientes números:
a) 217
2, 3, –1, –4, 5, 0, –7
21. Calcula:
a) –33 + 52 c) 23 – 75
e) –54 + 17 – 38 + 23
b) 19 – 23
f) 37 – 91 + 21 – 12 + 3
d) –53 – 36
27. Determina si son primos los siguientes números:
22. Calcula:
b) 169
c) 173
d) 179
28. Indica si los siguientes números se pueden dividir entre
2, 3 ó 5:
a) 1 235
c) 7 893
e) 3 451
g) 3 455
b) 3 280
d) 1 202
f) 75 861
h) 1 230
29. Indica los números que son múltiplos de 11 utilizando el
criterio de divisibilidad:
a) –2 · (–4)
c) –12 : (–3)
b) 3 · 2 · (–5) · (–6)
d) –18 : (–3) : (–2)
23. Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) (–3)5
d) –36
g) –118
b) –24
e) (–2)8
h) (–1)12
c) (–5)2
f) (–1)23
i) –23
24. Realiza las siguientes operaciones:
a) 385
c) 24 674
e) 3 475
g) 348 587
b) 2 090
d) 45 749
f) 38 447
h) 33 814
30. Determina si los siguientes números son múltiplos de 7:
a) 238
b) 3 059
c) 23 485
d) 3 486
31. Escribe todos los divisores de 90.
32. Encuentra tres números múltiplos de 5 y 3.
a) 3( − 5 + 2) − 4(3 − 5)
33. Descompón en factores primos los siguientes números:
b) 3 − 2( − 5) + 4( − 3) − 5
c) − 3 − ( − 5) + 4( − 3) − 2( − 7)
d) − 3 + 2(5 − 9)
a) 270
d) 850
g) 3 420
j) 2 574
b) 420
e) 455
h) 8 925
k) 2 232
c) 1 100
f) 2 024
i) 1 092
l) 6 900
e) 2( − 3) − 4(3 − 7)
Máximo común divisor
y mínimo común múltiplo
f) − 3[5 − 2( − 3) ]
g) − 3(5 − 7) : ( − 2)
34. Calcula el máximo común divisor de:
25. Realiza las siguientes operaciones:
a) 24 y 42
d) 200 y 120
g) 162 y 72
a) 2 − 5(3 − 4) − 3 + [ 2(5 − 7) ]
b) 21 y 12
e) 450 y 168
h) 144 y 10 692
c) 70 y 20
f) 378 y 120
i) 50 y 35
b) − ⎡⎣3 − ( − 8 + 5) − 3( − 3 + 5) ⎤⎦
(
)
c) 2 + 3 ⎡⎣5 − 3 − 2( − 3) + 5( − 7 + 2) ⎤⎦
(
35. Calcula el mínimo común múltiplo de:
)
d) 7( − 2) + 4(3 − 5 + 8) − ⎡⎣3 − 5 2 − 3( − 5 + 7) ⎤⎦
26. Realiza las siguientes operaciones:
a) ( − 4) + 2( − 3)
2
a) 3, 5 y 7
d) 12, 6 y 18
g) 9, 3 y 6
b) 12, 16 y 6
e) 36, 12 y 18
h) 15, 35 y 49
c) 18, 9 y 21
f) 3, 2 y 15
i) 4, 8 y 120
3
Fracciones
b) − 2( − 7 + 5)3 − ( − 3)3
(
c) − 3 + 5(8 − 32 )3 − − ( − 1)3
)
36. Simplifica las siguientes fracciones:
7
d) − 5(3 − 5) : ( − 3 − 2) + 3( − 2 + 3)3
e) − 3( − 1)7 + 2 ⋅ 32 − 5( − 2)3
f) − 2 + 3( − 5 + 3) − 2 ⎡⎣3 − 22 − ( − 3)3 ⎤⎦
12
36
15
b)
35
24
c)
60
a)
25
125
128
e)
44
144
f)
180
d)
45
90
48
h)
40
180
i)
126
g)
132
330
195
k)
455
432
l)
1080
j)
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Página 19
1 · Números y fracciones
37. Escribe tres fracciones equivalentes a cada una de las
siguientes:
3
a)
2
b)
2
c)
5
1
4
d)
12
e)
18
3
6
f)
a)
18 15
y
24 20
c)
27 22
y
45 40
b)
14 16
y
21 24
d)
32 20
y
24 15
1
7
40. Representa en una recta las siguientes fracciones:
b)
4
5
c)
3
7
b)
c)
3
5
2 5
−
3 4
1−
d)
2
5
8
3
3
x
=
4 20
c)
3 5
=
9 x
b)
12 14
=
x
21
d)
x
36
=
21 27
d)
7
4
⎛ 1 1⎞
2
− 2⎜ − ⎟
3
⎝ 5 4⎠
a)
3
2
−1
5
c)
1
3
1−
4
3 1
−
4 6
b)
2 1⎛
1⎞
− 1− ⎟
3 2 ⎜⎝
3⎠
2 5
−
3 6
1
a)
1−
42. Realiza las siguientes sumas de fracciones y simplifica el
resultado, si es posible:
3 1 5
a)
+ + −1
4 2 6
2 3
1
f)
−
+
5 25 4
1 3 1
b) 2 − − +
6 2 4
5 6 3
g)
+ − −1
3 7 4
5 7 5 3
c)
−
+ −
8 12 6 4
5 1 3 5
h)
− + −
8 4 2 3
1 7 3
−
+
5 10 4
2
1
3
e)
− 1+
−
3
15 10
i)
1+
1+
c)
2 1⎛ 3 1 ⎞
−
+ −1
3 2 ⎜⎝ 4 2 ⎟⎠
e)
3 2 ⎛
5⎞ 5
− : 1− ⎟ −
5 3 ⎜⎝
3⎠ 6
f)
1−
3
2
4
5
2
2
3
d)
1
1−
1
1
1−
3
1+
2
1−
1
1−
3
4
47. Indica la expresión decimal de las siguientes fracciones:
a)
b)
1
Los números decimales
4 1 3 2 1
j) − + − + −
5 6 4 3 2
5 1 4 ⎛ 3⎞
− ⋅ −
d)
4 2 5 ⎜⎝ 2 ⎟⎠
1
3
3
1
+
4
1
b)
2 5 3
− +
+2
5 4 10
c)
1
1−
43. Realiza las siguientes operaciones de fracciones y simplifica el resultado, si es posible:
3 1 6 2 7
a)
− ⋅ + ⋅
2 3 5 5 4
3
1
d)
46. Calcula y simplifica el resultado si es posible:
1−
d)
3 1 5
− ⋅
4 2 3
5
4
f)
1
−2
4
41. Calcula el valor de x en cada caso:
a)
1 3
−
3
5
e)
4
2
45. Calcula y simplifica el resultado, si es posible:
1 4 2 5
, , ,
3 5 5 6
2
3
1
2
3
4
1−
39. Ordena de mayor a menor las siguientes fracciones:
a)
44. Calcula y simplifica el resultado, si es posible:
a)
38. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes:
19
2
3 2 ⎛ 1 1 4⎞
− ⋅
− ⋅
4 3 ⎜⎝ 4 2 3 ⎟⎠
1 3 1⎛
8 7⎞
− +
2− − ⎟
6 4 2 ⎜⎝
5 3⎠
7
6
b)
1
15
c)
5
3
d)
9
11
48. Encuentra dos números decimales comprendidos entre:
a) 2’31 y 2’311
c) –0’451 y –0’45
b) 0’3511 y 0’35111
d) –3’7101 y –3’71
49. Realiza las siguientes operaciones compuestas por números decimales:
a) 7’234 − 2’3 ⋅ 3’18
b) 215
’ − 11375
’
: 0’35
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Matemáticas
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Y
ACTIVIDADES FINALES
d PROBLEMAS
50. Se pretende colocar el suelo de una habitación que mide
3’5 m de largo por 2’10 de ancho, con losetas cuadradas
lo más grandes posibles pero sin tener que romper ninguna. ¿Qué medida debe tener el lado de las losetas?
51. Un piloto de Fórmula 1 tarda 54 s en dar una vuelta a
un circuito, mientras que otro tarda 48 s. Si empiezan a
dar vueltas los dos a la vez, ¿cuántos segundos pasarán
hasta que vuelvan a coincidir en la línea de salida los dos
pilotos? ¿Cuántas vueltas habrán dado entonces cada
uno de los pilotos?
52. En una finca hay 2 500 árboles frutales. De ellos,
2
son
5
1
son manzanos y el resto son almendros.
4
¿Cuántos árboles hay de cada clase?
1
18
resulta defectuoso. Si en una semana han aparecido
44 200 tornillos defectuosos, ¿cuántos tornillos aptos
para vender se habrán fabricado en esa misma semana?
59. Del total de los tornillos que fabrica una empresa,
60. Un autobús tiene 56 plazas. Si se suben 40 personas,
¿qué fracción del autobús quedará libre?
1
1
de su peso es piel,
de su peso
10
8
es el corazón y el resto es pulpa. Si queremos obtener
155 kg de pulpa para hacer mermelada, ¿cuántos kilogramos de manzanas tendremos que comprar?
61. De una manzana,
naranjos,
62. Del dinero que ahorré el año pasado he gastado
1
en
3
3
en ropa y me quedan 25 €. ¿Cuánto dinero
7
conseguí ahorrar el año pasado?
música,
53. Para elaborar masa de pizza hay que mezclar tres ingre1
3
dientes en las siguientes proporciones:
de agua,
5
4
de harina y el resto de levadura. Si queremos elaborar
5 kg de masa, ¿qué cantidad necesitaremos de cada
ingrediente?
3
5
partes por la mañana. Si por la tarde todavía nos quedan
12 km, ¿qué distancia hemos recorrido por la mañana?
54. Haciendo una ruta de senderismo, hemos andado las
3
55. Una familia gasta
de su presupuesto en alimentación,
5
1
en gastos diversos y el resto en ocio. Si disponen de
3
18 000 € al año, ¿qué cantidad de dinero invierten anualmente en ocio?
56. Tres socios invierten una cantidad de dinero en la bolsa.
4
2
El primero aportó , el segundo
y el tercero el resto
9
7
del capital. Si ganan 6 930 €, ¿qué cantidad de dinero
le corresponde a cada uno?
57. Una persona ha gastado 35 € de teléfono móvil. Si los
3
de la factura son de llamadas de voz, ¿cuánto dinero
5
habrá gastado en mensajes de texto?
58. Roberto tenía 360 cromos. Cuando sale de casa, le sor2
prende una tormenta y que le estropea
de los cromos.
5
1
Al día siguiente pierde
jugando con los amigos. ¿Qué
4
fracción representa los cromos que le quedaron? ¿Cuántos cromos le quedaron?
3
de su capacidad,
4
aumenta su nivel durante las últimas lluvias hasta los
7
. Si la capacidad del pantano es de 1 016 000 l, ¿cuán8
tos litros de agua se recogieron con las precipitaciones?
63. Un pantano que se encontraba a
64. El disco duro de mi ordenador tiene ocupado
1
de disco
3
2
en música. Si tengo 10 megas
7
libres, ¿qué capacidad tiene mi disco duro?
duro en programas y
65. Un jugador del equipo ganador de un partido de balon2
cesto ha logrado
de la puntuación, otro ha conse5
3
guido
y el resto de los jugadores han encestado, entre
7
todos, 12 puntos. ¿Qué cantidad indica el marcador del
equipo?
66. Un abuelo reparte 90 € entre sus tres nietos. Al primero
1
3
le da
del dinero, al segundo le da
de lo que queda
3
4
y el resto a su tercer nieto. ¿Cuánto dinero le dará al tercer nieto?
67. Una empresa de informática fabrica y vende ordenadores de tres tipos distintos. De los ordenadores que
1
3
ha vendido en el último mes,
son del tipo A,
son
5
4
del tipo B y 258 ordenadores de tipo C. ¿Cuántos ordenadores ha vendido en total la empresa durante el
último mes?
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Página 21
1 · Números y fracciones
2
5
partes por recorrer, ¿de cuántos metros consta la carrera?
68. Un corredor lleva recorridos 54 m. Si aún le quedan
69. Un depósito de agua contiene
1
de
4
1
3
la nota, la segunda vale
y la tercera pregunta vale
3
5
del resto. ¿Qué fracción vale la cuarta pregunta?
72. Un examen consta de 4 preguntas. La primera vale
3
partes de su capacidad,
4
1
del agua que contiene se pierde por una grieta.
5
Si quedan 8 100 l en el depósito, ¿cuál es la capacidad
del depósito?
pero
70. Del dinero que tenía me he gastado
21
1
de su cosecha de trigo por culpa
3
2
de una plaga de insectos. De lo que le queda, pierde
5
en un incendio y le quedan 1 500 kg. ¿Cuántos kilos de
trigo había cosechado?
73. Un agricultor pierde
1
en una revista de
4
2
de lo que me quedaba en unos helados
5
para mi familia. Si me quedan 9 € en el bolsillo, ¿cuánto
dinero tenía?
informática y
71. Tres hermanos reciben una herencia, teniéndose que
hacer el reparto de la siguiente forma:
1
• El hermano mayor recibirá
de la herencia.
3
5
• El hermano menor recibirá
del resto.
6
• El hermano mediano recibirá 16 000 €.
¿Cuánto dinero corresponde a cada uno de los hermanos?
AUTOEVALUACIÓN
1. Calcula las siguientes operaciones:
6. Calcula y simplifica el resultado, si es posible:
a) 2 − ( − 3) ⋅ ( − 2) + 2(3 − 7)
2 5
−
3
7
a)
4
b) − 5 − 2[3 − 5( − 3 + 7) ]
b)
1−
2. Calcula el valor de las siguientes potencias:
a) ( −4)3
b) ( −5)4
⎛ 1⎞
e) ⎜ ⎟
⎝ 6⎠
c) −28
⎛ 2⎞
d) ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
2
3
4
7. Encuentra dos números comprendidos entre 0’35 y 0’351.
3
⎛ 3⎞
f) ⎜ − ⎟
⎝ 4⎠
2
8. Expresa como número decimal las siguientes fracciones:
3
a)
3. Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:
a) 12, 18 y 16
c) 12, 15 y 6
e) 6, 12 y 36
b) 35, 7 y 14
d) 2, 4 y 8
f) 7, 49 y 14
3
5
b)
5
6
c)
8
9
9. Una empresa recibe una indemnización para paliar los
daños ocasionados por un temporal. De la cantidad total,
2
3
la aseguradora paga , el Gobierno las partes y el resto,
7
5
8 000 €, los pone el Fondo europeo. ¿Qué cantidad de dinero ha recibido la empresa?
4. Simplifica las siguientes fracciones:
a)
840
784
b)
1350
1620
5. Calcula y simplifica el resultado, si es posible:
a)
3 1 3 7
− + −
4 6 2 3
b)
1 2⎛ 1 ⎞ 4
+
−1 −
2 3 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ 3
⎛2 ⎞
: ⎜ − 1⎟
⎝3 ⎠
10. El gasto de agua de una vivienda se distribuye de la siguiente
1
3
manera:
del gasto corresponde al gasto de la lavadora,
3
4
del resto se dedica al aseo personal y el resto al consumo.
Si se dedican 75 l para el consumo de agua en un mes,
¿cuántos litros de agua se gastan mensualmente para la
Y
lavadora y el aseo personal?
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Matemáticas
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Y
MATEMÁTICAS RECREATIVAS
Matemáticas del siglo XXI
Meteorología
Cuando hablamos de meteorología solemos pensar
en los partes del tiempo que podemos ver en la
televisión. Sin embargo, esta es una pequeña parte
de lo que abarca esta ciencia: la meteorología estudia el cambio de las condiciones atmosféricas.
Además de intentar predecir si el próximo fin de
semana va a llover o si hará más calor, la meteorología también intenta ayudarnos a planificar las
cosechas, el vuelo de los aviones, la instalación de
centrales eólicas, nos advierte de las posibles catástrofes naturales...
Para realizar este tipo de predicciones los meteorólogos utilizan las Matemáticas para el planteamiento y la resolución de complejas ecuaciones que permiten conocer, en la
medida de lo posible, los estados futuros de la atmósfera en los diferentes lugares del planeta.
¿3 = 4?
Observemos la siguiente igualdad:
9 − 21 = 16 − 28
49
49
9 − 21 +
= 16 − 28 +
4
4
2
⎛ 7⎞
⎛ 7⎞
9 − 21 + ⎜ ⎟ = 16 − 28 + ⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
2
Utilizando el cuadrado de una diferencia, tenemos:
2
⎛
⎛
7⎞
7⎞
⎜⎝ 3 − ⎟⎠ = ⎜⎝ 4 − ⎟⎠
2
2
2
Aplicando una raíz cuadrada a cada miembro tenemos:
3−
7
7
= 4−
2
2
De donde concluimos que 3 = 4.
¿Dónde hemos cometido el error? ¿O es que las Matemáticas fallan?
Haz un razonamiento parecido para demostrar que 4 = 5.
OLIMPIADA MATEMÁTICA
El cuadrado mágico de la figura tiene la propiedad de que la suma de los números que hay en cada fila es 15,
y lo mismo ocurre con todas las columnas, ¡y con todas las diagonales! ¿Sabrías hacer un cuadrado mágico
en el que la suma fuera 51 en lugar de 15?
2
7
6
9
5
1
4
3
8
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1 · Números y fracciones
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EN RESUMEN
NÚMEROS Y FRACCIONES
Números naturales
y enteros
Fracciones
Fracciones equivalentes
Potencias de
números enteros
Divisibilidad
a c
=
si a ⋅ d = b ⋅ c
b d
Números primos
Operaciones con fracciones
Criterios de divisibilidad
Potencias de fracciones
Descomposición en factores primos
Máximo común divisor
Se descomponen los números en factores primos y se
toman los factores comunes elevados a la menor potencia.
Mínimo común múltiplo
Se descomponen los números en factores primos y se
toman los factores comunes y no comunes elevados
a la mayor potencia.
AMPLÍA CON…
REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
<http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Numeros_Reales_Aproximaciones/numeros1.htm>
EJERCICIOS CON SOLUCIÓN
<http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/21-2-P-RACIONALES.html>
UNIDAD DE NÚMEROS
<http://www.educared.net/concurso/61/numeros.htm>
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