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Combinaciones básicas de elementos de circuito y sus propiedades
Objetivos
1. Fundamentar las simplificaciones de resistores en serie y en paralelo con los criterios dados
en el texto, y aplicarlas para reducir combinaciones de resistores en el análisis de los circuitos.
2. Argumentar la simplificación de las fuentes de tensión en serie y las de corriente en paralelo
utilizando las Leyes de Kirchhoff, empleándolas en el cálculo de circuitos sencillos.
3. Explicar los conceptos y fórmulas asociadas a los divisores de corriente y tensión, mediante
el uso de las Leyes de Kirchhoff y aplicarlas en el análisis de los circuitos.
4. Aplicar las fórmulas de la transformación recíproca delta-estrella en el análisis de circuitos
simples.
5. Identificar la dualidad en circuitos resistivos sencillos, empleando las nociones elementales
que se brindan en la actividad.
Sumario
a) Conexión de elementos en serie, en paralelo y en serie-paralelo. Divisores de tensión y de
corriente.
b) Conexión de fuentes de tensión en serie y de fuentes de corriente en paralelo. Conexiones
absurdas o que violan las Leyes de Kirchhoff.
c) Transformaciones recíprocas delta-estrella.
d) Nociones sobre dualidad.
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 3:
Capítulo 5, Epígrafe 5.6 Conversión delta – estrella Adicional: Materiales elaborados por los profesores del CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría, CUJAE, Ing. Américo Montó Olivera, Dra. Ing. Esperanza Ayllón
Fandiño y digitalizados por el Lic. Raúl Lorenzo Llanes.
Introducción
Con los conceptos básicos ya estudiados y las Leyes de Ohm y las Kirchhoff, se ha
comenzado a comprender el análisis de los circuitos eléctricos, pero con ellos solos no basta.
Es imprescindible ampliar nuestro universo circuital.
Existen un conjunto de técnicas que facilitan el análisis de los circuitos: simplificaciones de
conexiones de resistores en serie, paralelo, delta, estrella, también de fuentes de tensión y de
corriente, el cálculo de corrientes o tensiones mediante divisores, etc.
¿Cuáles son sus fórmulas? ¿Cuándo son aplicables? ¿Cuándo hay una conexión serie?
¿Cuándo serie- paralelo?
a) Conexión de elementos en serie, en paralelo y en serie-paralelo. Divisores de tensión
y de corriente.
a.1) Conexión de elementos en serie.
En este circuito de un solo lazo los elementos
están conectados en serie circulando una
corriente común y solo es aplicable la LKT.
1 Muchas veces es conveniente simplificar conexiones de resistores en serie, o sea, sustituir
estos elementos por un resistor equivalente (Req). El resistor equivalente demanda la misma
potencia que la carga conectada sustituida, aplicándose la misma tensión entre sus
terminales (incluyendo polaridad) y circula la misma corriente (incluyendo su sentido).
Colocando las referencias y aplicando LKT: -vs + v1 + v2 + v3 +…+ v3 +…+ vk +…+ vN = 0
Aplicando Ley de Ohm y sacando i factor común: vs = i (R1 + R2 + R3 + R4 +…+ Rk +... + RN).
Compare este resultado con la ecuación simple que resulta de aplicar la LKT en el circuito
equivalente de la figura de la derecha, o sea: vs = i Req ⇒ Req = vs / i (Ω)
La resistencia equivalente de N resistores conectados en serie es: Req =Σ Rk = R1 + R2 + R3 +
R4 +…+ Rk + ... + RN, sin importar el orden en que se suman.
Se concluye que se puede sustituir una red de dos terminales, dipolo, de N resistores en
serie, por un solo elemento de dos terminales, Req, que tenga igual tensión y circule igual
corriente que en el dipolo original. ¿Puede ocurrir que Req < R2?
Lea con cuidado lo planteado en el penúltimo párrafo de la pág. 49. Esto lo tendrá que aplicar
cuando trabaje con fuentes dependientes.
a.2) Divisor de tensión. En una conexión de resistores en serie, la tensión entre los
terminales de un resistor dado es una fracción de la tensión aplicada a los terminales de la
conexión. La tensión en el resistor k es el producto de la tensión total por la resistencia Rk
dividido entre la resistencia equivalente de la conexión serie. Estudie la demostración de la
fórmula que se hace en el Ep.3.9, partiendo de 2 resistores en serie mostrados en la Figura
3.30. En el circuito representado al inicio, aplicando: v2 = vs R2 / Req ¿Puede ocurrir que v2 >
vs?
a.3) Conexión de elementos en paralelo.
Circuito con un simple par de nodos con resistores conectados en paralelo y por tanto
tensión común y solamente es aplicable la LKC.
Siguiendo igual razonamiento que en el caso serie, se ponen las referencias de corrientes y
aplicando LKC se tiene:
2 -is + i1 + i2 + i3 +…. + ik + … + iN =0, aplicando Ohm: is = v (G1 + G2 + G3 + G4 +…+ Gk + … + GN)
Comparando con la ecuación del circuito de la derecha: is = Geqv ⇒ ΣGk = is /v (S)
La conductancia equivalente de N resistores en paralelo es:
Geq =ΣGk = G1 + G2 + G3 + G4 +…+ Gk +… + GN ó Geq = 1/Req =Σ1 / Rk (S)
¿Puede ocurrir Geq < G2? ¿ Req > R2? ¿ Req ≤ R1?
Deduzcan las siguientes fórmulas, útiles en casos particulares:
N resistores iguales, R1, conectados en paralelo: Req = R1/N
Dos resistores, R1 y R2, conectados en paralelo: Req = R1R2/ (R1+ R2)
Dos resistores iguales, R, conectados en paralelo: Req = R/ 2
a.4) Divisor de corriente. En una conexión de resistores en paralelo, la corriente a través de
los terminales de un resistor dado es una fracción de la corriente total a través de los
terminales de la conexión. La corriente en el resistor k es el producto de la corriente total por
la conductancia del resistor k, dividida entre la conductancia equivalente de la conexión en
paralelo.
Por ejemplo, en el circuito representado al inicio: i2 = is G2 / Geq
¿Puede ocurrir que i2 > is?
Caso particular importante: para dos resistores en paralelo se cumple:
i2= is R1/(R1+ R2) Enuncie la regla en este caso.
Observe que Ud. puede obtener esta fórmula si cambia circuito serie
por paralelo, corriente por tensión, resistencia por conductancia. Esto se logra aplicando la
dualidad entre circuitos y magnitudes.
a.5) Conexión de resistores en serie-paralelo.
Se verá con ejemplos, en los que se va simplificando cada combinación de elementos y
poniendo el circuito equivalente resultante entre los dos terminales en los cuales se quiere
calcular la resistencia, sin perder esos terminales.
Ejemplo 1.
En la red mostrada, obtenga la resistencia
equivalente, Req, entre los terminales a y b.
Solución:
1-simplificar paso a paso: resistores de 2Ω
en paralelo, 3Ω en serie con 1Ω, 4Ω en
paralelo con 12Ω y 2Ω, 3Ω y 1Ω en serie.
2-usar las fórmulas más convenientes en
cada caso
3-Observe que la resistencia equivalente de
dos resistores iguales en paralelo es………
4-¿Qué significa Req = 6Ω?
3 Ejemplo 2.
Aplicando transformaciones y divisores, calcular la potencia en el
resistor de 6Ω.
Solución
Demasiadas LK simultáneas pero la conexión es serie –paralelo ⇒
que se pueden realizar simplificaciones.
Idea central: simplificar el circuito, hallar la corriente I que entrega la
fuente de 7V, retroceder sobre cada circuito para calcular las corrientes I1 e I2 (por el resistor
de 6Ω hacia la derecha ), y por último se calcula la incógnita pedida. Importante: observe qué
variables permanecen y cuáles desaparecen en cada paso de simplificación.
En el último circuito: I = 7/3,5 = 2 A.
Retrocediendo, se hace un divisor de corriente en el esquema intermedio:
I1 = I /2 = 2/2 = 1 A. Es un divisor de corriente sencillo: dos resistores iguales en paralelo y la
corriente se divide a la mitad.
En el esquema original: I2 = 1(3/9) = 1/3 = 0,33 A.
La potencia pedida, P6 = (0,33)2 6 = 0,67 W
Ω
b) Conexión de fuentes de tensión en serie y de fuentes de corriente en paralelo.
Conexiones absurdas o que violan las LK.
b.1) Conexión en serie de fuentes de tensión ideales independientes.
Serie ⇒ corriente común ⇒ LKT
Aplicando LKT en trayectoria virtual, recorrida a favor
de las manecillas del reloj, comenzando en “a”:
Vab + 3 - 4 - 8 + 6 = 0 ⇒ Vab = 3 V
La conexión se puede sustituir por una fuente de
tensión equivalente de 3V con la polaridad mostrada.
Vab puede ser mayor, menor o igual a cero. (Elabore
un recurso nemotécnico sencillo para este cálculo)
4 b.2) Conexión en paralelo de fuentes de corriente ideales independientes.
Paralelo ⇒ tensión común ⇒ LKC
Aplicando LKC en el nodo b:
-7 + 1 + 3 + I = 0 ⇒ I = 7- 4 ⇒ I = 3 A
La conexión se puede sustituir por una fuente de corriente
equivalente de 3A con el sentido mostrado.
I puede ser mayor, menor o igual a cero. (Elabore un
recurso nemotécnico sencillo para este cálculo)
b.3) Conexiones absurdas o que violan las leyes de Kirchhoff. (Autoestudio, Ejemplo 3.9)
Analizando los esquemas mostrados a continuación.
En el primero:
¿Tiene sentido la conexión en serie de fuentes ideales de
corriente de diferentes valores, o con sentidos opuestos en
una rama? ¿Se cumple la LKC en el punto P?
Solo fuentes de corriente de valores idénticos podrían
conectarse en serie.
En el segundo: ¿Tiene sentido la conexión en paralelo de
fuentes ideales de tensión
independientes de valores
diferentes? ¿Se cumple LKT? ¿Cuál sería el valor de VAB?
En el tercero: ¿Tiene sentido la conexión en paralelo de
fuentes ideales de tensión independientes con polaridades
opuestas? ¿Se cumple LKT? ¿Cuál es el valor de Vmn?
Solo fuentes de tensión idénticas en magnitud y polaridad
podrían conectarse en paralelo.
Conexiones imposibles se muestran en los siguientes
esquemas: fuente de tensión cortocircuitada, pues no se
cumple la LKT y fuente de corriente con terminales abiertos,
pues no cumple la LKC
5 c) Transformaciones recíprocas delta-estrella.
La explicación se realizará mediante el Ejemplo
3.
Observe los circuitos mostrados a la izquierda.
¿Hay resistores en serie? ¿En paralelo? No.
Se puede transformar la delta en su estrella
equivalente, recordando el concepto de circuito
equivalente, esto es, que desde el punto de
vista externo, ambas configuraciones tengan
las mismas corrientes y tensiones.
Fórmulas de transformación ∆-Ү
R12 R31
R1 =
R12 + R23 + R31
Dar recurso nemotécnico.
Encuentre las fórmulas restantes en el texto,
pág. 140, al igual que las de la transformación
estrella-delta.
Analice bien la Figura 5.40.
En la Figura 5.40 y a la izquierda, debajo,
encontrará otra forma de
disposición
geométrica de las conexiones delta y estrella.
Debe familiarizarse con cada una de estas
representaciones.
Ejemplo 3
Calcular la tensión Vx
Solución :
Los resistores presentan una conexión que no
es serie ni paralelo.
Identifique las dos conexiones ∆ en el circuito.
Seleccione la delta más sencilla para su
transformación: (4 Ω - 4 Ω - 8Ω), entre los
nodos b, c, d. La otra da valores fraccionarios.
En la simplificación ∆-Ү los nodos b c d no
desaparecen. ¡Cuidado!.
Al reducir la conexión en serie los nodos b y d
desaparecen.
Vx = Vac = 2 (2+2) = 8V
Observe la facilidad con que se resuelve el
circuito en este caso. Si aplicara las LK en el
esquema original tendría que resolver muchas
ecuaciones simultáneas.
¿Cómo calcular Vbd ? Un camino eficiente
puede ser aplicando divisor de corriente en el
esquema intermedio se obtienen Iad y Iab y
después LKT en trayectoria virtual
6 d) Nociones sobre dualidad.
Las relaciones, leyes, conexiones etc. hasta aquí estudiadas presentan cierta analogía entre
si. Por ejemplo, a partir del enunciado de la LKT y su expresión matemática, se puede
obtener el enunciado y expresión matemática de la LKC cambiando voltajes por corrientes y
lazo por nodo. También es posible, conociendo la expresión de cálculo de la resistencia
equivalente en una conexión de N resistores en serie, obtener la expresión de cálculo de la
conductancia de N resistores en paralelo. Estos son ejemplos de dualidad y sirven para
llegar a los duales de manera muy sencilla, sin necesidad de memorizar muchas cosas.
Dualidad entre leyes ,enunciados , elementos de circuito, conceptos, conexiónes etc.
lazo
nodo
LKT: La suma algebraica de las tensiones alrededor de
cualquier trayectoria cerrada es cero.
LKC:La suma algebraica de las corrientes que entran a
cualquier nodo es cero ∑ik =0
∀ nodo
∑Vk =0 ∀ trayectoria cerrada
Circuito de un solo lazo
Circuito de un solo par de nodos
Conexión serie
Conexión paralelo
Fórmula para Reqen la conexión serie
Fórmula para Geq en la conexión en paralelo
Divisor de voltaje
Divisor de corriente
Resistencia R
Conductancia G
V = IR
I = GV
Fuente de voltaje
Fuente de corriente
El concepto de dualidad es mucho más amplio que lo abordado aquí y abarca a las leyes,
teoremas, conceptos básicos, relaciones, tipos de conexiones que se presentan en los
circuitos y sus correspondientes duales.
Conclusiones
Se fundamentaron y se aplicaron las simplificaciones de resistores en serie, en paralelo, en
serie paralelo y en delta, en el análisis de circuitos simples. Como han podido apreciar, dos
simples leyes, la de Kirchhoff de corriente y la de Kirchhoff de tensión, forman el cimiento o
INVARIANTES para los procedimientos de análisis de circuitos eléctricos.
Los divisores siempre traen muchas complicaciones al utilizarlos si no los conoce bien pero,
recuerde que puede utilizar siempre las Leyes de Kirchhoff. Trate de aprender a usarlos.
Deben analizar lo planteado sobre la dualidad.
Orientaciones para el trabajo independiente
Estudiar la bibliografía señalada. Capítulo 3: Ep. 3.7 al 3.10. Ejemplos 3.9 al 3.13. En el 3.9
hay conexiones absurdas. Prácticas 3.8 a 3.13. Estudiar la “Aplicación práctica”. Ella le
responderá algunas dudas. Estudie el Resumen y repaso. Capítulo 5, Epígrafe 5.6
Conversión delta – estrella.
Ya se han mostrado las formas en que es posible simplificar los circuitos combinando
elementos que están conectados en serie, en paralelo y realizando transformaciones ∆-Ү.
También cómo es posible reducir conexiones de fuentes en serie y en paralelo. Se
continuarán aplicando estas simplificaciones y los divisores en el cálculo de circuitos
sencillos.
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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