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Teoremas de los circuitos lineales. Primera parte
Objetivos
1. Explicar el Teorema de Thévenin para determinar el equivalente de Thévenin de cualquier
red lineal, ejemplificando su aplicación en el análisis de circuitos, utilizando el procedimiento
dado en el texto y en este material.
2. Explicar el Teorema de la máxima transferencia de potencia y ejemplificar su aplicación en
circuitos eléctricos lineales, mediante la utilización del procedimiento dado en el texto.
Sumario
a) Teoremas de Thévenin y Norton.
b) Ejemplos del Teorema de Thévenin.
c) Teorema de la máxima transferencia de potencia.
Bibliografía básica: Texto. “Análisis de Circuitos en Ingeniería”
William H. Hayt Jr.; Jack E. Kemmerly; Steven M. Durbin. 2002, Sexta edición
Capítulo 5. Epígrafes 5.4, 5.5.
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
Introducción
Después de haber estudiado las simplificaciones de los resistores, las transformaciones de
fuentes, los métodos generales de análisis, se verán una serie de teoremas útiles, válidos
para circuitos lineales e importantes no solo en esta asignatura sino también en Mediciones
Eléctricas, Maquinaria Eléctrica, Electrónica Industrial, Sistemas de Energía, y
Automatización. Entre estos teoremas se encuentran los teoremas de Thévenin, de Norton y
de la máxima transferencia de potencia.
¿Qué particularidades presenta el teorema de Thévenin? ¿Cuál es el circuito equivalente de
un dipolo activo respecto a un par de terminales? ¿Cuál es el de Norton? ¿Qué expresa el
teorema de la máxima transferencia de potencia?
Un dipolo es la parte de una red que se analiza con respecto a un par de
terminales.
Para calcular la corriente, la tensión o la potencia en un elemento de una
rama de la red, por lo cual el resto, solo interesa desde el punto de vista de su acción sobre
este par de terminales, de ahí que esa parte se simboliza como dipolo.
“A” simboliza al resto del circuito como un dipolo activo.
El teorema de Thévenin y el teorema de Norton dan respuesta a la siguiente pregunta ¿Cuál
es el circuito equivalente de un dipolo activo respecto a un par de terminales?
1 a) Teorema de Thévenin
M. L. Thévenin. Ingeniero Francés. Publicó el teorema en 1883.
Enunciado. Página 129 del texto.
Dado cualquier circuito lineal, vuélvase a arreglar en la forma de dos redes A y B conectadas
por dos alambres. Defínase una tensión voc como la tensión en circuito abierto que aparece
entre las terminales de A cuando se desconecta B. Así, todas las corrientes y las tensiones en
B permanecerán invariables si todas las fuentes de tensión y de corriente independientes en
A se “suprimen” o se “hacen cero”, y se conecta una fuente de tensión independiente voc con
polaridad apropiada, en serie con la red A muerta (inactiva).
El circuito equivalente de la subred A está constituido
por una fuente real de tensión.
Se muestran los esquemas con los pasos para aplicar
el Teorema. Observe la polaridad de VTh
El circuito equivalente de Thévenin no depende de la
subred B. Esto quiere decir que si A permanece
inalterada y se cambia B, el circuito equivalente de
Thévenin de la subred A es el mismo.
Si la carga es cambiada y el equivalente de Thévenin
está calculado entonces es muy fácil obtener
cualquier variable en la nueva carga. El texto
puntualiza estos aspectos en la página 131.
Teorema de Norton
Enunciado en la página 131 del texto.
De acuerdo a este teorema, el circuito equivalente de la subred A está constituido por una
fuente real de corriente. La fuente de valor isc (sc: short circuit), que es la corriente de
cortocircuito, en paralelo con Rth.
Como la subred A se puede representar mediante dos circuitos equivalentes (equivalente de
Thévenin y equivalente de Norton), entonces estos tienen que ser equivalentes entre si y se
cumple la relación de transformación para fuentes reales.
voc = isc Rth ⇒ Rth = voc / isc. El texto lo puntualiza en la página 131.
Esta expresión nos brinda una idea de otro método de encontrar el circuito equivalente de
Thévenin o de Norton de una subred que contiene a una fuente dependiente como veremos
posteriormente.
Ambos teoremas tienen importancia práctica pero en esta carrera el fundamental es Thévenin.
2 b) Ejemplos del Teorema de Thévenin
Ejemplo 1
a) Halle el circuito equivalente de Thévenin entre los
puntos a y b.
b) Calcule la potencia que genera o consume la fuente
de 4V.
Solución:
a) Respecto a los terminales a y b, el resto del circuito lo constituye un dipolo activo. La
referencia de Vth es arbitraria y luego se analiza el signo.
1) Cálculo de la tensión de circuito abierto Vth= (Vab)oc
Se transforma la fuente real de corriente en fuente real
de tensión.
Se aplica un divisor de tensión.
Vth = (Vab)oc = - 18 (3 / 9) = - 6V
También se puede calcular la corriente
I = (15 + 3)/ 9 = 2A
y luego una trayectoria virtual:
Vth + 2(2+1) = 0
Vth = Vab = - 6 V
2) Cálculo de la Rth
Conexión serie – paralelo muy sencilla. Rth = 3Ω
3) Circuito equivalente de Thévenin y circuito total con la subred que se había eliminado.
Observe la polaridad de la fuente pues en Vth el terminal b es positivo respecto al a.
Puede calcular la corriente en el circuito (seleccione una referencia lógica) y después calcule
la potencia pedida. P = 1,6W consumida
3 Ejemplo 2
Find the Thévenin equivalent circuit with
respect to the terminals a-b for the circuit
Solución:
El circuito contiene una fuente
dependiente la cual no se puede
desactivar, y una fuente independiente
real de tensión.
1) Cálculo de la tensión de circuito
abierto Vth= (Vab)oc
Se puede calcular i1 planteando LKT:
-10 i1 + i1 (20+40) + 50 = 0
i1 = - 1 A
Ahora , LKT en trayectoria virtual:
-(Vab)oc + (-1)40 + 50 = 0 ⇒ (Vab)oc = 10V
2) Cálculo de la Rth
Como no se puede desactivar la fuente
dependiente , se cortocircuitan los
terminales a-b y se calcula la corriente
de cortocircuito, en el circuito mostrado a
continuación:
Ahora la corriente que controla a la FD varió
pues el circuito no es el mismo, por lo que el
valor de la tensión de la FD ha cambiado y no
se puede emplear el valor de i1 anterior.
Aplicando LKT en el lazo de la derecha:
i(40) + 50 = 0 ⇒ i = -1,25 A
Aplicando LKT en el lazo de la izquierda:
-10 i + iX (20) = 0
iX = 10(-1,25)/20= - 0,625 A
Aplicando LKC en el nodo a:
iSC = iX – i = 0,625 A
y Rth = Vth / iSC =10/0,625 = 16 Ω
3) El circuito equivalente de Thévenin es:
Observe la polaridad de la fuente: el terminal
a es positivo respecto al b.
4 Ejemplo 3
Find the Thévenin equivalent circuit for
the network shown in Fig. 3.67
Solución:
Aplicando divisor de corriente y despejando I1 :
I1=1/193,75 = 5,16* 10 -3 A
El circuito contiene una sola fuente que Aplicando LKC:
es dependiente. En este caso Vth = 0
-I + 5,16.10 -3 A - 0,01(0.097) = 0
La fuente dependiente no se puede
-3
desactivar y para calcular Rth podemos I = 4,19 .10 A
conectar una fuente independiente (por
ejemplo fuente de voltaje de 1v) entre
los terminales como se muestra en el
esquema y entonces
Rth = Vxy /I = 1/I
Aplicando divisores de voltaje
sucesivamente: Vx ≅ 0,097V Por tanto: Rth = V/I = 1/(4,19 . 10 -3 ) = 239Ω Se puede hacer el ejercicio empleando otra fuente
de voltaje (de 2V , por ejemplo) e incluso una
fuente independiente de corriente
Como se ve, la aplicación del teorema de Thévenin puede resultar en diferentes variantes.
c) Teorema de la máxima transferencia de potencia.
Da respuesta a la pregunta ¿Cuál es el valor de RL para que en la
misma se disipe la mayor potencia posible? (L: load S: source)
En el texto está demostrado en el Epígrafe 5.5. Estúdielo.
Cuando RL = RS la transferencia de potencia de la
fuente a la carga es máxima de valor
PLmax=(VS2)/4RS = (E2)/4RS (En el gráfico).
Como la potencia es una función continua y positiva
con dos mínimos PL=0 (en RL=0 y RL= ∞) y un
máximo en RL=RS, como se muestra..
5 Concepto de eficiencia
η = (PL /Pfuente ) *100% (adimensional)
RL = 0 ⇒ η= 0
RL = ∞ ⇒ η 100%
RL = RS ⇒ η = 50%
Para RL = RS se logra un 50% de eficiencia de la transmisión de
potencia.
Esto es incosteable para la transmisión con altos niveles de
potencia empleados en el SEN aunque es importante y útil cuando los niveles de potencia
transmitidos son bajos (mW), como es el caso en la transmisión de información (líneas
telefónicas, recepción en antenas).
Conclusiones
¿Cuál es el enunciado del teorema de Thevenin?
¿Cómo se calcula el voltaje de circuito abierto?
¿Cómo se calcula la resistencia equivalente de Thevenin?
Se ha visto que la aplicación del teorema de Thevenin, tiene diferentes variantes, a saber:
Circuitos que contienen los tipos de fuentes
resistores
Método para
calcular el circuito
equivalente
resistores
fuentes
independientes
ejemplo 1
fuentes
independientes
fuentes
dependientes
resistores
fuentes dependientes
ejemplo 3
ejemplo 2
Rth
Vth o Isc
Vth
VF = 1V
y
si
no
no
Isc
posible
si
no
IF = 1 A
no
posible
si
Nota: los valores de VF = 1V y de IF = 1 A, son en principio arbitrarios y se pueden seleccionar
otros, por ejemplo, 1mV, etc.
A partir del circuito de la figura del ejemplo 5.10 del texto, ¿El circuito mostrado es activo?
¿Cuál es el equivalente de Thévenin y cómo se calcula?
6 Orientaciones para el trabajo independiente
Parte I, Capítulo 5. Epígrafes 5.4 (Thévenin y Norton) y 5.5 (máxima transferencia de
potencia).
Ejemplos 5.6, 5.7, 5.8, (Thévenin y Norton) 5.9, 5.10 (Thévenin con fuentes dependientes) y
5.11 (máxima transferencia de potencia).
El ejemplo 5.6 es un caso sencillo donde se llega al equivalente de Thévenin y al de Norton
directamente aplicando transformaciones de fuentes reales, transformaciones repetidas de
fuentes como le llama el texto, y simplificaciones de resistores. Puntualice en el cálculo de la
potencia que se entrega a la carga. Esta forma de llegar al dipolo activo el texto la pide utilizar
en la práctica 5.5. Esta es una vía de llegar al dipolo activo.
El ejemplo 5.7 ya utiliza el teorema de Thévenin para calcular el mismo circuito equivalente del
ejemplo anterior., y lo utiliza en la práctica 5.6.
En los ejemplos 5.8, 5.9 y 5.10 son analizados 3 casos diferentes de determinar el circuito
equivalente de Thévenin y el de Norton: un caso típico con fuentes independientes, otro con
fuentes independiente y dependiente y el último solamente con fuente dependiente.
Prácticas 5.5, 5.6, 5.7 (Thévenin y Norton), 5.8 y 5.9 (Thévenin con fuentes dependientes)
5.10 (máxima transferencia de potencia).
Resuelva los problemas de la Tarea 9.
Vistos los teoremas del análisis de las redes lineales, se comenzará el estudio del inductor y
el capacitor, elementos pasivos capaces de almacenar energía en campo magnético y
eléctrico respectivamente, que pueden cederla al circuito pero no de manera indefinida como
se verá posteriormente.
Realizado por: Dra. Ing. Esperanza Ayllón Fandiño, CIPEL, Instituto Superior Politécnico
“José Antonio Echeverría”, CUJAE. Cuba
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