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10.1.2C. |x2| = |x|2 = x ; ∀ x ∈ R
10.1
Ecuaciones con
Valor Absoluto
Ejemplos.- |32| = |3|2 = 32 = 9 ; |(-5)2| = |-5|2 = 52 = 25
10.1.2D. |x| = |-x| ; ∀ x ∈ R
Ejemplo.-
Cuando queremos representar la distancia en
la recta numérica, entre un número conocido
y otro desconocido, recurrimos al concepto
de valor absoluto.
|8| = 8 
 → |8| = |-8|
|-8| = 8 
10.1.2E. |x · y| = |x| · |y| ; ∀ x, y ∈ R
Ejemplo.- |5 · 3| = |15| = 15 ; |5 · 3| = |5| · |3| = 5 · 3 = 15
En la figura (a) se verifica que:
10.1.2F.
|x – 7| = 5
En la figura (b), se cumple que: |7 – x| = 5
De ambos casos se comprueba que:
Obsérvese que ambas expresiones representan la distancia del número «x» al número 7.
|x – 7| = |7 – x| = 5
x = | x | ; ∀ x ∈ R ; y ∈ R – {0}
y |y |
Ejemplo.- 12 = 4 = 4 ;
3
-12 = -12 = 12 = 4
3
3
3
10.1.3. Ecuaciones con Valor Absoluto
10.1.3A. Forma: | x | = 0
10.1.1. Definición
Para su resolución se debe plantear la siguiente igualdad: x = 0
Dado el número real «x», el valor absoluto de x representado por |x| es aquel número no negativo que se forma a partir de x mediante la siguiente regla de correspondencia:
 x
|x| =  0
- x
; si x > 0
; si x = 0
; si x < 0
Frecuentemente se dice que el valor absoluto es la relación funcional que transforma a un
número en otro similar pero con signo positivo.
Ejemplo.- Calcular «x» en: |2x – 1| = 0
2x – 1 = 0 → 2x = 1 \ x = 1/2
10.1.3B. Forma: | x | = a
Si: a ≥ 0, la ecuación es compatible determinada y para su resolución se plantea la igualdad:
x = a ∨ x = -a
Ejemplo.- Calcular «x» en: |5x + 3| = 8
Veamos algunos ejemplos:
5x + 3 = 8 ∨ 5x + 3 = -8
a) |4| = 4 b) |0| = 0 c) |-7| = -(-7) = 7
10.1.2. Teoremas
10.1.2A.
Ejemplo.-
2
x =|x| ; ∀ x ∈ R
2
2
7 + ( -5) = | 7 | + | -5| = 7 + 5 = 12
10.1.2B. |x| ≥ 0 ; ∀ x ∈ R
10.1.3C. Forma: | x | = |y |
Para su resolución se debe plantear la siguiente igualdad: (x + y)(x – y) = 0
Ejemplo.- Calcular «x» en: |2x – 1| = |x + 3|
(2x – 1 + x + 3)(2x – 1 – x – 3) = 0
(3x + 2)(x – 4) = 0
3x + 2 = 0 ∨ x – 4 = 0
Ejemplos.- |0| = 0, en efecto: |0| ≥ 0 ; |5| = 5, en efecto: |5| ≥ 0 ; |-4| = 4, en efecto: |-4| ≥ 0
452
Und. 10 Valor Absoluto
Álgebra
5x = 5 ∨ 5x = -11 \ x = 1 ∨ x = 11
5
3x = -2 ∨ x = 4 \ x = - 2 ∨ x = 4
3
453
10.1.4. Resolución de Ecuaciones con Valor Absoluto
Ejemplo.- Resolver la ecuación: |3x – 8| – |3x – 2| = 6 (UNMSM 2009)
Determinemos las raíces de cada expresión con V.A:
10.1.4A. Evaluación de Expresiones con Valor Absoluto
i) 3x – 8 = 0 → x = 8/3
Evaluar una expresión matemática que incluye el símbolo de valor absoluto exige cuidado.
Así, dependiendo del intervalo de existencia de la expresión, ésta tendrá un signo. Por otro
lado, si conocemos el intervalo de existencia de una variable, digamos x, entonces será previsible saber el signo que le corresponde en una expresión matemática determinada. Veamos:
ii) 3x – 2 = 0 → x = 2/3
De aquí, los intervalos de estudio son:
a) Si x ≤ 2, evaluar |x – 4|
Efectuamos así: si x ≤ 2 → x − 4 ≤ 2 − 4 → x − 4 ≤ −2 → x − 4 < 0
A continuación efectuaremos la evaluación de las expresiones con valor absoluto:
→ |x – 4| = -(x – 4) \ |x – 4| = -x + 4
a) En I1 se tiene que: x ≤ 2/3, entonces: 3x – 8 < 0 ∧ 3x – 2 < 0
b) Si -1 < x ≤ 3, evaluar |2x – 9|
2 − 9 < 2x − 9 ≤ 6
−9
Efectuamos así: 2( -1) < 2 · x ≤ 2(3) → -2 < 2x ≤ 6 → -
−11
Luego de evaluar los V.A, en este intervalo, la ecuación queda como:
(3x – 8) – [-(3x – 2)] = 6 → 6 = 6
-3
Es decir: 2x – 9 < 0, luego: |2x – 9| = -(2x – 9) \ |2x – 9| = -2x + 9
c) Si x > 2 , evaluar |3x + 1|
3
Efectuamos así: x > 2 → 3x > 2 → 3x + 1 > 2 + 1 → 3x + 1 > 3
3
Es decir: 3x + 1 > 0, luego: |3x + 1| = 3x + 1
Este resultado sugiere que la ecuación se verifica para cualquier valor de «x» del intervalo I1.
Luego:
2
C.S1 = -∞; 
3
b) En I2 se tiene que 2/3 < x ≤ 8/3, entonces: 3x – 8 ≤ 0 ∧ 3x – 2 > 0
Luego de evaluar los V.A, en este intervalo, la ecuación queda como:
10.1.4B. Resolución de Ecuaciones con V.A por el Método de Intervalos
Hasta aquí solo habíamos analizado y resuelto ecuaciones con valor absoluto de la forma:
|P(x)| = a ∧ |P(x)| = |Q(x)| ∧ |P(x)| = Q(x)
-(3x – 8) – (3x – 2) = 6 → x = 2/3
Como este valor no pertenece al intervalo I2, concluimos que:
CS2 = ∅
donde P(x) y Q(x) son polinomio enteros de x, y «a» es un parámetro conocido.
Existen sin embargo otros tipos de ecuaciones con valor absoluto un tanto más complejos, como:
|P(x)| + |Q(x)| = a ∧ |P(x)| + |Q(x)| = |R(x)| ∧ |P(x)| + |Q(x)| = R(x)
A primera vista el problema sólo consiste en eliminar los símbolos de valor absoluto y proceder con las operaciones indicadas. Lamentablemente este proceso no es así, pues debe estar
acompañado con el criterio de eliminación de esos símbolos a partir de su evaluación correspondiente.
Este algoritmo de resolución consiste en determinar las raíces de cada expresión con valor
absoluto. Así, si se tiene |P(x)|, sus raíces se calculan haciendo P(x) = 0.
Estas raíces determinan intervalos sobre la R.N y en entonces se debe evaluar la solución de la
ecuación para cada expresión con valor absoluto que se tenga.
La solución final vendrá dada por la unión de los intervalos solución de cada análisis.
454
Álgebra
c) En I3 se tiene que: x > 8/3, entonces: 3x – 8 > 0 ∧ 3x – 2 > 0
Luego de evaluar los V.A, en este intervalo, la ecuación queda como:
(3x – 8) – (3x – 2) = 6 → -x = 12
Según este resultado, no existe ningún valor de «x» que pertenece a I3 y verifique la ecuación:
CS3 = ∅
Finalmente: C.S = C.S1 ∪ C.S2 ∪ C.S3 = - ∞; 2  ∪ ∅ ∪ ∅
3
∴ C.S = -∞ ; 2 
3
Und. 10 Valor Absoluto
455
Prob. 03.- Resolver: |2x – 3| = 0
Teniendo en cuenta lo expuesto en la teoría procedemos de la siguiente manera:
Prob. 01.- Calcular: F = |7| + 2|-3| + |-4| – 12
|2x – 3| = 0 ↔ 2x – 3 = 0
2x = 3 \ x = 3/2
De acuerdo con la definición del valor absoluto, procedemos así:
F = |7| + 2|-3| + |-4| – 12
F = 7 + 2[-(-3)] + [-(-4)] – 12
Prob. 04.- Resolver: |5x + 1| – 7 = 0
La ecuación dada es: |5x + 1| = 7
F = 7 + 6 + 4 – 12 → F = 17 – 12
Como 7 > 0 → 5x + 1 = 7 ∨ 5x + 1 = -7
\ F = 5
5x = 6 ∨ 5x = -8
Prob. 02.- Si: x < 0, mostrar el equivalente de: x 4 x 2 + - x3 + ( x − 1)2 + x
→ x = 6/5 ∧ x = -8/5
Sea: «L» el equivalente, es decir:
Prob. 05.- Resolver: |3x + 2| = -2
4
2
4
2
3
\ CS = {6/5, -8/5}
2
L = x + − x + ( x − 1) + x
3
De acuerdo con la definición debemos recordar que:
2
L = x + ( − x ) + ( x − 1) + x
4
2
2
|3x + 2| ≥ 0 : ∀ x ∈ R
2
L = x + ( −x )( − x ) + ( x − 1) + x
Es decir un valor absoluto jamás es negativo, luego la igualdad mostrada en el problema:
|3x + 2| = -2
Como x < 0 → -x > 0 ∧ x – 1 < -1
Por teorema de radicales: L = x
2
2
2
x + − x · ( − x ) + ( x − 1) + x
Por definición: L = x |x| + −x .|-x|+|x -1|+ x
L = x −x +
L = x
456
Álgebra
\ CS = ∅
Prob. 06.- Resolver: | x2 – 6 | = 6 + x
−x - x - −x (x - 1) + x
Reduciendo: L = -x + 1 + x
\ L = 1
−x . (-x) + [-(x - 1)] + x
Contradice la definición, en consecuencia estamos frente a una ecuación incompatible.
De acuerdo con lo expuesto en la teoría procedemos de la siguiente forma:
6 + x ≥ 0 ∧ {x2 – 6 = 6 + x ∨ x2 – 6 = -(6 + x)}
Und. 10 Valor Absoluto
457
6 + x ≥ 0 ∧ {x2 – 6 = 6 + x ∨ x2 – 6 = -6 – x}
Por teorema: 7x – 2 = 0 ∨ 3x + 4 = 0
x ≥ -6 ∧ {x2 – x – 12 = 0 ∨ x2 + x = 0}
7x = 2 ∨ 3x = -4
x ≥ -6 ∧ {(x – 4)(x + 3) = 0 ∨ x(x + 1) = 0}
→ x = 2/7 ∨ x = -4/3 \ CS = {2/7; -4/3}
x ≥ -6 ∧ {x = 4 ∨ x = -3 ∨ x = 0 ∨ x =-1}
Finalmente «x» deberá verificar: [-6; ∞〉 ∩ {-3; -1; 0; 4}
Prob. 09.- Resolver: | 2x – 1| + | x – 1| = x + 1
De donde observamos que: x ∈ {-3; -1; 0; 4}
Nuestra estrategia para resolver este problema consistirá en eliminar el valor absoluto, según zonas, para lo cual determinaremos cada zona de acción según el corte que se genere
(valor de «x») en la recta real, al igualar cada valor absoluto a cero:
\ CS = {-3; -1, 0, 4}
Prob. 07.- Resolver: | 6x2 – x – 1| = 5 – x
|2 x − 1| = 0 → x = 1 
2 
 Puntos decorte
|x − 1| = 0 → x = 1 
Se cumple: 5 – x ≥ 0 → x ≤ 5
De donde: |6x2 – x – 1| = 5 – x → 6x2 – x – 1 = 5 – x ∨ 6x2 – x – 1 = -(5 – x)
2
Identificamos las zonas en la recta real:
2
6x – 6 = 0 ∨ 6x – 2x + 4 = 0
6(x2 – 1) = 0 ∨ 2(3x2 – x + 2) = 0
x2 – 1 = 0 ∨ 3x2 – x + 2 = 0
Observar que: 3x2 – x + 2 > 0 ∀ x ∈ R
Finalmente sólo tenemos: x2 – 1 = 0
(x + 1)(x - 1) = 0
Ahora la ecuación original equivale a 3 ecuaciones (una en cada zona), veamos:
I. En el intervalo: -∞ < x < 1 (zona I)
2
x + 1 = 0 ∨ x – 1 = 0
x = -1 ∨ x = 1
Como ambos valores verifican: x ≤ 5 \ CS = {-1; 1}
Prob. 08.- Resolver: | 5x + 1| = | 2x – 3 |
|2x – 1| + |x – 1| = x + 1
Formamos 2x – 1 en el intervalo de acción:
-∞ < x < 1 → -∞ < 2 x < 1 → -∞ < 2 x − 1 < 0
2
Ahora notamos que: |2x – 1| = -(2x – 1)
Formamos x – 1 en el intervalo de acción:
La ecuación dada es: |5x + 1| = |2x – 3|
[(5x + 1) + (2x – 3)][(5x + 1) – (2x – 3)] = 0
-∞ < x < 1 → -∞ < 2 x < 1 → -∞ < 2 x − 1 < 0
2
(7x – 2)(3x + 4) = 0
De aquí notamos que: |x – 1| = -(x – 1)
458
Und. 10 Valor Absoluto
Álgebra
459
La ecuación sin valor absoluto queda así:
La ecuación sin valor absoluto queda así:
-(2x – 1) – (x – 1) = x + 1 → -2x + 1 – x + 1 = x + 1
2x – 1 + x – 1 = x + 1 → 3x – 2 = x + 1
-3x + 2 = x + 1 → -4x = -1
2x = 3 ↔ x = 3
2
→ x = 1
4
Observa que x = 1/4 verifica el intervalo de la zona I, luego x = 1/4 es una solución de la
ecuación.
Observa que x = 3/2 verifica el intervalo de la zona III, luego x = 3/2 es otra solución de la
ecuación.
La solución de la ecuación dada por la reunión de todas las soluciones obtenidas, es:
II. En el intervalo: 1 ≤ x < 1 (zona II)
2
{ }
CS= 1 ; 3
4 2
|2x – 1| + |x – 1| = x + 1
Formamos 2x – 1 en el intervalo de acción:
Prob. 10.- Resolver: | | 4x – 3 | + 5| – 1 = 2
1 ≤ x < 1 → 1 ≤ 2x < 2 → 0 ≤ 2x − 1 < 1
2
Ahora notamos que: |2x – 1| = 2x – 1
Formamos x – 1 en el intervalo de acción:
1 ≤ x < 1 → - 1 ≤ x−1< 0
2
2
La ecuación dada es: ||4x – 3|+ 5| = 3
Observar que: |4x – 3| + 5 es una expresión positiva, en consecuencia se tendrá:
||4x – 3 | + 5| = |4x – 3| + 5
Ahora la ecuación será:
|4x – 3| + 5 = 3 → |4x – 3| = -2
De aquí notamos que: |x – 1| = -(x – 1)
Por definición se sabe que: |4x – 3| ≥ 0 ; ∀ x ∈ R
La ecuación sin valor absoluto queda así:
Luego: |4x – 3| = -2 < 0
2x – 1 – (x – 1) = x + 1 → 2x – 1 – x + 1 = x + 1
contradice la definición. \ CS = ∅
x = x + 1 → 0x = 1
Una adecuada inspección permite visualizar que no existe valor de x que verifique la igualdad, por tanto en la zona II no existe solución.
III. En el intervalo: 1 ≤ x < ∞ (zona III)
→ 2 ≤ 2x < ∞ → 1 ≤ 2x – 1 < ∞
Prob. 11.- Resolver: | x – 1| + | 3x – 3| + |5x – 5 | = 36
Reescribiendo la ecuación dada así: |x – 1| + |3(x – 1)| + |5(x – 1)| = 36
Aplicando el teorema 10.1.2E, se tiene: |x – 1| + 3|x – 1| + 5|x – 1| = 36
Resulta evidente que: |2x – 1| = 2x – 1
9|x – 1| = 36 → |x – 1| = 4
Formamos x – 1 en el intervalo de acción:
De donde se debe cumplir que: x – 1 = 4 ∨ x – 1 = -4
1 ≤ x < ∞ → 0 ≤ x – 1 < ∞
x = 5 ∨ x = -3
De aquí obtenemos que: |x – 1| = x – 1
\ CS = {-3; 5}
460
Und. 10 Valor Absoluto
Álgebra
461
Prob. 12.- Determine el producto de soluciones de la ecuación: | 2x – 6 | + | 15 – 5x | = 14
Prob. 14.- Resolver: |x + 1| = 2x – 1
A) -5 B) 5 C) 6 D) -6 E) 25
A) {0; 2} B) 〈0; 2〉 C) {0} D) {2} E) {-2; 2}
La ecuación dada es: |2x – 3| + |15 – 5x| = 14
→ |2(x – 3)| + |5(3 – x)| = 14
Por teorema: 2|x − 3|+5|3 − x| = 14

 

→ 2|x – 3| + 5|x – 3| = 14
→
7|x – 3| = 14 → |x – 3| = 2
La ecuación es: |x + 1| = 2x – 1
Según la teoría: 2x – 1 ≥ 0 ∧ (x + 1 = 2x – 1 ∨ x + 1 = -2x + 1)
2x ≥ 1 ∧ (-x = -2 ∨ 3x = 0)
x ≥ 1 ∧ ( x = 2 ∨ x = 0)
2
De donde tenemos: x – 3 = 2 ∨ x – 3 = -2
Fácilmente podemos reconocer que el valor de «x» que verifica x ≥ 1 es: x = 2
2
x = 5 ∨ x = 1 → CS = {1; 5}
\ CS = {2} Rpta. D
\ Producto de soluciones = 5 Rpta. B
Prob. 13.- Determine la suma de soluciones reales de la ecuación: |x|3 + |x| – 3 = x3
A) 3 B) 5 C) -2 D) -3 E) 2
Prob. 15.- Determinar el número de soluciones de la ecuación: x − 3 = 3 − 2 x
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
La ecuación dada es: |x|3 + |x| – 3 = x3
La ecuación dada es: I. Si x ≥ 0 → x3 + x – 3 = x3 → x – 3 = 0 → x = 3
Por propiedad tenemos:
Fácilmente reconocemos que x = 3 es la solución.
3
3
3
II. Si x < 0 → -x – x – 3 = x → -2x – x – 3 = 0
→ 2x3 + x + 3 = 0
Factorizando al trinomio según el criterio de los divisores binomios se obtiene:
(x + 1)(2x2 – 2x + 3) = 0
x −3 = 3−2 x
( x − 3 + 3 − 2 x )( x − 3 − 3 + 2 x ) = 0
→ ( - x )( 3 x − 6 ) = 0
De donde se cumple que: -|x| = 0 ∨ 3|x| – 6 = 0
|x| = 0 ∨ 3|x| = 6
|x| = 0 ∨ |x| = 2
Aquí reconocemos que: 2x2 – 2x + 3 > 0 ; ∀ x ∈ R
x = 0 ∨ (x = 2 ∨ x = -2)
Ahora tenemos: x + 1 = 0 → x = -1
Finalmente tenemos:
Fácilmente reconocemos que x = -1 es la solución, entonces: CS = {-1; 3}
CS = {-2; 0; 2}
\ Nº de soluciones = 3 Rpta. D
\ ∑ de soluciones = 2 Rpta. E
462
Álgebra
Und. 10 Valor Absoluto
463
11.- Resolver: |x2 – 2x| = 0
Práctica
10.1. Ecuaciones con
Valor Absoluto
01.- Reducir:
2
|2| + 2|-3| +
A) 15
B) 12
D) 2
E) 7
(-3) – |-9| + 1
C) 3
3
2
x + x +
A) 5x
B) 3x
D) x
E) -x
03.- Calcular:
B) 31 D) 11
E) -1
5
5
x +
4
4
x +x
C) 2x
B) 12
D) 17
E) 14
D) 9
E) 5
C) 7
04.- Si: x ∈ 〈-1; 4〉, reducir:
|x – 5| + |x + 2| + 1
A) 4
B) 3
D) 2x – 2
E) 2x + 1
|x + 2001| – |x – 2003| + 2005
A) 1
B) 2x
C) x + 2003
D) 2x + 2003
|3|+|-4|+|5|+|-6|+|7|–|-15|+1
Álgebra
C) 3
2
2
Considere : x < 1
A) 1
B) 3
D) 2x + 3
E) 3 – 2x
C) 2x – 1
09.- Si: x ∈ 〈1 ; 7〉 , simplificar:
| 2 x + 3 | + | 5x − 3 |
F=
x
A) 7
B) 3
2
D) 6 + x
6 − 3x
E)
x
C) 5
10.- Si, x ∈ 〈0 ; 3〉 simplificar:
F=
E) N.A
06.- Calcular:
2
( x − 1) + (2 − x) + x − | x |
C) 8
05.- Si: x ∈ 〈2; 13〉, reducir:
464
2
08.- Reducir:
2
(-2) + |-3| + |3| + 1
B) 3
2
A) 0
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) Más de una es correcta
A) x + 4
B) 12 + 7 x
D) 7 E) N.A
C) 11
B) {7/5}
C) {-7/5}
D) {-1/5; -7/5}
E) ∅
A) 5
B) 2/5 D) 1/5 E) -2/5
20.- Indicar el número de elementos del conjunto solución de: |x2 – 2| = 2 – 3x.
C) -1/5
A) -5/2
B) 3/2
D) 9/2
E) 1/4
C) 4
A) 5 B) 4
D) 2
E) 1
|2x + 1| + 5 = 3 – |x + 1|
14.- Determinar «x» en: |11 – 21x| = 10
A) -12
B) 1/21
D) -1
E) 3
C) -1/21
15.- Encuentre la suma de todos los valores
que asume «x» en: |x – 13| = 10.
A) 20
B) 21
D) 24
E) 26
C) 3
21.- Determinar un valor de «x» en:
C) 23
A) -1
B) 1/4
C) 2/5
D) -3/1
E) No existe tal «x»
22.- Resolver: |x – 17| = 15 – x
A) [-2; 3/2}
B) {5; -1/4}
C) {3/2; 1/4}
D) R
E) ∅
16.- Resolver: |x – 9| = |17 – x|
A) {2}
B) {2; 3}
D) {12}
E) {17}
C) {13}
17.- Resolver: |2x + 3| = |x – 1|
A) {-2; 2/3}
B) {-5/2; 4/3}
C) {-1/4; 3/2}
D) {-2/3; -4}
E) {2/3; -4}
| 5 x + 48 | −3 | 2 x − 16 |
x
A) {-1/2; 3/4}
12.- Resolver: |5x – 1| + |10x – 2| = 0
13.- Indicar «x» en: |2x – 7| = 2
3 + (-2) + 4 + (-5)
2
A) -1
C) 10
07.- Reducir:
2
02.- Si, x < 0 , reducir:
3
A) 30
19.- Resolver: |5x + 4| + 3 = 0
18.- Resolver: |2x – 5| = 4
A) {1/2; 3/2}
B) {1/4; 9/2}
C) {1/2; 9/2}
D) {-1/2; 9/2}
E) { }
Und. 10 Valor Absoluto
23.- Indicar el cardinal del conjunto solución
de la ecuación: |3x – 1| = 2x + 5.
A) 0
B) 1
D) 3
E) 4
C) 2
24.- Indicar «x» de: ||x + 2| + 3| = 4
A) -1
B) 1
C) 3
D) -3
E) Más de una es correcta
25.- Encontrar la suma de los valores absolutos de las soluciones de:
|x + 3| – |x – 1| = x + 1
A) 7
B) 8
D) 10
E) 11
C) 9
465
26.- Determinar la suma de todos los valores
que asume «x» en: |2x – 3| = 5.
A) 4
B) -1
D) 8
E) -3
C) 3
27.- Indicar el producto de las soluciones en:
|4x – 1| = |x – 2|
A) -1
B) -1/5
D) 3/5
E) 2
C) -1/3
33.- Al resolver: x − 4 + 2 x − 1 = - 5
4
x − 4 − 2x −1
Indique la menor solución.
A) 34/11
B) 35/11
D) 37/11
E) 39/11
34.- Al resolver:
4
Se obtiene como conjunto solución {a; b; c; d}.
Determine el valor de: a2 + b2 + c2 + d 2.
A) 55
B) 52
A) {1; 2}
B) {-1; 3; 2}
D) 40
E) 35
D) R
E) N.A.
C) {0; 1}
A) 〈1; 8〉
B) 〈-2; 8〉
C) {2/5; 3/2}
D) R
D) 〈-1; 8〉
E) 〈-1; 9〉
2
|x – 3| – 3|x – 3| – 18 = 0
B) 2
D) 4
E) 5
C) 3
31.- Si: x = 1 − 2 , determine el valor de:
K = x −3 + x−4 −2 2
A) 5
B) 6
D) 8
E) 9
C) 7
32.- Al resolver ||x|– 3|+|15 – 5|x||= 12,
determine el producto de raíces.
A) 18
B) 22
D) 28
E) 30
466
|10 – x| < 4
C) 25
En ambas expresiones se representa la siguiente condición: «x y 10 no difieren en más
de 4».
K = x2 – 2|x|
B) {-1; 0; 1/2}
30.- Determinar el número de soluciones de
la ecuación:
C) 〈0; 8〉
36.- Si x ∈ 〈-1; 3〉, determine el intervalo de
x −1 .
x +2
A) - 2 ; 1 5 3
B) - 2 ; 1 5 2
D) [0; 1]
E) - 1 ; 2
 2 5
F
A
B
.
Claves:
.
.
.
.
C) 2 ; 1
5 2
10.2.1. Inecuaciones con Valor Absoluto
10.2.1A. Forma: |x| < a
Para su resolución se debe plantear lo siguiente:
a > 0 ∧ -a < x < a
Ejemplo.- Resolvamos: |x – 1| < 5
La inecuación equivale a: 5 > 0 (verdadero) ∧ -5 < x – 1 < 5
01
C
02
D
03
D
04
C
05
D
06 . 07
D
E
08
E
09
A
10
C
11
E
12
D
13
D
14
B
15
E
16
C
17
D
18
C
19
C
20
E
21
D
22
E
23
C
24
E
25
C
26
C
27
B
28
D
29
E
30
B
31
A
32
C
33
D
34
B
35
D
36
E
Álgebra
En el caso (a) se cumple que:
En el caso (b) se cumple que:
A) {-2/3; 1/4}
E) ∅
En los ejemplos del recuadro se visualiza un
número x desconocido, el cual puede ubicarse a la izquierda o derecha del número 10.
|x – 10| < 4
C) 47
35.- Si x ∈ 〈-4; 1〉, determine el valor de:
29.- Resolver: |4 – x| + 7 = 3 – |x – 1|
A) 1
10.2
C) 36/11
( x − 3 ) 4 + 6 ( 3 − x )6 = 4
28.- Resolver: |3x – 1|2 + |2x + 1| + 2 = 0
Sumando 1 tenemos: -4 < x < 6 \ x ∈ 〈-4; 6〉
10.2.1B. Forma: | x | > a
Para su resolución se debe cumplir lo siguiente:
x > a ∨ x < -a
Ejemplo.- Resolvamos: |x + 1| > 10
La inecuación equivale a: x + 1 > 10 ∨ x + 1 < -10
→
n
x > 9 ∨ x < -11
\ x ∈ -∞; - 11 ∪ 9; ∞
Und. 10 Valor Absoluto
y)
Inecuaciones con
Valor Absoluto
467
10.2.1C. Forma: | x | > | y |
10.2.2B. Resolución de Inecuaciones con V.A por el Método de Intervalos
Para su resolución se plantea lo siguiente: (x + y)(x – y) > 0
Ejemplo.- Resolver la inecuación: |x – 1| + |2 – x| > 3 + x (UNMSM 2009)
Ejemplo.- Resolvamos: |x + 3| > |x – 4|
Determinemos las raíces de cada expresión de V.A:
La inecuación equivale a: (2x – 1)(7) > 0
2x – 1 > 0 → x > 1/2 \ x ∈ 〈1/2; ∞〉
10.2.1D. Forma: | x | < | y |
Para su resolución se plantea lo siguiente: (x + y)(x – y) < 0
i) x – 1 = 0 → x = 1
ii) 2 – x = 0 → x = 2
Los intervalos de análisis son:
Ejemplo.- Resolvamos: |x – 8| < |x + 5|
La inecuación equivale a: (2x – 3)(-13) < 0
2x – 3 > 0 → x > 3/2 \ x ∈ 〈3/2; ∞〉
a) En I1 se tiene x < 1, entonces: x – 1 < 0 ∧ 2 – x > 0
Observación.- Si en cualquiera de las formas de las inecuaciones vistas anteriormente se sustituye un signo de relación simple por su correspondiente doble, para su resolución se seguirán
las mismas recomendaciones que en las inecuaciones de signo de relación simple. Así pues si
se plantea:
|x| ≤ a
Luego de evaluar los V.A, la inecuación queda como:
Se deberá resolver: a ≥ 0 ∧ -a ≤ x ≤ a
b) En I2 se tiene que: 1 ≤ x ≤ 2, entonces: x – 1 ≥ 0 ∧ 2 – x ≥ 0
10.2.2. Resolución de Inecuaciones con Valor Absoluto
10.2.2A. Método de Intervalos
-(x – 1) + (2 – x) > 3 + x → x < 0
\ C.S1 = 〈-∞; 0〉
Luego de evaluar los V.A, la inecuación queda como:
(x – 1) + (2 – x) > 3 + x → x < -2
Como estos valores no pertenecen a I2, concluimos que:
Hasta aquí sólo se han analizado y resuelto ecuaciones con valor absoluto de la forma:
|P(x)| < a ∧ |P(x)| > a ∧ |P(x)| ≤ |Q(x)| ∧ |P(x)| ≥ Q(x)
donde P(x) y Q(x) son polinomio enteros de x, y «a» es un parámetro conocido.
Así como lo fue para las ecuaciones con valor absoluto estudiadas en el capítulo anterior, lo
son también otros tipos de inecuaciones con valor absoluto un tanto más complejas, como:
C.S2 = ∅
c) En I3 se tiene que: x > 2, entonces: x – 1 > 0 ∧ 2 – x < 0
Luego de evaluar los V.A, la inecuación queda como:
(x – 1) – (2 – x) > 3 + x → x > 6
|P(x)| + |Q(x)| < a ∧ |P(x)| + |Q(x)| > a
|P(x)| + |Q(x)| < |R(x)| ∧ |P(x)| + |Q(x)| < R(x), etc.
Este algoritmo de resolución de este tipo de inecuaciones, como para el caso de ecuaciones
con valor absoluto, consiste en determinar las raíces de cada expresión con valor absoluto. Así
recordemos que las raíces de |P(x)| se calculan haciendo P(x) = 0.
\ C.S3 = 〈6; ∞〉
Finalmente: C.S = C.S1 ∪ C.S2 ∪ C.S3
\ C.S = 〈-∞; 0〉 ∪ 〈6; ∞〉
Estas raíces determinan intervalos sobre la R.N y en entonces se debe evaluar la solución de la
inecuación para cada expresión con valor absoluto que se tenga.
La solución final vendrá dada por la unión de los intervalos solución de cada análisis.
468
Álgebra
Und. 10 Valor Absoluto
469
La inecuación dada es: |x2 – 3| ≥ 1
Aplicando las condiciones del caso mostrado en el ítem 10.2.1B. tenemos:
Prob. 01.- Demostrar que: |x + y| ≤ |x| + |y| ; ∀ x, y ∈ R.
x2 – 3 ≥ 1 ∨ x2 – 3 ≤ -1
x2 – 4 ≥ 0 ∨ x2 – 2 ≤ 0
De acuerdo con la definición de valor absoluto podemos establecer lo siguiente:
x· y ≤ |x|· |y| ; ∀ x, y ∈ R
Transformando a producto: (x + 2) (x – 2) ≥ 0 ∨ (x + 2 )(x – 2 ) ≤ 0
En la recta real tenemos:
Multiplicando por 2: 2· x · y 2|x|· |y|
Sumando x2 y y2: x2 + y2 + 2· x· y ≤ x2 + y2 + 2·|x|·|y|
Por teorema: x2 + y2 + 2· x· y ≤ |x|2 + |y|2 + 2· |x|·|y|
Por productos notables: (x + y)2 ≤ (|x| + |y|)2
Extrayendo
en ambos miembros:
2
2
Finalmente la solución será: x ∈ 〈-∞; -2] ∪ [ - 2 ; 2 ] ∪ [2; ∞〉 Rpta. E
Prob. 04.- Resolver: | 2x + 1| ≤ x + 1
A) [-2; 2/3〉 B) 〈-∞; -2/3〉 C) [-2/3; 0] D) 〈-∞; 3〉 E) [-2/3; ∞〉
( x + y ) ≤ (|x|+|y|) \ |x + y| ≤ |x| + |y| l.q.q.d.
Prob. 02.- Resolver: | x + 4 | < 2
La inecuación dada es: |2x + 1| ≤ x + 1
A) 〈6; ∞〉 B) 〈-6; 2〉 C) 〈4; ∞〉 D) 〈-∞; 3〉 E) [-3/2; ∞〉
Aplicando las condiciones del caso mostrado en el ítem 10.2.1A. tenemos:
x + 1 ≥ 0 ∧ -(x + 1) ≤ 2x + 1 ≤ x + 1
De acuerdo con lo expuesto en la teoría procedemos de la siguiente manera:
|x + 4| < 2 → 2 > 0 ∧ -2 < x + 4 < 2
Como la desigualdad 2 > 0 es absoluta «siempre se cumple».
Bastará resolver: -2 < x + 4 < 2
Sumando -4 tenemos: -2 – 4 < x + 4 – 4 < 2 – 4
- 6 < x < -2 \ x ∈ 〈-6; -2〉 Rpta. B
Prob. 03.- Resolver: |x2 – 3| ≥ 1. Dar como respuesta un intervalo solución.
De donde podemos plantear:
x + 1 ≥ 0 ∧ {-(x + 1) ≤ 2x + 1 ∧ 2x+ 1 ≤ x + 1}
x ≥ -1 ∧ {-x – 1 – 2x – 1 ≤ 0 ∧ 2x + 1 – x – 1 ≤ 0}
x ≥ -1 ∧ {-3x – 2 ≤ 0 ∧ x ≤ 0}
x ≥ -1 ∧ {3x + 2 ≥ 0 ∧ x ≤ 0}
x ≥ -1 ∧ {x ≥ -2/3 ∧ x ≤ 0} ↔ x ≥ -1 ∧ {-2/3 ≤ x ≤ 0}
Finalmente en la recta real tenemos:
A) [-2; 5〉 B) 〈-∞; -1〉 C) 〈-∞; 0〉 D) 〈-∞; 2〉 E) - 2 ; 2 
470
Und. 10 Valor Absoluto
Álgebra
\ x ∈ [-2/3; 0] Rpta. C
471
Prob. 05.- Resolver: | x2 – x + 3 | ≥ x + 11
A) 〈-∞; -2〉 ∪ 〈4; ∞〉 B) 〈-∞; -2〉 C) 〈-∞; -2〉 ∪ [3; 5〉
De acuerdo con la definición del valor absoluto, sabemos que: |5x + 1| ≥ 0
D) [-2; 0〉 ∪ [4; ∞〉 E) [-3/2; 8〉
Lo cual establece que |5x + 1| jamás asume valores negativos.
En el ejercicio tenemos: |5x + 1| < -4
Teniendo en cuenta lo expuesto en la teoría, procedemos de la siguiente manera:
|x2 – x + 3| ≥ x + 11 → x2 – x + 3 ≥ x + 11 ∨ x2 – x + 3 ≤ -(x + 11)
x2 – 2x – 8 ≥ 0 ∨ x2 + 14 ≤ 0
Observar que x2 + 14 > 0; ∀ x ∈ R, luego la solución de la inecuación: x2 + 14 ≤ 0; será el vacío
en consecuencia el problema planteado sólo requiere resolver:
2
x – 2x – 8 ≥ 0
Factorizando tenemos:
(x – 4)(x + 2) ≥ 0
Finalmente en la recta real se tiene: x ∈ 〈-∞; -2] ∪ [4; ∞〉 Rpta. A
2
Lo cual indica que |5x + 1| asume valores negativos, y contradice la definición. Luego podemos afirmar que no existe valor alguno para x que verifique dicha inecuación.
\ CS = ∅ Rpta. E
Prob. 08.- Resolver: | x2 – 3x + 1| > | x2 – 1|
A) 〈-3; 0〉 ∪ 〈1; ∞〉 B) 〈-∞; 0〉 ∪ 〈2/3; 3/2〉 C) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈3; ∞〉
D) 〈-∞; 0〉 ∪ 〈3; ∞〉 E) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈2/3; ∞〉
Teniendo en cuenta lo expuesto en la teoría, procedemos:
Prob. 06.- Resolver: | 5x – x + 2 | > -4
|x2 – 3x + 1| > |x2 – 1| ↔ [(x2 – 3x + 1) – (x2 – 1)] > 0
A) 〈0; ∞〉 B) ∅ C) 〈-∞; 0] D) R E) [0; ∞〉
(2x2 – 3x)(-3x + 2) > 0 ↔ (2x2 – 3x)(3x – 2) < 0
→ x· (2x – 3)· (3x – 2) < 0
Teniendo en cuenta la definición del valor absoluto se puede establecer que:
Finalmente en la recta numérica tenemos.
|5x2 – x + 2| ≥ 0 ; ∀ x ∈ R
De donde se puede establecer que: |5x2 – x + 2| ≥ 0 > -4 ; ∀ x ∈ R
Ahora por la ley de transitividad: |5x2 – x + 2| > -4 ; ∀ x ∈ R
Resumiendo podemos decir que al ser |5x2 – x + 2| no negativo, necesariamente será mayor que cualquier número negativo sin importar el valor que asuma «x».
\ x ∈ R ∧ x ∈ 〈-∞; ∞〉 Rpta. D
x ∈ 〈-∞; 0〉 ∪ 〈2/3; 3/2〉 Rpta. B
Prob. 09.- Resolver: | x −1|
2
| x − 4x + 8 |
≤
1
| x −1|
A) 〈-∞; 7/2〉 – {1} B) 〈-∞; 3/2] – {1} C) 〈-∞; 1/2] – {1}
D) 〈-∞; 7/2] – {1} E) 〈-∞; 5/2〉 – {0}
Prob. 07.- Resolver: | 5x + 1| < -4
A) 〈0; 3〉 B) 〈-∞; 3〉 C) 〈-∞; 0] D) R E) ∅
Observar que: x2 – 4x + 8 = (x – 2)2 + 4 → x2 – 4x + 8 = (x – 2)2 + 4 > 0 ; ∀ x ∈ R
472
Und. 10 Valor Absoluto
Álgebra
473
Con lo cual: |x2 – 4x + 8| = x2 – 4x + 8
Ahora en la inecuación dada:
|x − 1|
III. En el intervalo I3: x ≥ 2
Evaluando cada término se tiene: |x + 3| = x + 3 ∧ |2x – 4| = 2x – 4
1
x − 4 x + 8 |x − 1|
2
≤
Ahora en la inecuación: x + 3 – (2x – 4) ≤ 5 → x + 3 – 2x + 4 ≤ 5
Se observa que x ≤ 1 → |x – 1| > 0 , luego:
-x + 7 £ 5 → -x ≤ -2 → x ≥ 2 → x ∈ [2; ∞〉
2
2
2
|x – 1|· |x – 1| ≤ 1· (x – 4x + 8) → |x – 1| ≤ x – 4x + 8
2
2
2
2
Por teorema: (x – 1) ≤ x – 4x + 8 → x – 2x + 1 ≤ x – 4x + 8 ↔ 2x ≤ 7
→ x ≤ 7/2
Recuerda que: x ≠ 1 \ x ∈ 〈-∞; 7/2] – {1} Rpta. D
Finalmente la solución de la inecuación planteada viene dada por la unión de todas las
soluciones encontradas.
\ CS = 〈∞; -3〉 ∪ ∅ ∪ [2; ∞〉 = 〈∞; -3〉 ∪ [2; ∞〉 Rpta. D
Prob. 11.- Definición: ∀ x ∈ R, ∀ m ∈ Z:  x  = m , es el mayor número entero, menor o igual
Prob. 10.- Resolver: | x + 3 | ≤ | 2x – 4 | + 5
A) [-2; 5〉 ∪ 〈6; ∞〉 B) 〈-∞; -3/2〉 C) 〈-∞; -2〉 ∪ [4; ∞〉
D) 〈-∞; -3〉 ∪ [2; ∞〉 E) [-3/2;
Como este intervalo coincide plenamente con I3 , concluimos que: CS3 = [2; ∞〉
que «x», por ejemplo: 3, 7  = 3 , pues:
2〉
Para resolver este problema procedemos como se hizo en ecuaciones con valor absoluto.
Veamos:
|x + 3| = 0 → x = -3 
 Puntos decorte
|2x − 4| = 0 → x = 2 
Reducir:  2, 72 − 5, 4 + 7 
A) 12 B) 11 C) 15 D) 9 E) 8
I. En el intervalo I1: -∞ < x < -3
De acuerdo a la condición:
2 , 72 = 2
→
-5, 4 = -6
→ 7  = 7
Evaluando cada término se tiene: |x + 3| = -(x + 3) ∧ |2x – 4| = -(2x – 4)
Finalmente tenemos: K = 2 – (-6) + 7 = 2 + 6 + 7
Ahora en la inecuación: |x – 3| – |2x – 4| ≤ 5 → -(x – 3) + 2x – 4 ≤ 5
\ K = 15 Rpta. C
→ -x + 3 + 2x – 4 ≤ 5 → x – 1 ≤ 5 → x ≤ 6 ↔ x ∈ 〈-∞; 6]
Como este intervalo debe estar contenido en I1 , la solución es: CS1 = 〈-∞; 3〉
Prob. 12.- Demostrar que si  x  = m , entonces se verifica que: m ≤ x < m +1 , donde m es un
entero.
II. En el intevalo I2: -3 ≤ x < 2
Evaluando cada término se tiene: |x + 3| = x + 3 ∧ |2x – 4| = -(2x – 4)
Ahora en la inecuación: |x – 3| – |2x – 4| ≤ 5 → x + 3 + 2x – 4 ≤ 5
Se sabe que ∀x ∈ ,  x  es un valor entero menor o igual que x, luego podemos establecer
que:
→ 3x – 1 ≤ 5 → 3x ≤ 6 → x ≤ 2 ↔ x ∈ 〈-∞; 2]
x ≥  x  . . . (1)
Como este intervalo no está contenido en I2 , no existe solución: CS2 = ∅
Por otro lado también tenemos: x <  x  + 1 . . . (2)
474
Und. 10 Valor Absoluto
Álgebra
475
x ≤ x < x + 1
Finalmente de (1) y (2):
Prob. 15.- Resolver:  x − 8 < 7
\  x  = m → m ≤ x < m + 1 lqqd.
A) [-5; 5〉 B) 〈-∞; -3/2〉 C) 〈-15; 15〉 D) 〈-10; 10〉 E) [-3; 3〉
Prob. 13.- Resolver:  2 x − 7  = 4
La inecuación es:
A) [-2/3; 1〉 B) [3/2; 2〉 C) 〈-∞; -3/2〉 D) 〈3; ∞〉 E) [-3/2; 5〉
 x − 8 < 7
Por definición de máximo entero, se cumple que: |x| – 8 < 7 → |x| < 15
La ecuación es:  2 x − 7  = -4
De donde: -15 < x < 15 \ x ∈ 〈-15; 15〉 Rpta. C
Aplicando la definición de máximo entero se debe cumplir que: -4 ≤ 2x – 7 < -3
2
Prob. 16.- Luego de resolver 2 x − 3 > 5 x indicar un intervalo solución.
Sumando 7: 3 ≤ 2x < 4
Multiplicando por 1/2:
A) 〈-∞; -3〉 B) 〈-∞; 3〉 C) - 1 ; 1 D) 〈-3; ∞〉 E) -1; 1
2
2
3 ≤x<2
2
\ x ∈  3 ; 2 Rpta. B
 2
Prob. 14.- Resolver: La inecuación dada es:
2
2 x − 3 > 5x
De acuerdo con la teoría si |a| |b|, entonces: (a + b)(a – b) 0
 x
< 2
2
 x + 1  x
En el problema se cumple que: (2x2 – 3 + 5x)(2x2 – 3 – 5x) > 0
A) [1; ∞〉 B) [-1; ∞〉 C) 〈-∞; 1/2〉 D) 〈2; ∞〉 E) [0; ∞〉
(2x2 + 5x – 3)(2x2 – 5x – 3) > 0
Factorizando cada trinomio, por el criterio del aspa simple, tenemos:
x
− 2 <0
La inecuación dada es:
 x 2 + 1  x 
 x 2 − 2  x 2 − 2
<0 →
2
( x  + 1 ) ( x )
Multiplicado por -1:
(2x – 1)(x + 3)(2x + 1)(x – 3) > 0
2
-x − 2
(x 2 + 1)x 
Igualando a cero cada factor determinamos los puntos de corte y elaboramos una gráfica:
<0
 x 2 + 2
>0
(x 2 + 1)x 
\ CS = -∞ ;-3 ∪ - 1 ; 1 ∪ 3 ;∞ Rpta. A
2 2
2
Observemos que:  x  + 2 > 0 ; ∀ x ∈ R
Prob. 17.- ¿Cuántos valores enteros de «x» verifican la inecuación | x2 – 6x + 8| ≤ 4 – x?
2
 x  + 1 > 0 ; ∀ x ∈ R
Luego la parte de la inecuación que debemos resolver es la que corresponde a:
2
Es decir:  x  > 0
1 >0
x
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
De donde obtenemos: x ≥ 1 \ x ∈ [1; ∞〉 Rpta. A
La inecuación dada es: |x2 – 6x + 8| ≤ 4 – x
476
Und. 10 Valor Absoluto
Álgebra
477
Según la teoría se cumple que: 4 – x ≥ 0 ∧ -(4 – x) ≤ x2 – 6x + 8 ≤ (4 – x)
En forma equivalente: x > 5 . . . (2)
x − 4 ≤ x − 6x + 8 ≤ 4 − x
x−4≤0 ∧ 

∗
2
2
* x – 6x + 8 ≥ x – 4 ∧ x – 6x + 8 ≤ 4 – x
Ahora reemplazando (2) en (1): x > 2 ∧ x > 5
x2 – 7x + 12 ≥ 0 ∧ x2 – 5x + 4 ≤ 0
Prob. 19.- Determinar la cantidad de valores enteros que asume «x» en:
2
En forma equivalente: x > 5 \ CS = 〈5; ∞〉 Rpta. C
Factorizando cada trinomio según el criterio del aspa simple:
(x – 3)(x – 4) ≥ 0 ∧ (x – 1)(x – 4) ≤ 0
En la recta real:
2
1 < x + 4 − 4x ≤ 3
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
∩ La inecuación dada es:
En la intersección
→ CS = [1; 3] ∪ {4}
Los valores enteros que asume «x» son 1; 2; 3 y 4. \ Asume 4 valores. Rpta. D
2
2
2
1 < x − 4x + 4 ≤ 3
2
→ 1 < ( x − 2 ) ≤ 3
→ 1 < |x – 2| ≤ 3
Por propiedad tenemos: -3 ≤ x – 2 < -1 ∨ 1 < x – 2 ≤ 3
Prob. 18.- Resolver: | x – 2x + 4 | + | x + 1| < x
Sumando (2) tenemos:
A) 〈1; 5〉 B) 〈2; 5〉 C) 〈5; ∞〉 D) 〈1; 2〉 ∪ 〈5; ∞〉 E) 〈1; ∞〉
-1 ≤ x < 1 ∨ 3 < x ≤ 5
-3 + 2 ≤ x < -1 + 2 ∨ 1 + 2 < x ≤ 3 + 2
Fácilmente podemos reconocer que los valores enteros de «x» son: -1; 0; 4 y 5
Fácilmente podemos reconocer que: x2 – 2x + 4 > 0 ; ∀ x ∈ R
\ Cantidad de valores enteros x = 4. Rpta. B
Con lo cual: |x2 – 2x + 4| = x2 – 2x + 4
Prob. 20.- Resolver: | x – 2 | 2 – 3| x – 2 | – 28 < 0
Ahora la inecuación propuesta se puede reescribir así: x2 – 2x + 4 + |x + 1| < x2
A) 〈-4; 9〉 B) 〈-5; 9〉 C) 〈-3; 6〉 D) 〈-5; 6〉 E) 〈-2; 3〉
→ |x + 1| < 2x – 4
Por teorema tenemos: 2x – 4 > 0 ∧ –(2x – 4) < x + 1 < 2x – 4
2x > 4 ∧ –2x + 4 < x + 1 < 2x – 4
2
x−
2 
− 3x
− 2 −
28 < 0 → (|x – 2| – 7)(|x – 2| + 4) < 0
La inecuación dada es: 

Aspa simple
x > 2 ∧ - 2 x + 4 < x + 1 < 2 x − 4 . . . (1)


∗
* x + 1 > -2x + 4 ∧ 2x – 4 > x + 1
Fácilmente podemos reconocer que: |x – 2| + 4 > 0 ; ∀ x ∈ R
3x > 3 ∧ x > 5
Por teorema: -7 < x – 2 < 7
x > 1 ∧ x > 5
Sumando (2) tenemos: -5 < x < 9 \ CS = 〈-5; 9〉 Rpta. B
478
Und. 10 Valor Absoluto
Álgebra
Ahora la inecuación se reduce a: |x – 2| – 7 < 0 → |x – 2| < 7
479
Prob. 21.- Un intervalo solución de: 2 x + 3 − x − 8 ≥ 0 es:
Práctica
2 x −1 − 7 x − 8
10.2. Inecuaciones con
Valor Absoluto
A) [-11; -9/5〉 B) 〈0; 2〉 C) 〈-11; 0〉 D) 〈-7/5; 5/3〉 E) 〈5/3; 3〉
Con la finalidad de eliminar el valor absoluto multiplicaremos a ambos miembros de la
inecuación por la expresión positiva:
2x + 3 + x −8
2x −1 + 7x −8
En la inecuación: ( 2 x + 3 + x − 8 )( 2 x + 3 − x − 8 )
≥0
( 2 x − 1 + 7 x − 8 )( 2 x − 1 − 7 x − 8 )
Por diferencia de cuadrados:
Por teorema tenemos:
2x + 3
2x + 1
2
2
2
2
− x−8
2
− 7x −8
2
( 2 x + 3) − ( x − 8)
2
2
( 2 x − 1) − ( 7 x − 8 )
→ Multiplicando por (-9):
≥0
≥0
( 3x − 5)( x + 11)
≥0
(9 x − 9 )( -5x + 7 )
( 3x − 5)( x + 11)
≤0
( x − 1)( 5x − 7 )
\ CS = [ -11; 1 ∪ 7 ; 5  Rpta. D
5 3
Álgebra
06.- Resolver: 3 < | x – 2 | ≤ 4
A) 〈-1; 4〉
B) [-1; 4]
D) 〈1; 4〉
E) 〈-∞; -1] ∪ [4; ∞〉
C) [-4; 1]
02.- Resolver: | 7x + 1| + 4 > 0
A) - 1 ; ∞ 7
B) 1 ; ∞ 7
D) R
E) -∞; - 1 ∪ 1 ; ∞
7
7
03.- Resolver:
En la recta real:
480
01.- Resolver: | 3 – 2x | ≤ 5
C) ∅
B) 〈-1; 3〉 ∪ 〈4; 7〉
C) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈3; ∞〉
D) 〈1; 3〉
E) 〈-1; 3〉
04.- Determine el complemento del conjunto
solución de la siguiente inecuación:
C) [-2; -1〉 ∪ 〈5; 6]
D) 〈-1; 2] ∪ [5; 6〉
E) 〈-1; 2] ∪ [5; -6〉
07.- Resolver: | x + 2 | < -3
A) R
B) 〈-2; ∞〉
D) 〈-2; 2〉
E) 〈-∞; -2〉 ∪ 〈2: ∞〉
C) ∅
A) 〈-∞; 4〉
B) 〈-4; 6〉
C) 〈6; 4〉
D) 〈-6; 4〉
E) 〈-∞; 3〉 ∪ 〈5; ∞〉
09.- Resolver: | 2x – 3 | < 4
A) 〈-1/2; 7〉
B) 〈-1; 7/2〉
C) 〈-1/2; 7/2〉
D) 〈-3/4; 3/2〉
E) 〈1/2; 7/2〉
| 2x – 1| ≥ 1
C) R
A) [0; 1]
B) 〈0; 1〉
D) ∅
E) 〈-∞; 0〉 ∪ 〈1; ∞〉
x−2 −3 > 2
B) 〈-2; -1〉 ∪ 〈5; 6〉
08.- Resolver: | x + 1| < 5
2
x − 2x < 3
A) 〈-3; 1〉
05.- Resolver:
A) 〈-2; -1] ∪ [5; ∞〉
10.- Resolver: | x + 3 | > 4
A) 〈1; ∞〉
B) 〈-∞; -7〉
C) 〈-∞; -3〉 ∪ 〈4; ∞〉
D) 〈-∞; -7〉 ∪ 〈1; ∞〉
A) 〈-∞; -3〉 ∪ 〈1; 3〉 ∪ 〈7; ∞〉
E) 〈-∞; 1〉 ∪ 〈7; ∞〉
B) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈0; 1〉 ∪ 〈3; ∞〉
11.- Resolver: | 5x – 1| > 4
C) 〈-∞; 1〉 ∪ 〈1; 3〉 ∪ 〈3; ∞〉
A) 〈-∞; -3/5〉 B) 〈-∞; -1/5〉 ∪ 〈-∞; 4〉
D) 〈-∞; -3〉 ∪ 〈-1; 3〉 ∪ 〈3; ∞〉
C) 〈-∞; 2〉 D) 〈-∞; -3/5〉 ∪ 〈1; ∞〉
E) R
E) 〈-∞; -1〉 ∪ 〈3/5; ∞〉
Und. 10 Valor Absoluto
481
12.- Resolver: | 7x – 1| ≤ 4
A) 〈-∞; 3/9〉 ∪ 〈2; ∞〉
B) 〈10/9; 2〉
A) 〈-∞; -3/4] ∪ 〈5/7; ∞〉
C) 〈-∞; 8/9〉 ∪ 〈3; ∞〉
D) 〈-2; 10/9〉
B) [-3/7; 5/7]
C) [-1/7; 4/7]
D) [-2/7; 5/7]
E) [-1/7; 4/7]
13.- Resolver: | x – 2 | ≤ 4
A) 〈-∞; -2] ∪ [6; ∞〉
B) [-2; 6]
C) 〈-∞; -6] ∪ [2; ∞〉
D) [-6; 2]
E) 〈-∞; 2] ∪ [6; ∞〉
E) 〈-∞; 10/9〉 ∪ 〈2; ∞〉
19.- Resolver:
6 − 5x ≤ 1
3+ x
2
A)  9 ; 15  B) -∞; 9  ∪ 15 ; ∞
11 9 
11   9
C) - 15 ; 9  D) -∞; - 15  ∪  9 ; ∞
9  11
 9 11 
E) R
14.- Resolver: | 3x + 4 | < | x + 1|
20.- Resolver: | 2x – 1| + | 4x – 2 | > 6
A) 〈-3/2; -5/4〉
B) 〈-5/4; 3/2〉
C) 〈-3/2; 5/4〉
D) 〈3/4; 5/2〉
A) -∞; - 1 ∪ 3 ; ∞
2
2
E) ∅
B) -∞; 1 ∪ 3 ; ∞
2
2
15.- Resolver: | x + 1| > | x + 2 |
C) -∞; 3 ∪ 1 ; ∞
2
2
A) 〈2/3; ∞〉
B) 〈-2/3; ∞〉
C) 〈3/2; ∞〉
D) 〈-∞; -3/2〉
D) -∞; - 3 ∪ - 1 ; ∞
2
2
E) 〈-∞; 3/2〉
E) - 1 ; 3
2 2
16.- Resolver: | 2x – 1| ≥ | x + 1|
21.- ¿Cuántos valores enteros «x» verifican la
inecuación: | 5x + 1| ≤ | 2x + 3 |?
A) 〈-∞; 0] ∪ [2; ∞〉
B) 〈-∞; 2] ∪ [3; ∞〉
C) [0; 2]
D) 〈-∞; -2] ∪ [0; ∞〉
E) R
D) 3
A
17.- Resolver: | 3x – 4 | ≤ | 2x + 1|
A) 〈-∞; 3/5] ∪ [5; ∞〉
B) [3/5; 5]
C) [5/3; 5]
D) 〈-∞; 5] ∪ [7; ∞〉
E) [-5; 3/5]
18.- Resolver:
482
A) 0
Álgebra
x+2 <4
2x − 3
.
B) 1
F
.
C) 2
E) 4
B
.
.
Claves:
.
.
01
B
02
D
03
E
04
B
05
A
06
C
07
C
08
D
09
B
10
D
11
D
12
B
13
A
14
A
15
D
16
A
17
B
18
E
19
A
20
A
21
B