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FÍSICA 2º BACHILLERATO
BLOQUE TEMÁTICO: INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
CAMPO MAGNÉTICO
1.- Magnetismo. Experiencias de Oërsted. Propiedades magnéticas de la materia.
2.- Campo magnético.
3.- Determinación del campo magnético.
3.1.- Campo magnético creado por una carga puntual en movimiento.
3.2.- Campo magnético creado por una corriente eléctrica infinita.
3.3.- Campo magnético creado por una corriente circular (espira).
3.4.- Campo magnético creado en el interior de un solenoide.
4.- Acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento.
1) Magnetismo. Experiencias de Oërsted. Propiedades magnéticas de la materia.
El estudio de la electricidad no queda completo si no se trata el magnetismo.
Siempre que los electrones se mueven (corriente eléctrica) aparecen efectos magnéticos.
Veamos algunas ideas y conceptos inciales:
- El fenómeno del magnestismo es conocido desde hace más de 2000 años.
- La magnesia (periclasa) es un mineral que formaba parte de las piedras de Magnesia,
abundantes en las cercanía se la Magnesia de Tesalia (Grecia) y que por sus propiedades dieron
nombre al fenómeno del magnetismo.
- Los imanes naturales son aquellos que presentan el magnetismo de forma natural. Por
ejemplo la magnetita, una mezcla de óxidos de hierro.
- Imanes artificiales son aquellos cuyas propiedades magnéticas le son inducidas de forma
artificial. Generalmente son metales como el hierro, el cobalto o el níquel y sus aleaciones, las
sustancias que pueden ser imanes artificiales. La mayor parte de los imanes comerciales se fabrican
de ALNICO, aleaciones de aluminio, níquel y cobalto.
Ya sean naturales o artificiales, los imanes presentan las siguientes propiedades:
1) Todo imán presenta una máxima atracción en los extremos, llamados polos magnéticos.
2) Un imán tiene dos polos que se conocen como polo norte y polo sur. Esta denominación tiene
relación con la orientación de la brújula, un imán, respecto de los polos norte y sur geográficos en la
Tierra, otro imán.
3) Los polos de un imán no se pueden separar, por mucho que se divida un imán siempre tendrá
dos polos. Esta es una diferencia con las cargas eléctricas que sí se pueden separar.
4) Los polos del mismo nombre se repelen entre sí. Los polos de diferente nombre se atraen.
Ideas básicas sobre el desarrollo histórico del magnetismo.
Hans Cristian Oërsted (1777-1851). En 1820 dio un paso muy importante en el
conocimiento del magnetismo al comprobar que la aguja de una brújula se desviaba en las
proximidades de un hilo conductor por el que circulaba corriente eléctrica.
[1]
Antes de conectar la corriente
eléctrica la aguja imantada de la
brújula está orientada hacia el
polo del imán natural que es la
Tierra.
Al conectar el circuito eléctrico la
aguja se orienta
perpendicularmente al hilo, como
si existiera un campo magnético
más potente que el de la Tierra
que obliga a la aguja a orientarse
así.
La orientación de la aguja depende
del sentido de la corriente
eléctrica.
Por tanto, una corriente eléctrica produce el mismo efecto que un imán natural.
Este efecto es tanto más potente cuanto mayor es la intensidad de la corriente eléctrica.
Michael Faraday (1791-1867). Doce años más tarde, en 1832, observó el efecto
contrario al que observó Oërsted, es decir, al mover un imán en las cercanías de un
conductor por el que no circula corriente alguna (o bien , al mover el conductor en las
cercanías de un imán) se genera en este una corriente “inducida”.
André-Marie Ampère (1775-1836). Estableció los fundamentos del
electromagnetismo basándose en las experiencias de Oërsted. Se pueden resumir muy
básicamente de la siguiente manera:
- Entre dos cargas eléctricas inmóviles se establece una interacción eléctrica cuya
expresión viene dada por la ley de Coulomb.
- Entre varias cargas en movimiento se establecen dos interacciones, una eléctrica
(ley de Coulomb) y otra magnética. Se origina, por tanto, una interacción
electromagnética.
- Una carga en reposo no puede experimentar interacción electromagnética.
- Se dice que en un punto del espacio existe un campo magnético si una carga móvil
colocada en él experimenta una fuerza.
James Clerk Maxwell (1831-1879). En 1860 sintetizó la electricidad y el
magnetismo. Estableció que los campos eléctrico y magnético, actuando juntos, generan
un tipo de energía llamada energía de radiación. Estableció también que la luz no es más
que una onda electromagnética.
Explicación del magnetismo natural.
Un electrón en movimiento es el imán más pequeño que existe y también tiene su
polos norte y sur inseparables.
[2]
Un átomo, al tener electrones, es un diminuto imán llamado dipolo magnético.
Estos dipolos surgen debido al movimeinto orbital de los electrones y al movimiento de
rotación de los electrones mismos (spín).
Un material cualquiera está formado por átomos, luego está formado por infinidad
de dipolos magnéticos, cada uno con su polo norte y su polo sur. Por tanto, cualquier
material debería presentar características magnéticas. ¿Por qué no ocurre más que en
determinados materiales?
La mayor parte de los cuerpos tienen sus dipolos orientados al azar, de manera que
el campo magnético total de cuerpo se anula (figura a). En una sustancia magnética, ya sea
natural o artificial, sus dipolos están orientados en el mismo sentido, ofreciendo
globalmente un polo norte y y polo sur (figura b).
Figura a
Figura b
Las sustancias se pueden clasificar según su comportamiento magnético en:
Sustancias paramagnéticas. Son atraídas débilmente por un imán y prácticamente no se
imantan. Por ejemplo, el aluminio. La orientación de los dipolos magnéticos en estas
sustancias es muy débil.
Sustancias diamagnéticas. Son repelidas débilmente por un imán. Esto es debido a que
algunos dipolos atómicos se orientan en sentido contrario al campo magnético exterior.
Por ejemplo, cobre, plata, plomo.
Sustancias ferromagnéticas. Son fuertemente atraídas por un imán y fácilmente
imantables. Se admite que estas sustancias constan de pequeñas regiones en las cuales
todos los dipolos magnéticos están orientados en la misma dirección (dominios
magnéticos). En un material ferromagnético no imantado los dominios están orientados al
azar, pero en presencia de un campo magnético externo la mayoría de los dominios se
alinean con ese campo (imantación).
En el hierro dulce o forjado los dominios se orientan con facilidad, pero pierden
rápidamente esa orientación si cesa el campo magnético exterior. En el acero los dipolos
se resisten más a cambiar su orientación, permaneciendo es esta posición largo tiempo
(imán permanente). Un simple golpe o un calentamiento excesivo puede provocar una
reorientación azar de los dipolos en un imán que, evidentemente, ha dejado de ser
permanente.
La Tierra es imán debido a su núcleo de hierro y níquel. Sin embargo su campo
magnético es débil, no suficiente como para orientar dipolos magnéticos ni dominios
magnéticos en todas las sustancias que hay en ella.
[3]
2) Campo magnético
① Definición
Todo imán (incluídas las cargas eléctricas en movimiento) está rodeado
por un espacio en el cual se ejercen los efectos magnéticos. Esta zona del
espacio se denomina campo magnético.
② Intensiad del campo magnético
El campo magnético viene determinado por el vector inducción magnética, , que
nos da la intensidad del campo magnético.
Para obtener una definición adecuada podemos repasar las definiciones de las
intensidades de campos vistos hasta ahora:
·) representa la intensidad del campo gravitatorio en un punto, es la fuerza
gravitatoria que se ejerce sobre la masa unidad colocada en dicho punto.
·) representa la intensidad del campo eléctrico en un punto, es la fuerza eléctrica
que se ejerce sobre la carga de prueba unidad colocada en ese punto. El signo de la
carga de prueba es positivo.
Por tanto:
·)
representa la intensidad del campo magnético en un punto, es la fuerza
magnética que se ejerce sobre la carga de prueba unidad en movimiento en ese
punto. El signo de la carga de prueba es positivo.
③ El campo magnético no es conservativo. Consecuencias:
a- No existe un “potencial magnético”, análogo a los ya vistos, potencial eléctrico o
potencial gravitatorio.
b- Sí importa el camino seguido por la carga que se desplaza en el seno de un campo
magnético entre dos puntos cualesquiera del mismo.
c- El trabajo realizado por la fuerza magnética a lo largo de una línea cerrada no tiene por
qué ser cero. En definitiva, en el campo magnético no se puede hablar de una “energía
potencial magnética” ni se puede aplicar, por tanto, el teorema de la energía potencial para
calcular el trabajo que realiza la fuerza magnética.
d- Si hubiera que determinar el trabajo que realiza la fuerza magnética, hay que recurrir a
la expresión general del trabajo
e- No existe una única expresión para la inducción magnética,
intensidad del campo gravitatorio
o el campo eléctrico
, como ocurría con la
. Por tanto,
para cada imán cada situación de cargas eléctricas en movimiento, se debe determinar la
expresión de la inducción magnética creada.
[4]
f- Las expresiones de la inducción magnética dependen fundamentalmente de
- La forma del conductor (o del imán)
- El medio en el que se encuentra inmerso. En este aspecto coincide con el campo
eléctrico.
- De la intensidad de corriente que circula por el conductor. En este caso hablamos
de campos magnéticos creados por corrientes eléctricas.
- De la posición del punto donde se va a calcular el campo magnético respecto del
imán o conductor que genera el campo. En este aspecto coincide con el campo eléctrico y
gravitatorio, aunque la forma en que depende de la posición no tiene por qué (y de hecho
no coincide frecuentemente) con la inversa del cuadrado de la distancia.
④ Unidad
El campo magnético, mejor inducción magnética, se mide en el S.I. en Teslas (T), en
honor a Nicola-Tesla (1857-1943) descubridor del motor de inducción, del motor
asincrónico de campo giratorio y de las corrientes polifásicas. Es el principal responsable
del modelo actual de producción y transporte de la corriente eléctrica.
Un tesla, 1 T, es una unidad muy grande. El campo magnético terrestre en la
superficie de la Tierra es de 5·10-5 T (aproximadamente). Los imanes convencionales de
laboratorio pueden alcanzar los 2,5 T.
La definición oficial de un Tesla se verá más adelante, al estudiar la acción del
campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento (punto 4).
Otra unidad muy utilizada para la inducción magnética es el gauss. Esta unidad no
es del S.I., por lo que requiere conocer su conversión a Teslas:
1 T = 104 gauss
⑤ Forma del campo magnético
Una forma de ver la dirección que tiene un campo magnético es mediante una
brújula, pues la dirección que toma la aguja es la dirección del mismo.
Al igual que los campos gravitatorio y eléctrico, el campo magnético es un campo
de fuerzas (vectorial) que se representa gráficamente mediante líneas de fuerza o líneas
de campo que reciben el nombre de líneas de inducción magnética.
Las líneas de inducción magnética cumplen las siguientes condiciones:
- Salen del polo norte y entran en el polo sur de un imán.
- Son cerradas, es decir, en un imán van desde el polo norte hacia el polo sur. Por
esto no se pueden separar ambos polos de un imán, pues si los polos magnéticos se
pudieran separar y aislar las líneas de campo seráin abiertas, empezarían o terminarían en
cada polo aislado, como ocurre en las cargas eléctricas.
Una experiencia clásica que permite ver el campo magnético creado por un imán
rectangular consiste en esparcir limaduras de hierro sobre un papel que a su vez se
encuentra sobre el imán. Las limaduras se distribuyen sobre el papel según las líneas de
campo magnetico tal como se ve en la siguientes figuras.
[5]
¿Cómo conseguir un campo magnético uniforme?
Para conseguir un campo magnético uniforme se pueden enfrentar dos imanes
planos por sus polos opuestos, la situación sería
También en un imán en U hay una zona donde
es uniforme
Estas zonas de campo magnético uniforme son muy interesantes en este tema para
estudiar cómo se comportan las partículas cargadas en movimiento cuando penetran en
dichas zonas.
Campo magnético terrestre. Representación idealizada.
[6]
3) Determinación del campo magnético
Los campos magnéticos utilizado mayormente en la industria y en laboratorios son
los creados por corrientes eléctricas que circulan a través de una bobina. En cualquier
caso, para determinar la expresión de la inducción magnética que cualquier conductor
crea a su alrededor cuando pasa por el mismo una corriente eléctrica se utiliza la ley de
Biot y Savart.
Sea un hilo conductor cualquiera, situado en el vacío, por el que pasa una
intensidad de corriente I. Deseamos conocer la inducción magnética
pequeña longitud de hilo,
) creada por una
, en un punto P del espacio.
La ley de Biot y Savart establece que la
expresión de la inducción magnética en el
punto P es
)
Donde,
→ es una constante de proporcionalidad
que depende del medio y que se denomina
permeabilidad magnética en el vacío. Su valor
es
Al igual que la permitividad eléctrica, la permeabilidad magnética en el aire es muy similar a la permeabilidad
en el vacío. Las sustancias ferromagnéticas tienen una permeabilidad mayor a , pudiendo adquirir valores
muy altos. Las sustancias paramagnéticas tienen una permeabilidad magnética cuyo valor es
aproximadamente igual a . Las sustancias diamagnéticas tienen una permeabilidad magnética inferior a .
El valor de la permeabilidad magnética de una sustancia se puede escribir,
donde
es la permeabilidad magnética relativa.
I → es la intensidad de corriente que circula por el hilo (en amperios).
→ es un elemento conductor de longitud dl. Su dirección es el propio hilo y su sentido
es el de la intensidad de corriente1.
→ a este producto se le denomina “Elemento de corriente”
→ es un vector unitario cuya dirección y sentido viene expresado en la figura línea de
unión de con el punto P).
r → es la distancia del punto P, donde se quiere calcular el campo, al elemento de
corriente.
→ es la intensidad del campo magnético diferencial, inducción magnética diferencial,
creada por el elemento de corriente
en el punto P. Su dirección y sentido viene
determinada por las características del producto vectorial
.
1
Es importante hacer notar que el sentido de la intensidad de corriente es el contrario al de la corriente de
electrones que forman la corriente eléctrica. El sentido de la intensidad de corriente se eligió por convenio antes de
conocer la naturaleza de la corriente eléctrica, desde el polo positivo de una pila hasta el polo negativo.
[7]
Para determinar el valor de la inducción magnética total, creada por todo el
conductor en el punto P es necesario determinar todas las intensidades magnéticas
diferenciales,
, de todos los elementos de corriente en que se divide el conductor y,
después sumarlas (integración). El problema puede ser muy complejo pues su solución
dependerá de la forma del conductor. En estos apuntes no se realizarán estas
determinaciones (excepto para una carga aislada), sino que directamente se aportarán las
soluciones que la ley de Biot y Savart da para los siguientes casos:
-
Carga eléctrica aislada en movimiento
Corriente eléctrica infinita
Espira
Solenoide
3.1.- Campo magnético creado por una carga puntual en movimiento.
Sea una carga eléctrica que se mueve con una velocidad en el vacío. El producto
de la carga, q, por esta velocidad hace el papel, en la ley de Biot y Savart, del elemento de
corriente. En efecto, si vemos las unidades de estos productos,
→
→
→
→
Por tanto, en este caso, podemos escribir la ley de Biot y
Savart de la siguiente forma,
)
Como vemos, no se ha está midiendo un campo magnético
diferencial, sólo el que crea una única carga.
El módulo de la inducción magnética es,
sen
sen
La dirección de la inducción magnética es perpendicular al plano que forman
sentido es el de avance de un sacacorchos que gire desde hasta .
y . Su
3.2.- Campo magnético creado por una corriente eléctrica infinita.
Si pudiéramos hacer un estudio experimental de la inducción magnética alrededor
de un hilo por el que pasa una corriente eléctrica (experimento de Oërsted),
observaríamos que:
- Si la intensidad de corriente aumenta, la inducción magnética aumenta de forma
proporcional, y viceversa.
- Si la distancia al hilo aumenta, la inducción magnética disminuye de forma
proporcional, y viceversa.
- Si se cambia el medio, el campo magnético cambia.
[8]
Podríamos concluir que la expresión que
establece la inducción magnética en un punto del espacio
cercano a un hilo por el que pasa una corriente eléctrica
debe tener en cuenta una relación directa con la
intensidad de corriente que circula por el hilo, y una
relación inversa con la distancia del punto considerado al
hilo. En efecto, el módulo de la inducción magnética que
crea una corriente eléctrica infinita es,
La dirección es perpendicular al hilo conductor y su
sentido se determina por la “regla de la mano derecha”,
que consiste en colocar el pulgar de la mano derecha en la
dirección de la intensidad de corriente, entonces la
dirección de la inducción magnética coincide con la
dirección que marcan el resto de dedos de la mano.
A la hora de representar el campo
magnético en el plano del papel, es conveniente
establecer una simbología para representar una
magnitud vectorial que es perpendicular al plano
que forma el papel. Así, el símbolo ʘ indica que el
sentido de la magnitud que se representa “sale del
papel hacia fuera”. El símbolo ⦻, o simplemente un
aspa, indica que que el sentido de la magnitud que
se representa “entra hacia dentro del papel”. Por ejemplo, el campo magnético del hilo
infinito que aparece en la figura anterior se puede representar
[9]
El ejemplo inverso viene representado en la siguiente figura,
Otros ejemplos de este tipo de representación
[10]
3.3.- Campo magnético creado por una corriente circular (espira).
Hay muchos dispositivos, como electroimanes, transformadores,…, en los que los
conductores están arrollados formando una bobina. Por ello es importante conocer el
campo magnético creado por uno de estos arrollamientos como paso previo al
conocimiento del campo magnético creado por el arrollamiento completo.
De forma genérica, una espira es un conductor que se cierra sobre sí mismo y por
el que circula una corriente uniforme. Centrándonos en una espira circular por la que
circula una corriente I, el campo magnético en su centro viene dado por la expresión,
En cuanto a la dirección y sentido del vector
inducción magnética en el centro de la espira (ver
figura):
- Dirección: perpendicular al plano de la
espira.
- Sentido: se aplica la regla del sacacorchos
(o del tornillo), es decir, el sentido del vector es el
de avance de un sacacorchos que gira según lo hace
la intensidad de corriente que circula por la espira.
Según el criterio adoptado a la hora de representar vectores perpendiculares al
plano del papel, si representamos la espira en tal plano el campo magnético en el centro de
la espira “entrará” o “saldrá” según sea el sentido de la corriente que circula por la espira.
3.4.- Campo magnético creado en el interior de un solenoide.
Un solenoide es cualquier dispositivo físico capaz de crear una zona de campo
magnético uniforme. Un ejemplo teórico es una bobina construida con un hilo conductor
arrollado, formando espiras. Por él se hace circular una corriente eléctrica
[11]
El campo magnético uniforme se crea en el interior del solenoide, su forma será:
El valor de la inducción magnética en el interior del solenoide viene dado por la
expresión,
siendo, N el número de espiras del solenoide y l la longitud del mismo.
Como vemos, la permeabilidad magnética del medio se
encuentra en el numerador. Dentro de los solenoides se introducen
sustancias de permeabilidad magnética alta (como hierro dulce), para
transformar las bobinas en potentes imanes. Si dentro del solenoide no
hay nada la permeabilidad magnética será la del aire que, como hemos dicho, es
aproximadamente igual a la permeabilidad magnética del vacío,
.
Respecto a la dirección y sentido del vector :
- Dirección: eje del solenoide
- Sentido: regla de la mano derecha (ver figura), o del sacacorchos, es decir, el
sentido de avance de un sacacorchos que gire según lo hace la intensidad de corriente que
pasa por el solenoide.
En el exterior de un solenoide la forma del campo magnético es similar al creado
por un imán rectangular, tal como se puede ver en las figuras anteriores.
[12]
4) Acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento.
Ya conocemos qué es la inducción magnética y las expresiones de algunos campos
magnéticos creados por algunos conductores (en algunas zonas concretas cercanas a
dichos conductores). Ahora vamos a analizar qué le ocurre a una carga (o varias) móvil
cuando penetra en una región donde existe un campo magnético. Concretamente vamos a
analizar los siguientes casos:
- Comportamiento de una carga móvil aislada inmersa en un campo magnético.
- Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica lineal.
- Fuerzas entre corrientes paralelas. Definición de amperio.
4.1.- Comportamiento de una carga móvil aislada inmersa en un campo magnético.
① Sea q una carga positiva que se mueve en el seno de un campo magnético con una
velocidad . Por estar inmersa en dicho campo, y por estar moviéndose, esta carga
experimenta una fuerza magnética,
② Dado que se trata de una carga eléctrica, también es susceptible de experimentar una
fuerza eléctrica
) si, además, se encuentra inmersa en un campo eléctrico, . Por tanto,
la fuerza global sobre la carga sería:
Esta fuerza recibe en nombre de fuerza de Lorentz, es la fuerza ejercida por el campo
electromagnético sobre una carga eléctrica aislada en movimiento.
③ La expresión de la fuerza eléctrica ya ha sido analizada en el tema dedicado al campo
eléctrico,
④ Falta por conocer la expresión de la fuerza
magnética. Supongamos en primer lugar la
situación general de la figura adjunta. La carga q se
mueve con una velocidad cuyo vector, , forma un
ángulo α con el vector inducción magnética, . Las
direcciones y sentidos elegidos en la figura son
totalmente arbitrarios.
La expresión de la fuerza magnética es
)
por tanto, debemos hacer un producto vectorial de
los vectores velocidad e inducción magnética. El resultado de aplicar esta expresión es un
vector cuyas características son:
- Módulo,
sen
- Dirección, perpendicular al plano que forman los vectores
y .
- Sentido. El de avance de un sacacorchos que gire en el sentido → . También
se puede aplicar la regla de la mano izquierda, representada en la siguiente figura,
[13]
Por tanto, para el caso general representado en la figura anterior, el sentido de la fuerza
magnética será el positivo del eje z.
⑤ Consideraciones importantes sobre la fuerza magnética.
- La fuerza magnética es máxima cuando los vectores
y
son perpendiculares,
sen
esta expresión permite definir el Tesla como unidad de inducción magnética en el S.I. Si
despejamos la intensidad del campo magnético,
→
Un tesla es la inducción de un campo magnético que ejerce una fuerza de
un newton sobre una carga de un culombio cuando se mueve con una
velocidad de un metro por segundo en el interior del campo,
perpendicularmente a las líneas de inducción.
- El sentido de la fuerza magnética con la regla de la mano izquierda sólo es válida
para cargas positivas. Hay que tener en cuenta por tanto que si la carga que se mueve en el
campo magnético es negativa el sentido de la fuerza magnética es el contrario al que da la
regla de la mano izquierda.
[14]
4.2.- Acción de un campo magnético sobre una corriente eléctrica lineal.
Como sabemos, la corriente eléctrica es un conjunto de cargas eléctricas en
movimiento (electrones).
Desde el punto de vista magnético, una corriente eléctrica:
- Crea su propio campo magnético.
- Puede sufrir (las cargas que forman la corriente y, por tanto, el hilo conductor por
el que circulan) la fuerza de Lorentz si se introduce el conductor en el seno de un campo
magnético externo. Es este aspecto el que se va a analizar en este apartado.
Supongamos un hilo conductor (cobre) que se introduce en el seno de un campo
magnético uniforme. Por el hilo no circula corriente eléctrica alguna.
En esta situación se puede afirmar que el hilo
conductor no está sometido a ninguna fuerza
pues aunque los electrones de los átomos del
hilo están en movimiento, realmente este
movimiento es aleatorio y la fuerza magnética
global se anula.
Supongamos ahora que por el hilo circula una
corriente de intensidad I. En esta situación,
cada uno de los electrones que forma la
corriente eléctrica experimenta una fuerza
magnética con una dirección y sentido
concreto. Globalmente el hilo se ve sometido
a una fuerza que vamos a determinar.
Para un electrón que forma parte de la
corriente eléctrica la fuerza a que se ve
sometido es
)
donde e es la carga del electrón. Para todos los electrones que forman la corriente eléctrica
en un instante,
)
Como todos los electrones llevan la misma velocidad, tienen la misma carga y están
sometidos al mismo campo magnético, podremos poner
)
)
donde N es el número de electrones que han están pasando en un instante t.
Vamos a desarrollar la expresión un poco más. La velocidad de los electrones en la
corriente eléctrica viene dada por
[15]
donde t es el tiempo que tardan los electrones en recorrer la longitud , que es el vector
longitud del hilo. Es un vector que tiene la misma dirección y sentido que la intensidad de
corriente y cuyo módulo es la longitud de hilo que está sometida a la acción del campo
eléctrico.
Por tanto,
)
→
)
ahora bien, por definición, la intensidad de corriente es la cantidad total de carga que pasa
por la sección de un conductor en la unidad de tiempo,
En definitiva,
)
expresión que se conoce como primera ley de Lapace y que permite estimar el valor de la
fuerza magnética a que se ve sometido un hilo de corriente en el seno de un campo
magnético.
- Módulo:
donde α es el ángulo que forma el hilo y el campo magnético.
- Dirección: perpendicular al plano que forma el hilo y el campo magnético.
- Sentido: regla de la mano izquierda
Hay que tener en cuenta que las cargas eléctricas que se mueven son electrones, que se
mueven en sentido contrario al asignado a la intensidad. Por tanto, el dedo corazón debe
indicar el sentido de la intensidad y no del movimiento de los electrones.
En el ejemplo representado en la página anterior, el sentido de la fuerza es
[16]
4.3.- Fuerzas entre corrientes paralelas. Definición de amperio.
Según estamos viendo,
-Una corriente eléctrica genera un campo magnético.
-Una corriente eléctrica, hilo conductor, inmerso en un campo magnético se ve
sometido a una fuerza magnética.
Es evidente que las dos cosas ocurren a la vez, por tanto, si acercamos dos hilos por
los que pasa corriente, ambos hilos generan su propio campo magnético y además ambos
hilos se ven afectados por la corriente eléctrica vecina ya que se suponen los
suficientemente próximos entre sí.
Supongamos la siguiente situación de partida: dos hilos paralelos e infinitos por los
que circulan sendas corrientes de intensidad Ia e Ib, en el mismo sentido. La distancia entre
los hilos es d.
Vamos a representar la dirección y sentido del campo magnético que genera la
corriente a en el punto donde se encuentra el hilo b (Ba) y viceversa.
Los módulos de estos campos son,
→
→
[17]
La fuerza a que se ve sometido el conductor a, por estar inmerso en el campo
magnético del conductor b,
,
,
→
, es
,
sen
La fuerza a que ve sometido el conductor b, por estar inmerso en el campo
magnético del conductor a,
,
,
, es
→
,
sen
Ambas fuerzas son iguales en módulo y dirección, pero de sentidos opuestos y aplicadas
sobre cuerpos diferentes (tercer principio de la Dinámica). La dirección y sentido de
dichas fuerzas viene representada a continuación (regla de la mano izquierda),
Por tanto, ambos conductores se atraen con una fuerza cuyo módulo es
Dado que estamos considerando los dos hilos paralelos como infinitos, es conveniente
cambiar la longitud de sitio y determinar la fuerza por unidad de longitud que se establece
entre los dos hilos,
Es claro que si las intensidades que circulan por los dos hilos tienen sentidos
opuestos, el módulo y dirección de las fuerzas no cambia, pero sí su sentido. En esta
situación los hilos se repelen,
[18]
El hecho de que dos conductores ejerzan fuerzas de atracción o de repulsión entre
ellos se ha tomado como criterio para definir la unidad de intensidad de corriente en el
S.I.:
Amperio: es la corriente que, circulando por dos conductores paralelos e
indefinidos, separados por una distancia de un metro en el vacío, produce
sobre cada uno una fuerza de 2·10-7 N por metro de longitud de conductor.
Efectivamente, si los hilos están en el vacío, Ia = Ib = 1 A, y d = 1 m,
Ampliación. Fuerzas sobre una espira rectangular plana en el seno de un campo
magnético. Fundamento del funcionamiento de un galvanómetro.
Consideramos inicialmente una espira rectangular de lados a y b recorrida por una intensidad de corriente I en
el sentido indicado por la figura, y sometida a la acción del campo magnético uniforme, . En esas condiciones
se originan fuerzas en cada lado de la espira cuyo módulo dirección y sentido vienen dados por la ley de
Laplace.
[19]
[20]
El galvanómetro es un aparato que se utiliza para medir
pequeñas corrientes eléctricas. En la figura 1 se muestran sus
componentes principales. Un imán permanente y un núcleo de
hierro dulce hacen que el campo magnético tenga una
inducción prácticamente constante (en la figura, por la forma
del imán, el campo magnético es uniforme y radial). Entre los
polos hay una bobina rectangular que puede girar sobre un eje
que pasa por su centro, y está unida a una aguja que señala
sobre una escala graduada. Cuando pasa una corriente por el
aparato, la bobina gira un ángulo proporcional a dicha
corriente, valor que la aguja marcará en la escala. Un resorte de
acero hace que la aguja vuelva a la posición cero cuando cesa la
corriente.
El galvanómetro puede servir para medir corrientes más
grandes si se conecta a una resistencia apropiada, llamada
resistencia de derivación (shunt) de forma que pase casi toda la corriente por ella (derivación de baja
resistencia). Por la bobina pasará una corriente determinada muy pequeña, suficiente para mover la aguja
sobre la escala. Con estas características el galvanómetro recibe el nombre de amperímetro (figura 2).
[21]
[22]
Problemas resueltos.
Un electrón, con una energía cinética de 6·10-16 J penetra en un campo magnético uniforme
de 4·10-3 T de forma que la dirección del campo es perpendicular a la dirección del
movimiento del electrón.
a) ¿A qué fuerza está sometido el electrón dentro del campo?
b) ¿Cuánto vale el radio de la trayectoria que describe?
a) La situación viene representada en la figura adjunta.
Cuando un electrón se mueve con una velocidad (a lo
largo del eje x) y penetra en una zona donde existe un
campo magnético uniforme y perpendicular a dicha
velocidad (representado en el eje z, en sentido negativo
de dicho eje –hacia dentro del papel-), experimenta una
fuerza magnética cuyo valor es
)
donde e es la carga del electrón. El módulo de esta
fuerza es
La dirección del vector fuerza es perpendicular al plano que forman el vector campo y el vector
velocidad (eje y). La regla de la mano izquierda permite determinar el sentido de la fuerza
magnética para una carga positiva, como se trata de una carga negativa el sentido de la fuerza
magnética será el contrario al que determine dicha regla, es decir, la fuerza va dirigida hacia valores
negativos del eje y (ver figura).
Para determinar el módulo de la fuerza necesitamos saber la velocidad del electrón, dato
que obtendremos a partir del valor de su energía cinética.
→
,
,
como vemos, ha sido necesario consultar el valor de la masa del electrón.
Por tanto,
,
,
,
Para el sistema de referencia representado en la figura,
,
)
b) La trayectoria de una partícula sobre la que se ejerce una fuerza y que se mueve con una
velocidad perpendicular a dicha fuerza, de manera que esta condición de perpendicularidad se
mantiene sólo en el instante inicial, será una parábola. Se trata de, por ejemplo, un tiro horizontal
en el caso de un campo gravitatorio, o de una partícula cargada que penetra en perpendicularmente
a un campo eléctrico uniforme.
[23]
Sin embargo, este no es el caso pues se trata de una partícula (el electrón) sobre el que se
ejerce una fuerza que en todo momento es perpendicular a la velocidad de la misma, es decir, es
una fuerza central. Por tanto, su trayectoria será una circunferencia.
Como en este caso la fuerza centrípeta es la fuerza magnética, podemos escribir las expresiones de
ambas fuerzas (en módulo)
despejando el radio de curvatura,
expresión que se puede generalizar para cualquier tipo de carga que penetre en un campo
magnético uniforme perpendicularmente a dicho campo,
Para el caso que nos ocupa,
,
,
,
Recordar también aquí que, al tratarse de un movimiento circular uniforme, se pueden utilizar las
conocidas expresiones de dicho movimiento.
[24]
Una partícula alfa sale perpendicularmente del plano del papel con una velocidad de 20000
km/s. En el instante en que la partícula sale del papel penetra en un campo magnético
uniforme de 2·10-2 T. La dirección del campo es el plano del papel, de izquierda a derecha y
horizontal. Encontrar la fuerza que actúa sobre la partícula y el radio de su trayectoria.
Datos: carga del electrón = 1,6·10-19 C, masa del protón = masa del neutrón = 1,67·10-27 kg.
Este problema es en su resolución idéntico al anterior, con la diferencia de que se trata de una carga
positiva y que las direcciones de la velocidad y del campo magnético vienen impuestas.
Una partícula alfa es un núcleo de helio, es decir, un átomo de helio que ha perdido sus dos
electrones,
í
→
Por tanto, su carga y su masa serán,
,
,
,
,
Según las direcciones de la inducción magnética y de la
velocidad de la partícula, esta se ve sometida a una fuerza cuya
dirección y sentido viene mostrada en la figura adjunta, es decir,
,
La fuerza a que ve se sometida la partícula en el momento de
salir del papel es, según la ley de Lorentz,
)
El módulo de esta fuerza será,
,
,
Por tanto, para el sistema de referencia utilizado,
,
En cuanto al radio de curvatura de la trayectoria circular que sigue la partícula, su
expresión, deducida en el problema anterior es,
De donde
,
,
,
Como vemos, comparando con el radio de curvatura de un electrón (problema anterior), su valor ha
aumentado considerablemente, resultado, fundamentalmente, del aumento de la masa de la
partícula cargada que penetra en el campo.
[25]
Una varilla de 0,2 kg de masa y 0,3 m de longitud es recorrida por una corriente de 12 A. La
varilla se encuentra sobre un plano horizontal. Se aplica un campo magnético vertical de
intensidad creciente de manera que cuando este vale 0,02 T la varilla comienza a deslizar.
Determinar el coeficiente estático de rozamiento entre el suelo y la varilla.
a) Al encontrarse la varilla en el seno de un campo magnético y pasar por ella una corriente
eléctrica, la varilla se ve sometida a una fuerza magnética cuyo valor es (ley de Laplace),
)
El sentido la fuerza es (regla mano izquierda) perpendicular a la varilla hacia fuera del papel.
Podemos representar las fuerzas que se ejercen sobre la varilla, si la miramos como se indica
El valor del la inducción magnética va creciendo de manera que cuando vale 0,02 T la
fuerza magnética que genera sobre la varilla es tal que está a punto de empezar a deslizar. En esta
situación los módulos de las fuerzas cumplen con la condición
→
donde FR es la fuerza de rozamiento que, al estar la varilla aún parada, depende del coeficiente
estático de rozamiento,
→
sen
→
sen
,
,
,
,
,
[26]
Por un alambre de cobre, situado en el ecuador terrestre y paralelamente a él, pasa una
corriente que lo mantiene flotando en el aire por la acción del campo magnético terrestre.
Determine la intensidad de corriente que es necesario que pase por dicho alambre.
Datos. Campo magnético terrestre, B = 0,00005 T; densidad lineal del conductor = 8 g/m.
Situación descrita en el problema
para que esto ocurra debemos hacer pasar una corriente por el hilo que, al estar inmerso en el
campo magnético terrestre, hace que sobre el hilo se ejerza una fuerza magnética que contrarreste
el peso del hilo. Como la dirección del campo magnético terrestre es de norte a sur, la dirección de
la intensidad de corriente y de la fuerza magnética deben ser las siguientes (regla de la mano
izquierda)
Donde el valor de la fuerza magnética viene dado por la ley de Laplace
)
En la situación de equilibrio, los módulos de las fuerzas peso y magnética son iguales,
→
sen
Despejando
Como un metro de hilo pesa 8 gramos,
,
[27]
Calcula la fuerza a que se verá sometido cada uno de los lados del triángulo de la figura.
Datos: I = 0,5 A; B = 0,2 T;
;
;
El campo magnético es uniforme y va dirigido de forma horizontal desde el polo norte al sur. Cada
uno de los tramos del triángulo se ve sometido a una fuerza magnética ya que por ellos está
pasando una corriente eléctrica y se encuentran inmersos en un campo magnético. La expresión
que permite calcular esta fuerza es la ley de Laplace,
)
Estableceremos primero un sistema de referencia (ver figura). En estas condiciones,
,
)
Tramo
. La fuerza a que está sometido el hilo es,
en módulo,
sen
,
,
,
,
Su dirección es perpendicular al plano que forman
el hilo y la inducción magnética, es decir, el eje z.
Su sentido es el positivo del eje z (regla de la mano
izquierda). Por tanto, para el sistema de referencia de la figura,
,
Tramo
)
.
sen
luego este hilo no se ve sometido a fuerza alguna ya que la intensidad de corriente tiene la misma
dirección que la inducción.
Tramo
.
sen
,
,
,
sen
Debemos determinar el valor del ángulo. Para ello, si observamos la figura
adjunta,
,
,
sen
,
arcosen ,
[28]
Por tanto,
,
,
,
sen
,
La dirección de esta fuerza es perpendicular al plano que forman el hilo y la inducción magnética, es
decir, el eje z. Su sentido es el negativo del eje z (regla de la mano izquierda). Por tanto, para el
sistema de referencia de la figura,
,
)
El triángulo girará
Dos espiras circulares de radio 2π metros se colocan en ángulo recto una respecto de la otra
con centro común. Una de ellas, situada en el plano xy, es recorrida por una corriente de 3 A.
La otra, recorrida por una corriente de 4 A, está situada en el palo yz. ¿Cuál es el valor del
campo magnético en el centro?
La situación viene representada en la figura adjunta. Los sentidos de las
intensidades son supuestos pues no se mencionan en el enunciado del
problema.
El módulo de la inducción magnética creada por una espira circular en
su centro y en el vacío viene dado por la siguiente expresión,
Empecemos por la espira del plano yz, recorrida por la intensidad I’
A,
Su dirección es perpendicular al plano de la espira y su sentido es
el de avance de un sacacorchos que gire como lo hace la
intensidad de corriente (véase figura), por tanto,
)
En cuanto a la espira del plano xy, recorrida por I = 3A,
[29]
En la figura anterior se puede ver la dirección y sentido de la inducción magnética. Por tanto,
)
Aplicando el principio de superposición, la inducción magnética en el centro de las dos
espiras será,
cuyo módulo es,
)
)
Cuatro conductores paralelos largos transportan corrientes de
igual magnitud, 2 A, cuyos sentidos vienen indicados en la figura.
Calcular el campo magnético en el centro del cuadrado que
definen los cuatro conductores.
Cada hilo genera su propio campo magnético en el
centro del cuadrado. Las direcciones y sentidos de
dichos campos vienen reflejadas en la figura
adjunta. La dirección y sentido de cada uno de
estos campos se determina teniendo en cuenta que
las líneas de campo generadas por una corriente
rectilínea son circunferencias con centro en la
línea de corriente y colocadas en planos
perpendiculares a ella. El sentido de estas líneas es
el indicado por los dedos de la mano derecha
cuando se coge el conductor de modo que el dedo
pulgar señala el sentido de la corriente.
La mitad de la diagonal del cuadrado mide
,
,
,
Los módulos de los campos generados por cada hilo son iguales al ser las intensidades de
corriente que circulan por ellos iguales. Su valor se puede determinar a partir de la expresión
,
,
Si el sistema de referencia tiene como ejes x e y las propias diagonales del cuadrado,
podemos anotar las inducciones magnéticas en el centro del cuadrado como sigue,
[30]
,
,
La inducción total en el centro del cuadrado es,
,
,
Cuyo módulo es
,
Dos conductores rectilíneos y paralelos están separados entre sí una distancia de 15 cm.
Ambos están recorridos por una intensidad de corriente. Por el primero de ellos pasan 54000
culombios cada hora y por el segundo pasan 10 A. Determinar:
a) El valor de la fuerza que actúa por unidad de longitud sobre cada conductor.
b) El valor de la inducción magnética en cada uno de los dos puntos pertenecientes al plano
determinado por ambos conductores y equidistantes 20 cm del primero de ellos.
a) La intensidad de corriente que pasa por el primer hilo es
El enunciado no indica el sentido relativo de la corriente entre ambos
hilos. Se considerará que el sentido de la corriente es el mismo en los
hilos, como se muestra en la figura adjunta.
Las fuerzas que se establecen entre dos hilos infinitos son de atracción
si los sentidos de la corriente coinciden. Son de repulsión si los sentidos de la corriente son
contrarios (véase pág. 17 y siguientes). El módulo de dicha fuerza por
unidad de longitud es
,
b) Los dos puntos que están en el mismo plano que los hilos y que equidistan 20 cm del primer hilo
son los marcados en la figura siguiente
Punto 1.
El hilo 1 y el hilo 2, al llevar corriente, generan en P1 un campo magnético,
El campo total sobre P1 será, según el principio de superposición,
respectivamente.
[31]
Los módulos son,
,
,
,
Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, la dirección y sentido de la inducción
magnética creada por cada hilo es (regla de la mano derecha) la representada a continuación.
Por tanto,
,
,
)
Punto 2.
Operando de la misma manera,
Los módulos son,
,
,
Teniendo en cuenta el sistema de referencia elegido, la dirección y sentido de la inducción
magnética creada por cada hilo es (regla de la mano derecha) la representada a continuación.
Por tanto,
)
[32]
Un alambre recto y largo conduce una corriente I en el sentido +x, mientras que un segundo
conductor transporta una corriente I/2 según el sentido +y. ¿En qué puntos la inducción
magnética resultante es nula?
La situación de partida viene representada en la figura
adjunta.
Cada hilo genera un campo magnético. El módulo del
campo generado por el hilo del eje x depende de forma
directa de la intensidad que circula por dicho hilo y de
forma inversa de la distancia en línea recta
perpendicular a dicho hilo, es decir, depende de la
distancia medida sobre el eje y:
De la misma manera, el campo generado por el hilo del eje y depende de la distancia en línea recta
perpendicular a dicho hilo, es decir, depende de la distancia medida sobre el eje x:
Ambos campos se pueden anular en aquellos puntos
donde sus sentidos sean opuestos. Si observamos dichos
sentidos (regla de la mano derecha), esto solo puede
ocurrir en el primer y tercer cuadrante. En esos lugares,
puede haber puntos donde
→
Aquellos puntos que verifican la ecuación de la recta y = 2x son los buscados.
[33]
Un electrón se mueve en una región sin ningún campo de fuerzas, con una velocidad de
100.000.000 m/s, en la dirección y sentido indicados en la figura, y llega a un punto, P, en el
que entra en una región con un campo magnético perpendicular al papel y hacia dentro,
¿Qué intensidad ha de tener el campo magnético para que el electrón vuelva a la primera
región por un punto, Q, situado a 30 cm de P? ¿A qué lado del punto P está situado Q?
El razonamiento en este problema es idéntico al problema de la página 24. Se anotarán
aquí directamente las ecuaciones y sus resultados.
Fuerza que se ejerce sobre el electrón al penetrar en el campo magnético,
es la carga del electrón. El módulo de esta fuerza es
, donde e
Su dirección es vertical sobre el papel y su sentido hacia abajo. Esta fuerza obliga al electrón a
describir una trayectoria circular dentro del campo magnético. En módulo
despejando el radio de curvatura,
Para el caso que nos ocupa, para que el electrón
salga a 30 cm sobre la vertical del punto de
entrada debe recorrer media circunferencia de
radio 15 cm. En esta situación,
,
,
,
,
Tal como se indica en la figura, el electrón describe una semicircunferencia en el sentido
horario saliendo del campo por debajo del punto P.
[34]
Un electrón se mueve a 20000 km/s. Penetra en un condensador plano que tiene 1000 V de
diferencia de potencial ente sus placas y una distancia entre las mimas de 1 cm. La dirección
de entrada del electrón en el condensador es perpendicular a las líneas de campo eléctrico.
¿Cómo hay que colocar un imán para que la trayectoria del electrón siga recta? ¿Cuál es la
inducción magnética de dicho imán?
Analicemos primero el movimiento del electrón entre las
placas del condensador. La situación descrita en el
problema viene representada en la figura adjunta, en la
que también se ha establecido un sistema de referencia.
Cuando el electrón penetra entre las placas del
condensador, se ve sometido a una fuerza eléctrica
debido a que entre dichas placas hay un campo eléctrico
(representado en la figura). El electrón es atraído hacia la
placa positiva y, en esta situación, describirá una
trayectoria parabólica hasta que impacte con la placa. El módulo de la fuerza eléctrica es
donde e es la carga del electrón,
las mismas.
, la diferencia de potencial entre las placas y d la distancia entre
Para que el electrón siga recto es necesario compensar la
fuerza eléctrica con otra fuerza, en este caso magnética,
resultado de colocar adecuadamente un imán. Es claro
que la fuerza magnética que sufra el electrón, por la
acción del campo magnético del imán, debe de ir dirigida
en sentido opuesto a la fuerza eléctrica y tener el mismo
valor en módulo.
La expresión de la fuerza magnética es
)
y su módulo
sen
Para que la dirección y sentido de la fuerza magnética sea la de la figura, el campo magnético debe
tener la dirección del eje x en su sentido positivo α
º). Esto es así porque el vector
está
dirigido según el producto vectorial de por y su sentido está determinado por la carga de la
partícula. En este caso, al tratarse de un electrón, el sentido de la fuerza es el contrario al
correspondiente a dicho producto vectorial. Por tanto,
→
[35]
Para el sistema de referencia elegido
)
Estos apuntes se finalizaron el 29 de marzo de 2011
en Villanueva del Arzobispo, Jaén (España).
Realizados por: Felipe Moreno Romero
[email protected]
http://www.escritoscientificos.es
[36]